最新绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案
【2020-2021自招】四川省绵阳南山中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年四川省绵阳南山中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
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18题保密★启用前绵阳南山中学(实验学校)2015年自主招生考试试题数 学本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.第I 卷(选择题,共36分)一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1． －4的倒数是（ ）A ．4B ．－4C ．14D ．－142．下列运算正确的是（ ）A .3332a a a =gB . 633a a a =+C . 336)2(x x -=- D . 426a a a =÷ 3． 用科学记数法表示0.000031，结果是（ ）A ．3.1×10-4B ．3.1×10-5C ．0.31×10-5D ．31×10-64．要使式子2a a+有意义，则a 的取值范围为( ) A.2a ≥- .2B >-a.20C ≥-≠a 且a D.2≥-a 5．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形,它的左视图是（ ）A B C D6．如图，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°， 45A ∠=°，那么E ∠的大小为（ ） A.70° B.80° C.90° D.100°7.在平面直角坐标系中，已知点E (－4,2)，F (－2,－2)，以原点O 为位似中心， 相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是（ ） A ．(－2,1) B. (－8,4) C ．(－8,4)或(8,－4) D. (－2,1)或(2,－1)8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O 为△ABC 的内切圆，点D是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA 的值为（ ）A.32 B.33C.3D.29．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A.1k >-B. 1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠10．如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ， ∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）。
绵阳南山中学和南山中学实验学校度初升高自主招生考试数学试题(无答案)
绵阳南山中学和南山中学实验学校度初升高自主招生考试数学试题(无答案)为F 、G ，则∠FBG=________________.16. 不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x],如[2. 3]=2，[-1.5]= -2则方程[243+x ]=x 的所有实数解是______________. 17. 已知∆ABC 是锐角三角形，O 是其外接圆的圆心，∠ABC=60°，延长AO 交AB 于D ，则CEAD =_______________. 18如图，在扇形AOE 中，∠AOE= 120°，弦AB=BC=34，CD= DE=4连结OB.OD ，则图中两个阴影部分的面积和等于_______________.三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）19（本题共两个小题，满分16分，每小题8分）(1)已知M=,121)1()14.3(2220++-÷-++-x x x x x x π其中x 满足不等式组,343112⎪⎩⎪⎨⎧<-<-x x x 且x 为整数，求M 的值。
(2)解方程.013121111222=-++++xx x x x x 20.(本小题满分12分)中国天气网2019年6月18日1时通过手机发布的绵阳市一周的天气预报，如下图所示：(I)某位游客准备本周内到绵阳市参观，且连续呆两天，求这两天恰好一天有雨的概率；(II)从周一至周六的6天内任意选择两天，求两天的温差均小于或于8°C 上且只有一天有雨的概率。
（温差为白天气温与夜间气温的差）21.(本小题满分12分)在6月4日结束的FTC 机器人科技挑战赛全国总决赛中，由南山中学学生黄毅、何璐宇、李志君、杨振一、何科橙、李奇伟、姚力月、段维等同学组成的AuroraPlus 队，斩获全国亚军，黄毅同学获得美国两所大学的专项奖学金共计10万美元，这是我校FTC 机器人代表队继去年获同济大学邀请赛勇夺全国冠军后取得的又一佳绩.在某次机器人训练中，要求位于点0处的机器人甲要在最短的时间内与正在前进的机器人乙相遇，在机器人甲出发时，机器人乙位于点O 北偏西30°且与O 相距20米的A 处，并以30米/分钟的速度沿正东方向匀速行驶,假设机器人甲沿直线方向以v 米/分钟的速度匀速行驶，经过t 分钟与机器人乙相遇 （Ⅰ）若希望相遇时机器人甲行驶的距离最小，则机器人甲行驶的速度大小应为多少？（Ⅱ）假设机器人甲的最高行驶速度只能达到30米/分钟，试设计行驶方案（即确定行驶方向和行驶速度的大小），使得机器人甲能以最短时间与机器人乙相遇，并说明理由.22.(每小题满分12分）某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资金额成正比，其关系如图1所示B 产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，其关系如图2所示（注：利润与投资金额单位：万元）(Ⅰ)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资全额的函数关系式．（Ⅱ）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？23.(本小题满分12分)如幽，若P 是反比例函数x k y 2=的图象在第象限内一点，过点P 作y PD ⊥轴，垂足分别为D 、C ，DP 与CP 的延长线分别交反比例函数xk y 2=于B 、A 两点，且021>>k k(Ⅰ)证明AB//CD;(Ⅱ)用21k k ，表示CDAB 的值. 24.(本小题满分12分)在平面真角坐标系工xoy 中，二次函数)0(2<+=a ax x y 的图象与x 轴交于O 、A两点，且与直线321--=ax y 相切于点C. (I)求∠OAC;(II)若点D 在抛物线ax x y +=2上，E 在x 轴上，是否存在以0、C 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由。
【新】2019-2020绵阳南山中学实验学校初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年绵阳南山中学实验学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线33y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
2024届绵阳市南山中学高三数学(理)下期入学考试卷附答案解析
2024届绵阳市南山中学高三数学（理）下期入学考试卷考试时间：120分钟满分：150分2024.02一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A ．{}0,2,4,6,8B ．{}0,1,4,6,8C ．{}1,2,4,6,8D ．U2．设R a ∈，若复数()()2i 2i a -+在复平面内对应的点位于虚轴上，则=a （）A ．4-B ．1-C ．1D ．43．执行如图所示的程序框图，输出的S =（）A ．18B ．22C ．25D ．13754．已知向量,,a b c ，满足0a b c ++= ，3,4a c == ，且a c ⊥ ，则a b c -+= （）A ．5B ．C ．10D ．5．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，7498S S =-，则5S =（）A ．31B ．658C ．15D ．1586．逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（）A ．78B ．56C ．34D ．20217．设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：π2αβ+=，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，C 的一条渐近线与圆22(1)(2)2x y -+-=交于A ，B 两点，若2AB =，则双曲线的离心率为（）A ．53B C ．54D ．439．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A ．50B ．36C ．26D ．1410．已知函数()()sin π,0,2f x x x =∈的图象与直线()1y a x =-有3个交点，则实数a 的取值范围为（）A ．(),0∞-B ．()1,0-C ．(),π-∞-D ．()π,0-11．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，60ABC ∠= 且2,SA AB BC E ===为SA 的中点，则异面直线SC 与DE 所成的角的余弦值为（）A B C D 12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若123AF AF =，点M 满足123F M M F =，且1AM F B ⊥，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．3C ．23D ．63第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()21sin f x a x a x =-+为偶函数，则实数=a .14．若x ，y 满足约束条件0202x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为.15．如图，在平面四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，AB =，2AC =，则BD 的最大值为；16．已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O 体积的最小值为.