第五章 弹性力学解题方法问题
弹性力学第五章
(
τ
xy
)
0
(
2Φ xy
)
0
1 4h
2
(Φ 5
Φ 7
Φ 6
Φ 8
)。
你现在浏览的是第二十三页，共167页
相容方程
2.相容方程(a)的差分表示，
(4Φ)0 0 化为：
20Φ 8(Φ Φ Φ Φ )2(Φ Φ Φ Φ )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(Φ Φ Φ Φ ) 0.
(e)
9
10
11
12
对每一内结点，Φi 为未知，均应列出式 (e)的方程 。
(2T )0 0 的
差分方程。
F
2F
F
B
2.用差分法计算 a
图中A点的应
x
力分量。
a
a
a
A
y（Z向厚度 ）1
你现在浏览的是第四十五页，共167页
§5－4 弹性体的形变势能 外力势能
变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。
你现在浏览的是第四十三页，共167页
差分法评价
缺点： （1）对于曲线边界和不等间距网格的计算
较麻烦。 （2）差分法比较适用于平面问题或二维问
题。 （3）凡是近似解，在求导运算时会降低精
度。如 Φ 的误差为 o(x3) ，则应力
的误差为o(x) 。
你现在浏览的是第四十四页，共167页
思考题：
1.试用线性向前或向后差分公式，导出
的 Φ值与从 A（基点）到B面力的合力 距有关， Φ的一阶导数值与A到B的面力
的合力（主矢量）有关；而在区域内， 应力分量与 Φ曲面的曲率、扭率有关。
5弹性力学问题的建立
当边界条件为应力和位移混合边界条件时称为偏微分方 程第三边值问题。
弹性力学问题的待求函数共15 个（ij 、ij、ui），如果 一视同仁的同等看待，由给定的边界条件下求偏微分方程组 的定解是不可能的。
为了有效地求解，从15个量中选取一部分作为基本待求 未知函数，而其它待求函数看成由基本待求函数导出的未知 函数，这样使得求解方程减少，且主攻方向明确（求基本未 知量）。
三. 本构方程
应力与应变之关系
1 x x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E
yx zx xy
2 1 E 2 1 E 2 1 E
得
22 ij 0
故应力分量一定是双调和函数。 即应力分量只要是双调和函数，则一定满足应变协调方程。 问题归结为在边界条件下求解平衡微分方程及以BeltramiMichell方程为补充方程的数学问题， Beltrami-Michell方程独立个数？ 求得应力后，再由本构方程求应变，最后由几何方程积分 求位移。
第五章
弹性力学问题的建立
§5-1 基本方程和边界条件汇总
§5-2 弹性力学问题的解法
§5-3 弹性力学的一般性原理
§5-4 弹性力学问题的求解方法及其简例
§5-1 基本方程和边界条件汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变形体在承受外力 作用时，发生变形（应变）和内力（应力），这些变形和内力 应遵循的三个基本规律，从而导出了待求物理量（应力、应变、 位移）所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
G(ui , j u j ,i ), j ij uk ,kj Fbi 0
高中物理弹性力问题详解
高中物理弹性力问题详解弹性力是高中物理中一个重要的概念，涉及到弹簧、弹力系数等内容。
在解决弹性力问题时，我们需要理解弹性力的定义、计算方法以及应用，以便能够熟练地解决各种相关题目。
一、弹性力的定义和计算方法弹性力是指物体在受到形变时产生的恢复力。
根据胡克定律，弹性力与形变之间成正比。
胡克定律的数学表达式为F = -kx，其中F表示弹性力，k表示弹簧的弹力系数，x表示形变量。
举个例子来说明弹性力的计算方法。
假设有一根弹簧，其弹力系数为k = 10N/m，当受到一个形变量为x = 0.2 m的力时，求弹簧的弹性力。
根据胡克定律，弹性力可以通过F = -kx计算得出，代入k和x的值，可得F = -10 × 0.2 = -2 N。
由于弹性力是恢复力，所以其方向与形变方向相反，即弹性力的方向为向上。
二、应用举例：弹簧振子弹簧振子是弹性力的一个常见应用。
