7.3二次根式的乘除法(1)
《二次根式的乘除》二次根式PPT(第1课时)
6
6 7
___÷___=____;
7
6
.
10
4.9 .
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
法
二次根
式乘法
则
拓展法则
⋅ = ( ≥ 0, ≥ 0൯
⋅ ⋅ ⋯⋅ = ⋅ ⋅⋯⋅
（ ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0）
⋅ = （ ≥ 0, ≥ 0൯
性
质
= ⋅ （ ≥ 0, ≥ 0൯
(2) 3 + 6 2 + 9 2 ≥ 0, ≥ 0
解：（1） 532 − 282 =
53 − 28)(53 + 28
= 53 − 28 × 53 + 28 = 25 × 81 = 45.
（2） 3 + 6 2 + 9 2 =
+ 3
2
= ( + 3) .
注意：a，b都必须是非负数.
被开方数
根指数
二次根式相乘，________不变，________相乘.
新课导入
问题引入
站在水平高度为 h m的地方看到可见的水平距离为d 米，
它们近似地符合公式为 = 8
ℎ
5
.
ℎ
5
问题1 某一登山者爬到海拔100m处，即 =
20 时，他看到的水平线的距离d1是多少？
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单
项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根
号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
m a n b mn ab a 0, b 0
知识讲解
例3
比较大小(一题多解):
二次根式的乘除法 (1)
学习目标
• 1、理解解直角三角形的概念， 理解俯角、仰角的概念 • 2、能够解直角三角形
学习重难点
• 重点：锐角三角函数在解直角三 角形中的灵活运用 • 难点：将实际问题中的数量关系， 转化为直角三角形中元素之间的 关系，从而解决问题
导学流程
• A、情境导入 • 1、在直角三角形中共有几个元素？ • 2、直角三角形ABC中，∠C=90°， a、b、c、∠A、∠B这五个元素间 有哪些等量关系呢？
仰角、俯角
ห้องสมุดไป่ตู้
例题
• 例2 如图25．3．2，东西两炮台A、 B相距2000米，同时发现入侵敌舰C， 炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方 向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试 求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）
图 25.3.2
例题解答
• • • • • • • • 解 在Rt△ABC中， ∵ ∠CAB＝90°－∠DAC＝50°， ＝tan∠CAB， ∴ BC＝AB· tan∠CAB ＝2000×tan50°≈2384（米）． ∵ ＝cos50°， ∴ AC＝≈3111（米）． 答： 敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和 2384米．
自学提纲
• 自学课本94-96页，理解解 直角三角形的概念，仰角俯 角的概念，并能简单的应用 直角三角形的边角关系解决 实际问题，时间为15分钟。
a c
解直角三角形的理论根据：
• (1)边角之间关系 cosA= tanA= sinA=
• (2)三边之间关系 • a2 +b2 =c2 (勾股定理) • (3)锐角之间关系 ∠A+∠B=90°．
解直角三角形，只有下面 两种情况：
• （1） 已知两条边； • （2） 已知一条边和一个锐角． • 即：除直角外的5个元素（3条边和 2个锐角）只要知道其中的2个元素 （至少有一个元素是边），就可以 求出其余的3个元素。
二次根式的乘除
汇报人： 日期:
目录
• 引言 • 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的乘除混合运算 • 练习和巩固
01
引言
目的和背景
理解二次根式的乘除运算规则
本节旨在介绍二次根式的乘除运算规则，帮助学生掌握其原 理和应用。
为后续学习打下基础
掌握二次根式的乘除运算对于后续学习代数、三角函数等领 域具有重要意义。
$frac{sqrt{20}}{5} div frac{sqrt{15}}{10} = frac{sqrt{20}}{5} times frac{10}{sqrt{15}} = frac{4sqrt{5}}{3}$
$frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} div frac{sqrt{5}}{sqrt{4}} = frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} times frac{sqrt{4}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{6}}{2}$
THANKS
谢谢您的观看
除法的运算规则
01
02
03
除法运算的顺序
先进行括号内的运算，再 进行除法运算。
除法运算的简化
在运算过程中，尽可能将 复杂的二次根式化简为简 单的二次根式。
除法运算的化简
在运算过程中，将除法转 换为乘法，并利用根式的 乘法运算法则进行化简。
除法的运算实例
$frac{2}{sqrt{3}} div frac{1}{sqrt{6}} = frac{2}{sqrt{3}} times sqrt{6} = 2sqrt{2}$
练习和巩固
基础练习题