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，232n n S a =-，其中*n ∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和n T ，若对任意*n ∈N 且2n ≥，()21(1)n T n λ-≥-恒成立，求实数λ的取值范围．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11A ACC ；(2)若13BP BA =uu r uu r，求二面角11C A P B --的正弦值．19．第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的14，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.(1)完成下面22⨯列联表，试根据小概率值0.001α=的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？男女合计喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛合计60(2)在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X ，求X 的分布列和期望.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82820．已知抛物线22(0)y px p =>上的点Q 到焦点的距离为8，点Q 到x .(1)求抛物线的方程；(2)取抛物线上一点(),1P a ，过点P 作两条斜率分别为12,k k 的直线与抛物线交于,A B 两点，且122k k ⋅=，则直线AB 是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.21．已知函数()()()ln 121,0f x a x a x a =-+++≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()()2sin 14F x f x x x =+--，求证：当1a =时，()F x 恰有两个零点.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22．已知圆C 的参数方程为14cos 14sin x y ββ=-+⎧⎨=+⎩（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），l 与C 交于A ，B 两点，||AB =l 的斜率.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|3|2|5|f x x x =-++的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)若0a >，0b >且1ab =，求1122m a b a b+++的最小值．1．A【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.2．B【分析】由复数乘法运算可得该复数在复平面内对应的点为()22,4a a +-，由复数的几何意义可解得1a =-.【详解】根据题意可得()()()22i 2i 2i 4i 2i 224i a a a a a -+=+--=++-，所以在复平面内对应的点为()22,4a a +-，即()22,4a a +-在虚轴上，因此可得220a +=，即1a =-；故选：B 3．C【分析】根据程序框图的功能，一一循环验证即可.【详解】解：执行该程序框图，12,2,4S k k ==≤成立，18,3,4S k k ==≤成立，22,4,4S k k ==≤成立，25,5S k ==，不满足4k ≤，输出的25S =.故选：C 4．C【分析】利用平面向量数量积与模长关系计算即可.【详解】由题意可知0a c ⋅= ，且0a b c ++=，则()b a c =-+，5b == ，所以210a b c b -+==．故选：C 5．A【分析】利用等比数列的定义及其求和公式计算即可.【详解】设{}n a 的公比为q ，由题意可知1,0q q ≠>，则()()747433741198989818011q q S S q q q q q q q q--=-⇒=⨯-⇒-+=--=--，解之得2q =，所以551311q qS -==-.故选：A 6．A【分析】把相关事件用字母表示，并分析事件的关系，结合对立事件求出概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B ：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件|B A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，显然,B A AB A B B ⊆== ，()10.040.96,()10.160.84P A P B =-==-=，所以()()0.847()()()0.968|P AB P B P B A P A P A ====.故选：A 7．B【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式，结合充要条件的判断方法即可得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，取π5π,36αβ==，满足要求，但π2αβ+≠，则甲不是乙的充分条件；当π2αβ+=时，π2βα=-，则πsin sin cos 2βαα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2222sin sin sin cos 1αβαα+=+=，则甲是乙的必要条件；综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选：B.8．C【分析】利用双曲线的性质及点到直线的距离、圆的弦长公式计算即可.【详解】易知圆心()1,2，半径r =0ay bx ±=，所以有圆心到渐近线的距离2222144d a ab b a b ===⇒±+=+，解之得340a b ±=，显然由0,0a b >>可得5344a b e =⇒=.故选：C 9．A【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.【详解】（1）按照2,2,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有24C 6=种，②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有122432C C A 24=种，（2）按照3,1,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有3242C A 8⋅=种，②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有2242C A 12=种，故共有62481250+++=种，故选：A.10．D【分析】利用直线过定点以及正弦函数图象，求得()f x 在()1,0处的切线斜率并结合图象即可求得实数a 的取值范围.【详解】易知直线()1y a x =-恒过定点()1,0，且()sin πf x x =的周期为2，也过()1,0；画出函数()sin πf x x =的图象如下图实线部分所示：若两函数图象有3个交点可知，直线()1y a x =-的斜率a<0；若直线()1y a x =-与()sin πf x x =相切，可得()1a f ='，易知()πcos πf x x ='，则()1πa f ='=-，结合图象可知()π,0a ∈-时满足题意.故选：D 11．B【分析】分别取,,SB BC CD 的中点,,F G H ，连接,,,,,EF FG GH FH BD AC ，则可证明GFH ∠为异面直线SC 与DE 所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出FG ，FH 和GH 的长度，利用余弦定理计算得到答案.【详解】如图所示：分别取,,SB BC CD 的中点,,F G H ，连接,,,,,EF FG GH FH BD AC .由60ABC ∠= 且2AB BC ==可得ABC 是等边三角形，则//EF AB 且1=2EF AB ，//DH AB 且12DH AB =，故//EF DH 且EF DH =，所以四边形EFHD 为平行四边形，故//ED FH ，因为//FG SC ，所以GFH ∠为异面直线SC 与DE 所成的角（或其补角），因为SA ⊥平面ABCD ，,AD AC ⊂平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA AC ⊥，故SAC 和EAD 均为直角三角形，所以22111442222FG SC SA AC ==+=+=，225FH ED EA AD ==+=，1122GH BD ==⨯=由余弦定理得cos GFH ∠==.则异面直线SC 与DE 所成的角的余弦值为105.故选：B 12．B【分析】由123AF AF =、123F M M F =结合正弦定理可得12FAM F AM ∠=∠，又1AM F B ⊥，故1AB AF =，再结合余弦定理计算即可得离心率.【详解】由椭圆定义可知122AF AF a +=，由123AF AF =，故132AF a =，212AF a =，点M 满足123F M M F =，即123F M MF =，则12212233AF AF AF F MMF MF ==，又1111sin sin AF F M AMF F AM=∠∠，2222sin sin AF F M AMF F AM=∠∠，即12121122sin sin sin sin AF AF AMF AMF F MF AM MF F AM∠∠===∠∠，又12180AMF AMF ∠+∠=︒，故12sin sin AMF AMF ∠=∠，则12sin sin F AM F AM ∠=∠，即12FAM F AM ∠=∠，即AM 平分12F AF ∠，又1AM F B ⊥，故132AB AF a ==，则23122BF a a a =-=，则12BF a a a =-=，()22222211322122cos 21222c a c a AF F e ac e c a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∠===-⨯⨯，()22222124cos 224c a a c BF F e c aac+-∠===⨯⨯，由2121180AF F BF F ∠∠=+︒，故2121cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即120e e e -+=，即231e =，又0e >，故33e =.故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于由123AF AF =、123F M MF =，得到AM 平分12F AF ∠，结合1AM F B ⊥，从而得到1AB AF =.13．