2019学年高一数学人教A版必修四练习：模块质量评估试题

模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C.513D.1213解析： ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.答案： A2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( ) A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2D ．16 cm 2解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，l ＝2r .解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4.所以S ＝12lr ＝4(cm 2)．答案： A3．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－35B.35 C ．±35D.45解析： 由已知sin α＝－45，而α为第四象限角，所以cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35， 所以cos(α－2π)＝cos α＝35.答案： B4．已知α是锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为( ) A ．15° B ．45° C ．75°D ．15°或75°解析： ∵a ∥b ，∴sin α·cos α＝34×13，即sin 2α＝12.又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°. ∴2α＝30°或2α＝150°. 即α＝15°或α＝75°. 答案： D5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2, 则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析： 依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6，cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.答案： C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－35，且x 是第三象限角，则1＋tan x 1－tan x 的值为( )A ．－34B ．－43C.34D.43解析： 因为x 是第三象限角，所以π＋2k π＜x ＜3π2＋2k π，k ∈Z ，所以5π4＋2k π＜x ＋π4＜7π4＋2k π，k ∈Z ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＜0，而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，故1＋tan x 1－tan x＝tan π4＋tan x1－tan π4·tan x＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝43，选D.答案： D7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4解析： y ＝sin(2x ＋φ)――――――→向左平移π8个单位 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.答案： B8．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析： 当x ＝π2时，y ＝1＞0，排除C.当x ＝－π2时，y ＝－1，排除B ；或利用y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A.故选D. 答案： D9．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D为BC 的中点，则|AD →|为( )A.152B.152C ．7D ．18解析： ∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2＝1236×（22）2－12×22×3×cos π4＋32＝152.答案： A10．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝|sin x －12|的周期是π；⑤函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是[0，2]． 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析： 对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin 60°＝32，sin 390°＝sin 30°＝12，故sin α＜sin β，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T ＝2π|a |＝4π，得a ＝±12，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x |sin x －1≠0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π2＋2k π，k ∈Z，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f (x )＝|sin x －12|.若T ＝π，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝⎪⎪⎪⎪－1－12＝1.5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎪⎪⎪⎪1－12＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y ＝sin x ＋sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0 （x ＜0）2sin x （x ≥0），而当f (x )＝2sin x (x ≥0)时，－2≤2sin x ≤2，故函数y ＝sin x ＋sin |x |的值域为[－2，2]，故⑤错误；综上可知选D.答案： D11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析： 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sin π4x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.答案： C12．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析： 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a ，4b ，5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析： ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )，∴(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案： 514．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35(0＜α＜π2)，则f (α＋π12)＝________．解析： 因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝7210.答案：721015．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是________．解析： 由f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝12＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵π4≤x ≤π2⇒π3≤2x －π6≤5π6， ∴f (x )max ＝12＋1＝32.答案： 3216．有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析： α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确； 由于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． 答案： ④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解析： (1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin （π－α）cos （－2π－α）sin 2（－α）－sin2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解析： 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α ＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2. 解析： ∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42cos2α2＝52sin 2α－22（cos α－sin α）1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解析： (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又∵a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，∴2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)∵a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又∵0＜α＜π，∴α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α＞β，∴α＝5π6，β＝π6.21．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ·cos x .(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图．解析： f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3·sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：图象如下图．22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<⎭⎫π2的最大值为22，最小值为－2，周期为π，且图象过⎝⎛⎭⎫0，－24. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．解析： (1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最大值为22，最小值为－2， ∴A ＝322，B ＝22.又∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期为π， ∴T ＝2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝322sin(2x ＋φ)＋22. 又∵函数f (x )过⎝⎛⎭⎫0，－24，∴－24＝322sin φ＋22，即sin φ＝－12.又∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝322sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋22. (2)令t ＝2x －π6，则y ＝322sin t ＋22，其增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z . 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .。