平面解析几何专题突破习题 顾效禹
2023年高考备考三年 平面解析几何(解答题)(含答案)
三年专题08 平面解析几何〔解答题〕1．（2023年全国甲卷）设抛物线的焦点为F ，点，过F 的直线交C :y 2=2px (p >0)D (p ,0)C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，． |MF |=3(1)求C 的方程；(2)设直线与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线的倾斜角分别为．当MD ,ND MN ,AB α,βα取得最大值时，求直线AB 的方程． ‒β（答案）(1)； y 2=4x (2). AB :x =2y +4（解析） （分析）〔1〕由抛物线的定义可得，即可得解；|MF |=p +p2〔2〕设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差MN :x =my +1k MN =2k AB 角的正切公式及根本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.k AB =22AB :x =2y +n (1)抛物线的准线为，当与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， x =‒p2MD 此时，所以， |MF |=p +p2=3p =2所以抛物线C 的方程为； y 2=4x (2)设，直线，M (y 214,y 1),N (y 224,y 2),A (y 234,y 3),B (y 244,y 4)MN :x =my +1由可得，， {x =my +1y 2=4xy 2‒4my ‒4=0Δ>0,y 1y 2=‒4由斜率公式可得，， k MN =y 1‒y 2y 214‒y 224=4y 1+y 2k AB =y 3‒y 4y 234‒y 244=4y3+y 4直线，代入抛物线方程可得，MD :x =x 1‒2y 1⋅y +2y 2‒4(x 1‒2)y 1⋅y ‒8=0，所以，同理可得， Δ>0,y 1y 3=‒8y 3=2y 2y 4=2y 1所以k AB =4y 3+y 4=42(y 1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为， α,β所以， k AB =tan β=k MN 2=tan α2假设要使最大，则，α‒ββ∈(0,π2)设，则，k MN =2k AB =2k >0tan(α‒β)=tan α‒tan β1+tan αtan β=k 1+2k 2=11k +2k ≤121k⋅2k =24当且仅当即时，等号成立，1k =2k k =22所以当最大时，，设直线，α‒βk AB =22AB :x =2y +n 代入抛物线方程可得， y 2‒42y ‒4n =0，所以， Δ>0,y 3y 4=‒4n =4y 1y 2=‒16n =4所以直线. AB :x =2y +4（点睛）关键点点睛：解决此题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.2．（2023年全国乙卷）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 两点． (0,‒2),B (32,‒1)(1)求E 的方程；(2)设过点的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点P (1,‒2)T ，点H 满足．证明：直线HN 过定点． MT =TH （答案）(1) y 24+x 23=1(2) (0,‒2)（解析） （分析）〔1〕将给定点代入设出的方程求解即可；〔2〕设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况商量斜率是否存在，即可得解. (1)解：设椭圆E 的方程为，过， m x 2+n y 2=1A (0,‒2),B (32,‒1)则，解得，， {4n =194m +n =1m =13n =14所以椭圆E 的方程为：. y 24+x 23=1(2)，所以，A (0,‒2),B (32,‒1)AB :y +2=23x ①假设过点的直线斜率不存在，直线.代入， P (1,‒2)x =1x 23+y 24=1可得，，代入AB 方程，可得M (1,263)N (1,‒263)y =23x ‒2，由得到.求得HN 方程：T (6+3,263)MT =TH H (26+5,263)，过点. y =(2‒263)x ‒2(0,‒2)②假设过点的直线斜率存在，设.P (1,‒2)kx ‒y ‒(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)联立得， {kx ‒y ‒(k +2)=0x 23+y 24=1,(3k 2+4)x 2‒6k (2+k )x +3k (k +4)=0可得，，{x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4{y 1+y 2=‒8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k ‒2k 2)3k 2+4且 x 1y 2+x 2y 1=‒24k3k 2+4(∗)联立可得{y =y 1y =23x ‒2,T (3y 12+3,y 1),H (3y 1+6‒x 1,y 1).可求得此时，HN :y ‒y 2=y 1‒y 23y1+6‒x 1‒x 2(x ‒x 2)将，代入整理得， (0,‒2)2(x 1+x 2)‒6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1‒3y 1y 2‒12=0将代入，得 (∗)24k +12k 2+96+48k ‒24k ‒48‒48k +24k 2‒36k 2‒48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点 (0,‒2).（点睛）求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特别入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 3．（2023年新高考1卷）已知点在双曲线上，直线l 交C 于A (2,1)C :x 2a 2‒y 2a 2‒1=1(a >1)P ，Q 两点，直线的斜率之和为0． AP ,AQ (1)求l 的斜率；(2)假设，求的面积． tan ∠PAQ =22△PAQ （答案）(1)； ‒1(2)． 1629（解析） （分析）〔1〕由点在双曲线上可求出，易知直线l 的斜率存在，设，A (2,1)a l :y =kx +m P (x 1,y 1),Q，再依据，即可解出l 的斜率；(x 2,y 2)k AP +k BP =0〔2〕依据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再依据AP ,AQ AP ,AQ tan ∠PAQ =2即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即2AP ,AQ AP ,AQ P ,Q 可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可PQ PQ A PQ 得出的面积． △PAQ (1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线A (2,1)C :x 2a2‒y 2a 2‒1=1(a >1)4a2‒1a 2‒1=1a 2=2 C :x 22‒y 2=1易知直线l 的斜率存在，设，， l :y =kx +m P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)联立可得，，{y =kx +mx 22‒y 2=1(1‒2k 2)x 2‒4mkx ‒2m 2‒2=0所以，，x 1+x 2=‒4mk2k 2‒1,x 1x 2=2m 2+22k 2‒1Δ=16m 2k 2+4(2m 2+2)(2k 2‒1)>0⇒m 2‒1+2．k 2>0所以由可得，，k AP +k BP =0y 2‒1x2‒2+y 1‒1x 1‒2=0即， (x 1‒2)(kx 2+m ‒1)+(x 2‒2)(kx 1+m ‒1)=0即， 2k x 1x 2+(m ‒1‒2k )(x 1+x 2)‒4(m ‒1)=0所以，2k ×2m 2+22k 2‒1+(m ‒1‒2k )(‒4mk2k 2‒1)‒4(m ‒1)=0化简得，，即， 8k 2+4k ‒4+4m (k +1)=0(k +1)(2k ‒1+m )=0所以或，k =‒1m =1‒2k 当时，直线过点，与题意不符，舍去， m =1‒2k l :y =kx +m =k (x ‒2)+1A (2,1)故． k =‒1(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以， PA ,PB α,β(α<β)k AP +k BP =0α+β=π因为，所以，即， tan ∠PAQ =22tan(β‒α)=22tan2α=‒22即，解得，2tan 2α‒tan α‒2=0tan α=2于是，直线，直线， PA :y =2(x ‒2)+1PB :y =‒2(x ‒2)+1联立可得，，{y =2(x ‒2)+1x 22‒y 2=132x 2+2(1‒22)x +10‒42=0因为方程有一个根为，所以，，2x P =10‒423y P =42‒53同理可得，， ． x Q =10+423y Q =‒42‒53所以，， PQ :x +y ‒53=0|PQ |=163点到直线的距离，A PQ d =|2+1‒53|2=223故的面积为． △PAQ 12×163×223=16294．（2023年新高考2卷）已知双曲线的右焦点为，渐近线C :x 2a2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)F (2,0)方程为．y =±3x(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点在C 上，且P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)x 1．过P 且斜率为的直线与过Q 且斜率为的直线交于点M .从下面①>x 2>0,y 1>0‒33②③中选取两个作为条件，证明其它一个成立： ①M 在上；②；③．AB PQ ∥AB |MA |=|MB |注：假设选择不同的组合分别解答，则按第—个解答计分.（答案）(1)x 2‒y23=1(2)见解析 （解析） （分析）〔1〕利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系c a ,b a ,b ,c 求得的值，得到双曲线的方程；a ,b 〔2〕先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k , M (x 0,y 0),由③|AM |=|AB BM |等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方x 0+k y 0=8k 2k 2‒3PM QM 程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率，由②等价转化为，由m =3x 0y 0PQ //AB k y 0=3x 0①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行M AB k y 0=k 2(x 0‒2)证明即可. (1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴F (2,0)c =2y =±3x ba =3b =3ac 2=a 2+，∴，∴． b 2=4a 2=4a =1b =3∴C 的方程为：；x 2‒y23=1(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，PQ AB 假设选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； AB 假设选①③推②，则为线段的中点，假假设直线的斜率不存在，则由双曲线的对称M AB AB 性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知M x F P Q x x 1=x 2不符；总之，直线的斜率存在且不为零.AB 设直线的斜率为,直线方程为,AB k AB y =k (x ‒2)则条件①在上，等价于； M AB y 0=k (x 0‒2)⇔k y 0=k 2(x 0‒2)两渐近线的方程合并为,3x 2‒y 2=0联立消去y 并化简整理得：(k 2‒3)x 2‒4k 2x +4k 2=0设,线段中点为,则,A (x 3,y 3),B (x 3,y 4)N (x N ,y N )x N =x 3+x 42=2k 2k 2‒3,y N =k (x N ‒2)=6kk 2‒3设,M (x 0,y 0)则条件③等价于, |AM |=|BM |(x 0‒x 3)2+(y 0‒y 3)2=(x 0‒x 4)2+(y 0‒y 4)2移项并利用平方差公式整理得：，(x 3‒x 4)[2x 0‒(x 3+x 4)]+(y 3‒y 4)[2y 0‒(y 3+y 4)]=0,即,[2x 0‒(x 3+x 4)]+y 3‒y4x 3‒x 4[2y 0‒(y 3+y 4)]=0x 0‒x N +k (y 0‒y N )=0即；x 0+k y 0=8k 2k 2‒3由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, PM ‒3QM 3∴由, y 1‒y 0=‒3(x 1‒x 0),y 2‒y 0=3(x 2‒x 0)∴, y 1‒y 2=‒3(x 1+x 2‒2x 0)所以直线的斜率,PQ m =y 1‒y 2x1‒x 2=‒3(x 1+x 2‒2x 0)x 1‒x 2直线,即,PM :y =‒3(x ‒x 0)+y 0y =y 0+3x 0‒3x 代入双曲线的方程,即中， 3x 2‒y 2‒3=0(3x +y )(3x ‒y )=3得：, (y 0+3x 0)[23x ‒(y 0+3x 0)]=3解得的横坐标：,P x 1=123(3y 0+3x 0+y 0+3x 0)同理：，x 2=‒123(3y 0‒3x 0+y 0‒3x 0)∴x 1‒x 2=13(3y 0y 20‒3x 2+y 0),x 1+x 2‒2x 0=‒3x 0y 20‒3x 2‒x 0,∴,m =3x 0y 0∴条件②等价于， PQ //AB m =k⇔k y 0=3x 0综上所述：条件①在上，等价于； M AB k y 0=k 2(x 0‒2)条件②等价于； PQ //AB k y 0=3x 0条件③等价于；|AM |=|BM |x 0+k y 0=8k 2k 2‒3选①②推③: 由①②解得：,∴③成立；x 0=2k 2k 2‒3,∴x 0+k y 0=4x 0=8k 2k 2‒3选①③推②： 由①③解得：，，x 0=2k 2k 2‒3k y 0=6k 2k 2‒3∴，∴②成立； k y 0=3x 0选②③推①：由②③解得：，，∴，x 0=2k 2k 2‒3k y 0=6k 2k 2‒3x 0‒2=6k 2‒3∴，∴①成立.k y 0=k 2(x 0‒2)5．（2023年甲卷文科）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：交C 1x =于P ，Q 两点，且．已知点，且与l 相切． OP OQ ⊥()2,0M M A 〔1〕求C ，的方程；M A 〔2〕设是C 上的三个点，直线，均与相切．推断直线与123,,A A A 12A A 13A A M A 23A A M A 的位置关系，并说明理由．（答案）〔1〕抛物线，方程为；〔2〕相切，理由见解析 2:C y x =M A 22(2)1x y -+=（解析） （分析）〔1〕依据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称1x =性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可,P Q OP OQ ⊥p M 1x =得出结论；〔2〕方法一：先考虑斜率不存在，依据对称性，即可得出结论；假设12A A 121323,,A A A A A A 斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再123,,A A A 121223,,A A A A A A 由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距1212,A A A A M 2323,y y y y +⋅1y M 23A A 离，即可得出结论. （详解）〔1〕依题意设抛物线，200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴= 所以抛物线的方程为，C 2y x =与相切，所以半径为，()2,0,M M A 1x =1所以的方程为；M A 22(2)1x y -+=〔2〕方法一]：设 111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 假设斜率不存在，则方程为或， 12A A 12A A 1x =3x =假设方程为，依据对称性不妨设， 12A A 1x =1(1,1)A 则过与圆相切的另一条直线方程为，1A M 1y =此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 3A假设方程为，依据对称性不妨设 12A A 3x =12(3,A A则过与圆相切的直线为， 1A M 13A A 3)y x =-又，131********A A y y k y x x y y -====∴=-+，此时直线关于轴对称，330,(0,0)x A =1323,A A A A x 所以直线与圆相切； 23A A M 假设直线斜率均存在， 121323,,A A A A A A 则， 121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++所以直线方程为， 12A A ()11121y y x x y y -=-+整理得，1212()0x y y y y y -++=同理直线的方程为， 13A A 1313()0x y y y y y -++=直线的方程为， 23A A 2323()0x y y y y y -++=与圆相切，12A AM 1=整理得，22212121(1)230y y y y y -++-=与圆相切，同理 13A A M 22213131(1)230y y y y y -++-=所以为方程的两根，23,y y 222111(1)230y y y y y -++-=，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--到直线的距离为：M 23A A2=，2121111y y +===+所以直线与圆相切；23A A M 综上假设直线与圆相切，则直线与圆相切.1213,A A A A M 23A A M 方法二]（最优解）：设．()()()222111113333322222,,,,,,,,A x y y x A x y y x A x y y x ===当时，同解法1．12x x =当时，直线的方程为，即． 12x x ≠12A A ()211121y y y y x x x x --=--121212y y x y y y y y =+++由直线与，化简得，12A A M A 1=()121212130y y x x x +--+=同理，由直线与相切得．13A A M A ()131312130y y x x x +--+=因为方程同时经过点，所以的直线方程为()1112130y y x x x +--+=23,A A 23A A ，点M 到直线．()1112130y y x x x +--+=23A A 1=所以直线与相切．23A A M A 综上所述，假设直线与相切，则直线与相切． 1213,A A A A M A 23A A M A （整体点评）第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标〔或横坐标〕表示，将问题转化为只与纵坐标〔或横坐标〕有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出1213,A A A A 与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到2323,y y y y +⋅1y 23,y y 1y 的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简23A A ()1112130y y x x x +--+=单，开拓学生思路6．