2021届河北衡水密卷新高考仿真考试(八)数学试题
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(八)数学(理)试题
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（八）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1.已知集合(){}12A x x x =+≤，{}11B x x =->，则A B =（ ）A. [)1,0-B. [)2,0-C. (]0,1D. (]0,2【答案】B 【解析】 【分析】计算[]2,1A =-，()(),02,B =-∞+∞，再计算交集得到答案.【详解】(){}[]122,1A x x x =+≤=-，{}()()11,02,B x x =->=-∞⋃+∞， 所以[)2,0AB =-.故选：B.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 2.i?是虚数单位，若2i2im ++是纯虚数，则实数m = （ ） A. 1 B. 1-C. 4D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若2i2i m ++是纯虚数，化简虚数得到()()()()()2i 2i 2242i 2i 2i 2i 5m m m i m +-++-+==++-， 纯虚数即22040m m +=⎧⎨-≠⎩解得m=-1. 故答案为B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础. 3.函数sin cos y x x =-在[],ππ-上的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为奇函数排除AD ，计算4x π=时，0y <，排除C ，得到答案.【详解】函数sin cos y x x =-是奇函数，排除A ，D ；当4x π=时，0y <，排除C.故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性是解题的关键. 4.在如图所示的算法框图中，若输入的45x =，则输出结果为（ ）A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】根据算法框图依次计算得到答案.【详解】45x =，1n =；35x =，2n =；15x =，3n =；25x =，4n =；45x =，5n =； 故呈现以4为周期的特点，当2020n =时，输出结果与4n =时结果相同，为25x =.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，确定周期是解题的关键.5.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若1718S S =，则在18a ，35S ，1719a a -，1916S S -这四个值中，恒等于0的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算得到()18n a n d =-，()352n n n S d -=，依次验证每个选项得到答案. 【详解】设n a 的首项为1a ，公差为d ，由1718S S =， 即1117161817171822a d a d ⨯⨯+=+，得117a d =-，所以()18n a n d =-，()()()1351722n n n n n S n d d d --=-+=， 所以180a =，350S =，17192a a d d d -=--=-，()()191619161619022S S d d ⨯-⨯--=-=. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6.为了得到正弦函数sin y x =的图象，可将函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移m 个单位长度，或向左平移n 个单位长度（0m >，0n >），则m n -的最小值是（ ） A.3πB.23π C.43π D.53π 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意得到123m k ππ=+，2523n k ππ=+，故()12423m n k k ππ-=-+-，计算得到答案. 【详解】sin sin 3x m x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故123m k ππ=+，1k N ∈； sin sin 3x n x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故2523n k ππ=+，2k N ∈，所以()()12125422333m n k k k k πππππ-=-+-=-+-， 故当121k k -=时，m n -最小为23π. 故选：B .【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移法则的灵活运用.7.如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A.32B. 2C. 3D.92【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，该几何体是四棱锥P ABCD -，计算得到答案. 【详解】该几何体是四棱锥P ABCD -，其中3PA =，底面是直角梯形，2AB AD ==，1BC =，90ABC BAD ∠=∠=︒. 体积()111223332V ⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦. 故选：C .【点睛】本题考查了根据三视图求体积，画出几何体是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8.设126log a =，14log 12b =，15log 15c =，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】化简得到21log 3a =--，41log 3b =--，51log 3c =--，得到答案. 【详解】122log 61log 3a ==--，144log 121log 3b ==--，155log 151log 3c ==--，由于245log 3log 3log 3>>，故a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 9.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于（ ）A.118B.332C.29D.89【答案】C 【解析】 【分析】计算得到()314434A P B =，()4444A P AB =，根据条件概率公式计算得到答案.【详解】记事件A =“4名同学所报选项各不相同”， 事件B =“已知甲同学报的项目其他同学不报”，()314434A P B =，()4444A P AB =，()()()29P AB P A B P B ==. 故选：C.【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.在平行四边形ABCD 中，2AB AD ==172AE BF ⋅=-，E 是BC 的中点，F 点在边CD 上，且2CF FD =，若172AE BF ⋅=-，则DAB ∠=（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】记AB a =，AD b =，12AE a b =+，23BF a b =-+，根据172AE BF ⋅=-得到1cos 2DAB ∠=-，计算得到答案.【详解】记AB a =，AD b =，则23a =，3b =，12AE a b =+，23BF a b =-+， 所以2212221384cos 233322AE BF a b a b a a b b DAB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+=-+∠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭134cos 2DAB =-+∠. 因为172AE BF ⋅=-，所以13174cos 22DAB -+∠=-，得1cos 2DAB ∠=-，所以120DAB ∠=︒. 故选：C.【点睛】本题考查了根据向量数量积求夹角，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.双曲线C ：221916x y -=的右支上一点P 在第一象限，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，I 为12PF F △的内心，若内切圆I 的半径为1，直线1IF ，2IF 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +的值等于（ ） A.38B. 38-C. 58-D.58【答案】B 【解析】 【分析】如图，设圆I 与12PF F △三边的切点分别为A ，B ，C ，得到18AF =，故3,1I ，计算得到答案. 【详解】如图，设圆I 与12PF F △三边的切点分别为A ，B ，C ， 根据圆切线的性质和双曲线的定义，有12121226AF AF CF BF PF PF a .又12210AF AF c ，所以18AF =，所以11853OA AF OF =-=-=，即点A 的横坐标为3，所以3,1I . 因为()15,0F -，()25,0F ，所以12113828k k +=-=-. 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线中的斜率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 12.定义在R 上函数q 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是（ ）A.72B.92C.134D.154【答案】D 【解析】 【分析】计算()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，画出图像，计算()116f x =，解得154x =，得到答案. 【详解】根据题设可知，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，故()()()11112322f x f x x =-=--，同理可得：在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时，()116f x ≤. 作函数()y f x =的图象，如图所示. 在7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，由()11127816f x x =⎡--⎤=⎣⎦，得154x =. 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤. 故选：D .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，将每题的正确答案填在题中的横线上）13.已知公比不为1的等比数列{}n a ，且237645,23a a a a a =+=，则数列的通项公式n a =______.【答案】12n + 【解析】 【分析】利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】设公比为q ，则()22611a q a q =，所以21a q =，53411123a q a q a q +=，故1q =（舍）或2q，所以14a =，故12n n a +=.故答案为：12n +.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，意在考查学生的计算能力.14.