一类具有双线性发生率的SIS传染病模型的稳定性
基于一类具有双线性发生率的传染病模型研究
当总人口数很大时,疾病的发生率一般为，这种发生率称为标准发生率.本文采用标准发生率。
1.2基本再生数
对于经典的传染病模型,有一个量R0被称为基本再生数,它表示在发病初期,当所有人均为易感者时,一个病人在平均患病期内所传染的人数。R0=1表示疾病是否消亡的阀值;当R0＜1,则表示一个病人在平均患病期能传染的最大人数小于1,这时疾病自然逐渐消亡;反之,若R0＞1,疾病将始终存在而形成地方病。
1传染病动力学的几个基本概念
1.1有效接触率、传染率和标准发生率
传染率是传染病动力学模型中的一个非常重要且不可缺少的项,设病人传染是通过与他人接触形成的,单位时间内一个病人与他人接触的次数称为接触率,它通常依赖环境中的总人口数N,记作U(N)。如果被接触者为易感者,就会有一定程度的传染,设每次传染的概率为β0,把赋有传染概率β0的接触称为有效接触,这时的接触率称为有效接触率,即β0U(N)。应当注意,一般来说总人口中除易感者和患病者之外还可能包含有疾病免疫者和潜伏者,当病人与非易感者接触时不会发生传染,而易感者S在总人口N中所占比例为S-N，因此,每一病人平时对易感者的有效接触率为β0U(N)S-N,也就是每一个病人平均对易感者的传染率,简称为传染率。从而，时刻单位时间内被所有病人传染的人(即新病人)数为
(2-1)
其中V0(t)表示0时刻具有免疫力到f时刻仍具有免疫力的被接种的个体数，函数V0(t)是非负的单调不增的分段连续函数。
根据实际背景，假设（2-1）的初始条件为
（4-2）
容易知道在初始条件下（4-2）对t≥0存在唯一的解。
2.3传染病模型应用分析
在经典SIR模型的基础上构建了一种具有接种免疫的SIR传染病模型，通过理论分析证明其渐近稳定性，讨论模型的无病平衡点和地方病平衡点.通过线性化方法和Lyapunov函数，得到如下结论：存在无病平衡点,当R1＞1时还存在唯一的地方病平衡点；，当R1≤1时P1在D上是全局渐近稳定的；当R1＞1时P2在D内是全局渐近稳定的.与传统的统计方法相比，利用该模型能够更好地了解流病平衡点全局渐近稳定性接种免疫
一类具有标准发生率的SI型传染病模型的全局稳定性
第２ ０卷第 ２期
２０ ０ ８年 ４月
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条件。
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应用微分方程定性理论 ，给出了该系统地 方病平衡 点 、无病平 衡点 和总人 口消亡平衡 点的全 局渐近稳 定的充分 关键词 ：Ｓ 传染病模 型；标准发生率 ；平衡点 ；全局稳定性 Ｉ 中图分类号 ：０ ７ ．２ １５ １ 文献标识码 ：Ａ
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ： Ａｎ ５ ｐ ｄ ｍｉ ｏ ｅ ｔ ｔｎ ｒ ｎ ｉ ｅ ｃ ａｅ ａ ｏ ｌｗ Ｓ ｉｖ ｓｉａｅ ｓｒ ｃ １ ｅ ｉ ｅ ｃ ｍ ｄ ｌｗｉ ｓａ ｄａ ｄ ｌ ｃ ｄ ｎ ｅ ｒ ｔ ｓｔ ｌｏ ｌ ｎ ｅ ｔｇ ｔ ｄ． ｈ
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文 章 编 号 ：１０ ２５ （０ ８ ２— ０ ２— ４ ０ ８— ９ ６ ２ ０ ）０ ０７ ０
一
类 具 有 标 准 发 生 率 的 Ｓ 型 Ｉ 传染病模型 的全 局稳定性
杜艳 可 ，徐 瑞
（ 军械工程学院基础部 ，河北 石家庄 ０００ ） ５０ ３
摘要 ：研究如下一类具有标准发生率 的 Ｓ 型传染病模型 Ｉ
项 目来源 ：军队科研计划项 目
作者简介 ：杜艳 可 （ ９７ １ ７ 一），女 ，硕 士，讲师
卢 卅，
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式 中 ： （） ， ｔ分 别 为 ｔ Ｓ ｔ ，（） 时刻 易感 者 和 染 病者 的数
一类具有阶段结构的SIS传染病模型的稳定性
一类具有阶段结构的SIS传染病模型的稳定性
宫兆刚;阳志锋
【期刊名称】《衡阳师范学院学报》
【年(卷),期】2009(30)6
【摘要】讨论了具有阶段结构并且含有出生函数的SIS传染病模型,研究了无病平衡点和正平衡点的局部稳定性和全局稳定性,得到了传染病最终消失和成为地方病的阈值.
【总页数】4页(P9-12)
【作者】宫兆刚;阳志锋
【作者单位】衡阳师范学院数学与计算科学系,湖南,衡阳,421008;衡阳师范学院数学与计算科学系,湖南,衡阳,421008
【正文语种】中文
【中图分类】R857.14
【相关文献】
1.一类具有时滞和阶段结构的SI传染病模型的稳定性分析 [J], 田晓红;徐瑞;马成军
2.一类具有阶段结构的SIRS传染病模型的稳定性 [J], 于宇梅;张秋娟
3.一类具有阶段结构的SIS传染病模型的稳定性分析 [J], 米晓丽;贾建文
4.一类具有阶段结构的SIS传染病模型的稳定性 [J], 刘芳;胡志兴
5.一类具有接种的阶段结构传染病模型的稳定性 [J], 程晓云;单文娟;张璟明
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一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇
一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题1一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题随着全球各地出现新型传染病的不断增多，防控传染病的研究成为了热点问题。
传染病模型是目前研究传染病防控的重要手段之一。
其中，SIR模型被广泛应用于传染病的研究中。
本文将从SIR模型的稳定性出发，进行一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题的探讨。
首先，我们介绍一类传染病模型的基本形式。
该模型包括三个部分：易感人群（S）、感染人群（I）和恢复人群（R）。
我们假设人口总数为N，初始时刻t=0时，有s0个易感人群、i0个感染人群和r0个恢复人群。
在接下来的时间内，易感人群可能感染，成为感染人群；感染人群可能恢复，成为恢复人群。
因此，易感人群的人数变化率为-dSI/dt，感染人群的变化率为dSI/dt-dIR/dt，恢复人群的变化率为dIR/dt。
其中，d表示变化速率，I=I(t)、R=R(t)、S=S(t)。
我们可以得到以下方程：dS/dt=-βSI/NdI/dt= βSI/N-γIdR/dt= γI其中，β表示感染人群对易感人群传播病毒的速率；γ表示感染人群从感染状态到康复状态的速率。
当病毒传染率和治愈率确定后，模型的稳定性成为了一个重要的问题。
对于该模型的稳定性分析，我们引入李雅普诺夫函数法，采用线性稳定性分析，得到以下结果：当易感人群初始密度大于R0时，该模型为不稳定模型，传染病会持续地传播；当易感人群初始密度小于R0时，该模型为稳定模型，传染病将最终消失。
其中，R0=βN/γ表示病毒的基本再生数，即每个感染者能将该病毒传染给多少个易感者。
在了解该模型的稳定性后，我们进一步探讨如何最优地控制传染病的传播。
最优控制是指通过合理的控制策略来使系统达到最优状态的问题。
本问题中，最优控制即使得病毒传播最小的控制策略。
我们将控制方案分为两种：一是加强个人防护措施，减少感染率β；二是提高诊治能力，加快病人康复速度γ。
几类传染病模型的稳定性分析
摘 要传染病模型是生物数学研究的主要内容，运用传染病动力学知识，建立传染病数学模型，并进行数值模拟，得到传染病的传播规律，分析传染病爆发和流行的主要原因，从而找到预防传染病的最好方法。
