2018-2019学年河北省大名县一中高二下学期(北清班)3月月考数学(理)试题(Word版)

2018-2019学年河北省大名县一中高二下学期（北清班）3月月考数学理科试题时间：120分钟 总分：150分 命题人：闫文磊第I 卷一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内复数65i +、23i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，则z z ⋅的值为（ ）A.10B.20C.31D. 61 2．已知函数2()(2)sin(4)126f x x x ππ=+++ ）A.()f x 为偶函数B. ()f x 的图像关于直线4x π=对称C. ()f x 的值域为[]1,3-D. ()f x 的图像关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 3．若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线52y x =-的距离的最小值为( )C. 24．若()y f x ='是函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数，且()0,x a b ∈，()04f x '=，则()()0002limh f x f x h h→-- 的值为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 125．为预防和控制甲流感，某学校医务室欲将22支相同的温度计分发到高三年级10个班级中，要求分发到每个班级的温度计不少于2支，则不同的分发种数为（ ）种 A ．45 B ．55 C ．90 D ．100 6． 给出以下四个命题：其中真命题是 ( )①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤-，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④7．若2012(1)n n n x a a x a x a x +=++++（n N *∈）且1221a a +=，则展开式的各项中系数的最大值为A. 15B. 20C. 56D. 708．已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A（B ）32（C（D ）29.某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“⨯⨯考点⨯⨯考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是 ( ) A ．276119 B ．272119 C ．136119 D ．13811910．先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为y x ,，设事件A 为y x +为偶数，事件B 为y x ≠ ，则概率()=A B P |（ ） A.32 B. 21 C.31 D. 41 11．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布()100,4N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[]98,104内的产品估计有（ ）（附：若X 服从()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=， ()220.9544P X μσμσ-<<+=）A. 3413件B. 4772件C. 6826件D. 8185件12．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()2f x '<,则不等式()1(1)ln 223x f x x e x ++-+->+的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()1,-+∞C ．()1,2-D ．()2,+∞第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在ABC ∆中，15BC =，10AC =,60A ∠=，则cos B = ．14．二项式6⎛⎝的展开式中的常数项为_________.15. =--⎰11-21dx x e x）（________ 16．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,,⋅⋅⋅即()()()()()()*121,123,F F F n F n F n n n N ===-+-≥∈，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}n b ，2017b =__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题10分）在ABC 中，3sin 2sin A B =，tan C =. （1）证明：ABC 为等腰三角形（2）如果ABC 的面积为，D 为边AC 上一点，且3BD CD =，求线段CD 的长。

18．（本题12分）从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策. 为了解适龄民众对放开生二胎政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.(1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为η，求随机变量η的分布列和数学期望.19．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．20．（本题12分）已知椭圆C ： 2222=1x y a b+(0)a b >>，四点12(1,1),(0,1)P P ，34(P P -中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.21．（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅱ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．22．（本题12分）已知函数()()ln ,f x x a x a R =-∈． （Ⅰ）若0a =，对于任意的()0,1x ∈，求证：1()0f x e-≤<； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，求实数a 的取值范围．高二数学理科试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.B2.C3.C4.C5.B6.C7.B8. A9.D 10. A 11.D 12.A 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.14. -160 15. 22e 2π--.16. 1 三，解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.解（1）由题意知， ξ的值为0,1,2,3.()0346310C C 10C 6P ξ===， ()1246310C C 11C 2P ξ===，()2146310C C 32C 10P ξ===， ()3036310C C 13C 30P ξ===. ∴ξ的分布列为:1131()0123 1.2621030E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为P =42105=， η=0,1,2,3. 且23,5B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭.()()3323C 0,1,2,355kkk P k k η-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.的分布列为：2()3 1.25E η∴=⨯=．19.解：（I ）当n =1时，11312a a =-， ∴ a 1=2． 当2n ≥时，∵312n n S a =- ①1131(2)2n n S a n --=-≥ ②①-②得：133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=，∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列．123n n a -=⋅． …6分（II ）∵1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅……13223b b =+⋅02123b b =+⋅相加得 12111132(333)523413n n n n b b ----=+⋅+++=+⋅=+-．当n =1时，111345b -+==，∴ 134n n b -=+．20.（1）由于3P ， 4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ， 4P 两点. 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此22211{ 1314b a b =+=，解得224{ 1a b ==. 故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，），（t ，.则1222122k k t t+=-=-，得2t =，不符合题设.从而可设l ： y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++-=由题设可知()22=16410k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+()()12121221kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=.即()()22244821104141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++. 解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时， 0∆>，欲使l ： 12m y x m +=-+，即()1122m y x ++=--， 所以l 过定点（2， 1-）21．证明：（Ⅰ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD面=ABCD AD ，所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(2E ，(0,1,0)F ． 于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =．因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量． 设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,22x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,5OP OP OP ⋅<>===⋅n n n． 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A 的余弦值为5． （Ⅱ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ． 因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,x y z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线． 因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CGx y z =-， 所以111212xy +--==． 所以1112λλ+---==故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． 22．解：（1）当0a =时，()ln f x x x =，'()ln 1f x x =+ 令'()ln 1=0f x x =+，解得1x e=. 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0f x <，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数；当1+x e⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，'()0f x >，所以函数()f x 在1+e⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，为增函数．所以函数()f x 在1x e =处取得最小值，11()f e e=-． 因为()0,1x ∈，ln 0x <，所以对任意()0,1x ∈，都有()0f x <． 即对任意()0,1x ∈，1()0f x e-≤<． （2）函数()f x 的定义域为()0+∞，． 又'ln (),()ln x x x af xg x x x x a x+-==+-设.令()ln =0g x x x x a =+-，即ln a x x x =+，设函数()ln h x x x x =+． 令'2()ln 20,h x x x e -=+==则． 当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0h x <，所以()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数； 当21+x e ⎛⎫∈∞⎪⎝⎭，时，'()0h x >，所以()h x 在21+e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上是增函数； 所以min 2211()()h x h e e ==-．则()0,x ∈+∞时，1()eh x ≥-． 于是，当21a e≥-时，直线y a =与函数()ln h x x x x =+的图象有公共点， 即函数()ln g x x x x a =+-至少有一个零点，也就是方程'()0f x =至少有一个实数根．当21=a e -时，()ln g x x x x a =+-有且只有一个零点， 所以'ln ()0x x x af x x +-=≥恒成立，函数()f x 为单调增函数，不合题意，舍去．即当21a e>-时，函数()f x 不是单调增函数．又因为'()0f x <不恒成立，所以21a e>-为所求．。