在()()51a x x ++展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为8，则a =______. 【答案】12- 【解析】 【分析】设x 的偶数次幂项的系数之和为A ，奇数次幂项的系数之和为B ，则()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，解得()161A a =+，得到答案.【详解】设()()()51f x a x x =++展开式x 的偶数次幂项的系数之和为A ，奇数次幂项的系数之和为B ，则()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()1111612A f f a =+-=+⎡⎤⎣⎦，由8A =得12a =-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交准线于点P ，交y 轴于点Q ，若PQ FB =，则弦长AB =______.【答案】92【解析】 【分析】设点B 、F 在准线上的射影分别是点G 、K ，计算得到23KF PF GB PB ==，得到B 的坐标为(2,，A 的横坐标为12，计算得到答案. 【详解】设点B 、F 在准线上的射影分别是点G 、K ，根据抛物线的定义可知原点O 是线段KF 的中点，所以Q 是线段PF 的中点，PQ QF =，又PQ FB =，可得23PF PB =，所以23KF PF GB PB ==.因为2KF =，所以3GB =，所以可得点B 的坐标为()2,22（点B 只能在第一象限），所以直线AB 的方程为()221y x =-，代入24y x =，可求得点A 的横坐标为12， 所以13122AF =+=，39322AB AF BF =+=+=. 故答案为：92.【点睛】本题考查了抛物线的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.16.《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马S ABCD -，SA ⊥平面ABCD ，1AB =，3AD =，3SA =.BC 上有一点E ，使截面SDE 的周长最短，则SE 与CD 所成角的余弦值等于______.【答案】24【解析】 【分析】要使截面SDE 的周长最短，则SE ED +最短，连接SD '，交BC 于E ，作//EF CD 交AD 于F ，连接SF ，则SE 与CD 所成角为SEF ∠，计算得到答案.【详解】要使截面SDE 的周长最短，则SE ED +最短，将底面ABCD 沿BC 展开成平面图形D A BC ''（如图），连接SD '，交BC 于E ， 则'SE ED SE ED SD '+=+≥，当'SED 共线时等号成立，此时，由1AB =，3SA =，则2SB =，故3SA '=，3A D AD ''==，故2BE =， 作//EF CD 交AD 于F ，连接SF ，则SE 与CD 所成角为SEF ∠， 易得SF EF ⊥，由于22SE =，1EF =，2cos 422EF SEF SE ∠===. 故答案为：24.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若B 为锐角，且sin 2sin 3A B A +=. （1）求C ；（2）已知2a =，8AB BC ⋅=-，求ABC 的面积. 【答案】（1）23C π=；（2）3【解析】 【分析】（1）计算得到sin sin 3B A π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据题意得到cos 4c B =31cos sin 32B c B -=sin 3c B =到面积. 【详解】（1）由sin 2sin 3A B A +=，得31sin sin 2B A A =-，故sin sin 3B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即23B A π=+.因为B 为锐角，所以3B A π=-，即3B A π+=，故23C π=. （2）由8AB BC ⋅=-，得()cos 8ca B π-=-，故cos 8ca B =. 因为2a =，所以cos 4c B =①. 根据正弦定理，sin sin a c A C =，及3A B π=-，23C π=，2a =，得23sin 32B π=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin 33c B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故31cos sin 322c B c B -=②. ①代入②，得123sin 32c B -=，所以sin 23c B =. 所以ABC 的面积等于11sin 2232322ac B =⨯⨯=.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190ACB C CB ∠=∠=︒，160A AC ∠=︒，D ，E 分别为1A A 和11B C 的中点，且1AA AC BC ==.（1）求证：1//A E 平面1BC D ；（2）求平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（210. 【解析】 【分析】（1）取线段1BC 的中点F ，连接EF 、DF ，证明四边形1A DFE 是平行四边形，得到证明.（2）以O 为原点，射线OA 、1OA 分别为x 轴和z 轴的正半轴，以平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，平面1BC D 一个法向量为()3,23,5m =，平面ABC 的一个法向量为()13OA a =，计算向量夹角得到答案.【详解】（1）如图1，取线段1BC 的中点F ，连接EF 、DF ，因为E 为11B C 的中点，所以1//EF BB ，且112EF BB =. 又D 为1A A 的中点，所以11//A D BB ，且1112A D BB =，所以1//EF A D ，且1EF A D =，所以四边形1A DFE 是平行四边形，所以1//A E DF .又DF ⊂平面1BC D ，1A E ⊄平面1BC D ，所以1//A E 平面1BC D .（2）作1A O AC ⊥于点O ，因为160A AC ∠=︒，所以130AAO ∠=︒， 所以11122AO A A AC ==，即O 为AC 的中点. 因为190ACB C CB ∠=∠=︒，所以BC ⊥平面11A ACC ，所以1BC A O ⊥， 所以1A O ⊥平面ABC .故以O 为原点，射线OA 、1OA 分别为x 轴和z 轴的正半轴，以平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图2.令12AA AC BC a ===，则(),0,0A a ，(),2,0B a a -，()1A，()12C a -，12D a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以3,22BD a a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，15,0,2C D a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面1BC D 一个法向量为(),,m x y z =，则()()3,,,2025,,,0,022x y z a a x y z a a ⎧⎛⎫⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，得320,2502x y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取x =y =5z =，所以()3,m =.又平面ABC 的一个法向量为()1OA =，设平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角为θ，则115310cos 4403m OA a am OA θ⋅===⋅⋅.所以平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为10.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，原点到直线1x y a b +=23又知点()0,3Q .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上总存在两个点A 、B 关于直线y x m =+对称，且328QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）613⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据离心率定义和点到直线的距离公式计算得到答案.（2）设直线AB 的方程为y x n =-+，联立方程得到1243n x x +=，()212223n x x -=，根据中点得到3n m =-，得到66m <<，根据328QA QB ⋅<，计算得到113m -<<，得到答案. 【详解】（1）由2222222311a b a a b-=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪+⎪⎩，得24a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）根据题意可设直线AB 的方程为y x n =-+，联立22,142y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234220x nx n -+-=，由()()22443220n n ∆=--⨯⨯->，得26n <.设()11,A x x n -+，()22,B x x n -+，则1243n x x +=，()212223n x x -=. 又设AB 的中点为()00,M x x n -+，则120223x x n x +==，03nx n -+=. 由于点M 在直线y x m =+上，所以233n nm =+，得3n m =-，代入26n <， 得296m <，所以66m -<<①.因为()11,3QA x x n =-+-，()22,3QB x x n =-+-， 所以()()()21212233QA QB x x n x x n ⋅=--++-()()()224243333n n n n --=-+- 236193n n -+=. 由328QA QB ⋅<，得2361928n n -+<，解得13n -<<，所以133m -<-<， 即113m -<<②. 又由①②得613m -<<，故实数m 的取值范围为61,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆方程，根据对称和向量数量积求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入下面的列联表：试写出a ，b ，c ，d 的值；（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天（*N k ∈）进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T =，1k =，2，3，4.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.【答案】（Ⅰ）（1）5a =，15b =，15c =，5d =，（2）有99%的把握认为连续正常运行时间有差异；（Ⅱ）分布列见解析，2.275万元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据茎叶图得到5a =，15b =，15c =，5d =，计算210 6.635K =>，得到答案. （Ⅱ）计算得到1~44B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】（Ⅰ）（1）由茎叶图知2931302m +==，根据茎叶图可得：5a =，15b =，15c =，5d =. （2）由于()224055151510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为连续正常运行时间有差异.