（2023年乙卷文科）已知抛物线的焦点F 到准线的距离为2． 2:2(0)C y px p =>〔1〕求C 的方程;〔2〕已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足，求直线斜率的最大值. 9PQ QF =OQ （答案）〔1〕；〔2〕最大值为.24y x =13（解析） （分析）〔1〕由抛物线焦点与准线的距离即可得解；〔2〕设，由平面向量的知识可得，进而可得，再()00,Q x y ()00109,10P x y -20025910y x +=由斜率公式及根本不等式即可得解. （详解）〔1〕抛物线的焦点，准线方程为，2:2(0)C y px p =>,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭2p x =-由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭所以该抛物线的方程为；24y x =〔2〕方法一]：轨迹方程+根本不等式法设，则， ()00,Q x y ()00999,9PQ QF x y ==--所以， ()00109,10P x y -由在抛物线上可得，即，P ()()200104109y x =-20025910y x +=据此整理可得点的轨迹方程为， Q 229525=-y x 所以直线的斜率， OQ 000220001025925910OQ y y y k y x y ===++当时，； 00y =0OQ k =当时，， 00y ≠0010925OQ ky y =+当时，因为， 00y >0092530y y +≥=此时，当且仅当，即时，等号成立；103OQ k <≤00925y y =035y =当时，；00y <0OQ k <综上，直线的斜率的最大值为.OQ 13方法二]：（最优解）轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为． 229525=-y x 设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k 取到最OQ y kx =OQ 229525=-y x 值．联立得，其判别式，解得2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩22290525k x x -+=222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，所以直线斜率的最大值为．13k =±OQ 13方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q 的轨迹方程为． 229525=-y x 设直线的斜率为k ，则． OQ 22229525⎛⎫==- ⎪⎝⎭y k x x x 令，则的对称轴为，所以．故11009⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭t t x 2292255=-+k t t 59t =21110,933≤≤-≤≤k k直线斜率的最大值为．OQ 13方法四]：参数+根本不等式法由题可设．()24,4(0),(,)>P t t t Q x y 因为，所以．(1,0),9= F PQ QF ()24,49(1,)--=--x t y t x y 于是，所以 249(1)49x t x y t y ⎧-=-⎨-=-⎩21049104x t y t⎧=+⎨=⎩则直线的斜率为．OQ 244194934==≤=++y t x t t t 当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．94t t =32t =OQ 13（整体点评）方法一依据向量关系，利用代点法求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率关于的表达y 式，然后利用分类商量，结合根本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q 的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ 的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q 的轨迹方程，得到直线的斜率k 的平方关于的表达式，利用OQ x 换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；OQ 方法四利用参数法，由题可设，求得x,y 关于的参数表达式，得()24,4(0),(,)>P t t t Q x y t 到直线的斜率关于的表达式，结合使用根本不等式，求得直线斜率的最大值.OQ t OQ 7．（2023年乙卷理科）已知抛物线的焦点为，且与圆()2:20C x py p =>F F 上点的距离的最小值为．22:(4)1M x y ++=4〔1〕求；p 〔2〕假设点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． P M ,PA PB C ,A B PAB △（答案）〔1〕；〔2〕 2p =（解析） （分析）〔1〕依据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；p p 〔2〕设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y PA PB 直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的AB AB AB P AB 距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的根本性质可求得面积的最大值. PAB △（详解）〔1〕方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，，设圆M 上的点，则． 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()00,N x y ()22041++=x y 所以． ()()22001453=-+-≤≤-x y y 从而有||==FN=因为，所以当时，． 053y -≤≤-03y =-min ||4==FN 又，解之得，因此．0p >2p =2p =方法二]（最优解）：利用圆的几何意义求最小值抛物线的焦点为，，C 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭42pFM =+所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； F 22:(4)1M x y ++=4142p+-=2p =〔2〕方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线的方程为，即，对该函数求导得，C 24x y =24x y ==2xy '设点、、， ()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 直线的方程为，即，即， PA ()1112x y y x x -=-112x xy y =-11220x x y y --=同理可知，直线的方程为，PB 22220x x y y --=由于点为这两条直线的公共点，则，P 10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩所以，点A 、的坐标满足方程， B 00220x x y y --=所以，直线的方程为， AB 00220x x y y --=联立，可得， 0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩20240x xx y -+=由韦达定理可得，，1202x x x +=1204x x y =，=点到直线的距离为P AB d所以，， ()3220011422PABS AB d x y =⋅=-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值053y -≤≤-05y =-PAB △321202⨯=方法二]（最优解）：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到．1201202,4+==x x x x x y 过P 作y 轴的平行线交于Q ，则．AB 2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ． ()32221200001111||242222⎛⎫=⋅-=-=- ⎪⎝⎭A PABS PQ x x x y x y P 点在圆M 上，则00cos ,4sin ,x y αα=⎧⎨=-+⎩． ()()333222222001114cos 4sin 16(sin 2)21222ααα⎡⎤=-=-+=-++⎣⎦A PABS x y 故当时的面积最大，最大值为 sin 1α=-PAB △方法三]：直接设直线AB 方程法设切点A ，B 的坐标分别为，．211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭设，联立和抛物线C 的方程得整理得． :AB l y kx b =+AB l 2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩2440x kx b --=判别式，即，且． 2Δ16160=+>k b 20k b +>12124,4x x k x x b +==-抛物线C 的方程为，即，有． 24x y =24x y =2x y '=则，整理得，同理可得． ()2111:42-=-PA x x l y x x 21124x x y x =⋅-222:24=⋅-PB x x l y x 联立方程可得点P 的坐标为，即． 211222,24,24x x y x x x y x ⎧=⋅-⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,)P k b -将点P的坐标代入圆M 的方程，得，整理得． 22(2)(4)1+-+=k b 221(4)4b k --=由弦长公式得．||=AB=点P 到直线的距离为AB d所以21||22==+==A PABS AB d b=其中，即． [5,3]=-∈--P y b [3,5]∈b当时， 5b =()max =A PAB S （整体点评）〔1〕方法一利用两点间距离公式求得关于圆M 上的点的坐标的表达式，进FN ()00,N x y 一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法0y p 二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优F 22:(4)1M x y ++=解；〔2〕方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由AB 00220x x y y --=韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于1202x x x +=1204x x y =AB 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，()00,P x y 0y 同方法一得到，，过P 作y 轴的平行线交于Q ，则1202x x x +=1204x x y =AB 2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求121||2PAB S PQ x x =⋅-A ()00,P x y 得面积最大值，方法灵敏，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立:AB l y kx b =+直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利AB 20k b +>12124,4x x k x x b +==-用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P 的坐P M ,k b 标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利(2,)P k b -b 用二次函数的性质求得最大值；8．（2023年新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点、xOy ()1F，点的轨迹为.)2122F MF MF -=，M C 〔1〕求的方程； C 〔2〕设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且T 12x =T C A B P Q ，求直线的斜率与直线的斜率之和.TA TB TP TQ ⋅=⋅AB PQ （答案）〔1〕；〔2〕.()221116y x x -=≥0（解析）（分析）(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的C 1F 2F a b 值，即可得出轨迹的方程；C (2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值. 12k k +（详解）(1) 因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，C 1F 2F 设轨迹的方程为，则，可得，，C ()222210,0x y a b a b -=>>22a =1a =4b ==所以，轨迹的方程为.C ()221116y x x -=≥〔2〕方法一（最优解）：直线方程与双曲线方程联立 如下图，设,1(,)2T n 设直线的方程为．AB 112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-联立, 1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩化简得.22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=则． 22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--故．12,11||)||22TA x TB x =-=-则．222111221(12)(1)11||||(1)(2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-设的方程为，同理． PQ 21()2y n k x -=-22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-因为，所以，TA TB TP TQ ⋅=⋅22122212111616k k k k ++=--化简得，22121717111616k k +=+--所以，即．22121616k k -=-2212k k =因为，所以． 11k k ≠120k k +=方法二：参数方程法设．设直线的倾斜角为， 1(,)2T m AB 1θ则其参数方程为， 111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩联立直线方程与曲线C 的方程，2216160(1)x y x --≥=可得，222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+整理得．22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=设，12,TA t TB t ==由根与系数的关系得．2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅设直线的倾斜角为，，PQ 2θ34,TP t TQ t ==同理可得 2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅由，得．||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅2212cos cos θθ=因为，所以．12θθ≠12s o o s c c θθ=-由题意分析知．所以， 12θθπ+=12tan tan 0θθ+=故直线的斜率与直线的斜率之和为0． AB PQ 方法三]：利用圆幂定理因为，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆． TA TB TP TQ ⋅=⋅设,直线的方程为，1(,)2T t AB 11(2y t k x -=-直线的方程为,PQ 21()2y t k x -=-则二次曲线． 1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=又由，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：22116y x -=，221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠整理可得： ， []2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=其中．21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即. 120k k +=（整体点评）(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它表达了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵敏的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.9．（2023年新高考2卷）已知椭圆C 的方程为，右焦点为，22221(0)x y a b a b+=>>F． 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线与曲线相切．证明：M ，MN 222(0)x y b x +=>N ，F 三点共线的充要条件是． ||MN =（答案）〔1〕；〔2〕证明见解析.2213x y +=（解析） （分析）〔1〕由离心率公式可得，即可得解；a =2b 〔2〕必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方():,0MN y kx b kb =+<221b k =+，即可得解. =1k =±（详解）〔1〕由题意，椭圆半焦距c =c e a =a =又，所以椭圆方程为；2221b a c =-=2213x y +=〔2〕由〔1〕得，曲线为，221(0)x y x +=>当直线的斜率不存在时，直线，不合题意； MN :1MN x =当直线的斜率存在时，设， MN ()()1122,,,M x y N x y 必要性：假设M ，N ，F 三点共线，可设直线即， (:MN y k x =0kx y -=由直线与曲线，解得，MN 221(0)x y x +=>11k =±联立可得，所以，(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩2430x -+=121234x x x x +=⋅=,=所以必要性成立；充分性：设直线即， ():,0MN y kx b kb =+<0kx y b -+=由直线与曲线，所以，MN 221(0)x y x +=>1=221b k =+联立可得， 2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k xkbx b +++-=所以， 2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++==化简得，所以，()22310k -=1k =±所以，1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =y x =-+所以直线过点，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； MN F 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是 ||MN =（点睛）关键点点睛：解决此题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的精确性是解题的重中之重.10．