2-6 二次函数的图象与性质5
二次函数图像(5)
问题探究
例2 当x取何值时，二次函数 y 2 x2 8x 1 有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？ 解法一（配方法）：
y 2 x 8x 1 2 x2 4 x 1 2 x 2 4 x 4 4 1
2
2 x 2 7 7
(b )问 ： 给 出 四 个 结 论 ： (1)abc 0( 2)2a b 0 ( 3)a c 1( 4)a 1 其中正确结论的序号 是 ______
1
y
2
1
x
2.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（C ）
3.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 （ B） A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 4.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a 的值是 （ A） A. 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
例3、抛物线 y=-2x2+4x+6 顶点为A，与x 轴交于B、C两点，与y轴交于D点，求四 边形ABCD的面积。
例4、判断符号 a、b、c、 2a+b、2a-b、 b2-4ac、 a+b+c、a-b+c、 4a+2b+c 、 4a-2b+c
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
解法二：
1 a 0 ，∴抛物线开口向下， 2
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
苏科版二次函数图象与性质1---5
6.2 二次函数的图象与性质（1）[教学目标]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [教学过程] [新课引入]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[例题精讲] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是__________.共同点：都以y 轴为__________，顶点都在___________．不同点：22x y =的图象开口向____，顶点是抛物线的最____点，在对称轴的左边，曲线 自左向右________；在对称轴的右边，曲线自左向右__________．22x y -=的图象开口向____，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左边，曲线自左向右_______；在对称轴的右边，曲线自左向右________．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y =2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．[课外作业]1．二次函数y=mx22m 的图象有最高点，则m=______．2．二次函数的图象如图1所示，则它的解析式为____________，如果另一函数图象与该图象关于x轴对称，那么它的解析式是______________．(1) (2) (3)3．如图2所示，点A是抛物线y=－x2上一点，AB⊥x轴于B，若B点坐标为（－2，0），则A•点坐标为_______，S△AOB______．4．抛物线y=x2与双曲线y=1x的交点A的坐标为________．5．在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y=14x2，y=－14x2的共同特点是（）A．关于y轴对称，抛物线开口向上; B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小; D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点6．下列关于抛物线y=x2和y=－x2的关系的说法错误的是（）A．它们有共同的顶点和对称轴; B．它们都关于y轴对称;C．它们的形状相同，开口方向相反;D．点A（－2，4）在抛物线y=x2上也在抛物线y=－x2上7．已知h关于t的函数关系式为h=12gt2（t为正常数，t为时间），则函数图象为（）8．如图3,A，B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（）A ．y=3B ．y=6C ．y=9D ．y=36 9．正方形的边长为xcm ，面积为Scm 2．（1）写出S 与x 的函数关系式，指出自变量x 的取值范围； （2）画出S 随x 的变化而变化的图象；（3）设正方形的边长增加2cm 2时，面积增加ycm 2，你能画出y 随x•的变化而变化的图象吗？10．二次函数y=x 2，当x 1>x 2>0时，则y 1与y 2的大小关系是_________． 11．已知二次函数y=mx226m m --中，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则m=________．12．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 2）都在函数y=x 2的图象上，则（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 3 13．已知二次函数y=ax 2经过点A （－2，4） （1）求出这个函数关系式；（2）写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B 的坐标，并求出S △AOB ；（3）在抛物线上是否存在另一个点C ，使得△ABC 的面积等于△AOB 面积的一半？如果存在，求出点C 的坐标；如果不存在，请说明理由．6．2 二次函数的图象与性质（2）[教学目标]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [教学过程] [例题精讲]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象．描点、连线，画出这两个函数的图象.回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．描点、连线，画出这两个函数的图象．可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向____、向___平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？回顾与反思:k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．6．2 二次函数的图象与性质（3）[教学目标]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [教学过程] [新课引入]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[例题精讲]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象．根据图象填空：它们的开口方向向____；对称轴分别是_________、直线_________和直线___________；顶点坐标分别是__________，_________，_____________．回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ， 当x 时，函数值y 随x 的增大而减小； 当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向____、向____平移_____个单位得到的． 