（Ⅱ）生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14p =. 设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ次，则正常维护费为0.542⨯=万元，保障维护费为()20.210.10.12ξξξξ⨯+=+万元.故一个生产周期内需保障维护ξ次时的生产维护费为20.10.12ξξ++万元. 由于1~44B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则分布列为则()812727312 2.2 2.6 3.242566412864256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯162237.6140.438.44582.4 2.275256256++++===万元.故一个生产周期内生产维护费的期望值为2.275万元.【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.已知函数()2112xf x e x ax =-++，a R ∈.（1）若()f x 为R 上的增函数，求a 的取值范围；（2）若0a >，12x x ≠，且()()124f x f x +=，证明：()122f x x +<. 【答案】（1）1a ≥-；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()xf x e x a '=-+，得到x e x a -≥-，设()xF x e x =-，求导得到单调区间得到最值，得到答案.（2）()f x 为R 上的增函数，()02f =，设120x x <<，设()()()h x f x f x =+-，证明()h x 为(),0-∞上的减函数，得到()()()2114f x f x f x =-<-，得到答案.【详解】（1）()xf x e x a '=-+，若()f x 为R 上的增函数，则()0xf x e x a '=-+≥恒成立，即x e x a -≥-恒成立，设()xF x e x =-，则()1xF x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()0F x '<，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>， 所以()F x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以()()01F x F ≥=，故1a -≤，所以1a ≥-. （2）若0a >，由（Ⅰ）知()f x 为R 上的增函数.由于()02f =，已知12x x ≠，且()()124f x f x +=，不妨设120x x <<. 设函数()()()h x f x f x =+-，(),0x ∈-∞， 则()2221111222xx x x h x e x ax e x ax e e x --⎛⎫=-+++--+=+-+ ⎪⎝⎭， 则()2xxh x e ex -'=--，设()()x h x ϕ='，则()20x x x e e ϕ-'=+-≥，由于(),0x ∈-∞，所以()h x '为(),0-∞上的增函数，所以()()00h x h ''<=， 所以()h x 为(),0-∞上的减函数，所以()()()()11104h x f x f x h =+->=， 所以()()()2114f x f x f x =-<-，而()f x 为R 上的增函数，所以21x x <-，故120x x +<.从而()()1202f x x f +<=. 故()122f x x +<.【点睛】本题考查了根据函数单调性求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 选修4—4坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（其中α为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 0ρθ+=. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A ，B 分别是曲线1C ，2C 上两动点且2AOB π∠=，求AOB 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()2239x y -+=，2240x y x ++=；（Ⅱ）6 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，消参化简得曲线1C 的普通方程，对2C 的极坐标方程，两边同乘ρ，利用及坐标公式化简可得曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）根据题意，设极坐标()1,02A πρθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入极坐标方程中，求得12ρρ，的值，1212AOB S ρρ=△，根据三角函数有界性，即可求解最值. 【详解】（Ⅰ）由条件知消去参数α得到曲线1C 的普通方程为()2239x y -+=.因4cos 0ρθ+=可化为24cos 0ρρθ+=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，代入得2240x y x ++=，于是曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x ++=.（Ⅱ）由条件知曲线1C ，2C 均关于x 轴对称，而且外切于原点O ， 不妨设()1,02A πρθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 因曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=， 所以16cos ρθ=，24cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭， 于是12116cos 4sin 6sin 2622AOB S ρρθθθ==⨯⨯=≤△， 所以当4πθ=时，AOB 面积的最大值为6.【点睛】本题考查参数方程化成普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标系下极径的几何意义的应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中等题型.选修4—5不等式选讲23.已知函数()11f x x m x m =-+++（其中实数0m >）. （Ⅰ）当1m =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）求证：()()121f x m m +≥+.【答案】（Ⅰ）57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，代入1m =，化简绝对值不等式，化成分段函数，分类讨论不等式的解集，取并集即可求解；（Ⅱ）根据题意，运用绝对值三角不等式，化简式子，结合0m >，再利用基本不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）由条件知1m =时，()12,121311,1222112,22x x f x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=-++=-≤<⎨⎪⎪-+<-⎪⎩于是原不等式可化为①11232x x ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩；②112332x ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩；③121232x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ 解①得714x ≤≤；解②得112x -≤<；解③得5142x -≤<-， 所以不等式()3f x ≤的解集为57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）由已知得()()()111111f x x m x m m m m m +=-++++++()()11111111x m x m m m m m m m ⎛⎫≥--++=++ ⎪++++⎝⎭ 1111211m m m m m m=++-=+≥++ 当且仅当1m =时，等号成立，于是原不等式得证.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用证明，考查基本不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(九)数学(文)试题
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（九）数学（文）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 的共轭复数为z ，且()23i z i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A. 2B.C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】解：()23i z i -=+，∴()()()()3235512225i i i iz i i i i ++++====+--+，则z z ===.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，模的求法，属于基础题. 2.已知集合{|A x y ==，B N =，则A B =（ ）A. {}1,2B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】求解函数的定义域化简集合A ，然后利用交集运算求解即可.【详解】解：{(]|,2A x y ===-∞，B N =，∴{}0,1,2A B =.故选：D.【点睛】本题考查交集运算，函数的定义域的求法，属于基础题.3.已知()12log ,02,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，()()2a f f =-，ln π2b =，lncos5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. b c a >>C. b a c >>D. c a b >>【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算和指数运算比较大小即可. 【详解】解：由题设知，()()12112log244a ff f ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，ln π1>，∴ln π22b =>，又0cos51<<， ∴lncos50c =<，则b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查对数运算和指数运算，结合对数函数，指数函数及余弦函数的性质，属于基础题. 4.把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“幸运”，则在12019这2019个数中，能称为“幸运数”的个数是（ ） A. 251 B. 250C. 252D. 253【答案】C 【解析】利用新定义，求出幸运数的满足条件，然后利用数列通项公式即可. 