朱敏龙老师《函数的学习》
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)函数的概念及其表示(解析版)
第09讲函数的概念及其表示模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；4．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.知识点1函数的概念1、函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应．（1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；（3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A →B ．3、函数的三要素（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，f 可以看作是对“x ”施加的某种运算或法则．如：2()f x x =，f 就是对自变量x 求平方．（3）值域：对应关系f 对自变量x 在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，()y f x =表示“y 是x 的函数”，指的是y 为x 在对应关系f 下的对应值．4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．知识点2求函数定义域的依据1、分式中分母不能为零；2(2,)n k k N *=∈其中中；(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈；3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠；4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．知识点3函数的表示法1、函数的表示法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．（3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．2、描点法作函数图象（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x 的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示；（2）描点：从表中得到一些列的点(x ，f (x ))，在坐标平面上描出这些点；（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来．知识点4分段函数1、定义：在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3、分段函数图象的画法（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象．知识点5函数解析式的求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．2、换元法：主要用于解决已知()()f g x 的解析式，求函数()f x 的解析式的问题．（1）先令()=g x t ，注意分析t 的取值范围；（2）反解出x ，即用含t 的代数式表示x ；（3）将()()f g x 中的x 度替换为t 的表示，可求得()f t 的解析式，从而求得()f x ．3、配凑法：由已知条件()()()=f g x F x ，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代g (x )，便得()f x 的解析式．4、方程组法：主要解决已知()f x 与()-f x 、1⎛⎫ ⎪⎝⎭f x 、1⎛⎫- ⎪⎝⎭f x ……的方程，求()f x 解析式．例如：若条件是关于()f x 与()-f x 的条件（或者与1⎛⎫⎪⎝⎭f x ）的条件，可把x 代为-x （或者把x 代为x1）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出()f x ．考点一：对函数概念的理解例1．（23-24高一上·河南濮阳·月考）下图中可表示函数()y f x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义可知一个x 只能对应一个y 值，故答案为B.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）设{}{}123,,,M N e g h ==，，,如下选项是从M 到N 的四种应对方式,其中是M 到N 的函数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于A,集合M 中的3对应了集合N 中的两个数,A 错误;对于B,集合M 中的2N 中的两个数,B 错误;对于C,集合M 中的每个数在集合N 中都有唯一的数对应,C 正确;对于D,集合M 中的3对应了集合N 中的两个数,D 错误,故选:C.【变式1-2】（23-24高一上·四川泸州·期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合{}1,2,4=-M 到集合{}1,2,4,16N =的函数的是（）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2y x =D ．2xy =【答案】C【解析】对于A ，集合M 中的元素1-按对应关系2y x =，在集合N 中没有元素与之对应，A 不是；对于B ，集合M 中的元素4按对应关系2y x =+，在集合N 中没有元素与之对应，B 不是；对于C ，集合M 中的每个元素按对应关系2y x =，在集合N 中都有唯一元素与之对应，C 是；对于D ，集合M 中的元素1-按对应关系2x y =，在集合N 中没有元素与之对应，D 不是.