数学建模-传染病模型ppt课件
合集下载
数学建模-传染病模型
（3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。
模型检验：
医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广义上理
解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模
型并无影响。
注意到：dr li (n 1 r s)
dt
可得：
dr dt
l(n 1 r
r
soe
)
及：S
r
令：
d 2i dt 2
0
得：
t1
ln co k(n 1)
模型3
将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为 s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：
di
dt
ksi
li
l
称为传染病恢(1)复系数
dr
模型1 设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已
感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且 设此疾病既不导致死亡也不会康复
则可导出：
di
dt
ki
i(o) io
故可得： i(t) ioekt
传染病模型
传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素 之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律 并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。 在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的 流行，并建立起相应的多房室模型。
问题的提出：
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时， 波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会 得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会 相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明 。
数学建模传染病模型ppt课件
2019 2
再设t 0时有x0有个病人，即得微分方 程
dx x , x(0) x dt
0
(1)
(2)方程（1）的解为x(源自 ) x e0t
结果表明，随着 t 的增加，病人人数 x(t) 无 限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接 触的人群中，有健康人也有病人，而其中 只有健康人才可以被传染为病人，所以在 改进的模型中必须区别这两种人。
2019 11
2019
-
12
不难看出，接触数=1是一个阈值。
当 1时i (t )的增减性取决于 i0的大小(见图4）， 1 但其极限值 i () 1 随的增加而增加 (试 从的含义给以解释 )；当 1时病人比例 i (t ) 越来越小，最终趋于零 ，这是由于传染期内 经有效接触从而使健康 者变成的病人数不超 过原来病人数的缘故。
7
这时病人增加的最快，可以认为是医院 的门诊量最大的一天，预示着传染病高 潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 t m与成反比，因为日接触率表示该地区的 卫生水平， 越小卫生水平越高。所 以改善
保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高 潮的到来。第二，当 t 时 i 1 , 即所有 人终将被传染，全变为病人，这显然不符合 实际情况。
2019 9
不难看出，考虑到假设3，SI模型的（3） 式应修正为
di N Nsi Ni dt (8)
（4）式不变，于是（5）式应改为
di i(1 i) i , dt i(0) i0 (9)
我们不去求解方程（9）（虽然它的解 可以解析地表出），而是通过图形分析i(t) 的变化规律。定义 (10)
2019 1
不同类型传染病的传播过程有其各自 不同的特点，弄清这些特点需要相当多的 病理知识，这里不可能从医学的角度一一 分析各种传染病的传播，而只是按照一般 的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时 刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 并且每天每个病人有效 接触(足使人致病) 的人数为常数 考察 t到 t t 病人人数的 增加，就有 x(t t ) x(t ) x(t )t
再设t 0时有x0有个病人，即得微分方 程
dx x , x(0) x dt
0
(1)
(2)方程（1）的解为x(源自 ) x e0t
结果表明，随着 t 的增加，病人人数 x(t) 无 限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接 触的人群中，有健康人也有病人，而其中 只有健康人才可以被传染为病人，所以在 改进的模型中必须区别这两种人。
2019 11
2019
-
12
不难看出，接触数=1是一个阈值。
当 1时i (t )的增减性取决于 i0的大小(见图4）， 1 但其极限值 i () 1 随的增加而增加 (试 从的含义给以解释 )；当 1时病人比例 i (t ) 越来越小，最终趋于零 ，这是由于传染期内 经有效接触从而使健康 者变成的病人数不超 过原来病人数的缘故。
7
这时病人增加的最快，可以认为是医院 的门诊量最大的一天，预示着传染病高 潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 t m与成反比，因为日接触率表示该地区的 卫生水平， 越小卫生水平越高。所 以改善
保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高 潮的到来。第二，当 t 时 i 1 , 即所有 人终将被传染，全变为病人，这显然不符合 实际情况。
2019 9
不难看出，考虑到假设3，SI模型的（3） 式应修正为
di N Nsi Ni dt (8)
（4）式不变，于是（5）式应改为
di i(1 i) i , dt i(0) i0 (9)
我们不去求解方程（9）（虽然它的解 可以解析地表出），而是通过图形分析i(t) 的变化规律。定义 (10)
2019 1
不同类型传染病的传播过程有其各自 不同的特点，弄清这些特点需要相当多的 病理知识，这里不可能从医学的角度一一 分析各种传染病的传播，而只是按照一般 的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时 刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 并且每天每个病人有效 接触(足使人致病) 的人数为常数 考察 t到 t t 病人人数的 增加，就有 x(t t ) x(t ) x(t )t