计算 $sqrt{2} times sqrt{3}$
计算 $(sqrt{5} + 1)(sqrt{5} - 1)$
二次根式的乘除法(1)
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开 出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项)
例3 计算：
(1) 3 2 6 (2) 8 27 18
6ab 3b
15uv 5uv
u 0,10u3v 0
v 0
原式
15uv
5uv 0
5uv
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开 出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项）
(3) a b a2c b2c （a>b>0）
解 : 原式
ab a2c b2c
（默4）
a2c b2c 0
4.已知x满足 (99 x)(x 99、) 99 x. x 99
y是 2007 x 的整数部分，求 x y
解 (99 x)(x 99) 99 x x 99 99 x 0且x 99 0, x 99, y是 2007 99 的整数部分, y 45, x y 99 45 12
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
3 3
试一试
32
计算：(1) 2
(2) 50 10
3 4 1 7
5 10
(4)2 11 5 1 26
解：1 32 32 16 4
22
2 50 50 5
10 10
(3)原式＝
41 7＝ 5 10
21 10＝
57
6 如果根号前 有系数，就
b
b2 a
2
2 6a
原式=
( b
)( b2
3.2二次根式的乘除(1)
3.2 二次根式的乘除(1) (教案)备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
【重点难点】：重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
【预习指导】1、计算：（1）4×9=______ 94⨯=_______（2）16 ×25 =_______ 2516⨯=_______（3）100 ×36 =_______ 36100⨯=_______2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯（2）16×25____2516⨯（3） 100×36__36100⨯【新知概括】二次根式的乘法法则：【典型例题】例1、计算：（1）2×32；（2）21×8； （3）a 2a 8（a 》0）例2、计算（1）12；（2）3a （a 》0）； （3）32b a 4（a 》0，b 》0）注意：一般地，二次根式运算的结果中，被开方数应不含有 。
例3：思维拓展（1）236； （2）21a 23a 8二次根式乘法运算的拓展：【课堂练习】1、计算：（1）20×5； （2）32×28； （3）8×18； （4）3a 6×2a 32、化简：（1）2516⨯；（2）150； （3）a 45（a ≥0）；（4）32b a 9（a ≥0，b ≥0）（5）221026-【知识梳理】a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）【课后作业】1、化简：（1（2）（3（4（5 （6（7（8） （9（10（0a ≥ 0b ≥）2、计算：⑴xy ·y x 3·2xy ⑵18·24·27 （33=x 的取值范围。
3.2二次根式的乘除(1)
3.2 二次根式的乘除(1)备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
【重点难点】：重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
【预习指导】1、计算：（1）4×9=______ 94⨯=_______（2）16 ×25 =_______ 2516⨯=_______（3）100 ×36 =_______ 36100⨯=_______2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯（2）16×25____2516⨯（3） 100×36__36100⨯【新知概括】二次根式的乘法法则：【典型例题】例1、计算：（1）2×32；（2）21×8； （3）a 2a 8（a 》0）例2、计算（1）12；（2）3a （a 》0）； （3）32b a 4（a 》0，b 》0）注意：一般地，二次根式运算的结果中，被开方数应不含有 。
例3：思维拓展（1）236； （2）21a 23a 8二次根式乘法运算的拓展：【课堂练习】1、计算：（1）20×5； （2）32×28； （3）8×18； （4）3a 6×2a 32、化简：（1）2516⨯；（2）150； （3）a 45（a ≥0）；（4）32b a 9（a ≥0，b ≥0）（5）221026-【知识梳理】a·b=ab（a≥0，b≥0）ab=a·b（a≥0，b≥0）【课后作业】1、化简：（1（2）（3（4（5（6（7（8）（9（10（0b≥）a≥02、计算：⑴xy·yxy⑵18·24·27（3 x3·23=x的取值范围。
《二次根式的乘除运算》
易错点解析
运算顺序问题
在进行二次根式的乘除运算时，要遵循运 算顺序，先乘除后加减，有括号时先算括 号内的。
符号问题
在进行二次根式的乘除运算时，要注意保 持符号的一致性，特别是当运算结果出现 负数时，要注意结果的符号。
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感谢您的观看