故选：C【变式1-3】（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集,(0,),,A B x y ==+∞R 满足方程20x y -=，下列对应关系f 为函数的是（）A ．:,()f AB y f x →=B ．:,()f B A y f x →=C ．:,()f A B x f y →=D ．:,()f B A x f y →=【答案】B【解析】A 选项，x ∀∈R ，当0x =时，20y x ==，由于0B ∉，故A 选项不合要求；B 选项，()0,x ∀∈+∞，存在唯一确定的y ∈R ，使得2y x =，故B 正确；CD 选项，对于()0,y ∀∈+∞，不妨设1y =，此时21x =，解得1x =±，故不满足唯一确定的x 与其对应，不满足要求，CD 错误.故选：B考点二：求函数的定义域例2.（23-24高一下·广东茂名·期中）函数y =）A ．()0,∞+B ．()2,+∞C ．[)0,∞+D ．[)2,+∞【答案】D【解析】对于函数y =20x -≥，解得2x ≥，所以函数y =的定义域是[)2,+∞.故选：D【变式2-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数3y =）A ．[]3,3-B ．()3,3-C ．][(),33,∞∞--⋃+D ．()(),33,-∞-+∞ 【答案】B【解析】由题知290->x ，解得33x -<<，所以函数的定义域为()3,3-．故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，则(32)f x -的定义域为（）A ．1[,2]2B ．[1,2]-C ．[1,5]-D ．5[1,]2【答案】A【解析】由于函数()f x 的定义域为[1,2]-，故1322x -≤-≤，解得122x ≤≤，即函数(32)f x -的定义域为1[,2]2.故选：A.【变式2-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，则函数()2y f x =的定义域为（）A ．[]4,0-B ．[]1,0-C ．[]1,2D ．[]4,8【答案】C【解析】函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，由[]0,2x ∈，有[]22,4x +∈，即函数()y f x =的定义域为[]2,4，令224x ≤≤，解得12x ≤≤，函数()2y f x =的定义域为[]1,2.故选：C考点三：判断两个函数是否相等例3.（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（）A ．2y =B ．2y =+C ．22x y x=+D ．2y =+【答案】D【解析】对A ，2y =的定义域为[)2,-+∞，2y x =+的定义域为R ，故A 错误；对B ，22y x ==+，故B 错误；对C ，22x y x=+的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，故C 错误；对D ，22y x ==+，故D 正确.故选：D【变式3-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．||,y x y =B ．2,x y x y x==C ．01,y y x ==D ．2||,y x y ==【答案】A【解析】选项A ，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；选项B ，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；选项C ，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；选项D ，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.故选:A.【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（）A ．xy x=与1y =B ．y =与y x=C ．y =|1|y x =-D ．321x x y x +=+与y x=【答案】BCD 【解析】对于A ，x y x=的定义域为{}0x x ≠，而函数1y =的定义域为R ，故A 错误；对于B ，函数y x ==，x ∈R ，故B 正确；对于C ，函数1y x ==-，x ∈R ，故C 正确；对于D ，函数()2322111x x x x y x x x ++===++，x ∈R ，故D 正确.故选：BCD.【变式3-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的是（）A ．()f x =()g x =B ．()0f x x =与()01g x x =C ．()f x =()g x =D ．()22f x x x =-与()22g t t t=-【答案】BD【解析】对A ：对()g x =(],0-∞，则()g x ==故()f x =与()g x =A 错误；对B ：()()010f x x x ==≠，()()0110g x x x ==≠，故()0f x x =与()01g x x =是同一函数，故B 正确；对C ：()f x 定义域为1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，即1x ≥，()g x 定义域为210x -≥，即1x ≥或1x ≤-，故()f x =()g x =C 错误；对D ：()22f x x x =-与()22g t t t =-定义域与对应关系都相同，故()22f x x x =-与()22g t t t =-是同一函数，故D 正确.故选：BD.考点四：简单函数的求值求参例4.（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数()231f x x x -=-+，则()1f -=（）A ．5-B ．1-C ．2D ．