（2023年新课标1卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：〔a >1〕的左、右顶2221x y a+=点，G 为E 的上顶点，，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 8AG GB ⋅=与E 的另一交点为D ． 〔1〕求E 的方程；〔2〕证明：直线CD 过定点.（答案）〔1〕；〔2〕证明详见解析.2219x y +=（解析） （分析）〔1〕由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即(),0A a -(),0B a ()0,1G 21AG GB a ⋅=- 可求得：，问题得解.29a =〔2〕方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与()06,P y AP ()039y y x =+AP 椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为C 20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭D ，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭203y ≠CD CD 即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭203y =CD 32x =，命题得证. 3,02⎛⎫⎪⎝⎭（详解）〔1〕依据题意作出如下列图象：由椭圆方程可得：， ，222:1(1)x E y a a+=>(),0A a -(),0B a ()0,1G ， ∴(),1AG a = (),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=∴29a =椭圆方程为：∴2219x y +=〔2〕方法一]：设而求点法 证明：设， ()06,P y 则直线的方程为：，即：AP ()()00363y y x -=+--()039y y x =+联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：AP ()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：或()2222000969810y x y x y +++-=3x =-20203279y x y -+=+将代入直线可得： 20203279y x y -+=+()039y y x =+02069y y y =+所以点的坐标为. C 20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理可得：点的坐标为 D 2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当时，203y ≠直线的方程为：， ∴CD 0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++整理可得： ()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线过定点．CD 3,02⎛⎫⎪⎝⎭当时，直线：，直线过点． 203y =CD 32x =3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭故直线CD 过定点．3,02⎛⎫⎪⎝⎭方法二]（最优解）：数形结合设，则直线的方程为，即． (6,)P t PA (3)9t y x =+930-+=tx y t 同理，可求直线的方程为．PB 330--=tx y t 则经过直线和直线的方程可写为． PA PB (93)(33)0-+--=tx y t tx y t 可化为．④()22292712180-+-+=txy txy ty 易知A ，B ，C ，D 四个点满足上述方程，同时A ，B ，C ，D 又在椭圆上，则有，代入④式可得．2299x y -=-()2227912180--+=t y txy ty 故，可得或． ()227912180⎡⎤--+=⎣⎦y t y tx t 0y =()227912180--+=t y tx t 其中表示直线，则表示直线．0y =AB ()227912180--+=t y tx t CD 令，得，即直线恒过点． 0y =32x =CD 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭（整体点评）此题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的表达了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.11．（2023年新课标2卷理科）已知椭圆C 1：(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 222221x y a b+=的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=|AB |.43〔1〕求C 1的离心率；〔2〕设M 是C 1与C 2的公共点，假设|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.（答案）〔1〕；〔2〕，.12221:13627x y C +=22:12C y x =（解析） （分析）〔1〕求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的AB CD 43CD AB =a c 1C 离心率的值；〔2〕方法四]由〔1〕可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点1C 2222143x y c c+=1C 2C的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.M 5MF =c 1C 2C （详解）〔1〕，轴且与椭圆相交于、两点， (),0F c AB x ⊥1C A B 则直线的方程为，AB x c =联立，解得，则， 22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩22b AB a =抛物线的方程为，联立， 2C 24y cx =24x cy cx=⎧⎨=⎩解得，，2x c y c =⎧⎨=±⎩4CD c ∴=，即，，43CD AB = 2843b c a=223b ac =即，即，222320c ac a +-=22320e e +-=，解得，因此，椭圆的离心率为；01e <<Q 12e =1C 12〔2〕方法一]：椭圆的第二定义由椭圆的第二定义知，则有，20||=-MF e a x c200||⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭a MF e x a ex c 所以，即． 0152-=a x 0210=-x a 又由，得． 0||5=+=MF x c 052=-a x 从而，解得． 21052-=-aa 6a =所以．3,6,6====c a b p故椭圆与抛物线的标准方程分别是．1C 2C 2221,123627+==x yy x 方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式以为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (c,0)F 由〔Ⅰ〕知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由2a c =2||1cos θ=-cMF 255cos θ=-c ，得，两式联立解得． 132||11cos 2θ⨯=+c MF 3105cos θ=+c 3c =故的标准方程为，的标准方程为．1C 2213627x y+=2C 212y x =方法三]：参数方程由〔1〕知，椭圆的方程为，2,a c b ==1C 2222143x yc c+=所以的参数方程为〔为参数〕，1C {x =2c ⋅cos θ,y =3c ⋅sin θθ将它代入抛物线的方程并化简得，22:4C y cx =23cos 8cos 30θθ+-=解得或〔舍去〕，1cos3θ=cos 3θ=-所以M 的坐标为．sin θ=23⎛ ⎝c 又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得． ||5MF =5+=M x c 253+=cc 3c =故的标准方程为，的标准方程为．1C 2213627x y+=2C 212y x =方法四]（最优解）：利用韦达定理由〔1〕知，，椭圆的方程为，2a c =b =1C 2222143x yc c+=联立，消去并整理得， 222224143y cxx y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩y 22316120x cx c +-=解得或〔舍去〕，23x c =6x c =-由抛物线的定义可得，解得. 25533cMF c c =+==3c =因此，曲线的标准方程为，1C 2213627x y+=曲线的标准方程为.2C 212y x =（整体点评）(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分表达了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以到达设而不求的效果.12．（2023年新课标2卷文科）已知椭圆C 1：(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 222221x y a b+=的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=|AB |．43〔1〕求C 1的离心率；〔2〕假设C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．（答案）〔1〕；〔2〕：，： .121C 2211612x y+=2C 28y x =（解析） （分析）〔1〕依据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第—象限，运用2C ,A C 代入法求出点的纵坐标，依据，结合椭圆离心率的公式进行求解即,,,A B C D 4||||3CD AB =可；〔2〕由〔1〕可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； （详解）解：〔1〕因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中1C (c,0)F 2C 24y cx =c =不妨设在第—象限，因为椭圆的方程为：， ,A C 1C 22221x y a b +=所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；x c =222221c y b y a b a +=⇒=±,A B 2b a 2ba-又因为抛物线的方程为，所以当时，有，2C 24y cx =x c =242y c c y c =⋅⇒=±所以的纵坐标分别为，，故，.,C D 2c 2c -22||bAB a=||4CD c =由得，即，解得〔舍去〕，.4||||3CD AB =2843b c a=2322()c c aa ⋅=-2c a =-12c a =所以的离心率为.1C 12〔2〕由〔1〕知，，故，所以的四个顶点坐标分别为2a c =b =22122:143x y C c c+=1C ，，，，的准线为.(2,0)c (2,0)c -)(0,)2C x c =-由已知得，即. 312c c c c +++=2c =所以的标准方程为，的标准方程为. 1C 2211612x y +=2C 28y x =（点睛）此题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.13．（2023年新课标3卷理科）已知椭圆，分222:1(05)25x y C m m +=<<A B 别为的左、右顶点． C 〔1〕求的方程；C 〔2〕假设点在上，点在直线上，且，，求的面积． P C Q 6x =||||BP BQ =BP BQ ⊥APQ A （答案）〔1〕；〔2〕.221612525x y +=52（解析） （分析） 〔1〕因为，可得，，依据离心率公式，结合已知，即可222:1(05)25x y C m m +=<<5a =b m =求得答案；〔2〕方法一：过点作轴垂线，垂足为，设与轴交点为，可得P x M 6x =x N ，可求得点坐标，从而求出直线的直线方程，依据点到直线距离公PMB BNQ ≅△△P AQ 式和两点距离公式，即可求得的面积. APQ A （详解）〔1〕，，222:1(05)25x y C m m+=<<∴5a =b m =依据离心率或(舍)， c e a ===54m =54m =-的方程为：，即．∴C 22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=221612525x y +=〔2〕（方法一）：通性通法不妨设,在x 轴上方，过点作轴垂线，垂足为，设直线与轴交点为 P Q P x M 6x =x N 依据题意画出图形，如图，， ，||||BP BQ =BP BQ ⊥90PMB QNB ∠=∠=︒又， ，90PBM QBN ∠+∠=︒90BQN QBN ∠+∠=︒，依据三角形全等条件“〞，可得：， ∴PBM BQN ∠=∠AAS PMB BNQ ≅△△，，，221612525x y +=∴(5,0)B ∴651PM BN ==-=设点为，可得点纵坐标为，将其代入， P (,)P P x y P 1P y =221612525x y +=可得：，解得：或，点为或，21612525P x +=3P x =3P x =-∴P (3,1)(3,1)-①当点为时，故，P (3,1)532MB =-=，，可得：点为，PMB BNQ ≅△△∴||||2MB NQ ==Q (6,2)画出图象，如图, ，可求得直线的直线方程为：，(5,0)A -(6,2)Q AQ 211100x y -+=依据点到直线距离公式可得到直线的距离为 P AQ d，面积为：=∴APQ A； 1522⨯=②当点为时，故，，，可得：P (3,1)-5+38MB == PMB BNQ ≅△△∴||||8MB NQ ==Q 点为，画出图象，如图(6,8), ，可求得直线的直线方程为：，(5,0)A -(6,8)Q AQ 811400x y -+=依据点到直线距离公式可得到直线的距离为， P AQ d=面积为：，综上所述，面积为：. ∴APQ A 1522=APQ A 52（方法二）（最优解）：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作轴，垂足为E ．设，由题知，PE x ⊥(6,0)D ．PEB BDQ A A ≌故， 131p BP PE PEPE x QB BD ==⇒=⇒=±①因为，如图，所以，． (3,1),(5,0),(6,2)P A Q -52APQ AQD PEDQ PEA S S S S =--=A A A②因为，如图，所以． (3,1),(5,0),(6,8)P A Q --52APQ AQD PEDQPEA S S S S =--=A A A综上有 52APQ S =△（方法三）：由已知可得，直线的斜率肯定存在，设直线的方程为，由对()5,0B ,BP BQ BP ()5y k x =-称性可设，联立方程消去y 得0k <22(5),161,2525y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()22221161601625250k x k x k +-+⨯-=，由韦达定理得，所以，221625255116P k x k ⨯-=+22805116P k x k -=+将其代入直线的方程得，所以， BP 210116P ky k -=+22280510,116116k k P kk ⎛⎫--⎪++⎝⎭则 ||BP ==因为，则直线的方程为，BP BQ ⊥BQ 1(5)y xk=--则 16,,||Q BQ k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭因为，， ||||BP BQ ==422566810k k -+=即，故或，即或．()()22641410k k --=2164k=214k =18k =-12k =-当时，点P ，Q 的坐标分别为18k =-(3,1),(6,8),||P Q PQ -=直线的方程为，点A 到直线 PQ 71093y x =+PQ故的面积为．APQ A 1522=当时，点P ，Q 的坐标分别为12k =-(3,1),(6,2),||P Q PQ =直线的方程为，点到直线PQ 13y x =(5,0)A -PQ故的面积为．APQ A 1522=综上所述，的面积为．APQ A 52（方法四）：由〔1〕知椭圆的方程为，．221612525x y +=(5,0),(5,0)A B -不妨设在x 轴上方，如图．()00,P x y设直线．:(5)(0)AP y k x k =+>因为，所以．||||,BP BQ BP BQ =⊥00||1,||5Q y BN y BM x ====-由点P 在椭圆上得，所以．201612525x +=209x =由点P 在直线上得，所以．所以，化简得AP ()015k x =+015k x k -=2159k k -⎛⎫= ⎪⎝⎭．216101k k =-所以，即． 0110155516k x k k k -⎛⎫-=--== ⎪⎝⎭(6,16)Q k所以，点Q 到直线的距离AP d==又 )0||5AP x ==+=。
苏教版数学高一-必修2第2章《平面解析几何》章末检测(B)
