中高档中考试题选编

中高档中考试题选编1、 已知m 是方程x 2-2006x+1=0的一个根，则代数的值等于（ ）（A ）2005 （B ）2006 （C ）2007 （D ）20082、阅读材料：已知p 2-p-1=0，1-q-q 2=0，且pq ≠1，求1pq q+ 的值．解：由p 2-p-1=0及1-q-q 2=0，可知p ≠0，q ≠0． 又∵pq ≠1，∴p ≠1q ∴1-q-q 2=0可变形为( 1q )2-( 1q)-1=0的特征．所以p 与1q是方程x 2-x-1=0的两个不相等的实数根． 则p+1q =1，∴1pq q+ =1，根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m 2-5m-1=0， 21n + 5n-2=0，且m ≠n ．求：11m n+ 的值．3、 如图（1），矩形ABCD 的一边BC 在直角坐标系中x 轴上，折叠边AD ，使点D 落在x 轴上点F 处，折痕为AE ，已知AB=8，AD=10，并设点B 坐标为 (m ，0)，其中m>0．（1）求点E 、F 的坐标（用含m 的式子表示）；（2）连接OA ，若△OAF 是等腰三角形，求m 的值；（3）如图（2），设抛物线y=a （x-m-6）2+h 经过A 、E 两点，其顶点为M ，连接AM ，若∠OAM=90°，求a 、h 、m 的值．FyxBCDEOAyxBC DEMO A第3题图（1） 第3题图（2）4、如图，直角梯形ABCD中，90643∥，°，，，AB CD A AB AD DC ∠====，动点P 从点A 出发，沿A D C B→→→方向移动，动点Q从点A 出发，在边AB 上移动．设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长．（1）∥PQ AC时，求x 、y 的值；（3）当P 不在边BC 上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．5、已知：如图在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根。

⑴ 求a 和b 的值；⑵C B A '''∆与ABC∆开始时完全重合，然后让ABC∆固定不动，将C B A '''∆以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动。

① 设x 秒后与ABC∆的重叠部分的面积为y 平方厘米，求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围；② 几秒后重叠部分的面积等于83平方厘米？ABCMA'B'C'6、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其它边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．C P QBA M N7、如图，在直角坐标系xOy 中，点O 1在x 轴的正半轴上，⊙O 1过原点O ，交x 轴于另一点F ，弦AB 平行于y 轴交x 轴于E 点，弦OD 于线段EB 交于点C ，已知OE 、OA 的长分别是方程2(225)450x x -++=的两根。

（1）求⊙O 1的半径。

（2）求OC •OD 的值。

（3）在 ⊙O 1上是否存在点H,使20OFH S ∆=？若存在，请写出H 点的坐标，并求出经过O 、F 、H 三点的二次函数的解析式；若不存在，请说明理由。

8、在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 。

若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标x A ,x B 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根。

（1）求m ，n 的值；（2）若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式；（3）过点D 任作一直线`l 1分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11CM CN+的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由。