【详解】解：设两个连续奇数为21n -，()21n n N *+∈，则它们的平方差为()()()2221218n n n n N *+--=∈，故“幸运数”即为能被8整除的正整数， 在12019这2019个数中，幸运数组成一个首项为8，公差为8的等差数列，末项为2016，设共有m 个幸运数，则()2016818m =+⋅-， 解得，252m =. 故选：C.【点睛】本题考查新定义的连接与应用，数列的应用，数列通项公式的运用，考查计算能力，属于基础题. 5.函数()5sin cos 22x f x x x x ππ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的部分图象可以为（ ） A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再代入特殊值，进而判断结果. 【详解】解：()5sin cos f xx xx =- ∴函数()f x 是奇函数，则图象关于原点对称，则排除B 、D ，又5sin 0.5cos 6666f ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝≈-⎭，则排除C.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性，结合三角函数的特殊值的运用，属于基础题.6.某市为庆祝建国70周年，营造一个安全的交通出行环境，方便市民出行，对全市两千多辆出租车的行驶年限进行了调查，现从中随机抽出100辆出租车，已知抽到频率的出租车的行驶年限都在(]0,6年之间，根据调查结果，得到出租车行驶年限情况的残缺频率分布直方图，如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计出租车行驶年限的中位数大约是（ ）A. 3.5B. 3.4C. 3.3D. 3.6【答案】B 【解析】 【分析】先算出数据位于[)1,2的频率，再设中位数x ，依据中位数的概念可知两边面积都是0.5，进而列式，求出中位数x 的值.【详解】解：由频率分布直方图知，数据位于[)1,2的频率为()10.080.120.160.200.300.14-++++=，∴前三个矩形的面积之和为0.080.140.160.38++=设中位数x ，则() 0. 3830.300.5x +-⨯=， 解得， 3.4x =. 故选：B.【点睛】本题考查根据频率直方图运算中位数的问题，考查运算能力，属于基础题.7.22sin 20sin80sin 20sin 40︒︒-︒︒的值为（ ）A.3 B.3 C.3D.12【答案】A 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式的逆用进行化简，进而算出结果即可.【详解】解：22sin 20sin80sin 20sin 40︒︒-︒︒()sin 202sin 80sin 202sin 80sin 202sin 20cos 202cos 20︒︒-︒︒-︒==︒︒︒()2sin 6020sin 202cos 20︒+︒-︒=︒==故选：A.【点睛】本题考查两角和的正弦公式，考查运算能力，属于基础题.8.已知单位向量1e ，2e ，且()12,OP m n m e n R e =+∈，若12e e ⊥，1OP =，则下列式子一定成立的是（ ） A. 1m n += B. 1mn = C. 221+=m nD. 12mn =【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知2212122222OP m n e e e e mn =++⋅，再利用1e ，2e 是单位向量且12e e ⊥，1OP =，代入化简，即可判断出结果. 【详解】解：()12,OP m n m e n R e =+∈，∴2212122222OP m n e e e e mn =++⋅，1e ，2e 是单位向量且12e e ⊥，1OP =，∴221m n =+.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的数量积与模长公式的应用问题，属于基础题.9.如图所示的程序框图，输入2m =，若输出的值为32，则判断框内应填入的条件为（ ）A. 6n >B. 6n <C. 6n ≥D. 6n ≤【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟运算，即可得出结果.【详解】解：由程序框图知，2m =，4i =，2n =， 第一次：3m =，3i =，32m i +≠，否，循环，3n =， 第二次：5m =，2i =，32m i +≠，否，循环，4n = 第三次：9m =，1i =，32m i +≠，否，循环，5n = 第四次：17m =，0i =，32m i +≠，否，循环，6n = 第五次：33m =，1i =-，32m i +=，是，此时 6n =. 则判断框内应填入的条件为6n ≥. 故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，属于基础题.10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，若坐标原点O 到直线1PF 3a，且椭圆的焦距为27a =（ ） A. 8 B. 2C. 4D. 16【答案】C 【解析】 【分析】过O ，2F 作直线1PF 的垂线，垂足为A ，B ，则2//OA F B ，由题设知，3||8aOA =，进而算出22|||sin 602|F B a PF ==︒，由椭圆的定义知，13||2PF a =，运用余弦定理化简得22167c a =，进而算出a 的值.【详解】解：过O ，2F 作直线1PF 的垂线，垂足为A ，B ，则2//OA F B ， 由题设知，3||a OA =， O 是21F F 的中点，∴23||4aF B =，在2Rt PBF 中， 1260F PF ∠=︒，∴22|||sin 602|F B aPF ==︒，由椭圆的定义知，13||2PF a =， 在21PF F 中，由余弦定理得，()222313122cos602222c a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⋅⋅︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22167c a =，又椭圆的焦距为27，∴7c =，则4a =.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的基本性质，考查余弦定理的运用，属于中档题.11.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin tan c A a C =，()222c a b =-+，则ab =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简得1cosC=2，则3C π=，再利用余弦定理求出ab 的值.【详解】解：由正弦定理及2sin tan c A a C =得，sin sin sin s c 2in os A CC A C=，sin 0C ≠，sin 0A ≠，∴1cosC=2，则3C π=，∴由余弦定理得，222c a b ab =+-，又()222c a b =-+，∴22222c a b ab =+-+， 即222222a b ab a b ab +-=+-+，∴2ab =.故选：B.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理，化简求值，考查分析能力，属于中档题.12.已知双曲线22221x y a b-=() 0,0a b >>的渐近线与圆222x y a +=在第一象限的交点为P ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若121tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率(e e >的值为（ ） A. 2 B. 5C.D.【答案】D 【解析】 【分析】有题意可知222b y x a x y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得出交点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()1, 0F c -可得1122221tan 3PF abab c PF F k a c a c c∠====++，结合,,a b c 关系，求出,a b关系，进而算出离心率(e e >的值.【详解】解：由222b y xa x y a⎧=⎪⎨⎪+=⎩得，2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭又()1, 0F c -，则112222221tan 23PF abab ab c PF F k a c a b a c c∠=====+++，整理得22230,a ab b b a -+==，或2b a =，,c e e ∴==>舍去，或,c e =∴=.故选：D【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，离心率的计算方法，考查分析能力和运算能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.曲线()xf x axe =在点()()0,0f 处的切线与抛物线224y x x =-+相切，则a =__________.【答案】2或6- 【解析】 【分析】先求导得()xxf x ae axe '=+，曲线()xf x axe =在点()()0,0f 处的切线的斜率为()0k f a '==，由切点为()0,0，得切线方程为y ax =，并与抛物线方程联立得()2240x a x -++=，进而算出()22440a ∆=+-⨯=时a 的值.【详解】解：()x f x axe =，∴()x x f x ae axe '=+，则曲线()xf x axe =在点()()0,0f 处的切线的斜率为()0k f a '==， 又切点为()0,0，∴切线方程为y ax =，联立224y ax y x x =⎧⎨=-+⎩得()2240x a x -++=， ∴()22440a ∆=+-⨯=，解得2a =或6a =-. 故答案为：2或6-.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程，属于中档题.14.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，数列{}2log n S 是公差为2的等差数列，则5S =__________. 【答案】512 【解析】 【分析】由数列{}2log n S 是公差为2的等差数列，得出()142nn S n S -=≥，则数列{}n S 是公比为4的等比数列，则124n n S -=⨯，进而算出结果.【详解】析：数列{}2log n S 是公差为2的等差数列，∴221log log 2n n S S --=，即()142nn S n S -=≥，又112S a ==， ∴数列{}n S 是公比为4的等比数列，则124n n S -=⨯. ∴4524512S =⨯=.故答案：512.【点睛】本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，属于中档题. 15.函数()2sin2sin2f x x x =+的最小正周期为__________. 【答案】π 【解析】 【分析】分类讨论sin 20x ≥和sin 20x <的情况，化简函数式子，进而可以画出图象，来判断最小正周期即可. 【详解】解：当sin 20x ≥时，即,2x k k πππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦时，()3sin 2f x x =， 当sin 20x <时，即,2x k k πππ⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()sin 2f x x =， 则函数()2sin2sin2f x x x =+的最小正周期为π 故答案为：π.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期的求法，属于中档题.16.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，PA PB PC ==，当其外接球的表面积为252π，且P 点到底面ABC 的距离为AC 时，则侧面PAC 的面积为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】设P 点在底面ABC 上的射影为D ，根据题意可知D 点为ABC 的外心，并且为斜边AC 的中点，设AB BC a ==，则PD AC ==，设外接球的半径为R ，由题设知，22542R ππ=，则 R =，()2222AC R PD R ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，代入数据解得2a =，进而求出侧面PAC 的面积.【详解】解：设P 点在底面ABC 上的射影为D ，PA PB PC ==，∴DA DB DC ==，则D 点为ABC 的外心，又底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，∴D 点为斜边AC 的中点，设AB BC a ==，则PD AC ==，设外接球的半径为R ， 由题设知，22542R ππ=，∴R =，设球心为O ，则O 在PD 上，∴()2222AC R PD R ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即2222⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭解得，2a =，∴侧面PAC 的面积是11422AC P S D =⋅⋅=⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查棱锥外接球有关的问题，结合勾股定理的运用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某市实验中学数学教研组，在高三理科一班进行了一次“采用两种不同方式进行答卷”的考试实验，第一种做卷方式：按从前往后的顺序依次做；第二种做卷方式：先做简单题，再做难题.为了比较这两种做卷方式的效率，选取了50名学生，将他们随机分成两组，每组25人.第一组学生用第一种方式，第二组学生用第二种方式，根据学生的考试分数（单位：分）绘制了茎叶图如图所示.()1若120分（含120分）以上为优秀，根据茎叶图估计两种做卷方式的优秀率； ()2设50名学生考试分数的中位数为m ，根据茎叶图填写下面的22⨯列联表：超过中位数m 的人数 不超过中位数m 的人数 合计 第一种做卷方式 第一种做卷方式 合计根据列联表，能否有99%的把握认为两种做卷方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】()1第一种做卷方式的优秀率为8%；第二种做卷方式的优秀率为36%；()2填表见解析；有99%的把握认为两种做卷方式的效率有差异.【解析】【分析】()1根据概率的计算方法运算即可；()2先算出中位数，代入数据算出2K的值，比较数据，得出结论.【详解】解：()1根据茎叶图中的数据知，用第一种做卷方式答卷的分数在120分（含120分）以上的有2人，∴第一种做卷方式的优秀率为28% 25=用第二种做卷方式答卷的分数在120分（含120分）以上的有9人，∴第二种做卷方式的优秀率为936% 25=；()2这50名学生的考试分数按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是100和101，则它们的中位数为100101100.52m+==；由此填写列联表如下：∴()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2507718189.68 6.63525252525⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故99%的把握认为两种做卷方式的效率有差异.【点睛】本题考查列联表中的数据计算卡方的方法，概率的求法，属于中档题. 18.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*24n n n a a NS n =+∈.()1证明：数列{}2n S 为等差数列； ()2求使n n S a -≥n 的最小值.【答案】()1证明见解析；()22020. 【解析】 【分析】()1由题意可知214S =，当2n ≥时，由224n n n a S a =+得()()21124n n n n n S S S S S ---=-+，化简得，2214n n S S --=，进而即可求证.()2由()1知，112a S ==，()24144n S n n =+-⨯=，进而得出)2n a n =≥，n n S a -=n 的最小值.【详解】解：()1证明：当1n =时，221124S S =+，∴214S =，当2n ≥时，由224n n n a S a =+得，()()21124n n n n n S S S S S ---=-+，化简得，2214n n S S --=，∴数列{}2n S 是以4为首项，以4为公差的等差数列.()2由()1知，112a S ==，()24144n S n n =+-⨯=，0n S >，∴2n S n =，则()2212n a n n n =--≥， 当1n =时，上式也成立，∴21n n S a n -=-，则不等式22019n n S a -≥为2122019n -≥，∴2020n ≥，故使22019n n S a -≥成立的n 的最小值为2020.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查转化能力，属于中档题.19.如图，在直三棱柱ABC DEF -中，2AC BC ==，22AB =，22AB =，4=AD ，M 、N 分别为AD 、CF 的中点.()1求证：AN ⊥平面BCM ；()2设G 为BE 上一点，且34BG BE =，求点G 到平面BCM 的距离.【答案】()1证明见解析；()2322. 【解析】 【分析】()1根据222AC BC AB +=得AC BC ⊥，并且得出四边形ACMN 为正方形，进而即可求证； ()2先算出点M 到平面GBC 的距离即为2AC =，由13G BCM M BCG BCG V V S AC --==⋅，可求出1222222BCMS=⨯⨯=设点G 到平面BCM 的距离为h ，则1223G BCM V h -=⨯，进而求出点G 到平面BCM 的距离.【详解】解：()1证明：2AC BC ==，AB =∴222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，又ABC DEF -是直三棱柱，∴BC ⊥平面ACFD ，则BC AN ⊥，M 、N 分别为AD 、CF 的中点，且4=AD ，2AC =，∴四边形ACMN 为正方形，则CM AN ⊥，又BCCM C =，∴AN ⊥平面BCM .()2由()1知，即AC BC ⊥，又ABC DEF -是直三棱柱，∴AC ⊥平面BCFE ，∴//MA FC ，则点M 到平面GBC 的距离即为2AC =，∴13G BCM M BCG BCG V V S AC --==⋅1112322326BC BG AC =⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=，由()1知，BC CM ⊥，且CM =，∴122BCMS=⨯⨯=， 设点G 到平面BCM 的距离为h ，则13G BCM V -=⨯∴123⨯=，则2h =，即点G 到平面BCM 的距离为2. 【点睛】本题考查空间立体几何图形中线面垂直的判定，考查等体积法的运用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.20.已知函数()3223332xf x e x x =+-+，()()g x f x '=，()f x '为()f x 的导数. ()1求证：()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点；（其中，()g x '为()g x 的导数） ()2若不等式()()2331g x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】()1证明见解析；()2(],2e -∞-. 【解析】 【分析】()1先写出()()223x g x f x e x x '==+-，求导得()43x g x e x '=+-，则函数()g x '在区间[]0,1上单调递增，进而即可求证()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点；()2由()1知，()223xg x e x x =+-，则()2223331xe x x x a x +-≥+-+，即1x e a x x x≤--在[)1,+∞上恒成立，令()1x e h x x x x=--，利用导数判断单调性，进而算出a 的取值范围.【详解】解：()1证明：()3223332x f x e x x =+-+， ∴()()223x g x f x e x x '==+-，则()43xg x e x '=+-，显然，函数()g x '在区间[]0,1上单调递增. 又()01320g '=-=-<，()14310g e e '=+-=+>，∴()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点.()2由()1知，()223x g x e x x =+-，∴不等式()()2331g x x a x ≥+-+即为()2223331xe x x x a x +-≥+-+，即1x e a x x x≤--在[)1,+∞上恒成立，令()1x e h x x x x=--则()()()222111111x x e x e x h x x x x --+'=+-=-，当1x ≥时，()1,()10xxu x e x u x e =--'=->，()u x 在[1,)+∞是增函数，()(1)20,10x u x u e e x ∴≥=->∴≥+> ∴当1x ≥时，()()2111x e x h x x -+'=-≥()()211110x x x +-+-=，则()h x 在[)1,+∞单调递增，故()()min 12h x h e ==-，故2a e ≤-，∴实数a 的取值范围是(],2e -∞-.【点睛】本题考查导数在函数中的应用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.21.已知抛物线()2:204C y px p =<<的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限.()1若||4AF =，||AM =，求直线AB 的方程；()2若2p =，点Q 为准线l 上任意一点，求证：直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列.【答案】()1)1y x =-；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1设点A 在准线l 上的射影为N ，由抛物线的定义知，||||4AN AF ==，设()00,A x y ，列式联立求出2p =，直线AB 的斜率为AB k AB 的方程；()2若2p =，则抛物线2:4C y x =，准线:1l x =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立得消x 得2440y my --=，利用韦达定理，进而求出2QA QB QF k k k +=，即可求证.