本文的主要研究内容如下：首先，建立了一类具有CTL 免疫的乙肝病毒模型，研究分析了该模型的平衡点的动态稳定性，利用谱半径的方法求出基本再生数0R 。
当01R ≤时，通过构造Lyapunov 函数，利用Lassalle 不变性原理验证了系统无病平衡点的局部稳定性；当01R >时，研究分析了系统地方病平衡点的局部渐近稳定性。
再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。
其次，研究了一类具有时滞和饱和发生率的乙肝病毒模型，考虑到感染细胞的恢复率，分析确定了疾病是否流行的阈值0R ，通过构造Lyapunov 函数，利用Lassalle 不变集原理证明了当01R <时，对于任意时滞，系统在无病平衡点处是全局渐近稳定的；当01R >时，分析了地方病平衡点的局部渐近稳定性。
再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。
最后，研究了一类带有接种的非线性发生率的传染病模型，分析了该模型的平衡点的动态稳定性，得到了疾病流行与否的阈值0R 。
假设所有输入者都是易感者，当01R <时，通过构造Lyapunov 函数，验证了无病平衡点的全局渐近稳定性；当01R >时，利用Hurwitz 判据证明了地方病平衡点的局部渐近稳定性。
再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。
关键词：传染病模型，HBV ，时滞，Lyapunov 函数，稳定性ABSTRACTInfectious disease model has been the main content of mathematical biologyresearch, based on the dynamic analysis and numerical simulation can show the process of development of infectious diseases, propagation reveal and prediction of infectious diseases, analysis of the causes of disease outbreaks and the key factors, so as to find the optimal strategy for the prevention and control of infectious disease. The main contents of this paper are as follows:Firstly, a kind of hepatitis B virus model with CTL immunity is established, andthe dynamic stability of the equilibrium point is analyzed, the threshold of disease prevalence is obtained, that is, the basic reproduction number 0R . When 01R ≤, by constructing Lyapunov function, it is proved that the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable by using Lassalle invariance principle;When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. Then, the theoretical results are verified by numerical simulation with appropriate parameters.Secondly, a class of hepatitis B virus model with delay and saturation incidence isstudied. Considering the recovery rate of infected cells, the threshold of disease is determined 0R , by constructing Lyapunov function, The Hurwitz criterion is used to prove when 01R <, for any delay, the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable, at this point the disease died out. When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. Then, the theoretical results are verified by numerical simulation with appropriate parameters.Finally, an epidemic model with nonlinear incidence rate is studied,the dynamicstability of the equilibrium point of the model is obtained, the threshold of disease is determined 0R .Assume that all inputs are susceptible, When 01R <, by constructing Lyapunov function, it is proved that the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable; When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. The theoretical resultsKey words: Infectious disease model, HBV, delay, Lyapunov function, stability目录第一章引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 主要研究内容 (4)1.4 知识预备 (5)1.4.1 Hurwitz判据 (5)1.4.2 Lassalle不变性原理 (5)第二章一类具有CTL免疫的乙肝病毒模型的稳定性分析 (7)2.1模型的建立 (7)2.2平衡点和基本再生数 (8)2.3无病平衡点的局部和全局稳定性 (8)2.4地方病平衡点的局部渐近稳定性 (10)2.5数值模拟 (11)2.6 本章小结 (14)第三章具有时滞和饱和发生率的乙肝病毒模型的稳定性分析 (15)3.1模型的建立 (15)3.2平衡点和基本再生数 (16)3.3无病平衡点的局部和全局稳定性 (16)3.4地方病平衡点的局部稳定性 (19)3.5数值模拟 (21)3.6本章小结 (25)第四章带有接种的非线性发生率的传染病模型的稳定性分析 (26)4.1 模型的建立 (26)4.2模型的分析 (26)4.3 无病平衡点的稳定性 (27)I4.3.2 无病平衡点的局部以及全局稳定性 (27)4.4地方病平衡点的局部稳定性 (29)4.5数值模拟 (31)4.6本章小结 (32)结束语 (33)参考文献 (34)攻读硕士学位期间研究成果 (39)致谢II第一章引言1.1 研究背景传染病[1-3]，人类文明的产物，并对人类文明产生了巨大而深刻的影响，比起历史上一些大的战争、暴乱等，传染病的影响可能更甚。
一类具有双线性发生率的时滞 SVIR 模型的动力学行为
