2016-2017学年高中数学北师大版必修4学案：章末分层突破3 Word版含解析
2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：1.7 正切函数 Word版
§7 正切函数 7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质 7．3 正切函数的诱导公式1．理解任意角的正切函数的定义．2．能画出y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像．(重点)3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．(重点)4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 正切函数的定义、图像及性质阅读教材P 36～P 38“动手实践”以上部分，完成下列问题． 1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，且角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么比值ba 叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )．2．正切线如图1－7－1所示，线段AT 为角α的正切线．图1－7－13．正切函数的图像与性质判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数y ＝tan x 的定义域为R .( ) (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期为π.( ) (3)正切函数y ＝tan x 是奇函数．( )(4)正切函数y ＝tan x 的图像关于x 轴对称．( ) 【解析】 (1)y ＝tan x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)y ＝tan x 的周期为k π(k ∈Z )，最小正周期为π. (3)因为y ＝tan x的定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z关于原点对称，且tan(－x )＝－tan x ，故为奇函数．(4)由图知，正切函数图像既不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 教材整理2 正切函数的诱导公式阅读教材P 38～P 39例1以上部分，完成下列问题． 正切函数的诱导公式判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cot α.( )(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角．( ) (3)tan(k π－α)＝－tan α.( )【解析】 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α，所以(1)正确． (2)无论角α是哪个象限的角，诱导公式都适合，故(2)正确． (3)tan(k π－α)＝－tan α，故(3)正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]如图P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．图1－7－2(1)若已知角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，求tan θ； (2)若已知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，试求tan α.【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解． 【自主解答】 (1)∵角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 故θ的终边与单位圆交于P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，则tan θ＝－1232＝－33. (2)∵∠AOQ ＝α且Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，∴tan α＝4535＝43.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba .2．已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．3．tan α＝sin αcos α知其中两个，可求另一个．[再练一题]1．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，求tan α的值.【导学号：66470022】【解】 由题意知cos α＝－bb 2＋42＝－35，∴b ＝±3.又cos α＝－35<0，∴P 在第二象限，∴b ＝3. ∴tan α＝－43.(1)化简：sin (π＋α)·cos (π－α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α；(2)求值：tan 3π4－tan 2π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.【精彩点拨】 解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．【自主解答】 (1)原式＝ (－sin α)·(－cos α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cot α)·sin α＝sin αcos α·cot α(－cot α)·sin α＝－cos α. (2)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3tan π4＝－tan π4＋tan π31＋tan π3＝3－13＋1＝2－ 3.在使用诱导公式化简时，一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限．一般地，我们将α看作锐角(实质上是任意角)，那么π－α，π＋α，2π－α，π2＋α，π2－α分别是第二、三、四、二、一象限的角．[再练一题]2．(1)化简：tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)；(2)若a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3(－α－π)，求a 2＋a ＋1的值．【解】 (1)tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)＝tan (－α)tan (α－90°)tan αtan αtan (90°＋α)tan (－α)＝(－tan α)(－cot α)tan αtan α(－cot α)(－tan α)＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1. (2)a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3(－α－π)＝(－cos α)sin 2αtan α·tan α(－cos 3α)＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α·(－cos 3α)＝－cos 3αsin 2αsin 2α(－cos 3α)＝1，∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.利用正切函数的图像作出y ＝|tan x |的图像，并写出使y ＝3的x 的集合．【精彩点拨】 先化成分段函数，再借助正切函数的图像作图． 【自主解答】 ∵当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π时，y ＝tan x ≤0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2时，y ＝tan x >0，∴y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k πk ∈Z ，tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .如图所示．使y ＝3的x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π±π3，k ∈Z .1．三点两线画图法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．[再练一题]3．求下列函数的定义域． (1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝tan x ＋lg(1－tan x )．【解】 (1)由⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π－π4(k ∈Z )，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z .(2)要使函数y ＝tan x ＋lg(1－tan x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，1－tan x >0⇒0≤tan x <1.由正切函数的图像可得k π≤x <k π＋π4，k ∈Z .∴原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π≤x <k π＋π4，k ∈Z .[探究共研型]探究1 【提示】 不是，正切函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈Z.正切曲线在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增加的，但在整个定义域上不是增加的．探究2 函数y ＝tan x 的周期是多少？y ＝|tan x |的周期呢？ 【提示】 y ＝tan x 的周期是π，y ＝|tan x |的周期也是π. 探究3 函数y ＝tan x 的图像有什么特征？【提示】 正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷支曲线组成的，是间断的，无对称轴，只有对称中心．已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)． (1)判断f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的奇偶性；(2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间；(4)若a >0，求f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上的值域．【精彩点拨】 通过f (－x )与f (x )的关系判断奇偶性，求单调区间时注意a 的符号．【自主解答】 (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )． 又定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3关于原点对称，∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.(3)∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增， ∴当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上单调递减，当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上单调递增．(4)当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，故x ＝π4时，f (x )max ＝－a ，无最小值． ∴f (x )的值域为(－∞，－a ]．1．由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像． 2．由函数的图像又可以直观地总结函数的性质．函数的主要性质包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．[再练一题]4．画出函数y ＝tan |x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性． 【解】 由y ＝tan |x |得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0且x ≠π2＋k π(k ∈Z )，－tan x ，x <0且x ≠π2＋k π(k ∈Z ).根据y ＝tan x 的图像，作出y ＝tan |x |的图像如图所示：由图像可知，函数y ＝tan |x |是偶函数．单调增区间为：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，3π2＋k π(k ＝0,1,2,3，…)；单调减区间为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＋k π，－π2＋k π(k ＝0，－1，－2，－3，…)．[构建·体系]1．tan 5π6的值为( ) A ．3 B ．－ 3 C.33D ．－33【解析】 tan 5π6＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－tan π6＝－33.【答案】 D2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z【解析】 由题意得x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π＋π4，k ∈Z . 【答案】 D3．已知角α的终边上一点P (－2,1)，则tan α＝________. 【解析】 由正切函数的定义知tan α＝1－2＝－12. 【答案】 －124．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________. 【导学号：66470023】【解析】 函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的，所以y max ＝tan π4＝1，y min ＝tan0＝0.【答案】 [0,1] 5．求以下各式的值．(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2)tan 225°＋tan 750°tan (－30°)－tan (－45°).【解】 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan (180°＋45°)＋tan (2×360°＋30°)－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30° ＝1＋331－33＝2＋ 3.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。
第1章 章末分层突破 知识点汇总Word版含答案