9、如图半径分别为m ，n （0＜m ＜n ）的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P ，Q 两点，且点P （4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H ．（1）求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d （3）令四边形PO 1QO 2的面积为S 1，四边形RMO 1O 2的面积为S 2．试探究：是否存在一条经过P ，Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．10、如图，已知二次函数y ＝－41x 2＋23x ＋4的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ．（1）点A 的坐标为____________，点C 的坐标为____________；（2）线段AC 上是否存在点E ，使得△EDC 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接P A 、PC ，若所得△P AC 的面积为S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有．．．．两个，并求出此时点P 的坐标．ℓMℓ1O 1 A O xyB AC D C ODB BNDy A xyxO 1C EF11、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝4，OC ＝2．点P 从点O 出发，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接DP 、DA ．（1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标；（2）求t 为何值时，△DP A 的面积最大，最大为多少？（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△DP A 能否成为直角三角形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由；（4）请直接．．写出随着点P 的运动，点D 运动路线的长．12、如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_____________；（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形ABCD ＝S △AED ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图2，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，且S △ACD ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由；（4）如图3，四边形ABCD 是任意凸四边形，P 是AB 边上的任意一点（不与A 、B 重合），请画出过点P 的面积等分线．13、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，⊙C 的圆心坐标为（－2，－2），半径为2．函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为AB 上一动点．（1）连接CO ，求证：CO ⊥AB ；（2）若△POA 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）当直线PO 与⊙C 相切时，求∠POA 的度数；当直线PO 与⊙C 相交时，设交点为E 、F ，点M 为线段EF 的中点，令PO ＝t ，MO ＝s ，求s 与t 之间的函数关系，并写出t 的取值范围．14、如图，在平面直角坐标系中，已知点A （m ，0）（0＜m ＜2）、B （22，0），以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆的交点，连接BE与AD 相交于点F ．（1）求证：BF ＝DO ；（2）若AE ︵＝DE ︵，试求经过B 、F 、O 三点的抛物线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，将抛物线l 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，若直线BE 向上平移t 个单位与新图象有两个公共点，试求t 的取值范围．ADCBOAPxyA D CO E FxyBy ACB OAPx图2CD AB图1BCDAE 图3CDAB P15、如图1，抛物线y ＝ax 2－2ax －b （a ＜0）与x 轴交于点A 、点B （－1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．（1）求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若以 AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；②如图2，点E 是y 轴负半轴上的一点，连结BE ，将△OBE 绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN （点P 、M 、N 分别和点O 、B 、E 对应)，并且点M 、N 都在抛物线上，作MF ⊥x 轴于点F ，若线段MF : BF ＝1 : 2，求点M 、N 的坐标；③如图3，点Q 在抛物线的对称轴上，以Q 为圆心的圆过A 、B 两点，并且和直线CD 相切，求点Q 的坐标．16、在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ＋b （k 为常数且k ≠0）分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，⊙O 半径为5个单位长度．（1）如图甲，若点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，且OA ＝OB ．①求k 的值②若b ＝4，点P 为直线y ＝kx ＋b 上的动点，过点P 作⊙O 的切线PC 、PD ，切点分别为C 、D ，当PC ⊥PD 时，求点P 的坐标；（2）若 k=-1/2，直线y ＝kx ＋b 将圆周分成两段弧长之比为1 : 2，求b 的值．（图乙供选用）17、如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ．（1）判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE ＝BF ；（3）若OG ·DE ＝3(2－2)，求⊙O 的面积．18、如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为（3，3），AD 为斜边上的高．抛物线y ＝ax 2＋2x 与直线y ＝21x 交于点O 、C ，点C 的横坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE ∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ．（1）求OA 所在直线的解析式．（2）求a 的值．（3）当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式．（4）如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQMN ，其中RN ＝23．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形时m 的取值范围．图①A B CDEx P O y图②A B CDE xPO yQ M N R O A B xyCD 11图1 O AB xyCD 11 图3QO ABxyCD 11图2M NPFE图Oyx图OACPDB y xACB F DEOG19、小明想知道湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°，亭B 在点M 的北偏东60°，当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．