假设有一个质量为m的物体，通过一根弹簧与一个支架相连。
当物体受到外力作用而发生形变时，弹簧会产生弹性力，使物体回复到平衡位置。
我们可以通过弹性力的计算来解决弹簧振子的问题。
例如，给定一个弹簧振子，弹簧的弹力系数为k = 20 N/m，物体的质量为m = 0.5 kg。
当物体受到外力作用形变量为x = 0.1 m时，求物体在振动过程中的频率。
根据胡克定律，弹性力可以通过F = -kx计算得出，代入k和x的值，可得F = -20 × 0.1 = -2 N。
根据牛顿第二定律F = ma，可得-2 = 0.5a，解得a = -4 m/s²。
由于振动是一个周期性的过程，所以可以利用振动的基本公式f = 1/T来计算频率。
而周期T可以通过T = 2π√(m/k)计算得出，代入m和k的值，可得T = 2π√(0.5/20) ≈ 0.628 s。
将周期代入振动的基本公式，可得f = 1/0.628 ≈ 1.59 Hz。
因此，物体在振动过程中的频率为1.59 Hz。
第五章 弹性与塑性力学的基本解法
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
弹性力学部分习题解决方案
当涉及到弹性力学部分的习题解决方案时，这可能涉及到各种不同类型的问题，包括材料的应力应变关系、结构的变形与应力分布、材料的弹性性质等。
以下是一些可能出现在弹性力学部分习题中的主题和解决思路：
1. 应力应变关系：
-根据题目给出的条件和要求，利用材料的本构关系（如胡克定律）计算应力和应变之间的关系。
-可能涉及到拉伸、压缩、剪切等不同形式的加载情况。
2. 变形与位移：
-通过弹性力学原理和平衡条件，推导结构的变形与位移关系。
-可能包括梁的弯曲、板的挠曲等问题，需要考虑边界条件和载荷情况。
3. 应力分布：
-计算结构中不同位置的应力分布，包括轴向应力、剪切应力等。
-根据结构的几何形状和加载条件，确定应力的分布规律。
4. 能量方法：
-使用能量方法（如弹性势能原理）来分析结构的稳定性和变形情况。
-可以通过最小势能原理或最大耗散能原理求解结构的平衡状态。
5. 材料参数：
-根据材料的弹性模量、泊松比等参数，计算结构的响应和性能。
-考虑材料的非线性、各向异性等特性对结构行为的影响。
针对具体的习题解决方案，通常需要根据题目提供的条件和要求，结合课程中学习到的知识和理论进行分析和推导。
高中物理弹性力学题如何解答
高中物理弹性力学题如何解答弹性力学是高中物理中的一个重要知识点，涉及到弹簧、弹性体等物体的力学性质。
在解答弹性力学题目时，我们需要掌握一些基本的解题技巧和方法。
本文将以具体的题目为例，详细说明高中物理弹性力学题如何解答，并给出一些解题的指导。
题目一：一根弹簧的弹性系数为k，将其悬挂在天花板上，并挂上一个质量为m的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动频率。
解答思路：根据弹簧的弹性力学特性，物体在弹簧上的振动属于简谐振动。
简谐振动的振动频率与弹簧的弹性系数和物体的质量有关。
根据公式f=1/2π√(k/m)，我们可以计算出振动频率。
题目二：一根长为L的均质弹性绳，两端固定在墙上，中间悬挂一个质量为m 的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动周期。
解答思路：同样地，根据弹性绳的弹性力学特性，物体在弹性绳上的振动也属于简谐振动。
简谐振动的周期与弹性绳的长度和物体的质量有关。
根据公式T=2π√(m/L)，我们可以计算出振动周期。
通过以上两个例题，我们可以看出解答弹性力学题的关键在于掌握弹性力学的基本公式和原理。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 确定题目中给出的已知量和未知量，理清思路，明确要求。
2. 根据题目中给出的物体和弹性体的性质，选择合适的公式进行计算。
3. 在计算过程中，注意单位的转换和计算的精度，保证结果的准确性。
4. 对于复杂的题目，可以将问题分解为多个简单的小问题，逐步解决，最后综合得出答案。
除了以上的解题技巧，我们还可以通过一些实际例子来加深对弹性力学的理解，并举一反三。