章末分层突破①点电荷②kQ 1Q 2r 2③E ＝F q④E ＝k Q r2 ⑤E ＝U d⑥电场力 ⑦E p q⑧W ABq⑨φA －φ B⑩Q U⑪εr S 4πkd线，a 、b 、c 三点所在直线平行于两电荷的连线，且a 与c 关于MN 对称，b 点位于MN 上，d点位于两电荷的连线上．以下判断正确的是()图11A ．b 点的电场强度大于d 点的电场强度B ．b 点的电场强度小于d 点的电场强度C．a 、b 两点间的电势差等于b 、c 两点间的电势差 D ．试探电荷＋q 在a 点时的电势能小于在c 点时的电势能【解析】 如题图所示，两电荷连线的中点位置用O 表示，在中垂线MN 上，O 点电场强度最大，在两电荷之间的连线上，O 点电场强度最小，即E b <E O ，E O <E d ，故E b <E d ，选项A 错误，选项B 正确；等量异种点电荷的电场中，等势线具有对称性，a 、c 两点关于MN 对称，U ab ＝U bc ，选项C 正确；试探电荷＋q 从a 移到c ，远离正电荷，靠近负电荷，电场力做正功，电势能减小，选项D 错误；另一种理解方法：a 点电势高于c 点电势，试探电荷＋q 在a 处的电势能大，在c 处的电势能小．【答案】 BC1．电场中某点的电势高低与该点的电场强度大小无关． 2．电场中沿电场线方向电势降低得最快．3．E 、φ、U 、E p 均有正、负之分，但只有E 是矢量．1.有区别：(1)电场线总与等势面垂直．电荷沿着电场线移动，电场力一定做功；电荷沿着等势面移动，电场力一定不做功．(2)在同一电场中，等差等势面的疏密也反映电场的强弱，等差等势面密集处，电场线也密集，电场强；反之，电场线稀疏，电场弱．(3)知道等势面，可画出电场线，知道电场线，也可画出等势面．2．带电粒子在电场中的运动轨迹是由电场力和初速度共同决定的，可以根据轨迹分析受到的电场力方向，进一步研究加速度、动能、电势能的变化等．如图12所示，在点电荷Q 产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q 1、q 2分别置于A 、B 两点，虚线为等势线．取无穷远处为零电势点，若将q 1、q 2移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是( ) 【导学号：96322024】图12A ．A 点电势大于B 点电势 B ．A 、B 两点的电场强度相等C ．q 1的电荷量小于q 2的电荷量D ．q 1在A 点的电势能小于q 2在B 点的电势能【解析】 由于电场力做负功，所以Q 应带负电荷，由负点电荷产生电场的电场线的分布规律可判断出φB ＞φA ，故A 项错误；由E ＝k Qr2，r 不相等，知E A ≠E B ，故B 项错误；由φA ＝W A →∞q 1、φB ＝W B →∞q 2，因为W A →∞＝W B →∞，φA ＜φB ＜0，所以1q 1＞1q 2，即q 1＜q 2，故C 项正确；由于克服电场力做功相等，且无穷远处电势能为零，所以q 1在A 点的电势能等于q 2在B 点的电势能，故D 项错误．【答案】 C如图13所示，虚线表示等势面，相邻等势面间的电势差相等．有一带正电的小球在电场中运动，实线表示小球的运动轨迹．小球在a 点的动能为20 eV ，运动到b 点时动能为2 eV.若取c 点为零电势点，则当这个小球的电势能等于6 eV 时，它的动能为(不计重力和空气阻力)( )图13A．18 eV B．12 eVC．10 eV D．8 eV【解析】由于带电小球在电场中移动时，只有电场力做功，因此能量之间的转化只有动能和电势能之间的转化，因等势面为等差等势面，在相邻等势面间移送电荷，其动能变化相同，从a点到b点，动能减小了18 eV，所以从a点到c点动能减少了6 eV，c点动能为14 eV，故当小球电势能为6 eV时，它的动能为8 eV，D对．【答案】 D1.体的受力情况是解题的关键，通过受力分析可判断带电体的运动性质及运动轨迹．从力和运动的角度进行分析是解决带电体在电场中运动问题的最基本方法．2．分解的思想：带电体在电场和重力场的复合场中，若做类平抛或其他曲线运动，都可以考虑分解的思想，把它分解为两个分运动，可使问题很快得到解决3．功能关系：带电体在电场中运动的过程中伴随着做功和各种能量的转化，由于静电力做功与路径无关，这给动能定理和能量守恒定律提供了广阔的舞台．如图14所示，电荷量为－e、质量为m的电子从A点沿与电场垂直的方向进入匀强电场，初速度为v0，当它通过电场中B点时，速度与场强方向成150°角，不计电子的重力，设A点的电势为零，求B点的电势．图14【解析】电子进入匀强电场后在电场力作用下做匀变速曲线运动，根据运动的分解可知，电子在垂直于电场线方向上做匀速直线运动．将B点的速度分解(如图)v ＝v 0cos 60°＝2v 0电子从A 运动到B 由动能定理得：W ＝12mv 2－12mv 20＝32mv 20.电场力做正功，电势能减少，所以B 点的电势能为E p B ＝－32mv 20，φB ＝E p B q ＝－32mv 20－e ＝3mv 22e.【答案】 3mv 22e如图15所示，匀强电场的方向沿x 轴的正方向，场强为E .在A (l,0)点有一个质量为m 、电荷量为q 的粒子，以沿y 轴负方向的初速度v 0开始运动，经过一段时间到达B (0，－2l )点．不计重力作用，求：图15(1)粒子的初速度v 0的大小；(2)粒子到达B 点时的速度v 的大小及方向． 【解析】 (1)粒子在y 轴方向做匀速直线运动： 2l ＝v 0t粒子在x 轴方向做匀加速直线运动：l ＝12at 2又a ＝qE m解得：t ＝2ml qEv 0＝2qElm.(2)x 方向分速度v x ＝at ＝2qElm到达B 点时速度的大小v ＝v 2x ＋v 20＝2qElm速度与y 轴负方向的夹角 tan θ＝v x v 0＝1，则θ＝45°. 【答案】 (1)2qElm(2)2qElm与y 轴负方向的夹角为45°处理带电粒子在电场中运动的一般思路(1)分析带电粒子的受力情况，尤其要注意是否应该考虑重力，电场力是否为恒力等． (2)分析带电粒子的初始状态及条件，确定带电粒子做直线运动还是曲线运动． (3)建立正确的物理模型，进而确定解题方法是运动学还是功能关系． (4)利用物理规律或其他手段(如图线等)找出物体间的关系，建立方程组．1.关于静电场的等势面，下列说法正确的是( ) 【导学号：96322025】 A ．两个电势不同的等势面可能相交 B ．电场线与等势面处处相互垂直 C ．同一等势面上各点电场强度一定相等D ．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功 【解析】 在静电场中，两个电势不同的等势面不会相交，选项A 错误；电场线与等势面一定相互垂直，选项B 正确；同一等势面上的电场强度可能相等，也可能不相等，选项C 错误；电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，移动负试探电荷时，电场力做负功，选项D 错误．【答案】 B2．如图16所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支持使它们彼此接触．把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开( )【导学号：96322026】图16A．此时A带正电，B带负电B．此时A电势低，B电势高C．移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合D．先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合【解析】带电体C靠近导体A、B时，A、B发生静电感应现象，使A端带负电，B端带正电，但A、B是一个等势体，选项A、B错误；移去带电体C后，A、B两端电荷中和，其下部的金属箔都闭合，选项C正确；若先将A、B分开，再移去带电体C，A、B上的电荷不能中和，其下部的金属箔仍张开，选项D错误．【答案】 C3.(多选)如图17，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称．忽略空气阻力．由此可知( )【导学号：96322027】图17A．Q点的电势比P点高B．油滴在Q点的动能比它在P点的大C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小【解析】带电油滴在电场中受重力、电场力作用，据其轨迹的对称性可知，电场力方向竖直向上，且电场力大于重力，电场力先做负功后做正功．则电场强度方向向下，Q点的电势比P点高，选项A正确；油滴在P点的速度最小，选项B正确；油滴在P点的电势能最大，选项C错误；油滴运动的加速度大小不变，选项D错误．【答案】AB4．如图18，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等．则( )图18A．直线a位于某一等势面内，φM>φQB．直线c位于某一等势面内，φM>φNC．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功【解析】由电子从M点分别运动到N点和P点的过程中电场力所做的负功相等可知，N、P两点在同一等势面上，且电场线方向为M→N，故选项B正确，选项A错误．M点与Q 点在同一等势面上，电子由M点运动到Q点，电场力不做功，故选项C错误．电子由P点运动到Q点，电场力做正功，故选项D错误．【答案】 B5．一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图19所示，容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( ) 【导学号：96322028】图19A．A点的电场强度比B点的大B．小球表面的电势比容器内表面的低C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同【解析】由题图知，B点处的电场线比A点处的密，则A点的电场强度比B点的小，选项A错误；沿电场线方向电势降低，选项B错误；电场强度的方向总与等势面导体表面垂直，选项C正确；检验电荷由A点移动到B点，电场力做功一定，与路径无关，选项D错误．【答案】 C6．如图110所示，两平行的带电金属板水平放置．若在两板中间a点从静止释放一带电微粒，微粒恰好保持静止状态．现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°，再由a点从静止释放一同样的微粒，该微粒将( ) 【导学号：96322029】图110A ．保持静止状态B ．向左上方做匀加速运动C ．向正下方做匀加速运动D ．向左下方做匀加速运动【解析】 两板水平放置时，放置于两板间a 点的带电微粒保持静止，带电微粒受到的电场力与重力平衡．当将两板逆时针旋转45°时，电场力大小不变，方向逆时针偏转45°，受力如图，则其合力方向沿二力角平分线方向，微粒将向左下方做匀加速运动．选项D 正确．【答案】 D7.如图111，P 是固定的点电荷，虚线是以P 为圆心的两个圆．带电粒子Q 在P 的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a 、b 、c 为轨迹上的三个点．若Q 仅受P 的电场力作用，其在a 、b 、c 点的加速度大小分别为a a 、a b 、a c ，速度大小分别为v a 、v b 、v c .则( ) 【导学号：96322030】图111A ．a a >a b >a c ，v a >v c >v bB ．a a >a b >a c ，v b >v c >v aC ．a b >a c >a a ，v b >v c >v aD ．a b >a c >a a ，v a >v c >v b【解析】 a 、b 、c 三点到固定的点电荷P 的距离r b <r c <r a ，则三点的电场强度由E ＝kQr 可知E b >E c >E a ，故带电粒子Q 在这三点的加速度a b >a c >a a .由运动轨迹可知带电粒子Q 所受P 的电场力为斥力，从a 到b 电场力做负功，由动能定理－|qU ab |＝12mv 2b －12mv 2a <0，则vb <v a ，从b 到c 电场力做正功，由动能定理|qU bc |＝12mv 2c －12mv 2b >0，vc >v b ，又|U ab |>|U bc |，则v a >v c ，故v a >v c >v b ，选项D 正确．【答案】 D8．如图112所示，一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子在匀强电场中运动，A 、B 为其运动轨迹上的两点．已知该粒子在A 点的速度大小为v 0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B 点时速度方向与电场方向的夹角为30°.不计重力．求A 、B 两点间的电势差. 【导学号：96322031】图112【解析】 设带电粒子在B 点的速度大小为v B .粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即v B sin 30°＝v 0sin 60°①由此得v B ＝3v 0②设A 、B 两点间的电势差为U AB ，由动能定理有qU AB ＝12m (v 2B －v 20)③联立②③式得U AB ＝mv 20q .【答案】 mv 20q章末综合测评(一) (时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10个小题，共60分．在每小题所给的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．)1．关于电场线的以下说法中正确的是( )【导学号：96322175】A ．电场线上每一点的切线方向都跟电荷在该点的受力方向相同B ．沿电场线的方向，电场强度越来越小C ．电场线越密的地方同一试探电荷所受的静电力就越大D ．顺着电场线移动电荷，电荷受静电力大小一定不变【解析】 电场线上每一点的切线方向都跟正电荷在该点的受力方向相同，故选项A 错误；沿电场线方向，其疏密变化情况未知，所以电场强度大小不能判定，电荷的受力情况也不能判定，故选项B 、D 错误；电场线越密的地方同一试探电荷所受的静电力就越大，故选项C 正确．【答案】 C2．真空中，A 、B 两点与点电荷Q 的距离分别为r 和3r ，则A 、B 两点的电场强度大小之比为( )【导学号：96322176】A ．3∶1B ．1∶3C ．9∶1D ．1∶9【解析】 由点电荷场强公式有：E ＝k Q r2∝r －2，故有E A E B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r B r A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3r r2＝9∶1，C 项正确．【答案】 C3．下列选项中的各14圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各14圆环间彼此绝缘．坐标原点O 处电场强度最大的是( )【解析】 由对称性原理可知，A 、C 图中O 点的场强大小相等，D 图中O 点场强为0，因此B 图中两14圆环在O 点处合场强应最大，选项B 正确．【答案】 B4．如图1所示，O 为两个等量异种电荷连线的中点，P 为连线中垂线上的一点，比较O 、P 两点的电势和场强大小( )A．φO＝φP，E O＞E PB．φO＝φP，E O＝E PC．φO＞φP，E O＝E PD．φO＝φP，E O＜E P【解析】根据等量异种电荷电场的分布情况可知，中垂线是等势线，故φO＝φP，根据电场线的疏密知，E O>E P，故A项正确．【答案】 A5．如图2所示，一带电粒子在电场中沿曲线AB运动，从B点穿出电场，a、b、c、d 为该电场中的等势面，这些等势面都是互相平行的竖直平面，不计粒子所受重力，则( ) 【导学号：96322177】图2A．该粒子一定带负电B．此电场不一定是匀强电场C．该电场的电场线方向一定水平向左D．粒子在电场中运动过程动能不断减少【解析】由于不能确定电场线方向，故不能确定粒子带负电，A、C错误．等势面互相平行，故一定是匀强电场，B错误．粒子受电场力一定沿电场线指向轨迹凹侧，而电场线和等势面垂直，由此可确定电场力一定做负功，故动能不断减少，D正确．【答案】 D6．如图3所示，B、D在以点电荷＋Q为圆心的圆上，B、C在以QB连线中点为圆心的圆上，将一检验电荷从A点分别移到B、C、D各点时，电场力做功是( )A ．W AB ＝W AC B ．W AD ＞W AB C ．W AC ＞W ADD ．