一类具有双线性发生率的时滞 SVIR 模型的动力学行为黄华英;陈伯山;龚纯浩;石栋梁【摘要】研究了一类具有双线性发生率的时滞SVIR传染病模型。
以时滞为参数，运用时滞微分方程的稳定性理论得到正平衡点局部稳定和Hopf分支存在的充分条件，应用标准型理论和中心流形定理导出分支周期解属性的公式，最后数值模拟证明结果。
%An SVIR model with time delay and a bilinear incidence rate is considered .By choosing time delay as the bifurcation parameter and analyzing the corresponding characteristic equation ,the local stability of the positive equilibrium is investigated and the existence of Hopf bifurcations is established .Formulas are derived to determine the direction of bifurcations and the stability of bifurcating periodic solutions by using the normal form theory and center mainfold theorem.Numerical simulations are carried out to illustrate the main theoretical results .【期刊名称】《湖北师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(036)001【总页数】8页(P71-77,98)【关键词】时滞;Hopf分支;基本再生数;稳定性;分支方向【作者】黄华英;陈伯山;龚纯浩;石栋梁【作者单位】湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石 435002;湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石 435002;湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石435002;湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石 435002【正文语种】中文【中图分类】O175.12近年来，传染病模型中引入时滞恰当地描述了疾病从感染到发病以及个体从接种到再次成为感染者的这些现象，深入而详尽地考虑了传染病流行过程中潜伏期的问题.经研究时滞能破坏SIRS模型的稳定性并且使其产生Hopf分支[1-4].而在传染病的模型中，发生率起到关键的作用，经典疾病传播的模型都假定传染率是线性的[5～6].因此,本文考虑一类具有双线性发生率的时滞SVIR传染病模型的动力学行为. 为了方便起见,基本发生率选取经典传染病模型中经常采用的最简单物质作用率-双线性形式.如文献[7]所述,Li研究了一类具有双线性发生率的SVIR模型这里A是易感者增加的人数(由于新生或者移居)，β和βδ(0<δ<1)分别表示易感染人群和接种人群中的疾病传播率，假设自然死亡率是常数μ，γ是感染者的恢复率, q(0≤q≤1)表示新生儿中接种疫苗率; p(0≤p≤1)表示易感染人群的接种疫苗率; ε表示接种人群中失去免疫能力的比例.有关这个模型的详细描述和生物动力学意义见文献[7].模型(1)中的所有相关参数和状态变量都是非负数.据了解系统(1)中最后一个等式不依赖前三个等式，不失一般性，这个等式可以被忽略.所以系统(1)等价于本文在模型(2)的基础上考虑具有潜伏期的传染过程对流行病的影响.τ>0表示疾病的潜伏期，其他状态变量和参数与系统(1)保持一致.系统(3)的初始条件是S(θ)=Φ1(θ)>0,V(0)=V10≥0,I(θ)=Φ2(θ)≥0,(-τ≤θ≤0)本文以时滞τ为参数,对系统(3)进行分析.在第1节,以Cooke[8]的方法为基础,讨论(3)的稳定性及Hopf分支的存在性;在第2节,利用Hassard[9]等所介绍的规范型理论,讨论了有关(3)的Hopf分支方向和分支周期解的稳定性;最后数值模拟验证所得理论结果.容易验证,若基本再生数 R0>1即,则系统(3)有唯一的正平衡点E*=(S*,V*,I*) 其中c0=σ(μ+γ)c1=(μ+γ)[(μ+ε)+σ(μ+p)]-βσAc2=(μ+γ)[(μ+ε)+(μ+p)-pε]-βA[ε+μ-μ2q+σ(p+μ2q)]=μ(μ+γ)(μ+p+ε)(1-R0)在E* 处的特征方程是一个三次超越多项式方程λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0p2=μ(μ+ε+βσI*)+p(μ+βσI*)+β2σ2I*V*p3=(μ+p)(μ+ε+βσI*+β2σ2I*V*)+εβ2σI*V*q1= βI*q2= βI*(μ+ε+βσI*+βS*)q3=βI*[(μ+ε+βσI*+β2σ2I*V*)+pβσS*+βS*(μ+ε+βσI*)]当τ=0时(5)即为λ3+(p1+q1)λ2+(p2+q2)λ+(p3+q3)=0当τ>0时,令(6)的根是λ=iω(ω>0),分离实部和虚部，得记,当△>0时,方程 f'(y1)=0有2个实根,分别记为1)若 l<0,则方程至少有一个正根;2)若l ≥0,△≤0,则方程没有正根;3)若l ≥0,△>0,则方程有正根当且仅当且.假设方程(9)有正根,最多有3个正实根,即特征方程(5)有一对型如λ=±iω的纯虚根.把ω=ω0代入(7)解出τ，我们可以得到相应的τk>0,k=1,2,…使得为了分析分支情况，时滞τ作为时滞参数.令λ(τ)=α(τ)+iω(τ)(ω>0)是特征方程(7)的根，α(τ0)=0,ω(τ0)=ω0是分支参数τ0的一些初始值.证明λ(τ0)=iω0是一个单根，.反证法，假设λ(τ0)=iω0不是(7)的一个单根,(7)关于τ求导下面证明τ=τ0>0.由特征方程(11)得当- l>0时符号为正，即τ=τ0>0.综上所述，当τ从小于τ0微小地增加到大于τ0时特征方程(5)的根从左到右横截穿过虚轴.因此，在τ=τ0时满足Hopf分支产生的条件.根据以上分析可以获得以下定理:1)若l ≥0，△≤0,则对所有的τ≥0，时滞模型(3)的正平衡点E* 是局部渐近稳定的;2)若 l<0则,对τ∈[0,τ0), E*是局部渐近稳定的;3)若2)的条件成立,同时,当τ=τ0时系统(3)在E* 附近产生Hopf分支.在第1节中我们得到了当τ=τ0时时滞系统在正平衡点E*处会产生Hopf分支的条件. ±iω0是E*处相应特征方程的一对纯虚根.然而定理1不能确定分支周期解的稳定性和方向，即当τ0<τ且τ在τ0附近时周期解也许存在.所以这个部分通过Hassard[3]介绍的规范型理论和中心流形定理分析时滞模型的分支周期解的方向、稳定性和周期.令,简化后,(3)等价于以下C=C([-1,0],R3)泛函微分方程u'(t)=Lμ(ut)+f(μ,ut)u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈R3,Lμ:C→R3,f:R×C→R3f(μ,φ)=(τ0+μ)(f1,f2,f3)Ta23=-βσV*,a31=βI*,a32=βσI*,b11=-βI*,b13=βS*f1=-βφ1(-1)φ3(-1),f2=-βσφ2(0)φ3(0)f3=βφ1(0)φ3(0)+βσφ2(0)φ3(0)由Riesz表示定理，存在分量为有界变差函数的三阶矩阵η(θ,μ)使得对任意的θ∈[-1,0],φ∈C,有u't=A(μ)ut+R(μ)ut我们首先需要计算出 A(0),A*关于iω0τ0和 -iω0τ0的特征向量分别是且<v*(s),v(θ)>=1,其中接下来.