全称量词与存在量词(2)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析 (1)全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p：当 x＝－1 时，x＋x ＝－2，∴p 为假命题.取 x0∈(0，1)，
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( A.綈p：∀x∈R，x≤1 C.綈p：∀x∈R，x<1 B.綈p：∃x∈R，x≤1 D.綈p：∃x∈R，x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p：存在
π x∈0， ，使 2
sin x＋cos x> 2；命题 q：“∃x0∈(0，
＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题： (綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝ －m，由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min，得 0≥4－m，所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4，＋∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
全称量词与存在量词(2)
例2、判定下列命题的真假：
2
(1) ∃x ∈ R, x > x 2 ( 2 ) ∀x ∈ R, x > x 2 ( 3) ∃x ∈ Q, x − 8 = 0 2 ( 4 ) ∀x ∈ R, x + 2 > 0 2 ( 5) ∃x ∈ R, x − x + 1 > 0 2 ( 6 ) ∀x ∈ R, x + x + 1 > 0
1.3.1 全称量词与存在量词
南昌市湾里一中 徐周钰
• 德国的著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题 任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和， “任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和， 比如77， 比如 ，77=53+17+7，同年欧拉首先肯定了哥德 ， 巴赫猜想的正确，并且认为： 巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个 质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的， 质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的， 但是还需要证明。 但是还需要证明。这就是当今人们称之为哥德巴赫 猜想，并誉为数学皇冠上的明珠。 猜想，并誉为数学皇冠上的明珠。200多年来我国 多年来我国 著名数学家陈景润才证明了“ 著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一 即 个正整数大的任何偶数， 个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上 两个质数相乘，或者表示成一个加上一个质数， 两个质数相乘，或者表示成一个加上一个质数，从 陈景润的“ 似乎仅一步之遥。 陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥。它是一 到 似乎仅一步之遥 个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被 被推翻的命题” 被推翻的命题”
∀x
读作：对任意x 读作：对任意
短语“存在一个”“至少有一个”“有 短语“存在一个”“至少有一个”“有 ”“至少有一个”“ 些”“有一个”“对某个”“有的”“存在着” ”“有一个”“对某个”“有的”“存在着” 有一个”“对某个”“有的”“存在着 在逻辑中通常叫做存在量词 等，在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示： 符号表示：
全称量词与存在量词 逻辑联结词“且”“或”“非”
知识强化一、知识概述1、全称量词与全称命题（1）全称量词：短语“所有”、“每一个”、“任何”等在逻辑中通常叫作全称量词．（2）全称命题：含有全称量词的命题，叫作全称命题．注意：全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称命题的真假，若对于给定范围内的一切值，都使命题成立，则全称命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．2、存在量词与特称命题（1）存在量词：短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”等在逻辑中通常叫作存在量词．（2）特称命题：含有存在量词的命题，叫作特称命题．注意：存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着特称命题的真假．若对于给定的范围，至少存在一个值使命题成立，则特称命题为真命题．若不存在，则为假命题．3、全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．常见关键词及其否定形式如下表：词语是一定是都是大于且必有一个至少有n个至多有一个否定不是一定不是不都是小于或等于或一个也没有至多有(n－1)个至少有两个4、逻辑联结词“且”（1）p且q：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p且q”．（2）“p且q”真假的规定：当p、q都是真命题时，“p且q”是真命题；当p、q两个命题中有一个是假命题时，“p且q”是假命题．5、逻辑联结词“或”（1）p或q：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p或q”．（2）“p或q”真假的规定：当p、q两个命题中有一个是真命题时，“p或q”是真命题；当p、q都是假命题时，“p或q”是假命题．6、逻辑联结词“非”（1）非p：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”．（2）若p是真命题，则必是假命题；若p是假命题，则必是真命题．二、典型例题剖析例1、用全称量词和存在量词表示下列语句：（1）有理数都能写成分数形式；（2）n边形的内角和等于(n－2)×180°；（3）两个有理数之间，都有另一个有理数；（4）有一个实数乘以任意一个实数都等于0．分析：对于这类题目来说，改变叙述方式，添加量词，可以使题意更加清楚．解：（1）任意一个有理数都能写成分数形式．（2）一切n边形的内角和都等于(n－2)×180°．（3）任意两个有理数之间，都有一个有理数．（4）存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0．点评：因为叙述方式的多样性，有些题目，有些语句不是典型的全称命题或特称命题，而用全称量词和存在量词加以叙述后，可以使题意跃然纸上．例2、分别判断下列全称命题的真假：（1）所有的单位向量都相等；（2）公差大于零的等差数列是递增数列．分析：全称命题为假，可以举出反例，全称命题为真，需要给出证明．解：（1）假命题．如果两个单位向量的方向不相同，尽管有，但是．（2）真命题．设等差数列{an }的首项为a1，公差d>0，则，，所以公差大于零的等差数列是递增数列．例3、分别判断下列特称命题的真假：（1）有些向量的坐标等于其起点的坐标；（2）存在x0∈R，使sinx－cosx=2．分析：特称命题为真，可以求出相应的元素满足某种性质；特称命题为假，就是在给定的范围内不存在满足某种性质的元素．解：（1）真命题．设A(x1，y1)，B（x2，y2），，如A（1，3），B（2，6），，满足题意．（2）假命题．由于的最大值为，所以不存在实数x0，使sinx－cosx=2．