W AB ＝W AD【解析】 由题图可知，B 、D 在同一个等势面上，C 点的电势比B 点高，所以从A 点向B 、C 、D 三点移动电荷时，移至B 、D 两点电场力做功是一样多的，移至C 点时电场力做功比移至B 、D 点少．【答案】 D7．如图4所示，a 、b 两个带正电的粒子，以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场后，a 粒子打在B 板的a ′点，b 粒子打在B 板的b ′点，若不计重力，则( ) 【导学号：96322178】图4A ．a 的电荷量一定大于b 的电荷量B ．b 的质量一定大于a 的质量C ．a 的比荷一定大于b 的比荷D ．b 的比荷一定大于a 的比荷【解析】 据题意，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，其水平位移为：x ＝vt ，竖直位移为：y ＝12at 2＝12qE mt 2，当a 、b 以相同速度垂直电场线进入电场后，有：x ＝v2myqE ，由于v 、y 和E 都相等，而b 粒子的水平位移大，故b 粒子的m q较大，因而a 粒子的qm较大，故C 选项正确．【答案】 C8．一带电粒子在正电荷形成的电场中，运动轨迹如图5所示的abcd 曲线，下列判断正确的是( )【导学号：96322179】图5A ．粒子带正电B ．粒子通过a 点时的速度比通过b 点时小C ．粒子在a 点受到的静电力比b 点小D ．粒子在a 点时的电势能与在d 点相等【解析】 根据同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，可知粒子带正电荷，故选项A 正确；从a 向b 运动过程中，斥力做负功，因此动能减小，速度减小，故选项B 错误；根据库仑定律F ＝kq 1q 2r 2可知，在a 点两个电荷间距离远，受静电力小，故选项C 正确；粒子在a 点与在d 点处于同一等势面上，从a 到d 的过程中，静电力不做功，因此电势能相等，故选项D 正确．【答案】 ACD9．如图6所示，两块平行金属板正对着水平放置，两板分别与电源正、负极相连．当开关闭合时，一带电液滴恰好静止在两板间的M 点．则()图6A ．当开关闭合时，若减小两板间距，液滴仍静止B ．当开关闭合时，若增大两板间距，液滴将下降C ．开关再断开后，若减小两板间距，液滴仍静止D ．开关再断开后，若增大两板间距，液滴将下降【解析】 当开关闭合时，电容器两端电压为定值，等于电源电压，设为U ，两板间的距离为d ，带电液滴处于平衡状态，则mg ＝q U d，当两板间的距离减小时，所受电场力大于重力，液滴将向上做匀加速运动，A 错误；两板间的距离增大时，所受电场力小于重力，液滴将向下做匀加速运动，B 正确；当开关断开后，电容器无法放电，两板间的电荷量不变，设为Q ，此时两板间的场强大小E ＝U d ＝Q C d ∝QεS，可见场强大小与两板间距离无关，即场强大小保持不变，电场力不变，液滴保持静止，C 正确，D 错误．【答案】 BC10．如图7所示，A 、B 、C 、D 是匀强电场中的四个点，D 是BC 的中点，A 、B 、C 构成一直角三角形，AB ＝L m ，电场线与三角形所在的平面平行，已知A 点的电势为5 V ，B 点的电势为－5 V ，C 点的电势为15 V ，据此可以判断( ) 【导学号：96322180】图7A ．场强方向由C 指向B B ．场强方向垂直AD 连线指向BC ．场强大小为10LV/mD ．场强大小为203LV/m【解析】 根据B 、C 点的电势可以确定其中点D 的电势为5 V ，A 、D 的连线为一条等势线，电场线与等势面垂直，且由高等势面指向低等势面，故场强方向垂直AD 连线指向B ，A 错误，B 正确；匀强电场的场强E ＝U AB d ，其中U AB ＝10 V ，d ＝L cos 30°，解得E ＝203LV/m ，C 错误，D 正确．【答案】 BD二、计算题(本大题共3个小题，共40分．按题目要求作答．)11．(12分)如图8所示，在真空中的O 点放一点电荷Q ＝1.0×10－9C ，直线MN 过O 点，OM ＝30 cm ，M 点放一点电荷q ＝－2×10－10 C ，求：图8(1)M 点的场强大小；(2)若M 点的电势比N 点的电势高15 V ，则电荷q 从M 点移到N 点，它的电势能变化了多少？【解析】 (1)根据E ＝kQ r2得M 点的场强 E ＝9.0×109× 1.0×10－930×10－22 N/C ＝100 N/C.(2)电荷q 从M 点移到N 点，电场力做功W MN ＝qU MN ＝－2×10－10×15 J＝－3×10－9 J.这一过程中电场力做负功，电势能增加3×10－9J. 【答案】 (1)100 N/C (2)电势能增加了3×10－9 J12．(12分)如图9所示，在水平方向的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线拴住一质量为m 、电荷量为q 的小球，线的上端固定，开始时连线拉成水平，突然松开后，小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时的速度恰好为零．求：【导学号：96322181】图9(1)A 、B 两点的电势差U AB 为多大？ (2)电场强度为多大？【解析】 (1)取带电小球为研究对象，由动能定理得mgL sin 60°＋qU AB ＝0，故U AB ＝－3mgL2q. (2)由E ＝U d 得电场强度为E ＝－U AB L 1－cos 60° ＝3mgq.【答案】 (1)－3mgL 2q (2)3mg q13．(16分)如图10所示，一质量m ＝5×10－3kg(忽略重力)的微粒带正电，其电荷量为q ＝1×10－4C ．从距上极板5 cm 处以2 m/s 的水平初速度进入长为20 cm 、板间距也为20 cm 的两极板间，如果两极板不带电，微粒将运动到距极板最右端10 cm 的竖直荧光屏上的O 点．现将两极板间加200 V 的电压，带电微粒打到荧光屏上的A 点．图10(1)带电微粒从进入电场到到达荧光屏上的A 点所经历的时间为多少？ (2)OA 两点的间距为多少？(3)带电微粒进入电场到打到荧光屏上的A 点这一过程中电场力对其做功多少？ 【解析】 (1)设板长为l 1，极板最右端到荧光屏的距离为l 2，微粒初速度为v ，由于带电微粒在水平方向上的速度始终不变，则t ＝l 1＋l 2v ＝0.2＋0.12s ＝0.15 s. (2)设微粒在两极板间的偏转位移为y ，则y ＝12at 2＝qUl 212mdv 2＝1×10－4×200× 0.222×5×10－3×0.2×22 m ＝0.1 m. 在类平抛运动中，利用速度的反向延长线交于水平位移的中点．再根据三角形相似，求得OA 长为0.2 m.(3)W ＝qEy ＝qUy d ＝1×10－4×200×0.10.2J ＝0.01 J.【答案】 (1)0.15 s (2)0.2 m (3)0.01 J2.磁场对通电导线的作用——安培力[先填空]1．安培力磁场对通电导线的作用力．2．科学探究：安培力与哪些因素有关(1)实验探究采用的方法：控制变量法．(2)当通电导线与磁感线垂直时，实验结论是：①当其他因素不变，磁感应强度增大时，安培力增大；②当其他因素不变，电流增大时，安培力增大；③当其他因素不变，导体长度增大时，安培力增大；④安培力的方向由磁场方向和电流方向共同决定．3．安培力的大小(1)F＝ILB.(2)适用条件①通电导线与磁场方向垂直．②匀强磁场或非匀强磁场中很短的导体．[再判断]1．通电导体在磁场中所受安培力为零，该处磁场感应强度一定为零．(×)2．两根通电导线在同一匀强磁场中，若导线长度相同，电流大小相等，则所受安培力大小相等，方向相同．(×)3．通以10 A电流的直导线，长为0.1 m，处在磁感应强度为0.1 T的匀强磁场中，所受安培力可能为0.02 N．(√)[后思考]通电导体在磁场中所受安培力F的大小一定等于ILB吗？【提示】不一定．只有当通电导体中的电流方向与磁场方向垂直时，安培力F才等于ILB.[合作探讨]如321所示，利用下列实验装置可以探究安培力的大小与磁场、电流大小的关系．(1)在B、L一定时，增大电流I，导线受力怎么变化？(2)在B、I一定时，增大导线的长度L，导线受力怎么变化？321【提示】(1)当B、L一定时，增大电流I、导线受的力变大．(2)当B、I一定时，增大导线长度L导线受力变大．[核心点击]1．当电流方向与磁场方向垂直时，F＝ILB.此时通电导线所受安培力最大．2．当电流方向与磁场方向不垂直时，F＝ILB sin θ(θ是I和B之间的夹角)．3．当通电导线的方向和磁场方向平行(θ＝0°或θ＝180°)时，安培力最小，等于零．4．若导线是弯曲的，公式中的L并不是导线的总长度，而应是弯曲导线的“有效长度”．它等于连接导线两端点直线的长度(如图322所示)，相应的电流方向沿两端点连线由始端流向末端．图322一根长为0.2 m、电流为2 A的通电导线，放在磁感应强度为0.5 T的匀强磁场中，受到的安培力大小不可能是( )A．0.4 N B．0.2 NC．0.1 N D．0【解析】由安培力的公式F＝ILB sin θ可知，安培力的大小与I和B的夹角有关．当θ＝90°时，F 最大，F max ＝ILB ＝2×0.2×0.5 N＝0.2 N ．当θ＝0°时，F 最小，F min ＝0，故F 的大小范围是0≤F ≤0.2 N，故B 、C 、D 可能，A 不可能．【答案】 A如图323所示，导线框中电流为I ，导线框垂直于磁场放置，磁感应强度为B ，AB 与CD 相距为d ，则MN 所受安培力大小为( )【导学号：96322061】图323A ．F ＝BIdB ．F ＝BId sin θC ．F ＝BIdsin θD ．F ＝BId cos θ【解析】 导线与B 垂直，F ＝BI dsin θ.【答案】 C如图所示，在匀强磁场中放有下列各种形状的通电导线，电流均为I ，磁感应强度均为B ，求各导线所受到的安培力的大小．【解析】 A 图中，F ＝IlB cos α，这时不能死记公式而错写成F ＝IlB sin α.要理解公式本质是有效长度或有效磁场，正确分解．B 图中，B ⊥I ，导线在纸平面内，故F ＝IlB .C 图是两根导线组成的折线abc ，整体受力实质上是两部分直导线分别受力的矢量和，其有效长度为ac ，故F ＝2IlB .D 图中，从a →b 的半圆形电流，分析圆弧上对称的每一小段电流，受力抵消合并后，其有效长度为ab ，故F ＝2IRB .E 图中，F ＝0.【答案】 A ：IlB cos α B ：IlB C ：2IlB D ：2IRB E ：0计算安培力大小应注意的问题(1)应用公式F ＝IlB ，电流方向必须与磁场方向垂直．(2)通电导线放入磁场中，有可能不受安培力的作用．(3)公式F ＝IlB 中的l 不一定是导线的实际长度，而应是“有效长度”．[先填空]1．安培力的方向(1)左手定则：伸出左手，四指并拢，使大拇指和其余四指垂直，并且都跟手掌在同一平面内，让磁感线垂直穿过手心，四指指向沿电流方向，则大拇指所指方向就是通电导线所受安培力的方向．(2)方向特点：安培力的方向既与电流方向垂直，又与磁场方向垂直，即安培力方向垂直于电流方向和磁场方向所确定的平面．2．电动机(1)原理：利用磁场对通电线圈的安培力使线圈在磁场中旋转．(2)作用：把电能转化为机械能．(3)分类⎩⎪⎨⎪⎧ 直流电动机：由磁场、转动线圈、滑环、电刷 及电源组成，滑环在其中起了一个换向器 的作用. 交流电动机：如家用电风扇、洗衣机、抽油烟 机等都是交流电动机.[再判断] 1．当通电直导线垂直于磁场方向时，安培力的方向和磁场方向相同．(×)2．磁感应强度的方向与安培力的方向垂直．(√)3．电动机是把电能转化为机械能的装置．(√)[后思考]通电直导线在磁场中所受安培力的方向一定跟电流的方向垂直吗？【提示】 一定．根据左手定则可判断安培力的方向垂直于电流和磁场方向．[合作探讨]如图324所示，利用下列装置可以探究安培力的方向与磁场、电流方向的关系．(1)图中磁场方向向哪？闭合电键后，导线中电流方向向哪？。
北师大版高中数学必修4全套教案全册
(北师大版)数学必修4全套教案§1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
2017-2018学年北师大版高中数学必修4全册学案
2017-2018学年高中数学北师大版必修4全册同步学案目录第一章 1 周期现象-§2 角的概念的推广第一章 3 弧度制第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性第一章 4.1 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）第一章 5.1 正弦函数的图像第一章 5.2 正弦函数的性质第一章 6 余弦函数的图像与性质第一章7 正切函数第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（二）第一章9 三角函数的简单应用第一章章末复习课第二章 1 从位移、速度、力到向量第二章 2.1 向量的加法第二章 2.2 向量的减法第二章 3.1 数乘向量第二章 3.2 平面向量基本定理第二章 4.1 平面向量的坐标表示-4.2 平面向量线性运算的坐标表示第二章 4.3 向量平行的坐标表示第二章 5 从力做的功到向量的数量积（一）第二章 5 从力做的功到向量的数量积（二）第二章 6 平面向量数量积的坐标表示第二章向量应用举例第二章章末复习课第三章 1 同角三角函数的基本关系第三章 2.1 两角差的余弦函数第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第三章 2.3 两角和与差的正切函数第三章 3 二倍角的三角函数（一）第三章 3 二倍角的三角函数（二）第三章疑难规律方法第三章章末复习课学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二 象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟 判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同． (2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，① 所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角． 由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角．当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角． 综上可知，α2为第一或第三象限角．例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°， 解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°， 解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．跟踪训练4解终边在y＝33x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？梳理(1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝lr.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理(1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 梳理类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可． 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．时针经过一小时，转过了( )A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或45．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．答案精析问题导学 知识点一思考1 周角的1360等于1度．思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关． 