与Hassard[3]相同的，我们先计算μ=0时的中心流形C0 .令ut 是μ=0时(21)的解，且定义z(t)=<v*,ut>在中心流形C0 上，事实上，分别是是中心流形C0 在v* 和*方向上的局部坐标，如果ut 是实的那么W 也是实的.这里只考虑实数解的情况.既然μ=0时,(21)的解ut ∈C0，则z'(t)=g21=上面方程与(37)比较系数可得由 A(0)的定义及(38)知，因此， E1,E2可分别通过解线性方程组(46)和(47)来确定,从而得到(42),(43)的W20(θ),W11(θ)，于是可以用参数和时滞来表示(35)的g21 .由以上分析，(32)-(34)中,g20,g11,g21 都可由系统的参数来表示，所以，我们能计算得出以下值：由文献[9]中的一般性定理知道μ2决定Hopf分支方向:如果μ2>0(<0)，Hopf分支是超临界(亚临界)的; β2决定分支周期解的稳定性：如果β2<0(>0)那么分支周期解是稳定(不稳定)的; T2决定分支周期解的周期：如果T2>0(<0) 那么周期增加(减少).考虑以下系统经计算系统(3)存在唯一的正平衡点E*=(0.3085,0.5831,1.6828) .此时R0≈ 3.3>1和( μ-1)(μ+p)(μ+ε+βσI*)>(1-σ)εβI*βσV*同时成立,特征方程(5)有一对纯虚根λ≈±3.157i,从而τ0≈0.4713 .由定理1可知,当τ>τ0时,系统(3)的正平衡点E* 是不稳定的;当0<τ<τ0时,系统(3)的正平衡点E* 是局部渐近稳定的;当τ=τ0时,系统(3)的正平衡点E* 附近发生Hopf分支现象.根据以上我们讨论的情况可以计算出: C1(0)≈-3.7274-18.9295i;μ2=-0.8809<0;β2=-7.4548<0;T2=15.1005>0. 因此,系统(3)在正平衡点E*处发生的Hopf分支是亚临界的,其周期解是稳定的,周期增加.。
具有潜伏期和双线性发生率的SEIR传染病模型的全局稳定性
具有潜伏期和双线性发生率的SEIR传染病模型的全局稳定性薛春荣【摘要】In this paper a kind of SEIR epidemic model with latency and bilinear rate is constructed,and threshold of disease extinction or not is obtained. The existence and global stabilities of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium are proved.%建立了一类具有潜伏期和双线性发生率的SEIR传染病模型，得到疾病绝灭与否的阈值R0.证明了当R0<1时，模型惟一的无病平衡是全局渐近稳定的，疾病最终绝灭；当R0>1时，模型的地方病平衡点是全局渐近稳定，疾病将持续.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2014(000)012【总页数】4页(P2444-2447)【关键词】潜伏期;SEIR模型;阈值;全局稳定性;轨道渐近稳定【作者】薛春荣【作者单位】渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714000【正文语种】中文【中图分类】O193近年来随着气候的变迁和生态的破坏，许多新的突发性疾病对人类的生存和社会经济发展构成很大威胁，对这些新的突发疾病的研究就显得更加重要和迫切，利用数学模型［1］分析和研究传染病的传播规律已经成为流行病动力学领域的一个研究热点.许多情况下染病者在发病之前有一定的潜伏期（如肺结核，艾滋病等），因此对具有潜伏期的SEIR［2-9］传染病模型研究具有重要的理论和实际意义.在本文中，把总人口分为易感类S（t）、潜伏类E（t）、染病类I（t）和移出类R（t）；我们假设对所有易感人群进行接种免疫，θ（0＜θ＜1）为免疫率，即表明易感者由于接种疫苗后一部分不再被传染直接进入移出类；假设该疾病不足以引起致命，d为自然死亡率；βSI为疾病的发生率；ε为潜伏类进入染病类的转化率；δ为染病者有免疫力的恢复率；c为染病者无免疫力的恢复率；A为人口输入常数. 总人数N（t）=S（t）+E（t）+I（t）+R（t），满足定理1 R0≤1时，无病平衡点在Γ上是全局渐进稳定的；当R0＞1时，无病平衡点P0是不稳定的.证明根据Lassale不变集原理易知无病在Γ上是全局渐进稳定的.定理2 当R0＞1时，系统（3）的地方病平衡点P*（S*，E*，I*）在Γ上局部渐进稳定.其中：当R0＞1时，a1＞0，a2＞0，a3＞0，a1a2-a3＞0，根据Routh-Hurwitz判据知，R0＞1时系统（3）的地方病平衡点P*（S*，E*，I*）在Γ上局部渐进稳定.定理3 当R0＞1时，系统（3）的地方病平衡点P*（S*，E*，I*）在Γ上全局渐进稳定.为了证明定理3需要以下引理.引理1［9］若非线性系统满足下列条件：①在D内存在一个紧吸引子集K⊂D，且在D内有唯一平衡点xˉ∈D；②xˉ是局部渐进稳定的；③该系统满足Bendixson性质；④该系统的每一个周期轨道是轨道渐近稳定的，则唯一的平衡点xˉ在D内是全局渐近稳定的.引理2［9］若非线性系统故系统（3）在可行域内是竞争系统，因而该系统满足Bendixson性质，即引理1的条件3.下面我们用引理2证明系统（3）的每一个周期轨道是轨道渐近稳定的.证明系统（3）的Jacobian矩阵为式（4），其第二加性复合矩阵为故系统（3）的二阶复合系统是渐近稳定的，由引理2知，系统（3）满足引理1的条件（4）.至此已验证系统（3）满足引理1的全部条件，故地方病平衡点是全局渐近稳定的.【相关文献】［1］马知恩，周义仓，王稳地，等.传染病动力学的数学建模与研究［M］.北京：科学出版社，2004.［2］ Hale J K.Ordinary differential equations［M］.New York：John Wiley&Sons，1969. ［3］胡新利，周义仓.具有潜伏和隔离的传染病模型的全局稳定性［J］.生物数学学报，2009，24（3）：461-469.［4］徐文雄，张太雷.一类非线性SEIRS流行病传播数学模型［J］.西北大学学报：自然科学版，2004，34（6）：627-630.［5］徐文雄，张仲华，徐宗本.具有一般形式饱和接触率SEIS模型渐进分析［J］.生物数学学报，2005，20（3）：297-302.［6］张辉，徐文雄.一类潜伏期和染病期均传染SEIS模型的渐进定性分析［J］.陕西师范大学学报：自然科学版，2008，36（6）：5-9.［7］申素慧，原三领.一类总人数变化的SEIR和SEIS组合传染病模型［J］.上海理工大学学报，2009，31（3）：223-227.［8］ Fiedler M.Additive compound matrices and inequality for eigenvalues of stochastic matrices［J］.Czech Math J，1974，99：392-402.［9］ Li M Y，Muldowney J S.Global stability for the SEIR model in epidemiology［J］.Math Biosci，1995，125（2）：155-164.。
一类具有双线性发生率的传染病模型 毕业设计论文
