什么是共线性和同线性
第四章 多重共线性
二、产生多重共线性的背景
多重共线性产生的经济背景主要有几种情形： 1.经济变量之间具有相同的变化趋势。 2.模型中包含滞后变量。 3.利用截面数据建立模型也可能出现多重共线性。 4.样本数据的原因。
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第二节 多重共线性的后果
一、完全多重共线性产生的后果
1.参数的估计值不确定 2.参数估计值的方差无限大
Cov( ˆ2 ,
ˆ3 )
(1
r223 )
r23 2
x22i
x32i
随着共线性增加，r23趋于1，方差将增大。同样 协方差的绝对值也增大，它们增大的速度决定于
方差扩大（膨胀）因子(variance inflation factor, VIF)
VIF
1
1 r223
这时
Var(ˆ2 )
4.多重共线性严重时，甚至可能使估计的回归系数 符号相反，得出完全错误的结论。（如引例）
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第三节 多重共线性的检验
本节基本内容： 简单相关系数检验法 方差扩大因子法 直观判断法 病态指数检验法 逐步回归法
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一、简单相关系数检验法 简单相关系数检验法是利用解释变量之间的线性 相关程度去判断是否存在严重多重共线性的一种 简便方法。适用于只有两个变量的情形。
2
x32i 0
同理
ˆ3
这说明完全多重共线性时，参数估计量的方差将 变成无穷大。
9
关于方差的推导
Var(ˆ2 )
x32i (x22i ) (x32i )
(x2i x3i )2
2
1 X21 X 1 X22
1 X2n
多重共线性
0.522
263.8
587.8
0.449
1983 3182.5 6076.3 1984 3674.5 7164.4
0.524 0.513
314.6 492.0
587.1 1088.1
0.536 0.452
1985 4589.0 8792.1
0.522
914.5 1627.7
0.562
1986 5175.0 10132.8
2、近似共线性下OLS估计量非有效
近似共线性下，可以得到OLS参数估计量， 但参数估计量方差的表达式为
Co(β ˆv)2(XX)1
由于|X’X|0，引起(X’X) -1主对角线元素较大，使参数估计值的方差增大，OLS参数估计 量非有效。
仍以二元线性模型 y=1x1+2x2+ 为例:
vˆ 1 a ) 2 r ( X X ( ) 1 1 1x 1 2 i x 2 2 2 i ( x 2 2 ix 1 ix 2 i) 2 1 (x 1 ix 2 2 i / ) 2x 1 2 ix 1 2 i x 2 2 i
由表中的比值可以直观地看到，增量的线性关系弱于总量之间的线性关系。
进一步分析： Y与C(-1)之间的判定系数为0.9988， △Y与△C(-1)之间的判定系数为0.9567
3、第三类方法：减小参数估计量的方差
多重共线性的主要后果是参数估计量具有较大的方差，所以 采取适当方法减小参数估计量的方差，虽然没有消除模型中的多重共线性，但确能消除 多重共线性造成的后果。 例如： ①增加样本容量，可使参数估计量的方差减小。
Yi=1 X1i+2 X2i++k Xki+ i 可以有效地消除原模型中的多重共线性。
第五章 多重共线性的概念
σ2
恰为X1与X2的线性相关系数的平方r2 ∑x ∑x
2 1i 2 2i
(∑ x1i x 2i ) 2
由于 r2 ≤1，故 1/(1- r2 )≥1
完全不共线时, 当完全不共线 完全不共线
r2
=0
ˆ var( β 1 ) = σ 2 / ∑ x12i
1 σ2 ˆ ⋅ > var(β 1 ) = 2 2 x1i 1 − r x12i ∑ ∑
1.