3【答案】D【解析】取2x =，有()212213f -=-+=.故选：D.【变式4-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数1()4f x x =-，若()2f a =，则a 的值为（）A ．92B ．72C ．52D ．12-【答案】A【解析】由()2f a =，得124a =-，解得92a =.故选：A 【变式4-2】（22-23高二下·山东烟台·月考）已知函数()212f x x x -=-，且()3f a =，则实数a 的值等于（）A B ．C ．2D ．2±【答案】D【解析】令21,23x a x x -=-=，解得=1x -或3x =由此解得2a =±，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()1,12f x y f x f y f +=+-=，则()2f -=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】在()()()1f x y f x f y +=+-中，令1,0x y ==，得()()()(1)10101f f f f =+-⇒=，令1x y ==，得()()()21112213f f f =+-=+-=，令2,2-==y x ，()()()02211f f f =+--=，解得：()21f -=-，故选：A考点五：函数的三种表示方法例5.（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则[(2)]f g 的值是（）x123()f x 131()g x 321A ．1B ．2C ．3D ．1和2【答案】C【解析】由表可知：(2)2g =，则[(2)](2)3f g f ==.故选：C.【变式5-1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数()f x 的对应关系如下表，函数()g x 的图象如下图所示，则()()0f g =（）x 014()f x 269A ．2B ．6C ．9D ．0【答案】C【解析】由图可知()04g =，由表格可知()()()049f g f ==．故选：C.【变式5-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（）x 1234()f x 2341x1234()g x 2143A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D【变式5-3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在[]22-,上的函数()y f x =表示为:x [)2,0-0(]0,2y1-2设()1f m =，()f x 的值域为M ，则（）A ．{}1,2,0,1m M ==-B ．{}2,2,0,1m M =-=-C ．{}1,|21m M y y ==-≤≤D ．{}1,|21m M y y ==-≤≤【答案】B【解析】因为1x =满足(]0,2x ∈，所以()12f m ==-，由表中数据可知：y 的取值仅有2,0,1-三个值，所以{}2,0,1M =-，故选：B.考点六：函数解析式的求解例6.（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以()1,3为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（）A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x=-+C ．()236f x x x=-D ．()224f x x x=-【答案】A【解析】设图象是以()1,3为顶点的二次函数()()213f x a x =-+（0a ≠）．因为图象过原点，所以03a =+，3a =-，所以()()2231336f x x x x =--+=-+．故选：A【变式6-1】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知()22143f x x -=+，则()f x =（）．A ．224x x -+B ．22x x +C ．221x x --D ．224x x ++【答案】D【解析】令21t x =-，则12t x +=，则221()4()3242t f t t t +=+=++，所以()224f x x x =++，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上··期末）已知函数()f x 满足：2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为（）A ．()22f x x =+B ．()2f x x=C ．()()220f x x x =+≠D ．()()220f x x x =-≠【答案】A【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()22f x x =+，故选：A.【变式6-3】（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且满足14()26f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．83【答案】D【解析】由14()2()6f x f x x x+=+①，令1x x =，162()(4f x f x x x+=+②，由2⨯-②①得83()2f x x x=+，所以288()333f x x x =+≥=，当且仅当2833x x =，即2x =时，取等号，所以()f x 的最小值为83.故选：D考点七：分段函数的求值求参例7.（23-24高一上·河北石家庄·期中）若21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则 (3)f =（）A ．9B ．10C ．6-D ．6【答案】C【解析】 (3)236f =-⋅=-.