20、如图，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l ．（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长；（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与△EAD 相似时，求BF 的长．21、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．22、已知：如图，抛物线y ＝－43x 2＋3与x 轴交于点A 、点B ，与直线y ＝－43x ＋b 相交于点B 、点C ，直线y ＝－43x ＋b与y 轴交于点E ．（1）求直线BC 的解析式．（2）求△ABC 的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A ，B 重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出△MNB 的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB 的面积最大，最大面积是多少？C (0,3) OA B xyDPQ (2,-1)北BAMlO ABCE NMxyADC OBxy El23、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A （5，0）、B （6，－6）和原点O ，过点B 的直线y ＝mx ＋n 与抛物线相交于点C （2，y ）．过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴，交直线DC 于点E ，交x 轴于点F ．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△OBC 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、E 为顶点的三角形与△OCD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （－2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C （0，4），直线l 是抛物线的对称轴，与x 轴交于点D ，点P 是直线l 上一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）当AP ＋CP 的值最小时，求点P 的坐标；再以点A 为圆心，AP 的长为半径作⊙A ，求证：BP 与⊙A 相切；（3）点P 在直线l 上运动时是否存在等腰△ACP ？若存在，请写出所有符合条件的点P 坐标；若不存在，请说明理由．25、如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O （0，0），A （3，0），C （0，2），点P 是OA 边上的动点（与点O 、A 不重合）．现将△P AB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．（1）设P （x ，0），E （0，y ），求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；（2）如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点M ，使△PEM 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点M 的坐标．26、如图，已知实数m 是方程x 2－8x ＋16＝0的一个实数根，抛物线y ＝－21x 2＋bx ＋c 交x 轴于点A （m ，0）和点B ，交y 轴于点C （0，m ）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点D 为线段AB 上的一个动点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，又过D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，当四边形DECF 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）设△AOC 的外接圆为⊙G ，若M 是⊙G 的优弧ACO 上的一个动点，连接AM 、OM ，问在这个抛物线位于y 轴左侧的图象上是否存在点N ，使得∠NOB ＝∠AMO ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．图 1C BAD FEP Ox y图2C BAD FE P Ox yyxOE PCDF B (6,－6)A (5,0)G O x ylA B D CC A B O EFxyD27、已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），顶点C （1，－4），与x 轴交于A 、B 两点，C （－1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线的对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点Q 为线段AB 上一个动点（Q 与A 、B 两点不重合），过点Q 作QF ⊥AE 于F ，QG ⊥DB 于G ，请判断BE QF ＋ADQG 是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点H 是线段EQ 上一点，过点H 作MN ⊥EQ ，MN 分别与边AE 、BE 相交于M 、N （M 与A 、E 不重合，N 与E 、B 不重合），请判断QB QA ＝ENEM是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．28、已知抛物线y ＝－21x 2＋bx ＋4上有不同的两点E （k ＋3，－k 2＋1）和F （－k －1，－k 2＋1）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，抛物线y ＝－21x 2＋bx ＋4与x 轴和y 轴的正半轴分别交于点A 和B ，M 为AB 的中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ ＝45°，MP 交y 轴于点C ，MQ 交x 轴于点D ．设AD 的长为m （m ＞0），BC 的长为n ，求n 和m 之间的函数关系式．（3）当m ，n 为何值时，∠PMQ 的边过点F ．29、如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE 恰好与坐标系中的△OAB 重合，现将三角板CDE 绕边AB 的中点G （G 点也是DE 的中点），按顺时针方向旋转180°到△C ′ED 的位置．（1）求C ′ 点的坐标；（2）求经过O 、A 、C ′ 三点的抛物线的解析式；（3）如图③，⊙G 是以AB 为直径的圆，过B 点作⊙G 的切线与x 轴相交于点F ，求切线BF 的解析式；（4）抛物线上是否存在一点M ，使得S △AMF : S △OAB ＝16 : 3？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．30、在平面直角坐标系中，抛物线过原点O ，且与x 轴交于另一点A ，其顶点为B ．孔明同学用一把宽为3cm 带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：①量得OA ＝3cm ；②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C 的刻度读数为4.5．请完成下列问题：（1）写出抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式；（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A 的右边（如图2），直尺的两边交x 轴于点H 、G ，交抛物线于点E 、F ．求证：S 梯形EFGH ＝61(EF 2－9)．