0【分析】先求定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用偶函数的定义，即()()f x f x -=是恒等式，求参数值即可．【详解】函数()()21sin f x a x a x =-+的定义域是R ，定义域R 关于原点对称；()()()221()sin()1sin f x a x a x a x a x -=--+-=--，由于()f x 为偶函数，得到()()()221sin 1sin ()f x a x a x a x a x f x -=--=-+=恒成立；即对于,2sin 0x a x ∀∈=R 恒成立，所以0a =.故答案是：0.14．2-【分析】作出可行域，确定目标函数取最小值时过可行域内的点，求出该点坐标，代入求值，可得答案.【详解】作出不等式组0202x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如图所示（阴影部分）：平移直线30x y +=，当直线过可行域内的点B 时，直线在y 轴上的截距最小，即目标函数3z x y =+取得最小值，联立20x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(1,1)B -，故目标函数3z x y =+的最小值为()min 1132z =+-⨯=-.故答案为：2-15．3【分析】在Rt ACD △中，求得AD ，然后在ABD △中，由余弦定理求出2BD 的表达式，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的性质求解BD 的最大值.【详解】设π0,2CAD θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在Rt ACD △中，cos 2cos AD AC θθ==．在ABD △中，因为2πBAD θ∠=+，由余弦定理得()2222π2cos 34cos 22cos sin 2BD AB AD AB AD θθθθ⎛⎫=+-⋅⋅+=+-⨯⋅- ⎪⎝⎭21cos 234cos 224322cos 252θθθθθθ+=++=+⋅+=++π4sin 256θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以BD =所以当ππ262θ+=，即π6θ=时，BD 最长，BD 3=．故答案为：3.16．2716π2716π【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得2324h R h =+，故只需求出外接球半径的最小值即可.【详解】设球O 的半径为R ，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为h ，r .如图，球心在正四棱锥内时，由22211OO O B OB +=，可得()222h R r R -+=，即2220h Rh r -+=（*）.球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.又正四棱锥的体积为()21213r h =，则232r h =，代入（*）式可得2324h R h =+.通过对关于h 的函数()R h 求导，即()31322R h h ='-，易得函数()R h 在(单调递减，在)∞+单调递增，则()min R h R==从而，球O 的体积的最小值3427ππ316R =.故答案为：27π16.【点睛】关键点点睛：关键是首先得到2324h R h =+，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解.17．(1)123n n a -=⋅(2)18λ≤【分析】（1）首先得12a =，由,n n S a 之间的关系得数列{}n a 为等比数列，由此即可得解.（2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解.【详解】（1）当1n =时，111232,2a a a =-∴=，当2n ≥时，11232,232n n n n S a S a --=-∴=-，两式相减，得1123,33n n n n n a a a a a --=-∴=，又120a =≠，所以数列{}n a 为等比数列，首项为2，公比为3，所以数列{}n a 的通项公式是123n n a -=⋅.（2）由（1）知，1(21)3212n n n b a n n --==-⋅，0121133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，则有12313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，两式相减得：()2312123333(21)3n nn T n --=+++++--⨯ ()131312(21)3(22)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--，于是得(1)31n n T n =-⋅+，因为*N n ∈且2n ≥，()21(1),23nn T n λλ-≥-∴≤⋅，当2n ≥时，数列{}23n ⋅是递增数列，所以23n ⋅的最小值为18，因此18λ≤.18．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）首先由解三角形知识得1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式结合平方关系即可得解.【详解】（1）如图，连接1A C ，在1A AC △中，12A A =，1AC =，160A AC ∠=︒，由余弦定理，得222111112cos 4122132A C AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1AC ，所以22211A C AC A A +=，所以1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，又BC AC C ⋂=，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ，又1AC ⊂平面11AACC ，所以平面ABC ⊥平面11A ACC ．（2）由平面几何知识可知，AC CP ⊥，以C 为坐标原点，以,CA CP ，1CA 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,0,0A ，13,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1A ，所以(1AA =-，32AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面1A AB 的法向量为()111,,m x y z =，则11111033022m AA x m AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11z =，得)m = ．又平面1CA P 的法向量为()1,0,0n = ，∴cos ,13m n = ，所以二面角11C A P B --．19．(1)列联表见解析，认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.(2)分布列见解析，()12E X =【分析】（1）根据题意即可完善列联表，代入计算可得234.02810.828χ≈>，可知喜爱观看足球比赛与性别有关联；（2）可确定抽取的8人中男生2人，女生6人，即可得X 的可能取值为0,1,2，分别求出其概率列出分布列可得期望值.【详解】（1）根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为140104⨯=人，可得得22⨯列联表如下：男女合计喜爱看足球比赛501060不喜爱看足球比赛103040合计6040100根据列联表中的数据计算得220.001100(50301010)122534.02810.8286040604036x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.001α=的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.（2）按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，则X 的可能取值为0,1,2，()()2116622288C C C 1530,1C 28C 7P X P X ======，()2228C 12C 28P X ===，所以X 的分布列为X012P 152837128期望值()15311012287282E X =⨯+⨯+⨯=.20．(1)24y x=(2)答案见解析【分析】（1）由抛物线的定义求出2p =，进而可得抛物线的方程；（2）设直线的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程化简得2440y my n --=，利用根与系数的关系可得121244y y m y y n+=⎧⎨=-⎩，再利用121244211k k y y ⋅=⋅=++，列方程即可求出74n m =-，进而可得直线l 经过定点.【详解】（1）22(0)y px p =>，准线为2p x =-，点Q 分别向x 轴和准线做垂线，垂足为,M N ，则MQ =，8QN QF ==，所以82p Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点Q 在抛物线上，所以)2282p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220p p -=，解得2p =或0p =（舍），所以抛物线的方程为24y x =.（2）点(),1P a 在24y x =上，所以14a =，解得14a =，所以1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，1112111114111444y y k y y x --===+--，同理，2241k y =+，所以121244211k k y y ⋅=⋅=++，即()()1216211y y =++，设直线AB 为x my n =+，则24y x x my n⎧=⎨=+⎩，即2440y my n --=，所以124y y m +=，124y y n =-，所以()()()1212121616162111441y y y y y y n m ===+++++-++，解得74n m =-，代入到直线方程x my n =+，得74x my m =+-，即()714x y m +=+，当10y +=，即1y =-时，74x =-，所以直线AB 过定点7,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：1.求抛物线方程的关键是利用抛物线的定义，点Q 到准线的距离等于它到焦点的距离列出方程；2.