例4、写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）p：任意x∈R，；（2）q：所有的正方形都是矩形；（3）r：存在x∈R，；（4）s：至少有一个实数x，使x3＋1=0．分析：（1）（2）是全称命题，（3）（4）是特称命题．解：（1）：存在x∈R，．为假命题．（2）：存在正方形不是矩形，假命题．（3）：任意x∈R，x2＋2x＋8>0．∵x2＋2x＋8=(x＋1)2＋7>0，∴为真命题．（4）：任意x∈R，x3＋1≠0．∵x=－1时，x3＋1=0，∴为假命题．例5、判断下列含有逻辑联结词的命题的类型与真假：（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；（2）9的平方根是3或9的平方根是－3；（3）．分析：根据命题中所含有的逻辑联结词判断新命题属于何种类型，再判断其真假．解：（1）这个命题是“p且q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．因为p是真命题，q是真命题，所以“p且q”是真命题．（2）这个命题是“p或q”的形式，其中p：9的平方根是3，q：9的平方根是－3．因为p是假命题，q是假命题，则“p或q”是假命题．（3）这是“非p”形式的命题，其中p：．因为p是真命题，则“非p”是假命题．例6、已知c>0，设p：函数y=c x在R上单调递减，q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R，若p或q为真，p且q为假，求实数c的取值范围．解：函数y=c x在R上单调递减0<c<1；不等式x＋|x－2c|>1的解集为R函数y=x＋|x－2c|在R上恒大于1，∴x＋|x－2c|=，∴函数y=x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，∴不等式x＋|x－2c|>1的解集为R2c>1，∵p或q为真，p且q为假，∴p，q一真一假．若p真q假，则0<c≤；若p假q真，则c≥1．综上所述，实数c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．。
1.5全称量词与存在量词
全称量词与存在量词【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题 全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”. 全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词， 例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”； （3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题 存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃”表示，读作“存在”. 特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题. 一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+. （2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”. 要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题 例1.判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->。
第3节 全称量词与存在量词
第3节全称量词与存在量词知识梳理1.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.2.全称命题和特称命题1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.3.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题.()(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题.()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词.()(4)“长方形的对角线相等”是特称命题.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1<0”的否定为________.答案∀x∈R，x2－ax＋1≥03.命题“对于函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题(填“真”或“假”).答案真解析当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数.4.(多选题)(2021·济南调研)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有()A.∃x0∈R，x20－x0＋14＜0B.所有的正方形都是矩形C.∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案AC解析由条件可知：原命题应为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.5.(2020·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.6.若命题“∃t0∈R，t20－2t0－a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，－1]解析命题“∃t0∈R，t20－2t0－a＜0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1].考点一含有一个量词的命题的否定1.已知命题p：“∃x0∈R，e x0－x0－1≤0”，则綈p为()A.∃x0∈R，e x0－x0－1≥0B.∃x0∈R，e x0－x0－1＞0C.∀x∈R，e x－x－1＞0D.∀x∈R，e x－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，e x－x－1＞0”，故选C.2.(2021·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形答案C解析“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形.3.(2021·山东重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则綈p为()A.∀f(x)∈A，|f(x)|∉BB.∀f(x)∉A，|f(x)|∉BC.∃f(x)∈A，|f(x)|∉BD.∃f(x)∉A，|f(x)|∉B答案C解析全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论.∴綈p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.4.若命题p的否定是“对所有正数x，x＞x＋1”，则命题p是________________.答案∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1感悟升华 否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.考点二 全称命题、特称命题的真假判断【例1】 (1)(多选题)(2021·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是( ) A.∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0B.∃x 0∈(0，1)，log 12x 0＞log 13x 0C.∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12xD.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜log 13x(2)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x ，使x 2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x ，使1x ＞2 答案 (1)BD (2)B解析 (1)对于A ，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立，故A 是假命题；对于B ，当x ＝12时，有1＝log 1212＝log 1313＞log 1312成立，故B 是真命题；对于C ，当0＜x ＜12时，log 12x ＞1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，故C 是假命题；对于D ，∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1＜log 13x ，故D 是真命题.(2)A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x ＜0，不满足1x ＞2，所以D 是假命题.感悟升华 判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.【训练1】 (1)(多选题)下列命题中是真命题的有( ) A.∀x ∈R ，2x －1＞0 B.∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C.∃x 0∈R ，lg x 0＜1 D.∃x 0∈R ，tan x 0＝2(2)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( ) A.∀x ∈R ，f (－x )≠f (x ) B.∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x ) C.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0) D.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 (1)ACD (2)C解析 (1)当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 为假命题，其余都是真命题，故选ACD. (2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例2】 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为________.(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)(－∞，－2] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析 (1)由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2. (2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14.感悟升华 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.【训练2】 (1)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________.(2)(2020·潍坊调研)若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈ [－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)1 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，得1≤tan x ＋2≤2＋ 3.∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1.∴实数m 的最大值为1.(2)由于函数g (x )在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集.函数f (x )的值域是[－1，3]，因为a ＞0，所以函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.A 级 基础巩固一、选择题1.命题p ：“∀x >1，x 2－1>0”，则綈p 为( ) A.∀x >1，x 2－1≤0 B.∀x ≤1，x 2－1≤0 C.∃x 0>1，x 20－1≤0D.∃x 0≤1，x 20－1≤0答案C解析命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为：∃x0>1，x20－1≤0.2.(多选题)(2020·重庆质检)下列命题中是真命题的有()A.∃x0∈R，log2x0＝0B.∃x0∈R，cos x0＝1C.∀x∈R，x2＞0D.∀x∈R，2x＞0答案ABD解析因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题；02＝0，选项C为假命题；2x＞0，选项D为真命题.3.下列命题是真命题的为()A.所有的素数都是奇数B.∀x∈R，x2＋1≥0C.对于每一个无理数x，x2是有理数D.∀x∈Z，1x∉Z答案B解析对于A，2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C假；对于D，1∈Z，但11＝1∈Z，D假，故选B.4.已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是()A.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0答案C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0，故选C.5.(多选题)(2021·烟台调研)下列四个命题中是真命题的有()A.任意x∈R，3x>0B.存在x∈R，x2＋x＋1≤0C.任意x ∈R ，sin x <2xD.存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1 答案 AD解析 ∀x ∈R ，3x >0恒成立，A 是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴B 是假命题.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π＝1>2－32π，知C 是假命题.取x ＝－12时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32，但x 2＋x ＋1＝34<32，则D 为真.6.已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞) D.(0，4)答案 D解析 因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题.则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.7.已知函数f (x )＝x 12，则( ) A.∃x 0∈R ，f (x 0)＜0 B.∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0 C.∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0D.∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)＞f (x 2) 答案 B解析 幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C 错误；D 选项中当x 1＝0，结论不成立.8.(2020·江南十校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A.p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B.p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C.p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D.p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，sin x <1，tan x >1.此时sin x －tan x <0，故命题p 为真命题.由于命题p 为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题， 则綈p 为：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0. 二、填空题9.命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0”的否定是________. 答案 ∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤010.下列命题中的假命题是________(填序号).①∃x 0∈R ，lg x 0＝1；②∃x 0∈R ，sin x 0＝0；③∀x ∈R ，x 3＞0；④∀x 1＞x 2，2x 1＞2x 2. 答案 ③解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x ＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x ＜0时，x 3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x 1＞x 2，2x 1＞2x 2，则④为真命题.11.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.12.能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.答案 f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一，再如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2)解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).B 级 能力提升13.命题“∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *，且f (n 0)≤n 0”的否定形式是( ) A.∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B.∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 B解析 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *且f (n 0)≤n 0”的否定形式是“∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n ”. 14.(多选题)(2021·青岛质检)下列说法正确的是( ) A.“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件B.定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最大值为30C.命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x ＞2”D.“所有的分数都是有理数”的否定是“有的分数不是有理数” 答案 ABD解析 由x ＝π4，得tan x ＝1，但由tan x ＝1不一定推出x ＝π4，可知“x ＝π4”是 “tan x ＝1”的充分不必要条件，所以A 正确；若定义在[a ，b ]上的函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 是偶函数，则⎩⎨⎧a ＋5＝0，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝5，则f (x )＝x 2＋5，其在[－5，5]上的最大值为30，所以B 正确；显然C 错误，D 正确.15.若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________.答案 (－∞，22]解析 若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立”是假命题， 即“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ＞2x 0＋1x 0成立”是假命题， 则“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 成立”是真命题， x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，当x 0＝22时，2x 0＋1x 0取最小值22， 故实数λ的取值范围为(－∞，22].16.已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.。
全称量词与存在量词
(2009·宁夏、海南)有四个关于三角函数的命题： p1：∃x∈R， p3：∀x∈[0，π], 其中的假命题是( A．p1，p4 ) B．p2，p4 C．p1，p3 D．p2，p3 ；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y； ＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝ .
题．
(3)此命题是“綈p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该 不等式的一个解，所以命题p为真命题，即綈p为假命题．所以原命题为假命题.
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)
成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0， 使得p(x0)不成立即可． 2．要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个 x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
(1)
属于集合Q，也属于集合R；
(2)矩形的对角线互相垂直或相等； (3)不等式|x＋2|≤0没有实数解．
思路点拨：先确定组成复合命题的每个简单命题的真假，再根据真值表判断复合 命题的真假． 解答：(1)此命题为“p∧q”的形式，其中p： ∈Q，q： ∈R，因命题p为假命题， 命题q为真命题，所以命题“p∧q”为假命题．故原命题为假命题． (2)此命题为“p∨q”的形式，其中p：矩形的对角线互相垂直，q：矩形的对角线 相等，因命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题，故原命题为真命
＝sin x表示全称命题，
成立，所以命题p3是真命题；(4)由命题p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝ 当sin x＝cos y时，x＋y＝kπ＋ 答案：A
表示全称命题，
(k∈Z)，所以命题p4是假命题．故选A.
