人教版高中数学选修2-2知识点汇总
最新人教版高中数学选修2-2第二章《数学归纳法》知识梳理
2.3 数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：第一步，归纳奠基：证明当n 取______________时命题成立．第二步，归纳递推：假设____________时命题成立，证明当________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．数学归纳法的第一步中n 的初始值怎样确定？ 【做一做1】 用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)，在验证n ＝1时，等式左边为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3【做一做2】 设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1【做一做3】 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有12n (n －3)条时，第一步验证n等于__________．2．数学归纳法的框图表示答案：1．第一个值n 0(n 0∈N *) n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *) n ＝k ＋1 思考讨论提示：数学归纳法的第一步中n 的初始值应根据命题的具体情况而确定，不一定是n 0＝1，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，其初始值n 0＝3.【做一做1】 C 因为左边式子中a 的最高指数是n ＋1，所以当n ＝1时，a 的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.【做一做2】 C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，①得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).②由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1).故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1)，故选C. 【做一做3】 3 ∵三角形是边数最少的凸多边形， ∴需验证的第一个n 值为3. 2．n ＝n 0 n ＝k ＋1 正整数1．如何理解数学归纳法？ 剖析：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可．(2)在第一步中，n 的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n ＝n 0，n 0＋1等)，证明应视具体情况而定．(3)第二步中，证明n ＝k ＋1时，必须使用假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效．(4)证明n ＝k ＋1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出假设里给出的形式，以便使用假设，然后再去凑出当n ＝k ＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集A ，若①1∈A ；②由k ∈A 可推出k ＋1∈A ，则A 含有所有的正整数．2．运用数学归纳法要注意哪些？剖析：正确运用数学归纳法应注意以下几点： (1)验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．(2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程，必须把归纳假设“n ＝k ”作为条件来导出“n ＝k ＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．(3)正确寻求递推关系．我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，那么如何寻求递推关系呢？ ①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n 处在哪个位置．③在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．题型一 用数学归纳法证明等式 【例题1】 用数学归纳法证明：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 分析：第一步先验证等式成立的第一个值n 0；第二步在n ＝k 时等式成立的基础上，等式左边加上n ＝k ＋1时新增的项，整理出等式右边的项．反思：在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：①验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.②递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．③利用假设是核心：在第(2)步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明方法就不是数学归纳法．题型二 用数学归纳法证明不等式【例题2】 已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 分析：(1)求f ′(x )→得到式子a n ＋1≥(a n ＋1)2－1→利用数学归纳法证明a n ≥2n －1(n ∈N *)(2)由a n ≥2n －1得1＋a n ≥2n →11＋a n ≤12n →利用放缩法证明不等式成立 反思：利用数学归纳法证明与n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意：①证明不等式时，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现．②与n 有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等．题型三 用数学归纳法证明几何问题【例题3】 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．分析：解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设．反思：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成(k ＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．题型四 易错辨析【例题4】 用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)．错解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12(k ＋1)(3k ＋2)(*)．由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为k ＋1的等差数列的前n 项和，其和为12(k ＋1)(1＋3k ＋1)＝12(k ＋1)(3k ＋2)，所以(*)式成立，即n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．错因分析：判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用，如果没有用到假设，那就是不正确的．错解在证明当n ＝k ＋1等式成立时，没有用到假设“当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立”，故不符合数学归纳法证题的要求．答案：【例题1】 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时结论成立，即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k . 那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1).∴即n ＝k ＋1时等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立． 【例题2】 (1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即a k ≥2k －1； 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立． (2)解：11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n＜1. ∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n .∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 【例题3】 证明：(1)当n ＝1时，分为两部分，f (1)＝2，命题成立； (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分；那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，∴平面上增加了2k 个区域．∴f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时命题成立， 由(1)(2)知命题成立．【例题4】 正解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k 2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]， 即当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．1用数学归纳法证明3n≥n 3(n ≥3，n ∈N )，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝42已知f (n )＝11112n n n ++++＋ (21)，则( ) A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝1123+B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝111234++C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝1123+D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝111234++3已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111234-+-＋…＋11n -＝1112242n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++⎝⎭时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立4设平面内有n 条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线不共点．若k 条直线将平面分成f (k )个部分，k ＋1条直线将平面分成f (k ＋1)个部分，则f (k ＋1)＝f (k )＋__________.5用数学归纳法证明2222111111234n n+++⋅⋅⋅+<-(n ≥2，n ∈N *)．答案：1．C 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立，选C. 2．D 由题意知f (n )最后一项的分母为n 2， 故f (2)＝2111232++，排除选项A ，选项C. 又f (n )＝211101()n n n n n ++++++-…， 所以f (n )的项数为n 2－n ＋1项．故选D.3．B 因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B.4．k ＋1 第k ＋1条直线与原来的k 条直线相交，有k 个交点，这k 个交点把第k ＋1条直线分成k ＋1部分(线段或射线)，这k ＋1部分把它们所在的平面区域一分为二，故平面增加了k ＋1部分．5．分析：证明：(1)当n ＝2时，左边＝21124=，右边＝11122-=. 因为1142<，所以不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即2222111111234k k++++<-…， 则当n ＝k ＋1时，22222211111111234(1)(1)k k k k +++++<-+++… ＝22222(1)1(1)111(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k +-+++-=-<-+++ ＝111k -+. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．。
新版【部编人教版】高中数学选修2-2知识点、考点
数学选修2----2知识点第一章 导数及其应用 知识点：一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：无 知识点：二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =★2、若()sin x f x e x =，则()'f x =★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90°★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =三.导数在研究函数中的应用知识点：1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用★1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）★2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43二、题型二：导数在单调性中的运用★1.(05广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)★2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数★★3．(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性． 三、导数在最值、极值中的运用：★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.5★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
高中数学选修2-2知识点汇编
数学选修2-2第一章推理与证明知识点必记1.归纳推理的定义是什么？ 答：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．．的推理。
2归纳推理的思维过程是什么？ 答：大致如图：3.归纳推理的特点有哪些？答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
4.类比推理的定义是什么？答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
类比推理是由特殊．．到特殊．．的推理。
5.类比推理的思维过程是什么？ 答：6.演绎推理的定义是什么？答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
演绎推理是由一般．．到特殊．．的推理。
7．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论 8.“三段论”可以表示为什么？答： ①大前题：M 是P ②小前提：S 是M ③结论：S 是P 。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
9.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
直接证明包括综合法和分析法。
10.什么是综合法？答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
11.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
高二数学选修2 2知识点
高二数学选修2 2知识点高二数学选修2-2知识点本文将介绍高二数学选修2-2中的重要知识点，包括函数的概念与性质、三角函数的定义与图像、指数函数与对数函数等内容。
一、函数的概念与性质函数是数学中重要的概念，它描述了两个量之间的一种关系。
函数由定义域、值域和对应关系组成。
在函数中，输入的值称为自变量，输出的值称为因变量。
函数可以用图像、表格、公式等形式表示。
函数的性质包括奇偶性、周期性、增减性等，这些性质有助于我们理解函数的特点和行为。
二、三角函数的定义与图像三角函数是描述角度与边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
正弦函数表示角度与对边比斜边的比值，余弦函数表示角度与邻边比斜边的比值，正切函数表示角度与对边比邻边的比值。
这些三角函数在不同角度下的取值和图像具有一定的规律性，通过研究三角函数的定义和图像，可以加深我们对角度与边长关系的理解。
三、指数函数与对数函数指数函数和对数函数是数学中重要的基础函数。
指数函数的自变量是指数，底数固定，它描述了一个数的多次相同乘积。
对数函数是指数函数的逆运算，它描述了一个数在指定底数下的指数。
指数函数和对数函数在各个领域有广泛的应用，例如在科学计算、金融领域等。
通过学习高二数学选修2-2的知识点，我们能够更好地理解函数的概念与性质，能够更准确地描述角度与边长之间的关系，并且能够运用指数函数和对数函数进行问题求解。
这些知识点对我们继续学习数学以及其他相关学科都具有重要的意义。
总之，掌握了高二数学选修2-2中的知识点，我们能够更好地理解数学的本质和应用，为我们的学习打下坚实的基础。
在今后的学习和应用中，我们将会发现这些知识点的重要性和实用性。
希望大家能够认真学习，牢固掌握这些知识点，为自己的学术发展打下坚实的基础。