第二问的关键是设出直线的方程和A 、B 两点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得出124y y m +=，124y y n =-，将122k k ⋅=用斜率公式表示出来即可，从而判断出所过的定点.21．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数分类讨论函数单调性；（2）由题意，当1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+，令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，借助导数研究函数()h x 的单调性，结合函数值的正负性和零点存在定理可证.【详解】（1）()()()()21222,1111a x aa x a f x a x x x x +-++-=++==>---'.当2a =-时，()()20,1f x f x x =-<∴-'在()1,∞+上单调递减.当20a -<<时，在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上，有()0f x '<，在2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上，有()0f x '>,故()f x 在21,2a ⎛⎫⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增.当0a >时，()()()22,220,a x a x f x +>+->∴在()1,∞+上单调递增.当2a <-时，()()20,220,a a x f x +<+-<∴在()1,∞+上单调递减.综上所述，当20a -<<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增.当0a >时，()f x 在()1,∞+上单调递增.当2a ≤-时，()f x 在()1,∞+上单调递减.（2）1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+.令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，则()12cos 1h x x x ='+-.令()()()21,2sin m x h x m x x x ==--''.i.(]0,1x ∈时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在(]0,1上单调递增.又()12sin110h =->，()222e 22sine e 0h ---=-+-<∴存在一个零点(]11,0,1x x ∈，使()10h x =.ii.(]1,πx ∈，()212sin 0m x x x =--<'恒成立，()m x ∴在(]1,π上单调递减.又()1π210πm =--<，()12cos10m =>.存在零点0x ，使()00m x =.()()01,,0x x h x '∴∈>，()()0,π,0x x h x ∈'<.()h x ∴在()01,x 上单调递增，()0,πx 上单调递减.又()()010,0h h x >∴>.()πlnππ0h =-<，∴存在一个零点()220,,πx x x ∈，使()20h x =.iii.3ππ,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()112cos 0h x x x ∴=-+<'恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.()()πlnππ0h x h ∴<=-<恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭没有零点.iv.3π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，ln 2sin ln 2x x x x x+-≤+-下面来证明当3π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，ln 20x x +-<.设()2ln n x x x =--.()110n x x =->'.()n x ∴在3π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，()3π3π3π3π,2ln 2ln 02222n x n ⎛⎫≥-->-> ⎪⎝⎭，ln 20x x ∴+-<恒成立.综上所述，()h x 在()0,∞+只有两个零点.又()F x 是由()h x 向右平移一个单位所得，()F x ∴在()1,∞+只有两个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．22．(1)()22cos sin 140ρρθθ+--=(2)1【分析】（1）根据题意结合极坐标与直角坐标之间的关系运算求解；（2）由题意可知：直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，根据极坐标的定义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）由题意可得：圆C 的普通方程为()221(1)16x y ++-=，将cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ+=代入普通方程，得()22cos sin 140ρρθθ+--=，故圆C 的极坐标方程为()22cos sin 140ρρθθ+--=.（2）由题意可知：直线l 过坐标原点，倾斜角为[)0,πα∈的直线，在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，设A ，B 所对应的极径分别为12,ρρ.将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得()22cos sin 140ρραα+--=，于是1212sin co 4s ,1ρραραρ-+==-，可得12AB ρρ=-===，则sin 21α=，且[)0,πα∈，则[)20,2πα∈，可得π22α=，即π4α=，所以l 的斜率为tan 1k α==.23．(1)8m =(2)4【分析】（1）可借助零点分段法分类讨论计算或借助绝对值三角不等式计算；（2）对原式化简变形后借助基本不等式即可得.【详解】（1）解法一：当3x ≥时，()(3)2(5)37f x x x x =-++=+，此时()f x 单调递增，所以()f x 的最小值为16；当53x -<<时，()(3)2(5)13f x x x x =--++=+，此时()f x 单调递增，故8()16f x <<；当5x ≤-时，()(3)2(5)37f x x x x =---+=--，此时()f x 单调递减，所以()f x 的最小值为(5)8f -=，综上，()f x 的最小值为8，故8m =；解法二：()355(3)(5)5858f x x x x x x x x =-++++≥--+++=++≥，当且仅当5x =-时等号成立，所以()f x 的最小值为8，故8m =；（2）1188842222a ba ba b a b ab a b a b ++++=+=+≥=+++，当且仅当4a b +=，即22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22a b⎧=⎪⎨=+⎪⎩所以1122ma b a b +++的最小值为4．。
四川省绵阳南山中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题 答案
绵阳南山中学2021级高一新生入学考试数学（参考解析）第卷（选择题,共36分）一、选择题：1.【答案】C【解析】因为a +b =0，所以a ，b 两个实数一定是相反数．2.【答案】B【解析】绝对值等于它本身的数有0和正数，①错误；0的绝对值是0，②错误；4的相反数是-4，-4的绝对值是4，③正确；任何有理数的绝对值都不是负数，④正确.3.【答案】D【解析】A、如果a =-3，b =5，那么a +b =2＞0，但是a ＜0，故本选项错误；B、如果a =3，b =-5，那么a +b =-2＜0，但是a ＞0，故本选项错误；C、如果a =-3，b =5，那么a +b =2＞-3=a ，但是a +b =2＜5=b ，故本选项错误；D、若|a |=|b |，则a =b 或a +b =0，故本选项正确．4.【答案】A【解析】时钟指向上午10：10分，时针与分针相距3+=份，时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是30°×=115°，故选A．5.【答案】A【解析】根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x +4），根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x +1），故3（x +4）=4（x +1）.故选A.6.【答案】B 【解析】设A 港到B 港的路程为1，则顺水速度为，逆水速度为，水流速度为．设帽子漂流到B 港需要的时间是x 小时，由题意得解得：x =32．故选B．7.【答案】B 【解答】解：∵sin∠CAB ＝＝，∴∠CAB ＝45°．∵∠C ′AC ＝15°，∴∠C ′AB ′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B ′C ′＝3．8.【答案】D【解析】设每辆中巴车载客x 人，每辆小客车载客y 人，由题意，得解得3×18＋6×7＝96(名)，故选D.9.【答案】C 【解答】解：L ＝＝4π（cm ）；圆锥的底面半径为4π÷2π＝2（cm ），∴这个圆锥形筒的高为＝4（cm ）10.【答案】D【解析】解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a ＞0，∵对称轴为直线x ＝－＞0，∴b ＜0，∵当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，∴y ＝bx ＋a 的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交，反比例函数y ＝图象在第二、四象限，只有D 选项图象符合．故选D.11.【答案】C 【解析】若假设M 1＝{－1，1}，M 2＝{－1，2}，M 3＝{－1，4}，M 4＝{1，2}，M 5＝{1，4}，M 6＝{2，4}，∵－1＋1＝0，－1＋2＝1，－1＋4＝3，1＋2＝3，1＋4＝5，2＋4＝6，可得M 3＝M 4，∴M 3和M 4不符合题意，可得S 的最大值为5.12.【答案】D 【解析】如图，连接BE ，根据圆周角定理，可得∠C ＝∠AEB ，∵∠AEB ＝∠D ＋∠DBE ，∴∠AEB ＞∠D ，∴∠C ＞∠D ，根据锐角三角形函数的增减性，可得，sin ∠C ＞sin ∠D ，故①正确；cos ∠C ＜cos ∠D ，故②错误；tan ∠C ＞tan ∠D ，故③正确，故选D.第卷（非选择题，共114分）二、填空题：13.【答案】2或－6【解析】＝±4，＝－2，－4＋(－2)＝－6，4＋(－2)＝2.14.