第2章平面解析几何初步（B）(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共70分)1．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值为________．2．下列说法正确的是________(填序号)．①经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；②经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示；④经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x －x1)·(y2－y1)表示．3．过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，且MP＝MQ，则l的方程是____________．4．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该点的坐标为__________．5．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不过第________象限．6．原点O在直线l上的射影为点H(－2,1)，则直线l的方程为________．7．经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是________．8．设直线2x－y－3＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段，则这两段之比为__________．9．若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值为__________．10．点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________．11．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为____________．12．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个公共点，则b的取值范围是__________．13．两圆x2＋y2＋4y＝0，x2＋y2＋2(a－1)x＋2y＋a2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为________．14．已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过点P的最短弦所在直线方程是________，过点P的最长弦所在直线方程是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使EC最小．16．(14分)如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．17．(14分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．18．(16分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．19．(16分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y －6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．20．(16分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值的点P的坐标．第2章 平面解析几何初步(B) 答案1．－3 2．④3．x ＋2y －4＝0解析 由题意可知M 为线段PQ 的中点，Q(0,2)，P(4，0)，可求得直线l 的方程x ＋2y －4＝0．4．(－2,1)解析 将原直线化为点斜式方程为y －1＝m(x ＋2)，可知不论m 取何值直线必过定点(－2,1)．5．三解析 将原直线方程化为斜截式为y ＝－A B x －C B，由AC<0且BC<0，可知AB>0，直线斜率为负，截距为正，故不过第三象限．6．2x －y ＋5＝0解析 所求直线应过点(－2,1)且斜率为2，故可求直线为2x －y ＋5＝0．7．2x ＋5y ＝0或x ＋y ＋3＝0解析 不能忽略直线过原点的情况．8．73或37解析 由题意知P(0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2，∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．9．30－10 5解析 配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为30－105．10．(－1，－2,3)11．x －y ＋2＝0解析 l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2，2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x－y＋2＝0．12．－1<b≤1或b＝－ 2解析如图，由数形结合知．－1<b≤1或b＝－2．13．－2解析两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a＝－2．14．x＋y－3＝0x－y－3＝0解析点P为弦的中点，即圆心和点P的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．15．解如图所示，以三棱原点，以OA、OB、OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz．由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0)，A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2)．由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，设E点坐标为(0,2，z)，∴EC＝(0－1)2＋(2－0)2＋(z－1)2＝(z－1)2＋5．故当z＝1时，EC取得最小值为5．此时E(0,2,1)为线段BB ′的中点．16．解 设B(x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22， 由条件可得：⎩⎨⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝6y 0＝4，即B(6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0． 17．解 ∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A(3，5)，B(－1,3)，C(－3,1)， ∴O(1,4)，M(－2,2)，N(0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0(－2)2＋22－2D ＋2E ＋F ＝002＋32＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 18．(1)证明 方法一 设圆心C(3,4)到动直线l 的距离为d ，则d ＝|(m ＋3)·3－(m ＋2)·4＋m|(m ＋3)2＋(m ＋2)2＝12⎝⎛⎭⎫m ＋522＋12≤2． ∴当m ＝－52时，d max ＝2<3(半径)．故动直线l 总与圆C 相交．方法二 直线l 变形为m(x －y ＋1)＋(3x －2y)＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.如图所示，故动直线l 恒过定点A(2,3)．而AC ＝(2－3)2＋(3－4)2＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小． ∴最小值为232－(2)2＝27．19．解 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T(－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又AM ＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22， ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．20．解 (1)将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2， 即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6．∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a|2＝2， 即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1．∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．(2)∵PO ＝PM ，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当PM 取最小值时，即OP 取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧ x ＝－310，y ＝35，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．。
专题08 平面解析几何(解答题)学生版 高考数学(文科)艺术生百日冲刺复习
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．8．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r．11．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .12．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心||AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．13．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．15．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u ru u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .17．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.18．【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上， （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．19．【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．20．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为2，椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为 （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.21．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求||||PA PQ ⋅的最大值．22．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．。
高考数学平面解析几何专项训练(100题-含答案)
高考数学平面解析几何专项训练（100题-含答案）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点12(1,0),(1,0)F F -，点M 满足12MF MF +=记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点T 在直线2x =上，过T 的两条直线分别交C 于,A B 两点和,P Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】(1)2212x y +=(2)0【解析】【分析】（1）根据122MF MF +=，利用椭圆的定义求解；（2）设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立，利用参数的几何意义求解.(1)解：因为122MF MF +=，所以点M 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆，则21,1a c b ===，所以椭圆的方程是2212x y +=；(2)设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立()()2222cos 2sin 4cos 4sin 420t m t m θθθθ+++++=，由参数的几何意义知：12,TA t TB t ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m t t θθθ++⋅=-=-+-，设直线PQ 的参数方程为：()2cos ,sin x y m λαλλα=+⎧⎨=+⎩为参数,则12,TP TQ λλ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m λλααα++⋅=-=-+-，由题意得：222242422cos 2cos m m θα++-=---，即22cos cos θα=，因为αθ≠，所以cos cos θα=-，因为0,0θπαπ<<<<，所以θαπ+=，所以直线AB 的斜率tan θ与直线PQ 的斜率tan α之和为0.2．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，点(),N n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =+(2)152522n n n T ++=-【解析】【分析】（1）根据斜率公式可得出()222n S n n n =+≥，可知13S =满足()222n S n n n =+≥，可得出22n S n n =+，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得1212n n n c ++=，利用错位相减法可求得n T .(1)解：由13a =，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上，知1111n S S n n -=-，即()222n S n n n =+≥.当1n =时，113S a ==也符合上式，故22n S n n =+.当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦；13a =也满足上式，故21n a n =+.(2)解：112122n n n n a n c +++==.则2341357212222n n n T ++=++++ ，所以，3412135212122222n n n n n T ++-+=++++ ，上式-下式得1232211113111213214212422224212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎝⎭- 252542n n ++=-，因此，152522n n n T ++=-.3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点(3,1).(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B ，P 三点在椭圆C 上，O 为原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，且1213k k ⋅=-，若OP OA OB λμ=+，证明：221λμ+=.【答案】(1)221124x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可得c a22911a b +=，222c b a +=，解出即可；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，由条件可得012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，12123x x y y =-，然后将01212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩代入椭圆方程可得2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后可得答案.(1)因为ca=22911a b +=，222c b a +=所以可解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程221124x y +=.(2)设()()()112200,,,,,A x y B x y P x yOP OA OB λμ=+ ，012012x x x y y y λμλμ=+⎧∴⎨=+⎩()()222212120011124124x x y y x y λμλμ+++=∴+= 即2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222112211124124x y x y +=+= ，，即22121221124x x y y λμλμ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭又1212121133y y k k x x ⋅=-∴=- ，即12123x x y y =-，221λμ∴+=4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ､B 分别为椭圆C 的右顶点､上顶点，F 为椭圆C的右焦点，椭圆C 的离心率为12，ABF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆C 上的动点（不是顶点），点P 与点M ，N 分别关于原点､y 轴对称，连接MN 与x 轴交于点E ，并延长PE 交椭圆C 于点Q ，则直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为32-【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得到a,b,c 的关系，再结合ABF 的面积可得到()a c b -=，由此解得a,b ，可得答案.（2）设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积，代入化简可得答案.(1)由题意得12c a =，则2a c =，b =.ABF 的面积为()1322a cb -=，则()a c b -将2a c =，b =代入上式，得1c =，则2a =，b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由题意可知直线PQ 的斜率一定存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,M x y --，()11,N x y -，()1,0E x -，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，∴()12122286223434km m y y k x x m k m k k ⎛⎫+=++=-+= ⎪++⎝⎭，∴21212263348434MQmy y k k km x x kk ++===-+-+，112PEPQ y k k k x ===，∵11112222MP PE y yk k k x x ====，∴33242MP MQ k k k k ⋅=-⨯=-∴MP MQ k k ⋅为定值32-.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算方面的能力和综合素养，解答的关键是理清解决问题的思路，并能正确地进行计算.5．已知圆M 过点()1,0，且与直线1x =-相切.(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '.问A B '是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】(1)24y x =(2)()2,0-【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义计算可得；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,A x y '-，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再表示出直线A B '的方程，将12y y +、12y y 代入整理即可得解；(1)解：由题意知动点M 的轨迹C 是以(0,0)O 为顶点，()1,0为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动圆圆心M 的轨迹方程为：24y x =；(2)解：设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y 不妨令21y y >，则()11,A x y '-，联立直线l 与抛物线方程得224x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则124y y t +=、128y y =-，则直线A B '的方程为()()211121y y y y x x x x +--=--，即()()21212121x x y x y y y x y x -+=+-，则()()()()2121212122ty ty y ty y y y x y ty -++=+-+，()()()2121211222t y y y y y x ty y y y -=+--+，即()()21211222y y y x ty y y y =+--+，所以()42824y tx t t ⋅=-⨯--⨯，即()2y t x =+，令200x y +=⎧⎨=⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线A B '恒过定点()2,0-；6．