如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为________；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为__________．因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y ____________相同，__________不同，它们开口方向都向________，对称轴分别是__________和直线_________．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向_________平移_________个单位而得的．回顾与反思2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1．填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．6．2 二次函数的图象与性质（4）[教学目标]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [教学过程] [新课引入]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [例题精讲]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象．根据图象填空：它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．[当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．6．2 二次函数的图象与性质（5）[教学目标]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[教学过程][新课引入]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[例题精讲]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．请写出详细过程．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2. 若二次函数y=ax 2+bx+a 2－1（a ≠0）的图像如图所示，则a 的值是________．3.用配方法将函数y=12x 2－2x+1化为y=a （x －h ）2+k 的形式是（ ） A ．y=12（x －2）2－1 B ．y=12（x －1）2－1 C ．y=12（x －2）2－3 D ．y=12（x －1）2－3 4．二次函数y=－3（x －2）2+9的图像的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（ ）A ．开口向下，对称轴为x=－2，顶点为（2，9）;B ．开口向下，对称轴为x=2，顶点为（2，9）;C ．开口向上，对称轴为x=－2，顶点为（－2，9）;D ．开口向上，对称轴为x=2，顶点为（－2，－9）5.图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ ）A ．h=mB ．k=nC ．k>nD ．h>0，k>06．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[课外作业]1．抛物线y=ax2+2x+c的顶点是（13，1），则a=_______，c=________．2．抛物线和y=－2x2形状相同，方向相反，且顶点为（•－•1，•3）•，•则它的关系式为________．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象（•如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=______．4．试写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点的坐标为（0，3）•的抛物线的关系式为_______．5．已知二次函数y=－x2+4x+m－2的最大值为－5，则m=_______．6．已知抛物线y=x2+（m－1）x－14的顶点的横坐标是2，则m的值是_______．7．已知二次函数y=－x2+bx+c的图象最高点（－1，－3），则b与c的取值是（）A．b=2，c=4 B．b=2，b=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－48．已知二次函数的最大值为0，其图象经过点（1，－2）和点（0，－12），则它的关系式是（）A．y=－12x2－x+12B．y=－12x2+x－12C．y=－12x2－x－12D．y=－12x2+x+129．二次函数y=4x2－mx+5，当x<－2时，y随x的增大而减小；当x>－2时，y随x•的增大而增大，则当x=1时，y的值为（）A．－7 B．1 C．17 D．2510．抛物线y=ax2+bx+c的形状与y=2x2－4x－1相同，对称轴平行于y轴，且x=2时，y•有最大值－5，求该抛物线关系式．11．对于物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h=v0t－12gt2，其中h•是上升高度，v0（m/s）是初速度，g（m/s2）是重力加速度，t（s）是物体抛出后经过的时间，如图是h与t的函数关系图．（1）求v0，g；（2）几秒后，物体在离抛出点25m高的地方．12．如图，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，•若抛物线y=ax2+bx+c以C为顶点，且经过点B，则这条抛物线的关系式为________________．13．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（• ）A．－1 B．0 C．1 D．214．已知抛物线y=（x+a）2+2a2+3a－5的顶点在坐标轴上，求字母a的值，并指出顶点坐标．15．已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A（c，－2）,求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3，•题目中的矩形框部分是一段墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整．。
5二次函数的图像与性质
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【详解】∵抛物线开口向下，∴ ，∵抛物线的对称轴为直线 ，∴ ，∵抛物线与 轴的交点在 轴上方，∴ ，
4、b2-4ac的符号由抛物线与x轴（或坐标轴）的交点个数确定：
①与x轴的交点个数
②与坐标轴交点个数
5、根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号：
常见:①x=1时，a +b +c的符号；②x=-1时，a -b+ c的符号；
③x=2时，4a+2b+c的符号；④x=-2时，4a-2b+c的符号；…….
例3：已知函数y=x2﹣2mx+2016（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），其中x1=﹣ +m，x2= +m，x3=m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
【答案】D 【解析】y=x2﹣2mx+2016=（x﹣m）2﹣m2+2016，
综上所述：正确的结论有①②④，共3个，故选B.