全称量词和存在量词2
x M , p( x ) x M , p( x )
特称命题的否定
对特称命题p : x0 M , p( x0 ), 它的否定p：x M，（x）. p
特称命题的否定是全称命题. 特称命题的否定: （两变） “存在”变“任意”，“p(x)”变“﹁p(x)”
否定形式：若两个三角形全等,则它们不相似. 若p, 则q 否命题: 若两个三角形不全等,则它们不相似.
原命题：若a>b，则a+c>b+c 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c
若p, 则q
命题的否定形式 ：若a>b，则a+c≤b+c
学而时习之
1. 对下面含有量词的命题做否定：
所有的实数不是有理数。 存在某人的寿命是无限的。
全称量词和存在量词2
复习
全称量词（universal quantifier)
“任意”、 “所有”、 “每一个”等叫做“全称量词”，
数学上用符号
"" 表示。
含有全称量词的命题叫做全称命题 全称命题： （1）基本形式： x M , p( x ) （2）意义： 对于任意的属于M，使p(x)成立 （3）真假性的判断： 只要有一个x值不成立，即为假命题 一假即假
练习：若对于任意a [1,1], x 2 (a 1) x 2a恒成立，求x的取值范围。
x 2或 x 2
只要有一个x值成立，即为真命题 一真即真
例.若对于任意a [1,1], 函数f ( x) x 2 (a 4) x 4 2a的值恒大于零，求x的取值范围。
变式1: 若对于任意x ∈ [-1,1],函数f(x) = x 2 + (a - 4)x +4 - 2a的值恒大于零，求a的取值范围。 变式2 : 若对于存在a ∈ [-1,1],函数f(x) = x 2 + (a - 4)x +4 - 2a的值恒大于零，求x的取值范围。 变式3 : 若对于存在x ∈ [-1,1],函数f(x) = x 2 + (a - 4)x +4 - 2a的值恒大于零，求a的取值范围。
《全称量词与存在量词》示范课教学设计【高中数学人教】 (2)
环节三全称量词与存在量词◆教学目标1．通过对一些语句与命题之间关系的分析，抽象出全称量词，全称量词命题，存在量词，存在量词命题的概念，并能用数学符号表示含有量词的命题，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过具体问题的分析解决，掌握判断全称量词命题、存在量词命题真假的方法，在这个过程提升逻辑推理、直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：全称量词和存在量词的意义；教学难点：判断全称量词和存在量词命题的真假．◆课前准备PPT课件◆教学过程（一）整体概览问题1：阅读教科书第24页第一段（见下图片），本节将要研究哪些内容？请你罗列出来，如果让你来设计本节内容及其研究思路，你将会如何展开？师生活动：学生自主阅读教科书，独立梳理，展示交流，老师板书．预设的答案：研究内容及思路：通过具体实例，了解什么是全称量词和存在量词？因为加上量词的限定，使得语句成为一个命题，所以接下来要学习含有一个量词的命题的真假判断．进而研究对含有一个量词的命题的否定．设计意图：通过阅读教科书，梳理本节的研究内容及研究过程，初步构建本节学习内容的框架，让学生对将要学习的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：下列语句是命题吗？为什么？ （1）3>x ； （2）12+x 是整数．师生活动：学生独立作出判断，回答问题，互相更正．预设的答案：（1）（2）都不是命题，因为在这两个语句中，不知道变量x 代表什么数，无法判断真假，所以它们不是命题．设计意图：从学生熟悉的问题出发，为后续引出量词、认识量词的作用做好铺垫． （三）新知探究 1．形成概念问题3：语句（3）（4）是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？（1）3>x ； （2）12+x 是整数；（3）对所有的x ∈R ，3>x ；（4）对任意一个x ∈Z ，12+x 是整数．师生活动：学生独立思考，回答问题，展示交流，互相更正．预设的答案：（3）（4）是命题．（3）在（1）的基础上增加了短语“所有的”对变量x 进行限定；（4）在（2）的基础上增加了短语“任意一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．设计意图：借助具体例子，通过对比认识量词，体会量词的作用，由此引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念．老师讲解：用一个短语对变量的取值范围进行限定，可以使类似“3>x ”“12+x 是整数”的开语句成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．