梳理 (1)度 弧度 弧度 知识点二思考 利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行弧度与角度的换算．梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57．30° (2)45° 90° 135° 270° 0 π6 π3 2π35π6 知识点三思考 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝12lr ，l ＝αr .题型探究例1 解 (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.跟踪训练1 解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－29π6；当k ＝－2时，γ＝－17π6；当k ＝－1时，γ＝－5π6.跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.例3 (1)A (2)D跟踪训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ， 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.C 5.－34．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义．知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？梳理(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的____________定义为角α的正弦函数，记作________；点P的____________定义为角α的余弦函数，记作________．(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？梳理正弦函数、余弦函数的定义域知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？梳理正弦、余弦函数在各象限的符号知识点四周期函数思考由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在____________，对定义域内的____________x值，都有____________，我们就把f(x)称为周期函数，____称为这个函数的周期．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中________的一个，称为____________，简称为周期．类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ的值．反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b 2，cos α＝aa 2＋b 2. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值．类型二 正弦、余弦函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键．跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B＜0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能类型三周期性例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－1f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数．反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x)．(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝1f(x)，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．跟踪训练4若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值．1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于()A.45B.35 C ．－35D ．－452．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－23．设f (x )是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，则f (72)的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－34．点P (sin 2 016°，cos 2 016°)位于第________象限． 5．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点． 2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．答案精析问题导学 知识点一思考1 sin α＝y r ，cos α＝xr .思考2 不会．思考3 sin α＝y ，cos α＝x .梳理 (1)纵坐标v v ＝sin α 横坐标u u ＝cos α 知识点二思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义． 知识点三思考 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u ，v )，则sin α＝v ，cos α＝u .当α为第一象限角时，v >0，u >0，故sin α>0，cos α>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号． 知识点四思考 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．梳理 非零实数T 任意一个 f (x ＋T )＝f (x ) T 最小 最小正周期 题型探究例1 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010. 跟踪训练1 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.例2 解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ， r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练2 解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.例3 (1)D(2)解 ①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4<0. 跟踪训练3 B例4 证明 (1)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． (2)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． 跟踪训练4 解 由f (x )＝f (x －a )＋f (x ＋a )，① 得f (x ＋a )＝f (x )＋f (x ＋2a )．② ①＋②，得f (x －a )＋f (x ＋2a )＝0， 即f (x －a )＝－f (x ＋2a )， ∴f (x )＝－f (x ＋3a )， 即f (x ＋3a )＝－f (x )，∴f (x ＋6a )＝－f (x ＋3a )＝f (x )． ∴T ＝6a 为函数y ＝f (x )的一个周期， ∴f (14a )＝f (6a ×2＋2a )＝f (2a )＝1. 当堂训练1．D 2.C 3.B 4.三5．解 在直线y ＝2x 上任取一点P (x,2x )(x ≠0)， 则r ＝x 2＋(2x )2＝5|x |. ①若x >0，则r ＝5x ， 从而sin α＝2x 5x＝255，cos α＝x 5x ＝55， ∴cos α＋sin α＝355.②若x <0，则r ＝－5x ， 从而sin α＝2x－5x＝－255，cos α＝x －5x ＝－55，∴cos α＋sin α＝－355.4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题．知识点 正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？梳理正弦、余弦函数的性质类型一 正弦余数、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为_________________________________________． 类型二 正、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域．(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值．反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析．(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数讨论．跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈(－π3，2π3]的值域为________．类型三 正、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( ) A ．(－π2，π2)B ．(0，π)C ．(π2，3π2)D ．(π，2π)反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并．跟踪训练3 求下列函数的单调区间．(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．1．函数y ＝sin x ，x ∈[－π4，π4]的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，22 C.22，－22D ．1，－222．不等式2sin x －1≥0的解集为____________________________________________． 3．函数y ＝2cos x －1的定义域为_____________________________________________． 4．求y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域．利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识．答案精析问题导学 知识点思考1 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是增加的． 梳理 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π]题型探究例1 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练1 [－π6＋2k π，7π6＋2k π]，k ∈Z例2 解 (1)∵y ＝cos x 在区间[－π3，0]上是增加的，在区间[0，5π6]上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域是[－32，1]．(2)当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1； 当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. 跟踪训练2 [32，3]例3 D跟踪训练3 解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π2，π2]，递减区间为[－π，－π2]，[π2，π]． (2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π]． 当堂训练1．C 2.{x |π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z }3.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z 4．解 由x ∈[－π6，π]，得sin x ∈[－12，1]，∴y ＝[－2,1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域为[－2,1]．4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？思考22kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α(1.9)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α(1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值．(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°)．反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1求下列各三角函数式的值．(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6.类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________. (2)已知cos(π6－α)＝22，则cos(5π6＋α)＝________.反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用． 跟踪训练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 类型三 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式． (1)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若本例(1)改为：sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练3 化简：cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α).1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )。
高中数学北师大版必修4学案章末分层突破3 Word版含解析
章末分层突破
[自我校对]
①α＋α＝②α α)＝α
③α＋β④α⑤α
给值求角．
．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．
．给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围．
已知<α<，<β<，且β＝(α＋β)，＝－，求α＋β的值．【精彩点拨】因为α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，由已知条件β＝(α＋β)，即可求得(α＋β)．
【规范解答】∵β＝(α＋β)，
∴[(α＋β)－α]＝[(α＋β)＋α]，
即(α＋β) α＝(α＋β) α.
∴(α＋β)＝α.
又＝－，
∴α＝(α)－(α))＝，
∴(α＋β)＝α＝.
又∵<α<，<β<，
∴α＋β＝.
[再练一题]
．已知－<<，＋＝.
()求和－的值；
()求＋－)的值．
【解】()由＋＝，平方得＋＝，所以＝－.因为－<<，所以> ，
所以－＝)＝.
