ch10平面解析几何2013

6、顶点o(0,0)
二次函数： ax bx c(a, b, c是常数，a 0) y
2
定义域 D (,)
4ac b 值域： a 0时，R y y 当 4a
2 f
4ac b 当a 0时，R y y 4a
a b 于是有 cos a , b ab
4、向量平行、垂直的条件
a1 a2 (1) a ∥ b a b b1 b2 a b 0； (2) a b a b 0 a1b1 a2b2 0
M ( x, y )
d
Ax0 By0 C A B
2 2
。
例 已知直线 ：x 4 y 1 0, l1：x y 4 0; l 3 2
求 l1上点A( 2,0)关于l的对称点 .
解：l的方向向量是 (4,3), a
设A关于l的对称点是A( x0 , y0 ) l 则AA a , 且AA 的中点在l上，故得
若 0，则a与a方向相同； 若 0，则a与a方向相反； 若 0，则a 0。
( 特别地， 1时， 1)a a。 因此 a 向量的内积（点乘积或数量积） 1、向量的夹角 则AOB称为向量a 设向量a OA，b OB， B 与向量b 的夹角，记为 a , b 。 o ） 规定0 。 A 2、向量的平行与垂直 (1) 若 a , b 0或，则称a与b 平行，记为a ∥ b ； (2) 若 a , b ，则称a与b 垂直，记为a b ； 2 3、向量的数量积 向量a (a1 , a2 )与b (b1 , b2 )的数量积定义为 a b a b cos a , b a1b1 a2b2。
y y0 ta2 x x 0 y y0 ( 2)点向式： a1 a2
或 a2 ( x x0 ) a1 ( y y0 )
分量形式
.
x
2、已知直线l上一点P0 ( x0 , y0 )及斜率k可得。
（3）点斜式方程：y y0 k ( x x0 )
(4) 斜截式方程：y kx b
直线方程为 x 4.
例10.2.2 直线过点A(2,3)且倾角为直线
2y x 3 0
的倾角的2倍，求此直线方程。
x 3 解：将已知直线化为y ，设其倾角为， 2 2 1 则 tan 。所求直线的倾角为 ，故其斜率为 2 2 2 tan 4 tan 2 ， 2 1 tan 3 4 由点斜式方程得所求直线方程为 y (3) ( x 2) 3
2 2 2
l
参数方程：
一般方程：
x x0 r cos y y0 r sin
.
r
( x0 , y0 )
x 2 y 2 Dx Ey F 0
性质：圆上一点的切线 垂直于过该点的半径。
圆上点( x, y )的切线斜率
1 x x0 k 。 tan y y0
2 f
图形是一条抛物线.
a0 4ac b 0
2
y
b 4ac b 顶点的坐标：( , ) 2a 4a
在几何上，向量加法满 足三角形法则和
平行四边形法则。
a
b
ab
a
b
ab b a
向量加法满足三角不等式：
ab a b.
2、向量的数乘法 设是实数，a (a1 , a2 )，则与a的数乘积定义为 a (a1 , a2 ); a ( 0) 由定义可知 a a 。 a
A( x1 , y1 )
AB ( x2 x1 , y2 y1 ) { x2 x1 , y2 y1}
3、向量的模：向量的大小，记为 AB 或 a
4、若向量a (a1 , a2 )与向量b (b1 , b2 )对应的坐 标相等,即a1 b1 , a2 b2，则称这两个向量相
1
2
c 6、离心率：e , 满足 e 1。 a 7、性质：点M ( x, y )在双曲线上的充要条件 是
MF1 MF2 e M到l1的距离 M到l2的距离
y x 2 1 2 a b
2 2
F1
. .
x b tan
F2
y a sec
§10.6 抛物线
1、定义 F一定点，l是定直线，称集合 { M MF M到直线 l的距离}为抛物线。 p 2、标准方程：设定点为F ( ,0)，则 2 y 2 y 2 px ( p 0) M p 4、准线方程：l1：x ； 2 . F o x MF 1 5、离心率：e M到l的距离 l
1
2
a2 a2 4、准线方程：l1：x ；l2：x c c c 5、离心率：e , 满足0 e 1 a
6、性质：点M ( x, y )在椭圆上的充要条件是
MF1 M到l1的距离
x y 2 1 2 b a
2 2