检验多重共线性是否存在
(1)对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法 (1)对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法 对两个解释变量的模型 求出X1与X2的简单相关系数r，若|r|接近1，则 说明两变量存在较强的多重共线性。 (2)对多个解释变量的模型，采用综合统计检验法 (2)对多个解释变量的模型， 对多个解释变量的模型 若在OLS法下：R2与F值较大，但t检验值较小，说明 各解释变量对Y的联合线性作用显著，但各解释变量间存 在共线性而使得它们对Y的独立作用不能分辨，故t检验不 显著。即R2较大但t值显著的不多。另外判断参数估计值 的符号，如果不符合经济理论或实际情况，可能存在多重 共线性。
ˆ Y = 7.29 + 27.58X2 −15161.5X3
SE =(121.50) t =（0.06） （ ） (28.79) （0.958） ） (21.41) （- 7.06） ）
R 2 = 0.946
我们发现： 值小。 我们发现：例1中X2、X3的 t 值小。且X3的系数符号 中 的系数符号 与经济意义不符和。原因？ 与经济意义不符和。原因？ 值大， 的系数符号与经济意义不符合。 例2中X3的 t 值大，但X3的系数符号与经济意义不符合。 原因？ 原因？
一、多重共线性的概念二、产生多重共线性的原因三、多重共
相关情况，大企业二者都大，小企业都小。
（2）滞后变量的引入 在经济计量模型中，往往需要引入滞后经济变量来反映真实的经济 关系。 例如，消费=f(当期收入, 前期收入），显然，两期收入间有较强的 线性相关性。
《计量经济学》，高教出版社，王 少平、杨继生和欧阳志刚等编著 5
（3）多项式项的引入
如研究企业的成本与产量之间的关系时，往往在成本模型中引
其 中 : ci 不全为 0 ，则称 为解 释变量 间存 在 完全 多重 共线性 （ perfect
即：
1 X 11 1 X 12 X 1 X 1n X 21 X k1 X 22 X k 2 X 2 n X kn
中，至少有一列向量可由其他列向量（不包括第一列）线性表出。如 X2=kX1，则X2对Y的作用可由X1代替。
进产量的三次方，即：
Yi 0 1 X1i 2 X12i 3 X13i ui
在这种模型中，解释变量之间可能存在一定程度的多重共线性。
（4）样本资料的限制
由于完全符合理论模型所要求的样本数据较难收集，特定范
围内抽取样本可能存在某种程度的多重共线性。 进一步地讲，如果在实际应用中我们有足够多的样本，解释 变量的多重共线性程度就会大大降低。这就再次说明，多重共线 性本质上是样本问题。
jjjjjkkxcxxxxx??121122j????knkfkrfj计量经济学高教出版社王少平杨继生和欧阳志刚等编著17计量经济学高教出版社王少平杨继生和欧阳志刚等编著18计量经济学高教出版社王少平杨继生和欧阳志刚等编著19计量经济学高教出版社王少平杨继生和欧阳志刚等编著20计量经济学高教出版社王少平杨继生和欧阳志刚等编著213
1 2 2 x 1 r 1i
多重共线性
多重共线性多重共线性（multicollinearity ）的特征● 多重共线性是指一个回归模型中的一些或全部解释变量之间存在有一种“完全”或准确的线性关系：0...2211=+++k k X X X λλλ其中k λλλ,...,,21为常数，但不同时为零。
● 0...2211≈+++k k X X X λλλ， 近似的多重共线性● 通过巴伦坦图做简单的描述。
共线性部分可用两圆圈的重叠部分来衡量。
重叠部分越大，共线性程度越高。
● 我们定义的多重共线性仅对X 变量之间的线性关系而言，它们之间的非线性关系并不违反无多重共线性的假设i i i i u X X Y +++=2210βββ多重共线性的后果●如果多重共线性是完全的，诸X变量的回归系数将是不正确的，并且它们的标准误差为无穷大●如果多重共线性是不完全的，那末，虽然回归系数可以确定，却有较大的标准误差，意思是，系数不能以很高的精确或准精确加以估计，这会导致：-参数估计不精确，也不稳定-参数估计量的标准差较大，影响系数的显著性检验●多重共线性产生的后果具有一定的不确定性●在近似的多重共线性的情况下，只要模型满足CLRM 假定，回归系数就为ＢＬＵＥ，但特定的样本估计量并不一定等于真值。
