全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)HB 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,HB 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？∠？（4）HB是否平分AHC例5：如图，点A. B. C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1： 延长AD到E ， AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCBA【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．F E CBA【练3】如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上一点，F 是AC 延长线上的一点，且BD=CF ，连结DF 交BC 于E ．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =FEDCBA【练2】如图，在△ABC 中，AB>AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G .求证：BF=CG .【练3】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．GFEDCBA【练4】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例3】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FEMCBA【练1】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDC BA【练2】如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD⊥AC，则∠BAC=______.【练3】在ABC∆中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MD ND⊥．（1）若90A∠=︒，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果2222BM CN DM DN+=+，求证()22214AD AB AC=+．M NDAB【例4】如图，等腰直角ABC∆与等腰直角BDE∆，P为CE中点，连接PA、PD.探究PA、PD的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系.（证角相等方法）【练2】如图，在ABC∆中，ABCD=，BDABAD∠=∠，AE是BD边的中线.求证：AEAC2=【例5】如图所示，在ABC∆中，AB AC=，延长AB到D，使BD AB=，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CD EC=．ECBA【练1】已知ABC∆中，AB AC=，BD为AB的延长线，且BD AB=，CE为ABC∆的AB边上的中线．求证：2CD CE=E DCBA【练2】如图,CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD.【例16】如图，两个正方形ABDE 和ACGF ，点P 为BC 的中点，连接PA 交EF 于点Q . 探究AP 与EF 的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）【练1】已知：如图，正方形ABCD 和正方形EBGF ，点M 是线段DF 的中点. ⑴试说明线段ME 与MC 数量关系和关系.⑵如图，若将上题中正方形EBGF 绕点B 顺时针旋转α度数（︒<90α），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，D O ECB A全等)【例10】 如图所示，ABC ∆中，0045,90=∠=∠B C ，AD 平分BAC ∠交BC 于D 。

求证：AB=AC+CD 。

【练1】如图所示，在ABC ∆中，060=∠B ，ABC ∆的角平分线AD 、CE 相交于点O 。

求证：AE+CD=AC 。

【练2】已知ABC ∆中，ο60=∠A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【练2】如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ，AE 平分∠BAD 交DC 于点E ，连接BE ，且AE ⊥BE ，求证：AB=AD+BC.【练3】已知：如图,在△ABC 中,∠A=90∘，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线。

求证：BC=AB+AD.DCOEDBNMDCBA【练4】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC．【例11】已知如图所示，在△ABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明∠B=2∠C（不只是边，倍角也适用）【练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于点D．求证：∠DBC＝21∠BAC．【例12】如图所示，已知21∠=∠，P为BN上一点，且BCPD⊥于D，AB+BC=2BD，求证：180=∠+∠BCPBAP。

21DMCPNACEDBCADCBA【练1】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A【例13】如图所示，在ABC Rt ∆中，AB=AC ，090=∠BAC ，CBD ABD ∠=∠，CE 垂直于BD 的延长线于E 。

求证：BD=2CE 。

【练1】已知：如图示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．求证：CD=2AD ．【练2】如图所示，在ABC ∆中，090=∠ABC ，AD 为BAC ∠的平分线，C ∠=300，AD BE ⊥于E 点，求证：AC-AB=2BE 。

DCE【练3】正方形ABCD,E 是BC 上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F ，求证AE=EF【练4】已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE【例14】如图所示，已知AB //CD ，BCD ABC ∠∠,的平分线恰好交于AD 上一点E ，求证：BC=AB+CD 。

EBAFCAD【练1】如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．【练2】如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD．【练3】在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．【练4】如图所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为三角形ABC外一点,且AD＝BD,DE⊥AC交AC的延长线于点E.试探求ED、AE和BC之间有何数量关系【练5】在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论EAB CPEDCBA【例15】如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证：AB-AC ＞PB-PC A【练1】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBA如图，E 是AOB ∠的平分线上一点，OA EC ⊥，OB ED ⊥，垂足为C 、D 。