xyOA BEDM NH F QG CCBAOxy3cm1 234 5 6图1E BA Oxy1 23 4 5 6 图2FG H yxBA O (D ) G(C )(E ) FC ′图yxBA O (D ) G(C )(E ) C ′图y x B A O (E )G(C )(D ) 图OyxCB AD MPQ31、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y＝45作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x＝1上有一点F（1，43），求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM ＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．32、已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋1有两个交点A、B．（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；（2）当AB＝22，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△P AB的面积．①当AB＝22，且抛物线与直线的一个交点在y轴时，求S（t）的最大值，以及此时点P的坐标；②当AB＝m（正常数）时，S（t）是否仍有最大值，若存在，求出S（t）的最大值以及此时点P的坐标（t，T）满足的关系，若不存在说明理由．33、如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB 上运动（不与A、B两点重合），过C作CP的垂线CD交PB 的延长线于D点．（1）求证：AC·CD＝PC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．34、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD ＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C 沿折线C－D－A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C－B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．（1）当t＝0.5时，求线段QM的长；（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究RQCQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．DA BCE PQMlDA BC（备用图1）DA BC（备用图2）x＝1 y＝45O FMxyPNO AxPByA O BPDC35、如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C ．（1）求证：O 2C ⊥O 1O 2；（2）证明：AB ·BC ＝2O 2B ·BO 1；（3）如果AB ·BC ＝12，O 2C ＝4，求AO 1的长．36、如图①，在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△CD ′E ′（使∠BCE ′＜180°），连接AD ′、BE ′，设直线BE ′ 与AC 交于点F ．（1）当AC ＝BC 时，AD ′ : BE ′ 的值为___________；（2）如图②，当AC ＝5，BC ＝4时，求AD ′ : BE ′ 的值；（3）在（2）的条件下，若∠ACB ＝60°，且E 为BC 的中点，求△ABF 面积的最小值．37、如图①，在平面直角坐标系中，抛物线L 1：y ＝x 2＋c 与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点A ，且△ABC 是等腰直角三角形．（1）求c 的值；（2）如图②，将△ABC 绕点B 逆时针方向旋转90°，得△A ′BC ′，然后将抛物线L 1平移，使它的顶点落在点C ′ 处，得抛物线L 2，它与y 轴相交于点D ，连接DC ′，试判断四边形BA ′DC ′ 的形状，并说明理由；（3）将抛物线L 2沿直线BC ′ 向上或向下平移，记此时抛物线的顶点为C ″，它与y 轴的交点为D ′，过点C ″ 作C ″A ″∥C ′A ′，交直线A ′B 于点A ″ ．是否存在这样的点C ″，使得△A ″C ″D ′ 是一个含有30°内角的三角形？若存在，求出点C ″ 的坐标；若不存在，请说明理由．38、如图，已知P 是线段AB 上的任意一点（不含端点A ，B ），分别以AP 、BP 为斜边在AB 的同侧作等腰直角△APD 和△BPE ，连接AE 交PD 于点M ，连接BD 交PE 于点N ．（1）求证：①MN ∥AB ；②MN 1＝AP 1＋BP1；（2）若AB ＝4，当点P 在AB 上运动时，求MN 的取值范围．FABCD ED ′E ′ 图①FAB CD ED ′E ′图②OAB yxC 图O AB yD xC A ′ C ′图OAB yx C A ′C ′备用APDBNMEO 1O 2A BC4，点F 在DC 上，DF ＝2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、MN 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PQW ．设动点M 、N 的速度都是1个单位／秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN ∽△QWP ；（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，△PQW 为直角三角形？当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．40、如图①，四边形AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a b ，（2b a ≥），且点F 在AD 上（以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示）．（1）求DBF S △；（2）把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的DBF S △；（3）把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，DBF S △是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．轴交于点C ，OC ＝4，OA ＝2OC ，且抛物线的对称轴为直线x ＝－3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）矩形DEFG 的边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在AC 、BC 上，设OD ＝m ，矩形DEFG 的面积为S ，当S 取最大值时，连结DF 并延长至点H ，使FH ＝52DF ，求出此时点H 的坐标；（3）若点Q 是抛物线上一点，且横坐标为－4，点P 是y 轴上一点，是否存在这样的点P ，使得△BPQ 是直角三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．42、如图1，直线y ＝－21x ＋2与y 轴交于点A ，与直线y ＝x 交于点B ，平行于y 轴的直线l 与直线y ＝－21x ＋2和直线y ＝x 分别交于点D 、E ．直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到B 点时停止，P 是y 轴上的动点．设直线l 的运动时间为t （秒）．（1）求△PDE 面积的最大值．（2）是否存在点P ，使得△PDE 为等腰直角三角形？若存在，请求出t 的值及点P 的坐标；若不存在这样的点P ，请说明理由．（3）如图2，以DE 为斜边向左侧作等腰直角三角形△DEF ，设△DEF 与△AOB 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数表达式．（4）当△PDE 是一个底角为30°的等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．图（1）AB C DFWM PQN图（2）A BCDFWMPQ NyxABy ＝－21x ＋2y ＝x备用图OyxOABED y ＝－21x ＋2y ＝x图1P lyxOABE Dy ＝－21x ＋2y ＝x图2Fl O B AC yxDEG FHDCBAEFGGF EABCD ①②。