管制图简介

管制图简介
[計算][應用範圍][實施步驟][使用原因]
管制圖基本原理
統計理論認為母體參數可由隨機抽取的樣本來估計，SPC圖的統計基礎即在於此。

但是，SPC圖並不能控制一個製程，它只是提供製程重要的資訊，這個資訊可以作為品質決策與修正製程的基礎。

一般SPC圖提供三條製程資訊的管制線：上管制線(upper control limit, UCL)﹑中心線(center line, CL)﹑下管制線(lower control limit, LCL)。

不同製程管制對象有不同的資料，所有的資料都可歸類到下列其中一種：
1.分類資料－將產品品質分為「好或不好」、「合格或不合格」等
2〃數資料－記錄某產品的某個特性發生次數，例如錯誤次數﹑意外次數﹑銷售領先次數等
3.連續資料－某個品質特徵的量測值，例如尺寸﹑成本﹑時間等
前兩種資料為計數值資料，第三種為計量值資料。

收集資料時，如果可能應該盡量收集定量資料，因為定量管制圖所需的比較性計算較少，而且能提供較多的資訊。

基本計算
管制圖可用一通式來表示，假設y為量測品質特性之樣本統計量，y之平均數為μy，標準差為δy，則
UCL＝μy＋kδy
中心線＝μy
LCL=μy－kδy
其中kδy為管制界限至中心線之距離。

此管制圖之理論首先由美國之Waiter A. Shewhart
博士提出，任何依據此原理發展出之管制圖都稱為Shewhart (蘇華特)管制圖。

應用範圍
管制圖之應用有許多方式，在大多數之應用上，管制圖是用來做製程之線上(on-line)監視。

亦即收集製程樣本數據用來設立管制圖，若樣本值落在管制界限內且沒有任何系統
性之變化，則稱製程在管制內。

管制圖也可以用來決定過去之製程數據是否在管制內，及
末來之製程是否將在管制內。

管制圖也可用來做為估計之工具，當製程是在管制內時，則
可預測一些製程參數，例如平均數、標準差、不合格率等。

此種製程能力分析對於管理者
之決策分析有相當大之影響，例如自製或外購之決策，工廠及製程之改善以降低變異，及
與供應商或顧客間之合約。

管制圖實施步驟
1.選擇品質特性
2.決定管制圖之種類
3.決定樣本大小
在設計管制圖時，我們必須決定樣本之大小(sample size)及抽樣之頻率。

一般而言，大樣本可以很容易地偵測出製程內小量之變動。

當選定樣本大小時，必須先決定所要偵測之製程變動的大小。

當製程變動量相當大時，則適合使用小樣本，反之，若製程變動小時則使用大樣本。

除了決定樣本大小外，我們同時須決定抽樣之頻率。

最理想之狀況是次數頻繁地抽取大樣本。

但從經
濟觀點而言，此並非最佳之抽樣方法。

較可行之方法是在長時間間隔下取大樣本或短時間間隔下取小樣本。

在大量生產下或有多種可歸屬原因出現下，較適合樣本小而次數多之抽樣。

由於檢測器和自動量測技術之發展，目前之趨勢傾向100%檢驗。

4.抽樣頻率和抽樣方式
管制圖是利用合理樣本組之概念來收集樣本數據。

合理樣本組之抽樣方式可讓可歸屬原因出現時，樣本組間發生差異之可能性最大，而樣本組內發生差異之可能性為最小。

當管制圖應用到生產時，生產時間次序為一合乎邏輯之合理樣本組取樣方法。

一般合理樣本組之抽樣有兩種方式進行。

在第一種方式下，組內樣本儘可能在時間差距很短之情況下收集，如右圖之(a)。

這種抽樣方法將可使樣本組間之差異為最大而樣本組內之差異為最小。

這種抽樣方式也是估計製程標準差之最好方法，一般稱之為瞬時法(instant time method)。

第二種方式下，樣本組內之數據為來自於上次抽樣後具代表性之產品。

在此種抽樣方式下，每一樣本可視為在抽樣間隔內之隨機樣本，如右圖之(b)。

此種抽樣方式稱為分散式抽樣(distributed sampling)或稱為定時法(period of time method)。

這種抽樣方法通常是用在決定自上次抽樣後之產品是否可接受時。

5.收集數據
6.計算管制圖之參數，一般包含中心線和上下管制界限
7.收集數據，利用管制圖監視製程
使用管制圖之原因
1.管制圖是一改善生產力之有效工具
管制圖之有效運用可降低報廢和重工。