()＋－)＝＋－( ))
＝( ＋(,( －))。
2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：章末分层突破1 Word版
章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为______．【精彩点拨】 (1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z ) [再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域． 【解】 函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≥1.如图所示，结合三角函数线知⎩⎨⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．正弦函数、要依据．利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】 直接应用诱导公式求解．【规范解答】 (1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1－1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，||φ<π2的一段图像．图1－1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】 (1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移． 【规范解答】 (1)由图像知，A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位， 得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ>π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像．【解】 因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3， 又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像．值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解． (2)先求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值．(3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )． ∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， ∴T ＝2πω＝2π2＝π， 故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－ π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.或者把图形的性质问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】 本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】 法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π， 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线． 如图：由单位圆三角函数线知：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π， 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域．【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<x <4π3时，cos x <－12.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . (2)作出y ＝sin x 的简图，如图所示：由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1， ∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．(2015·山东高考)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1－2所示，则f (x )的单调递减区间为( )图1－2A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】 由图像知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．(2015·陕西高考)如图1－3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1－3A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】 根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.【答案】 C4．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。
高中数学圆锥曲线章末分层突破学案北师大版选修41
【课堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学第 2 章圆锥曲线章末分层打破教案北师大版选修4-1[ 自我校正 ]①相切②订交③抛物能④双曲线球的截面平面截球所得的交线是圆，连接球心O 与截面圆的圆心O′所得直线与截面垂直，设球的半径为 R，圆的半径为r ，则有 r 2＋OO′2＝ R2.已知过球面上A， B， C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝ BC＝ CA＝2，求球面面积.【出色点拨】设过A，B，C三点截面圆的圆心为OO′，则OO′⊥平面ABC，且OO′＝1323O′ A＝3AB＝3. 在Rt△OO′A2R，由△ABC为等边三角形，易知O′为△ ABC的中心，在中，由勾股定理得出R，从而求出球面面积.【规范解答】如图，过 A，B，C三点截面圆的圆心为O′，连接 AO′， OO′， AO，则 OO′⊥平面 ABC，∴OO′⊥ AO′.在△ ABC中，∵ AB＝BC＝ CA＝2，∴△ ABC为边长是2的正三角形，3 2 3∴AO′＝3 AB＝3.1设球的半径为R，则 AO＝ R， OO′＝2R.在 Rt△AO′O中，由勾股定理得222AO＝ AO′＋OO′，即214＝2 32＋ R2，∴ ＝，R32R 32 4 264从而球面的面积为S＝4πR＝4π3＝9π .[ 再练一题 ]1.( 全国卷Ⅱ ) 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°， C为该球面上的动点. 若三棱锥 -体积的最大值为36，则球O 的表面积为 ()O ABC【导学号： 96990053】A.36 π B.64 πC.144 πD.256 π12【分析】如图，设球的半径为R，∵∠ AOB＝90°，∴ S△AOB＝2R.∵ O- ABC＝ C- AOB，而△面积为定值，V V AOB∴当点 C到平面 AOB的距离最大时， V O- ABC最大，∴当 C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积 V O- ABC最大为131×2R2× R＝36，∴ R＝6，∴球 O的表面积为22π. 应选 C. 4πR＝ 4π×6＝ 144【答案】C圆柱、圆锥的截面平面与圆柱面或圆锥面的交线问题，常常考虑作出合适的轴截面，建立有关量的关系.设圆锥的底面半径为2，高为 3，求：(1)内接正方体的棱长；(2)内切球的表面积 .【出色点拨】作出圆锥的轴截面，利用平面几何的知识求解 .【规范解答】(1) 过正方体的一极点作圆锥的一个轴截面，以下列图 . 设正方体的棱长为 a ，2则 O ′ C ′＝ 2 a ， O ′ O ＝a .由△ VO ′ C ′∽△ VOF ，∴ VO ′∶ VO ＝ O ′C ′∶ OF ，即(3－ )∶3＝2 ∶2，∴ ＝ 18 2－ 24.a2 aa(2) 作圆锥的一个轴截面，如图，设内切球的半径为，则 ＝ 22＋ 32＝ 13.R VB∵BO 为∠ ABV 的均分线，∴ VO ∶OD ＝ VB ∶BD ，即 (3 －R ) ∶ R ＝ 13∶2，解得213－ 2) ，＝ (R 3242∴ S 球 ＝ 4πR ＝ 4π × 9( 13－ 2)16 13) π .＝ (17－49 [ 再练一题 ]2. 如图 2-1 ，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为 4，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积为 ()图2-1A.20 πB.16 πC.14 πD.8 π【分析】 由已知圆柱底面半径r ＝2.即直径为4. 设截面与圆柱母线成α 角，则sin 4α ＝ 5，∴ cos3α ＝5.3∴几何体的最长母线长为2＋ 2cos α ＝ 2＋5× 5＝ 5. 用一个相同的几何体补在上边，可得一个底半径21 r ＝2，高为 7 的圆柱， 其体积为 V ＝ π×2×7＝ 28π . ∴所求几何体的体积为V2＝ 14π.【答案】C圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的统必定义和几何性质是研究圆锥曲线的重要方法和门路.如图 2-2 ，设动点 P 到点 A ( － 1,0)2且存在常数λ (0 ＜ λ ＜ 1) ，使得 d 1d 2sin θ ＝ λ和 B (1,0) 的距离分别为. 证明：动点 P 的轨迹 d 1 和 d 2，∠ APB ＝ 2θ ，C 为双曲线 .图 2-2【出色点拨】在△ PAB 中由余弦定理可得 | d 1－d 2| ＝ 2 1－ λ∵0< λ<1， | c | －λ <1,0< 1－ λ <1，∴| 1－ 2|<2 ＝ || ，由双曲线的定义知动点P 的d dAB轨迹是 A ， B 为焦点的双曲线 .【规范解答】在△ PAB 中， | AB | ＝2，则 22＝ d 21 ＋d 22－ 2d 1d 2cos 2 θ ，224＝ ( d － d ) ＋ 4d d sinθ ，1212即 |d 1－2|＝4－4 1 2sin2θdd d＝ 2 1－ λ ＜ 2( 常数 ) ，∴点 P 的轨迹 C 是以 A ， B 为焦点，实轴长为 2a ＝ 2 1－ λ 的双曲线 .[ 再练一题 ]13.已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为 ，则 Dandelin球的半径是 __________. 2a 2＝c ＝ 42a【分析】由题意知：，解得.c 1 c ＝ 1a ＝2∴ ＝ 2－c 2＝ 3，∴ Dandelin球的半径为 3.ba【答案】3转变与化归的思想在研究平面与圆柱面或圆锥面的截线性质时，常常借助Dandelin双球——内切于圆柱面的球 . 此时，几何体的结构较为复杂. 所以在办理这种问题时，可作圆柱面或圆锥面的轴截面( 过轴的截面 ) ，将立体几何问题转变成平面几何问题来解决. 即立体问题平面化.在底面半径为 6 的圆柱内有两个半径也为 6 的球，两球的球心距离为13，若作一个平面这两个球都相切，且与圆柱面订交成一椭圆. 求此椭圆的长轴长.【出色点拨】作出圆柱面的轴截面，借助Dandelin双球的性质，转变成平面几何知识求解 .【规范解答】如图为圆柱面的轴截面图 .AB 为与两球 1 和2相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB O O过圆柱的几何中心O.∵OO1⊥ OD， O1C⊥ OA，∴∠ OO1C＝∠ AOD，且 O1C＝ OD＝6，∴Rt△OO1C≌Rt△AOD，∴OA＝OO1，∴ AB＝2AO＝2OO1＝ O1O2＝13.∵AB即为椭圆的长轴，∴椭圆的长轴长为13.[ 再练一题 ]4. 如图 2-3 所示，圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形ABCD，则圆柱侧面上从 A 到 C 的最短距离为()图 2-3A.10 cm52B.2π＋ 4 cmC.5 2 cmD.5π2＋ 1 cm【分析】如图是圆柱的侧面睁开图，则AC长为圆柱面上从A到 C的最短距离.设圆柱的底面半径为r ，5则 r ＝2.∴底面圆周长l ＝2π r ＝5π，5∴AB＝2π. AD＝ BC＝5，2 2∴AC＝ AB＋ BC＝5π2＋ 52 2＝5π2＋ 4(cm). 2【答案】B1.(全国卷Ⅱ ) 已知A， B为双曲线E的左，右极点，点M在E 上，△ ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则 E 的离心率为()A. 5B.2C. 3D.2【分析】没关系取点M在第一象限，以下列图，设双曲线方程x2y2为a2 －b2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝ 60°，∴ M点的坐标为(2a，3a) .4a23a2∵ M点在双曲线上，∴a2 －b2 ＝1，a＝b，c∴ c＝2a， e＝a＝ 2.应选D.【答案】 D2.( 全国卷Ⅰ ) 直线l经过椭圆的一个极点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴1长的，则该椭圆的离心率为()4【导学号： 96990054】11A. 3B. 223C. D.34【分析】没关系设直线l经过椭圆的一个极点 B (0 ， b ) 和一个焦点 F ( c, 0) ，则直线 l 的方程为 x ＋ y ＝ 1，即 bx ＋ cy － bc ＝ 0. 