考点四：二次函数与方程和不等式
题型1、求一元二次方程解的取值范围
例1.二次函数 y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是()
A.x＜-1B.x＞2 C.-1＜x＜2D.x＜-1或x＞2
（例1图） （变式1） （变式2）
变式练习：
1.如图是二次函数 y＝ax2 ＋bx ＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是()
二次函数知识点 二次函数图像与性质
二次函数图像与性质〖知识要点〗 1.二次函数定义一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
定义域是全体实数，图像是抛物线。
2y ax bx c =++是二次函数的“一般式”。
特点：① 自变量x 最高次数是2，② a ≠0 ③ 整式2. 二次函数的基本形式：2y ax =（0a ≠）的图像性质：a 越大抛物线的开口越小考点一：二次函数定义例1.（1）圆的半径是xcm ，圆的面积为ycm²，写出y 与x 之间的函数关系式；（2）用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，写出场地面积y(m ²)与矩形一边长x(m)之间的关系式例2. （1）下列函数中，是二次函数的是 .①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =222(2)2x x --；⑧y=－5x.(2)若y=（m ＋1）x562--m m 是二次函数，则m=（ ）A ．7B ．—1C ．－1或7D ．以上都不对(3)函数)1(432-=x y 的自变量x 的取值范围是 ； (4)已知二次函数3)12()1(2+++-=x m x m y ，当x=1时，y=3，则其表达式为 ；（5）已知二次函数8-10-2x xy +=，当x=________________时,函数值y 为1.考点二：2y ax =（0a ≠）的图像性质例3.作二次函数2x 2y =的图像观察图象,你发现了:例4.（1） 函数y=-x 2的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______, 顶点是________, 顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值。
函数y=x 2 的图像的开口方向________,对称轴________,顶点_______.（2）．关于213y x =，2y x =，y=-3x 2的图像，开口最大的是 ．例5已知抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线 ；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.例6已知二次函数mm m +=2xy （1）当m 取何值时它的图象开口向上。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、教学目标1、会确定二次函数)0(2≠=a ax y 图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.2、了解抛物线)0(2≠=a ax y 沿两个坐标轴进行适当平移可得到抛物线k h x a y +-=2)(，掌握平移规律，并能说出抛物线平移后的顶点坐标、开口方向及对称轴.会由特殊二次函数分析和推导一般二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像的性质.3、会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.二、知识点梳理1、二次函数的概念一般的，如果两个变量x 和y 之间的函数关系可以表示成c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ），那么称为y 是x 二次函数. 2、二次函数的一般形式任何一个二次函数的表达式都可以化成c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ）的形式，因此，把c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ）叫做二次函数的一般形式，其中c bx ax ,,2分别是二次项、一次项和常数项，而b a 和分别是二次项系数和一次项系数.3、二次函数)0(2≠=a ax y 的图像和性质（1）二次函数)0(2≠=a ax y 的图像是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线，曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.（2）一般地，抛物线)0(2≠=a ax y 的性质主要是从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的增减性以及函数的最值等几个方面来研究，其性质归纳如下表：拓展：（1）抛物线是轴对称图形，开口方向、顶点、对称轴通常称为抛物线的三要素.（2）抛物线)0(2≠=a ax y 的开口方向由a 的正负决定，当0 a 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0 a 时，开口向下，顶点是抛物线的最高点.（3）抛物线)0(2≠=a ax y 的开口的大小，由a 的绝对值决定，a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.（4）抛物线的对称轴是一条直线，抛物线)0(2≠=a ax y 的对称轴是y 轴，也可以说是直线0=x ，顶点坐标为（0，0）.4、抛物线)0()(2≠-=a h x a y 与)0(2≠=a ax y 的位置关系及平移规律二次函数2)(h x a y -=的图像可由抛物线2ax y =向左（右）平移而得到.当0 h 时，抛物线2ax y =向右平移h 个单位长度，得到2)(h x a y -=的图像.当0 h 时，抛物线2ax y =向左平移h 个单位长度，得到2)(h x a y -=的图像.5、二次函数k h x a y +-=2)(的图像的平移二次函数k h x a y +-=2)(的图像可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移个h个单位长度，再向上（或向下）平移k 个单位长度而得到. 平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既先可以左右移再上下移，也可以先上下移再左右移；抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时主要抓住顶点的位置变化就可以了；抛物线k h x a y +-=2)(经过反向平移也可以得到抛物线2ax y =.6、二次函数k h x a y +-=2)(的图像和性质拓展：（1）由于从k h x a y +-=2)(中可直接看出抛物线的顶点坐标),(k h ，所以通常把k h x a y +-=2)(叫做二次函数的顶点式.（2）a 决定抛物线的形状、大小；k h ,决定抛物线的位置.7、利用配方法将二次函数c bx ax y ++=2转化为k h x a y +-=2)(的形式（1）二次函数的一般式c bx ax y ++=2与顶点式k h x a y +-=2)(可以互相转化通过去括号、合并同类项可将顶点式转化为一般式. 例如：1)12(211)1(2122-++-=-+-=x x x y 2321-2--=x x ， 即1)1(212-+-=x y 可化为2321-2--=x x y 利用配方法可将一般式c bx ax y ++=2转化为顶点式k h x a y +-=2)(例如：c bx ax y ++=2a ac x a b x a 提取←++=)(2 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+•+=a c a b a b x a b x a 222)2()2(22←配成完全平方式a b ac a b x a 44)2(22-++=因此抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- （2）二次函数c bx ax y ++=2的图像是一条抛物线，它与抛物线2ax y =的形状相同，只是位置不同，它的对称轴是直线ab x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- 8、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与性质三、典型例题（一）二次函数的图像例1 已知函数()()()n m n x m x y ＜其中---=的图像如图所示，则一次函数n mx y +=与反比例函数xn m y +=的图像可能是（ ）例 2 下列三个函数：①1+=x y ；②x y 1=；③12+-=x x y 。