2011届高考数学人教A版一轮复习课时练习-第十一章 第三节--几何概型[文]

第十一章 第三节 几何概型[文]
课下练兵市场
命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题 (题号) 中等题 (题号) 稍难题(题号) 与长度有关的几何概型 2 与面积(或体积)有关的几何概型
1、3 4、7、8、10
11、12 生活中的几何概型
5
6、9
一、选择题
1.如图所示，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为a 3，a
2，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部
的概率是
( )
A.710
B.57
C.512
D.58 解析：S 梯形＝12(a 3＋a 2)·b ＝512ab ，S 矩形＝ab .
∴P ＝
S 梯形S 矩形＝512
. 答案：C
2.如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( ) A.12 B.32 C.13 D.14 解析：当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′=3
π
，由圆的对称性
及几何概型得P =213.23
π
π=
答案：C
3．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形
的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ( ) A.116 B.18 C.14 D.12
解析：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14.
答案：C
4．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于1
2的概率为 ( )
A.14
B.12
C. 34
D.78 解析：设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1且0≤y ≤1.
由题意知|x -y |＜12
，所以所求概率为P =
1111232
2
2.1
4
-⨯
⨯
⨯
=
答案：C
5.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为 ( ) A.235 B.215 C.195 D.165 解析：据题意知：S 阴S 矩＝S 阴2×5＝138300，∴S 阴＝235.
答案：A
6.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为 ( ) A.18 B.14 C.12 D.3
4 解析：P ＝45360＝18.
答案：A 二、填空题
7．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．
解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如
图)，由图可知S U =18，S A =4，则点P 落入区域A 的概率为
29
A U
S S =
.
答案：29
8．向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________． 解析：如图，由题意，△PBC 的面积小于3，则点P 应落在梯形BCED 内， ∵
2
113A B C
A D E S S
⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ ，
∴S △ADE =4，∴S 梯形BCED =5，∴P =
59
.
答案：59
9．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为9
10
，那么该台每小时约有________分钟的广告． 解析：60×(1－9
10
)＝6分钟． 答案：6 三、解答题
10．(2010·皖南八校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤6，0≤y ≤6.表示的区域为A ，不等式组⎩
⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤6，x －y ≥0.表
示的区域为B .
(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；
(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．
解：(1)设集合A 中的点(x ，y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝18， ∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝1
2
.
(2)设点(x ，y )在集合B 中为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B 中的点有21个，故P (N )＝2136＝7
12
.
11．(2010·深圳模拟)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .
(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；
(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组： ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0
所表示的平面区域内的概率．
解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .
∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型， 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝
212＝1
6
. (2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎪⎨
⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.
而所求事件构成的平面区域为{(x ，y )|
2300,0x x x y +-⎧⎫
⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
≤≥≥其图形如图中的三角形OAD (阴影部分) 又直线x +2y -3=0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，
23
)，
∴三角形OAD 的面积为S 1=
1343.2
2
9
⨯⨯=
∴所求事件的概率为P =
1
9
3
4.1216
S S == 12．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .
(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；
(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限
的概率．
解：(1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：
(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝
6
10＝35
. (2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋n －1≤0－1≤m ≤1
－1≤n ≤1
的区域如图所示：
要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P =1
1
27
72
=.。