【详解】解：()1设点A 在准线l 上的射影为N ，由抛物线的定义知，||||4AN AF ==，设()00,A x y ，()00y >，由题设知，2220||||AM AN y =+，∴22204y =+，解得2012y =，则0y =，∴0122px =，即06px =，①又由抛物线的定义知，02px AF +=，即042p x +=，②联立①②，解得，2p =或6p，04p <<，∴2p =，则03x =，∴焦点为()1,0F，(3,A ，则直线AB的斜率为AB k = 故直线AB的方程为)1y x =-；()2证明：若2p =，则抛物线2:4C y x =，∴()1,0F ，准线:1l x =-，设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()1,Q t -，由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y my --=， 则124y y m +=，124y y =-， 则121212121122QA QB y t y t y t y tk k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221122222y t my y t my my my -++-+=++()()()12122121222424my y mt y y tm y y m y y +-+-=+++()228424484m m mt tt m m -+--==--++ 又2QF tk =-，∴2QA QB QF k k k +=， 故直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列.【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于难题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin cos sin 2x y βββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=()1求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；()2已知点M 是曲线C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最小值.【答案】()121y x =-60y --=；()2178. 【解析】 【分析】()1参数方程转化为普通方程即可，运用转化公式将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程即可；()2由()1知，曲线C 的普通方程为21y x =-，设其参数方程为21x t y t =⎧⎨=-⎩，则()2,1M t t -，利用点到直线的距离公式代入求点M 到直线l 的距离的最小值.【详解】解：()1由sin cos sin 2x y βββ=+⎧⎨=⎩（β为参数）得，212sin cos 1sin 21x y βββ=+=+=+， ∴曲线C 的普通方程为21y x =-；由ρ=cos sin 6θρθ-=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l60y --=；()2由()1知，曲线C 的普通方程为21y x =-，设其参数方程为21x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），则()2,1M t t -， 直线l 60y --=，∴点M 到直线l 的距离为d ==，当2t =时，点M 到直线l 的距离的最小值为178. 【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题.【选修4-5不等式选讲】23.已知0a >，0b >，0c >.()1若abc a b c =++，求证：9ab bc ac ++≥；()2若3a b c ++=，求证：2223b c a a b c++≥. 【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】【分析】()1根据已知可得1111ab bc ca++=，由柯西不等式求证即可； ()2利用基本不等式求证即可.【详解】解：()1证明：由abc a b c =++得，1111ab bc ca++=， 由柯西不等式，()()21111119ab bc ca ab bc ca ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭. ∴9ab bc ac ++≥，等号成立的条件为a b c ===；()2证明：0a >，0b >，0c >. ∴()222b c a a b c a b c+++++ ()2222b c a a b c a b c a b c=+++++≥++ 即222b c a a b c a b c++≥++， 当且仅当1a b c ===时等号成立.又3a b c ++=，∴2223b c a a b c++≥. 【点睛】本题考查柯西不等式与基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.。
河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 2．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：A . 【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+， 所以()()()()1232020f f f f ++++=()()()()12341f f f f +++=.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.4．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(八)数学(文)试题
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}0,2,1,1,0,1,2A B ==-，则A B ⋂=（ ） A. {}0,2 B. {}1,2C. {}0D. {}2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】 【分析】直接利用集合的交集运算，找出公共元素，即可得到结果. 【详解】{}{}0,2,1,1,0,1,2A B ==-{0,2}A B ∴=.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数z,再求zi得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A. 6500元B. 7000元C. 7500元D. 8000元【答案】D 【解析】 【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题． 4.等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若141,0k a a a =+=，则k=（ ）A. 10B. 7C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得70a =，然后再次利用等差数列的性质确定k 的值即可. 【详解】由等差数列的性质可知：9579468750S S a a a a a a -=++++==,故70a =，则410720a a a +==，结合题意可知：10k =.本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题. 5.将三个数0.37，70.3，ln 0.3从小到大排列得( ) A. 0.37ln 0.370.3<< B. 70.3ln 0.30.37<< C. 70.30.3ln 0.37<< D. 0.377ln 0.30.3<<【答案】B 【解析】 【分析】分别与中间值0和1比较．【详解】由指数函数性质得700.31<<，0.371>，ln0.30<，∴70.3ln 0.30.37<<． 故选：B.【点睛】本题考查幂与对数的大小比较，解题时不同类型的数一般借助于中间值如0，1等比较． 6.函数()sin(2)2f x x π=-的图象以下说法正确的是（ ）A. 最大值为1，图象关于直线2x π=对称B. 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为偶函数C. 在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D. 周期为π，图象关于点(,0)π对称【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式，将该函数化简为()cos2f x x =-，分析其性质，即可选出正确答案.【详解】()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，其最大值1，为偶函数，周期为π.令2,()x k k Z π=∈，得,2k x k Z π=∈ 则该函数的对称轴为,2k x k Z π=∈，选项A 正确； 由222k x k πππ≤≤+得,2k x k k Z πππ≤≤+∈，则该函数的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ+∈，选项B 错误；单调递减区间为[,],2k k k Z ππππ++∈，选项C 错误；令2,()2x k k Z ππ=+∈，得,24k x k Z =+∈ππ， 则该函数的对称中心为(,0),24k k Z ππ+∈，选项D 错误. 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，由三角函数的解析式判断其性质，属于中档题. 7.已知sin y x =，在区间[],ππ-上任取一个实数x ，则y ≥12-的概率为（ ） A.712B.23C.34 D.56【答案】B 【解析】 【分析】 求出满足12y ≥-的角x 的范围，由长度比，即可得到该几何概型的概率. 【详解】1sin ,[,]2y x x ππ=≥-∈-，5[,][,]66x ππππ∴∈--⋃-，则满足12y ≥-的概率为： 5()()266()3P ππππππ---+--==--.故选：B.【点睛】本题考查了三角不等式的求解，几何概型的计算，属于中档题.8.若3sin()25πα-=，则cos2α=（）A. 725B.2425C.725- D.2425-【答案】C 【解析】【分析】根据题意先求出3cos5α=，然后再用倍角公式求解即可得到结果．【详解】由条件得3 sin cos25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237 cos22cos121525αα⎛⎫=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选C．【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题．9.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为43，则图中x的值为（）A. 2B. 2C. 1D. 1 2【答案】C【解析】【分析】画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出x的值. 【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥S ABC-，如下图所示由棱锥的体积公式得：311442223233S ABC V x x x x -⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭，解得：1x = 故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题. 10.对于函数()21xf x e =+的图象，下列说法正确的是 （ ） A. 关于直线1x =对称 B. 关于直线y x =对称 C. 关于点()1,0对称 D. 