北师版数学八年级上册课件：第二章 实 数 1无理数的认识(第2课时)
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北师大版八年级数学上册《认识无理数》第2课时示范公开课教学课件
a ，b都不是整数，也不是分数，是无限不循环小数.
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
定义
无限不循环小数称为无理数.
判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数.
你能找到其他的无理数吗？
分析
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
(1) 如下图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
1
a
面积为2
1
a
2
2
通过观察，可以直观得出：3个正方) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器探索，用表格的形式整理.
还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？
(2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器探索，用表格的形式整理.
边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？a可能是有限小数吗？
假如a算到某一位时，它的平方恰好等于2，即a是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是2，所以边长a不会算到某一位时，它的平方恰好等于2，所以a不可能是有限小数.
重点
难点
数a确实存在，但又不是有理数，那它到底是什么数呢？
若a2=2，则a 分数， 整数， 有理数.( 填“是” 或“不是”)
不是
不是
不是
能不能确定一下a的大致范围？
∵ a2=2， 而12=1， 22=4，···∴ 12<a2<22 ， 1< a< 2，而1.52=2.25， 2.25＞2∴a的值一定小于1.5∴a的大致范围在1~1.5之间.
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
定义
无限不循环小数称为无理数.
判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数.
你能找到其他的无理数吗？
分析
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
(1) 如下图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
1
a
面积为2
1
a
2
2
通过观察，可以直观得出：3个正方) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器探索，用表格的形式整理.
还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？
(2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器探索，用表格的形式整理.
边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？a可能是有限小数吗？
假如a算到某一位时，它的平方恰好等于2，即a是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是2，所以边长a不会算到某一位时，它的平方恰好等于2，所以a不可能是有限小数.
重点
难点
数a确实存在，但又不是有理数，那它到底是什么数呢？
若a2=2，则a 分数， 整数， 有理数.( 填“是” 或“不是”)
不是
不是
不是
能不能确定一下a的大致范围？
∵ a2=2， 而12=1， 22=4，···∴ 12<a2<22 ， 1< a< 2，而1.52=2.25， 2.25＞2∴a的值一定小于1.5∴a的大致范围在1~1.5之间.
北师大版八年级上册 2.1《认识无理数二》课件1(共20张PPT)
故无限不循环小数叫无理数.(圆周率π=3.14159265… 也是一个无限不循环小数，故π是无理数)
三、分一分
到目前为止我们所学过的数可以分为几类？
按小数的形式来分
整数
有理数：有限小数或无限循环小数
数
分数
无理数：无限不循环小数
四、辨一辨
？
填空
0.351,
2 ,
..
4.96,
3 -5.232332…，
…
有理数集合
无理数集合
强调
1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或
无限循环小数.
p 2.任何一个有理数都可以化成分数 q
q 为整数且互质），而无理数不能.
形式（ p，
例4
？
一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜
边a是有理数吗？
解:由勾股定理得:a2=32+52，
即a2=34.因为34不是完全平方 数，所以a不是有理数.
5
a
3
五、练一练
1.随堂练习. 2.习题2.2.
本课小结:
1.无理数的定义. 2.数的分类. 3.判定一个数是无理数还是有理数.
设计面积为5π的圆的半径为a. (1)a是有理数吗？说说你的理由. (2)估计a的值(精确到十分位，并利用你的计算器验 证
你的估计. (3)如果精确到百分位呢？
解：∵πa2=5π，∴ a2=5 .
结论：a，b既不是整数，也不是分数，则a，b
一定不是有理数.
活动2：分数化成小数，最终此小数的形式有几种 情况？
请同学们以学习小组活动:一同学举出任意一分数， 另一同学将此分数化成小数.并总结此小数的形式？
结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.
三、分一分
到目前为止我们所学过的数可以分为几类？
按小数的形式来分
整数
有理数：有限小数或无限循环小数
数
分数
无理数：无限不循环小数
四、辨一辨
？
填空
0.351,
2 ,
..
4.96,
3 -5.232332…，
…
有理数集合
无理数集合
强调
1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或
无限循环小数.
p 2.任何一个有理数都可以化成分数 q
q 为整数且互质），而无理数不能.
