随机过程
随机过程基本概念及随机游走的应用
随机过程基本概念及随机游走的应用随机过程是一类随时间变化而变化的随机现象的数学模型。
随机过程可以用来描述许多自然科学、社会科学和工程技术中的随机现象。
本文将介绍随机过程的基本概念和随机游走的应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是一个随时间变化而变化的随机变量序列。
具体而言，假设我们有一个时间轴{t1, t2, …, tn}，那么对于每个时刻ti，我们都会得到一个随机变量Xi，这就构成了一个随机过程。
一个随机过程可以用集合{Xt}表示，其中Xt表示在时刻t的随机变量。
对于一个随机过程，我们通常关心的是它的均值函数和相关函数。
均值函数E(Xt)表示在时刻t的随机变量的期望值，相关函数R(Xt, Xs)表示在时刻t和时刻s的随机变量的协方差，即E((Xt -E(Xt)) * (Xs - E(Xs)))。
在实际应用中，我们经常需要用到自协方差函数Cov(Xt, Xt+h)，表示在时刻t和时刻t+h的随机变量的协方差。
二、随机游走的应用随机游走是一种常见的随机过程，它可以用来描述一些随机漂移现象。
具体而言，假设我们有一个随机过程{Xt}，每次时刻t+1的随机变量都是时刻t的随机变量加上一个随机扰动，即Xt+1=Xt+Wt，其中Wt是一个独立同分布的随机变量，它的期望值为0，方差为σ^2。
随机游走可以用来描述许多自然现象，例如股票价格的波动、航空器的空气动力学特性等。
在股票价格的模型中，我们通常使用随机游走来描述价格的漂移现象，其中Wt表示股票价格的逐日波动。
在航空器模型中，我们使用随机游走来描述飞机的剧烈晃动现象，其中Wt表示飞机扰动的随机性。
除了股票价格和航空器的模型，随机游走还可以用来描述许多其他随机漂移现象，例如天气的变迁、金融市场的波动等。
三、结论本文介绍了随机过程的基本概念和随机游走的应用。
随机过程是一类随时间变化而变化的随机现象的数学模型，它可以用来描述许多自然科学、社会科学和工程技术中的随机现象。
第二章 随机过程总结
图2-2-3 随机过程的均方值、方差
方差、均方值和均值有数学关系式：
(2.2.18) • 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。
• 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤 立的时间点上的统计特性。
• 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随 机过程的起伏程度。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。 3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为： (2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
如果存在四元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，使
(2.2.5)
成立,则称 为随机过程的二维概率密 度函数，是 ，，和 的四元函数，且满足 (2.2.6)
§2.3
平稳随机过程
• 平稳随机过程的定义
• 严平稳随机过程及其性质 • 宽平稳随机过程及其性质
图2-3-1 初相角随机的正弦信号
图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察 点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机 信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。 2.3.2 随机信号统计平稳性有多种情况： (1)对整个观察点位置 变化的平稳性； (2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性； (3)对观察点空间位置 变化的平稳性； (4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。
例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯 随机变量， 为确定的时间函数。试判断 是否为严平稳过程。 解：已知A的概率密度函数
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
随机过程
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领 域之外的应用。
发展概况
1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 马尔可夫链。
1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的 研究通常认为开始于30年代。
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的统计特征
对于随机过程{X (t); t∈T}，其统计特征有均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。它们的定义如 下：
上述统计特征之间的关系为：
的分类
按照统计特征 分类
按照参数集和 状态空间的特 征分类
以统计特征进行分类，一般可分类以下一些：
参数集T可分为两类：（1）T可列；（2）T不可列。 状态空间S也可分为两类：（1）连续状态空间；（2）离散状态空间。 由此将随机过程分为以下四类:
随机过程 整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉 布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
的研究
研究方法
研究内容
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类： 一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度 论、 微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。 实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
第二章 随机过程
T /2
（2-2-7）
16
如果平稳过程使下式成立
a = a
σ
2
=σ
2
（2-2-8）
R (τ ) = R (τ )
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。 称该平稳过程 具有各态历经性。 具有各态历经性 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 实现 所有可能状态。 所有可能状态。 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程， 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不 一定成立。 一定成立。 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。
满足上式则称ξ(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 满足上式则称 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 程。 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程） 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）只要 Eξ2(t) 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 反之不一定成立。 反之不一定成立。
C (t1 , t 2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][ξ (t 2 ) − a (t 2 ) ]} =
∞ ∞ −∞ −∞
∫ ∫ [x
1
− a (t1 ) ][ x 2 − a (t 2 ) ] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1 x 2
（2-1-5） 2-1-5
互相关函数（针对两个随机过程） 互相关函数（针对两个随机过程）
Cξ ,η (t1 , t2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][η (t2 ) − a (t2 ) ]}
随机过程的基本概念及类型
第七章 随机过程的基本概念及类型
第一章 概率论基础
目录 Contents
7.1
随机过程的基本概念
7.2
随机过程的分布率和数字特征
7.3
复随机过程
7.4
几种重要的随机过程
7.1 随机过程的基本概念
通俗地讲, 用于研究随机现象变化过程的随机变量 族称为随机过程.