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222104x yb b+=>的左、右焦点，过1F 的直线与C 交于A ，B两点，且22::3:4:5AF AB BF =.(1)求C 的离心率；(2)设M ，N 分别为C 的左、右顶点，点P 在C 上（P 不与M ，N 重合），证明：MPN MAN ∠≤∠.【答案】(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，由勾股定理的逆定理可得290BAF ∠=︒，再根据椭圆的定义可求出m 的值，从而可求出12,AF AF 的值，则可得点A 是椭圆短轴的一个端点，进而可求出离心率，（2）由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠，则可得0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，然后求出tan tan αβ+，tan tan αβ，再利用正切的两角和公式可得02tan()y αβ+=，由正切函数可求出αβ+的最小值，从而可求出()MPN παβ∠=-+的最大值，进而可证得结论(1)由()222104x y b b+=>，得24a =，得2a =，由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，则22222AF AB BF +=，所以290BAF ∠=︒，因为223451248AF AB BF m m m m a ++=++===，所以23m =，所以22AF =，所以122422AF a AF =-=-=，所以12AF F △为等腰直角三角形，所以点A 是椭圆短轴的一个端点，所以b c =，因为222224b c b a +===，得b c =所以椭圆的离心率为2c e a ==(2)由（1）可得椭圆方程为22142x y +=，则(2,0),(2,0)M N -,因为点A是椭圆短轴的一个端点，所以不妨设A ,由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠,则0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，2200142x y +=，所以2200002200001tan tan 22422y y y y x x x y αβ⋅=⋅===+--，00002200000442tan tan 2242y y y y x x x y y αβ+=+===+--，所以0tan tan 4tan()1tan tan y αβαβαβ++==-，所以当0y =tan()αβ+取得最小值由（1）可知290BAF ∠=︒，所以()0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当tan()αβ+取得最小值时，αβ+取得最小值，即点P 与点A 重合时，αβ+取得最小值，此时()MPN παβ∠=-+取得最大，所以MPN MAN∠≤∠7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为，且过点)P(1)求C 的方程：(2)设直线()0y kx m m =+>交y 轴于点M ，交C 于不同两点A ，B ，点N 与M 关于原点对称，BO AN ⊥，Q 为垂足.问：是否存在定点M ，使得·NQ NA 为定值？【答案】(1)221102x y +=(2)存在【解析】【分析】（1）利用待定系数法求方程；（2）联立方程组，结合韦达定理可得直线恒过定点，进而求解.(1)依题意知2a =a =所以C 的方程可化为222110x y b+=，将点)P代入C 得251110b +=，解得22b =，所以椭圆方程为221102x y +=；(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立221102x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()22215105100k x kmx m +++-=，()()()222104155100km k m ∆=-+->，解得22210m k <+，1221015km x x k -+=+，212251015m x x k -=+，注意到Q ，N ，A 三点共线，NQ NA NQ NA ⋅=⋅，又()NQ NA NB BQ NA NB NA ⋅=+⋅=⋅()()()()1212121222x x y m y m x x kx m kx m =+++=+++()()()()222222212122215102012441515k m k mkx xmk x x mm kk+-=++++=-+++()222221510510415k m m m k--+-=++当()2215105510m m --=-，解得1m =±，因为0m >，所以1m =，此时1NQ NA ⋅=-，满足0∆>，故存在定点()0,1M ，使得1NQ NA ⋅=-等于定值1.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>,4a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点是22y x =的抛物线上一点，H 为直线y a =-上任一点，A ，B 分别为椭圆C 的上，下顶点，且A ，B ，H 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线HA ，HB 与椭圆C 的另一交点分别交于点D ，E ，求证：直线DE 过定点.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率求出,a c 的关系式，再由,4a M b ⎛⎫⎪⎝⎭为抛物线22=y x 上的点，结合222a b c =+，即可求出椭圆C 的方程.（2）设点()(),20H m m -≠，求得HA ，HB 的方程，与椭圆联立求得,D E 坐标，写出直线DE 的方程，即可求出DE 恒过的定点.(1)由题意知，222224c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪=⨯⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设点()(),20H m m -≠，易知()0,1A ，()0,1B -，∴直线HA 的方程为31y x m =-+，直线HB 的方程为11y x m=--.联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴22436D m x m =+，223636D m y m -=+，同理可得284E m x m -=+，2244E m y m -=+，∴直线DE 的斜率为21216m k m-=，∴直线DE 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即2121162m y x m -=-，∴直线DE 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.9．已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)E y px p =>上.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线12,l l 都过点12(2,0),,l l 的斜率之积为1-，且12,l l 分别与抛物线E 相交于点A ，C 和点B ，D ，设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，求证：直线MN 恒过定点.【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入求解抛物线方程；（2）设出直线方程，表达出,M N 的坐标，求出直线MN 的斜率，利用直线斜率之积为-1，求出直线MN 恒过的定点，从而证明出结论.(1)∵点(1,2)M -在抛物线2:2E y px =上，∴2(2)2p -=，∴解得:2p =，∴抛物线E 的方程为：24y x =.(2)由12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和点B ，D ，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零.∴设1122:2,:2l x m y l x m y =+=+由214,2y x x m y ⎧=⎨=+⎩得：21480y m y --=设()()1122,,,A x y C x y ，则1214y y m +=，∴12M y m =，又2122M x m =+，即()21122,2M m m +同理可得：()22222,2N m m +∴()()212212212212222MN m m k m m m m -==++-+，∴()211121:222MN y m x m m m -=--+即MN ：()1212121y x m m m m =--⎡⎤⎣⎦+，∵12,l l 的斜率之积为1-，∴12111m m ⋅=-，即121m m =-，∴121:(4)MN y x m m =-+，即直线MN 过定点(4,0).10．已知抛物线()20x ay a =>，过点0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线12,l l ，设12,l l 分别与抛物线相交于,A B 及,C D 两点，当A 点的横坐标为2时，抛物线在点A 处的切线斜率为1.(1)求抛物线的方程；(2)设线段,AB CD 的中点分别为,E F ，O 为坐标原点，求证直线EF 过定点.【答案】(1)24x y =；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）结合导数知识，利用切线斜率构造方程可得a ，由此可得抛物线方程；（2）将直线AB 方程代入抛物线方程中，结合韦达定理可确定中点坐标，同理可得CD中点坐标，利用直线方程两点式可得直线EF 方程，化简可知其过定点()0,4.(1)由2x ay =得：21y ax =，则2y x a '=，241x y a=∴=='，解得：4a =，∴抛物线方程为：24x y =；(2)由题意知：直线12,l l 的斜率都存在且都不为零，由（1）知：()0,2M ，设直线:2AB y kx =+，代入24x y =得：2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，()21212444y y k x x k ∴+=++=+，AB ∴中点()22,22E k k +；12l l ⊥ ，1:2CD y x k ∴=-+，同理可得：CD 中点222,2F k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；EF ∴的方程为：()()222222222222k k y k x k k k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭-+=-+，化简整理得：14y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当0x =时，4y =，∴直线EF 恒过定点()0,4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.11．在直角坐标系xOy 中，曲线:C 221x y +=经过伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩后的曲线为1C ，以x 轴正半轴为级轴，建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若1C 上的一点P 到2C 的距离的最大，求距离的最大值及P 点的坐标.【答案】(1)1C ：2213y x +=，2C ：40x y +-=；(2)max d =，1322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】()1直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；()2利用三角函数关系式的变换和点到直线的距离公式的应用求出结果.(1)解：由伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得，代入曲线:C 221x y +=得：1C 的普通方程为2213y x +=，由极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin y ρθ=，cos x ρθ=可得：2C 的直角坐标方程为40x y +-=.(2)解：直线2C 的普通方程为40x y +-=，设1C上的为点()cos P θθ，到2C 的距离为d =当且仅当()223k k Z πθπ=-+∈时，取得max d =，又因为1cos 23y 2x θθ⎧==-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点P 的坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭.12．已知椭圆C ：2222+x y a b=1（a >b >0）经过点A （0，1），且右焦点为F （1，0）.(1)求C 的标准方程；(2)过点（0，12）的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知得,c b ，再求得a ，即得椭圆方程；（2）由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由直线,AP AQ 方程求出,M N 坐标，求出以MN 为直径的圆的方程，然后代入1212,x x x x +求得圆方程的常数项，从而可得y 的定点坐标．(1)由题意可得1,1c b ==从而22a =.所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线l 代入椭圆方程得()2242430k x kx ++-=，所以12122243,,4242k x x x x k k --+==++，直线AP 的方程为1111y y x x -=+，直线AQ 的方程为2211y y x x -=+.可得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，以MN 为直径的圆方程为，21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()221212121201111x x x x x y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()1212122121212124111142122x x x x x x y y k x x k x x kx kx ==---++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22212612842k k k -==--+++.所以在①中令0x =，得26y =，即以MN 为直径的圆过y轴上的定点(0,，13．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H 两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）.(1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.【答案】(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =.设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-.所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=.同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=，由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=，()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.14．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF λFA = .(1)若λ=4，求直线l 的方程；(2)设点E (a ，0)，直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE EB μ=.若λ=4μ，求a的值.【答案】(1)4340x y --=或4340x y +-=(2)4【解析】【分析】（1）由4PF FA =得014y y =-，设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立，结合韦达定理，即得解；（2）由PF λFA = 得01y y λ=-，结合014y y =-，可得204y λ=，再由PE EB μ= 得02y y μ=-，设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立由韦达定理可得024y y a =-，故204y aμ=，又4λμ=，代入运算即得解(1)易知焦点F (1，0)，设P (0x ，0y )，A (1x ，1y )由4PF FA =得014y y =-设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立得2440y my --=，其中216160m ∆=+>，所以014y y =-由①②可得0141y y =⎧⎨=-⎩或0141y y =-⎧⎨=⎩又014y y m +=，所以34m =或34m =-所以直线l 的方程为314x y =+或314x y =-+.化简得4340x y --=或4340x y +-=(2)由PF λFA =得01y y λ=-又014y y =-可得204y λ=设点B (2x ，2y )，由PE EB μ= 得02y y μ=-设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立得2440y ny a --=.所以216()0n a ∆=+>，024y y a=-故204y aμ=又4λμ=，所以2200444y y a=⋅，考虑到点P 异于原点，所以00y ≠，解得4a =此时2216()16(4)0n a n ∆=+=+>所以a 的值为415．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:136x y C -=的右焦点为F ，T 为直线:1l x =上一点，过F 作TF 的垂线分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，交l 于点A ．(1)证明：直线OT 平分线段PQ ；(2)若3PA QF =，求2TF 的值．【答案】(1)证明见解析(2)12+【解析】【分析】（1）设直线PQ 的方程为3x ty =+，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段PQ 的中点N 的坐标，计算得出ON OT k k =，证明出O 、T 、N 三点共线，即可证得结论成立；（2）由3PA QF =得3PA QF = ，可得出1238x x -+=，变形可得出()()12212184384x x x x x x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相乘结合韦达定理可求得2t 的值，再利用两点间的距离公式可求得2TF 的值.