形式（ p，
例4
？
一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜
边a是有理数吗？
解:由勾股定理得:a2=32+52，
即a2=34.因为34不是完全平方 数，所以a不是有理数.
5
a
3
五、练一练
1.随堂练习. 2.习题2.2.
本课小结:
1.无理数的定义. 2.数的分类. 3.判定一个数是无理数还是有理数.
设计面积为5π的圆的半径为a. (1)a是有理数吗？说说你的理由. (2)估计a的值(精确到十分位，并利用你的计算器验 证
你的估计. (3)如果精确到百分位呢？
解：∵πa2=5π，∴ a2=5 .
结论：a，b既不是整数，也不是分数，则a，b
一定不是有理数.
活动2：分数化成小数，最终此小数的形式有几种 情况？
请同学们以学习小组活动:一同学举出任意一分数， 另一同学将此分数化成小数.并总结此小数的形式？
结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.
北师大版初中数学八年级上册第二章 实数2.1 认识无理数(第2课时) 课件
2.1 认识无理数/
基础巩固题
2.以下各正方形的边长是无理数的是（ C ）
课堂检测
2.1 认识无理数/
基础巩固题
B
π
课堂检测
2.1 认识无理数/
基础巩固题
5.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形．边长是有 理数的正方形有___3__个，边长是无理数的正方形有___6__个．
北师大版 数学 八年级 上册
1.1 探索勾股定理/
2.1 认识无理数(第2课时)
导入新知
2.1 认识无理数/
思考导入
1.有理数如何分类？
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数 有理数
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，
也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
素养目标
2.1 认识无理数/
1. 下列各数中，属于无理数的是（ C ）
A．
B．1.414 C．
D．
B
课堂检测
2.1 认识无理数/
基础巩固题
1. 判断题 (1)有限小数是有理数; （ √ ）
(2)无限小数都是无理数; （ × ）
(3)无理数都是无限小数; （ √ ）
(4)有理数是有限小数. （ × ）
课堂检测
课堂检测
1 认识无理数
2.1 认识无理数/
能力提升题
如图,在方格纸中,假设每个小正方形的面积为2,则图中 的四条线段中长度为有理数的线段是 CD,EF. 解析:设小正方形的边长为x,则x2=2. 因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数. 因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数. 因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数. 因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数.
北师大版数学八年级上册课件：2.1 认识无理数(共13张PPT)
综合能力提升练
13.( 教材母题变式 )如图是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形,其中CA,CB,CD,CE中 长度既不是整数,也不是分数的有 3 条.
14.( 改编 )把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内: -2,-12,3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),272,-π3,-( -3 ),0.333,0,34,-17,3.1·5·,0.12345678910111213…( 小数部分由相继的正整数组 成 ),-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 ).
( 4 )无理数集合: 3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),-
π 3
,0.12345678910111213…(
小数部分由相继的正整数组成
)…
.
综合能力提升练
15.请你在方格纸上按照如下要求设计图形,每个单元格的边长为1.( 所设计图形顶点在格 点上 ) ( 1 )请在图1中设计一个直角三角形,使它三边中有两边边长不是有理数. ( 2 )请在图2中设计一个直角三角形,使它的三边边长都不是有理数.
综合能力提升练
( 1 )整数集合:{-2,-(-3 ),0,-17…}; ( 2 )分数集合: -12 , 272,0.333,-34,3.1·5·,-1.202020202…( 每两个 2 之间 有 1 个 0 )… ; ( 3 )负有理数集合: -2,-12,-34,-17,-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 )… ;
拓展探究突破练
17.无限循环小数如何化为分数呢?请你仔细阅读下列资料:由于小数部分位数是无限的,所 以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数.转化时需要先去掉无限循环小数 的“无限小数部分”.一般是用扩倍的方法,把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…… 使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同,然后这两个数相
北师大版数学八年级上册《认识无理数》教学课件
. < < .
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想一想：可以继续算下去吗？是有限小数吗？
数
教学过程——新知探究
第二章
北师大版 ∙ 八年级上册
教学课件
第二章
实
1. 认识无理数
数
教学内容
第二章
1.1
认识无理数
实
数
教学目标——重点难点
第二章
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.能用“夹逼法”确定无理数的近似值（难点）
实
数
教学目标——温故知新
实
活动探究3
认识无理数
有理数与无理数区别：
因为整数都可以看着小数部分为0的小数，而分数都可以化为有限小数或无限循
环小数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限
小数或无限循环小数也都是有理数. 但无理数是无限不循环小数，所以有理数和
无理数的根本区别就在于无理数不能化为有限小数或无限循环小数.