通常，将含有变量x 的语句用 ),(),(),(x r x q x p ，表示，变量x 的取值范围用M 表示．那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，)(x p 成立”可用符号简记为：)(,x p M x ∈∀．2．辨析理解问题4：你还能说出哪些全称量词？全称量词的含义是什么？并试着举出几个全称量词命题．师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流，互相修正，老师将学生举出的例子板书在黑板上．预设的答案：常见的全称量词：“每一个”“一切”“任给”等． 全称量词的含义：在指定范围内，表示整体或者全部的含义． 全称量词命题举例：（1）对任意的x ∈R ，012>+x ；（2）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数； （3）所有的一元二次方程都有实根； ……追问：全称量词命题可以简记为“)(,x p M x ∈∀”．在上述命题中，“M ”，“p （x ）”分别指的是什么？师生活动：学生独立思考，回答问题，老师或者同伴更正． 预设的答案：（1）“M ”指的是R ，“p （x ）”指的是“012>+x ”；（2）“M ”指的是“所有无理数”，“p （x ）”指的是“2x 也是无理数”； （3）“M ”指的是“所有一元二次方程”，“p （x ）”指的是“方程都有实根”； ……设计意图：通过举例，进一步加深学生对全称量词的认识，熟悉全称量词命题的概念和符号表示．问题5：请判断上述全称命题的真假，并说明理由．师生活动：学生独立判断，写出判断结果及理由，展示交流．老师帮助学生规范过程． 预设的答案： （1）是真命题；对于∀x ∈R ，总有0112>≥+x ．所以，全称量词命题“对任意的x ∈R ，012>+x ”为真命题；（2）是假命题；因为2是无理数，2)2(2=是有理数．所以，全称量词命题“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题；（3）是假命题；一元二次方程012=++x x 没有实根．所以，全称量词命题“所有的一元二次方程都有实根”是假命题．追问：对给定的全称量词命题，如何判断它的真假？师生活动：学生独立思考，自主总结，展示交流，教师引导，形成方法． 预设的答案：如果对集合M 中的每一个x ，p （x ）都成立，那么“)(,x p M x ∈∀”为真命题； 如果在集合M 中存在一个x 0，使得p （x 0）不成立，那么“)(,x p M x ∈∀”为假命题． 设计意图：通过对具体的全称量词命题真假的判断，使学生进一步理解全称量词的意义．学会全称量词命题真假的判断，并经过总结形成方法．3．形成概念问题6：下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）312=+x ； （2）x 能被2和3整除；（3）存在一个x ∈R ，使312=+x ； （4）至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除．师生活动：学生独立思考，回答问题，展示交流，互相更正．预设的答案：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题．（3）在（1）的基础上增加了短语“存在一个”对变量x 进行限定；（4）在（2）的基础上增加了短语“至少有一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．设计意图：借助具体例子，通过对比认识量词，体会量词的作用，由此引出存在量词的概念、符号以及存在量词命题的概念．老师讲授：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．类比全称量词命题的符号表示，存在量词命题“存在M 中的元素x ，)(x p 成立”可用符号简记为)(,x p M x ∈∃．4．辨析理解问题7：你还能说出哪些存在量词？存在量词的含义是什么？并试着举出几个存在量词命题．师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流，互相修正． 预设的答案：常见的存在量词：“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 存在量词的含义：在指定范围内，表示个别或一部分的含义． 存在量词命题：（1）有一个实数x ，使012=+x ； （2）存在一个无理数x ，2x 也是无理数； （3）有些平行四边形是菱形； ……设计意图：通过举例，进一步加深学生对存在量词的认识，熟悉存在量词命题的概念． 问题8：你能判断上述存在命题的真假吗？