故选：C【变式7-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知函数()21,02,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩，则(){}1f f f =⎡⎤⎣⎦（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】A【解析】因为()21,02,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩，所以()1121f =-=-，()()()211110f f f =-=--=⎡⎤⎣⎦，所以(){}()102f f f f ==⎡⎤⎣⎦.故选：A【变式7-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.【变式7-3】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数()231,2,2x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩．若2123f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则实数=a （）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】结合题意可得：2222,=3+1=3333f ⎛⎫<∴⨯ ⎪⎝⎭，()2232,=333123f f f a ⎛⎫⎛⎫≥∴=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1a =.故选：B.【变式7-4】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数()1,0,21,0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．[)(]2,00,2-U C ．(][),22,-∞-+∞U D ．()()2,00,2-⋃【答案】D【解析】由()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，若0a >，则()()0f a f a -->，即()1210a a +--⨯-->⎡⎤⎣⎦，解得2a <，所以02a <<若a<0，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以20a -<<，综上，不等式的解为()()2,00,2-⋃.故选：D考点八：函数图象实际应用例8.（23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线()y f x =（实线表示）；另一种是平均价格曲线()y g x =（虚线表示）.如()23f =是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；()23g =表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C ；买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B ；买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D ；故选：A.【变式8-1】（23-24高一上·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（）（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A ；（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C ；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B ；故选：D【变式8-2】（23-24高一上·宁夏固原·月考）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈()A B O A →→→，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当小明在弧AB 上运动时，与O 点的距离相等，所以AB 选项错误.当小明在半径BO 上运动时，与O 点的距离减小，当小明在半径OA 上运动时，与O 点的距离增大，所以C 选项错误，D 选项正确.故选：D【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·期中）某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意()C t ，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足，故选：D ．一、单选题1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数1()2f x x =-的定义域为（）A ．{2|3x x >且2x ≠}B ．{2|3x x <且2x >}C ．2|23x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{2|3x x ≥且2x ≠}【答案】D【解析】由题意得32020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x ≥且2x ≠，即定义域为223xx x ⎧⎫≥≠⎨⎬⎩⎭∣且.故选：D .2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21f x -的定义域为()1,2-，则函数()1f x -的定义域为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,4-D ．()2,1-【答案】C【解析】函数()21f x -的定义域为()1,2-，所以12x -<<，224,3213x x -<<-<-<，所以()f x 的定义域为()3,3-，对于函数()1f x -，由313x -<-<，得24-<<x ，所以函数()1f x -的定义域为()2,4-.故选：C3．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数()y g x =的对应关系如表所示，函数()y f x =的图象是如图所示，则()1g f ⎡⎤⎣⎦的值为（）x123()g x 43-1A ．-1B ．0C ．3D ．4【答案】A【解析】由图象可知()13f =，而由表格可知()31g =-，所以()11g f ⎡⎤=-⎣⎦.故选：A 4．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21,04,01x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪+⎩，则()()()1f f f -=（）A ．2B ．3C ．3-D ．5【答案】A【解析】依题意，()()2412,2221f f +-===+，所以()()()()()()1222f f f f f f -===.故选：A5．（23-24高一上·山东淄博·月考）已知()2122f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式是（）A ．()263f x x x =-+B ．()245f x x x =-+C ．()245f x x x =--D ．()2610f x x x =-+【答案】B【解析】令1t x =+，由于x ∈R ，则R t ∈，1x t =-，所以()()()()221121245f x f t t t t t +==---+=-+，得()245f t t t =-+，所以函数()f x 的解析式为()245f x x x =-+．故选：B6．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合{}1,2,3M =，{}1,2,3N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的定义，在集合M 中任意一个数在N 中有且只有一个与之对应，选项A 中集合M 中2对应的数有两个，故错误；选项B 中集合M 中3没有对应的数，故错误；选项C 中对应法则为从M 到N 的函数，箭头应从M 指向N ，故错误；选项D 中集合M 中任意一个数在集合N 中都有唯一数与之对应，故D 正确，故选：D二、多选题7．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）下列各组函数表示同一函数的是（）A ．()(),f x x g x ==B ．()(),f x x g x ==C ．()()1,1f x x g t t =-=-D ．()()01,f x x g x x x=+=+【答案】AC【解析】A.()(),f x x g x x ==，定义域都为R ，故表示同一函数；B.()(),f x x g x x ==，故不是同一函数；C.()()1,1f x x g t t =-=-，解析式相同，定义域都为R ，故表示同一函数；D.()()01,1f x x g x x x x =+=+=+，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≠，故不是同一函数，故选：AC8．（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()13f =D ．若()3f x =，则x【答案】BD【解析】对于A ，因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，所以()f x 的定义域为(,1](1,2)(,2)-∞--=-∞ ，所以A 错误；对于B ，当1x ≤-时，21x +≤，当12x -<<时，204x ≤<，所以()f x 的值域为(,1][0,4)(,4)-∞=-∞ ，所以B 正确；对于C ，因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，所以2(1)11f ==，所以C 错误；对于D ，当1x ≤-时，由()3f x =，得23x +=，解得1x =（舍去），当12x -<<时，由()3f x =，得23x =，解得x =x =综上，x =D 正确.故选：BD.三、填空题9．（23-24高一上·北京·期中）已知:函数()4f x x =+，()22g x x x =-+，则()f g x =⎡⎤⎣⎦.【答案】224x x -++【解析】函数()4f x x =+，()22g x x x =-+，则()()22224f g x f x x x x ⎡⎤=-+=-++⎣⎦.故答案为：224x x -++10．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数y =的值域为.【答案】[]0,4【解析】由y =可得()80x -≥，故08x ≤≤，又()288162x x x x +-⎛⎫-≤= ⎝⎭，当且仅当8x x =-，即4x =时取等号，4≤，故函数y []0,4，故答案为：[]0,411．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数()2,131,1x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩，则不等式()()13f x f x +-<的解集为．【答案】65x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【解析】当1x ≤时，10x -≤，()()()1221423f x f x x x x +-=+-=-<，得54x <，所以1x ≤；当12x <≤时，11x -≤，()()()13121533f x f x x x x +-=-+-=-<，得65x <，所以615x <<；当2x >时，11x ->，()()()131311653f x f x x x x +-=-+--=-<，得43x <，所以无解；综上所述，不等式()()13f x f x +-<的解集为65x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.故答案为：65x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知函数()2,01,0132,1x x xf x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩.(1)画出函数()f x 的图象；(2)当()2f x ≥时，求实数x 【答案】(1)作图见解析；(2)1,0,7,.3⎛⎫⎡⎛⎤-∞+∞ ⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎝⎭【解析】（1）因为()2,01,0132,1x x xf x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩，所以()f x的图象如图所示：（2）由题可得202x x ≤⎧⎨≥⎩或0112x x x<<⎧⎪-⎨≥⎪⎩或1322x x ≥⎧⎨--≥⎩，解得x ≤或103x <≤或7x ≥，所以实数x的取值范围为1,0,7,.3∞∞⎛⎫⎡⎛⎤-⋃⋃+ ⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎝⎭13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数()4,11,11x x x f x x x x-⎧≤-⎪⎪=⎨-⎪>-⎪+⎩2()1g x x =-.(1)求()2f ，()2g 的值；(2)若7(())9f g a =-，求实数a 的值.【答案】(1)13-，3；(2)3±【解析】（1）因为21>-，且()4,11,11x x x f x x x x -⎧≤-⎪⎪=⎨-⎪>-⎪+⎩，所以121(2)123f -==-+.因为2()1g x x =-，所以2(2)213g =-=.（2）依题意，令()g a t =，若1t ≤-，则47(())()9t f g a f t t -===-，解得914t =>-，与1t ≤-矛盾，舍去；若1t >-，则17(())()19t f g a f t t -===-+，解得81t =>-，故2()18g a a =-=，解得3a =±，所以实数a 的值为3±；综上所述：a 的值为3±.。
重启探究与发现 发展数学素养——“探究函数y=x+1x的图像与性质”的教学设计
www ."T 炎学论教2020年第12期中学数学教学参考（上旬）重启探究与发现发展数学素养—“探究函数>^+士的图像与性质”的教学设计丁书明（广东省深圳市翠园中学)”的教学设计为例，研究如何运用“探究与发现”的内容落实摘要：以“探究函数:y = :c +丄的图像与性质X素养教学。
关键词：探究与发现；对勾函数；核心素养文章编号：1002-2171(2020)12-0031-041问题提出人教A 版普通高中教科书《数学》(必修第一册） (文献[1])第三章第三节“探究与发现”的内容为“探究函数3^ = ：r+|的图像与性质”。
该如何对高一学生进行这部分内容的教学，值得研究。
文献[2]中，朱 敏龙老师的教学对象为初三学生，课型为数学活动课，对函数y = x+ +的图像与性质进行了设计，提出“提炼学习方法.积淀学习经验，提升学习能力”的主 题。
而文献[3]中，虽然是针对高一学生进行的教学 设计，但仍不尽如人意。
另外，限于当时还未提出核 心素养的概念，文献[3]的设计难免有不适应新课程一起分析题目，寻找题目的各种解法，探讨各种解法 的运算量，每种解法的运算路径如何设置•运算的节 点如何把控，运算的过程如何监控等.向学生阐明每 一步运算的算理，提醒学生注意每一个运算的细节和 关键点，教给学生常见的代数变换的方法和必要的运 算技巧，让学生明确为什么这样算，这样算的优点和 缺点分别是什么，运算的繁简度又如何，体会运算思 路的形成过程，享受运算出结果带来的成就感，从而 提升学生数学运算素养。
3.3注重积累运算经验，提升数学运算素养俗话说“三个臭皮匠赛过诸葛亮”,假如一位教师 带一个班有五十位学生，带两个班就有一百位学生， 这些学生不仅思维有差异，对运算对象也有不同的理 解，产生不同的思维模型和不同路径的数学运算，如理念教学的缺憾。
鉴于以上分析，笔者对于这部分内 容的教学做了进一步的思考与实践.现整理成文。
必修1第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念.ppt
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关 系是否为函数？
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个实 例中变量之间的关系都可以怎样描述？
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
设a，b是两个实数，而且a<b,我们规定： ⒈ 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] ⒉ 满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区 间，表示为(a，b) ⒊ 满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b] 这里的实数a，b叫做相应区间的端点
x (C)
x
(B) y
x (D)
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
y 1 (x R) 是函数吗？
y x 与 y x2 是同一函数吗？
x
y 2 x 是否为函数？
f(x)=x2 与f(t)=t2是否为同一函数 ?
下列函数中哪个与函数 y x 是同一函数？
{x x＞b} (b , +∞)
。
{x x≥b} [b , +∞)
.
{x x∈R} (－∞,+∞) 数轴上所有的点
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
1. 一次函数y=ax+b(a≠0)定义域是
R. 值域是 R.
2.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的
高中函数听课记录
高中函数听课记录
本节课的主题是“函数的极限”，教师首先让学生回顾了函数的定义和性质，并引入了极限的概念。
教师通过多个实例，让学生了解了什么是函数的极限，以及函数极限的计算方法。
在讲解的过程中，教师注重引导学生思考，让学生自己发现规律和方法，而不是简单地告诉他们答案。
在讲解函数极限的计算方法时，教师特别强调了重要的极限公式和极限运算法则。
教师通过多个例题，让学生掌握了如何使用这些公式和法则来计算函数的极限。
同时，教师还让学生了解了什么是无穷小量和无穷大量，以及它们在函数极限中的应用。
在教学过程中，教师注重让学生理解数学概念的本质，而不是简单地记忆公式和方法。
教师通过多个实例，让学生了解函数极限的本质是什么，以及为什么要研究函数极限。
同时，教师还让学生了解了函数极限在实际生活中的应用，让学生感受到数学的魅力和实用性。
在教学过程中，教师还注重培养学生的思维能力和创新能力。
教师通过多个思维导图和问题引导，让学生自己思考如何解决问题，而不是简单地接受教师的答案。
同时，教师还鼓励学生提出问题和解决方案，让学生在课堂上充分发挥自己的创造力和想象力。
深入了解《高中数学函数》听课评课记录
深入了解《高中数学函数》听课评课记录1. 课程概述本次听课评课的内容为《高中数学函数》，授课教师通过生动的语言、清晰的板书以及合理的教学设计，引导学生进行了深入的和理解。
2. 教学目标授课教师明确指出了本节课的教学目标，即让学生掌握函数的基本概念、性质和应用，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 教学内容3.1 函数的基本概念授课教师从函数的定义入手，通过具体的例子和图示，让学生直观地理解了函数的概念。
同时，教师还介绍了函数的表示方法，包括解析式和图像两种方式。
3.2 函数的性质教师通过大量的实例和练，让学生掌握了函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
同时，教师还引导学生通过观察函数图像来判断函数的性质，培养了学生的观察和分析能力。
3.3 函数的应用授课教师通过引入实际问题，让学生了解函数在现实生活中的应用。
例如，通过分析商品价格与销售量的关系，让学生运用函数模型来解决问题。
4. 教学方法授课教师采用了多种教学方法，包括讲解、示范、练、讨论等，使学生在不同的教学活动中都能得到有效的锻炼和提高。
5. 教学效果通过本节课的，学生们对函数的基本概念、性质和应用有了更深入的理解和掌握。
课堂上，学生们积极思考、提问，教学氛围活跃。
6. 建议为了进一步提高本节课的教学效果，建议在以下方面进行改进：1. 在讲解函数性质时，可以增加更多的实例和练，让学生更加深入地理解和掌握。
2. 在讲解函数应用时，可以引入更多的实际问题，让学生体验到函数在解决实际问题中的重要作用。
3. 在教学过程中，可以更多地鼓励学生进行自主和合作，培养学生的独立思考和团队协作能力。
以上就是本次《高中数学函数》听课评课的详细记录，希望通过这次评课，能够进一步提高教学质量，促进学生的全面发展。
3.3.3几种常见的函数(教案)-【中职专用】高一数学同步精品课堂(高教版2021·基础模块上册)
3.3.3几种常见的函数（教案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块上册）教学目标：本节课的主要目标是让学生了解几种常见的函数的概念、特点和图像，并能够掌握这些函数的性质和应用。
教学过程：1.引入首先，教师可以通过一个问题引导学生进入本节课的内容：“你们学过哪些数学函数？它们有什么特点和应用？”然后，教师简要介绍本节课要讲的几种常见的数学函数和它们的应用，包括二次函数、指数函数、对数函数和三角函数。
2.二次函数2.1 概念和特点二次函数是一个以 x 为自变量的函数，其形式为 f(x) = ax²+ bx + c，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。
二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，其顶点为 (- b/ 2a, f(-b/2a))。
2.2 图像和性质教师可以通过演示一些二次函数的图像和缩放、平移等变换方式，让学生了解二次函数的图像特点和性质，如开口方向、对称轴、零点、最值等。
2.3 应用教师可以举例讲解二次函数在实际问题中的应用，如自由落体运动、抛体运动等。
3.指数函数3.1 概念和特点指数函数是一个以 x 为自变量的函数，其形式为 f(x) = a^x，其中 a 为正实数，a ≠ 1。
指数函数的图像是一条以 (0,1) 为端点、向上增长的曲线。
3.2 图像和性质教师可以演示一些指数函数的图像和变换方式，让学生理解指数函数的特点和性质，如增长趋势、对称轴、渐近线等。
3.3 应用教师可以讲解指数函数在实际问题中的应用，如复利计算、人口增长、物质衰变等。
4.对数函数4.1 概念和特点对数函数是一个以 x 为自变量的函数，其形式为 f(x) = loga x，其中 a 为正实数，a ≠ 1。
对数函数的图像是一条经过点(1,0)、向右递增、渐近线为 x 轴的曲线。
4.2 图像和性质教师可以演示一些对数函数的图像和变换方式，让学生理解对数函数的特点和性质，如增长趋势、对称轴、渐近线等。
2021届 与名师对话 高三理科第一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 第一节 函数及其表示
立．
核 心
在D中，g(t)＝ t2 ＝|t|，与f(x)＝|x|的对应关系和定义域
课 后
考
跟
点 突
都相同，所以D成立．故选D.