(1)解：依题意，3F x ==，即()3,0F ，设()1,2T t ，则直线PQ 的方程为3x ty =+，由22326x ty x y =+⎧⎨-=⎩得()222112120t y ty -++=，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()222210Δ14448210t t t ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，故212t ≠，由韦达定理可得1221221t y y t +=--，1221221y y t =-，所以()121226621x x t y y t +=++=--，又直线PQ 分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，所以()()()22121212122963339021t x x ty ty t y y t y y t +=++=+++=-<-，故212t >所以PQ 中点为2236,2121t N t t ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以2ON OT k t k ==，故O 、T 、N 三点共线，即直线OT 平分线段PQ ．(2)解：依题意，由3PA QF =得3PA QF =，则()12133x x -=-，即1238x x -+=，所以()12284x x x ++=，①，()121384x x x +-=，②①×②得()()21212123166416x x x x x x +++-=，所以()22222366963166416212121t t t t+⨯-⨯-=-⨯---，解得28374t +=，或28374t -=（舍去），此时，224412t TF =+=+【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．已知抛物线2:4E y x =，F 为其焦点，O 为原点，A ，B 是E 上位于x 轴两侧的不同两点，且5OA OB ⋅=．(1)求证：直线AB 恒过一定点；(2)在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)在（2）的条件下，当F 为ABC 的内心时，求ABC 重心的横坐标．【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)173【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，结合向量的数量积，转化求解直线AB 的方程，推出结果．（2）在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等即CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，根据斜率和为零，从而可得结果；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，由题意可得32AC CF AN NF ==，坐标化，结合点在抛物线上可得点的坐标，从而得到结果.(1)设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，则124y y m +=，124y y n =-，由5OA OB ⋅= 得：21212()516y y y y +=，所以：1220y y =-或124y y =（舍去），即4205n n -=-⇒=，所以直线AB 的方程为5x my =+，所以直线AB 过定点(5,0)P ．(2)由（1）知，直线AB 过定点(5,0)P 可设直线AB 的方程为5x my =+，此时124y y m +=，1220y y =-，设x 轴上定点C 坐标为(,0)t ，要使F 到直线AC 和BC 的距离相等，则CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，故0AC BC k k +=，即21210y yx t x t+=--，∴()()21120y x t y x t -+-=，∴()()1212250my y t y y +-+=，∴()40450m m t -+-=对任意m 恒成立，∴510t -=，5t =-，故在x 轴上有一定点C (5,0)-，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，∵F 为ABC 的内心，∴32AC CF AN NF ==，32=，即2211126250x y x +-+=，又2114y x =，∴21122250x x -+=，同理22222250x x -+=，∴12,x x 是方程222250x x -+=的两个根，∴1222x x +=，∴三角形重心的横坐标为1251733x x +-=.17．已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线()()10y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于Q ，求MN PQ的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2)(4,【解析】【分析】（1）由顶点和离心率直接求,,a b c 即可；（2）先联立直线和椭圆方程，借助弦长公式表示出弦长MN ，再求出垂直平分线和Q 坐标，表示出PQ ，最后分离常数求取值范围即可.(1)由题意知2222,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩可得1,2a b ==，故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222418440k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222844,4141k k x x x x k k -+=⋅=++，()121222241k y y k x x k -+=+-=+，线段MN 的中点为2224,4141k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，线段MN 的垂直平分线方程为22214()4141k k y x k k k --=--++，令0y =，得22341kx k =+，所以223,041k Q k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又(1,0)P ，则22223114141k k PQ k k +=-=++,又12MN x x =-=所以2241141MN k k PQk +==++220,1331k k ≠∴<-<+ ，故MN PQ的取值范围为(4,.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的关系式求解；（2）关键在于联立直线和椭圆方程，依次求出垂直平分线和弦长MN 、PQ ，转化成关于k 的代数式求范围即可.18．定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线C 上一点M ，且与曲线C 在点M 处的切线垂直的直线称为曲线C 在点M 处的法线．设点()()000,0M x y y >为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点．(1)求抛物线C 在点M 处的切线的方程（结果不含0x ）；(2)求抛物线C 在点M 处的法线被抛物线C 截得的弦长||AB 的最小值，并求此时点M 的坐标．【答案】(1)002y py x y =+(2)；()p 【解析】【分析】（1）先化简求导确定切线斜率，再按照在点处的切线方程进行求解；（2）先联立法线和抛物线方程，借助弦长公式表示弦长，最后换元构造函数，求导确定最小值.(1)因为点()()000,0M x y y >在抛物线上方，所以由2:2(0)C y px p =>得y =py y'=，所以在点M 处的切线斜率0y y pk y y ='==，所求切线方程为000()py y x x y -=-，又202y x p=，故切线方程为2000()2y p y y x y p -=-，即002y p y x y =+.(2)点M 处的法线方程为2000()2y y y y x p p-=--，即220022y p p x y y p +=-+.联立抛物线2:2(0)C y px p =>，可得()2232000220y y p y y p y +-+=，可知0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，()2221212002,2p y y y y y p y +=-⋅=-+，所以322212202()y p AB y y y +⋅-=.令200t y =>，则3222()(0)t p AB t t +=>，令3222()()(0)t p f t t t +=>，1312222222223()()()(2)2()2t p t t p t p t p f t t t +⋅-++⋅-'=⨯=，所以()f t 在()20,2p 单调递减，在()22,p +∞单调递增，所以()2min ()2f t f p ==，即min AB =，此时点M的坐标为()p .【点睛】（1）关键在于化简出0y >时的抛物线方程，借助求导确定切线斜率；（2）写出法线方程，联立抛物线求弦长是通用解法，关键在于换元构造函数之后，借助导数求出最小值.19．已知点()11,0F -，()21,0F ，M 为圆22:4O x y +=上的动点，延长1F M 至N ，使得1MN MF =，1F N 的垂直平分线与2F N 交于点P ，记P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)过2F 的直线l 与Γ交于,A B 两点，纵坐标不为0的点E 在直线4x =上，线段OE 分别与线段AB ，Γ交于,C D 两点，且2OD OC OE =⋅，证明：AC BC =.【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线和三角形中位线性质可证得12124PF PF F F +=>，可知P 点轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；（2）由已知可知24D C x x =；当l 斜率不存在时显然不成立；当l 斜率存在时，设l 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可得AB 中点横坐标；设():0OE y k x k ''=≠，与直线l 和椭圆方程联立可求得34k k'=-，由此可整理得到C x ，与AB 中点横坐标相同，由此可得结论.(1)连接1,MO PF，PM 是1NF 的垂直平分线，1PF PN ∴=，1222PF PF PN PF NF ∴+=+=；,M O 分别为112,NF F F 中点，224NF MO ∴==，12124PF PF F F ∴+=>，P ∴点轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a =，1c =，23b ∴=，P ∴点轨迹Γ的方程为：22143x y +=；(2)2OD OC OE =⋅ ，即OD OE OC OD =，D EC Dx x x x ∴=，由题意知：0C x >，4E x =，24D C x x ∴=，①当直线l 斜率不存在时，即:1l x =，此时1C x =，2D x <，此时24D C x x =不成立；②当直线l 斜率存在时，设():1l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22223484120k x k x k +-+-=，2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，AB ∴中点的横坐标为21224234x x k k +=+；设直线OE 的方程为：()0y k x k ''=≠，由()1y k x y k x ='=⎧⎨-⎩得：kx k k ='-，即C k x k k ='-；由22143y k xx y =⎧='⎪⎨+⎪⎩得：221234x k ='+，即221234D x k ='+；由24D C x x =得：212434k k k k =''+-，整理可得：34k k '=-，2122434324C x x kk x k k k+∴===++，C ∴为线段AB 的中点，AC BC ∴=.【点睛】关键点点睛：本题考查定义法求解轨迹方程、直线与椭圆综合应用问题；本题证明C 为AB 中点的关键是能够通过已知等式得到,C D 两点横坐标之间满足的等量关系，进而表示出AB 中点横坐标和C 点横坐标，证明二者相等即可.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率2e =，P为椭圆上一动点，12PF F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点.证明：OM ON ⋅为定值；(3)平面内到两定点距离之比是常数()1λλ≠的点的轨迹是圆.椭圆E 的短轴上端点为A ，点Q 在圆228x y +=上，求22QA QP PF +-的最小值.【答案】(1)22142x y +=；(2)见解析；4.【解析】【分析】（1）结合离心率和12PF F △面积的最大值列出关于,,a b c 的方程，解方程即可；（2）设直线CM 方程，写出点M 坐标，联立椭圆方程，求点N 坐标，通过向量数量积计算即可；（3）设点R 坐标，借助点Q 在圆228x y +=上，将2QA 转化成RA ，再借助椭圆定义将2PF 转化成14PF -，最后通过1,,R P F 三点共线求出最小值.(1)当P 为短轴端点时，12PF F △的面积最大，2bc =，222222,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===，故椭圆E 的方程为22142x y +=.(2)由（1）知，()2,0,(2,0)C D -,设直线():2CM y k x =+，11(,)N x y ，,(2,4)MD CD M k ⊥∴ ，联立221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()22222218840k x k x k +++-=，由21284221k x k --=+得2122421k x k -=+，1124(2)21ky k x k =+=+，222244(,)2121k k N k k -∴++,2222442442121k kOM ON k k k -⋅=⨯⨯++ ，故OM ON ⋅为定值4.(3)由题意(A ，设()(0,),,R m Q x y ，使2QA QR =，()()22222,4QR x y m QAx y +-==+，整理得222282833m m x y y --++=，又点Q 在圆228x y +=上，20,883m =∴⎨-⎪=⎪⎩解得m =，(0,R 由椭圆定义得124PF PF =-，2112(4)4QA QP PF QR QP PF QR QP PF +-=+--∴=++-，当1,,R P F三点共线时，(10,,(R F 22QA QP PF +-∴4.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的方程；（2）关键在于设出直线方程，联立得出点N 坐标；（3）关键在于利用题目中给出的圆的定义将2QA 转化成RA ，再结合椭圆定义，将问题简化成共线问题.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，P 为椭圆C 上的一个动点，过点E0）作OP 的平行线交椭圆C 于M ，N 两点，问：是否存在实数t （t ＞0），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)存在，12t =【解析】【分析】（1）由题意可得2a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中可求出2b ，从而可求得椭圆的方程，（2）①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，将直线方程代入椭圆方程中可求出22,x y ，则可得2OP ，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =，将直线方程代入椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，再利用两点间的距离公式表示出||,||EM EN ，再计算||||EM EN 与2OP 比较可求出t 的值，②当OP 的斜率不存在时，可得||OP =MN的方程为x ||||EM EN 的值，进而可求出t (1)由题意可得24a =，所以2a =．因为点（1，32）在椭圆C 上，所以221914a b +=，解得23b =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =．联立方程，得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得221234x k =+，2221234k y k =+．解得()2222221211212||343434k k OP k k k+=+=+++，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =-．联立方程，得(22143y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩化简，得()22223412120k x x k +=+-=．因为点E0）在椭圆内部，所0∆>，221213221212,3434k x x x x k k-+=⋅=++，所以1||EM x =-．同理可得2||EN x =所以()(())22121212||||113EM EN kx xk x x x x ⋅=+=+⋅++()()22222223112122413343434k k kk k k k +-=+⋅-+=+++，假设存在实数(0)t t >），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列，则22||||||EM EN t OP ⋅=．所以()()22222311213434k k tk k ++=⋅++．解得214t=．四为1t >，所以12t =，②当OP 的斜率不存在时，||OP =MN 的方程为x =x =22143x y +=，得234y =．所以||||2EM EN ==，当||,||,||EM t OP EN 构成等比数列时，22||||||EM EN t OP ⋅=，即2334t =．因为0t >，所以12t =．综上所述，存在实数12t =，使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为()cos sin 3m m ρθθ++=l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB =CD .【答案】(1)2212x y +=，30mx y m ++=；(2)4.【解析】【分析】（1）消参法求曲线C 的普通方程，公式法求直线l 的直角坐标方程.（2）由（1）所得普通方程，结合圆中弦长、半径、弦心距的几何关系求圆心到直线l 的距离，再利用点线距离公式列方程求参数m ，即可得直线的倾斜角大小，由AB 、CD 的关系求CD 即可.(1)由题意，消去参数α，得曲线C 的普通方程为2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()cos sin 3m m ρθθ++得直线l的直角坐标方程为30mx y m ++=.(2)设圆心到直线l：30mx y m ++=的距离为d，则AB =3d =.3=，解得3m =-.所以直线l的方程为60x +=，则直线l 的倾斜角为30θ=︒.所以4cos30AB CD ==︒.23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线340x y ++=与圆1C ：222x y r +=相切，另外，椭圆2C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于C ，D 两点．且1CD =．(1)求圆1C 的方程与椭圆2C 的方程；(2)经过圆1C 上一点P 作椭圆2C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆1C 相交于M ，N 两点（异于点P ），求△OAB 的面积的取值范围．