例如，我们可以通过观察弹簧的伸缩现象来理解弹性力学的基本原理，或者通过观察各种弹性体的应用，如弹簧秤、弹簧减震器等，来了解弹性力学在实际生活中的应用。
总之，解答高中物理弹性力学题需要掌握基本的解题技巧和方法，并通过具体的例题加深对弹性力学的理解。
解析弹性力学问题的解题思路
解析弹性力学问题的解题思路弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下产生的形变和应力分布规律。
解析弹性力学问题需要运用一系列数学工具和物理原理，下面将从几个方面来介绍解析弹性力学问题的解题思路。
一、力学模型的建立解析弹性力学问题首先需要建立合适的力学模型，即将物体抽象为几何形状和物理性质都合适的理想模型。
常见的力学模型有弹簧模型、梁模型、圆盘模型等，选择合适的模型要根据题目中给出的几何形状和边界条件进行判断。
建立好合适的力学模型是解决问题的第一步。
二、应力和应变的计算在弹性力学中，应力和应变是两个重要的概念。
应力是指单位面积上的力，常用符号为σ，而应变是指单位长度或单位体积上的形变量，常用符号为ε。
计算应力和应变需要运用胡克定律，即应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得到应力和应变之间的关系式，进而进行具体的计算。
三、边界条件和力的施加解析弹性力学问题需要明确边界条件和力的施加情况。
边界条件是指在模型的边界上给定的力或位移条件，而力的施加是指在模型内部某些位置施加的力。
根据题目中给出的边界条件和力的施加情况，可以进行定量的计算。
四、应力分布和形变分析在建立好力学模型、计算应力和应变、明确边界条件和力的施加后，可以得到物体内部的应力分布和形变情况。
应力分布和形变分析是解析弹性力学问题的重点，需要运用等效应力和位移的概念，结合数学方法如积分、微分等进行具体计算。
通过应力分布和形变分析，可以更深入地理解物体在受力情况下的变形和应力状态。
五、解析解的求解和验证解析弹性力学问题的最终目标是求解出解析解，并且可以通过数值计算验证解析解的正确性。
解析解是利用物理原理和数学方法得到的具有一定表达式的解，能够给出物体内部各点的应力和位移。
通过数值计算可以对解析解进行验证，进一步加深对问题的理解。
在解决弹性力学问题的过程中，除了要掌握上述解题思路，还需要具备良好的数学基础和物理基础。
解析弹性力学问题需要熟练掌握微积分、偏微分方程、线性代数、牛顿力学等数学和物理原理。
弹性力学第五章：弹性力学解法
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E
E
xy yz zx
y
z
或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
x l xy m xz n p x yx zx
或:
l y m yz n p y l zy m z n p z
S 上）
pi ij n j （在
(b).位移边条件：
1. 位移法： 以位移分量 u , v, w 作为基本未知量。
由位移表示的平衡方程式及边界条件
先求出位移分量 几何方程 应变分量
物理方程
应力分量
在结构力学和 有限元中常用
2. 应力法：
在弹性力学中该方法广泛使用
以应力分量作为基本未知量， 平衡方程及边界条件
ij
物理方程
ij
几何方程
u , v, w
2
yz
xz
应力协调方程
应力协调方程
x
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y
2
z
2
xy
2
yz
2
zx
2
f x 2 1 x y z x x 2 f y f y f x f z ( )2 2 1 x y z y y 2 f y f x f z f z ( )2 2 1 x y z z z 2 f y f x ( ) xy x y 2 f y f z ( ) yz y z 2 f x f z ( ) xz z x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对于Leme方程
G ui ( G) ,i fi 0
2
为二阶线性偏微分方程组，其解为齐次解+特解。
齐次方程
G ui ( G ) ,i 0
2
对 xi求导
因 则 即
G ui ,i ( G) ,ii 0
