格雷码Gray的分治构造算法

算法设计与分析
课程设计
题目：Gray码的分治构造算法
专业：网络工程
班级：
学号：
姓名：
计算机工程系
2012年11 月16 日
一、算法问题描述
Gray 码是一个长度为n 2的序列。

序列中无相同元素，每个元素都是长度为n 位的串，相邻元素恰好只有1位不同。

用分治策略设计一个算法对任意的n 构造相应的Gray 码。

二、算法问题形式化表示
用分治算法构造Gray 码的问题可形式化地表示如下：
n 位Gray 码=⎩
⎨⎧=>-时）（当或时）”（当”或“位填“在第码位1n ,101n 10n ,Gray )1(n 三、期望输入与输出
输入：以（0,1）串为例，输入元素的宽度n
输出：得到长度为n 2的Gray 码序列
四、算法分析与步骤描述
n 位Gray 码可由（n-1）位Gray 码及1位“0”或“1”组成。

因此，最主要的工作是
生成（n-1）位的Gray 码，这样，就将问题的规模n 缩小为（n-1），元素的个数由n 2缩小
为12-n 个，从而达到简化问题的目的。

同时可以利用这12-n 个元素构造全部的n 2个元素。

具体算法实现中，参数n 表示Gray 码的宽度，参数b 表示元素个数，数组arr[][]用来存储生成的Gray 码。

算法如下：
void graycode(int n, int b, int arr[][]) {
if (n == 0)
return ;
for (int i = 0; i < b / 2; i++) {
arr[i][n - 1] = 0; //若宽度大于1，则在前一半码字的第n 位添加"0"
arr[b - i - 1][n - 1] = 1; //在一半码字的第n 位添加"1",
//如此生成了目标码字的最高位
}
graycode(n - 1, b / 2, arr); //接着生成宽度为(n-1)的Gray 码，
//填写在目标码字的最高部分
for (int k = b / 2; k < b; k++)//再将(n-1)位的Gray 码逆序后，
//填入目标码字的低半部分
for (int j = 0; j < n - 1; j++)
arr[k][j] = arr[b - k - 1][j];
}
五、问题实例及算法运算步骤
定义序列中每个元素的位数称为元素的“宽度”。

下面给出一组宽度为4的Gray码，并以此为例，对它的编码规律进行分析。

如下图，对于宽度为4的Gray码，除最高位以外，虚线①的上下两侧是对称的，对称的两组码字恰好均是宽度为3的Gray码，并且虚线①上方最高位全为“0”，下方全为“1”；对于宽度为3的Gray码，除最高位以外，虚线②的上下两侧也是对称的，对称的两组码字恰好均是宽度为2的Gray码，并且虚线②上方最高位同样全为“0”，下方全为“1”。

同理，向下推广至Gray码宽度为2和1，向上推广至宽度为5、6、……。

可以发现，这种规律对于任意宽度的Gray码都是适用的。

2-n 这样，总结出Gray码序列的构造规律，即宽度为n的Gray码，共有n2个元素，前1
2-n个元素可由之前生成的个元素可由宽度为（n-1）的Gray码和第n位的“0”构成，后1
经过逆序的（n-1）位的Gray码和第n位的“1”构成。

六、算法运行截图
七、算法复杂度分析
这是一个基于分治思想的算法，利用Gray码具有的自对称性，将问题的规模不断缩小，从而实现Gray码的生成。

若用T(n)表示生成宽度为n的Gray码所需要的时间复杂度，则整个算法的时间复杂度可表示为：
T(n)=⎩⎨⎧>⋅+-=)1(),2()1()
1(),(n n O n T n n O n 解此递归式可得：T(n)=O(n n 2⋅)。

算法的空间复杂度为：O(n n 2⋅)。