人教版高中数学选修2-2知识点总结优质
数学选修2-2 知识点总结、导数1．函数的平均变化率为y f f (x2) f(x1) f(x1 x) f(x1)x x x2 x1 x注1：其中x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2 ：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念: 函数y f(x) 在x x0 处的瞬时变化率是lim y lim f(x0 x) f ( x0 )，则称函数y f (x)在点x0处可导，并把这个极限x 0 x x 0 x叫做y f(x) 在x0 处的导数，记作f'(x0) 或y'|xx0 ，即f'(x0) = lim ylim f(xx) f(x).x 0 x x 0 x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4 导数的背景( 1 )切线的斜率；( 2 )瞬时速度；5、常见的函数导数6、常见的导数和定积分运算公式:若 f x ，g x 均可导（可积），则有：用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数 f '(x)②令 f '(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 f '(x)<0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；［注］：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2)求函数f(x)的导数 f '(x)(3)求方程 f '(x)=0 的根(4)用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f /(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f (x) 在a,b 上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求 f (x) 在a,b 上的极值；⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
高中数学选修2-2最全知识点汇总
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 内
(1)如果 ，那么函数 在这个区间单调递增；(2)如果 ，那么函数 在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数 的极值的方法是:（1）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极大值（2）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值;
3.导函数：当x变化时， 便是x的一个函数，我们称它为 的导函数. 的导函数有时也记作 ,即
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若 (c为常数)，则 ；2若 ,则 ;
3若 ,则 4若 ,则 ;
5若 ,则 6若 ,则
7若 ,则 8若 ,则
导数的运算法则
1. 2.
3.
复合函数求导 和 ,称则 可以表示成为 的函数,即 为一个复合函数
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
2,几个重要的结论
(1) (2) (3)若 为虚数,则
3.单位i的一些固定结论：
（1） （2） （3） （2）
(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二演绎推理(俗称三段论)
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高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数注1:其中X 是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念：函数y f(X )在XX o 处的瞬时变化率是则称函数y f(x)在点X O 处可导，并把这个极限叫做y f(x)在xo 处的导数，记作3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率；(2)瞬时速度; 5、常见的函数导数函数导函数 (i)y c y' o (2)y x n n Ny' nx ni x⑶ y a a o,a i y' a x In a ⑷y e xy' e(5) y log a x a o,a i,x oy' xlna⑹ y In xy'丄X(7) y sin x y' cosx (8) y cosxy'sin xf(X 2) f(X i )X if(X iX ) f(X i ) Xy |X Xo，y即仏)=啊匚 lim f(Xo X) f(Xo)x oxf(Xj)f '(Xo)或1 •函数的平均变化率为丄x6常见的导数和定积分运算公式若f x , g x均可导(可积)，则有:①求函数f(x)的导数f '(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；［注］:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1) 确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数f'(x)(3) 求方程f '(x) =0的根⑷用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查fix)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8利用导数求函数的最值的步骤：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f (x)在a,b上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
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高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为yx fxf(x)f(x)f(x1x)f(x1)21x2x1x注1：其中x是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
y f(x x)lim lim2、导函数的概念:函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是xxx0x0f(x)，'x 则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y f(x)在x0处的导数，记作f(0)或'y|，即()f= x x'x00y f(x x)f(x)00 lim limx x x0x0.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数(1) y c y'0(2) ny x*n N'1ny nx(3) x xy a a0,a1'lny a a(4) x xy e y'e(5) y log a x a0,a1,x0y'1 xln a(6) y ln x y'1 x(7) y sin x y'cos x(8) y cos x y'sin x6、常见的导数和定积分运算公式:若f x，g x均可导（可积），则有：和差的导数运算'''f(x)g(x)f(x)g(x)'''f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数运算特别地：Cf x'Cf'x'''f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)2g(x)g(x)(g(x)0)商的导数运算特别地：1g'(x)'2g x g x复合函数的导数y y ux u x微积分基本定理baf x dx F(a)--F(b) （其中F'x f x）和差的积分运算b b ba[f(x)f(x)]dx a f(x)dx a f(x)dx 1212特别地：b bkf(x)dx k f(x)dx(k为常数)a ab c b积分的区间可加性f(x)dx f(x)dx f(x)dx(其中a c b)a a c.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
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人教版高中数学必修2-2知识点
第一章导数及其应用
一.导数概念的引入
1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x
∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000
0()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆二.导数的计算
1.