2
ui ,i (ui ,i ) (ui ,i ),ii
2.几何方程：弹性体要满足的基本方程
u v w x , y , z , x y z 1 v u 1 w v 1 u w xy ( ) yz ( ) zx ( ) 2 x y 2 y z 2 z x
1 张量表示： ij (ui , j u j ,i ) 2
或
积分上式
1 2 2 w gz Az B 41 G
在边界上， = l
m = 0, n = - 1, T1 = T2 = 0, T3 = q
ui Ti G Gu j ,i n j ni n
代入由位移表示的边界条件
得
dw dw 2G q dz z 0 dz
对Leme方程 进行∇² （调和算子）运算：
G ui ( G ) ,i 0
2
有
G（ ui） ( G)（ ,i ） 0
2 2 2 2
0
所以 即
2
（ ,i ）（ ） 0 ,i
2 2 2 4
G（ ui） G ui 0 ui 0
2 2
,ii
( 2G) ,ii 0 2 或 0 ,ii 0
结论
0
2
即体积应变 满足调和方程。
其中： 2 2 2 为调和算子或Laplace算子 x y z
2 2 2 2
因 所以有
3K
0
2
即体积应力 满足调和方程。
ij,kl kl ,ij lj,ki ki ,lj 0
位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。
基本方程： 平衡微分方程 几何方程 本构方程 变形协调方程（应变作为基本未知量）
5.边界条件
• 物体表面的面力分量为Tx、Ty和 Tz 已知,则面力边界 条件为：
Tx x l xy m xz n Ty xy l y m zy n Tz xz l yz m z n
有
x z y z
dw d w q,i = ( ),i = 2 dz dz
2
d w d w 将 ui 2 ,i 2 dz dz 2 代入拉梅方程： G ui ( G ) ,i fi 0
2
2
2
有
2
d 2w 2G 2 g 0 dz
d w g 1 2 g 2 dz 2G 21 G
4
1 由 ij (ui , j u j ,i ) 2 1 4 4 4 有 ij [( ui） ( u j ),i ] ,j 2 即 4 ij 0
由
4
ij 2G ij ij
4 4
有 ij 2G( ij ) ( ) ij
上式称为应力位移表达式。
将应力位移表达式代入平衡方程 得 即
ij ,i f j 0
[G(ui , j u j ,i ) uk ,k ij ],i f j 0
G(ui , ji u j ,ii ) uk ,ki ij f j 0
G(u j ,ij ui , jj ) uk ,kj ij fi 0
结合
w
的表达式可得
1 2 A q 21 G
由条件
wz h 0
得
1 2 1 2 B qh gh 2 21 G 41 G
将常数
A 和 B 代入
1 2 w g h 2 z 2 2qh z 4G 1 u0
以位移函数作为基本未知量
（2）应力解法
以应力函数作为基本未知量
（3）混合解法
以部分位移和部分应力分量作为基本未知量
5.3 弹性力学问题基本解法
位移解法的主要步骤： •利用位移函数 u1,
u2, u3 表示其他未知量；
•推导由位移函数 ui 描述的基本方程； •关键点：以位移表示的平衡微分方程。
位移解法的基本方程 1. 平衡微分方程
2. 几何方程
3. 本构方程 4. 位移边界条件，力边界条件
由
2 ij (ui , j u j ,i ) kk uk ,k
(1)
(2)
ij 2G ij ij
将 (1) 代入 (2)
ij G(ui , j u j ,i ) uk ,k ij
•若物体表面的位移
Tni ij n j
u, v, w 已知，则位移边界条件为
u u,
v v,
ww
•若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合 边界条件
5.2弹性力学问题的提法
弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，对十 五个未知量求解十五个基本方程。 求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个 基本未知量，可以做必要的简化。 为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本 未知量。