MF2 M到l 2的距离
e
M
F1
.
F2
.
.
x b cos
2
[0, )
l

x
3、斜率
若为直线l的倾角， 则称k tan 为直线l的
斜率。
2 或无穷大 若为直线l的倾角，则(cos , sin )是直
时， ，此时称直线的斜率不存在 tan

线l的一个 单位方向向量。
二、直线的方程 建立一条直线的方程需要两个条件，依照所给 的不同条件，可得到不同形式的方程。 1、已知直线l上一点P0 ( x0 , y0 )及方向向量a (a1 , a2 ) 可得 P0 P ta (1)参数式方程 y a . P 向量形式：OP OP0 ta P0 x x0 ta1
若a (a1 , a2 )，则 a
2 2 a1 a2
等，记为a b
4、单位向量和零向量：
模为1的向量称为单位向量； 模为0的向量称为零向量，记为0。
0 (0,0)
零向量的方向不定。
二、向量的加法与数乘 1、向量的加法 设向量a (a1 , a2 ), b (b1 , b2 ), 则定义其和为 a b (a1 b1 , a2 b2 )
l2
F.
2
l1
l2
y a sin
F1
.
l1
§10.5 双曲线
1、定义 F1，F2是两个定点F1 F2 2a 0, 称集合 { M MF1 MF2 2a}为双曲线。 2、标准方程：设两定点 F1 (c,0)，F2 (c,0), 则 为 L1 x2 y2 2 1 2 a b 其中b 2 c 2 a 2 , a 0, b 0。 . . F F x a sec 3、参数方程： y b tan l1 l2 L2 2 2 a a 4、准线方程：l1：x ；l2：x c c b b 5、渐近线：L1：y x，L2：y x a a
即
4 x 3 y 17 0.
例10.2.3 过原点（0， 0）且与直线3 x 4 y 6 0
垂直的直线 的方程是[
(C) 4 x 3 y 0；
( A) 4 x 3 y 6 0； ( B) 4 x 3 y 6 0；
C ]。
( D) 4 x 3 y 0；
1
2、相交 两直线不平行，则必定相交，并且有唯一交点。
l1，l2相交 A1 B2 A2 B1 0
A2 x B2 y C 2 0 即得交点的坐标P ( x0 , y0 )
解方程组
A1 x B1 y C1 0
P

l2 l1
两直线的夹角：0

2
3、垂直
两直线垂直即其夹角 2 l1 l2 a1 a2 A1 A2 B1 B2 0

若两直线存在斜率k1 , k2，则k1 k2 1；
若k1 0，则k2 ，反之亦然。 P ( x , y ) . 0 0 点到直线的距离 d 设l：Ax By C 0，P ( x0 , y0 ) D 为直线外一点，则 l
四、有向线段的定比分点
已知直线上两点A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )，对于直线上
的点P，若存在 R，使
AP PB 则称点P为有向线段AB的定比分点，设点P的
坐标为( x , y )，则
x1 x2 y1 y2 x ，y 。 ( 1) 1 1
当 1时，P称为AB的中点，其坐标为
x1 x2 y1 y2 x ，y 。 2 2
§10.2 直线
一、直线的方向向量、倾斜角、斜率 若非零向量a (a1 , a2 )与直线l 1、方向向量：
平行，则称a为直线l的方向向量。
y
2、倾斜角（简称倾角）
若直线l与x轴平行， o 规定倾角 0； 时，直线l垂直于x轴；
l
3、由点向式方程经整理可得
(5) 一般方程：Ax By C 0
b
其中( B, A)为直线的一个方向向量 。
而向量( A, B )与直线垂直，称为直线的法向量。
例10.2.1 已知直线过两点A(4,1), B(4,3), 求其单位
方向向量，倾角及直线 的方程。
解：直线的方向向量为 (0,4)，故 a 4 a a a (0,1)； （也可取 a (0,1)） a 1 因为 tan 不存在，故倾角 ； 0 2 由点向式方程a2 ( x x0 ) a1 ( y y 0 )得