7.1.1 随机过程的实例
当 t1 t2 t 时,
DX (t )
2 X
(t)
BX
(t,t)
RX
(t,t
)
m
2 X
(t)
最主要的数字特征
mX (t) E[X (t)]
均值函数
RX(t1, t2 ) E[X (t1 )X (t2 )] 自相关函数
7.2 随机过程的分布律和数字特征
例7.2 设随机过程 X (t ) Y cos( t) Z sin( t), t 0, 其中 Y , Z 是相互独立的随机变量, 且 EY EZ 0, DY DZ 2 , 求 {X (t ) t 0}的均值函数 mX (t) 和 协方差函数 BX (s, t).
RW (s, t) E[W (s)W (t)] E[( X (s) Y (s))( X (t ) Y (t ))]
E[ X (s)X (t) X (s)Y (t) Y (s)X (t ) Y (s)Y (t)]
7.2 随机过程的分布律和数字特征
E[ X (s)X (t)] E[ X (s)Y (t)] E[Y (s)X (t)] E[Y (s)Y (t)]
◎ 显然有关系式 BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T .
随机过程的定义及其分类
随机过程的定义及其分类随机过程是一组随机变量的集合，代表了在时间序列上发生的事件或现象。
在数学中，随机过程可以用来描述许多现实世界中的问题，如股票价格、传染病传播等。
本文将介绍随机过程的定义及其分类。
一、随机过程的定义随机过程是一个随时间而变的随机变量集合。
具体来说，它包含了一列随机变量 $\{X_t | t \in T\}$，其中 $T$ 通常表示时间或时间的子集，每个 $X_t$ 是一个随机变量。
随机过程的每个$\{X_t\}$ 表示一个随机事件在时间 $t$ 的状态。
例如，在股票市场中，$X_t$ 可以表示在时间 $t$ 股票的价格。
二、随机过程的分类随机过程可以按照多个特性进行分类，下面介绍常见的几种分类方法。
1. 离散时间随机过程和连续时间随机过程离散时间随机过程和连续时间随机过程是相对于时间而言的。
离散时间随机过程是在固定的时间间隔内进行观察，并且在每个时间点上都有一个随机变量，例如掷硬币。
连续时间随机过程是在时间轴上连续观察，并且每个时间点上有一个随机变量，并按照一定的碎形原理进行处理。
2. 马尔可夫过程和非马尔可夫过程马尔可夫过程顾名思义，是取决于当前状态的一个随机过程。
当前状态是系统的“记忆”，这使得估计下一状态将非常容易。
非马尔可夫过程则是指未满足前述条件的随机过程。
3. 定常随机过程和非定常随机过程定常随机过程是指在时间上的统计特性不随时间变化，例如期望，方差等。
一个例子是一年中某地的降雨量。
非定常随机过程则是指在时间上的统计特性会随时间发生变化的随机过程。
4. 平稳过程和非平稳过程平稳过程要求在整个时间轴内随机过程的统计特性都不会随时间变化。
具体来说，需要满足一个随机过程的统计特性(如均值、相关性等)与当前时间和当前位置的时间无关。
非平稳随机过程则是指未满足前述条件的随机过程。
结论本文介绍了随机过程的定义以及常见的分类方法，包括离散时间随机过程和连续时间随机过程、马尔可夫过程和非马尔可夫过程、定常随机过程和非定常随机过程、平稳过程和非平稳过程。
通信原理第2章 随机过程
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
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7
条件概率
• 在事件B已发生这一条件下，事件A发生的概率。
第一章 随机过程的概念与基本类型
• 预备知识 • 简要回顾一下概率论中与本课程有关的基 本概念：随机试验、样本空间、事件、概 率、随机变量等
1
随机试验
• 试验结果事先不能准确预言，三个特征:
可以在相同条件下重复进行； 每次试验结果不止一个，可预先知道试验所有可能 结果； 每次试验前不能确定那个结果会出现。
F1 ( x) F ( x, ) lim FXY ( x, y ) P( X x, Y ) P ( X x)
y
连续型随机变量（X，Y）边际分布函数计算如下
F2 ( y) F , y
y
f (u, v)dudv
16
相互独立的随机变量
X E( X )
x
k 1
k P( X
xk )
P(X=xk)
冲激函数
对于离散型随机变量可以用脉冲函数来表示其概率密度
f X ( x)
P( X x
k 1
k ) ( x
xk )
随机变量数学期望定义
E( X )
xf X ( x)dx
20
随机变量函数的期望值
P( Ai | B)
后验概率
P( Ai ) P ( B | Ai )
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
N
独立事件
P( A B) P( A) P( B)
9
随机变量
样本空间 {高,低} X
-2 -1 0 1 2 x
定义：
设(Ω, F, P)是概率空间，X=X(e)是定义在Ω上的实函 数，如果对任意实数x，{e:X(e) ≤x} ∈F，则称X(e) 是F上的随机变量。
22
线性组合的随机变量的期望
已知随机变量X1和X2，求随机变量函数Y＝aX1+bX2的数学期望
E (Y )
(ax bx ) f
1 2
X1 X 2
( x1 , x2 )dx1dx2
a
x f
1 X1 X 2
( x1 , x2 )dx1dx2 b
x
2
d fY ( y) P({x : g ( x) y, x X }) dy
14
n维随机变量及其分布函数
设（Ω，F，P）是概率空间，X=X(e)＝(X1(e),…,Xn(e))是定 义在Ω上的n维空间Rn中取值的向量函数。如果对于任意 X=(X1,…,Xn) ∈Rn，{e:X1(e) ≤x1,…,Xn(e) ≤xn} ∈F，则称 X=X(e)为n维随机变量。称
FX |Y ( x | Y y)
x
f X |Y (u | y)du
18
随机变量的数字特征
• • • • • • 统计平均与随机变量的数学期望 随机变量函数的期望值 方差 协方差 相关系数 独立与不相关
19
统计平均与数学期望
设离散随机变量X，它可能取4个值x1，x2，x3，x4，做试验 n 次，计算X的算术平均可得： 4 1 1 4 nk X ( x1n1 x2 n2 x3 n3 x4 n4 ) x k nk xk n n k 1 n k 1
样本空间
随机试验所有可能结果组成的集合，记为Ω
事件
样本空间的子集A称为事件
集合运 算
2
古典概率
• 随机试验中一切可能结果是有限多个； • 每个结果出现的可能性是相等的； • 则事件A发生的概率可表示为
事件A所包含的样本点个数 P( A) 样本空间中所含样本点 个数
问题：如果随机试验所有可能的结果为无穷多个， 该如何计算事件A的概率？
已知随机变量X的数学期望值，求随机变量函数Y=g(X)的数学 期望，
E (Y ) E ( g ( X ))
对于多维随机变量
yfY ( y)dy
g ( x) f X ( x)dx
随机向量函数的数学期望
X1 X 2 X X n
Y g (X)
E (Y)
g ( X) f X ( x)dx
21
N维随机变量的数学期望
设X1,X2, …,Xn为随机变量，求随机变量函数 Y=a1X1+a2X2+…+anXn的数学期望。
E (Y ) E (a1 X 1 a2 X 2 an X n ) E (a1 X 1 ) E (a2 X 2 ) E (an X n ) a1 E ( X 1 ) a2 E ( X 2 ) an E ( X n )
3
几何概率
• 计算无穷个基本事件的情形； • 样本点具有均匀分布的性质； • 设用L（ Ω）作为区域Ω大小的量度，而区域Ω 中任意可能出现的小区域A的量度用L（A）表 示； • 则事件A（或某一区域）发生的概率表示为