第二章
知识储备
1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.
2.有理数有哪些分类方法？
正整数
整数
负整数
分数
正分数
负分数
正整数
正数
正分数
负整数
负数
负分数
实
数
教学过程——新课引入
第二章
议一议
有两个正方形，一个正方形的面积为4，一个正方形的面积为
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想一想：可以继续算下去吗？是有限小数吗？
数
教学过程——新知探究
第二章
北师大版 ∙ 八年级上册
教学课件
第二章
实
1. 认识无理数
数
教学内容
第二章
1.1
认识无理数
实
数
教学目标——重点难点
第二章
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.能用“夹逼法”确定无理数的近似值（难点）
实
数
教学目标——温故知新
实
活动探究3
认识无理数
有理数与无理数区别：
因为整数都可以看着小数部分为0的小数，而分数都可以化为有限小数或无限循
环小数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限
小数或无限循环小数也都是有理数. 但无理数是无限不循环小数，所以有理数和
无理数的根本区别就在于无理数不能化为有限小数或无限循环小数.
第二章
知识储备
1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.
2.有理数有哪些分类方法？
正整数
整数
负整数
分数
正分数
负分数
正整数
正数
正分数
负整数
负数
负分数
实
数
教学过程——新课引入
第二章
议一议
有两个正方形，一个正方形的面积为4，一个正方形的面积为
北师大版八年级数学(上)第二章 实数 认识无理数
圆周率π=3.141 592 65…也是一个无限不循环小数,故π是无理 数
我们所学过的数可以分为：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
整数 分数
无理数：无限不循环小数
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数
例题精讲：
例 1：下列各数中，（ ）是无理数．
解：（1）边长分别为 3，4，5 的三角形是直角三角形； （2）边长分别为 1，1， 的三角形是直角三角形．
练习：下列正方形中，边长为无理数的是（ ）
A．面积为 64 的正方形
B．面积为 16 的正方形
C．面积为 1.44 的正方形
D．面积为 12 的正方形
解：A、边长是 8，是有理数，故本选项错误； B、边长是 4，是有理数，故本选项错误； C、边长是 1.2，是有理数，故本选项错误； D、边长是 ，是无理数，故本选项正确； 故选：D．
A．1
B．2
C．3
D．4
解： 是分数，属于有理数；0. 是循环小数，属于有理数；﹣2 是整数，属于有理数． 无理数有：π，0.101001…（每两个 1 之间多一个 0）共 2 个．故选：B．
例 3：请你设计两个直角三角形，满足下列条件： （1）使其三边长都能用有理数表示； （2）使其三边中两边是有理数，另一边是无理数．
C．3 个
D．4 个
解： 是分数，属于有理数；﹣0.5，3.14 是有限小数，属于有理数； 无理数有：3.3030030003…，﹣π 共 2 个．故选：B．
3.设面积为 3π 的圆的半径为 r，则 r 是有理数还是无理数？
解：面积为 3π 的圆的半径 r＝ ， 是无理数．答：r是无理数．
我们所学过的数可以分为：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
整数 分数
无理数：无限不循环小数
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数
例题精讲：
例 1：下列各数中，（ ）是无理数．
解：（1）边长分别为 3，4，5 的三角形是直角三角形； （2）边长分别为 1，1， 的三角形是直角三角形．
练习：下列正方形中，边长为无理数的是（ ）
A．面积为 64 的正方形
B．面积为 16 的正方形
C．面积为 1.44 的正方形
D．面积为 12 的正方形
解：A、边长是 8，是有理数，故本选项错误； B、边长是 4，是有理数，故本选项错误； C、边长是 1.2，是有理数，故本选项错误； D、边长是 ，是无理数，故本选项正确； 故选：D．
A．1
B．2
C．3
D．4
解： 是分数，属于有理数；0. 是循环小数，属于有理数；﹣2 是整数，属于有理数． 无理数有：π，0.101001…（每两个 1 之间多一个 0）共 2 个．故选：B．
例 3：请你设计两个直角三角形，满足下列条件： （1）使其三边长都能用有理数表示； （2）使其三边中两边是有理数，另一边是无理数．
C．3 个
D．4 个
解： 是分数，属于有理数；﹣0.5，3.14 是有限小数，属于有理数； 无理数有：3.3030030003…，﹣π 共 2 个．故选：B．
3.设面积为 3π 的圆的半径为 r，则 r 是有理数还是无理数？
解：面积为 3π 的圆的半径 r＝ ， 是无理数．答：r是无理数．
北师大版八年级上册数学第2章实数 第1节认识无理数
则
n m
2仍是一个分数，它不等于 2，所以 a 不是分数 .
