《2012年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-2
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《2012年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-2第一章 导数及其应用无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！ 基础知识【理解去记】 1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|un-A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列un 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果limx x →f(x)=a,limx x →g(x)=b ，那么limx x →[f(x)±g(x)]=a ±b,limx x →[f(x)•g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b b ax g x f3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且0limx x →f(x)存在，并且limx x →f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
8．****【必会】复合函数求导法：设函数y=f(u),u=ϕ(x)，已知ϕ(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=ϕ(x))处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x 处可导，且（f[ϕ(x)])'=)(')](['x x f ϕϕ.9.导数与函数的性质：单调性：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('<x f ，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则.0)('0=x f11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x0)时0)('≤x f ，当x ∈(x0,x0+δ)时0)('≥x f ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x ∈(x0-δ，x0)时0)('≥x f ，当x ∈(x0,x0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x0处取得极大值。
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高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，().用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
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16.类比推理的定义： 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或 相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程
观察、比较
联想、类推
推测新的结论
18.演绎推理的定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法 则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M 是 P②小前提：S 是 M ③结论：S 是 P。 其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；
和差的导数运算
f (x) g(x)' f ' (x) g' (x)
积的导数运算
商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理 和差的积分运算 积分的区间可加性
f (x) g(x)' f ' (x)g(x) f (x)g' (x)
特别地： Cf x ' Cf 'x
f (x) '
g
(
果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根 处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f (x) 在 a,b上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 f (x) 在 a,b上的极值；
⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 [注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
y
f (x) 在 x
x0
处的瞬时变化率是
lim
高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题
高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题一、2-2数列的概念、数列的通项公式及递推公式1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数，一般用字母 an 表示第n 个数。
2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置 n，直接求出该位置上的数 an 的公式。
通项公式可以是一个数学式子，也可以是一个算法。
3. 数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列前一项或前几项的值，推导出数列下一项的公式。
递推公式是数列中相邻两项之间的关系式。
4. 常见数列的通项公式和递推公式- 等差数列：an = a1 + (n-1)d （通项公式），an = an-1 + d （递推公式）- 等比数列：an = a1 * q^(n-1) （通项公式），an = an-1 * q （递推公式）- 斐波那契数列：an = an-1 + an-2 （递推公式）二、2-3数列的求和、数列的性质及应用1. 数列的求和- 等差数列的前 n 项和：Sn = (a1 + an) * n / 2- 等比数列的前 n 项和（q ≠ 1）：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) - 斐波那契数列的前 n 项和：Sn = Fn+2 - 12. 数列的性质- 常数列：数列中的每一项都是一个常数。
- 奇数列：数列中的每一项都是奇数。
- 偶数列：数列中的每一项都是偶数。
- 单调递增数列：数列中的每一项都比前一项大。
- 单调递减数列：数列中的每一项都比前一项小。
- 正项数列：数列中的每一项都是正数。
- 负项数列：数列中的每一项都是负数。
3. 数列的应用- 利用数列的递推关系，求解实际问题中的特定数值。
- 利用数列的性质，进行数学推理和证明。
- 利用数列的规律，设计算法解决问题。
典型例题：1. 已知等差数列的前三项分别为 1，5，9，求数列的通项公式和第 n 项的值。
解：设数列的首项为 a，公差为 d，则有以下等差数列的递推公式：a2 = a1 + d = 1 + da3 = a2 + d = (1 + d) + d = 1 + 2d将 a1，a2，a3 分别代入等差数列的通项公式，可得：a1 = a = 1a2 = a + d = 1 + d = 5 --> d = 4a3 = a1 + 2d = 1 + 2(4) = 9所以该等差数列的通项公式为 an = a + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n - 3第 n 项的值为：an = 4n - 32. 求等差数列 3，6，9，...，101 的前 n 项和。
高中数学选修2-2知识点总结(精华版)
数学选修2-2知识点总结一、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，()用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题
高中数学选修2–2知识点第一章 导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。
导数的物理意义：瞬时速率。
2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。
割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()x f x a =, 则()ln x f x a a '=6. 若()x f x e =,则()xf x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'=3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x gx '''=∙ 三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义：①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质： ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
高中数学选修2-2最全知识点汇总
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 内
(1)如果 ，那么函数 在这个区间单调递增；(2)如果 ，那么函数 在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数 的极值的方法是:（1）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极大值（2）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值;
3.导函数：当x变化时， 便是x的一个函数，我们称它为 的导函数. 的导函数有时也记作 ,即
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若 (c为常数)，则 ；2若 ,则 ;
3若 ,则 4若 ,则 ;
5若 ,则 6若 ,则
7若 ,则 8若 ,则
导数的运算法则
1. 2.
3.