報廢和重工之降低代表生產力增加、成本降低和產能之增加。

2.管制圖是預防不合格品之有效工具
管制圖為一預防性之管理工具，強調第一次就做對，它比事後之檢驗更能提昇產品之品質。

3.管制圖可預防不需要之製程調整
由管制圖可獲知調整製程參數之最佳時機，以避免因過度調整，使製程變異增加，造成製程成效惡化。

4.管制圖可提供診斷之資訊
管制圖上之非隨機性變化模型(nonrandom patterns)可以提供診斷製程異常之情報。

一個非隨機性模型通常是由一組異常原因所造成。

由管制圖上非隨機性模型可了解製程何時為異常，並可縮小尋找問題原因之範圍，降低診斷時間。

5.管制圖可提供有關製程能力之資訊
管制圖可提供製程參數、製程之穩定程度和製程能力等情報，這些資訊對於產品和製程之設計者非常有幫助。

計數管制圖
[p管制圖| np管制圖| c管制圖| u管制圖]
計數管制圖簡介
在此單元中，我們將介紹數種管制產品屬性(attributes)之管制圖，一般稱為計數值管制圖(attributes control charts)。

在品質管制中，屬性是指某項品質特性是否符合某項標準或規格。

通常可以分為以下兩種：
不合格點(nonconformity)或缺點(defect)：若有某項品質特性不符合標準或規格。

例如產品長度要求為10±1.0cm，則長度為11.5cm之產品視為不可接受。

不合格品(nonconforming item)或不良品(defective item)：產品具有一項或多項缺點，致使產品無法發揮其應有之功能。

產品可能在具有多項缺點下，仍被視為合格品，其重點在於缺點之嚴重性是否影響產品的功能。

有些品質特性只能被視為屬性，例如食品之口味可分成可接受或不可接受。

但在有些情況下，由於受到時間、成本、能力或其他資源之限制，計量型特性也可能被視為屬性來衡量。

例如產品之外徑可以用測微計量測，但為了節省時間，此品質特性也可以視為是否滿足規格，利用通過/不通過量規(go/nogo gage)來衡量。

屬性值可以匯整一件產品上，多項品質特性之情報。

例如產品之長、寬、高三項計量品質特性，可能需要3張管制圖來管制。

但如果將它們視為屬性，則只要有任一特性不符合規格，便被視為不合格品，此時可以利用不合格率來匯整此三項品質特性。

計數管制圖種類
1.p管制圖：
不合格率管制圖或者稱p管制圖，p管制圖是用於管制製程中不合格品數之比率。

2.n p管制圖：
稱為不合格品數管制圖。

3.c管制圖：
稱為不合格點數管制圖或者稱c管制圖，c管制圖是用於計算產品中不合格點之數
目，在某些情形下，直接計算產品中不合格之點數較管制不合格率方便。

4.u管制圖：
一般稱為單位不合格點數管制圖或稱為u管制圖，u管制圖對於處理平均每單位內
不合格點數這種情況較其他製程管制圖方便。

計數管制圖之缺點
靈敏度低：
屬性資料可以顯示某一品質特性是否落在規格內，但如果不符合規格時，屬性資料無法說明不符合之程度。

例如外徑規格設為20土0.lmm，外徑為20.2mm和22.3mm之產品均被視為不合格品，但其不符合程度並無法由屬性資料獲得。

另一方面，計量數據可以提供較多之製程情報。

無預防異常之能力：
當製程有問題時，計量資料可以提供更多有關異常原因之情報，以使得製程之改善更為容易。

計量值數據可以具有預防性之功能，而計數之屬性資料則必須在產品不符合規格時才能獲得。

如果製程之變異程度遠較規格寬度為小，當在計量值管制圖發現異常點時，我們可以馬上診斷異常原因，採取改善措施，以避免不合格品之產生。

換句話說，即使產品不一定為不合格品，在計量值管制圖上發現異常現象時，我們可以採取預防性的改善措施。

所需樣本數多：
計數值管制圖的另一項缺點是比計量值管制圖需要更多之樣本。

當量測屬破壞性檢驗時，
將造成問題
p管制圖（不良率管制圖）
理論計算
不良率管制圖之統計理論基礎為二項分配，假設製程處於穩定狀態，製程中不符合規格的機率為必而且連續生產之各單位是獨立的，因此每一生產的單位可以看成是白努利隨機變數，其參數為p。

假如隨機抽取n個樣本，D是樣本中之不合格品數，則D屬於二項分配，其參數為n及p亦即
P{D=x}=x=0, 1, 2, …, n
隨機變數D的平均數與變異數分別為np及np(1-p)。

樣本不良率之定義為：樣本中不合格品數目D與樣本大小n之比值
隨機變數的分配從二項分配得知，因此的平均數與變異數分別是
μ﹦p
假設y為量測品質特性之樣本統計量，y之平均數為μy，標準差為δy，則蘇華特管制圖的一般型式為：
UCL＝μy＋kδy
中心線＝μy
LCL=μy－kδy
使用條件
由於不良率管制圖主要管制製程不合格率必所以也稱為p管制圖，此管制圖雖然是用來管
制產品之不合格率，但並非適用於所有之不合格率數據。

在使用不良率管制圖時，要滿足
下列條件
a.發生一件不合格品之機率為固定。

b.前、後產品為獨立。

如果一件產品為不合格品之機率，是根據前面產品是否為不合格品來
決定，則不適合使用p管制圖。

c.如果不合格品有群聚現象時，也不適用p管制圖。

此問題通常是發生在產品是以組或群之
方式製造。

例如在製造橡膠產品之化學製程中，如果烤箱之溫度設定不正確，則當時所生
產之整批產品將具有相當高之不合格率。

如果一產品被發現為不合格，則同批之其他產品
也將為不合格。

實際使用可能之情形
a.不良率p已知
假設不良率p已知，或p值由管理人員決定，則不良率管制圖的參數計算如下：
UCL＝p＋
中心線＝p
LCL＝p－
p管制圖之實施步驟包括抽取n個樣本，計算樣本不良率，並將點在圖上，只要在管制界限內，且不存在系統性、非隨機性的變化，則可認為在水準p下，製程處於管制內(in control)。

假設有任一點超出管制界限，或者存在非隨機性變化的情形，則表示製程的不良率已改變且製程不在管制內(out of control)。

b.不良率p不知
若製程不良率p未知，則p值需從觀測數據中估計。

一般的程序是初步選m組樣本為n的樣本，通常m為20或25，假設第I組樣本含有D i個不合格品，則不良率為：
i＝1, 2,…, m
全體樣本之平均不良率為
統計量為不良率p的估計值。

p管制圖中心線及管制界限之計算為：
UCL＝＋
中心線＝p
LCL＝－
以上所得的管制界限稱為試用管制界限(trial control limits)，它可先試用於最初的m 組樣本，來決定製程正否在管制內。

為了測試過去製程在管制內的假設，我們可先將m組樣本之不良率分別繪在管制圖上，然後分析這些點所顯示的結果。

若所有的點均在試用管制界限內且不存有系統性的模型則表示過去製程正在管制內，試用管制界限能夠延用於目前或未來的製程。

假設有一點或更多點超出試用管制界限，則顯示過去的製程並非在管制內此時必須修正試用管制界限。

其作法是檢查每一個超出管制界限的點找出其非機遇原因，然後將這些點捨棄，重新按相同之方法算出管制界限並檢查在圖上的點正否超出新的管制界限或存有非隨機性的模型。

若有點超出。

新的管制界限外，則須再修正管制界限，直到所有的點均在管制內。

此時的管制界限才能延用於目前或未來的製程。

實例
p管制圖例題
p管制圖實際操作
np(不良數管制圖)管制圖
參數計算
不良數管制圖是管制製程中不合格產品數目，此管制圖亦稱為np管制圖，其參數計算為
UCL =
中心線 = n
LCL =
如果p未知，則以來估計p值。

實例
np管制圖例題
np管制圖實際操作
p管制圖與np管制圖之比較
在應用上，如果每一樣本之大小均相等，則以使用np管制圖較p管制圖為容易(在數據收集時，我們通常記錄n個樣本中之不合格品數，若使用np管制圖，則可直接將不良數繪在圖上，不需將不良數除以樣本大小小以求得不合格率P)。

為避免同一工廠內使用p和np兩種管制圖所造成之困擾，有些學者(Grant和aLeavenworth, l988)建議統一使用p管制圖，因為p管制圖適用於樣本大小固定或樣本大小變動時。

c管制圖（缺點數管制圖）
理論計算
所謂不合格品是指一件物品無法符合一項或多項之規格要求。

任何不符合規格之處，稱為一個不合格點(nonconformity)或缺點(defect)。

根據不合格點之嚴重性，我們可能將具有
許多不含格點之物品視為合格品。

換句話說，具有不合格點之物品，不一定為不合格品。

C管制圖是為了管制一個檢驗單位之總不合格點數。

在每一樣本中出現不合格點之機率，
服從卜瓦松分配的假設下。

每個樣本出現的缺點數是參數為的Poisson分配，。

, x = 1,2,…
X即缺點數的隨機變數，因為X設為Poisson分配，故其平均值與變異數都為。

如果管
制圖上下限以3為準，且已知，則管制圖的計算如下：
UCL =
中心線 =
LCL =
使用條件
因為c管制圖在卜瓦松分配的假設下，有幾項條件必須符合(Grant和Leavenworth
l988,Montgomery 1991)：
a.在產品出現不合格點之機會(位置)要相當大，而每一特定位置發生不合格點之機率很小且
固定。

b.每一樣本發生不合格點之機會(範圍)要相同。

c.不合格點之發生需為獨立，亦即產品上某一部分發生不合格點不影響其他不合格點之出
現。

實際使用可能之情形
如果未知，的不偏估計值為平均每樣本上的缺點數,
UCL =
中心線=
LCL =
實例
c管制圖例題
c管制圖實際操作
u管制圖（單位不合格數管制圖）
理論計算
如果每一樣本之檢驗單位不同(不同之件數、面積)，則無法滿足每一樣本出現不合格點之機會範圍相同之要求。

傳統c管制圖只能顯示每一樣本之不合格點之總數，並無法正確反應不合格點數之變化，我們必須有一標準之量測單位來定義不合格點出現之機會範
圍。

u管制圖即是為了解決上述問題之一可行方法。

u管制圖可用來管制單位不合格點數。

若在樣本為n個檢驗單位中發現有c各不合格點，則單位不合格點數為
管制圖之參數為
UCL＝
中心線＝
LCL＝
使用條件
c管制圖係假設樣本為一檢驗單位，但有些情況下樣本大小並不剛好等於一檢驗單位，通常是根據作業及數據收集之方便性來決定。

有時我們可能會為了增加發現不合格點之機會，而採用數個檢驗單位當做是一個樣本。

所以u管制圖為n個獨立之卜瓦松隨機變數之線性組合，故仍可視為卜瓦松，也就符合卜瓦松分配假設，其使用條件與c管制圖相同。

實際使用可能之情形
為從過去數據所估計之單位不合格點數之平均值，以上所求得之管制圖可當做是試用管制界限(trial control limits)。

實例
u管制圖例題
u管制圖實際操作
計量管制圖
[X-R管制圖 | X-S管制圖 | 個別值與移動全距管制圖| CUSUM管制圖]
計量管制圖簡介
在品質管制中，許多品質特性均可用數值來表示，例如軸承之外徑可以測微計(micrometer)來量測並以微米來表示。

一個單一可量測之品質特性如外徑、重量或體積，稱為計量值(variable)。

計量值管制圖已被廣泛地使用於統計製程管制中，因比起計數值管制圖，計量值管制圖可提供更多有關製程之資訊。

當要管制之品質特性為計量值時，我們通常同時管制其平均值及變異性，X管制圖通常是用來管制製程之平均值，而製程之變異或散布則可由標準差(稱為S管制圖)或全距(稱為R管制)來管制，其中以全距管制圖較為常用。

計量管制圖種類
此單元將介紹以下四個計量值管制圖
1.X-R管制圖
2.X-S管制圖
3.個別值與移動全距管制圖
4.CUSUM管制圖
X(平均數)與R(全距)管制圖
理論計算
假設一品質特性為常態分配，若已知其平均值為，變異數為。

則一樣本有n個數據，分別為x1, x2, …, x n，則此樣本之平均值為
為常態分配，其平均值為，標準差為。

任何樣本平均值落在
與
之間的機率為1－α。

因此若μ和α為已知，則上述公式可視為樣本平均值()管制圖之上管制界限和下管制界限。

我們通常是以3取代，因此稱為3倍標準差管制圖。

UCL＝μ＋
中心線＝μ
LCL＝μ－
實際應用狀況
在推導上述之管制界限時，我們假設品質特性之分配為常態，但上述結果即使在分配不為常態時仍可視為正確，此乃因為中央極值定理之緣故。

一般而言μ和σ並不為已知。

因此它們必須在製程為管制內時，從過去之樣本估計(通常需要20到25組樣本)。

假設我們有m組大小為n之樣本，n通常為4、5或6(計量值之檢驗成本高，故通常採用較小之樣
本)。

令, , … 為每樣本之平均值，則製程平均值μ之最佳估計量為總平均值
，可由下式求出
管制界限之設立需要估計標準差σ。

標準差可從m組樣本之標準差或全距來估計。

以下我們將先介如何從全距法來估計標準差σ。

樣本之全距R，是樣本內之最大值和最小值的差異量，即
R＝x max－x min
隨機變數W＝R/σ稱為相對全距(relative range)。

W之分配參數為樣本大小n之函數 W 之平均值為d2。

因此了之σ估計值，d2值可查表得知，例如n=5時，d2﹦2.326。

若R1，R2，…，R m,為m組樣本之全距，全距之平均值為
因此
σ估計值
圖：UCL =＝
中心線 =
LCL =＝
如果令
圖：UCL =
中心線=
LCL =
皆可由查表得知。

實施步驟
-R管制圖之建立和使用包含下列幾項步驟：
1.根據事先所訂定之抽樣方法(包含樣本大小、抽樣頻率、合理樣本組等)收集數據。

2.計算樣本平均值和樣本全距。

3.計算和R管制圖之管制界限，並將樣本平均值和全距繪在圖上，觀察並分析是否
有管制外之點。

常用之判斷法則有一點超出管制界限外或其他輔助法則(區間測試、
連串測試等)。

如果管制圖顯示製程是在管制內，則進行步驟4，否則需診斷造成異
常之可歸屬原因。

如果管制圖之異常現象(包括點超出管制界限和具有非隨機性之變
化)是由可歸屬原因所造成，則應採取矯正行動，並將可歸屬原因所對應之樣本數據
剔除(可能不只一組)，重新計算管制界限。

管制界限必須由不包含可歸屬原因之數
據計算獲得，因此分析管制圖、追查可歸屬原因之數據計算獲得、剔除異常點、修
正管制界限等工作必須循環進行，直到和R管制圖均在管制內為止。

由於管制
圖之管制界限受到R之影響，因此在構建管制圖時應由R管制圖開始。

4.當和R管制圖均在管制內時，我們可以利用-R管制圖來監視未來之製程，用以
找出製程中之可歸屬原因。

其流程圖如下：
實際例子
X-R管制圖例題
X(平均數)與S(標準差)管制圖
雖然X-R管制圖廣為工業界所採用，但在有些情況下直接計算製程標準差比間接地以全距R估計標準差更為適當。