多重共线性的来源（1）许多经济变量在时间上由共同变动的趋势，如：收入，投资，消费（2）把一些经济变量的滞后值也作为解释变量在模型中使用，而解释变量和滞后变量通常相关，如：消费和过去的收入多重共线性一般与时间序列有关，但在横截面数据中也经常出现多重共线性的检验● 多重共线性是普遍存在的，造成的后果也比较复杂，对多重共线性的检验缺少统一的准则－ 对有两个解释变量的模型，作散点图，或相 关系数，或拟和优度Ｒ平方。
－ 对有多个解释变量的模型，分别用一个解释 变量对其它解释变量进行线性回归，计算拟 和优度22221,...,,k R R R－ 考察参数估计值的符号，符不符合理论 － 增加或减少解释变量，考察参数估计值的变 化－ 对比拟和优度和ｔ检验值多重共线性的修正方法● 增加样本观测值，如果多重共线性是由样本引起的，可以通过收集更多的观测值增加样本容量。
多重共线性检验方法
多重共线性检验方法多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，导致回归模型估计的不稳定性和不准确性。
在实际的数据分析中，多重共线性经常会对回归分析结果产生严重影响，因此需要采用适当的方法来检验和解决多重共线性问题。
本文将介绍几种常用的多重共线性检验方法，帮助读者更好地理解和处理多重共线性问题。
1. 方差膨胀因子（VIF）。
方差膨胀因子是一种常用的多重共线性检验方法，它通过计算自变量的方差膨胀因子来判断自变量之间是否存在多重共线性。
方差膨胀因子的计算公式为，VIF = 1 / (1 R^2)，其中R^2是自变量对其他自变量的线性相关性的度量，VIF越大表示自变量之间的共线性越严重。
一般来说，如果自变量的VIF大于10，就可以认为存在严重的多重共线性问题。
2. 特征值和条件指数。
特征值和条件指数是另一种常用的多重共线性检验方法，它们是通过对自变量之间的相关矩阵进行特征值分解得到的。
特征值表示了自变量之间的共线性程度，而条件指数则可以用来判断自变量之间的共线性是否严重。
一般来说，特征值大于1或条件指数大于30就表示存在严重的多重共线性问题。
3. Tolerance（容忍度）。
容忍度是一种用来判断自变量之间共线性的指标，它是方差膨胀因子的倒数。
一般来说，如果自变量的容忍度小于0.1，就可以认为存在严重的多重共线性问题。
4. 相关系数和散点图。
除了上述的定量方法，我们还可以通过观察自变量之间的相关系数和绘制散点图来判断是否存在多重共线性。
如果自变量之间的相关系数接近1或-1，或者在散点图中存在明显的线性关系，就可能存在多重共线性问题。
5. 多重共线性的解决方法。
一旦发现存在多重共线性问题，我们可以采取一些方法来解决。
例如，可以通过删除相关性较强的自变量、合并相关性较强的自变量、使用主成分分析等方法来减轻多重共线性的影响。
此外，还可以使用岭回归、套索回归等方法来处理多重共线性问题。
总之，多重共线性是回归分析中常见的问题，需要及时进行检验和处理。
计量经济学名词解释与简答
1、完全共线性：对于多元线性回归模型，其基本假设之一是解释变量1x ，2x ，…，k x 是相互独立的，如果存在02211=+++ki k i i x c x c x c ，i=1，2，…，n ，其中c 不全为0，即某一个解释变量可以用其他解释变量的线性组合表示，则称为完全共线性。
2、虚假序列相关：由于随机干扰项的序列相关往往是在模型设定中遗漏了重要的解释变量或对模型的函数形式设定有误时而导致的序列相关。
3、残差项：是指对每个样本点，样本观测值与模型估计值之间的差值。
4、多重共线性：在经典回归模型中总是假设解释变量之间是相互独立的。
如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为多重共线性。
5、无偏性：是指参数估计量的均值（期望）等于模型的参数值。
6、工具变量：是在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量的变量。
7、结构分析：经济学中所说的结构分析是指对经济现象中变量之间关系的研究。