基本数学模型-传染病模型
• 现有数据显示，天花的 值较小，麻疹等传染
病的 值较大，目前全世界已消灭天花疾病
17
模型验证
•
孟买某岛（1905.12.17-1906.7.21）
（
Kermack,McKendrick,1926）
• 该岛上80%－90%的感染者死亡，
dS dt dI dt
SI SI
I
视为移出者
• 在疾病传播期内所考察地区总人数 N 保持不变
• t 时刻易感者和感染者人数所占比例分别为 S(t)
和 I (t) ，S(t) I (t) 1 • 每个感染者单位时间内可使数量为 N 的人受到
感染，其中易感者数量为 NS ， 称为有效接触率
3
SI模型
N dI NSI dI I (1 I ) 1 dI dt
Jules Henri
Aleksandr
Poincaré
Mikhailovich
（1854－1912） 法国数学家、
Lyapunov （1857－1918）
物理学家
苏联数学家、 物理学家
11
自治系统
• 记 x (x1, x2 )T，F(t, x) ( f1(t, x), f2 (t, x))T，一阶常 微分方程组 dx F(t, x)称为自治（autonomous）
• III. Further Studies of the Problem of
电磁场理论，DNA双
Endemicity, 141, 94-122, 1933
螺旋结构等重要论文
均发表在该刊上
2
基本假设
• 人群分类
• 易感者（Susceptible）：易受疾病感染但尚未发病 • 感染者（Infective）：已感染且具传染性
数学建模_传染病模型
传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
问题提出请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？关键字:传染病模型、建模、流行病摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。
但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。
20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。
还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。
长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。
模型1在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，病人人数的增加，就有到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ∆+λ)(t t x t x t t x ∆=-∆+)()()(λ程有个病人，即得微分方时有再设00x t =)1()0(,d d 0x x x tx==λ方程（1）的解为 )2()(0te x t x λ=结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。
(6数学建模)传染病模型
S E I R 1 S (0) S0 0, E (0) E0 0, I (0) I 0 0, R(0) R0 0
简化可得SEIR模型
S (t ) SI S E (t ) SI E E I E I I R I R S E I R 1 S0 0, E0 0, I 0 0, R0 0
则有
上式消除N，
由I＋S＝1可得
上式是伯努里(Berrnolli）方程的初值问题，其解
析解为
定理 对上方程，当σ＞1时， I (t ) 1 1 lim
t
；Байду номын сангаас
当σ＜1时， I (t ) 0 。 lim
t
定理1表明，接触数σ＞1时，传染者不会消灭，
其数量趋近于 1 1 ；当σ＜1时，传染者的数量越 来越少，最终趋于零，传染病将消灭。所以接触数σ ＝1是区分传染病是否蔓延的阈值，定理1的结果可用 下图表示。
假设
1.人口总数为常数N，N足够大，则S（t）、I（t）、 R（t)可视为连续可微的；考虑出生与死亡时，出生率 与死亡率相等，且新生儿全为S类，平均出生率为μ。
2.人群中三类成员均匀分布，传播方式为接触传播，
单位时间内一个传染者与他人接触的接触率为常数λ， 则一个传染者在单位时间内与S类成员的接触率为λS。 因此，单位时间内I类成员与S类成员的接触总数 λNSI，就是单位时间内I类成员增加的数量，λSI称 为发病率。
定理2、定理3表明，传染病是否流行，取决于 s0 。 当 s0 1 时，传染病不会流行；当 s0 1 时，传染 病将流行，但最终传染病将消灭，这时人群中仍然有 S N 数量的成员为易感人群，而并非全体成员均为恢 复类成员。当 s0 初始值一定，控制传染病蔓延就要减 小传染期的按触数σ，我们注意到在σ＝λ／ν中， 人们的卫生水平越高，接触率λ越小；医疗水平越高， 治愈率ν越大，于是σ越小，所以提高卫生水平和医 疗水平有助于控制传染病的蔓延。
简化可得SEIR模型
S (t ) SI S E (t ) SI E E I E I I R I R S E I R 1 S0 0, E0 0, I 0 0, R0 0
则有
上式消除N，
由I＋S＝1可得
上式是伯努里(Berrnolli）方程的初值问题，其解
析解为
定理 对上方程，当σ＞1时， I (t ) 1 1 lim
t
；Байду номын сангаас
当σ＜1时， I (t ) 0 。 lim
t
定理1表明，接触数σ＞1时，传染者不会消灭，
其数量趋近于 1 1 ；当σ＜1时，传染者的数量越 来越少，最终趋于零，传染病将消灭。所以接触数σ ＝1是区分传染病是否蔓延的阈值，定理1的结果可用 下图表示。
假设
1.人口总数为常数N，N足够大，则S（t）、I（t）、 R（t)可视为连续可微的；考虑出生与死亡时，出生率 与死亡率相等，且新生儿全为S类，平均出生率为μ。
2.人群中三类成员均匀分布，传播方式为接触传播，
单位时间内一个传染者与他人接触的接触率为常数λ， 则一个传染者在单位时间内与S类成员的接触率为λS。 因此，单位时间内I类成员与S类成员的接触总数 λNSI，就是单位时间内I类成员增加的数量，λSI称 为发病率。
定理2、定理3表明，传染病是否流行，取决于 s0 。 当 s0 1 时，传染病不会流行；当 s0 1 时，传染 病将流行，但最终传染病将消灭，这时人群中仍然有 S N 数量的成员为易感人群，而并非全体成员均为恢 复类成员。当 s0 初始值一定，控制传染病蔓延就要减 小传染期的按触数σ，我们注意到在σ＝λ／ν中， 人们的卫生水平越高，接触率λ越小；医疗水平越高， 治愈率ν越大，于是σ越小，所以提高卫生水平和医 疗水平有助于控制传染病的蔓延。
