二维柯西不等式导学案
《二维形式的柯西不等式》参考教案
3.1 二维形式柯西不等式一、温故不等式的已知 ,,,,a b c d R ∈求证：()()()22222a b c d ac bd ++≥+证明5方法及说明等号取到的条件 二、授新1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若,,,,a b c d R ∈则()()()22222a b c d ac bd ++≥+当且仅当bc ad =时取等号 此不等式具有对称美2ac bd ≥=+显然当22221,1a b c d +=+=时，1ac bd +≤和ac bd ac bd =+=+所以还有变式：若,,,,a b c d R ∈则ac bd ≥+ac bd ≥+3、柯西不等式的向量证法证法六、构造向量法 构造向量()(),,,,a b c d αβ==设,αβ间的夹角为θ， 则cos αβαβθαβαβ⋅=⇒⋅≤即ac bd +≤所以()()()22222a b c d ac bd ++≥+当且仅当00αβ==或或cos 1θ=即,αβ共线，即()()(),,0k a b k c d ad bc k cd cd αβ=⇔=⇔-=-=时取等号，即当且仅当0ad bc -=时取等号定理2：（柯西不等式的向量形式）设,αβ是两个向量，则αβαβ⋅≤ 当且仅当,αβ中有一个是零向量或存在实数k 使得k αβ=时，等号成立。
4、用柯西不等式的证明：定理3、（二维形式的三角形不等式）设1212,,,x x y y R ∈，那么≥证明：因为222221122x y x y =+++ ()()()22221112122222221112122222121222x y x x y y x y x y x x y y x y x x y y ≥+++++≥+-+++=-+-所以≥5、此不等式的几何意义很清楚： 二维形式的三角形不等式：三角形12OPP 中，()()()1112220,0,,,,O P x y P x y 且1212OP OP PP +≥而且当三角形123PP P 在任意位置时()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 显然有：≥6、二维形式的柯西、三角形不等式的应用 例1、 已知,a b R ∈，求证()()()2442233a babab++≥+证明：由柯西不等式得：()()()()2244222233a b a b a a b b a b ++≥+=+例2、设,a b R *∈，1a b +=求证114a b+≥证：()11114a b a b a b ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭ 亦可用2112a b a b+≥+证之。
3.1《二维形式的柯西不等式》教案(新人教选修4-5)
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:
《二维形式的柯西不等式
》教案
一、教Байду номын сангаас目标
①认识二维形式的柯西不等式的三角形式
②柯西不等式的一些简单应用
二、教学重点：
①认识二维形式的柯西不等式的几种形式
②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系
新
课
讲
授
过
程
引探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点 的坐标分别为 ，根据△ 的边长关系，你能发现 这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？
人教版数学高二《二维形式的柯西不等式》精品导学案 人教
不等式选讲二维形式的柯西不等式学习目标：1。
认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：略。
推论：1． ||2222bd ac d c b a +≥+⋅+(当且仅当ad=bc 时，等号成立.)2．),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当ad=bc 时，等号成立.)3．||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立）例1：已知a,b 为实数，求证2332244)())((b a b a b a +≥++ 说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。
所以，经典不等式是数学研究的有力工具。
例题2：求函数x x y 21015-+-=的最大值。
分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。
这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。