【答案】(－2,4)【解析】因为点P (2a,1－3a )是第二象限内的一个点，且点P 到两坐标轴的距离之和为6，所以－2a ＋1－3a ＝6，解得a ＝－1，所以2a ＝2×(－1)＝－2，1－3a ＝1－3×(－1)＝1＋3＝4，所以，点P 的坐标为(－2,4)．15.【答案】30%【解析】总人数是5＋10＋20＋15＝50(人)，优秀的人数是：15人，则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是×100%＝30%.16.【答案】23【解析】设点P (m ，n )，∵P 是反比例函数y ＝3x (x ＞0)图象上的点，∴n ＝3m，∴点P (m ，3m )．∵PB ∥x 轴，∴B 点的纵坐标为3m，将点B 的纵坐标代入反比例函数的解析式y ＝1x (x ＞0)得，x ＝m 3，∴B (m 3，3m )，同理可得：A (m ，1m )．∴PB ＝m －m 3＝2m 3，PA ＝3m －1m ＝2m，∴S △PAB ＝12PA ·PB ＝12×2m ×2m 3＝23.17.【答案】2或4【解析】设每户居民每月用水不超过5m 3时，收费为x 元/m 3，超过5m3时，收费为y 元/m 3.由题意，得解得答：每户居民每月用水不超过6m 3时，收费为2元/m 3，超过6m 3时，收费为4元/m 3.故答案为2；4.18.【答案】解：当AC 与⊙O 相切于点C 时，P 点纵坐标的最大值，如图，直线AC 交y 轴于点D，连结OC，作CH⊥x 轴于H，PM⊥x 轴于M，DN⊥PM 于N，∵AC 为切线，∴OC⊥AC，在△AOC 中，∵OA=2，OC=1，∴∠OAC=30°，∠AOC=60°，在Rt△AOD 中，∵∠DAO=30°，∴OD=OA=，在Rt△BDP 中，∵∠BDP=∠ADO=60°，∴DP=BD=（2﹣）=1﹣，在Rt△DPN 中，∵∠PDN=30°，∴PN=DP=﹣，而MN=OD=，∴PM=PN+MN=1﹣+=，即P 点纵坐标的最大值为．故答案为．∴BE ＝PE ，∴AH ＝PE ＝BG ＝BE ＝CF ＝PG ，同理AE ＝HP ＝DF ＝PF ＝CG ，∴四边形AEPH 的周长＝四边形GPFC 的周长，∴④正确；三、解答题19.（1）原式=33|4343|141⨯--+-=33)4343(43⨯--=414343+-=431-．（2）解：原式=]))((2[))(()()(2y x y x y x y x x y x y x y x y y x x ++--+÷-+++-=22222222y x x y x y x y x +-+⋅-+=))((xy y x y x -+=yx -1．20.【解析】(1)画树状图如下:如果是列表法,列表如下:由此可见:该顾客最少可得20元购物券,最多可得80元购物券.(2)树状图中可以看出,一共有16种等可能的结果,该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况,所以该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为=.21.【答案】解：（1）y 1=（6-a ）x -20，（0＜x ≤200）y 2=10x -40-0.05x 2=-0.05x 2+10x -40．（0＜x ≤80）．（2）对于y 1=（6-a ）x -20，∵6-a ＞0，∴x =200时，y 1的值最大=（1180-200a ）万元．对于y 2=-0.05（x -100）2+460，∵0＜x ≤80，∴x =80时，y 2最大值=440万元．（3）①（1180-200a ）=440，解得a =3.7，②（1180-200a ）＞440，解得a ＜3.7，③（1180-200a ）＜440，解得a ＞3.7，∵3≤a ≤5，∴当a =3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．当3≤a ＜3.7时，生产甲产品利润比较高．当3.7＜a ≤5时，生产乙产品利润较高．22．【答案】(1)证明：∵AD＝BC，∴＝.∴＝，∴AB＝CD.(2)解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.则AF＝FD，BG＝CG.∵AD＝BC，∴AF＝CG.在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG(HL)，∴OF＝OG.又AD⊥CB，∴四边形OFEG是正方形．∴OF＝EF.设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x＋1，在Rt△OAF中．由勾股定理得到x2＋(x＋1)2＝52，解得x＝3.则AF＝3＋1＝4，即AE＝AF＋EF＝4＋3＝7.23．【答案】解(1)电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，∵图象经过(9,4)，∴4＝，解得k＝4×9＝36，∴I＝；(2)蓄电池的电压是4×9＝36；(3)填表如下：(4)∵I≤10，I＝，∴≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．24．【答案】解：（1）由已知可得AD=＝，则S=1×＝m2，（2）设AB=x m，则AD=3-x m，∵3−x＞0，∴0＜x＜，设窗户面积为S，由已知得S＝AB•AD＝x(3−x)＝−x2+3x＝−(x−)2+，当x=m时，且x=m在0＜x＜的范围内，S＝m2＞1.05m2，∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．最大值25．【答案】解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，∴△AOC∽△COB，∴OA•OB＝OC2，∴OB＝，∴m＝4，将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）D（1，n）代入y＝x2﹣x﹣2，得n＝﹣3，可得（不合题意舍去），，∴E（6，7）．过E 作EH ⊥x 轴于H ，则H （6，0），∴AH ＝EH ＝7，∴∠EAH ＝45°．过D 作DF ⊥x 轴于F ，则F （1，0），∴BF ＝DF ＝3，∴∠DBF ＝45°，∴∠EAH ＝∠DBF ＝45°，∴∠DBH ＝135°，90°＜∠EBA ＜135°．则点P 只能在点B 的左侧，有以下两种情况：①若△DBP 1∽△EAB ，则，∴BP 1＝＝＝，∴OP 1＝4﹣＝，∴P 1（，0）．②若△DBP 2∽△BAE ，则，∴BP 2＝＝＝，∴OP 2＝﹣4＝，∴P 2（﹣，0）．综合①、②，得点P 的坐标为：P 1（，0）或P 2（﹣，0）．（3）∵HQ ∥AB ∴△CHQ ∽△CAB ∴HQ ：AB ＝CR ：CO ，即：设HG ＝x ，则＝解得：HQ ＝﹣x +5，∴矩形的面积S ＝HG •HQ ＝﹣x 2+5x当x ＝﹣＝1时，面积取得最大值．则H ，R ，Q 的纵坐标是﹣1．则HQ ＝﹣×1+5＝设直线AC 的解析式是y ＝kx +b ，根据题意得：，解得：则AC 的解析式是：y ＝﹣2x ﹣2，在解析式中，令x ＝﹣1，解得：y ＝0则H 的坐标是（﹣，﹣1）．F 的坐标是（2，0）．则HF ＝．设直线FH 的解析式是y ＝kx +b ，根据题意得：，解得：，则直线FH 的解析式是y ＝x ﹣．解方程组：，解得：x ＝．当直线与抛物线相交时，k ＝＝＝或＝．则k的范围是：k＞0且k≠且k≠．。
绵阳南山中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(含答案)
2024年9月绵阳南山中学2024-2025学年秋高三上9月月考试题数 学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合{}2A x =∈≤，{}23B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{}03x x ≤≤B ．{}24x x -≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3,4--2．若命题p ：x R ∃∈，2220x x ++≤，则命题p 的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2220x x ++> B ．x R ∀∈，2220x x ++< C ．x R ∀∈，2220x x ++>D ．x R ∀∈，2220x x ++≤3．若0a b c <<<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11c c a b-<- B ．2a b c +>C ．2ab c >D ．ac bc >4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，102a =，则14S =（ ） A ．49B ．63C ．70D ．1265．已知函数1()ln(1)f x x x b=+-为偶函数，则b =（ ） A ．0 B ．14C ．12D ．16．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则mi n t 后物体的温度θ℃满足公式()010e ktθθθθ-=+-（其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min 后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（ ）A ．ln2k =B ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需4minC ．2ln2k =D ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需2min 7．根据变量Y 和x 的成对样本数据，由一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆy bx a =+，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数22,0,()414,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-++<⎪⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,0}--C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列函数中，是增函数的是（ ） A ．()22xxf x -=-B ．()1f x x=-C ．()3f x x x =+D ．()cos f x x x =-10．某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，且()26.6350.01P χ>=，则下列说法正确的是（ ）A ．饭前服药的患者中，药效强的频率为45B ．