1.平衡方程:弹性体要满足的基本方程
x yx zx fx 0 x y z xy y zy fy 0 x y z z yz z fz 0 x y z
张量表示：
ij ,i f j 0
按位移解题例题
例 设有半空间体，单位体积的 质量为 ，在水平边界面上受均 布压力 q 的作用，试用位移法求 各位移分量和应力分量，并假设在 处 z 方向的位移 w 0 z h
解：可以假设
u 0, v 0, w wz
因此体积应变
u v w dw x y z x y z dz
2 2 2
u j , ji (u j , j ),i ,i
有
G ui ( G) ,i fi 0
2
其位移边界条件为：
¯ ui= ui（x，y, z）
给定位移边界条件就可由Leme方程解出
ui=（u,v,w） 或ui=（u1, u2, u3 ）。
对于用面力表示的边界条件 Ti =σij nj 将应力位移表达式代入面力边界条件: 有
第五章 弹性理论的解题方法
本章任务
总结对弹性力学基本方程
讨论求解弹性力学问题的方法
目 录
5.1 5.2 5.3 5.4 弹性力学基本方程 问题的提法 弹性力学问题的基本解法 圣维南局部影响原理
5.5
叠加原理
5.1 弹性力学基本方程
• 总结弹性力学基本理论； • 讨论已知物理量、基本未知量；以及物 理量之间的关系——基本方程和边界条 件。
张量表示：
ij
3 m ij 2G E
ij
广义胡克定律的应变表示
x 2G xx y 2G yy z 2G zz
张量表示：
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
ij ij 2G ij
在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题 ，在数学上称为偏微分方程的边值问题。
按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。 第一类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及 表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。 •第二类边值问题：已知弹性体内的体力和其表 面的面力分量为Tx、Ty和Tz，边界条件为面力边 界条件。
u j , ji , uk ,kjij uk ,ki u j , ji
转换指标
注意到：u j ,ij 则
Gui , jj ( G)u j , ji fi 0
此式称为位移表示的平衡方程（Leme方程）
( ), jj
注意
2 ( 2 )( ) ( ) 2 2 x1 x2 x3
4
ij 0
4
总之，位移解法以位移为3个基本未知函数 （u1,u2,u3），归结为在给定的边界条件下 求解位移表示的3个平衡微分方程，即三个
拉梅方程。
对于位移边界条件，位移解法是十分合适的。
位移分量求解后，可通过几何方程求出应变
ij 和通过本构方程求出应力 ij 。
至此，我们讨论了弹性力学位移解法的基本 方程。除无限大域外，位移解法也适用于全部边 界条件为位移边界的情况。然而，对于力边界条 件问题，位移解法就显得不够简便。一种变通的 方法就是选择应力为求解的场变量。应力需要满 足六个平衡方程和三个独立的协调方程，通过这 六个方程可以求解出六个应力分量。
w 的表达式，得
v0
求应变
1- 2m ez = [- zr g - q ] 2G (1- m)
由广义胡克定律
x 2G xx y 2G yy z 2G zz
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
Ti [G(ui , j u j ,i ) ij ]n j
ui ui ui ui n1 n2 n3 注意： ui , j n j x1 x2 x3 n
则
ui Ti G Gu j ,i n j ni n
此式称为力位移边界条件。
4.变形协调方程
2 2 2 x y xy 2 2 y x xy
2 y
z 2 2 z y yz
2
2 yz