針對此因素所設計之管制圖稱為S管制圖，其中S為樣本標準差(有時我們會以σ取代S，稱為σ管制圖)
X與S管制圖較適合的情況
a.當樣本大小n＞10或12時(此時以全距R估計標準差較無效率)。

b.樣本大小n變動時。

在本單元中，我們將介紹如何建立X-S管制圖。

同時我們也將說明樣本
大小變動時之處理方式和S管制圖之替代方法。

X與S管制圖之計算
若某一機率分配之變異數為未知，則變異數之不偏(unbiased)估計量為
但樣本標準差S並非σ之不偏估計量，若數據之分配為常態，則S實際上估計，其中為一常數，其大小由樣本大小n決定。

S之標準差為。

如果應用於樣本大小不相同的之情形下，和是利用加權平均的方式計算，
，
a.若某機率分配之變異數已知之S管制圖
UCL＝＝
中心線＝
LCL＝＝
其中，
b.若某機率分配之變異數未知之S管制圖
UCL＝＝
中心線＝
LCL＝＝
其中，
c.X之管制參數
若使用來估計σ，則可定義之管制參數為
UCL＝＝
中心線＝
LCL＝＝
若令
實例
X-S管制圖之例題
個別值與移動全距管制圖
在-R管制圖中，各樣本之樣本大小n＞1。

但實務上我們會遭遇許多情況，必須(或可以)採用的=l，例如：
1.自動化檢驗和量測技術之使用，對每一製造件進行分析。

2.生產率低，無法以n>l之樣本進行分析。

3.有些製程(化學工業)之重複量測值相差不大，其差異只是來自於實驗或分析誤差。

在此情況下，使用n>1並無法提供更多之情報，因此可採用n=1之樣本。

4.在產品之不同位置，重複量測所得之數值相差不大，由此數據估計之標準差可能會
太小。

一個例子為在整卷紙之不同位置量測紙張厚度。

在上述情況下，我們無法以樣本全距來估計製程之變異性。

一個可行之方法是以移動全距(moving range)來估計製程之變異性。

移動全距可定義為MR i=∣X i－X i-l∣，亦即以相鄰之2數據計算全距。

實例
個別值與移動全距管制圖例題
CUSUM管制圖
蘇華特管制圖是實務上最廣泛使用之管制圖，其優點為容易使用，而且比其他管制法更快偵測出製程的大量變動。

但是蘇華特管制圖只能在問題發生後才偵測出來，使得蘇華特管制圖對於製程微量變動，無法及時發現。

在此單元將介紹累和管制圖(Cumulative Sum
Control Chart，簡稱CUSUM管制圖)，這是由Page(1954)所提出之一種管制圖，它對於製程微量之變化之偵測，比蘇華特管制圖更有效率。

以下介紹兩種不同之CUSUM管制圖方法。

基本型
此CUSUM所使用的方法非常的簡單與直覺。

如果有一個參考水準為W的管制圖，其個別的觀測值為，第r個CUSUM值可由下式求得：
由此可知CUSUM值為觀測值與參考值之差的累計值，, k=1,2,…，
有時亦稱CUSUM圖為-時間圖。

如果將參考水準W換成一個可接受的平均值，CUSUM 圖即變成觀察平均值變化之管制圖。

複雜型CUSUM管制圖之計算
令代表數據標準化後之值，參數k為參考值(reference value)。

CUSUM管制圖是利用下列統計量來管制製程平均。

若或大於決策區間值(decision interval value)h，則此製程處於異常狀況。

實際CUSUM管制圖之使用方式
I.平均值與標準差
當樣本大小n=1，可用取代，以取代；μ與σ可分別由和
(或)估計之。

當n＞1時，μ以估計，σ由或來估計。

II.CUSUM管制圖使用方式
a.繪製方法
如同蘇華特管制圖，CUSUM管制圖也可以將和畫在圖上，藉以觀察出製程的
變化。

做法之一是將（置於上方）和（置於下方）畫在同一張圖上，表現的
方式可以是長條狀或以折線連結。

其二是和分別畫在不同圖上。

由於
和或和間只相差一個樣本，因此管制統計量間具有高度之相關
性，在圖上經常會出現非隨機性之變化。

這些非隨機性之變化並非由製程原因造成，因此
無法提供診斷製程所需之情報。

以上所介紹之程序，稱為異和管制法之表格型式
(tabularform)。

此程序也可處理原始數據，管制統計量為。