弹性力学5
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5 第三章 弹性力学平面问题的解析解法
将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式（d），得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
平衡方程：
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
上下边界： X Y 0
Y xy 0 Y xy 0
2b x
对应于矩形板左右端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
y
（2）
cx
2
2
应力分量： y 2c 2
x
x xy 0
2c
x
对应于矩形板上下端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
4
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
第六节 位移分量的求出
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
（1） 逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式（d），得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
平衡方程：
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
上下边界： X Y 0
Y xy 0 Y xy 0
2b x
对应于矩形板左右端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
y
（2）
cx
2
2
应力分量： y 2c 2
x
x xy 0
2c
x
对应于矩形板上下端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
4
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
第六节 位移分量的求出
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
（1） 逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出
弹性力学5PPT课件
在小变形条件下，一个复杂载荷可以等效为几个简单载荷的叠加，每个简单载荷引起的 位移、应变和应力可以分别计算，然后叠加得到复杂载荷下的结果。
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
弹性力学-绪论(徐芝纶第五版)
15
弹力基本假定，确定了弹力的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
16
弹性力学未知量
已知——几何参数和载荷； 坐标——x、y、z； 6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
——15个未知量
基本方程是三维的。
x3 33
x1
e2
11
e3
31 13
3223
22
12 21 x2
e1
A BC
.
A: (x, y, z)
1
教材及参考书
教材：
-《弹性力学》(上)，徐芝纶编，高等教育出版社。
参考书：
-《弹性理论》，王龙甫，科学出版社。
习题册：
-《弹性力学学习方法解题指导》，王俊民，同济大 学出版社
2
弹性力学第一章、绪论
一、力学相关课程简介 二、力学的研究方法 三、弹性力学基本概念 四、弹性力学的一些普遍原理
3
弃材力中大部分假定。
7
弹性力学研究方法
弹力研究方法：
在区域V内严格考虑静力学、几何学和物 理学三方面条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条件，并在边 界条件下求解上述方程，得出较精确的 解答。
8
二、力学的研究方法
z x y
σx σy
ρ gy, 2
( ρ g cot 1
α
2ρ 2
g
小变形假定。
4、弹性力学问题的研究方法
已知：物体的边界形状，材料性质，体力,
边界上的面力或约束。
求解：应力、形变和位移。
19
解法：在弹性体区域V 内，
根据微分体上力的平衡条件，建立平衡 微分方程；根据微分线段上应变和位移的 几何条件，建立几何方程；根据应力和应 变之间的物理条件，建立物理方程。
弹力基本假定，确定了弹力的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
16
弹性力学未知量
已知——几何参数和载荷； 坐标——x、y、z； 6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
——15个未知量
基本方程是三维的。
x3 33
x1
e2
11
e3
31 13
3223
22
12 21 x2
e1
A BC
.
