第二章测量的标准差

随机误差的正态分布
数学期望 E()=0
数字特征量： 方 差 D()=σ2
标 准 差 σ= D( )
f()
1 2
1<2<3
3
0
❖ 标准差定量描述了随机误差（测量数据）的分散程度。
测量的标准偏差简称 为标准差，也称均方 根误差。
描述随机误差（测量 结果）分散程度的统 计量，可作为定量评 定测量精度的参数。
标准差是一个关于总体分布 性质的概念。
标准差不是等精度测量列中任 何一个具体测得值的随机误差
等精度测量列中的所有测得 值都具有相同的标准差。
本节的重点内容
1．反映等精度测量列x1, x2..的....分xn散程度
大
第二组： (李四测得）
20.0005
19.9996
20.0003
19.9994
20.0002 20.0000
小
求两组测得值单次测量的标准差：
第一组： 1 第二组： 2
n
v
2 i
i1 n1
n
vi2
i1 n 1
0.0012 0.00062 0.00052 0.00152 0.00062 0.0010mm 51
对
x
1 n
n i 1
xi
取方差，
利用方差的性质得： D(x)
1 n2
D(x1)
D(x2 )
D(xn )
D(x1 ) D(x2 ) D(xn ) D(x)
D(x)
1 n2
nD(x)
D(xn ) n
令
x
D( x ) 有：
2 x
1 2
n
即： x
n
在n次等精度测量列中，算术 平均值的标准差为单次测量的，
测量列单次测量的标准差σ 2．反映等精度测量列x1, x2, x3,.的.....分xm 散程度
二者有何 关系
测量列算术平均值的标准差 x
1．测量列单次测量的标准差σ
标准差的统计定义
❖ 标准差是统计参数方差开方后的值。 方差定义：随机变量X的每一个可能值对其数学期望E（X） 的偏差的平方的数学期望。
1 2 3
0
❖ 标准差定量描述了随机误差（测量数据）的分散程度。
等精度测量（补充）
Equal-accuracy Measurement
定义：若在多次重复测量中，每一个测得值都是在相 同的测量条件（相同的测量程序，相同的观测者，使 用相同的测量仪器，相同地点、在短时间内进行重复 测量）下获得的，这样的测量叫做等精度测量。
定义、意义、残余误差
4 四、测量的标准差 Standard Deviation
四、测量的标准差(Standard Deviation )
测量某孔径得到有下列两组测得值，单位mm
1
2
3
4
5
平均值
第一组
(张三测得) 19.9990 20.0006 19.9995 20.0015 19.9994 20.0000
n
n
n
n
2 i
vi2
n
2 x
2 x
vi
vi2
n
2 x
（3）
i 1
i 1
i 1
i 1
（2）式平方有
2 x
1 n2
n
(
i 1
i )2
1 n2
n
(
2 i
i 1
n
2 i
1i j
）
j
n
当n适当大，上式中 i k 接近于0。
i 1
2 x
1 n2
n
2 i
i 1
（4）
代入（3）式有：
n
精度得到明显提高
2.测量列算术平均值的标准差 x
x
n
式中σ为单次测量的标准差，n为测量次数
可见：在n次等精度测量列中，算术平均值的标准差 为单次测量标准差的1/ n，精度得到明显提高。
在实际测量中，测量 次数越多越好吗？
2.测量列算术平均值的标准差 x
测量某孔径得到有下列两组测得值，单位mm
n(n 1)
R2 3
n
vi2
i 1
n(n 1)
总结
测量的标准差σ 定量评定测量准确度的参数
单次测量的标准差
n
v
2 i
i1
n1
算术平均值的标准差
x
n
适当增加测量次数取其算 术平均值表示测量结果
随机误差的正态分布
其中，随机误差δ=x-μ，μ为 测量总体的数学期望，为 标准差。
f() 1<2<3
推导如下：
真差 i xi x0 , i 1,2, , n
残差 vi xi x , i 1,2, , n 所以： i vi xi x0 (xi x) x x0
令 x x x0 ，称为算术平均值误差
所以：
i vi x
用残差计算标准差的估计值
有：
1 (v1 x )
mm
第二组：
(李四测得） 20.0005
20.0020 20.0015 20.0010 20.0005
20..00000000
19.9995 19.9990 19.9985
0
19.9996 20.0003 19.9994 20.0002 20.0000
两组测量的准 确度度一样吗？
张三测得 李四测得
1
0.00052 0.00042 0.00032 0.00062 0.00022 0.0005mm
5 1
其他精度参数用残差表示
平均误差 ：
4 4
55
n
vi2
i 1
n 1
或然误差：
2 2
33
n
vi2
i 1
n 1
2.测量列算术平均值的标准差 x
算术平均值的标准差与单次测量的标准差关系推导如下：
2
(v2 x
)
n (vn x )
（1）
对（1）式两边相加有：
n
i
n
vi
n x
i 1
i 1
n
vi 0 i 1
n
i
x
i 1
n
（2）
对（1）式先平方
2 i
v
2 i
2 x
2vi
x
n
n
n
n
后取和，有
2 i
vi2

2 x
2 x
vi
vi2
n
2 x
（3）
i 1
i 1
i 1
i 1
用残差计算标准差的估计值
第一组： x1 20.0000mm 第二组：x2 20.0000mm
1 0.0010 0.0004mm
x1
n
5
2 0.0005 0.0002mm
x2
n
5
如何选择合适的测量次数n？
x
x
n
n 10次
n
0
5
10
15
20
增加测 量次数
x 减少
增加测量次数，可以提高测量精度
x
减少缓慢
1
2
3
4
5
平均值
第一组 (张三测得)
19.9990 20.0006 19.9995 20.0015 19.9994 20.0000
第二组： (李四测得）
20.0005 19.9996 20.0003 19.9994 20.0002 20.0000
两组测得值单次测量的标准差： 1 0.0010mm 2 0.0005mm 求两组算术平均值的标准差：
当n>10次以后，测量精度随 测量次数增加提高不显著
愈难保证测量条件的恒定，带来新的误差，同时， 必然会增加测量的工作量及其成本。
算术平均值的其他精度参数
平均误差T 或然误差R
T 0.7979 4
n
x 5n
R 0.6745 2
n
x 3n
用残差表示为 ：
T4 5
n
vi2
i 1
2
3
4
两组测量数据的散点图
5 关于“等精度测量”
mm
20.0020 20.0015 20.0010 20.0005
20..00000000
19.9995 19.9990 19.9985
0
1
2
3
4
5
两组测量数据的散点图
张三测得 李四测得
分散度
定
量
定性 准确度 定量
？
标准差
张三
大
李四
小
低
大
高
小
标准差 Standard Dev等ia精ti度on条件下，随 机误差（测量结果） 的所有可能值
D(X ) E(X EX)2
1．测量列单次测量的标准差σ
统计定义式：
❖ 由统计意义得在等精度测量列中，单次测量的标准差 按下式计算
2 1
2 2
2 n
n
n
2 i
i 1
n
无法应用
❖ i为测得值与真值之差；n为测量次数（趋于无穷次）。 注意：标准差只取正开方根值，标准差与测得值具有相同的量纲。
用残差计算标准差的估计值
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 随 机 误 差 Random Error
第一节 随机误差 i xi x0
1 一、随机误差的产生原因
测量装置 、测量环境、测量人员
2
二、正态分布 Normal Distribution
分布特征 、概率密度函数、置信概率
3 三、算术平均值 Arithmetic Average