（2222||d c b a bd ac +⋅+≤+）解：函数的定义域为【1，5】，且y>036427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x xx y当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27127=x 时，函数取最大值36 课堂练习：1. 证明: (x 2+y 4)(a 4+b 2)≥(a 2x+by 2)22.求函数x x y -+-=6453的最大值.例3.设a,b 是正实数，a+b=1，求证411≥+ba 分析：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((ba b a ++就可以用柯西不等式了。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式学案含解析新人教A版选修4_5
一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d 为非负实数)；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．柯西不等式的向量形式中α·β≤|α|·|β|，取等号的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝k β.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么 x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥x 1－x 22＋y 1－y 22. (2)推论：对于任意的x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R ，有x 1－x 32＋y 1－y 32＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥ x 1－x 22＋y 1－y 22.事实上，在平面直角坐标系中，设点P 1，P 2，P 3的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，根据△P 1P 2P 3的边长关系有|P 1P 3|＋|P 2P 3|≥|P 1P 2|，当且仅当三点P 1，P 2，P 3共线，并且点P 1，P 2在P 3点的异侧时，等号成立．设m 2x 2＋y2＝1，求证：x 2＋y 2≥(m ＋n )2.可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明．∵m 2x 2＋n 2y2＝1， ∴x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2x 2＋n 2y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x＋y ·n y 2＝(m ＋n )2.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1. 证明：由柯西不等式，得(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1， ∴|ax ＋by |≤1.2.已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b2≥(a 1＋a 2)2.证明：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎪⎫ a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2. 3．设a ，b ，c 为正数，求证： a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式，得a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ， 即2·a 2＋b 2≥a ＋b .同理2·b 2＋c 2≥b ＋c ，2·a 2＋c 2≥a ＋c ， 将上面三个同向不等式相加，得2()a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )， ∴a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥ 2·(a ＋b ＋c ).求函数y ＝ 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值． 由柯西不等式，得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α4>0，即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常。
二维形式的柯西不等式 说课稿 教案 教学设计
2.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？
3.如何利用二维柯西不等式求函数 的最大值?
要点：利用变式 .
二、讲授新课：
1.最大（小）值：
①出示例1：求函数 的最大值？
分析：如何变形？
→构造柯西不等式的形式
→板演
→ห้องสมุดไป่ตู้式：
→推广：
②练习：已知 ，求 的最小值.
解答要点：（凑配法） .
讨论：其它方法（数形结合法）
2.不等式的证明：
①出示例2：若 ， ，求证： .