感悟新知
知1－练
例1 图 2-1-3 是由五个边长为 1 的小正方形组成的图案பைடு நூலகம் 如果把它们剪拼成一个正方形 .
解题秘方：根据剪拼没有改变图形的面 积，确定正方形的面积及边 长，结合勾股定理解释无理 数的产生 .
感悟新知
(1)所拼成的正方形的面积是多少？
感悟新知
2. 常见无理数的几种类型
知2－讲
分类 一般的无限不循环小数 有规律但不循环的小数
举例
1.414 213 56… 0.101 001 000 1…( 相邻两个
1 之间 0 的个数逐次加 1)
感悟新知
知2－讲
某些含 π 的数
2π
开方开不尽的数的方根
(下节会学到)
—
无理数与有理数的和或差， 结果都是无理数
知1－练
解： 所拼成的正方形的面积是 5.
(2)设拼成的正方形的边长为 a， a 应满足什么条件？ 满足 a2=5.
感悟新知
(3) a 是整数吗？是分数吗？是有理数吗？ 解：a 不是整数，不是分数，不是有理数 .
(4)画出你所拼的正方形 . 所拼成的正方形如图 2-1-3.
知1－练
感悟新知
知识点 2 无理数的概念
感悟新知
知1－讲
特别提醒 若x2=a，当a不能写成一个整数或一个分数的平
方的形式时，x不是有理数 .
感悟新知
知1－讲
我们利用夹逼法进行探索：拼成的面积为 2 的大正方形
的面积夹在面积为 1 和面积为 4 的两个正方形的面积之间，
则它的边长也必然在 1 和 2 之间，显然 a 不能为整数 .
第2章第2课时 认识无理数(2)-北师大版八年级数学上册课件(共20张PPT)
A．0条 C．2条
B．1条 D．3条
★11.下列 4×4 的网格中，每个小正方形的边长都为 1，在每 一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理 数．
解：本题答案不唯一，只要符合题意即可，下面的画法仅供 参考．
∵2.84 ＝8.065 6， 2 1．通过计算器了解无限不循环小数，体会无理数无限逼近的思想．
1．通过计算器了解无限不循环小数，体会无理数无限逼近的思想． 第2课时 认识无理数(2) 2．理解无理数的概念和意义，学会判断无理数.
∴x的值精确到十分位是2.8. 1．通过计算器了解无限不循环小数，体会无理数无限逼近的思想．
5.【例2】将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形(如 图)，请说明大正方形的边长x是一个无理数，估计x的值(结 果精确到十分位)．
1．通过计算器了解无限不循环小数，体会无理数无限逼近的思想．
解：∵将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形， 2．理解无理数的概念和意义，学会判断无理数.
第2课时 认识无理数(2) 1．通过计算器了解无限不循环小数，体会无理数无限逼近的思想． 1．通过计算器了解无限不循环小数，体会无理数无限逼近的思想．
解：(1)a 不是有理数．理由如下： 因为πa2＝5π，所以 a2＝5. 因为没有任何一个有理数的平方等于 5，所以 a 不是有理数． (2)a≈2.2. (3)a≈2.24.
知识点二：无理数的概念 (1)无限 不循环小数称为无理数． (2)无理数的常见类型： ①有规律但不循环的小数，如0.123 456 789 101 112 131 4… ②圆周率π及一些含有π的式子，如2π，π＋3，π3 等； ③无理数与有理数的和、差，都是无理数； ④无理数乘或除以有理数(不为0)，结果还是无理数．
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3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和 5，则斜边长a是有理数吗？
a 5
3
解：由勾股定理得： a2=32+52，即a2=34。 因为不存在有理数的平 方等于34，所以a不是 有理数.