一类具有双线性发生率的传染病模型摘 要：本文研究了一类具有因病死亡因素的SIR 传染病模型和一类具有接种免疫的SIR 传染病模型. 具有因病死亡因素的SIR 传染病模型中，讨论了模型的无病平衡点和正平衡点的稳定性，通过线性化方法和构造合适的Lyapunov 函数, 得到如下结论：当01R ≤时，无病平衡点0E 是全局渐近稳定的；当01R >时，0E 不稳定；当01R >时，正平衡点E +是全局渐近稳定的.同时，在经典SIR 模型的基础上构建了一种具有接种免疫的SIR 传染病模型，利用数值分析的方法对其传播过程进行研究，通过理论分析证明其渐近稳定性．与传统的统计方法相比，利用该模型能够更好地了解流行过程中的一些全局性态．关键词：SIR 传染病；无病平衡点；全局渐近稳定性；接种免疫An Sis Epidemic Model With Bilinear Incidence RateAbstract: We investigate an SIR epidemic model with disease-reduced death rate. Then the stability of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium is discussed. By the linearization method and using Lyapunov functions, we obtain the following results: when the basic reproduction number 01R ≤, the disease-free equilibrium 0E is globallyasymptotically stable; while 01R >，0E is unstable, and the endemic equilibrium E + is globally asymptotically stable. At the same time, based on the traditional SIR model to construct a SIR epidemic model with vaccination, using the numerical analysis method to study the propagation process, through theoretical analysis proves the asymptotic stability. Compared with the traditional statistical methods, using the model to better understand the epidemic process in some global behavior.Key words: SIR model ； Disease-free equilibrium ；Global stability ；Vaccination目录1 绪论 (1)1.1 论文研究的背景及意义 (1)1.1.1 研究的背景 (1)1.1.2 国内外研究现状 (4)1.2 研究的主要内容 (4)1.3 采用的方法、手段以及步骤等 (4)2 SIR模型简介 (5)2.1 传染病动力学的基本概念 (6)2.1.1 传染病动力学模型的提出 (6)2.1.2 SIR仓室模型 (6)2.2 相关定义和理论 (8)2.3 本章小结 (10)3 具有因病死亡因素SIR模型及稳定性分析 (11)3.1 具有因病死亡因素SIR模型的建立 (11)3.1.1 模型概述 (11)3.1.2 传染病流行的框图 (12)3.1.3 SIR传染病模型的建立 (12)3.2 无病平衡点的稳定性 (12)3.3 正平衡点的稳定性 (13)3.4 本章小结 (16)4 带有接种免疫的传染病模型 (17)4.1 带有接种免疫的传染病模型的建立 (17)4.1.1 模型概述 (17)4.1.2 相关参数 (17)4.2 对带有接种免疫的传染病模型的稳定性分析 (19)4.2.1 对时滞微分系统的分析 (19)4.2.2 对无病平衡点的稳定性分析 (19)4.2.3 对地方平衡点的稳定性分析 (20)4.3 本章小结 (21)5 总结 (22)参考文献 (22)致谢 (23)1 绪论1.1 论文研究的背景及意义1.1.1 研究的背景世界卫生组织(WHO)发表的世界卫生报告表明，传染病依然是危害人类健康的第一杀手.传染病对人类的生产生活产生了巨大影响.回顾传染病的历史，传染病给人类带来的死亡，或者创伤比战争的总和还要大.首先从历史上看，最严重的瘟疫是古希腊在雅典发生的瘟疫；然后是六世纪的时候，东罗马拜占庭发生鼠疫；接下来是十二、十三世纪的时候，欧洲又兴起一个麻风病，到了十四世纪的时候，欧洲发生了一次非常大的鼠疫，也称为黑死病，当时整个欧洲流行鼠疫，死亡了两千万人，造成非常恐怖的一种景象.在记忆当中，我们国家也发生过大的流感，1957年有一次非常大的流行，到了1968年又有一次，到1998年又有一次，都是全世界范围的，相当大范围的一种流行.那么，究竟传染病的传播规律是什么?它是如何持续下去并发展成为地区性疾病的?此种疾病怎样才会最终消亡，染病个体怎么样才能恢复健康等一系列问题都是人们十分关注的问题.由此可见我们必须对生态及传染病进行研究，对于我们的研究方向来说，就是用动力学的方法对种群生态学和传染病的传播规律进行研究，研究种群、传染病随时闻的演变规律以及种群、传染病与周围环境之间的关系.具体地说就是研究随着时间的推移种群是持续生存还是走向灭绝，传染病是继续传播还是消失，种群的规模和传染病的传播是否具有平衡态，这种平衡态是否稳定，是动平衡还是静平衡？环境的变迁(如污染、病菌和人为的破坏)将对种群和传染病产生怎样的影响等问题，这些问题用动力学的方法来研究就转化为种群动力学模型和传染病动力学模型(包括微分动力系统模型和时滞微分系统模型)解的存在唯一性、渐近性、振动性、稳定性和极限环等问题，而分支的存在性，就使得自然界的变化规律显得更加复杂，其实这也是符合客观事实的，从某种意义上说全局稳定是一种理想化的结果，分支和混沌的存在才是自然界发展变化的规律，疾病的传播也是如此.所以，对分支的研究就更加必要.通过对种群生态动力系统和传染病动力系统的研究，我们可以对种群进行合理的开发、利用、控制和保护，对传染病进行合理的控制、预防和治疗.因此，研究种群动力系统和传染病动力系统，不论在理论上还是实际生活中都有重要的指导意义.随着社会经济的发展和人民生活水平的提高，传染病仍然是威胁人类健康的第一大杀手.从卫生部公布的全国法定报告传染病疫情中就能看出端睨. 2004年全国甲、乙类传染病发病总数为318万多例，死亡7151例.发病数居前5位的病种为：肺结核、乙型肝炎、痢疾、淋病、甲型肝炎，占发病总数的85.01%，死亡数居前五位的病种依次为：狂犬病、肺结核、乙型肝炎、艾滋病、新生儿破伤风，占死亡总数的82.65%.卫生部公布的05年3、4季度法定传染病疫情甲、乙类发病数居前五位的病种为肺结核、乙肝、痢疾、淋病、梅毒.死亡数居前五位的病种依次为：肺结核、狂犬病、艾滋病、乙肝、乙脑或出血热.发病数和死亡数居前五位的传染病，均是危害民众健康主要的和重大的传染病.尽管从中央到地方各级政府和卫生管理、医疗部门采取一系列重大措施加以防治，但每位公民从自身做起，主动健康和主动防治是必不可少的.结核病是历史上对人类健康危害最大的疾病之一.在19世纪，“白色瘟疫”—肺结核（痨病）曾无情地夺走了无数人的生命.直到1945年特效药链霉素的问世才使肺结核不再是不治之症.随着抗生素、卡介苗和化学药物的问世，肺结核一度得到很好控制.但是近年来肺结核却在全球死灰复燃.自2000年以来全球每年有200万人死于肺结核，近千万人新感染结核病.我国目前约有5.5亿人感染过结核菌，感染率达44.5%.全国有活动性肺结核病人达500多万人，居世界第二，且80%患者在农村.每年全国新发生患者约145万人，有13万死于结核病及其并发症，约有1/4患者呈耐药性.自05年3月份起肺结核首次超过狂犬病成为甲、乙类传染病死亡率最高的病种.由于肺结核病菌的抗药性和结核杆菌的变异，提高了这种疾病的威胁，让肺结核成为致命的传染病.没有治疗过的结核病人是最危险的传染源，而结核病患者一经治疗其传染性可迅速降低.因此，发现和及时治疗结核病人是防治的头等大事.