A: (x, y, z)
1
教材及参考书
教材：
-《弹性力学》(上)，徐芝纶编，高等教育出版社。
参考书：
-《弹性理论》，王龙甫，科学出版社。
习题册：
-《弹性力学学习方法解题指导》，王俊民，同济大 学出版社
2
弹性力学第一章、绪论
一、力学相关课程简介 二、力学的研究方法 三、弹性力学基本概念 四、弹性力学的一些普遍原理
3
弃材力中大部分假定。
7
弹性力学研究方法
弹力研究方法：
在区域V内严格考虑静力学、几何学和物 理学三方面条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条件，并在边 界条件下求解上述方程，得出较精确的 解答。
8
二、力学的研究方法
z x y
σx σy
ρ gy, 2
( ρ g cot 1
α
2ρ 2
g
小变形假定。
4、弹性力学问题的研究方法
已知：物体的边界形状，材料性质，体力,
边界上的面力或约束。
求解：应力、形变和位移。
19
解法：在弹性体区域V 内，
根据微分体上力的平衡条件，建立平衡 微分方程；根据微分线段上应变和位移的 几何条件，建立几何方程；根据应力和应 变之间的物理条件，建立物理方程。
弹性力学第五章：弹性力学解法
ij
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E
E
xy yz zx
y
z
或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
x l xy m xz n p x yx zx
或:
l y m yz n p y l zy m z n p z
S 上）
pi ij n j （在
(b).位移边条件：
1. 位移法： 以位移分量 u , v, w 作为基本未知量。
由位移表示的平衡方程式及边界条件
先求出位移分量 几何方程 应变分量
物理方程
应力分量
在结构力学和 有限元中常用
2. 应力法：
在弹性力学中该方法广泛使用
以应力分量作为基本未知量， 平衡方程及边界条件
ij
物理方程
ij
几何方程
u , v, w
2
yz
xz
应力协调方程
应力协调方程
x
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y
2
z
2
xy
2
yz
2
zx
2
f x 2 1 x y z x x 2 f y f y f x f z ( )2 2 1 x y z y y 2 f y f x f z f z ( )2 2 1 x y z z z 2 f y f x ( ) xy x y 2 f y f z ( ) yz y z 2 f x f z ( ) xz z x
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E
E
xy yz zx
y
z
或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
x l xy m xz n p x yx zx
或:
l y m yz n p y l zy m z n p z
S 上）
pi ij n j （在
(b).位移边条件：
1. 位移法： 以位移分量 u , v, w 作为基本未知量。
由位移表示的平衡方程式及边界条件
先求出位移分量 几何方程 应变分量
物理方程
应力分量
在结构力学和 有限元中常用
2. 应力法：
在弹性力学中该方法广泛使用
以应力分量作为基本未知量， 平衡方程及边界条件
ij
物理方程
ij
几何方程
u , v, w
2
yz
xz
应力协调方程
应力协调方程
x
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y
2
z
2
xy
2
yz
2
zx
2
f x 2 1 x y z x x 2 f y f y f x f z ( )2 2 1 x y z y y 2 f y f x f z f z ( )2 2 1 x y z z z 2 f y f x ( ) xy x y 2 f y f z ( ) yz y z 2 f x f z ( ) xz z x
弹性力学第五版课后答案
弹性力学第五版课后答案弹性力学是力学中的重要分支之一，涉及材料的力学行为和变形规律等方面。
它在机械工程、航空航天工程、土木工程等诸多领域发挥着重要作用。
为了加深学生对弹性力学的理解和掌握，学术界陆续推出了不少经典教材，其中最受欢迎的当属《弹性力学》第五版。
该教材由Timoshenko、Goodier和Sodhi（逊迪）合作编写而成，是一本非常优秀的教材。
书中所涉及的内容涵盖了弹性力学的方方面面，讲解十分详细，图示清晰，优点诸多。
不过，有一些学生在学习该教材时会遇到答案不全的问题，为了帮助这些学生，下面我补充了一些该教材第五版课后答案的相关内容。
第一章弹性力学的基本概念1.1 弹性体的概念和弹性力学的分类1. What is the definition of an elastic body? 弹性体是什么？Answer: An elastic body is a body that can recover its original shape and size after having been deformed by external forces. 弹性体是指能够在外力作用下发生形变，而在去除外力后能够恢复其原有形态和大小的物体。
2. What are the main branches of elasticity? 弹性力学的主要分支是什么？Answer: The main branches of elasticity are statics of elasticity, dynamics of elasticity, and mathematical theories of elasticity. 弹性力学的主要分支有弹性静力学、弹性动力学和弹性力学的数学理论。
第二章密切假定2.1 独立假定3. Prove that the components of strain tensor do not depend on each other. 证明应变张量的各分量之间是相互独立的。
弹性力学 徐芝纶 第五章
数必须等于3个。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5－2 弹性理论问题的基本解法