8、虚假回归（伪回归）：如果两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳），即它们之间没有任何经济关系，但进行回归也会表现出较高的可决系数。
9、异方差性：即相对于不同的样本点，也就是相对于不同的解释变量观测值，随机干扰项具有不同的方差。
10、计量经济学：它是经济学的一个分支学科，以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科。
11、计量经济学模型：揭示经济活动中各种因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述。
12、截面数据：是一批发生在同一时间截面上的数据。
13、回归分析：是研究一个变量关于另一个（些）变量的依赖关系的计算方法和理论，其目的在于通过后者的已知和设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。
14、随机误差项：观察值围绕它的期望值的离差就是随机误差项。
15、最佳线性无偏估计量（高斯-马尔可夫定理）：普通最小二乘估计量具有线性性、无偏性和有效性等优良性质，是最佳线性无偏估计量，这就是著名的高斯-马尔可夫定理。
完全多重共线性的情形
利用统计软件进行检验：一些统计软件（如SPSS、SAS等）提供了检 验完全多重共线性的方法，如条件指数法、特征根法等。
04
观察模型残差：如果模型残差存在明显的模式或趋势，则可能存在完 全多重共线性。
02
完全多重共线性的影响
对模型的影响
模型参数估计值不稳定
模型预测能力下降
在完全多重共线性的情况下，模型参 数的估计值会变得非常不稳定，因为 存在多个变量相互依赖，导致估计的 参数值波动很大。
02
在设定模型时，应避免过度拟合和过拟合，保持模型的简洁性
和可解释性。
在设定模型时，应充分考虑变量的选择和筛选，避免引入过多
03
的冗余变量和完全多重共线性的变量。
感谢您的观看
THANKS
在这种情况下，解释变量的矩阵X的秩 小于其列数，使得矩阵X无法通过逆矩 阵X^(-1)来求解模型参数。
完全多重共线性的判定
01
观察解释变量之间的相关性：如果解释变量之间存在完全的正相关或 负相关关系，则可能存在完全多重共线性。
02
计算解释变量之间的方差膨胀因子（Variance Inflation Factor, VIF）：如果VIF值大于10，则可能存在完全多重共线性。
解释性差
由于参数估计的不稳定性和模型诊断的失效，完全多重共线性导致 模型的解释性大大降低，很难清晰地解释自变量和因变量之间的关 系。
假设检验失去意义
在完全多重共线性的情况下，假设检验失去意义，因为任何变量的改 变都会对其他变量产生影响，导致检验结果不可靠。
03
完全多重共线性的识别
基于相关系数的识别
05
完全多重共线性的预防
增加样本容量
样本容量增加可以提供更多的数 据点，有助于减少估计的误差， 从而降低完全多重共线性的风险。
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什么是共线性或同线性（synteny或colinearity）？
植物基因组在染色体大小和数目上差异很大，在一些十字花科植物如拟南芥，只不过100 Mb 差异，而在百合属中竟高达100000 Mb。
但是基因的数目和类型并没有这样明显的差别。
不同植物基因组之间大小差异是由于基因组内存在重复DNA的缘故（多倍性这是一种原因）。
在植物进化过程中，基因组大小变化是一种相对频繁的事件，但这些变化并不与基因多少及顺序变化相关联。
基因数量及顺序的保守性称为同线性（colinearity），近来文献中越来越多地用共线性（synteny）来描述同线性（colinearity）和同源性（homeology）。
共线性或同线性是一种令个惊奇的现象，拟南芥（双子叶植物）和水稻（单子叶植物）是由2亿年前的共同祖先分枝进化而来的，但两个物种仍可检测到尽管比较低的共线性。
当不同禾本科植物基因组进行对齐和比较时，这种共线性就更加明显而有用。
比如在玉米中鉴定到的重要农艺性状如颗粒重、抗虫性等性状，也与水稻的基因组序列相关。
这使得鉴定这些性状的基因变得容易。
因为水稻基因组草图已经完成，许多数量性状位点（quantitative-trait loci，QTLs）也已经定位在水稻基因组图谱上。