传染病模型PPT
02
03
时间序列分析
通过对历史病例数据进行 时间序列分析，预测未来 一段时间内的病例数量。
机器学习算法
利用机器学习算法对历史 数据进行训练，预测未来 疾病的传播趋势。
贝叶斯推断
基于贝叶斯定理，利用历 史数据和先验知识，推断 未来疾病传播的概率分布 。
模拟与预测的应用场景
政策制定
通过模拟和预测，为政府和卫生部门提供决策依据， 制定有效的防控策略。
公共卫生管理
模拟和预测有助于公共卫生机构评估防控措施的效果 ，优化资源配置。
疫情预警
通过预测方法，提前预警可能的疫情爆发，为及时采 取防控措施提供时间保障。
05
传染病模型的优化与改 进
模型的改进方向
考虑更多影响因素
除了基本的传播方式，还应考虑 人口流动、环境变化、社会经济 因素等对传染病传播的影响。
概率论
传染病模型的预测结果存在不确定 性，因此需要使用概率论知识来评 估预测结果的可靠性和误差范围。
传染病模型的建立过程
数据收集
收集相关数据，包括疾病报告 数据、人口数据、地理信息等 ，用于参数估计和模型验证。
模型验证
使用历史数据对模型进行验证 ，评估模型的准确性和可靠性 。
确定模型目标
根据研究目的确定模型的目标 ，如预测疾病的传播趋势、评 估防控措施的效果等。
提高模型精度
通过增加数据来源和改进模型参 数调整方法，提高模型的预测精 度和可靠性。
动态建模
将传染病模型与时间序列分析、 机器学习等方法结合，实现动态 建模，更好地反映传染病传播的 时变特性。
模型的优化方法与技术
混合模型
结合不同模型的优点，构建混合模型，以提高预 测精度和可靠性。
传染病模型ppt课件
dI k 0 I (t ) dt I (0 ) I 0
模型的解：
k t 0 I( t)I0e
举个实例
最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人
模型的缺点
问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符． 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律
dI I (t ) kS ( t ) dt I (0) I 0
方程的解：
I(t) n n knt 1 I 1 e 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）总人数为： s(t)+i(t)＝n （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）单位时间治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 h(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称 1/ h为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每天治愈2
模型的意义
（t , i (t)）图
（1）当σ≤1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终趋 于零。 （2）当σ ＞l时，i(t)最终以1-1/ σ为极限； （3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升
模型的解：
k t 0 I( t)I0e
举个实例
最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人
模型的缺点
问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符． 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律
dI I (t ) kS ( t ) dt I (0) I 0
方程的解：
I(t) n n knt 1 I 1 e 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）总人数为： s(t)+i(t)＝n （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）单位时间治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 h(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称 1/ h为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每天治愈2
模型的意义
（t , i (t)）图
（1）当σ≤1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终趋 于零。 （2）当σ ＞l时，i(t)最终以1-1/ σ为极限； （3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升
数学建模第二章微积分方法建模--212传染病模型-PPT课件
x
2s0
(s0
1
)
当该地区的卫生和医疗水平不变时， 就不变，这个
比例也不变。
课件
19
2、群体免疫和预防
由于当 s0
1
时不会蔓延，故降低
s0也是种手段。
由 i0
0 ， s0
1 r0
，于是 s0
1
可表示为 r0
1 1
，即通
过群体免疫使初始时刻的移出者比例r0
1
1
dt
又由假设 1 和设 t 0 时的比例 i0 ，则得到模型
di dt
i(1
i)
i(0) i0 课件
（1）
3
（1）的解为
i(t)
1
1 ( 1 1)et
i0
（2）
课件
4
i(t)
1
1 2
i0
0
tm
t
di dt
di ( dt )m
0
1 2
1
i
课件
5
模型解释
§12 传染病模型
建立传染病模型的目的是描述传染过程、分析受 感染人数的变化规律、预报高潮期到来的时间等等。
为简单起见假定，传播期间内所观察地区人数 N 不变，不计生死迁移，时间以天为计量单位。
课件
1
模型（一）（SI 模型） 模型假设
1、人群分为健康者和病人，在时刻t 这两类人中 所占比例分别为 s(t) 和 i(t) ，即 s(t) i(t) 1 ；
2、平均每个病人每天有效接触人数是常数 ，即 每个病人平均每天使 s(t) 个健康者受感染变为病 人， 称日接触率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太
大，故 一r般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：
r
e
1
r
1(r
)2
2
代入（3.20）得近似方程：
dr dt
l
n
1
So
So
1 r
So 2
r
2
积分得：
r(t)
2
So
So
1
m
tanh( 1 2
mlt
)
其中：
1
m
So
2 1
2So
(n
1
So
)