【答案】(1)225x y +=，2214x y +=；(2)4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r ，即可得圆1C 的方程，根据椭圆离心率、22b CD a=及椭圆参数关系求出a 、b 、c ，即可得椭圆2C 的方程.（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，讨论直线PA ，PB 斜率存在性，则直线PA 为()111y k x x y =-+、直线PB 为()222y k x x y =-+，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程0∆=求1k 、2k ，进而得直线PA 为1114x x y y +=、直线PB 为2214x xy y +=，结合P 在直线PA ，PB 上有AB 为0014x xy y +=，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得0OAB S = .(1)由题设，圆1C ：222x y r +=的圆心为()0,0，因为直线340x y ++=与圆1C相切，则r ==所以圆1C 的方程为225x y +=，因为椭圆2Cc e a ==c =，由221b CD a==，则22a b =，又222a b c =+，所以22324a a a =+，解得2a =，1b =，所以椭圆2C 的方程为2214x y +=．综上，圆1C 为225x y +=，椭圆2C 为2214x y +=.(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ．当直线PA ，PB 斜率存在时，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则直线PA 为()111y k x x y =-+，直线PB 为()222y k x x y =-+．由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y 得：()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=．所以()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦．令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=，则11111122111444x y x y x k x y y --=-==-，所以直线PA 为()11114x y x x y y -=-+，化简得：22111144x x y y y x +=+，即1114x x y y +=．经验证，当直线PA 斜率不存在时，直线PA 为2x =或2x =-也满足1114x xy y +=．同理，可得直线PB 为2214x xy y +=．因为()00,P x y 在直线PA ，PB 上，所以101014x x y y +=，202014x xy y +=．综上，直线AB 为0014x xy y +=．由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：()22200035816160y x x x y +-+-=．所以01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+．所以12AB x =-=)20203135y y +==+．又O 到直线AB的距离d ==所以)20200311235OABy S y +=⋅+ t =，[]1,4t ∈，则24444OAB t S t t t∆==++，又[]44,5t t+∈，所以△OAB 的面积的取值范围为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，设点及直线PA ，PB 的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA ，PB 的方程，由P 在直线PA ，PB 上求直线AB 的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围.24．已知点A ，B 是抛物线x 2=2py (p 为常数且p >0)上不同于坐标原点O 的两个点，且0OA OB ⋅= .(1)求证：直线AB 过定点；(2)过点A 、B 分别作抛物线的切线，两切线相交于点M ，记 OMA 、 OAB 、 OMB 的面积分别为S 1、S 2、S 3;是否存在定值λ使得22s =λS 1S 3?若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，4λ=【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 方程为y kx t =+，代入抛物线方程中，消去y ，。
(完整版)平面解析几何(经典)习题.docx
平面解析几何（经典）练习题一、选择题1．方程 x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0 表示的图形是（）A ． 2 条重合的直线B ． 2 条互相平行的直线C ．2 条相交的直线D ． 2 条互相垂直的直线2．直线 l 1 与 l 2 关于直线 x +y = 0 对称， l 1 的方程为 y = ax + b ，那么 l 2 的方程为（ ）A ． yx bx b C ． y x 1 xbaB ． yaaa bD ． yaa3．过点 A(1,－ 1)与 B(－ 1， 1)且圆心在直线 x+y －2=0 上的圆的方程为（）A ． (x － 3)2+(y ＋ 1)2=4B ． (x ＋ 3)2+( y － 1)2=4C ．4(x ＋ 1)2+( y ＋ 1)2=4D ． (x － 1)2+(y － 1)2=4．若 A(1 ， 2)， B( － 2， 3)， C(4， y)在同一条直线上，则 y 的值是（）1B ．3C ． 1D ．－ 1A ．225．圆 x 2y 2 2x 3与直线 yax1 的交点的个数是（）A ． 0 个B ． 1 个C ．2 个D ．随 a 值变化而变化6．已知半径为1 的动圆与定圆 ( x5) 2 ( y7) 2 16 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A ． (x 5)2 ( y 7) 2 25B ． (x 5)2 ( y 7) 2 3 或 ( x 5)2( y 7) 2 15C ． (x 5)2( y 7) 29D ． (x 5)2 ( y 7) 2 25 或 (x 5)2 ( y 7) 297．直线 kx －y ＋ 1＝ 3k ，当 k 变动时，所有直线都通过定点（）A ． (0， 0)B ．(0， 1)C ． (3， 1)D ． (2， 1)8．下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点 P 0 x 0 ， y 0 的直线都可以用方程 y y 0 k x x 0 表示B ．经过定点 A 0，b 的直线都可以用方程 ykx b 表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程x y 1 表示a bD ．经过任意两个不同的点P 1 x 1， y 1 、 P 2 x 2， y 2 的直线都可以用方程y y 1 x 2 x 1x x 1y 2 y 1 表示9．已知两定点 A(－ 3， 5)， B(2， 15)，动点 P 在直线 3x － 4y ＋ 4＝0 上，当 PA ＋ PB取最小值时，这个最小值为（）A ． 5 13B ． 362C ． 155 D ． 5＋10 210．方程 x y1 x 2y 24 0 所表示的图形是（）A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆11．如果实数 x, y 满足等式 ( x2)2y23 ，那么 y的最大值是（ ）x1B ．33D ．3A ．3C ．2212．设 A （ 3， 3， 1）， B （1， 0， 5）， C （0， 1， 0）， AB 的中点 M ，则 |CM |（）535353D ．13A ．B ．2C ．242二、填空题13．已知△ ABC 中 A ( 4, 1) ， B (2, 3) ， C (3,1) ，则△ ABC 的垂心是．141 时，两条直线 kx y k 1 、 ky x 2k 的交点在 象限 ．当 0 k215．求圆 x 2y 21上的点到直线 x y 8 的距离的最小值． 16．过点 M （ 0，4）、被圆 (x 1) 2 y 24 截得的线段长为 23 的直线方程为__17．若点 N （ a,b ）满足方程关系式b 3a 2＋b 2－4a － 14b ＋ 45=0 ，则 u的最大值a2为．三、解答题18．△ ABC 中， A(0， 1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y － 4＝ 0，AC 边上的中线方程为 2x ＋y － 3＝ 0,求 AB ， BC ， AC 边所在的直线方程．19．求经过点 A(2 ，－ 1)，和直线 xy 1 相切，且圆心在直线 y 2x 上的圆的方程．20．已知两直线l1: ax by40, l2: (a1)x y b0 ,求分别满足下列条件的a 、b的值．（ 1）直线l1过点(3,1) ，并且直线l1与直线l 2垂直；（ 2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、 l 2的距离相等．21．已知圆x2＋y2＋ x－ 6y＋ 3=0 与直线 x＋ 2y－ 3=0 的两个交点为 P、Q，求以 PQ 为直径的圆的方程．．求圆心在直线x y0上，且过两圆 x2y 22x 10 y 24 0 ，22x2y22x 2 y8 0 交点的圆的方程．23．已知点P（ 2，0），及○· C： x2＋ y2－ 6x＋4y＋ 4=0.（1）当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时，求直线 l 的方程；（2）设过点 P 的直线与○· C 交于 A、 B 两点，当 |AB|=4，求以线段 AB 为直径的圆的方程.24．已知动点M 到点 A（ 2， 0）的距离是它到点B（ 8，0）的距离的一半，求：（ 1）动点 M 的轨迹方程；（ 2）若 N 为线段 AM 的中点，试求点N 的轨迹．．已知圆C:x 1 2y 2 225及直线l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 .m R25（ 1）证明 : 不论m取什么实数 ,直线 l 与圆 C 恒相交；（ 2）求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．。
专题11 平面解析几何解答题-领军高考数学(文)十年真题(2010-2019)深度思考(北京卷)(原卷版)
专题11平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 椭圆2019年北京文科19解答题2018 椭圆2018年北京文科20解答题2017 椭圆2017年北京文科19解答题2016 椭圆2016年北京文科19解答题2015 椭圆2015年北京文科20解答题2014 椭圆2014年北京文科19解答题2013 椭圆2013年北京文科19解答题2012 椭圆2012年北京文科19解答题2011 椭圆2011年北京文科19解答题2010 椭圆2010年北京文科19历年高考真题汇编1．【2019年北京文科19】已知椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．2．【2018年北京文科20】已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线P A与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，1D和点Q （，）共线，求k．3．【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．4．【2016年北京文科19】已知椭圆C ：1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．5．【2015年北京文科20】已知椭圆C：x2+3y2＝3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．6．【2014年北京文科19】已知椭圆C：x2+2y2＝4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．7．【2013年北京文科19】直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．8．【2012年北京文科19】已知椭圆C ：1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，23（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当△AMN 的面积为时，求k 的值．9．【2011年北京文科19】已知椭圆G ：1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （﹣3，2）． （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求△P AB 的面积．10．【2010年北京文科19】已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y ＝t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P ，圆心为P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为63，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点433,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3-)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．55．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()25,01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的斜率为63． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(23,3-，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标:若不存在，说明理由.9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦6点为F ，求证：MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △3． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系.714．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：x=-12的距离与到点F （102，）的距离相等． （1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （-1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，直线AB 的斜率为k ，证明：22212112k k k +-为定值．。
2020_2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.1坐标法课后提升训练含解析选择性第一册
第二章平面解析几何2.1坐标法课后篇巩固提升基础达标练1。
数轴上的三点M,N，P的坐标分别为3,-1，-5,则MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（)A。
-4 B。
4 C.12 D.-12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =—1—3=—4。
2.数轴上点P(x），A(—8)，B(—4),若|PA|=2|PB|，则x等于（)A.0 B。
-163C.163D.0或-163｜PA|=2|PB|,所以|x+8｜=2|x+4｜，解得x=0或-163。
3。
P(1,—2）关于A(—1,1）的对称点P’的坐标为(）A.（3，4)B。
(-3,4）C.(3，-4)D。
(-3，—4)P’点坐标为(x ,y ），因为A 为PP'的中点， 所以{1+M2=-1,-2+M2=1,解得{M =-3,M =4,故P’的坐标为（—3,4）。
4。
已知平行四边形的三个顶点坐标为（3,—2）,(5,2）,(—1,4)，则第四个顶点不是( ) A.（9，—4) B 。
（1，8） C.(-3，0)D 。
(1,-3）x ，y )，然后分情况讨论。
（1）若点(3，—2),（5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+M 2,-2+22=4+M 2，解得x=9，y=—4,即（9,-4）;（2）若(5,2）,(—1,4）为对顶点，同理可求第四个顶点为（1，8);（3)若(3,—2),（-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为（—3,0）。
故选D 。
5。
在数轴上有点A （1）,若点A 负向移动3个单位长度到达点B ，则MM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 。
向量MM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与以B 为起点,终点坐标为 的向量是相等向量。
A (1)负向移动3个单位长度到达B 点，所以B 点坐标为-2,则向量MM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-3，若以B 为起点的向量为—3，则终点坐标应为-5。
3 —56。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题9 平面解析几何 第62练含解析
