高中数学人教A版选修1-1课时作业：1.4.1 全称量词、存在量词 Word版含解析

课时作业8
一、选择题
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0
C ．两个无理数的和必是无理数
D ．存在一个负数x ，使1x
>2 解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负
数x ，都有1x
<0，所以D 是假命题． 答案：B
2．[2014·湖南师大附中月考]命题“∃x ∈R ，x 2>3”不可以表述为( )
A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3
B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3
C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3
D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3
解析：本题主要考查特称命题．“∃”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C 的表述不正确，故选
C.
答案：C
3．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是( )
A ．a <1
B ．a ≤1
C ．－1<a <1
D ．－1<a ≤1
解析：当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使
ax 20＋2x 0＋a <0；
当a >0时，必需Δ＝4－4a 2>0，
解得－1<a <1，故0<a <1.
综上所述，实数a 的取值范围是a <1.
答案：A
4．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1，0},2x ＋1>0；③∃x 0
∈N ，使x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：对于①，这是全称命题，由于
Δ＝(－3)2－4×2×4<0，
所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题； 对于②，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题； 对于③，这是特称命题，当x 0＝0或x 0＝1时，有x 20≤x 0成立，故③为真命题； 对于④，这是特称命题，当x 0＝1时，x 0为29的约数成立，成以④为真命题．故选C. 答案：C
二、填空题
5．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________．
①正方形的四条边相等；
②有些等腰三角形是正三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③ ②④
6．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．
解析：由题意知，0<a 2－1<1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1<1a 2－1>0，即⎩⎨⎧ a 2<2a 2>1，∴⎩⎨⎧
－2<a <2a >1或a <－1， ∴1<a <2或－2<a <－1.
答案：(－2，－1)∪(1，2)
7．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．
①∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)；
②∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)；
③∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)；
④∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)． 解析：由题意：x 0＝－b 2a
为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．
答案：③
三、解答题
8．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：
(1)所有的对数函数都是单调函数；
(2)对某些实数x ，有2x ＋1>0；
(3)∀x ∈{3,5,7},3x ＋1是偶数；
(4)∃x 0∈Q ，x 20＝3.
解：(1)命题中含有全称量词“所有的”，因此是全称命题，且是真命题．
(2)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，且是真命题．
(3)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．
把3,5,7分别代入3x ＋1，得10,16,22都是偶数，因此，该命题是真命题．
(4)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是特称命题．
由于使x 2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
9．若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)．令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立．
又f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴∀x ∈[－1，＋∞)，
f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－a 2，a ≥－1，(1＋a )2＋2－a 2，a <－1. 因为f (x )的最小值f (x )min ≥a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1，2－a 2≥a ，或⎩⎪⎨⎪⎧
a <－1，(1＋a )2＋2－a 2≥a ⇒－1≤a ≤1或－3≤a <－1，得a ∈[－3,1]．
法二：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0.
令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，
所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥0成立．
所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－4(2－a )>0，a <－1，
f (－1)≥0，
即－2≤a ≤1或－3≤a <－2.
所以－3≤a ≤1.
综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．。