基本初等函数的导数公式：
若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；
若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；
若()sin f x x =，则()cos f x x
'=若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；
若()x f x a =，则()ln x f x a a
'=若()x f x e =，则()x
f x e '=若()lo
g x a f x =，则1
()ln f x x a '=
若()ln f x x =，则1()f x x '=2.导数的运算法则
[()()]()()
f x
g x f x g x '''±=±[()()]()()()()
f x
g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙2
()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3.复合函数求导
()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数(())()
y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数
一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =
2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；
求函数()y f x =的极值的方法是：
如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值；3.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系；
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤
求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；
将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题
第二章推理与证明
1.归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
简言之，
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
∙通过观察个别情况发现某些相同的性质；
∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)；
∙证明(视题目要求，可有可无).
2.类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)。
简言之，类比推理是由特殊到
特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
∙用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；∙检验猜想。
3.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
4.演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
演绎推理的一般模式———“三段论”，包括
⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
用集合的观点来理解：若集合M 中的所有元素都具有性质P ，S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P.
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推M ·a
S
理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
5.直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：
①(反设)假设命题的结论不成立；
②(推理)根据假设进行推理，直到导出矛盾为止；
③(归谬)断言假设不成立；
④(结论)肯定原命题的结论成立.
6.数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤；
(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；
(2)(归纳递推)假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.
第三章数系的扩充与复数的引入
一.复数的概念
1.复数：形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.
2.分类：复数(,)a bi a R b R +∈∈中，当0b =，就是实数；0b ≠，叫做虚数；当0,0a b =≠时，叫做纯虚数.
3.复数相等：如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
4.共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数.
5.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
6.两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
二.相关公式
1.d
c b a di c bi a ==⇔+=+且,2.0
0==⇔=+b a bi a 3.2
2b a bi a z +=+=4.z a bi
=-
z z ，指两复数实部相同，虚部互为相反数(互为共轭复数).
三.复数运算
1.复数加减法：()()()()i d b c a di c bi a ±+±=+±+；
2.复数的乘法：()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++；
3.复数的除法：()()()()
a bi c di a bi c di c di c di +-+=++-()()222222ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++(类似于无理数除法的分母有理化→虚数除法的分母实数化)四.常见的运算规律
(1);
(2)2,2;z z z z a z z bi =+=-=2222(3);(4);(5)z z z z a b z z z z z R
⋅===+==⇔∈41424344(6),1,,1;
n n n n i i i i i i ++++==-=-=()2211(7)1;(8),,
11i i i i i i i i i +-±=±==-=±-+)9(设231i +-=
ω是1的立方虚根，则012=++ωω，1,,332313===+++n n n ωωωωω五.复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x 轴叫做复平面的实轴，y 轴叫做复平面的虚轴.。