由题意知 | － bc | ＝ 1×2b ，解得 c ＝ 1 ，即 e ＝ 1 .应选 B.c b b 2＋ c 2 4 a 2 2【答案】 B3.( 浙江高考 ) 设双曲线 x2 y 2121 2－ 3 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F ，F . 若点 P 在双曲线上， 且△ F PF为锐角三角形，则| PF | ＋| PF | 的取值范围是 ________.122 y 2【分析】∵双曲线 x － 3＝1 的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，点 P 在双曲线上，∴| F 1F 2|＝4， || PF 1| － | PF 2|| ＝ 2. 若△ F 1PF 2 为锐角三角形，则由余弦定理知 | PF 1| 2＋ | PF 2| 2－ 16>0，可化为(| PF 1| ＋ | PF 2|) 2 － 2| PF 1| ·|PF 2|>16 ①.由 || PF 1| － | PF 2||＝ 2，得 (| PF 1| ＋ | PF 2|) 2－4|1||2|＝4.故 2|1||2|＝PF 1| ＋ | PF 22－4，代入不等式①可得(|1|＋PFPFPFPF2PF|2|) 2>28，解得 | 1|＋|2|>27.没关系设 P 在左支上，∵|1|2＋16－ | 2 | 2>0，即 (|1 |＋PF PF PFPF PF PF | PF 2|) ·(| PF 1| － | PF 2|)> － 16，又 | PF 1| － | PF 2| ＝－ 2 ，∴|PF 1| ＋ | PF 2|<8. 故 2 7<| PF 1| ＋| PF 2|<8.【答案】 (2 7， 8)4.( 江苏高考 ) 现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成整体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______.【分析】 设新的底面半径为 r ，由题意得1221223× π ×5×4＋ π ×2×8＝ 3× π × r ×4＋ π × r ×8，∴ r 2＝ 7，∴ r ＝ 7.【答案】7。
第3章 章末分层突破 知识点汇总Word版含答案
章末分层突破①磁体②电流③磁体④运动电荷⑤磁场强弱和方向 ⑥B ＝FIL(B ⊥L )⑦小磁针N 极的受力方向 ⑧Φ＝BS (B ⊥S ) ⑨N→S ⑩S→N ⑪F ＝ILB sin θ ⑫B 与I 的夹角 ⑬左手定则 ⑭F ＝qvB sin θ ⑮B 与v 的夹角 ⑯左手定则 ⑰B ⑱r ＝mv qB⑲T ＝2πm qB(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图31所示)图31(2)平行边界(不同情况下从不同边界射出，存在临界条件，如图32所示)图32(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图33所示)图332．两类典型问题(1)临界问题：解决此类问题的关键是找准临界点，找临界点的方法是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等词语为突破点，挖掘隐含条件，分析可能的情况，必要时画出几个不同半径的轨迹，这样就能顺利地找到临界条件．(2)多解问题：造成多解问题的常见原因有带电粒子电性的不确定、磁场方向的不确定、临界状态不唯一、运动的周期性等．解答这类问题的关键是认真分析物理过程，同时考虑问题要全面，不要漏解．3．注意的问题(1)分析带电粒子在有界磁场中的运动问题应抓住解决问题的基本思路，即找圆心、求半径、确定圆心角并利用其对称性，结合磁场边界，画出粒子在有界磁场中的轨迹．(2)带电粒子在有界磁场中的对称性或临界情景①带电粒子在一些有界磁场中的圆周运动具有对称性，是指从某一边界射入又从同一边界射出时，粒子的速度方向与边界的夹角相等，或在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出．②刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．(3)当速度v一定时，弧长越长，轨道对应的圆心角越大，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(多选)如图34所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场．欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( )图34A.BqdmB.＋2BqdmC.－2BqdmD.2Bqd2m【解析】 粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R ＝mv 0qB知，粒子的入射速度v 0越大，R 越大，当粒子的径迹和边界QQ ′相切时，粒子刚好不从QQ ′射出，此时其入射速度v 0应为最大．若粒子带正电，其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为O 点)，容易看出R 1sin 45°＋d ＝R 1，将R 1＝mv 0qB代入上式得v 0＝＋2Bqdm，B 项正确．若粒子带负电，其运动径迹如图(b)所示(此时圆心为O ′点)，容易看出R 2＋R 2cos 45°＝d ，将R 2＝mv 0qB代入上式得v 0＝－2Bqdm，C 项正确．(a) (b)【答案】 BC复合场一般包括重力场、电场和磁场三种场的任意两种场复合或三种场复合． 2．分析带电粒子的受力及运动特征(1)带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动(如速度选择器)．(2)当带电粒子所受的重力与电场力等值反向、洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动．(3)当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段组成．3．选用力学规律(1)当带电粒子(带电体)在复合场中做匀速运动时，根据平衡条件列方程求解． (2)当带电粒子(带电体)在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程求解．(3)当带电粒子(带电体)在复合场中做非匀变速曲线运动时，常选用动能定理或能量守恒定律列方程求解．4．带电粒子在匀强电场和匀强磁场中偏转的区别横向偏移y 和偏转角φ类似平抛运动的规律求解和偏转角φ要结合圆的几何关系通过圆周运动的讨论求解四象限内有垂直于平面向外的匀强磁场．现有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子(重力不计)以初速度v 0沿－x 方向从坐标为(3l ，l )的P 点开始运动，接着进入磁场后由坐标原点O 射出，射出时速度方向与y 轴正方向夹角为45°，求：【导学号：96322070】图35(1)粒子从O 点射出时的速度v 和电场强度E ； (2)粒子从P 点运动到O 点的过程所用的时间．【解析】 根据题意可推知：带电粒子在电场中做类平抛运动，由Q 点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，最终由O 点射出(轨迹如图所示)．(1)根据对称性可知，粒子在Q 点时速度大小为v ，方向与－y 轴方向成45°，则有v cos 45°＝v 0①即v ＝2v 0 在P 到Q 过程中有qEl ＝12mv 2－12mv 20 ② 由①②解得E ＝mv 202ql.③(2)粒子在Q 点时沿－y 方向的速度大小v y ＝v sin 45° ④P 到Q 的运动时间 t 1＝v y a ＝v yqEm⑤P 到Q 沿－x 方向的位移为s ＝v 0t 1 ⑥则OQ 之间的距离为OQ ＝3l －s⑦粒子在磁场中的运动半径为r ，则有2r ＝OQ ⑧ 粒子在磁场中的运动时间t 2＝14×2πrv ⑨粒子由P 到Q 的过程中的总时间t ＝t 1＋t 2 ⑩解得t ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋π4lv 0.【答案】 (1)2v 0 mv 202ql (2)⎝⎛⎭⎪⎫2＋π4lv 0如图36所示，xOy 在竖直平面内．x 轴下方有匀强电场和匀强磁场．电场强度为E ，方向竖直向下；磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里．将一个带电小球从y 轴上P (0，h )点以初速度v 0竖直向下抛出．小球穿过x 轴后，恰好做匀速圆周运动．不计空气阻力，已知重力加速度为g .求：图36(1)判断小球带正电还是带负电； (2)小球做圆周运动的半径；(3)小球从P 点出发，到第二次经过x 轴所用的时间． 【解析】 (1)小球穿过x 轴后恰好做匀速圆周运动 有qE ＝mg ，故小球带负电．(2)画出带电小球的运动轨迹如图所示．设小球经过O 点时的速度为v ， 从P 到O ，有v 2＝v 20＋2gh 从O 到A ，根据牛顿第二定律qvB ＝m v 2r求出r ＝E v 20＋2ghgB.(3)从P 到O ，小球第一次经过x 轴，所用时间为t 1，则v ＝v 0＋gt 1从O 到A ，小球第二次经过x 轴，所用时间为t 2，则T ＝2πr v ＝2πm qB ，t 2＝T 2＝πEgB所以t ＝t 1＋t 2＝v 20＋2gh －v 0g ＋πE gB .【答案】 (1)负电 (2)E v 20＋2ghgB(3)v 20＋2gh －v 0g ＋πE gB电子、质子、α粒子等一般不计重力，带电小球、液滴等带电颗粒一般要考虑重力作用.对于粒子连续通过几个不同场的问题，要分阶段进行处理，并注意相邻阶段的关联量，如速度、位移、时间等.对于临界问题，要挖掘隐含条件，并列出辅助方程，再联立其他方程求解.1.中国宋代科学家沈括在《梦溪笔谈》中最早记载了地磁偏角：“以磁石磨针锋，则能指南，然常微偏东，不全南也．”进一步研究表明，地球周围地磁场的磁感线分布示意如图37.结合上述材料，下列说法不正确的是( )【导学号：96322071】图37A．地理南、北极与地磁场的南、北极不重合B．地球内部也存在磁场，地磁南极在地理北极附近C．地球表面任意位置的地磁场方向都与地面平行D．地磁场对射向地球赤道的带电宇宙射线粒子有力的作用【解析】由“常微偏东，不全南也”和题图知，地理南、北极与地磁场的南、北极不重合，地磁的南极在地理北极附近，地球是一个巨大的磁体，因此地球内部也存在磁场，故选项A、B的说法正确．从题图中磁感线的分布可以看出，在地球表面某些位置(如南极、北极附近)磁感线不与地面平行，故选项C的说法不正确．宇宙射线粒子带有电荷，在射向地球赤道时，运动方向与地磁场方向不平行，因此会受到磁场力的作用，故选项D的说法正确．【答案】 C2．一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图38所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )【导学号：96322072】图38A.ω3B B.ω2B C.ωBD.2ωB【解析】 如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆弧所对应的圆心角由几何知识知为30°，则π2ω＝2πm qB ·30°360°，即q m ＝ω3B，选项A 正确．【答案】 A3．现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图39所示，其中加速电压恒定．质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场．若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍．此离子和质子的质量比约为( )【导学号：96322073】图39A ．11B ．12C ．121D ．144【解析】 带电粒子在加速电场中运动时，有qU ＝12mv 2，在磁场中偏转时，其半径r ＝mv qB ，由以上两式整理得：r ＝1B2mUq.由于质子与一价正离子的电荷量相同，B 1∶B 2＝1∶12，当半径相等时，解得：m 2m 1＝144，选项D 正确．【答案】 D4．如图310所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒子从f 点沿fd 方向射入磁场区域，当速度大小为v b 时，从b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t b ，当速度大小为v c 时，从c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t c ，不计粒子重力．则( ) 【导学号：96322074】图310A ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝2∶1B ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝1∶2C ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝2∶1D ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝1∶2【解析】 如图所示，设正六边形的边长为l ，当带电粒子的速度为v b 时，其圆心在a 点，轨道半径r 1＝l ，转过的圆心角θ1＝23π，当带电粒子的速率为v c 时，其圆心在O 点(即fa 、cb 延长线的交点)，故轨道半径r 2＝2l ，转过的圆心角θ2＝π3，根据qvB ＝m v2r ，得v＝qBr m ，故v b v c ＝r 1r 2＝12.由于T ＝2πr v 得T ＝2πmqB，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t ＝θ2πT ，所以t b t c ＝θ1θ2＝21.