大连海事大学航海学2课件——球面三角

航海数学球面三角

作且只能作一个大圆，却能作无数个小圆，但如果通过同一直径两端的两点，则能作无数个大圆而不能作小圆； • 定理四：两个大圆平面的交线是球的直径也是这两个大圆的直径，并且两个大圆互相平分。
• 3、球面距离： • 定理五：球面上两点间小于180度的大圆弧（劣
弧）的长是该两点间的最短球面距离，简称球面距离。 • （1）、轴：垂直于任一圆面的球直径； • （2）、极：轴与球面相交的两点； • （3）、
1基本概念
第六章：球面三角
第一节：球面几何
练习：
（1）正方体的全面积是a,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（）。（2）球的半径为R，则它的外切正方体的棱长为（），内接正方体的棱长为（）。
一、平面与球面、直线与球面的位置关系
1、平面与球的位置关系：
类比直线与圆的位置关系，来探究平面与球的位置关系。
相交、相离、相切
结论：一个平面与球面相交，所得的交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面。用一个平面截一个球，截面是圆面。请同学们思考什么时候是小圆，什么时候是大圆？
2、直线与球面的位置关系：
同样，类比直线与圆的位置关系，来探究直线与球
的位置关系。
结论：
把球心O到直线L的距离记为OH，当OH>R时，相离，直线与球没有公共点；当OH=R时，相切，直线与球只有一个公共点；当OH<R时，相切，直线与球有两个公共点。三、球幂定理
二、球面上的一些基本图形
1、大圆：当平面过球心时与球面所截成的圆最大，称
为大圆；
小圆：当平面不过球心时所截的圆称为小圆；
2、优弧、劣弧：过球面上两点一定可以作一
个大圆。（球面上两点间的距离即劣弧长）球面上连接两点的最短路径是经过这两点的一段大圆弧——劣弧。

大连海事大学航海学2课件——球面三角概要

P´
圆心角相等的小圆弧与大圆弧之比等于COS纬度
七、两大圆极之间的大圆弧所对的球心角等于该两大圆面的两面角。
90°－∠BOD＝∠AOB 90°－∠BOD ＝∠DOE ∠AOB ＝ ∠DOE
第二节球面三角形
一、球面三角形的定义
在球面上由三个大圆弧围成的三角形称为球面三角形（spherical triangle）。
边三角形。
2．球面等腰三角形和球面等边三角形有两边或两角相等的三角形称为球面等腰三角形。
若三边或三角都相等的三角形称为球
面等边三角形。
3．球面初等三角形
三个边相对其球半径甚小的三角形称为球面小三角形。只有一个角及
其对边相对球半径甚小的三角形称
为球面窄三角形。两者统称为球面
初等三角形
4．球面任意三角形
球面三角形的三个角
和三条边称为球面三角形的六要素。航海上讨论的球面三
角形的六要素均大于0°，而小于180°，又称其为欧拉球面三角形。
二、球面三角形分类
球面三角形分为直角、直边、等腰、等边、
初等和任意三角形。
1．球面直角三角形和球面直边三角形至少有一个角为90°的三角形称为球面直角三角形。至少有一个边为90°的三角形称为球面直
O
P’
行圆，其中只有一个通过球心的是大圆，其余的都
是小圆。
P
a c O b d
从极到圆(大圆或小圆)弧上任一点沿大
圆弧的球面距离叫
D
A B
极距(polar distance),
C
又叫球面半径。
极距为90°的大圆弧又称为该极的极线。
P’
球面上一点到某一大
P a c d

数学

END
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二、正弦公式
1.正弦公式：
sin a sin b sin c sin A sin B sin C
2.余弦公式的记忆：
球面三角形各边的正弦与其对角的正弦成比例。
END 上海海事学院航海教研室退出
三、余切公式( 四联公式 )
1.余切公式： ctgasinb = ctgAsinC+cosCcosb、 ctgasinc = ctgAsinB+cosBcosc ctgbsina = ctgBsinC+cosCcosa ctgbsinc = ctgBsinA+cosAcosc ctgcsina = ctgCsinB+cosBcosa ctgcsinb = ctgCsinA+cosAcosb 2.余切公式的记忆：
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END 退出
六、两个大圆的极之间的大圆弧所对的球心角等于此两大圆平面的二面角
END 上海海事学院航海教研室退出
七、圆心角相等的小圆弧与大圆弧之比
圆心角相等的小圆弧与大圆弧长度之比等于小圆极距的正弦函数。
ab（长度） sin Pa AB（长度）
即
ab（长度） =AB（长度）sin（小圆极距） = AB(长度)×cos(90小圆极距)
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END 退出
五、球面角及其度量
1.球面角：球面上两个大圆弧所构成的角称为球面角。两大圆弧的交点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边。 2. 球面角的度量球面角有三种度量方法：（1）用切于顶点的两大圆弧边的切线间的夹角么EPF来度；（2）用顶点的极线被球面角两边大圆弧所截的弧长AB来度量；（3）用AB弧所对应的球心角 AOB来度量。

球面三角学于航海学的应用地文航海

第六章球面三角學於航海學的應用航海學（Navigation ）源自於拉丁文(Latin)，其意義為Navis(a ship)+Agere(to direct)。

航海學若以定位所用之方法、目標或儀器之不同而分類，則包括： 1. 推算船位（Dead Reckoning ；DR ）：即以本船之航向（Cn ）、航速（Sp ）和時間推算船位之航海。

2. 引航（Piloting ）：是使用陸標(Landmark)、助航設備(ANT)及測深(DepthSounding)等決定船位之航海。

以上1、2兩項可合稱為地文航海（Geo-Navigation ）3. 天文航海(Celestial Navigation)，經由觀測天體決定船位之航海。

4. 電子航海(Electronic Navigation)：利用電子航儀所獲得之資料決定船位之航海。

1. 地文航海2. 天文航海一、地文航海1.1 基本名詞解釋與說明1. 緯度（Latitude ）：該地在赤道之北or 南的角距離（Angle Distance ），其符號為（L,Lat ）。

是從赤道向北or 南，沿子午線量至該地之緯度平行圈。

其範圍是o o 90~0 N/S 2. 經度（Longitude ）：該地在Prime Meridian 之東或西的角距離，其符號為（λ,Long ）。

從G-Meridian 向東或西，沿赤道量至該地之子午線。

範圍在o o 180~0 E/W 。

3. 大圈（Great Circle ）：地球上兩點最短距離為過此兩點之大圈弧線。

4. 恒向線（Rhumb Line ）：球面上一線與各子午線成等角者，因為此線在球面上之軌跡為螺旋狀，故又稱為螺旋曲線（Loxodrome ）。

5. 緯度差（Difference of Latitude ）：兩地緯度差，其表示符號為（l ）。

若兩地同名，則相減；若異名，則相加。

6. 經度差（Difference of Longitude ）：兩地經度差，其表示符號為（DLo ）。

第一章航海数值计算课件

果的精度，在计算中通常采用如下的凑整规则：
(1) 若拟舍去的第一位数字是0至4中的数，则被保留的末位数不变；
(2) 若拟舍去的第一位数字是6至9中的数，则被保留的末位数加1；
(3) 若拟舍去的第一位数字是5 ，①其右边有非零
数字，则被保留的末位数加1；②其右边没有数字
或所有的数字皆为0，则被保留的末位数是奇数时
⑵按引数的个数：单内插、双内插、三内插。
⑶按函数的性质：
线性(比例)内插、变率内插、高次内插。
7
内插分类表
比例单内差
比例(线性)内差
比例双内差
比例双内差简便算法
变率内差
变率单内差变率双内差
8
(P1)
第一节比例内插(线性内插)
一．比例单内插(一元函数 y＝f(x))
1．比例正内插~~已知 x 求 y。
2．比例反内插~~已知 y 求 x。
内插的逆运算， y ＝f (x)，已知y求x？
已知函数值y位于y0和y1之间
引数(自变量) 函数值
求取
x0
y0
介于x0和x1之间的自变量x
x1
y1
…
…
14
(P3)
二. 比例双内插(二元函数)
例1－1－2：设物标高h，垂直角 α ，水平距离D＝h cotα，利用该式编表1-1-3如下：
已知自变量x位于x0和x1之间
求取介于y0和y1之间的函数值y
引数(自变量) 函数值
x0
y0
x1
y1
…
…
9
(P2)
比例内插公式
y y1 y y0
O
f(x) c
d
a
e

球面上的三角形

球面上的三角形球面上的三角形是指由球面上的三个非共线点所确定的图形。

球面由无数个点组成，每个点都可以看作是球面上的一个坐标，类似于地球上的经纬度。

在球面上，三个点之间的连线就组成了一个三角形。

球面上的三角形与平面上的三角形有很多相似之处，也有一些不同之处。

首先，球面上的三角形的边和角都表现出弧的特性。

边是由球面上的两个点所确定的弧，而角是由三个弧所确定的。

其次，球面上的三角形的边长和角度都不同于平面上的三角形。

在球面上，边长是以球面弧长来度量的，而角度则以球面上的立体角来度量。

由于球面上的特殊性质，球面上的三角形也存在一些独特的性质和定理。

以下是一些常见的球面三角形定理：1. 球面三角形内角和定理：在球面上的任意一个三角形中，三个内角的和等于180度。

这与平面上的三角形内角和定理相似。

2. 球面三角形边长的关系：对于球面上的三角形，任意两个边之间的角度与这两个边的弧长成正比。

这意味着边长越长，角度也会增大。

3. 球面三角形的面积：球面三角形的面积由球面上的三边长和之间的夹角决定。

可以使用球面三角形的余弦定理和正弦定理来计算面积。

4. 球面三角形的相似性：在球面上，两个三角形若相似，则它们对应的边长之比相等。

5. 球面三角形的欧拉定理：对于球面上的任意一个三角形，其顶点、边数和面数之间满足欧拉定理的关系：V + F = E + 2，其中V代表顶点数，F代表面数，E代表边数。

这些定理和性质使得球面上的三角形成为一个独特而丰富的数学研究领域。

它在天文学、地理学、航天等领域有着重要的应用。

例如，在航天飞行中，为了准确计算出飞行轨迹，需要考虑球面上的三角形的性质和定理。

总之，球面上的三角形是由球面上的三个非共线点所确定的图形。

它具有独特的性质和定理，与平面上的三角形有所不同。

通过研究球面三角形的性质，我们可以更好地理解和应用于实际问题中。

在日常生活和科学领域中，球面上的三角形都发挥着重要的作用。

大连海事大学航海学2课件——测罗经差

2.求观测时太阳的计算方位Ac。常用的计算方法是：（1）《航海天文历》和函数计算器法；（2）《太阳方位表》法；（3）《航海天文历》和《B105表》（或NP401表）法。
3.求罗经差＝Ac－CB
二.利用《航海天文历》和函数计算器求罗经差

ctg Ac＝cosctg Dec csc LHA－sincctg LHA
3．观测注意事项

（1）应观测低高度天体的罗方位，其高度应低于 30°最好低于15°。
（2）观测时应尽量保持罗经面的水平。（3）为避免粗差和减小随机误差的影响，一般应连续观测三次，取平均值作为对应于平均时间的罗方位。罗经读数读至0.5，观测时间准确到1m。（4）观测时应测天体的中心方位。

第四节观测北极星方位求罗经差

北极星的赤纬趋近90°极距小于1°。
而且在北纬中、低纬海区所见北极星在周日视
运动中的方位角变化范围不超过2°。

当天体赤纬趋近90°，方位趋近0°时，由推
算船位的误差而引起天体计算方位的误差趋于
零。

北极星的高度近似等于测者纬度，相对
较易识别，

北极星是北纬中、低纬海区观测天体求

表列视时 LATT ，表间距为4m （中天前、后 1小时之内间距为2m）。每页左列引数为上午（a．m．）视时，右列引数为下午视时（英版表中视时用罗马数字表示）。以T 、DecT、LATT为引数，从表中查得太阳半圆方位AT，其第一名称与测者纬度同名，第二名称上午观测为“E”，下午观测为“W”。

（2）附表：附表主要是“太阳赤纬表”和
“时差表”，它们均按4年中有1闰年的规律排