关于点()0,1对称【答案】D 【解析】 【分析】由()21111x x x e f x e e -==+++，设()()11xx e g x x R e -=∈+,可得()g x 为奇函数,由图像平移可得答案.【详解】∵()2111111xx x e f x e e -=-+=+++，令()()11x x e g x x R e -=∈+，则()()1111x x x xe e g x g x e e-----===-++， ∴()g x 为奇函数，其图象关于原点对称，将()g x 图象向上平移1个单位长度可得()f x 图象， 所以()f x 图象关于()0,1对称. 故选：D【点睛】本题考查函数图像的平移和函数的奇函数的图像的对称性，属于基础题.11.已知函数2()(0)x f x x e x =+<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,)e -∞B. 1(,)e-∞C. 1(,)e e-D. 1(,)e e-【答案】A 【解析】分析：函数()2(0)xf x x e x =+<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，等价于存在0x <，使()()0f x g x --=，即()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解，从而化为函数()()ln x m x e x a =--(),0-∞上有零点，进而可得结果.详解：若函数()()20xf x x ex =+<与()()2ln g x x x a =++图象上存在关于y 轴对称的点， 则等价为()()f x g x --，在0x <时，方程有解， 即()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解，令()()ln xm x e x a =--+，则()()ln xm x e x a =--+在其定义域上是增函数，且x →-∞时，()0m x <， 若0a ≤时，x a →时，()0m x >， 故()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解，当0a >时，则()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解可化为，()0ln 0e a ->即ln 1a <，故0a e <<， 综上所述，(),a e ∈-∞，故选A.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，函数()2(0)xf x x e x =+<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，转化为存在0x <，使()()0f x g x --=是解题的关键.12.已知直线1x y +=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥（其中O 为坐标原点），若椭圆的离心率e满足32e ≤≤，则椭圆长轴的取值范围是（ ）A.B. C. 53[,]42D. 5[,3]2【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程得（a 2+b 2）x 2﹣2a 2x+a 2﹣a 2b 2＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由OP ⊥OQ ，得•OP OQ＝0，由根与系数的关系可得：a 2+b 2＝2a 2b 2．由椭圆的离心率ee，化为2221132a b a -≤≤，即可得出．【详解】联立222211x y x y ab +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：（a 2+b 2）x 2﹣2a 2x+a 2﹣a 2b 2＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）△＝4a 4﹣4（a 2+b 2）（a 2﹣a 2b 2）＞0，化为：a 2+b 2＞1．x 1+x 2＝2222a a b + ，x 1x 2＝22222a ab a b -+．∵OP ⊥OQ ，∴•OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝2x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＝0，∴2×22222a a b a b -+﹣2222a a b++1＝0．化为a 2+b 2＝2a 2b 2．∴b 2＝2221a a -． ∵椭圆的离心率e满足3≤e≤2，∴21132e ≤≤，∴2221132a b a -≤≤，211113212a ≤-≤-，化为5≤4a 2≤6．≤2a．满足△＞0．∴椭圆长轴的取值范围是]． 故选A ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23x y-的最大值为__________.【答案】6 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上截距的13-，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线23z x y =-过点A 时， 在y 轴上截距最小，又()3,0A ， 此时max 236z =⨯=. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14.已知函数()x f x e ax =+的图象在点(0,(0))f 处的切线为21y x =+，a =______． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数求导，得()xf x e a '=+.根据导数的几何意义，列出方程，即可解得a 的值.【详解】由()x f x e ax =+得()x f x e a '=+，()f x 的图象在点点(0,(0))f 处的切线为21y x =+，(0)12f a '∴=+=，则1a =.故答案为：1.【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数的求导公式，属于基础题. 15.已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 【答案】2425【解析】 【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值.【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.16.在边长为ABCD 中，60A ︒=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120︒，这时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为____. 【答案】28π【解析】【分析】取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，可知外接球的球心在面AEC 中，再作OG CE ⊥，分别求出OG 与CG 的长度后即可得解. 【详解】如图1，取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，由已知易知面AEC ⊥面BCD ，则外接球的球心在面AEC 中.由二面角A BD C --的大小为120︒可知120AEC ∠=.在面AEC 中，设球心为O ，作OG CE ⊥，连接OE ，易知O 在面BCD 上的投影即为G ，OE 平分AEC ∠，∴G 为BCD ∆的中心，∴22CG GE ==，∴tan 603OG GE =⋅=， ∴227OC GC GO +=∴2=47=28S ππ⨯球.故答案为：28π【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？【答案】（1）12；（2）40；（3）选B款订餐软件.【解析】【分析】⑴运用列举法给出所有情况，求出结果⑵由众数结合题意求出平均数⑶分别计算出使用A款订餐、使用B款订餐的平均数进行比较，从而判定【详解】（1）使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.{},a b甲，,{},a c甲，,{},a d甲，,{},a e甲，,{},b c甲，,{},b d甲，,{},b e甲，,{}{},,c d c e甲，甲，,{},d e甲，,{},,a b c,{},,a b d,{},,a b e,{},,a c d,{},,a c e,{},,a d e,{},,b c d, {},,b c e,{},,b d e,{},,c d e.甲商家被抽到的情况如下：共10种．{},a b甲，,{},a c甲，,{},a d甲，,{},a e甲，,{},b c甲，,{},b d甲，,{},b e甲，,{},c d甲，, {},c e甲，,{},d e甲，记事件A为甲商家被抽到，则()101 202P A==.（2）依题意可得，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=.（3）使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<所以选B款订餐软件．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．18.如图，在四棱锥-P ABCD 中，PAD ∆和BCD ∆都是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且24==AD AB ，23BC =．（1）求证：CD ⊥P A ；（2）E ，F 分别是棱P A ，AD 上的点，当平面BEF //平面PCD 时，求四棱锥-C PEFD 的体积．【答案】（1）证明见解析（2）152 【解析】【分析】（1）由已知即可证得：AB BD ⊥，且30ADB ︒∠=，再利用BCD 是等边三角形即可证得：CD AD ⊥，再利用面面垂直的性质即可证得：CD ⊥平面PAD ，问题得证.（2）利用平面BEF //平面PCD 可得：BF //CD ，结合CD AD ⊥可得BF AD ⊥，即可求得：DF =3，从而求得153PEFD S =四边形，利用（1）可得四棱锥-C PEFD 的高CD 23=，再利用锥体体积公式计算即可. 【详解】证明：（1）因为BCD ∆是等边三角形，所以23BC BD CD ===又4=AD ，2AB =，所以222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥，且30ADB ︒∠=．又BCD 是等边三角形，所以306090ADC ADB BDC ︒∠=∠+∠=+=，所以CD AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ．所以CD ⊥P A ．（2）因为平面BEF //平面PCD ，所以BF //CD ，EF //PD ，又CD AD ⊥所以BF AD ⊥．又在直角三角形ABD 中，DF =3︒=，所以1==AE AF ．所以1144sin 6011sin 6022=⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒=PEFD S 四边形 由（1）知CD ⊥平面PAD ，故四棱锥-C PEFD 的体积11532PEFD V S CD =⋅=四边形． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线线垂直的判定、面面平行的性质及锥体体积计算公式，还考查了转化思想及空间思维能力，属于中档题.19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c b B A b -=. （1）求A ；（2）设5b =，ABC S =若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长.