故选项A 正确，选项B 、C 、D 错误．【答案】 A5．如图311所示，质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，以初速度v 沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动．不计带电粒子所受重力．图311(1)求粒子做匀速圆周运动的半径R 和周期T ；(2)为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度E 的大小. 【导学号：96322075】【解析】 (1)洛伦兹力提供向心力，有f ＝qvB ＝m v 2R带电粒子做匀速圆周运动的半径R ＝mvqB匀速圆周运动的周期T ＝2πR v ＝2πmqB.(2)粒子受电场力F ＝qE ，洛伦兹力f ＝qvB .粒子做匀速直线运动，则qE ＝qvB 场强E 的大小E ＝vB . 【答案】 (1)mv qB2πmqB(2)vB章末综合测评(三) (时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10个小题，共60分．在每小题所给的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．)1．在下列图中，分别给出了导线中的电流方向或磁场中某处小磁针N 极的指向或磁感线方向．其对应不正确的是( )【解析】 由安培定则判断C 、D 正确；又因小磁针静止时N 极所指的方向与磁场方向相同，A 正确，B 错误．【答案】 B2．如图1所示，a 是竖直平面P 上的一点，P 前有一条形磁铁垂直于P ，且S 极朝向a 点．P 后一电子在偏转线圈和条形磁铁的磁场的共同作用下，在水平面内向右弯曲经过a 点．在电子经过a 点的瞬间，条形磁铁的磁场对该电子的作用力的方向( )图1A ．向上B ．向下C ．向左D ．向右【解析】 由题意知，磁铁在a 点磁场方向为垂直于P 向前，电子在a 点的瞬时速度方向向右．根据左手定则，可以判断出洛伦兹力方向向上，A 正确．【答案】 A3．用同一回旋加速器分别对质子(11H)和氘核(21H)加速后，则( ) A ．质子获得的动能大 B ．氘核获得的动能大 C ．两种粒子获得的动能一样大 D ．无法确定【解析】 因qvB ＝m v 2r① 又E k ＝12mv2②故E k ＝q 2B 2r 22m ，所以E k ∝q 2m，故A 正确．【答案】 A4．长直导线AB 附近，有一带正电的小球，用绝缘丝线悬挂在M 点，当导线AB 通以如图2所示的恒定电流时，下列说法正确的是( )图2A ．小球受磁场力作用，方向与导线AB 垂直且指向纸里 B ．小球受磁场力作用，方向与导线AB 垂直且指向纸外C ．小球受磁场力作用，方向与导线AB 垂直向左D ．小球不受磁场力作用【解析】 电场对在其中的静止电荷、运动电荷都有力的作用，而磁场只对在其中的运动电荷才有力的作用，且运动方向不能与磁场方向平行，所以D 选项正确．【答案】 D5．如图3是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径R ＝10 cm 的圆柱形筒内有B ＝1×10－4T 的匀强磁场，方向平行于轴线．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a 、b 分别作为入射孔和出射孔．现有一束比荷为qm＝2×1011C/kg 的正离子，以不同角度α入射，最后有不同速度的离子束射出．其中入射角α＝30°，则不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v 大小是( )【导学号：96322186】图3A ．4×105m/s B ．2×105m/s C ．4×106 m/sD ．2×106m/s【解析】 离子运动轨迹如图所示，设轨迹半径为r ，由几何知识可得r ＝2R ＝20 cm ，由qvB ＝mv 2r，可得v ＝4×106m/s.【答案】 C6．如图4所示，一根有质量的金属棒MN ，两端用细软导线连接后悬于a ，b 两点，棒的中部处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中，棒中通有电流，方向从M 流向N ，此时悬线上有拉力，为了使拉力等于零，可以( )【导学号：96322187】图4A ．适当减小磁感应强度B ．使磁场反向C ．适当增大电流D ．使电流反向【解析】 首先对MN 进行受力分析，受竖直向下的重力G ，受两根软导线竖直向上的拉力和安培力．处于平衡时2F ＋ILB ＝mg ，重力mg 恒定不变，欲使拉力F 减小到0，应增大安培力ILB ，所以可增大磁场的磁感应强度B 或增大通过金属棒中的电流I ，或二者同时增大，故选项C 正确．【答案】 C7．质谱仪的两大重要组成部分是加速电场和偏转磁场．如图所示为质谱仪的原理图，设想有一个静止的质量为m 、带电荷量为q 的带电粒子(不计重力)，经电压为U 的加速电场加速后垂直进入磁感应强度为B 的偏转磁场中，带电粒子打在底片上的P 点，设OP ＝x ，则在图中能正确反映x 与U 之间的函数关系的是( ) 【导学号：96322188】图5【解析】 根据动能定理qU ＝12mv 2可知，v ＝2qUm，粒子在磁场中偏转，洛伦兹力提供向心力，即qvB ＝m v 2R ，所以R ＝mv qB ＝1B2mUq，x ＝2R ＝2B 2mUq，即x ∝U ，B 正确．【答案】 B8．电磁轨道炮的工作原理如图6所示．待发射弹体可在两平行轨道之间自由移动，并与轨道保持良好接触．电流I 从一条轨道流入，通过导电弹体后从另一条轨道流回．轨道电流可形成在弹体处垂直于轨道面的磁场(可视为匀强磁场)，磁感应强度的大小与I 成正比．通电的弹体在轨道上受到安培力的作用而高速射出．现欲使弹体的出射速度增加至原来的2倍，理论上可采用的办法是( )【导学号：96322189】图6A ．只将轨道长度L 变为原来的2倍B ．只将电流I 增加至原来的2倍C ．只将弹体质量减至原来的一半D ．将弹体质量减至原来的一半，轨道长度L 变为原来的2倍，其他量不变 【解析】 由题意可知B ＝kI ，F ＝BId ＝kI 2d . 由动能定理可得：F ·L ＝12mv 20，v 0＝2FLm＝2kI 2dLm，v 0∝IdLm，要使v 0加倍，则B 、D 正确，A 、C 错．【答案】 BD9．在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P ＋和P 3＋，经电压为U 的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图7所示，已知离子P ＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子P ＋和P 3＋( )图7A ．在电场中的加速度之比为1∶1B ．在磁场中运动的半径之比为3∶1C ．在磁场中转过的角度之比为1∶2D ．离开电场区域时的动能之比为1∶3【解析】 应用动能定理和圆周运动规律分析两种离子的速度关系及在磁场中运动的半径关系，结合几何知识分析两离子在有界磁场中的偏转角．磷离子P ＋与P 3＋电荷量之比q 1∶q 2＝1∶3，质量相等，在电场中加速度a ＝qEm，由此可知，a 1∶a 2＝1∶3，选项A 错误；离子进入磁场中做圆周运动的半径r ＝mv qB ，又qU ＝12mv 2，故有r ＝1B2mUq，即r 1∶r 2＝3∶1，选项B 正确；设离子P 3＋在磁场中偏角为α，则sinα＝d r 2，sin θ＝d r 1(d 为磁场宽度)，故有sin θ∶sin α＝1∶3，已知θ＝30°，故α＝60°，选项C 正确；全过程中只有电场力做功，W ＝qU ，故离开电场区域时的动能之比即为电场力做功之比，所以E k1∶E k 2＝W 1∶W 2＝1∶3，选项D 正确．【答案】 BCD10．如图8所示，光滑绝缘轨道ABP 竖直放置，其轨道末端切线水平，在其右侧有一正交的匀强电场、磁场区域，电场竖直向上，磁场垂直纸面向里，一带电小球从轨道上的A 点由静止滑下，经P 点进入场区后，恰好沿水平方向做直线运动．则可判定( )【导学号：96322190】图8A ．小球带负电B ．小球带正电C ．若小球从B 点由静止滑下，进入场区后将立即向上偏D ．若小球从B 点由静止滑下，进入场区后将立即向下偏【解析】 小球从P 点进入场区后沿水平方向做直线运动，则小球一定受力平衡，由受力平衡知小球一定带正电，且qE ＋qvB ＝mg ；若从B 点静止滑下，由动能定理可求得小球进磁场区时v ′<v ；则qE ＋qv ′B <mg ，故向下偏，B 、D 正确．【答案】 BD二、计算题(本大题共3个小题，共40分．按题目要求作答)11．(12分)如图9所示，平行金属导轨PQ 与MN 都与水平面成θ角，相距为l .一根质量为m 的金属棒ab 在导轨上，并保持水平方向，ab 棒内通有恒定电流，电流大小为I ，方向从a 到b .空间存在着方向与导轨平面垂直的匀强磁场，ab 棒在磁场力的作用下保持静止，并且棒与导轨间没有摩擦力．求磁感应强度B 的大小和方向．图9【解析】 金属棒受力如图所示，根据力的平衡条件可知：F 安＝mg sin θ而F 安＝BIl 可得B ＝mg sin θIl由左手定则可知，B 的方向垂直导轨平面向下．【答案】mg sin θIl方向垂直导轨平面向下 12．(14分)如图10所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场，一带电粒子以速度v 0从M 点沿半径方向射入磁场区，并由N 点射出，O 点为圆心．∠MON ＝120°，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R 及在磁场区中的运动时间.【导学号：96322191】图10【解析】 首先应确定带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的圆心．具体方法是：过M 和N 点作圆形磁场区半径OM 和ON 的垂线，两垂线的交点O ′即为带电粒子做圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图所示．由图中几何关系可知，圆弧MN 所对的圆心角为60°，O 、O ′的连线为该圆心角的角平分线，由此可得tan 30°＝r R ，所以带电粒子偏转半径为R ＝rtan 30°＝3r .带电粒子运动周期T ＝2πm qB ，R ＝mv 0qB，因为m qB ＝Rv 0＝3rv 0，所以T ＝2πm qB ＝23πr v 0， 则带电粒子在磁场中运动时间为t ＝60°360°T ＝16T ＝3πr3v 0. 【答案】3r3πr3v 013．(14分)如图11所示，真空中有以O ′为圆心、r 为半径的圆柱形匀强磁场区域，圆的最下端与x 轴相切于坐标原点O ，圆的右端与平行于y 轴的虚线MN 相切，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向外，在虚线MN 右侧x 轴上方足够大的范围内有方向竖直向下、场强大小为E 的匀强电场．现从坐标原点O 向纸面内不同方向发射速率相同的质子，质子在磁场中做匀速圆周运动的半径也为r ，已知质子的电荷量为e ，质量为m ，不计质子的重力、质子对电磁场的影响及质子间的相互作用力．求：图11(1)质子进入磁场时的速度大小；(2)沿y 轴正方向射入磁场的质子到达x 轴所需的时间． 【解析】 (1)由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：Bev ＝mv 2r ，解得：v ＝Ber m.(2)若质子沿y 轴正方向射入磁场，则以N 为圆心转过14圆弧后从A 点垂直电场方向进入电场，质子在磁场中有：T ＝2πm Be ，得：t B ＝14T ＝πm2eB进入电场后质子做类平抛运动，y 方向上的位移 y ＝r ＝12at 2＝eE2m t 2E解得：t E ＝ 2mreE则：t ＝t B ＋t E ＝πm2eB ＋ 2mreE.【答案】 (1)Ber m (2)πm 2eB＋ 2mreE2.磁场对通电导线的作用——安培力[先填空]1．安培力磁场对通电导线的作用力．2．科学探究：安培力与哪些因素有关(1)实验探究采用的方法：控制变量法．(2)当通电导线与磁感线垂直时，实验结论是：①当其他因素不变，磁感应强度增大时，安培力增大；②当其他因素不变，电流增大时，安培力增大；③当其他因素不变，导体长度增大时，安培力增大；④安培力的方向由磁场方向和电流方向共同决定．3．安培力的大小(1)F＝ILB.(2)适用条件①通电导线与磁场方向垂直．②匀强磁场或非匀强磁场中很短的导体．[再判断]1．通电导体在磁场中所受安培力为零，该处磁场感应强度一定为零．(×)2．两根通电导线在同一匀强磁场中，若导线长度相同，电流大小相等，则所受安培力大小相等，方向相同．(×)3．通以10 A电流的直导线，长为0.1 m，处在磁感应强度为0.1 T的匀强磁场中，所受安培力可能为0.02 N．(√)[后思考]通电导体在磁场中所受安培力F的大小一定等于ILB吗？【提示】不一定．只有当通电导体中的电流方向与磁场方向垂直时，安培力F才等于ILB.[合作探讨]如321所示，利用下列实验装置可以探究安培力的大小与磁场、电流大小的关系．(1)在B、L一定时，增大电流I，导线受力怎么变化？(2)在B、I一定时，增大导线的长度L，导线受力怎么变化？321【提示】(1)当B、L一定时，增大电流I、导线受的力变大．(2)当B、I一定时，增大导线长度L导线受力变大．[核心点击]1．当电流方向与磁场方向垂直时，F＝ILB.此时通电导线所受安培力最大．2．当电流方向与磁场方向不垂直时，F＝ILB sin θ(θ是I和B之间的夹角)．3．当通电导线的方向和磁场方向平行(θ＝0°或θ＝180°)时，安培力最小，等于零．4．若导线是弯曲的，公式中的L并不是导线的总长度，而应是弯曲导线的“有效长度”．它等于连接导线两端点直线的长度(如图322所示)，相应的电流方向沿两端点连线由始端流向末端．图322一根长为0.2 m、电流为2 A的通电导线，放在磁感应强度为0.5 T的匀强磁场中，受到的安培力大小不可能是( )A．0.4 N B．0.2 NC．0.1 N D．