05
乘除法的应用
Chapter
在几何学中的应用
计算面积
在几何学中，二次根式经常用 于计算各种形状的面积，如矩 形、三角形、圆形等。通过乘 除法运算，可以更方便地计算
出这些形状的面积。
计算周长
除了计算面积，二次根式还可 以用于计算各种形状的周长。 通过乘除法运算，可以推导出 周长的计算公式，进而求出不
重点公式复习
$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}(a \geq 0, b \geq 0)$： 这个公式表示两个二次根式相乘， 结果等于两个被开方frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}(a \geq 0, b > 0)$：这个公式表示两个二次根式相 除，结果等于两个被开方数相除的 算术平方根。
实例解析
实例1
计算$(\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) \times (\sqrt{6} \sqrt{2})$。
• 解答
根据乘法分配律，原式$= \sqrt{3} \times \sqrt{6} + \sqrt{3} \times ( - \sqrt{2}) + 2\sqrt{2} \times \sqrt{6} + 2\sqrt{2} \times ( - \sqrt{2})$$= 3\sqrt{2} - \sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 4$。
二次根式的乘除
二次根式的乘除•二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•复杂表达式中二次根式乘除处理策略目录•误差传递与数值稳定性问题探讨•总结回顾与拓展延伸二次根式基本概念与性质二次根式定义及表示方法二次根式定义二次根式的表示方法二次根式性质介绍$sqrt{a^2} =a|$（$a in R$）：此性质可将根号外的因式平方后移到根号内，但需注意结果需加绝对值。
$(sqrt{a})^2 = a$（$…此性质可将根号内的式子平方后移到根号外。
$sqrt{ab} = sqrt{a…此性质可将两个二次根式相乘，结果仍为二次根式。
$frac{sqrt{a}}{sq…此性质可将两个二次根式相除，结果仍为二次根式。
解根据二次根式的性质，有= sqrt{16} times sqrt{x^2} times sqrt{y^4} = 4xy^2$解解根据二次根式的除法性质，有$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$例1$x > 0, y > 0$）。
例2例3$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
010203040506典型例题分析二次根式乘法运算规则同类二次根式乘法法则0102不同类二次根式乘法转化方法利用乘法公式进行运算，如平方差公式、完全平方公式等。
乘法运算中注意事项在进行二次根式乘法运算时，要确保被开方数是非负数。
对于含有字母的二次根式，在乘法运算中要注意字母的取值范围，确保二次根式有意义。
在化简二次根式时，要遵循最简二次根式的两个条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
二次根式除法运算规则同类二次根式除法法则同类二次根式可以直接进行除法运算，即被除式的系数除以除式的系数，根指数不变，被开方数相除。
若被开方数可以开得尽方，则结果化为最简二次根式；若被开方数不能开得尽方，则结果保留根号形式。
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学科数学年级八时间总序号
课题
7.3二次根式的乘除法（1）
主备人
授课人
教学目标
和
学习目标1、了解二次根式的乘除法法则，会运用法则化简二次根式；
2、会根据二次根式的乘除法法则进行二次根式的运算。
教学重点
教学难点
熟练应用法则进行计算。
师生互动过程
教学内容和学生活动教师活动
一．知识回顾：
ab（a≥0，b≥0）＝
b
a
（a≥0，b>0）＝ .
二．探究新知：
1、自学概念公式：
（1）、二次根式的乘法法则：
a b
= （a≥0，b≥0）。
即两个二次根式相乘，将它们的相乘，
根指数。
（2）、二次根式的除法法则：
a
b
= （a≥0，b>0）
即两个二次根式相除，把被开方数，
根指数。
2.精讲点拨：
例1、计算下列各题：
（1）5·20
提出问题
引导学生自学
二次根式的乘
除法法则
师生互动过程
教学内容和学生活动教师活动（2）2a·5b；
（3）
3
48
；
（4）2·6
二次根式的乘除法法则：
二次根式相除，先按照法则进行计算，如果积或商
中含有二次根式，要将它化成最简二次根式。
例2、计算：（1）15÷(5·27)
（2）24ab÷3a
对于例2，你还有其他解法吗？与同学交流。
教师引导学生
根据法则对二
次根式乘除运
算
注意：系数与系
数相乘（或相
除），被开方式
与被开方式相
乘（或相除），
并将结果化成
最简二次根式。
师生互动过程
教学内容和学生活动
教师活动三.课堂练习
课本第13页，课后练习第1题、第2
题。
四、课堂小结（会思考、会总结，才会有
收获哦！）
通过本节课的学习，你有哪些收获？还
有哪些疑惑？
五．布置作业
习题7.3 A组 1 2.
板 书 设 计
一．知识回顾：
ab （a≥0，b≥0）＝
b
a （a≥0，b>0）＝ .
二．探究新知
例1、计算下列各题：
（1）5·20
（2）2a ·5b ；
（3）
3
48； （4）2·6
例2、计算下列各题：
（1）15÷（5·27） （2）24ab ÷3a。