应力法 位移法
直接解法：
间接解法：
逆解法 半逆解法
5－3 基本定理
弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下，对于 满足小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用 下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力同时作 用于弹性体的解答。
弹性力学解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的 作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部 分表面面力已知，部分表面位移已知。则弹性体处于平 衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是 唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的，则位移分 量也是唯一的。
第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移 分量， 求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量， 这时的边界条件为位移边界条件。 第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面 的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各 点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部 分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称 为混合边值问题。
2 x 2 0 y 2 y 2 0 x 2 xy 0 xy
一次多项式应力函数对应无应力应力状态。 这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y 的线性函数，将不影响应力分量的值。
二、应力函数为二次多项式
ax2 bxy cy2
x yx X 0 x y
xy x
y y
Y 0
此微分方程组的解为特解与通解的和
特解：
x Xx, x 0,
x Yy, x 0,
xy 0 xy 0
x x Xx Yy
第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析
严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间受力状 态，属于空间问题，然而，对于某些特定问题，根据其结构和外力 特点可以简化为平面问题来处理。这种近似，可大大减少计算工作 工作量，为有限元分析提供方便。弹性力学平面问题可分为两类：
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
弹塑性力学第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
*
*
§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
在V上
或
在V上
（拉米－纳维叶方程）
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
位移法求解思想：
*
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
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*
§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
在V上
或
在V上
（拉米－纳维叶方程）
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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§5-2 位移法
位移法求解思想：
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1 [ z ( z ) z ( z ) ( z ) ( z )] 2
得到
i 2 ( z ) z ' ( z ) ' ( z ) x y z ( z ) z ' ( z ) ( z )
20
将结果回代,并两边除以1+ 得
22
由图可见， l=cos(N,x)=dy/ds, m=cos(N,y)=-dx/ds,
于是，前式可改写为 ：
d y 2 d x 2 X 2 d s y d s xy d y 2 d x 2 Y 2 d s xy d s x
i [ ( z ) ( z )] i [ ( z ) ( z )] x z z i ( z ) ( z ) i[ ' ( z ) ' ( z )] z z
18
故有
u v u 2 d E y x 2 y [ ( z ) ( z )] (1 ) xy dy f1 ( y ) u 2 d 2 i [ ( z ) ( z )] (1 ) f 2 ( x) x xy dx 2 d d 2(1 ) f1 ( y ) f 2 ( x) xy dy dx
可得
而由
x y 2[ ' ( z) ' ( z)] 4Re ' ( z)
12
2 2 2 y x 2i xy 2i 2 2 x y xy x i y 2 4 z 2
16
2 v E 2[ ' ( z ) ' ( z )] (1 ) 2 y y
2 2 i [ ( z ) ( z )] (1 ) 2 x y
将上两式分别对x及y积分，得
f1 ( y ) x Ev 2 i[ ( z ) ( z )] (1 ) f 2 ( x) y Eu 2[ ( z ) ( z )] (1 )
从而得到
d f1 ( y ) d f1 ( x ) dy dx
于是得到刚体位移 f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v 0＋ωx
19
若不计刚体位移，则有
E (u i v) 4 ( z ) (1 )( i ) x y