复合函数求导 和 ,称则 可以表示成为 的函数,即 为一个复合函数
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
2,几个重要的结论
(1) (2) (3)若 为虚数,则
3.单位i的一些固定结论：
（1） （2） （3） （2）
(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二演绎推理(俗称三段论)
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为yx fxf(x)f(x)f(x1x)f(x1)21x2x1x注1：其中x是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
y f(x x)lim lim2、导函数的概念:函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是xxx0x0f(x)，'x 则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y f(x)在x0处的导数，记作f(0)或'y|，即()f= x x'x00y f(x x)f(x)00 lim limx x x0x0.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数(1) y c y'0(2) ny x*n N'1ny nx(3) x xy a a0,a1'lny a a(4) x xy e y'e(5) y log a x a0,a1,x0y'1 xln a(6) y ln x y'1 x(7) y sin x y'cos x(8) y cos x y'sin x6、常见的导数和定积分运算公式:若f x，g x均可导（可积），则有：和差的导数运算'''f(x)g(x)f(x)g(x)'''f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数运算特别地：Cf x'Cf'x'''f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)2g(x)g(x)(g(x)0)商的导数运算特别地：1g'(x)'2g x g x复合函数的导数y y ux u x微积分基本定理baf x dx F(a)--F(b) （其中F'x f x）和差的积分运算b b ba[f(x)f(x)]dx a f(x)dx a f(x)dx 1212特别地：b bkf(x)dx k f(x)dx(k为常数)a ab c b积分的区间可加性f(x)dx f(x)dx f(x)dx(其中a c b)a a c.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
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第一章 导数及其应用无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！ 基础知识【理解去记】 1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|un-A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列un 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果limx x →f(x)=a,limx x →g(x)=b ，那么limx x →[f(x)±g(x)]=a ±b,limx x →[f(x)•g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b b ax g x f3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且limx x →f(x)存在，并且limx x →f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
8．****【必会】复合函数求导法：设函数y=f(u),u=ϕ(x)，已知ϕ(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=ϕ(x))处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x 处可导，且（f[ϕ(x)])'=)(')](['x x f ϕϕ.9.导数与函数的性质：单调性：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('<x f ，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则.0)('0=x f11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x0)时0)('≤x f ，当x ∈(x0,x0+δ)时0)('≥x f ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x ∈(x0-δ，x0)时0)('≥x f ，当x ∈(x0,x0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x0处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且0)('',0)('00≠=x f x f 。
（1）若0)(''0>x f ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若0)(''0<x f ，则f(x)在x0处取得极大值。
13．【了解】罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使.0)('=ξf[证明] 若当x ∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x ∈(a,b)，0)('=x f .若当x ∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m ，则c ∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)('=c f ，综上得证。
二、基础例题【必会】 1．极限的求法。
例 1 求下列极限：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n ；（2）)0(1lim >+∞→a a a n n n ；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞→[解]（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n ==+∞→22)1(lim n n n n 212221lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n ；（2）当a>1时，.111lim 1111lim 1lim =+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞→∞→∞→n n n n n n n a a a a当0<a<1时，.0010lim 1lim 1lim=+=+=+∞→∞→∞→n n nn n nn aa a a当a=1时，.21111lim 1lim =+=+∞→∞→n n n n a a （3）因为.11211122222+<++++++<+n nnn n n nn n而,1111lim11lim,1111limlim222=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→nn nnn nn n n n所以.112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n（4）.211111lim1lim)1(lim =++=++=-+∞→∞→∞→nnn n n n n n n n例2 求下列极限：（1）∞→n lim(1+x)(1+x2)(1+22x )…(1+nx 2)(|x|<1)；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x 1113lim 31；（3）x x x x +---→131lim 21。
[解] （1）∞→n lim(1+x)(1+x2)(1+22x )…(1+nx 2)=.1111lim 1)1()1)(1)(1(lim 1222x x x x x x x x n nn n -=--=-+++-+∞→∞→ （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→32132131111lim 113lim 1113lim xx x x x x x x x x x=.112lim 1)2)(1(lim 2131=+++=⎪⎭⎫⎝⎛-+-→→x x x x x x x x（3）)13)(13()13)(1(lim131lim2121x x x x x x x xx x x x ++-+--++--=+---→→=2)13)(1(lim)1(2)13)(1)(1(lim 11x x x x x x x x x x ++-+-=-++-+-→→ .22-=例3（2011.四川卷11）已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）32 答案：D【解析】：由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=- 2．连续性的讨论。
例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x ∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。
[解] 当x ∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t ，则x=t-1，当x ∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t ∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)•(2-t)2；同理，当x ∈[1,2)时，令x+1=t ，则当t ∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈--.3,2,)3)(2(4;2,1,)2)(1(222x x x x x x 所以所以)3)(2(4lim )(lim ,0)2)(1(2lim )(lim 222222=--==--=+→+→-→-→x x x f x x x f x x x x ，所以-→2li mx f(x)=+→2lim x f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。
3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。
[解] 因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,y0)，则001x y =，切线的斜率为201|'0x x x -=，所以切线方程为y-y0=)(1020x x x --，即)(110200x x x x y --=-。
又因为此切线过点（2,0），所以)2(110200x x x --=-，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.4．导数的计算。
例 5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）x x x x y -+=352；（3）y=ecos2x ；（4）)1ln(2-+=x x y ；（5）y=(1-2x)x(x>0且21<x )。
[解] （1）=+⋅+=)'13()13cos('x x y 3cos(3x+1).(2)222)'()35()'35('x x x x x x x x x y ⋅-+-⋅-+=223521310x xx x x x x ++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.2153x+=（3）.2sin 2)'2()2sin (2cos )'2(cos '2cos 2cos x e x x x e x e y xx ⋅-=⋅-⋅=⋅= （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-+=-+⋅-+=1111)'1(11'2222x xx x x x x x y.112-=x（5）))'21ln((]'[]')21[(')21ln()21ln(x x e e x y x x x x x -==-=-- .212)21ln()21(⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=x x x x x5．用导数讨论函数的单调性。
例6 设a>0，求函数f(x)=x -ln(x+a)(x ∈(0,+∞))的单调区间。
[解])0(121)('>+-=x a x xx f ，因为x>0,a>0，所以⇔>0)('x f x2+(2a-4)x+a2>0；⇔<0)('x f x2+(2a-4)x+a+<0.（1）当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即'f (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x ≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即0)('>x f ，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当0<a<1时，令0)('>x f ，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a-a -12或x>2-a+a -12，因此，f(x)在(0,2-a-a -12)内单调递增，在(2-a+a -12,+∞)内也单调递增，而当2-a-a -12<x<2-a+a -12时，x2+(2a-4)x+a2<0，即0)('<x f ，所以f(x)在(2-a-a -12,2-a+a -12)内单调递减。