药效弱的患者中，饭后服药的频率为710C ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异D ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异11．已知函数()f x （x R ∈）是奇函数，()g x 是()f x 的导函数（x R ∈），()12f =且有()f x 满足()()222f x f x +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2022)0f =B ．函数()g x 为偶函数C ．(1)1g =D ．函数()g x 的周期为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12．若1cos 3α=，()0,α∈π，则sin 2α= . 13．函数1()2sin (440)f x x x x x=--≤≤≠且的所有零点的和等于 . 14．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()2ln2100x x a x ax a ⎛⎫-+-++≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数 a = .四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5,7a b ==. (1)若8c =，求B ；(2)若ABC V 的面积为，求c .16．（15分）在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且364n n S a -=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，求λ的取值范围．17．（15分）某生物兴趣小组研究某种植物的生长，每天测量幼苗的高度，设其中一株幼苗从观察之日起，第x 天的高度为 c m y ，测得一些数据图如下表所示:(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明； (2)求y 关于x 的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:()5521140, 5.53i i i i i x y y y ===-=∑∑.参考公式:相关系数()()niix x y y r --=∑ˆy bx a =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,nii nii ix x yy bay bx x x ==--==--∑∑.18．（17分）函数32()231f x x ax =-+.(1)若a =1，求函数()f x 在1x =-处的切线方程；(2)证明：存在实数a 使得曲线()y f x =关于点(1,3)-成中心对称图形； (3)讨论函数()f x 零点的个数.19．（17分）已知()21e 4e 52x x f x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 有两个极值点1x ，2x . （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()()12120f x f x x x +++<.数学参考答案及评分标准二、 多选题12、913、0 14四、解答题 15.（1）由余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-== …………………………………………………….……..3分又()0,B ∈π故3B π=； ……………………………………………………….…..6分（2）由三角形的面积公式1sin 2S ab C ==从而sin C =…………………………………….……..8分若(0,)2C π∈,1cos 7C ==，8c ==……………10分若(,)2C π∈π，1cos 7C ==-，c ==12分从而8 c =或 …………………………………..13分 16.（1）因为364n n S a -=，当1n =时，11364S a -=，解得132a =；………………………………………………...2分当2n ≥时，11364n n S a ---=，所以11330n n n n S a S a ----=+，所以112n n a a -=-;………4分所以 是以32为首项，12-为公比的等比数列，所以11322n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………………………………….6分（2）由（1）可得6411,326464113326411,32n nn n n n a S n ⎧⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎪⎢⎥+⎣⎦⎛⎫==--=⎢⎥⎨ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎪⎣⎦⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎩为偶数为奇数， 又12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增，所以当n 为偶数时，264164111163232n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≥-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当n 为奇数时，64164111323232n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………10分 所以当1n =时n S 取得最大值为32，当2n =时n S 取得最小值为16， 因为n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，所以1163244λλ-<⎧⎨≤+⎩，解得717λ≤<，………………………………………………… …...14分所以λ的取值范围为[)7,17. …………………………………………………………...15分17.（1）由1(12345)35x =++++=，1(1.3 1.7 2.2 2.8 3.5) 2.35y =++++=，()52110ii x x =-=∑，……………………… …….3分所以()()55niii ix x y y x y xyr ---==∑∑5.50.9955.53==≈≈ ……………………………………....7分因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由题意可得：()515215 5.50.55, 2.30.5530.6510ˆˆˆi ii ii x y xyba y bx x x ==-====-=-⨯=-∑∑，….11分所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.550.65yx =+． ………………………………………….…………..13分 当7x =时，ˆ0.5570.65 4.5y=⨯+=， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5cm ……………………………..…15分 18.（1）2()666(1)f x x x x x '==--(1)12,(1)4f f '-=-=-………………………………………………………………..….2分故()f x 在1x =-处的切线方程为412(1)y x +=+，即128y x =+…………………4分 （2） (1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,3)-为()f x 的对称中心，则333a -=-，2a = …………………………………………………….……6分 现在只需证明当2a =时()(2)6f x f x +-=-，事实上，32322()(2)2612(2)6(2)1(1212)(2424)6f x f x x x x x x x +-=+++-+-+=-+--于是()(2)6f x f x +-=-………………………………………………………………….8分 即存在实数2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心. ………………………………………. .9分 （3）2()666()f x x ax x x a '=-=-， 3.1）当0a >时，()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ………………………………………………..10分则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，而(1)130f a -=--<，根据零点存在定理()f x 在(,0)-∞上有一个零点； i)若01a <<，即3()10f a a =->， ()f x 在(0,)+∞无零点，从而()f x 在R 上有1个零点；………………………………………………………….11分 ii)若1a >，即3()10f a a =-<，(0)()0f f a <，()f x 在(0,)a 有一个零点,3(4)1610,()(4)0f a a f a f a =+><，故()f x 在(,)a +∞有一个零点，从而()f x 在R 上有3个零点；……………………………………………………………12分 iii)若1a =，即3()10f a a =-=，()f x 在(0,)+∞有一个零点，从而()f x 在R 上有2个零点；……………………………………………………………..13分 3.2)当0a =时，()f x 在R 上单调递增，(0)10f =>， x →-∞时，()f x →-∞，从而()f x 在R 上有一个零点； …………………………………………………….....14分3.3）当0a <时，()(),0,x a ∈-⋃+∞∞时()0f x '>，故()f x 在()(),,0,a -+∞∞上单调递增，(,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. ………………………….15分 而3()10f a a =->，(0)0f >，故()f x 在(,)a +∞无零点，又2(21)(21)(2)1f a a a -=--+，由2(21)1,22a a ->-<-，故(21)0f a -<，(21)()0f a f a -<，从而()f x 在(,)a -∞有一个零点，从而()f x 在R 上有一个零点.………………………………………………..…..16分 综上：当1a <时，()f x 在R 上只有1个零点；1a =时，()f x 在R 上有2个零点；1a >时()f x 在R 上有3个零点。
数学(参考答案)