分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）
要点： …
讨论：其它证法（利用基本不等式）
②练习：已知 、 ，求证： .
三、应用举例：
例1已知a1,a2,…,an都是实数，求证：
分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
二维形式的柯西不等式（二）
教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.
教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.
教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.
教学过程：
一、复习引入：
1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？
例2已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2+ b2+ c2+ d2> ab + bc + cd + da
分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。
分析：由 形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。
教案：二维形式的柯西不等式
教案：二维形式的柯西不等式一．教学目标：1.探究二维形式的柯西不等式，能利用二维形式的柯西不等式解决求一类最值问题。
二． 教学重点：二维形式柯西不等式的推倒及应用。
难点：灵活应用二维形式的柯西不等式求最值。
三．教学过程 （一）引入世界著名数学家简介（幻灯片播放）师：好，同学们，刚刚我们从幻灯片上看到的是部份著名的数学家，他们为人类社会的发展作出了巨大的贡献。
今天让我们走进其中的一位，他的名字叫柯西。
（切换下一张幻灯片，并介绍幻灯片内容）他给后代留下了很多宝贵的财富，今天我们来学习其中非常重要的一个——柯西不等式。
（切换下一张幻灯片，并板书二维形式的柯西不等式，并同时解释二维的含义）（二）.新课1．初识柯西不等式（柯西不等式的推倒）：为αβ与αβ（其中α，β非零向量）的大小≥则标122若α=（a ,b）,β=(a ,b ),不等式αβαβ如何用坐表示？师：那么柯西不等式到底是怎样的一个不等式，它是如何被发现的，它的重要价值又体现在哪里呢？我们先来看一个简单的向量问题。
（切换到问题一，问题二幻灯片）。
问1：这两者的大小关系是怎样的？（学生回答，并板书两者大小关系）问2：为什么？（叫学生回答）问3：当什么时候两者相等呢？（学生回答）。
我们把向量坐标化看呢？（打出问题2）问4：这个向量不等式用坐标如何表示呢？（学生口答，老师板书）问5：当什么时候等号成立呢？（学生回答，并板书等号成立条件）。
我们看，当给这个普通的向量关系坐标化后，我们得到了一个非常漂亮的不等式。
我们把这个不等式叫做柯西不等式，这个向量关系就叫做柯西不等式的向量形式。
（板书）同学们，柯西的伟大，就在于他善于观察与发现，能从普通中发现隐藏的美丽。
我们学习数学，要向柯西学习，也要善于去观察和发现，说不定你也能发现一个以你的名字命名的不等式。
2．再识柯西不等式（填空）：≥≥≥2222222221.(x +y )(___+___)(2x +y)2.(___+___)(4a +b )(2a +b)3.(a +b )(2+1)(____+____)，师：通过刚刚的填空，同学们再观察哪些数之间有关系，有没有记忆的规律呢？（归纳记忆规律：前两个数相乘后开根号就是第三个数）。
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形
3.1 二维形式的柯西不等式课堂导学三点剖析一,利用二维形式的柯西不等式证明不等式【例1】 (1)如果a,b>0,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.(2)如果a,b>0且a≠b,求证:a5+b5>a3b2+a2b3.证明：(1)(a3+b3)(a2b+ab2)a)2+(3b)2］［(a b)2+(b a)2］=［(3a·a·b+3b·b·a)2≥(3=(a2b+ab2)2,a·b·a=3b·a·b,“=”成立的条件是3即a=b时成立,但a≠b,故“＝”不成立.∴(a3+b3)(a2b+ab2)>(a2b+ab2)2.∴a3+b3>a2b+ab2.a)2+(5b)2］［(a)2+(b)2］(2)(a5+b5)(a+b)=［(5a·a+5b·b)2>(5=(a3+b3)2.由(1)知a3+b3>a2b+ab2,∴(a5+b5)(a+b)>(a2b+ab2)2=a2b2(a+b)2.∴a5+b5>a2b2(a+b)=a3b2+a2b3.∴原不等式成立.温馨提示要利用二维形式的柯西不等式,就需要想法把要证的不等式写成两数平方和与另两数平方和的乘积的形式或者出现“乘积和的形式”(即两个数的乘积与另两个数的乘积之和的形式).各个击破类题演练1设a,b,c均为正实数,且acos2θ+bsin2θ<c.求证:a cos2θ+b sin2θ<c.证明:∵acos2θ+bsin2θ<c(a,b,c>0),∴(a cos2θ+b sin2θ)2=［(a cosθ)·cosθ+(b sinθ)·sinθ］2≤［(a cosθ)2+(b sinθ)2］·(cos2θ+sin2θ)=acos 2θ+bsin 2θ<c. 故a cos 2θ+b sin 2θ<c . 变式提升1证明下列不等式:(1)a,b,c∈R +,(a+b+c)(cb a 11++)≥4. (2)α为锐角,(1+αsin 1)(1+αcos 1)≥3+22. 证明:(1)(a+b+c)(c b a 11++)=［(a+b)+c ］(cb a 11++)≥(1+1)2=4. 等号当且仅当b a +1=k(a+b)且c 1=k·c 时取得, 即(a+b)2=c 2时取等号. (2)(1+αsin 1)(1+αcos 1)≥(1+ααcos sin 1•)2 =(α2sin 21+)2≥(1+2)2=3+22,等号当且仅当α=4π时取得,此时ααcos 1sin 1=且sin2α=1. 二、利用二维形式的柯西不等式求最值【例2】 直线l 经过第一象限内的点M(a,b),与x,y 轴的正半轴相交于点P,Q,求线段PQ 的最小值,及取得最小值时直线的方程.解析:设l 的方程为n y m x +=1(m,n>0), 则nb m a +=1, 引进待定常数(a 2α+b 2α)(α∈R ).由柯西不等式得(m 2+n 2)(a 2α+b 2α)≥(ma α+nb α)2=(ma α+nb α)2·12=(ma α+nb α)2(nb m a +)2 =［(ma α+nb a )(n b m a +)］2 ≥［(nb nb m a ma •+•αα)2］2 =(11+++ααb a )4.当且仅当ααb na m =时,第一个不等式取等号;当且仅当n b nb m a ma αα=即2121αα--=b na m时,第二个不等式取等号.因此当且仅当两个等号同时成立时,即α=21α-,亦即α=31时,(22n m +)(3232b a +)≥(3232b a +)4取等号.所以|PQ|=22n m +≥(3232b a +)23,|PQ|min =(3232b a +)23.此时k=3a b m n-=-,∴l:y -b=3a b -(x-a).类题演练2设x>0,y>0,x+y≤4,求y x 11+的最小值.解析：4(y x 11+)≥(x+y)(y x 11+)≥(1+1)2=4, ∴y x 11+的最小值为1.等号当且仅当x=y=2时取得.变式提升2 求椭圆2222b y a x +=1的切线夹在两条坐标轴之间的线段的最小值.解析:设M(x 0,y 0)是椭圆上任一点, 则22220b y a x +=1.经过M 点的切线为l:2020b y y a x x +=1,l 与x,y 轴分别相交于点P(02x a ,0),Q(0,02y b ). |PQ|2=(02x a )2+(02y b )2 =［(02x a )2+(02y b )2］(220220b y a x +) ≥(02x a ·a x 0+02y b b y 0·)2 =(a+b)2. 当且仅当b a by a x +==1320320即|x 0|=b a a a +,|y 0|=ba b b +时等号成立. 于是|PQ|min =a+b.三、利用二维柯西不等式解决其他问题【例3】 求经过点P(5,1)与椭圆4)3(9)2(22++-y x =1相切的切线方程. 解析：设直线方程为Ax+By+C=0,由经过点P(5,1)得C=-(5A+B).于是直线方程可表示为A(x-2)+B(y+3)=3A+4B.由柯西不等式得(3A+4B)2=［A(x-2)+B(y+3)］2=［3A·3)2(-x +2B·2)3(+y ］2 ≤(9A 2+4B 2)［4)3(9)2(22++-y x ］ =9A 2+4B 2.直线与椭圆相切时不等式取等号,即(3A+4B)2=9A 2+4B 2,解得B=0或B=-2A.所以要求的切线方程为x-5=0和x-2y-3=0.温馨提示研究直线与圆锥曲线的常规方法是采用代入消元,化为一元二次方程,然后利用根的判别式求解,因这类问题常含有待定字母,导致解题过程冗长,计算烦琐.本例引用柯西不等式解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以减少计算,增强直观.一些题目通过观察,简单拼凑,即可达到目的,并且解题后易于复查.因此,适当引用柯西不等式解决几何中的含参数问题,确实是一个十分有效的好方法.类题演练3已知直线y=(1-x)tanθ与双曲线-x 2+y 2cos 2θ=1相切(-2π<θ<2π).求切线方程和切点坐标.解析:由柯西不等式,y 2=(1-x)2tan 2θ=［1·1+(-1)·x］2tan 2θ≤2(1+x 2)tan 2θ=2y 2cos 2θtan 2θ=2y 2sin 2θ⇒sin 2θ≥21. 当且仅当111-=x ,即x=-1时,sin 2θ=21,此时,由-2π<θ<2π得θ=±4π.所以切线方程为y=x-1和y=1-x,切点为(-1,±2).变式提升3已知2x+y=1,求3x 2+4y 2的最小值.解析:∵(3x 2+4y 2)·1219=［(3x)2+(2y)2］·［(32)2+(21)2］≥(2x+y)2=1,∴3x 2+4y 2≥1912. 当且仅当21×3x=32×2y 时,即y=193,x=198时,“＝”成立.故3x 2+4y 2的最小值为1912.。