由式
i 2 x y z
进而
2 2 2 2 ( ) , ( ) 2 2 x z z y z z
5
2 2 2 2 2 2 4 x y z z
令
2 2 4 P z z
于是可将方程式
4 0
21
§5-3
边界条件的复变函数表示
为了求得边界上各结点处的φ 值，须要应用应 力边界条件，即： l x m xy X
l xy m y Y
2 2 2 x 2 , y 2 , xy y x xy
而
2 2 代入上式，即得： l y 2 m xy X 2 2 l xy m x 2 Y
由此得：
d ds y
X,
d Y d s x
23
设A是边界上的固定点,B为任意一点，则从A到B 边界上的合力，可用上式从A点到B点对s积分得 到：
Px iPy
B A
d X iY d s i ds A ds y x
9
于是可见，在常量体力的平面问题中，应力函数φ
总可以用复变数z的两个解析函 (z)和(z)来表示，
称为K-M 函数。而求解各个具体的平面问题，可归结 为适当地选择这两个解析函数，并根据边界条件决定其 中的任意常数。
10
§5-2
一
应力和位移的复变函数表示
应力分量的复变函数表示 根据应力分量和应力函数的关系
2
可得 或
y x 2i xy 2[ z ' ' ( z) ' ' ( z)]
y x 2i xy 2[ z ' ' ( z) ' ( z)]
13
只要已知(z)及ψ (z)，就可以把上述公式右 边的虚部和实部分开，由虚部得出τ xy，由实部得 出σ y-σ x。
变换成为
4 0 2 2 z z
(a)Leabharlann 4 2 (2 ) 2 P 0
由
2 P 0
6
可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设 f(z)为解析函数，可令
1 P ( f ( z ) f ( z )) 2
由
得 令 则
2 2 4 P z z
再对z积分，得到
1 ( z ( z ) z ( z ) ( z )dz g ( z )) 2
令 即 则
( z ) dz ( z )
( z) ' ( z)
1 ( z ( z ) z ( z ) ( z ) g ( z )) 2
可得
2 u E 2[ ' ( z ) ' ( z )] (1 ) 2 x x 2 2 [ ( z ) ( z )] (1 ) 2 x x
15
由于
并注意到
可得
同理
z z ( ) x z x z x z z z z i( ) y z y z y z z ( z) ( z) ' ( z) z z [ ( z ) ( z )] [ ( z ) ( z )] x z z ( z ) ( z ) [ ' ( z ) ' ( z )] z z i [ ( z ) ( z )] [ ( z ) ( z )] y z z ( z ) ( z ) [ ' ( z ) ' ( z )] z z
其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式
E v u 2 ( ) xy 2(1 ) x y xy
17
由于
z ( ) x z z z i( ) y z z [ ( z ) ( z )] i [ ( z ) ( z )] y z z i ( z ) ( z ) i[ ' ( z ) ' ( z )] z z z x z x z z y z y z
3
§5-1 应力函数的复变函数表示
在第二章中已经证明，在平面问题里，如 果体力是常量，就一定存在一个应力函数 φ ， 它是位置坐标的重调和函数，即
0
4
现在，引入复变数z= x＋iy和 z＝x－iy以代替实 变数x 和y。注意
z 1, x z 1, x z i y z i y
x y 2[ ' ( z) ' ( z)] 4Re ' ( z)
和
y x 2i xy 2[ z ' ' ( z) ' ( z)]
就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立 公式，把σ x、σ y 、τ xy三者分开用(z)和ψ (z) 来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方 便。
x y
2 y 2 2 x 2 2 xy
11
xy
可得到应力分量的复变函数表示
2 2 2 x y 4 y 2 x 2 z z
由
1 ( z ( z ) z ( z ) ( z ) ( z )) 2
14
二
位移分量的复变函数表示
假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程
u E x y ( x y ) (1 ) y x
v E y x ( x y ) (1 ) x y
E v u ( ) xy 2(1 ) x y
1
第五章 平面问题的复变函数法
§5-1
§5-2 §5-3
应力函数的复变函数表示
应力和位移的复变函数表示 边界条件的复变函数表示
§5-4
§5-5
多连通域内应力与位移的单值条件
无限大多连体的情形
§5-6
含孔口的无限大板问题
2
第五章 平面问题的复变函数法
直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉及的物
体边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界，例如 椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐 标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只 限于介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用。
4
可以得到变换式
z z ( ) x z x z x z z z z i( ) y z y z y z z
i 2 , i 2 x y z z x y
E 3 (u i v) ( z ) z ' ( z ) ( z ) 1 1
这就是位移分量的复变函数表示。若已知(z)及 ψ (z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开， 从而得出u和v。
上述公式是针对平面应力情况导出的。对于 平面应变情况，须将式中的E改换为E/(1－ 2)， 改换为 /(1－ )。