绵阳南山中学2024年春季高2023级热身考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题题号1234567891011选项ABDDCDCBADACDABD三、填空题（每个小题5分，共15分）12.42π13.79-14.2314.【详解】若1P ，2P 均在α上，由i AP BB '⊥可知，i AP 平行于x 轴，此时12min 2PP T ==，若1P ，2P 均在β上，作AE β⊥于点E ，则AE BB '⊥，又i AP BB '⊥，又i AP A E E ⋂=，从而BB '⊥面i APE ，i PE ⊂面i APE ，故i PEBB '⊥，而1cos 602A E AA =︒=''，因此，在图1中作直线12y =-，则i P 为12y =-与()y f x =的交点，不妨设1P ，2P 为12y =-与()y f x =在y 轴右侧最近的两个交点，则此时12PP 的最小值为1233T =，若1P，2P 不在同一个面上，此时121min23PP AP ===>，四、解答：（共77分）15.(1)2m =(2)8-或3-【分析】（1）当三点共线时，点A ，B ，C 不能构成三角形，即,AB AC共线，利用向量共线的坐标公式计算即可得出答案.（2）ABC 为直角三角形，分A ∠为直角，B ∠为直角和C ∠为直角，利用垂直向量的坐标表示即可得出答案.【详解】（1）因为点A ，B ，C 不能构成三角形，所以AB AC ∥ ，..........2分因为()2,1OA = ，()3,2OB =-，()6,3OC m m =--- ，所以()()()3,22,11,3AB OB OA =-=--=-，()()()6,32,14,4AC OC OA m m m m =-=----=---，AB AC ∥，所以()()1434m m ⨯--=-⨯-，解得2m =，综上可得，当2m =时，A ，B ，C 不能构成三角形；..........6分（2）①若A ∠为直角，则AB AC ⊥，所以()()14340AB AC m m ⋅=⨯--⨯--=，解得8m =-；..........8分②若B ∠为直角，则AB BC ⊥，()()()6,33,23,1BC OC OB m m m m =-=-----=--- 所以()()13310AB BC m m ⋅=⨯--⨯--=，解得3m =-；..........10分③若C ∠为直角，则BC AC ⊥，所以()()()()34140BC AC m m m m ⋅=-⨯-+--⨯--=，即280m m -+=，因为()2148310∆=--⨯=-<，所以方程无解；..........12分综上可得，当8m =-或3m =-时ABC 为直角三角形...........13分16.(1)26R(2)12S S =，当π6α=，最大为22m 6．【分析】（1）根据P 点位置，利用正弦定理得到OM ,ON 的长度，利用数量积公式可得.（2）由面积公式可知12S S =，求1S ，2S 都可以利用正弦定理得到边的长度，再根据面积公式，结合三角函数可得最大值.【详解】（1）当点P 为弧AB 的中点时，π6α=，在PON △中，23PNO π∠=，∴6OPN π∠=，∴ON PN OM==由正弦定理sin sin OP ON ONP OPN =∠∠得ON =∴22cos 36R OM ON ON π⋅==...........5分（2）因为矩形与平行四边形的底和高都相等，所以12S S =...........7分若由平行四边形计算停车场面积由平行四边形OMPN 得，在OPN 中，23ONP π∠=，3OPN απ∠=-，则sin sin sin ON OP NPOPN ONP α==∠∠，即2sin sin sin 33ON R NP αα==ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即sin cos 3ON R αααπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，sin NP α=则停车场面积12sin sin cos sin sin3S NP NO ONP R ααα⎛⎫π=⋅⋅∠=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭2221cos 2sin cos sin 23232R R ααααα⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos 1)6αα=+-22sin 2166α⎛π⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中π03α<<所以ππ5π2666α<+<，则ππ262α+=时，即π6α=时，max S =若由矩形计算停车场面积在Rt OQP △中，sin QP R α=，cos OQ R α=，在Rt OHM V中，sin OH α=，∴cos sin HQ R αα=-则停车场面积2sin cos sin S HQ PQ R R ααα⎛⎫=⋅=⋅- ⎪⎪⎝⎭2221cos 2sin cos sin 23232R R ααααα⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos 1)6αα=+-2sin 216απ⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中π03α<<．所以ππ5π2666α<+<，则ππ262α+=时，即π6α=时，2max 6S =答：不管是方案一还是方案二，当π6α=2．........15分17.1）见详解；（2）垂直，证明见详解.【分析】（1）要证线面平行，只要证明该直线平行于平面内的一条直线即可，本题采用构造平行四边形进行证明；（2）由线面垂直得判定及面面垂直的判定即可得解..【详解】（1）作AP 中点G ，连接,EG GD ，可得//EG AB 且2ABEG =，所以//EG DM 且EG DM =，所以四边形EGDM 为平行四边形，所以//EM DG ，又DG ⊂平面PAD ，且EM ⊄平面PAD ，所以//EM 平面PAD ；..........6分（2）由PA ⊥底面ABCD 可得PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以BC AB ⊥，因为PA AB A = ，所以BC ⊥平面PAB ，..........9分又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ，根据PA AB =，E 为棱PB 中点，所以AE PB ⊥，因为平面PBC ⋂平面PAB PB =，所以⊥AE 平面PBC ，..........12分由AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ，所以平面AEF 与平面PBC 垂直...........15分18.(1)BC =；(2)91；(3)14-，1011.【分析】（1）由余弦定理求解即可.（2）设,AB a AC b ==，由中点可得111,222AM a b BN a b =+=-+ ，再由数量积的运算性质求解即可.（3）设,NA x = 则)(NA NB NA NA AB ⋅=⋅+可转化为关于x 的二次函数，求最值，再由)91(105BP BA BM λ=+及三点共线得解即可.【详解】（1）()()2sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=-得60BAC ∠=在ABC 中，2,5,60AB AC BAC ==∠= ，由余弦定理知：222222cos 25225cos6019BC AB AC AB AC BAC ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= ，所以BC =...........5分（2）设,AB a AC b ==，由,M N 分别为,BC AC 的中点，得111,222AM a b BN a b =+=-+ ，而1||2,||5,2552a b a b ==⋅=⨯⨯=，则||AM ===，||BN = ，又2211111()()||||32224112525444AM BN a b a b a a b b ⋅=+⋅--+=--⋅+==-⨯+⨯，3cos 1191||||AM BN MPN AM BN ⋅∠===，所以MPN ∠分（3）设||NA x = ，222111(2()224)NA NB NA NA AB NA NA AB x x x ⋅=⋅+=+⋅=-⋅=-- ，当12x =，即1|2|NA = 时，NA NB ⋅ 取最小值14-；显然110AN AC = ，则911010BN BA BC =+ ，而2,(01)BC BM BP BN λλ==≤≤，因此919105)5(10BP BA BM BA BM λλλ=+=+ ，又,,A P M 三点共线，则91105λλ+=，所以1011λ=...........17分19.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)3-．【分析】（1）由题意可得CN AB ⊥，根据线面垂直的性质可得1AA CN ⊥，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）如图，易证//DM CN ，由（1）得DM ⊥平面11ABB A ，结合面面垂直的判定定理即可证明；（3）如图，根据线面垂直的判定定理可得AF ⊥平面11BB C C ，则1AF B M ⊥，易证1AH B M ⊥，则∠AHF 为二面角11A MB C --的平面角的补角．结合等面积法求得FH ，即可求解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,AC AB ⊂平面ABC ，则1AA AC ⊥，1AA AB ⊥，所以点A 的曲率为π2ππ2232BAC -⨯-∠=，所以π3BAC ∠=．因为AB AC =，所以△ABC 为正三角形．因为N 为AB 的中点，所以CN AB ⊥．又1AA ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，所以1AA CN ⊥，因为1AA AB A = ，1AA AB ⊂、平面11ABB A ，所以CN ⊥平面11ABB A ．..........4分（2）取1AB 的中点D ，连接DM ，DN ．因为N 为AB 的中点，所以1//DN BB 且112DN BB =．又1//CM BB 且112CM BB =，所以//DN CM 且DN CM =，所以四边形CNDM 为平行四边形，则//DM CN ．由（1）知CN ⊥平面11ABB A ，则DM ⊥平面11ABB A ．又DM ⊂平面1AMB ，所以平面1AMB ⊥平面11ABB A ．..........10分（3）取BC 的中点F ，连接AF ，则AF BC ⊥．因为1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，所以1BB AF ⊥，因为1BB BC B = ，1BB BC ⊂、平面11BB C C ，所以AF ⊥平面11BB C C ．又1B M ⊂平面11BB C C ，所以1AF B M ⊥，过F 作1B M 的垂线，垂足为H ，连接AH ，则1B M FH ⊥，又,AF FH F AF FH =⊂ 、平面AFH ，所以1B M ⊥平面AFH ，又AH ⊂平面AFH ，1AH B M ⊥，所以∠AHF 为二面角11A MB C --的平面角的补角．设1B M BC E = ，2AB =，则AF =123EF =+=，ME =由等面积法可得1122ME FH EF CM ⋅=⋅，则EF CM FH ME ⋅==则tan AF AHF FH ∠==11A MB C --的正切值为3-．..........17分。