讲究卫生，不随地吐痰，儿童期接种卡介苗，劳逸结合，加强锻炼等均可较好地预防结核病.我国是乙肝高发区，人群感染率达60%左右，其中10%成为慢性乙肝病毒携带者.因此全国大约有7亿多人曾经感染过乙肝病毒，其中约1.3亿人是乙肝病毒携带者.在乙肝病毒携带者中，约25%的人最终将转化为慢性肝炎，包括肝硬化和肝癌，每年因此死亡约30万例，其中一半是因肝癌而死亡.因无特效药治疗乙肝，一旦发病只能对症治疗，全国一年用于肝炎治疗直接费用超过1000亿元.一个人如果感染了乙肝病毒，不仅严重影响身心健康，干扰正常生活，影响升学、就业、婚姻，还给家庭带来沉重的经济负担.同时慢性乙肝病毒携带者外表上看不出有病的样子，本人也没有不舒服的感觉，但这些人可以把病毒传给健康人.乙肝病毒主要通过血源性传播、母婴传播、医源性传播、性接触传播和密切性传播等途径传播疾病.只要及早接种乙肝疫苗，注意切断传播途径，乙肝是可以很好的预防的.狂犬病又称疯狗病、恐水症，是由狂犬病毒感染人引起的疾病，表现为急性、进行性、几乎不可逆转的脑脊髓炎.犬伤者经过二至八周潜伏期才会发病，也有的长达数十年才发病，一旦发病，病死率高达100%.狂犬病毒是人畜共患的急性传染病，除狗和猫可以传染外，狐狸、狼、猪、鼠、兔、牛和蝙蝠等很多动物都可传染狂犬病，一些表面上“健康”的狗可能带有狂犬病毒.近年来我国狂犬病发病数持续快速上升，一个主要的原因是城乡各地养犬数大量增加，而犬的免疫接种率却很低，管理中漏洞多，犬伤人事件时有发生，且有相当多的人在被犬伤后没有按规范处理伤口，没接种狂犬病疫苗和抗血清，致使狂犬病成为传染病死亡的主要疾病之一.在05年3月以前，连续7年狂犬病死亡率一直处于我国法定传染3 病的第一位.每年我国因被动物咬伤接种狂犬病疫苗人数约800—1000万人，处理伤口、注射疫苗与抗血清等直接药费约15—20亿元.狂犬病的流行不仅是一个健康的问题，更与社会的文明和法规健全有直接的关系.要防止狂犬病的流行，首先要做到狗的管理和免疫工作，家养宠物应定期注射动物疫苗.人被动物咬伤或抓伤应立即处理伤口并注射疫苗.狂犬病是“可防不可治”的疾病，做好预防工作尤为重要.例如艾滋病是一种病死率极高的严重传染病，目前还没有治愈的药物和方法，但可以预防.艾滋病医学名称为“获得性免疫缺陷综合征”（AIDS），是由艾滋病毒（HIV）引起的一种严重传染病.艾滋病毒通过性接触、血液及其制品、母婴传播疾病，病毒侵入人体后破坏人的免疫功能，使人体发生多种难以治愈的感染和肿瘤，最终导致死亡.艾滋病病毒感染者的血液、精液、阴道分泌液、乳汁、伤口渗出液中均含有大量艾滋病毒，具有很强的传染性.感染者经过7—10年间的潜伏期可发展为艾滋病病人，在此之前外表看上去正常，可以没有症状的生活和工作，但能将病毒传染给其他人.我国于1985年发现首例艾滋病到现在已达84万.艾滋病感染者年增长速度40—58%.与国家和各级政府提出的艾滋病感染率年增长10%的控制目标相距甚远.如果控制不好到2010年我国将有 1000万艾滋病毒感染者.艾滋病带来的早死和残疾、期望寿命降低、沉重的家庭和社会负担以及严重损害综合国力的提高和国家的国际声誉已是不争的事实.而艾滋病更是一个关系民族振兴乃至国家安全的政治问题，每一位公民应该以高度的社会责任感和政治责任感来重视和开展预防工作，才能遏制艾滋病的传播.性病是一种通过性传播的疾病，包括淋病、梅毒、生殖器疱疹、艾滋病等.新中国成立后，由于政府十分重视性病的防治工作，性病曾在20世纪50年代中期迅速减少和消失.但从1980年以来，性病在我国重新出现，并迅速蔓延.性病是危害人类最严重、发病最广泛的一种传染病，它不仅危害个人健康，也殃及家庭，遗害后代，同时还危害社会.性病的流行已对人们的健康和社会发展构成了严重威胁.性病对人体健康的损害是多方面的，得病后若不能及时发现并彻底治疗，可损害人的生殖器官，导致不育，还可损害心脏、脑甚至死亡.有些性病一旦染上难以治愈.还有相当一部分性病患者症状较轻或没有任何明显症状，却可以通过性病传播途径传给其他健康人.性病防治是一项社会性很强的工作，在动员社会各方面齐抓共管，综合治理同时，加强性病知识的普及教育，提高人们的自我防护能力，是预防和控制性病的有效方法.人类跟传染病做斗争的历史，到现在这个阶段取得了非常大的胜利.从传染病的历史，以及人跟传染病做斗争的历史里边我们得到这样三个方面的启示：第一个，传染病是将长期存在，一定要有这个思想准备.因为我们人类和微生物和其他的生物都是在这个自然界共存的，它们之间是一个相生相克的这样互相制约的这样一个作用，所以应该说是一个长期存在的.第二个启示，就是现代科学的发展，根本改变了人类与传染病力量的对比.那么最后我要讲的第三个启示，充分重视传染病，了解它们，用科学的方法去对抗，例如传染病动力学.目前全球60亿人口中约有半数受到各种不同传染病的威胁.因此对各种传染病的传播机理的研究就显得极其紧迫.1.1.2 国内外研究现状目前，对传染病的研究主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究.传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，预测其变化趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其预防和控制的最优策略，为人们防制决策提供理论基础和数量依据. 与传统的统计方法相比，动力学方法能更好地从疾病的传播机理方面来反映流行规律，能使人们了解流行过程的一些全局的性态.传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真等方法相互结合、相辅相承，能使人们对传染病流行规律的认识更加深入全面，能使所建立的理论与仿控策略更加可靠和符合实际.近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题.这些数学模型大多使适用于各种传染病的一般规律的研究.1.2 研究的主要内容本文旨在结合基本的SIR 模型，引入因病死亡因素构造新的SIR 模型，并考虑基于经典的双线性传染率的SIR 模型，建立一类具有接种的SIR —V 传染病模型，并进行定性分析.主要是平衡点的全局稳定性分析.1.3 采用的方法、手段以及步骤等本文研究了一类具有双线性发生率的SIR 传染病模型，考虑了疾病的因病死亡因素，讨论了模型的无病平衡点和正平衡点的稳定性，通过线性化方法和构造合适的Lyapunov 函数，得到如下结论：当01R ≤时，无病平衡点0E 是全局渐近稳定的，当01R >时，0E 不稳定；当01R >时，正平衡点E +是全局渐近稳定的.同时考虑基于经典的双线性传染率的SIR 模型，建立一类具有接种的SIR —V 传染病模型，讨论模型的无病平衡点和地方病平衡点.通过线性化方法和Lyapunov 函数，得到如下结论：存在无病平衡点111(,)(,0)(1)d A P S I d pe -τ=+-.当11R >时还存在唯一的地方病平衡点22211(,)(,(1))d A P S I d R +α+γ=-β+α+γ，当11R ≤时1P 在D 上是全局渐近稳定的；当11R >时2P 在D 内是全局渐近稳定的．2 SIR 模型简介2.1 传染病动力学的基本概念2.1.1 传染病动力学模型的提出传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性，疾病发生和种群内传播的规律以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性定量分析和数值模拟来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其预和控制的最优策略，为人们防止疾病提供理论基础和数量依据.与传统的生物统计学方法相比，动力学方法能更好的从疾病的传播机理方面来反映流行规律，能使人们了解传染病中的一些全局动态.