说明理由，并类比全称量词命题总结出存在量词命题真假的判断方法．师生活动：学生独立判断，写出判断结果、理由、总结，展示交流．老师帮助学生规范过程．预设的答案：（1）是假命题；对于∀x ∈R ，总有012>+x ，即不存在x ∈R ，使得012=+x ．所以，存在量词命题“有一个实数x ，使012=+x ”为假命题；（2）是真命题；因为12+是无理数，223)12(2+=+是无理数．所以，存在量词命题“存在一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题；（3）是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．所以，存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．方法：如果在集合M 中存在一个x 0，使得p （x 0）成立，那么“)(,x p M x ∈∃”为真命题；如果对集合M 中每一个x ，p （x ）都不成立，那么“)(,x p M x ∈∃”为假命题． 设计意图：通过对具体的存在量词命题真假的判断，使学生进一步理解存在量词的意义．学会存在量词命题真假的判断，并经过总结形成方法．（四）归纳小结问题9：本节课我们学习了全称量词和存在量词，全称量词和存在量词的意义分别是什么？常用的表述形式分别有哪些？什么是全称量词命题和存在量词命题？它们的符号表示分别是什么？如何判断它们的真假？回顾本节学习过程，与你在问题1中设计的研究过程和研究思路体现了研究一个概念的基本路径：具体例子→形成概念→表示→判断．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生对全称量词、存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题有一个整体的认知，并进一步总结它们的研究思路．。
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“x M , p( x)”的否定为“x M , p( x)” “x M , p( x)”的否定为“x M , p( x)”
从形式上看：全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 从真假上看：真假相反
评： 2.如何写出含有一个量词的命题的否定
先改量词，再否结论
1.命题"x0 CRQ, x Q "的否定是：
导
1、简单命题“若 p，则 q”,否定是什么？
2、复合命题
p q 的否定是什么？
3、对含有量词的否定形式是什么？ 例：平行四边形都是矩形.
导
本节任务：
1. 会准确写出含一个量词的命题的否定；
2. 能准确判断全称命题和特称命题的真假
3. 能根据全称命题和特称命题的真假求参数 的范围
议
对议：全称命题与特称命题的否定分别是什么？ 有何变化规律？ 组议：
(1)二次函数在R上恒成立, 利用二次函数开口方向及判别 式确定; (2)函数在x的某个区间上恒成立, 分离参命题求参数范围(存在性问题) 分离参数
(1)若存在一个实数x使a>f(x)成立, 则只要a>f(x)min.
(2)若存在一个实数x使a<f(x)成立, 则只要a<f(x)max.
2.命题“∀x∈R,x2+2x+8>0”是一个 它的真假性为 真命题 .
全称
命题,
1 3.已知命题p:“∃x∈ R, x> , ”,命题p的否定为命 x
1 ∀x∈ R , x≤ x 题q,则q是“
假命题 ”;q的真假性为
.
3 0
x CRQ, x Q
3
2.命题 "x1，x2 R,( f ( x2 ) f ( x1 ))( x2 x1 ) 0" 的否定是：
x1，x,2 R,( f ( x2 ) f ( x1 ))( x2 x1 ) 0
评 3.利用全称命题求参数范围(恒成立问题)
1、记忆含一个量词的命题的否定； 2、完善基础感知4解题步骤.
检
1.命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是 ( D ) A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0 C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0 D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0
检
1、由全称命题与特称命题分别为真命题可以转化为什 么问题来求解参数？ 2、讨论基础感知5的解题思路.
要求： 组长负责全员参与，分工协作。 先比对答案，然后探讨解题思路，总结解题规律 方法。
要求: 用语规范，面向大家， 吐字清晰，声音洪亮， 回答迅速！
评：
1.含有一个量词的命题的否定 一般地，我们有：