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更多精品文档保密★启用前绵阳南山中学(实验学校)2015年自主招生考试试题数 学本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.第I 卷(选择题,共36分)一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1． －4的倒数是（ ）A ．4B ．－4C ．14D ．－142．下列运算正确的是（ ）A .3332a a a = B . 633a a a =+ C . 336)2(x x -=- D . 426a a a =÷ 3． 用科学记数法表示0.000031，结果是（ ）A ．3.1×10-4B ．3.1×10-5C ．0.31×10-5D ．31×10-6 4．有意义，则a 的取值范围为( ) A.2a ≥- .2B >-a.20C ≥-≠a 且a D.2≥-a 5．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形,它的左视图是（ ）A B C D6．如图，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°， 45A ∠=°，那么E ∠的大小为（ ） A.70° B.80° C.90° D.100°7.在平面直角坐标系中，已知点E (－4,2)，F (－2,－2)，以原点O 为位似中心， 相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是（ ） A ．(－2,1) B. (－8,4) C ．(－8,4)或(8,－4) D. (－2,1)或(2,－1)8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O 为△ABC 的内切圆，点D是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA 的值为（ ）A.2B.3D.29．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A.1k >-B. 1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠10．如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ， ∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）。
A.32B.52C.3D.411.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,3），△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B 点A 的对应点在直线34y x =上一点，则点B 与其对应点B ′间的距离为（ ） A. 94B. 3C. 4D. 512．如图12，抛物线2+(0)y ax bx c a =+≠过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P =a b c -+，则P 的取值范围是（ ）.A ．-4＜P ＜0B ．-4＜P ＜-2C ．-2＜P ＜0D ．-1＜P ＜0二、填空题（每小题4分，共24分）13．分解因式：24129ax ax a -+＝ ． 14：已知m 2-6m-1=0求2m 2-6m+21m= . 15．已知关于x 的方程231x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为：16.在平面直角坐标系中，点O 是原点，点B （0，3），点A 在第一象限且AB ⊥BO ，点E 是线段AO 的中点，点M 在线段AB OM 对称，且则点M 的坐标是 ( ， ) ．17．如图，AB 是半圆O 的直径，且8AB =，点C 为半圆上的一点．将此AB 图12AB C D E P Q （第10题） 16题图 B更多精品文档半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．18.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm。
动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值______（单位：秒）三．解答题19.计算：（本小题满分16分）（1）计算：23143()2sin45()22014π--+︒+︒-（2）先化简，再求值：22214(), 1.2442a a aaa a a a a----÷=++++其中20.某中学为了了解七年级600名学生在“学雷锋活动月”中做好事的情况，随机调查了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）所调查的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是，众数是，极差是。
（2）根据样本数据，估计该校七年级600名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数．21．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连BM，DN。
（1）证：四边形BMDN为菱形；（2）若AB=4，AD=8，求Sin∠ABM的值。
22. 已知直线l分别与x轴.y轴交于A.B两点，与双曲线ayx=（a≠0，x＞0）分别交于D.E两点.若点D的坐标为（3，1），点E的坐标为（1，n）（1）分别求出直线l与双曲线的解析式；（2）求△EOD的面积（3）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？23.（本题满分12分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：（1）符合题意的搭配方案有几种？（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？24.（本小题满分12分）如图：已知AB是⊙O的直径，AB=10，点C、D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，∠EAC=∠D。
（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若BC=6，求CD的长；（3）若∠D=60O，求阴影部分的面积。
25.（本小题满分14分）如图，抛物线与x轴交于()1,0A x，()2,0B x两点，且x1＜x2，与y轴交于点()0,5C-，其中x1，x2是方程2450x x--=的两个根。
（1）求这条抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时，求点M的坐标。
；（3）点()4,D k在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴是否存在点F，使以A，D，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由。
BACDNOM更多精品文档更多精品文档参考答案一、选择题1、D2、D3、B4、C5、B6、B7、D8、D9、B 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、a(2x-3)2 14、 39 15、m>-3且m ≠2 16、 17、83π 18、2或8或3≤t ≤7 三、98212=-+⨯+=19.①原式 2222222(2)14(2)(2)2(2)(2)(1)2(2)442(2)4421(2)4(2)12a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a⎧⎫----÷⎨⎬+++⎩⎭+---+=⋅+---++=⋅+--+=⋅=+-+=+②原式=2221212211a a a a a a =∴+=++=+=∴=原式 20.①平均数是 4 ，众数 5 ，极差是 4 。
5263134165104101852804045050x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++===561324505024600288()50++=⨯=②人21.证明①∵四边形ABCD 为矩形 ∴MD//BN∴∠MDB=∠NBO 又MN ∠平分BO ∴BO=DO∴△MOD ≌△NOB ∴MO=NO 又MN ⊥BD∵四边形BNDM 为菱形②∴由①四边形BNDM 为菱形 ∴BM=MD=x ∴AM=8-x AB=4∴在△ABM 中42+（8-x 2）=x 2∴16+64-16x+x 2=x 2∴AM=3 ∴SM ∠ABM=35AM BM = BACDNOM更多精品文档②Q23.②W利润=1000x+1500(60-x)=1000x+90000-1500x=-500x+90000 37≤x≤40且为整∵-500＜0∴W随x的增大而减小∴x=40 W=7000024.解①∵∠D=∠B 又∠D=∠CAE ∴∠B=∠CAE又∵AB为⊙O直径∵∠B+∠BAC=90o∴∠BAC+∠CAE=90o∴∠AE为⊙O的切线②过B作BH⊥CD于HBC=6 AB=10 AC=8∵∠BCD=∠ACD=45o BC=6∴∠BH=CH=又∠BCD=∠ACD ∴BD AD=∵BD=AD又AB=10∵BD=AD=∴∠DH=∵CD=③当∠D=60o时，∠COA=120o又AB=10r=5 ∠OAC=30o∴S阴影=S扇AOC-S△AOC=12025525360434ππ⨯-=-25.①x2-4x-5=0 (x-5)(x+1=0∴x=5 x=-1∴A(-1,0) B(5,0) C(0,5)∴y=a(x+1)(x-5)-5=a×(-5)∴a=1∵y=x2-4x-5更多精品文档o o 5 45// 45 (,0) 1565(1)611 (1)5(1)22CMN CAM NAMOC OB CBO MN BCNMA M x ANM ACB NH x NH x S S S x x ==∴∠=∴∠=+∴=∴=+=-=⨯+⨯-+⨯△△△设△∽△②5(1)6x +2255(1)(1)212555(21)1222x x x x x =+-+=-++++2222255555 1261222510251266525(8)1265255(4)1612612565(4)12665x=4S =6x x x x x x x x x =---++=-++=--+=--++⨯=--+∴当时最大。