传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真的相互结合、相辅相成，能使人们对疾病流行规律的认识更加深入、全面，能使所建立的理论与防治策略更加可靠和切合实际.早在1760年，D．Bernoulli曾用数学研究过天花的传播．但是20世纪初确定性的传染病模型的研究才开始．1906年Hamer为了研究荨麻疹的反复流行，构造了一个离散型的时间模型．获得两次诺贝尔奖的Ross博士利用微分方程研究了痢疾在蚊子和人类之问传播的动态行为．1926年．Kermack和McKendrick为了研究1665到1666年的黑死病在伦敦的流行规律以及1906年的瘟疫在孟买的流行规律，构造了著名的SIR仓室模型，又在1932年提出了SIS模型，在分析模型的基础上提出了区分疾病流行与否的“阀值理论”，为传染病动力学的发展奠定了基础.传染病动力学的建模和研究于二十世纪中叶开始蓬勃发展，作为标志性的著作是Bailey于1957年出版的专著《数理流行病学》.优化控制的方法也常被用于传染病动力学的研究.近年来，国际上传染病动力学的研究被用于分析各种各样的传染病问题.这些数学模型大多适用于各种传染病的一般规律的研究，也有部分是针对诸如麻疹、疟疾、肺结核、天花等诸多具体疾病的模型.在传染病动力学中，长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”(compartment)模型，它的基本思想是由Kermack与McKendriok创立于1927年，但一直到现在仍然被广泛的使用和不断的发展着，由于历代科学家的不断努力，这种思想现在越来越完善.2.1.2 SIR仓室模型下面简要介绍SIR仓室模型：SIR仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）：(1)易感者(susceptibles)类其数量记为()S t，表示在时刻为染病但可能被该类疾病传染的人数.(2) 染病者(infectives)类 其数量记为()I t ，表示在时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数.(3) 移出者(removed)类 其数量记为()R t ，表示在时刻已从感染者类移出的人数. Kermack —McKendrick 模型基于下面三种假设：1) 设总人口为()N t , 则有()()()()N t S t R t I t =++. 不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素，这意味着考虑一个封闭的环境且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时问变化明显很多，从而后者可以忽略不计，这样，这个环境的总人口()N t 就始终保持一个常数C ：()()()()N t S t R t I t C =++= ，K-M 的SIR 模型是一个十分简单粗糙的模型.2) 一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力，我们假设时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()S t 成正比，比例系数为β, 从而在时刻单位时间内被所有病人传染的人数（即新病人数）为()()S t R t β.3) t 时刻，单位时间内从感染者类移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，从而单位时间内移出者数量为()I t γ. 显然，γ是单位时间内移出者在病人中所占的比例，称为移出率系数，当不致混淆时也简称为移出率.当移出者中包括康复者时，移出者系数又称为恢复率系数或简称为恢复率[1]. 在以上假设下，其过程如图1-1所示：图1-1 SIR 传染病基本模型框图模型是比SIR 模型较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的大规模的传染病，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的有力支持.后来很多研究人员对SIR 模型做了推广.在不考虑出生和死亡等种群动力学因素的情况下，传染病若无潜伏期，动力学模型可表示为：SI 模型，患病后难以治愈；SIS 模型，患病后可以治愈，恢复者不具有免疫力；SIR 模型，患病者治愈后可获得终身免疫力；SIRS 模型，病人康复后有暂时的免疫力，单位时间内将有部分患者丧失免疫力而可能被再次感染.若考虑传染病的潜伏期，在三类人群中增加一类，感染而未发病者（Exposed ），可在SIR 或SIRS 模型的基础之上得到更为复杂的SEIR 或SEIRS 模型.若考虑种群动力学、疫苗接种、隔离以及密度制约、年龄结构等更为复杂的因素，模型的参数和复杂程度也将增加.2.2 相关定义和理论定义2.1考虑自治系统：()dxf x dt = （2-1）其中[,]n n f C D R R ∈⨯.设D Ω∈是一开子集,1(,)V C R ∈Ω,若(2-1)的轨线有全导数： ().()0dvgardV x f x dt =≤ 则称V 是系统（2-1）的Lyapunov 函数. 定理2.2 Lyapunov 定理设方程(,)x F t x =,当0t t >时, 在原点临域:||||x H Ω<内解存在且唯一，如果在原点临域Ω存在一个正（负）定函数(,)0((,)0)V x t V x t ><它沿着解得全导数1(,)n i i i d v d x V VF t x d v d y t x =∂∂==+∂∂∑是常负（常正）或恒等于零，则方程平凡解是稳定的.由于特征根实部的符号在稳定性问题中有关键性的作用，这里列出Hurwitz 准则. 它给出特征方程根由负实部的充分必要条件. 定理2.3 Hurwitz 判据 考虑多项式方程121210n n n n n a a a a λλλλ---+++⋯⋯++=，其中00a =.作Hurwitz 行列式10101123321325430,,,a a a a H a H H a a a a a a a a ===⋯⋯,上式延伸得：10321121000,.k n n n k ka a a a a a H H a H a a --==(1) 所有特征根具有负实部的充分必要条件是，所有的Hurwitz 行列式的值大于零，既()01,2,...,;i H i n >=(2) 所有特征根具有负实部的必要条件是，特征方程的所有系数()00,...,i a i n >=. 定义1.4假设A 是一个n×n 常数矩阵，使得关于u 的线性代数方程组()E A u λ-= (2-2)具有非零解的常数λ称为A 的一个特征值.（2-2）的对应于任一特征值λ的非零解u 成为A 的对应于特征值λ的特征向量.N 次多项式()()det p E A λλ≡-称为A 的特征多项式，n 次代数方程 ()0p λ= (2-3)称为A 的特征方程. 定义2.5广义Jacobi 矩阵是指如下矩阵形式：1112111n n n n a b c a J a b c a ---⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2-4) 其中，()()01,2,...,1,1,2,...,i i i cb i n a R i n >=- ∈=. 定理2.6 Lasalle 不变原理设D 是一有界闭集，从D 内出发的自治统：()dxf x dt = (2-5)的解()0,,x t x D θ⊂(停留在D 中)若存在():V x D R →,具有一节偏导数，使得()120Dv dt -≤,又设()120,,dVE x D M E dt -⎧⎫⎪⎪=≤∈⊂⎨⎬⎪⎪⎩⎭是最大不变集，则当t →∞时，有()0,,x t x M θ→，特别的，若{}0M =则(2-5)式得平凡解是渐近稳定的.