0【解析】由安培力的公式F＝ILB sin θ可知，安培力的大小与I和B的夹角有关．当θ＝90°时，F最大，F max＝ILB＝2×0.2×0.5 N＝0.2 N．当θ＝0°时，F最小，F min＝0，故F的大小范围是0≤F≤0.2 N，故B、C、D可能，A不可能．【答案】 A如图323所示，导线框中电流为I，导线框垂直于磁场放置，磁感应强度为B，AB 与CD相距为d，则MN所受安培力大小为( )【导学号：96322061】图323A．F＝BId B．F＝BId sin θC．F＝BIdsin θD．F＝BId cos θ【解析】导线与B垂直，F＝BI dsin θ.【答案】 C如图所示，在匀强磁场中放有下列各种形状的通电导线，电流均为I，磁感应强度均为B，求各导线所受到的安培力的大小．【解析】A图中，F＝IlB cos α，这时不能死记公式而错写成F＝IlB sin α.要理解公式本质是有效长度或有效磁场，正确分解．B图中，B⊥I，导线在纸平面内，故F＝IlB.C 图是两根导线组成的折线abc，整体受力实质上是两部分直导线分别受力的矢量和，其有效长度为ac，故F＝2IlB.D图中，从a→b的半圆形电流，分析圆弧上对称的每一小段电流，受力抵消合并后，其有效长度为ab，故F＝2IRB.E图中，F＝0.【答案】A：IlB cos αB：IlB C：2IlBD：2IRB E：0计算安培力大小应注意的问题(1)应用公式F＝IlB，电流方向必须与磁场方向垂直．(2)通电导线放入磁场中，有可能不受安培力的作用．(3)公式F＝IlB中的l不一定是导线的实际长度，而应是“有效长度”．[先填空]1．安培力的方向(1)左手定则：伸出左手，四指并拢，使大拇指和其余四指垂直，并且都跟手掌在同一平面内，让磁感线垂直穿过手心，四指指向沿电流方向，则大拇指所指方向就是通电导线所受安培力的方向．(2)方向特点：安培力的方向既与电流方向垂直，又与磁场方向垂直，即安培力方向垂直于电流方向和磁场方向所确定的平面．2．电动机(1)原理：利用磁场对通电线圈的安培力使线圈在磁场中旋转．(2)作用：把电能转化为机械能．(3)分类⎩⎪⎨⎪⎧ 直流电动机：由磁场、转动线圈、滑环、电刷 及电源组成，滑环在其中起了一个换向器 的作用交流电动机：如家用电风扇、洗衣机、抽油烟 机等都是交流电动机.[再判断]1．当通电直导线垂直于磁场方向时，安培力的方向和磁场方向相同．(×)2．磁感应强度的方向与安培力的方向垂直．(√)3．电动机是把电能转化为机械能的装置．(√)[后思考]通电直导线在磁场中所受安培力的方向一定跟电流的方向垂直吗？【提示】 一定．根据左手定则可判断安培力的方向垂直于电流和磁场方向．[合作探讨]如图324所示，利用下列装置可以探究安培力的方向与磁场、电流方向的关系．(1)图中磁场方向向哪？闭合电键后，导线中电流方向向哪？(2)闭合电键后，通电导线所受安培力的方向与磁场、电流方向存在什么关系？图324【提示】 (1)磁场方向竖直向下、电流方向从里向外．(2)安培力的方向与磁场方向、电流方向都垂直．[核心点击]1．电流方向、磁场方向和安培力方向三者的因果关系(1)电流方向和磁场方向间没有必然联系，这两个方向的关系是不确定的．。
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章末分层突破[自我校对]①sin 2 α＋cos 2 α＝1 ②sin αcos α＝tan α ③C α＋β ④S 2α ⑤T 2α________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________三是给值求角．1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．3．给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值．【精彩点拨】因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，由已知条件3sin β＝sin(2α＋β)，即可求得tan(α＋β)．【规范解答】∵3sin β＝sin(2α＋β)，∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.又4tan α2＝1－tan2α2，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝12，∴tan(α＋β)＝2tan α＝1.又∵0<α<π4，0<β<π4，∴α＋β＝π4.[再练一题]1．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin 2x 和cos x －sin x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．【解】 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得1＋sin 2x ＝125，所以sin 2x ＝－2425.因为－π2<x <0，所以cos x >sin x ，所以cos x －sin x ＝1－2sin x cos x ＝75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x＝2sin x (cos x ＋sin x )cos x －sin x cos x＝sin 2x cos x ＋sin x cos x －sin x＝－2425×17＝－24175.消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．化简：(1)2sin 130°＋sin 100°(1＋3tan 370°)1＋cos 10°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .【精彩点拨】 (1)把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解． (2)利用同角三角函数关系及两角和与差的正切公式化简． 【规范解答】 (1)原式＝2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)2·cos 5°＝2sin 50°＋sin 80°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2(sin 50°＋cos 50°)2cos 5°＝22sin (50°＋45°)2cos 5°＝2.(2)原式＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝tan π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan π4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4－x ＝－tan x .[再练一题]2．化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2αcos 2β.【解】 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2αsin 2β＋cos 2α(1－cos 2β)＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法．三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x2.【精彩点拨】 等式两边涉及到的角有4x,2x ，x ，x2等角，故可将左边4x,2x ，x 化为x2的形式．【规范解答】 左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x1＋cos x＝2sin 2x ·cos 22x ·cos x2cos 22x ·2cos 2x ·2cos 2x 2＝sin 2x2cos x ·2cos 2x 2＝2sin x ·cos x2cos x ·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x 2cos x 2＝tanx2＝右边． ∴等式成立． [再练一题]3．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】 原式等价于1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ，即1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝tan 2θ，而上式左边＝1＋2sin 2θ·cos 2θ－(1－2sin 22θ)1＋2sin 2θ·cos2θ＋(2cos 22θ－1) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ＝右边， 所以原式得证.函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．【精彩点拨】 本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数．(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f (x )，并参照x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求出最大值和最小值．【规范解答】 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0， 即|a ＋b |＝2cos x .(2)∵f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－32， 且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1.∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32； 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值为－1. [再练一题]4．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．【解】 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图像．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6].就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a·b －1.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)画出函数g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12的图像，由图像写出g (x )的对称轴和对称中心．【精彩点拨】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后求解．【规范解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)T ＝2π2＝π.(2)2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2⇔k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)列表及图像如下：从图像可以看出，此函数有一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，无对称轴．[再练一题]5．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π ＝85，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.1．(2015·重庆高考)若tan α＝13，tan(α＋β )＝12，则tan β＝( ) A ．17 B ．16 C ．57D ．56【解析】tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.【答案】 A2．(2015·浙江高考)函数f(x)＝sin2x＋sin x cos x＋1的最小正周期是________，最小值是________．【解析】f(x)＝sin2x＋sin x cos x＋1＝1－cos 2x2＋12sin 2x＋1＝32＋22sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4.故最小正周期T＝2π2＝π.当sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4＝－1时，f(x)取得最小值为32－22＝3－22.【答案】π3－223．(2015·上海高考)函数f(x)＝1－3sin2x的最小正周期为________．【解析】因为2sin2x＝1－cos 2x，所以f(x)＝1－32(1－cos 2x)＝－12＋32cos2x，所以函数f(x)的最小正周期为2π2＝π.【答案】π4．(2015·四川高考)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．【解析】由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos2α＝2sin αcos α－cos2αsin2α＋cos2α＝2tan α－1tan2α＋1＝－4－14＋1＝－1.【答案】－15．(2015·四川高考)sin 15°＋sin 75°＝________. 【解析】sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 15°＋22cos 15° ＝2(sin 15° cos 45°＋cos 15° sin 45°) ＝2sin 60°＝2×32＝62.【答案】 62。