学习新知
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?
(1)如图所示，三个正方形的边长之间有怎样 的大小关系？说说你的理由. (2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分 位呢？千分位2
1
a
2 2
(3)小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？
边长a 1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.4142<a<1.4143
C
把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 34，，5， 8 ，2 5 9 45 11
解：3=3.0
4
0.8，5
.
0.5，
8
0.17. ，2
..
0.18
5
9
45
11
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
分数只能化成有限小数或无限循环小数，即 任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
像0.585885888588885…，1.41421356…， -2.2360679…等这些数的小数位数都是无限 的，并且不是循环的，它们都是无限不循环 小数.
(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方 形的边长b的值(结果精确到0.1)，并用计算 器验证你的估计. (2)如果结果精确到0.01呢？ (提示：精确到 0.1，b≈2.2，精确到0.01，b≈2.24)
同样，对于体积为2的正方体，借用计算器， 可以得到它的棱长c=1.25992105…，它也 是一个无限不循环小数.
八年级数学·上 新课标 [北师]
第二章 实数
学习新知
检测反馈
温故知新
1.有理数是如何分类的？
有理数{ 整数：如-1，0，1，2，3，……
2.除上面的分数数以：外如，13我，- 们52，还191学，0习.5 过哪些不同 的数？如圆周率π，0.020020002…，如 a2=2，b2=5中的a，b不是整数，能不能转 化成分数呢？
4
3,
0.；57
无理数有：0.1010001000001…(相邻两 个
1之间0的个数逐次加2).
注意
1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限 小数或无限循环小数.
p
2.任何一个有理数都可以化成分数 q的形式 (q≠0，p，q为整数且互质)，而无理数不能.
知识拓展
确定x2=a(a≥0)中正数x的近似值的方法： 1.确定正数x的整数部分. 根据平方的定义，把x夹在两个连续的正整 数之间，确定其整数部分。例如：求x2=5 中的正数x的整数部分，因为22<5<32，即 22<x2<32，所以2<x<3，因此x的整数部分 为2.
实际估算中，整数部分的数字容易估计，十 分位上的数字也可以采用试验的方法进行估 计，即2.12=4.41，2.22=4.84，2.32=5.29， 因为4.84<5<5.29，所以2.22<x2<2.32，所以 2.2<x<2.3，所以十分位上的数字为2.
课堂小结
按小数的形式分类
{ 有理数：有限小数或无限循环小数
2.确定x的小数部分十分位上的数字.
(1)将这两个整数平方和的平均数与a比较， 预测十分位上数字的取值范围，如两个整 数2和3的平方和的平均数为 22 =32 6.5>5，
2
所以x的十分位上的数字一定比3小，不妨 设x≈2.2.
(2)设误差为k(k必为一个纯小数，且k可能为负 数)，则x=2.2+k，所以(2.2+k)2=5，所以 4.84+4.4k+k2=5，因为k是小数，所以k2很小， 把它舍去，所以4.84+4.4k=5，所以k≈0.036， 所以x=2.2+k≈2.2+0.036=2.236.
整数 分数
数
{无理数：无限不循环小数
检测反馈
1.下列说法中正确的是 ( C ) A.无限小数都是无理数 B.有限小数是无理数 C.无理数都是无限小数 D.有理数是有限小数
2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( C )
A.面积为25的正方形
4 B.面积为25的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
面积S 1<S<4 1.96<S<2.25 1.9881<S<2.0164 1.999396<S<2.002225 1.99996164<S<2.00024449
a是介于1和2之间的一个数，既不是整数， 也不是分数，则a一定不是有理数. 如果写成小数形式，它是有限小数吗？ 事实上，a=1.41421356…，它是一个无限 不循环小数.
我们把无限不循环小数称为无理数.
(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不 循环小数，故π是无理数). 你能找到其他的无理数吗?
例题讲解
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14,
－
4 3
,
0.57 ，0.1010001000001…(相
邻两个1之间0的个数逐次加2).
解：有理数有：3.14,-