定理2.7考虑n 阶常系数线性微分方程组 dxAx dt = (2-6) 其中1λ为方程组(1-6)的系数矩阵Ａ的特征方程()det 0A E λ-= (2-7)若特征方程(2-7)的根均具有负实部，则方程组(2-6)的零解是渐近稳定的.若特征方程(2-7)具有正实部的根，则方程组(2-6)的零解是不稳定的，若特征方程(2-7)没有正实部的根，但有零根和零实部的根，则方程组(2-6)的零解可能是稳定的也可能是不稳定,这样看零根或具零实部的根其初级因子的次数是否等于1而定. 定义 2.8设f 是一个实对称双线性函数，而且对任意非零向量(),,0V f ααα∈<，则称f 是负定的. 定义2.9 lipschitz 条件若存在常数K,使得对定义域D 的任意两个不同的实数12,x x 均有：()()1212f x f x K x x -≤-成立，则称()f x 在D 上满足lipschitz 条件. 定理及推论 2.10 比卡存在和唯一性定理 设初值问题()()()00,,dyF f x y y x y dx==其中，(),f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤内连续，而且对y 满足lipschitz 条件，则(F )在区间[,]I t h t h =-+上有且只有一个解，其中()()3,min ,,max ,t P R n h m M f t P M +∈⎛⎫=> ⎪⎝⎭由上述定理我们可以得到一下推论：满足局部Lipschitz 条件的(),f t P 的解在大范围3R +上存在且唯一. 2.3 本章小结本章主要是简要介绍传染病动力学的提出及运用，并介绍了基本的SIR 仓室模型.在此基础之上列举了在以后的计算中将要运用到的定理与推论，如lipschitz 条件、比卡存在和唯一性定理等等.。
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文章编号：１ ７ －０ ５２ １）６ ０ １－ ３ ６ ４８ ８（０ １０ － ０ ６ ０
井 冈 山大 学学 报（ 自然 科学版 ） Ｊｕｎ ｌｏ ｉｇ ａ ｇｈ ｎ Ｕ ｉｅｓ ｙｆ ｔｒｌＳ ｉ ｃ） ｏ ｒａ ｆＪ ｇｎ ｓａ ｎｖｒｉ ｕａ ｃｅ ｅ ｎ ｔ Ｎａ ｎ
ｏ ｄ ｎ ｒ ｆｅ ｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ，ｓ ｆ ｃｅ ｔｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ａ ｅ ｏ ｔｉ ｅ ｏ ｅ ｇ ｏ ａ ｓ ｍｐ ｏ ｉ ｔ ｂ ｌ ｙ ｏ ａ ｈ ｏ ｒ ｉ ａ ｙ ｄ ｒ ｎ ｉ ｑ ａ ｉ ｓ ｕ ｉ ｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ｒ ｂ ａ ｄ ｆ ｒｔ ｌｂ ｌａ ｙ ｔ ｔ ｓ ｉ ｔ ｆｅ ｃ ｆ ｉ ａ ｏ ｉ ｉ ｎ ｈ ｃ ａ ｉ
情 况没 有加 以 阐述 ；而对 于传 染病在 人 口数量 较大 时往 往 采 用 双 线 性 发 生 率 较 非 线 性 发 生 率更 容 易 接 近 实际情况 。综 合考 虑 了上 述 几种情 形之 后 ，在
Ｆｅｄ ａ 提出了一种单种群传染病模型， ｒ ｍｎ ｅ 并证明了 该模型地方病平衡点存在唯一，且是全局渐近稳定 的 ；文 【］ ３讨论 了一类 具有 标准 发生 率 的 Ｓ Ｉ型传 染 病模型的全局稳定性：
பைடு நூலகம்
井 冈山大学学报 （ 自然科学版）
地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件，并进行 了数值模拟 。 关键词 ：传染病模型 ；双线性发生率；平衡点；全局稳定性 中图分类号 ：Ｏ ２ ． ２１ ２ 文献标识码：Ａ ＤＯ ： ． ６ ／ｉ ｎ１７ — ０ ５２ １． ． ５ Ｉ ０３ ９ ．ｓ．６ ４ ８ ８ ． １ ６０ １ ９ ｊｓ ０ ０ ０
ｆａ ｉｌ ｑ ｉ ｂ ｉｍ ｅｐ ｏ ｏ ｅ ｄ １Ａｌｏ ｓ ｍｅｎ ｍｅｉａ ｒ ｒ ｖｄ ｄｔ ｏ ｆ ｍ Ｕ ｎ ｌｔ ｅ ｕｔ． ｅ ｓｂｅｅ ｕｌ ｒｕ ｔ ｔ ｒ ｐ ｓ ｄｍｏ ｅ． ｓ ， ｏ ｕ ｒｃ ｌ ｅｐ ｏ ｉｅ ｃ ｎ ｒ Ｏ ｒａ ａｙｉ ｒ ｓ ｌ ｉ ｏｈ ａ ｏ ｉ ｃ ｓ Ｋ ｅ ｒ ｓ ｅ ｉｅ ｃｍｏ ｅ； ｉ ｎ ａ ｃｄ ｎ ｅｒｔ； ｑ ｌ ｒｕ ； ｌｂ ｌ ｔｂｌ ｙ ｙｗｏ ｄ ： ｐｄ ｍ ｄ ｌ ｂｌ ｅ ｒ ｉｅ ｃ ｅ ｅ ｕ ｉ ｉ ｉ ｉ ｎ ｉ ａ ｉ ｂ ｍ ｇｏ ａ ａ ｉ ｔ ｓ ｉ
ＧＬｏＢＡＬ ＴＡＢＩ ＴＹ ＡＮ Ｉ Ｓ ＬＩ ｏＦ Ｓ Ｓ ＥＰＩ ＤＥＭ Ｉ Ｍ ｏＤＥＬ Ｉ Ｃ Ｗ ＴＨ ＬＩ ＢＩ ＮＥＡＲ Ｉ ＮＣＩ ＤＥＮＣＥ ＲＡＴＥ
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（ ｅ ａ ｍｅ ｔ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｎ ｏ ｐ ｔ ｇＳ ｉ ｃ ｓＨｅ ｇ ａ ｇＮ ｒ ｌ ｉ ｅ ｉ ， ｅ ｇ ａ ｇＨ ｎ ｎ４ １ ０ ， ｈａ ） Ｄ ｐ ｒ ｎ Ｍａ ｍａ ｃ ｄＣ ｍ ｕｉ ｃｅ ｅ ， ｎ ｙ ｏｍａ Ｕｎｖ ｒ ｔ Ｈ ｎ ｙ ｎ ｕ ａ ２ ０ ８ Ｃ ｉ ｔ ｏ ｈ ｉ ａ ｎ ｎ ｎ ｓｙ ｎ
Ａｂ ｔａ ｔ Ａｎ Ｓ Ｓ ｅ ｉｅ ｃｍｏ ｅ ｔ ｉ ｎ ａ ｃｄ ｎ ｅｒ ｔ ｎ ｅｔ ａｅ ． ｙ ｕ ｉ ｇｔｅｑ ａｉ ｔ ｅｔ ｅ ｒ ｆ ｓｒ ｃ ： Ｉ ｐｄ ｍｉ ｄ ｌ ｈ ｂｌ ｅ ｒｉ ｉｅ ｃ ａｅｉ ｉｖ ｓｉ ｔｄ Ｂ ｓｎ ｕ ｌａｉ ｏ ｙｏ ｗｉ ｉ ｎ ｓ ｇ ｈ ｔ ｖ ｈ
文［． 的基础上本文建立 了一类 具有双线 性传 染 ２】 ３ 率 的 ＳＳ传 染病 模 型 。 Ｉ
２ 模型 的建立
设 Ｓｔ指种 群 中的 易感者 ； ｌｔ指种 群 中 的感 （ ） （ ） 染 者 。建立 如下 一类 具有双 线性 传染 率 的 ＳＳ传 染 Ｉ 病模型：
） Ｓ－ －ｂ Ｉ 删 ）
１ ６
一
类具 有双线性发生率 的 ＳＳ传染病模型 的稳 定性 Ｉ
宫 兆 刚 ， 阳志 锋
（ 阳师范 学 院数学 与计 算科学 系 ，湖南 ，衡 阳 衡 ４ １０ ） ２ ０ ８
摘
要 ： 究了一类 具有双线性发生率 的 ＳＳ传染病模型． 研 Ｉ 应用微分方程定性理论， 分别得到 了该系统无病平衡点、
…
Ｉ：Ｉｄ ｋ Ｑ， ｂ— — ：（ ） Ｓ Ｉ Ｉ Ｓ
其中 ， 自然增长率，Ｎ为环境容量，ｂ 为 为传染率，
ｄ为死亡 率 ，ｋ为恢复 率 。
该 ＳＳ模 型 的建立 基 于 以下 假设 ： Ｉ
收稿 日期 ：２ １＿７ ２ ；修 改 日期 ：２ １ ９ ２ ０ ｌＯ—２ ０ 卜０— ６ 基金项 目：湖 南省教 育 厅科研 基金 资助 项 目（０ ０８ ） １Ｃ ４ ９ 作者 简介 ：・ 宫￣ １１７ 一，男 ，吉林集 安人 ，讲 师 ，硕士 ，主要 从事 生物 数 学研究 （— ｉ ｇｇｅｘｅ ８０ ９ ６ ） Ｊ９８） （ Ｅｍａ ：ｚｆｉｕ７ １ １＠１３； ｌ 阳 志锋（９ ６ ） １７ 一，男 ，湖南 宁乡 人，副 教授 ，硕 士 ，主要从 事微 分方 程解 的爆 破及其 应用 研究 （－ ｉ ｚｉ ｎ ＿ａｇ ２ ． ｍ） Ｅｍａｌ ｈｆ ｇ ｙｎ ＠１６ ｏ ： ｅ ｃ
１ 引言
传染 病在 人们 的生 活 中时 时存 在 的 ，利用动 力 学方 法来 研究传 染 病模 型是 非常重 要 的方法 之一 ， 并且 取 得 了很好 的结 果…。文 【】 ２ 中提 到 Ａｅｌ ｌｌ ｏ和
后还 有 再次被 传染 的可 能 ， 以在 文【］ 所 ３ 中对于 这些