1．设椭圆C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(2016·衡水模拟)已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1，F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆C 的离心率e ＝________.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左，右焦点分别是F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，若3BF 1→＝BA →＋2BF 2→，则椭圆的离心率为________．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为________．5．(2016·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________． 6．(2016·济南3月模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为____________________．7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为________．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.9．(2017·上海六校3月联考)已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．10．(2016·镇江模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝________.11．(2016·连云港二模)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为________．12．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若ED →＝6DF →，则k 的值为________．13．(2017·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．14．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是________．答案精析1.33解析 由题意知sin30°＝PF 2PF 1＝12，∴PF 1＝2PF 2.又∵PF 1＋PF 2＝2a ， ∴PF 2＝2a 3. ∴tan30°＝PF 2F 1F 2＝2a 32c ＝33. ∴c a ＝33. 2.63 解析不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆定义，得|MF 1→|＋|MF 2→|＝2a ，再结合条件可知|MO →|＝|MF 2→|＝2a 3.如图，过M 作MN ⊥OF 2于N ，则|ON →|＝c2，|MN →|2＝|MO →|2－c 24.设|MF 2→|＝x ，则|MF 1→|＝2x . 在Rt △MF 1N 中，4x 2＝94c 2＋x 2－c 24，即3x 2＝2c 2，而x 2＝4a 29，所以43a 2＝2c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63. 3.15解析 不妨设B (0，b )，则BF 1→＝(－c ，－b )，BA →＝(－a ，－b )，BF 2→＝(c ，－b )，由条件可得－3c ＝－a ＋2c ， ∴a ＝5c ，故e ＝15.4.32解析 设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.故x 20＝a 2×(1－y 20b2)＝a 2×b 2－y 20b 2，又k AC ·k BC ＝y 0－b x 0×y 0＋b x 0＝y 20－b 2x 20＝－14，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32. 5．15解析 AP →＝OP →－OA →＝(λ－1)OA →，即OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线．又OA →·OP →＝72，所以OA →与OP →同向，所以|OA →||OP →|＝72.设OP 与x 轴的夹角为θ，点A 的坐标为(x ，y )，点B 为点A 在x 轴上的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|·cos θ＝|OP →|·|OB →||OA →|＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72·|x |1625x 2＋9＝72·11625|x |＋9|x |≤72·12×16×925＝15，当且仅当|x |＝154时，等号成立．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 6．9x ＋16y －25＝0解析 设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)16＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＝0.又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x1－x2 16＋y1－y29＝0，即y1－y2x1－x2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y－1＝－916(x－1)，即9x＋16y－25＝0.7．±3 4解析由离心率为12可得c2a2＝14，可得a2－b2a2＝14，即b＝32a，因为MF2与x轴垂直，故点M的横坐标为c，故c2a2＋y2b2＝1，解得y＝±b2a＝±34a，则M(c，±34a)，直线MF1的斜率为kMF1＝±3a8c＝±38×2＝±34.8.5 7解析设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得BF＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB＝90°，又因为斜边AB的中点为O，所以OF＝c＝5，连结AF1，因为A，B关于原点对称，所以BF＝AF1＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝5 7 .9．(0，－1)解析设椭圆的右焦点为E，PQ＋PF＝PQ＋2a－PE＝PQ－PE＋2 2. 当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，PQ＋PF取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)．10. 2解析由椭圆C的离心率为3 2，得c＝32a，b2＝a24，∴椭圆C：x2a2＋4y2a2＝1，F(32a,0)．设A(x A，y A)，B(x B，y B)，∵AF→＝3FB→，∴(32a －x A ，－y A )＝3(x B －32a ，y B )． ∴32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B ， 即x A ＋3x B ＝23a ，y A ＋3y B ＝0. 将A ，B 的坐标代入椭圆C 的方程相减得9x 2B －x 2Aa2＝8，(3x B ＋x A )(3x B －x A )a 2＝8，∴3x B －x A ＝433a ， ∴x A ＝33a ，x B ＝539a ， ∴y A ＝－66a ，y B ＝618a ， ∴k ＝y B －y Ax B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a ＝ 2.11.57解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255＝11525或－55(舍去)． 设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，由正弦定理得r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57. 12.23或38解析 依题设，得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2.则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k 2. 由ED →＝6DF →，知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 可得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.13．(2－1,1) 解析 由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝PF 1PF 2，所以PF 1PF 2＝c a ， 即PF 1＝c aPF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ， 所以PF 2＝2a 2a ＋c ，PF 1＝2aca ＋c ，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c ＜2a 2a ＋c ＜2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0(0＜e ＜1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)． 14．38，34]解析 由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0， 解得x ＝2或x ＝2619. 由PA 2的斜率存在可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时， 直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程，消去y 化简得 7x 2－16x ＋4＝0， 解得x ＝2或x ＝27.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.。
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第一部分基本知识直线和圆的方程(1) 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
(2) 掌握两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
(3) 了解二元一次不等式表示平面区域。
(4) 了解线性规划的意义.并会简单的应用。
(5) 了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
(6) 掌握圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程。
圆锥曲线方程(1) 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。
(2) 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
(3) 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
(4) 了解圆锥曲线的初步应用。
（一）直线与圆知识要点１．直线的倾斜角与斜率k=tgα（），直线的倾斜角α一定存在，范围是[0,π），但斜率不一定存在。
斜率的求法：依据直线方程依据倾斜角依据两点的坐标２．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。
３．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。
会判断两条直线的位置关系。
（斜率相等还有可能重合）４．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。
５．点到直线的距离公式。
６．会用一元不等式表示区域。
能够解决简单的线性规划问题。
７．曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。
８．圆的标准方程：(x－a)2+(y－b)2=r2圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圆的条件。
圆的参数方程：掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
会求圆的相交弦、切线问题。
(二)圆锥曲线1．椭圆及其标准方程：２．双曲线及其标准方程：３．抛物线及其标准方程：4．直线与圆锥曲线：注意点：（1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解（2）要学会变形使用两点间距离公式，当已知直线的斜率时，公式变形为或；当已知直线的倾斜角时，还可以得到或（3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算。
（4）会在任何条件下求出直线方程。
（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质解析几何中的一些常用结论：1.直线的倾斜角α的范围是[０，π)2.直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角α的增大而增大。
当α是钝角时，k与α同增减。
3.截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。
5.两直线的到角公式：L 1到L 2的角为θ，tanθ=夹角为θ，tanθ=| | 注意夹角和到角的区别 6.点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。
7.有关对称的一些结论点（ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x 的对称点分别是 （ａ，－ｂ），（－ａ，ｂ），（－ａ，－ｂ），（ｂ，ａ） 如何求点（ａ，ｂ）关于直线Ax+By+C=0的对称点直线Ax+By+C=0关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x 的对称的直线方程分别是什么，关于点（ａ，ｂ）对称的直线方程又是什么？ 如何处理与光的入射与反射问题？８．曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：（１）点(a.b) （２）ｘ轴 （３）ｙ轴（４）原点 （５）直线y=x （６）直线y=－x （７）直线x ＝ａ ９．点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。
点P(x 0,y 0),圆的方程：(x －a)2+(y －b)2=r 2. 如果(x 0－a)2+(y 0－b)2>r2点P(x 0,y 0)在圆外； 如果 (x 0－a)2+(y 0－b)2<r 2点P(x 0,y 0)在圆内； 如果 (x 0－a)2+(y 0－b)2=r2点P(x 0,y 0)在圆上。
10．圆上一点的切线方程：点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上，那么过点P 的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2.11.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与ｘ轴垂直的直线。
12.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题。
ｄ>r 相离 d=r 相切 d<r 相交13．圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。
设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为r,R d>r+R 两圆相离 d ＝r+R 两圆相外切|R －r|<d<r+R 两圆相交d ＝|R －r|两圆相内切d<|R －r|两圆内含 d=0，两圆同心。
14. 两圆相交弦所在直线方程的求法：圆C 1的方程为：x 2+y 2+D 1x+E 1y+C 1=0.圆C 2的方程为：x 2+y 2+D 2x+E 2y+C 2=0.把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(C 1-C 2)=0 15. 圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。
16. 焦半径公式：在椭圆 ＝１中，F １、F ２分别左右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆是一点，则： (1)|PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0(2) 三角形PF １F ２的面积如何计算17．圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。
18．直线y=kx+b 和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P 1(x 1,y 1) ,P 2(x 2,y 2)则弦长P 1P 2= 19. 双曲线的渐近线的求法（注意焦点的位置）已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。
20. 抛物线中与焦点有关的一些结论：（要记忆） 解题思路与方法：解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。
（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。
（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则曲线定义简化运算或证明过程。
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)。
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。
（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。
（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围。
（7）参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解。
第二部分解析几何中的范围问题一、“题设条件中的不等式关系”之运用事物都是一分为二的。
对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。
在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1.（1）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（2）当时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.2、设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在点P使得直线垂直.（1）求实数m的取值范围；（2）设L是相应于焦点的准线，直线与L相交于点Q，若，求直线的方程.二、“圆锥曲线的有关范围”之运用1、以为焦点的椭圆与x轴交于A，B两点（1）过作垂直于长轴的弦MN，求∠AMB的取值范围；（2）椭圆上是否存在点P，使∠APB＝120°？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.解：三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。
因此，对于有关一元二次方程的判别式△>0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。
1、已知椭圆的一个顶点A(0,－1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线的距离为3，若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围。
四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。
比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。
因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。
其中，常用的充要条件为：1、2、3、4、1、已知椭圆的焦点为，过点且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，，又椭圆上不同两点A、C满足条件：成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）设弦AC的垂直平分线方程为y＝kx＋m，求m的取值范围.五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用“1、2、1、已知双曲线的左、右焦点分别为、，若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与成等比数列，求离心率e的取值范围.第三部分直线与圆锥曲线问题的解题策略众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。