《二维形式的柯西不等式》 学习任务单
《二维形式的柯西不等式》学习任务单一、学习目标1、理解二维形式的柯西不等式的代数形式和向量形式。
2、掌握二维形式的柯西不等式的证明方法。
3、能够运用二维形式的柯西不等式解决一些简单的最值问题和不等式证明问题。
二、学习重难点1、重点（1）二维形式的柯西不等式的代数形式和向量形式。
（2）二维形式的柯西不等式的证明。
（3）二维形式的柯西不等式的应用。
2、难点（1）对二维形式的柯西不等式的理解和应用。
（2）利用二维形式的柯西不等式进行构造和变形。
三、知识回顾1、基本不等式对于任意两个正实数 a、b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、均值不等式对于任意 n 个正实数\（a_1\），＼（a_2\），······，＼（a_n\），有：算术平均数\（＼frac{a_1 ＋ a_2 ＋＼cdots ＋ a_n}｛n} ＼geq ＼sqrtn{a_1a_2\cdots a_n}＼），当且仅当\（a_1 ＝ a_2 ＝＼cdots ＝ a_n\）时，等号成立。
四、新知识讲解1、二维形式的柯西不等式的代数形式若\（a\），＼（b\），＼（c\），＼（d\）都是实数，则\（（a^2 ＋b^2)（c^2 ＋ d^2) ＼geq （ac ＋ bd)＾2\），当且仅当\（ad ＝ bc\）时，等号成立。
证明：＼＼begin{align}＆（a^2 ＋ b^2)（c^2 ＋ d^2) （ac ＋ bd)＾2\＼＝＆a^2c^2 ＋ a^2d^2 ＋ b^2c^2 ＋ b^2d^2 （a^2c^2 ＋ 2abcd ＋b^2d^2)＼＼＝＆a^2d^2 ＋ b^2c^2 2abcd\＼＝＆（ad bc)＾2 ＼geq 0＼end{align}＼当且仅当\（ad bc ＝ 0\），即\（ad ＝ bc\）时，等号成立。
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二维柯西不等式导学案姓名
一、自主导学
222a b ab +≥(),a b 为实数是我们熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。
现考虑乘积()()()2222 ,,,a b c d a b c d ++为实数，它涉及到4个实数，并且形式上也和平方和有关。
请你类比222a b ab +≥的推导过程，研究一下它的不等关系。
【探究】展开这个乘积，得 ()()222222222222=+++a b c d a c b d a d b c ++
由于 ()()2222222222+++=+a c b d a d b c ac bd ad bc +-
即
()()()()222222=+a
b c d ac bd ad bc +++- ()2 0ad bc -≥ 又， ∴()()()2
2222a b c d ac bd ++≥+① ①式反映了4个实数的特定数量关系，不仅在排列形式上规律明显，具有简洁、对称的美感，而且在数学和物理中有重要作用。
它是柯西不等式（Cauchy inequality ）的最简形式，即二维柯西不等式。
从上面的探究过程可以发现，当且仅当 =0ad bc -时，①式等号成立。
于是我们有
定理（二维柯西不等式）
若, , , a b c d 为实数，则()()()22222a b c d a c b d ++≥+， 需要注意：⑴柯西不等式的形式特征；
当且仅当 =ad bc 时，等号成立. ⑵等号成立的条件。
判断下列不等式是否正确，若正确说明等号成立的条件；若错误请说明原因。
ac bd ≥+
⑵()()2a b c d ++≥
⑶()()()22222a b
c d ad bc ++≥+
【推广】请你尝试将二维柯西不等式，推广到三维。
定理（三维柯西不等式）设123123,,, ,,a a a b b b 为实数，
则()()()2
222222123123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++， 当且仅当时，等号成立.
二、课堂互动学习
例1.已知341x y +=，求22x y +的最小值. 练习1.已知222
4x y z ++=，求22x y z ++的最大值. 解： 解：
例2.若,x y R +∈,1x y +=，求证：114x y
+≥. 练习2.已知221a b +=，求证：cos sin 1a b θθ+≥ ①均值不等式 ②柯西不等式 证明：
三、学习评价
2221.231,.x y z x y z ++=++若求的最小值44223323.,()()()a b a b a b a b ++≥+若为实数,证明：
2.y =求函数1114.,,1,9a b c R a b c a b c
+∈++=++≥若，证明：
四、【推广】请你尝试将二维柯西不等式，推广到n 维。
定理（
n 维柯西不等式）设1212,,...,, ,,..., n n a a a b b b 为实数， 则，
当且仅当时，等号成立.
五、课后作业
⑴自研课本12.7.3节，柯西不等式的应用；
⑵完成作业卷：1、2、3、4； 7、8、9；证明题：2，5
六、本节课你有没搞懂的问题吗？记录下来，小组合作，共同解决吧！。