L( A) P( A) L()
问题：如果事先不知道随机试验到底有多少可能 的结果，又该如何计算事件A的概率？
f X 1 X 2 ( x1 , x2 )dx1dx2
aE( X 1 ) bE( X 2 )
加权和的期望等于加权期望的和
求数学期望是线性运算
数学期望的线性运算不受独立条件限制
23
相互独立的随机变量的期望
已知随机变量X1和X2，求随机变量函数Y＝g1(X1)g2(X2)的 数学期望
E[Y ]
联合密度 联合密度 边际密度 边际密度
设X，Y是两个随机变量，若对任意实数x，y有
P( X x, Y y) P(( X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)
则称X，Y为相互独立的随机变量。 若X，Y为相互独立随机变量，则有
FXY ( x, y ) FX ( x) FY ( y ) f XY ( x, y ) f X ( x) fY ( y )
E[ X ]
k
i 1
n
xik P( X
xi )
x k f X ( x)dx
又若E[X]存在，且E[|X-E[X]|k]< ∞，称
E[( X E[ X ])k ] 为X的k阶中心矩。 离散随机变量
E[( X E[ X ]) ]
k
连续随机变量
i 1
n
( xi E[ X ]) P( X xi )
P( A B) P( A | B) P( B)
全概率
• 若有N个互斥事件Bn（n=1,2,…,N），它的并集等 于整个样本空间，则
P( A)
N
P( A | B ) P( B )
i i i 1
8
贝叶斯公式
• 设事件A1，A2，…，An构成一个完备事件组， 概率P(Ai)>0,i=1,2,……,n,对于任何一个事件B， 若P(B)>0, 有 先验概率
4
统计概率
• 用于计算前两种随机概率概括不了的随机事件概率； • 用事件的频率近似地去表达事件的概率； • 若在同样的条件下，将随机试验独立的重复做n次，事件 A出现了nA次，则事件A的频率是
nA fA n
f A P(A)
• 当试验次数n增大时，其中大量的频率聚集在一个常数周围； • 这个常数是客观存在的，反映了事件A出现可能性的大小， 我们认为这个常数就是事件的概率。
F ( x) F ( x1 ,, xn ) P(e : X1 (e) x1 ,, X n (e) xn )
为X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数
15
边际分布
若二维联合分布函数中有一个变元趋于无穷，则其极限函数便 是一维分布函数，对于这种特殊性质，我们称其为边际分布。
对于任意两个随机变量X,Y，其联合分布函数为FXY(x,y)，则 F ( x ) F ( x, ) 1 F2 ( y ) F (, y ) 分别称F1(x)和F2(y)为FXY(x,y)关于X和关于Y的边际分布函数。 离散型随机变量（X，Y）边际分布函数计算如下
13
随机变量函数的分布
在给定某任意的随机变量X，以及它的概率分布函数 FX(x)，希望进一步求出给定的随机变量的某些可测函数 （如Y=g(X)）的概率分布函数。
X 非线性放大器 Y
Y的概率分布函数公式为
FY ( y) P( x : g ( x) y, x X )
如果上式右端概率的导数对于y处处存在，那么这个导数 就给出了随机变量Y的概率密度
P( X k )
k
k!
e
连续型随机变量的概率分布用概率密度描述
均匀分布
1 , a x b f ( x) b a 0, 其它
( xa)2 2 2
正态分布
f ( x)
1 2
e
指数分布
e x , f ( x) 0,
x0 x0
def
数学期望和方差(见page3，表1－1)
26
协方差
中心化的两个随机变量X-E[X]，Y-E[Y]的互相关矩称为随机 变量X和Y的协方差，
Cov( X , Y ) E[( X EX )(Y EY )] E ( XY ) E ( X ) E (Y )