2
这里双曲正切函数 ：
tanh
u
eu eu
eu eu
tanh1
1 m
So
1
而： d
du
tanh u
(eu
eu )2 (eu eu )2 (eu eu )2
(eu
4 eu )2
对r(t)求导 ：
dr dt
lm2 2
2So
sec h2
1 2
mlt
（3.21）
传染病模型
传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素 之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律 并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。 在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的 流行，并建立起相应的多房室模型。
问题的提出： 医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，
k
则：
1 r(t)
s(t) soe
4
由(1)式可得： di ds li ds ds
不如伴如难从积果随验果证而分地ssoo，解得有当得：st→(，，t：+)单∞则则时减开有，d。i始ddr(ti(tti(t)t当)时)趋0si向oid(，ddott于ti)减s此一soo0少个疾，ss(到t(病i)t()dt小在)t单于l该nl增nss等地ss(dso。t(ot)t于区) 但根在时本（i(3，流t.)1增9行i）(加t不)s开的u起s始c同e来p减t时i。b小l，e ，
图3-14（a）
8
l
recovered
下面对 进行讨论，请参见右图
5
图3-14
综上所述，模型3指出了传染病的以下特征：
（1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流 传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。
（2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为 缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。
2
模型2 记t时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为i(t)
与s(t)，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复的
假设及可（得竞：争象无模模项病，法型型），且解预2统与当仍释测计ii为确人dd实((时t有ito医最)筹)了，群多际间不生终k算s使有细房ii情(os趋足t们所律)模必分室况与之发有，型要，系n不无处现人更再建统符1穷，的都精将立。时它现得， （3.16）
解得： 其中：
i(t)
co
n
co (n 1)ek(n1)t
1 io
coek
(n1)t
1 io
（3.17）
统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更
接近实际情况。医学上称曲线 为t ~传d此i 染值与病传曲染病的实际高峰期非常
线，并称 峰。
最ddti大值时刻t1为此传染病的d接t 流近，行可高用作医学上的预报公式。
7
曲线
dr dt
lm2 2
2So
sec h2
1 2
mlt
在医学上被称为疾病传染曲线。
图3-14（a）给出了（3.21）式曲线的图形，可用医疗单位
每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。
图3-14（b）记录了1905年下半年至1906年上半年印度孟买瘟 疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。
波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会 得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会 相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
1
模型1 设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已
感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且 设此疾病既不导致死亡也不会康复
（3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。
模型检验：
医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广义上理
解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模
型并无影响。
注意到：dr li (n 1 r s)
dt
可得：
dr dt
l(n 1 r
r
soe
)
及：S
r
Soe l
（3.20）
6
（3.18）
s(t) i(t) r(t) n 1 (3)
i(o) io , r(o) 0
susceptible
k
infective
l
求解过程如下：
recovered
对（3）式求导，由（1）、（2）得： ds ksi k s dr
解得：
k r(t)
dt
l dt
s(t) soe l
记： l
令：
d 2i dt 2
0
得：
t1
ln co k(n 1)
3
模型3
将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为 s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：
di
dt
ksi
li
l
称为传染病恢(1)复系数
dr
dt
li
(2)
常直数至，从此而疾可病以解在释该医地生们s区(t发)消现s失的oe现。1 象r (t )。
k
鉴于在本模型中的r作(t)用 n，1被 i(t) s(t)
infective
医为生揭们示称产为生此上疾述病现在象该的地原区因（3.18）中
的 较第大其的么的（的中阀此所常1值疾有）数。 病 人式通。没。改常kl的有写是引波成一入及：个解到与dd释ti该疾了地k病为i(区种s什类 )有关的
则可导出：
di
dt
ki
i(o) io
故可得： i(t) ioekt
（3.15）
此模型即Malthus模型，它大体上反映了传染病流行初期的 病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推 移，将越来越偏离实际情况。
已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人 群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则 不加任何区分，来建立两房室系统。