踪 训
破
练
第23页
第2章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
映射与函数的含义
基
名
础 知
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合
师 微
识
课
回 B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原
名 师
知
微
识 回
“×”)
课 导
顾
学
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( × )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( × )
核 心
(3)f(x)＝ x－3＋ 2－x是一个函数．( × )
课 后
考
跟
点 突
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相
踪 训
破
练
等．( × )
第10页
第2章 第1节
与名师对话·系列丛书
基 础 知 识 回 顾 核 心 考 点 突 破
第1页
高考总复习·课标版·数学(理) 名 师 微 课 导 学 课 后 跟 踪 训 练
第2章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
基
名
础
师
知
微
识
课
回
导
顾
学
第一节 函数及其表示
核
课
心
后
考
跟
点
踪
突
训
破
职教高考函数知识点汇总
职教高考函数知识点汇总函数是数学中非常重要的概念，也是职教高考数学考试的重点内容之一。
在函数知识点中，包括了函数的定义、性质、图像和应用等方面。
下面将对这些内容进行详细的介绍。
1. 函数的定义函数是一种数学关系，它将一个自变量的值映射为一个因变量的值。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以用文字、表格或图形的形式表示。
2. 函数的性质（1）定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量可能取值的集合。
定义域和值域的求解常常需要考虑函数的条件。
（2）奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图像相对于y轴的对称性。
如果f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数。
（3）单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的增减性。
如果函数的导数始终大于0，则函数是递增的；如果函数的导数始终小于0，则函数是递减的。
（4）周期性：函数的周期性是指函数在一定区间内具有相同的性质重复出现。
例如，正弦函数和余弦函数都是周期函数。
3. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表示，可以通过绘制函数的图像来观察函数的性质。
绘制函数图像时，需要考虑函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性等。
常见的函数图像包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
4. 函数的应用函数在实际生活中有广泛的应用。
以下是几个常见的函数应用示例：（1）财务管理：函数可以用来描述投资、贷款和利润等财务问题。
例如，复利函数可以用来计算投资的未来价值。
（2）物理学：函数在描述物理过程中起到重要的作用。
例如，位移函数可以用来描述物体的运动轨迹。
（3）经济学：函数可以用来描述供需曲线和成本曲线等经济问题。
例如，需求函数可以用来描述商品的需求量与价格的关系。
（4）医学：函数可以用来描述血压、体温和心率等生理指标的变化。
例如，心率函数可以用来分析心脏健康状况。
总结：函数是数学中重要的概念，职教高考数学考试中也是一个重要的知识点。
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图6 图6 -8
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课堂小结
学习课题：
知识归纳与整理： . 有哪些数学思想或方 法： . 老师我想对你说： .
.
我的收获与困惑： . .
自我评价：
.
相关链接：高中研究函数的一般过程： （1）定义域； （2）值域； （3）函数的奇偶性； （4）函数的单调性； （5）函数的极值与最值．
-10 -5
y
6
4
2
O x
5
-2
-4
-6
-8 图 6
-10
布置作业
1 y 2 1．根据函数表达式 x ,你能说出它的 图像具有的一些特征吗?试画出它的图像.
2．尝试解答2011南京中考第28题.
关注中考
（2011南京第28题）
课堂练习
（2011 江苏苏州）下列四个结论中，正确的是 1 A．方程 x＋x＝－2 有两个不相等的实数根 1 B．方程 x＋x＝1 有两个不相等的实数根 1 C．方程 x＋x＝2 有两个不相等的实数根 1 D．方程 x＋x＝a（其中 a 为常数，且|a|＞2） 有两个不相等的实数根
欢迎您,各位老师!
---- 朱敏龙
陕西省西安市
2015-01-10
莫愁湖
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
夫子庙
江苏南京 朱敏龙
nsfzzml@
学习体验 我们已经学习了哪些函数？
函数学习的一般过程是什么?
函数研究一般关注什么?
借鉴你学习函数的 经验，尝试研究函数 1 y＝x＋x．
函数图像的形成
y
6
4
2
O x
-10 -5 5 10 15