【答案】（1）3π；（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理变换互化为sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B -=，再化简求得1cos 2A =，求角A ； （2）根据面积求8AB =，ADC ∆中，根据余弦定理求CD 的长.【详解】（1）因为sin cos 2sin cos A B c b B A b-=， 由正弦定理可得sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B -=， 化简得：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=.又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.则sin 2sin cos C C A =.因0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为11sin 5sin 223ABC S AB AC A AB AB π=⋅⋅=⨯⨯⨯=，因为ABC S =AB =8AB =， 因为3AD DB =，即34AD AB =，所以6AD =. 在ACD 中，563AC AD A π===，，，由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅， 则212536256312CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，一般边和角在一个是式子的时候，可以采用正弦定理边角互化，转化为三角函数恒等变形问题.20.已知函数()ln ,()a f x x a R x=+∈. （Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间2[,)e -+∞上零点的个数.【答案】(1) 当a e ≥时，()f x 的最小值为ln a e e +； 当a e <时，()f x 的最小值为ln 1a +;(2)见解析. 【解析】分析：⑴求导后分类讨论a 的取值，结合单调性求出最小值⑵分离参量，转化为图像交点问题详解：（Ⅰ）因为0x >，()221a x a f x x x x='-=- ①当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(20,e ⎤⎦上是增函数，无最小值； ②当0a >时，又()0f x '>得x a >，由()0f x '<得x a <∴()f x 在()0,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数，若a e ≥，则()f x 在()0,e 上是减函数，则()()min ln a f x f e e e ==+； 若a e <，则()f x 在()0,a 上是减函数，在(),a e 上是增函数，∴()()min ln 1f x f a a ==+综上：当a e ≥时，()f x 的最小值为ln a e e+； 当a e <时，()f x 的最小值为ln 1a + （Ⅱ）由()ln 0a f x x x =+=得ln a x x -= 令()21ln ,g x x x x e =>，则()ln 1g x x ='+，由()0g x '>得1x e >，由()0g x '<得1x e<，所以()g x 在211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， 且2212110,0g g e e e e ⎛⎫⎛⎫=-<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且211g g ee ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当x →+∞时，()g x →+∞， 所以，当1a e>时，()f x 无有零点； 当1a e =或22a e<时，()f x 有1个零点； 当221a e e ≤<时，()f x 有2个零点. 点睛：本题考查了含有参量的导数题目，依据导数，分类讨论参量的取值范围，来求出函数的单调性，从而得到最小值，在零点个数问题上将其转化为两个图像的交点问题．21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆222:()0O x y r r +=>.（1）若PF x ⊥轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；（2）若圆O 的半径为2，点P ，Q 满足34OP OQ k k ⋅=-，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值. 【答案】（1）223x y +=（2【解析】【分析】（1）根据题意先计算出P 点坐标，然后得到直线AP 的方程，根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；（2）先计算PQ 斜率不存在时，被圆O 截得弦长，PQ 斜率存在时设为y kx b =+，与椭圆联立，得到12x x +和12x x ，代入到34OP OQ k k ⋅=-得到,k b 的关系，表示出直线PQ 被圆O 截得的弦长，代入,k b 的关系，从而得到弦长的最大值. 【详解】解：（1）因为椭圆C 的方程为22143x y +=， 所以(2,0)A -，(1,0)F ， 因为PF x ⊥轴，所以31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭， 根据对称性，可取31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则直线AP 的方程为1(2)2y x =+，即220x y . 因为直线AP 与圆O 相切，得222512=+， 所以圆的方程为 2245x y +=. （2）圆O 的半径为2，可得圆O 的方程为224x y +=.①当PQ x ⊥轴时，234OP OQ OP k k k ⋅=-=-，所以32OP k =±， 22324y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2167x =， 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为1621477-=. ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y kx b =+，()11,P x y ，()()2212,0Q x y x x ≠， 首先由34OP OQ k k ⋅=-，得1212340x x y y +=， 即()()1212340x x kx b kx b +++=，所以()()22121234440k x x kb x x b ++++=（*）.联立22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2223484120k x kbx b +++-=， 在>0∆时，122834kb x x k +=-+，212241234b x x k-=+ 代入（*）式，得22243b k =+，由于圆心O 到直线PQ 的距离为21bd k =+，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为2222481l d k =-=++， 故当0k =时，l 有最大值为10. 综上，因为421107>， 所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为10.【点睛】本题考查根据直线与圆相切求圆的方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，对计算能力要求较高，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρϕ=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ．（1）求直线l 及曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线π(0)2θαα=<<与直线l 交于点M ，与曲线2C 交于点N （与原点不重合），求||||ON OM 的最大值.【答案】（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=.2C 的极坐标方程为8cos ρθ=（21【解析】【分析】（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线2C 的极坐标方程；（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果．【详解】（1）消去直线l 参数方程中的t ，得4x y +=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=， 故4cos sin ρθθ=+． 由点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，得||4||OQ OP =，设(),Q ρθ，则,4P ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由点P 是曲线1C 上的动点，可得2cos 4ρθ=，即8cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为8cos ρθ=．（2）因为直线l 及曲线2C 的极坐标方程分别为4cos sin ρθθ=+，8cos ρθ=， 所以4cos sin OM αα=+，||8cos ON α=，所以()||π2cos cos sin 1cos2sin212||4ON OM αααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当π8α=时，||||ON OM 1．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1-（1）求m 的值；（2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由条件可得()2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭利用基本不等式即可得结果. 【详解】（1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故() 2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且111 123m a b c ++==， ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 23321112233b c a c a b a a b b c c=++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c=++++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b a a b b c c ======时，等号成立． 所以239a b c ++≥.【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(八)文科数学
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|0}A y y =≥，A B B ⋂=，则集合B 不可能是A. {|0}y y x =≥B. 1{|}2xy y x R ，⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭C. {}lg 0y y x x =， D. ∅【答案】C 【解析】【详解】因为AB B =，所以B A ⊆，对于A ，{|0}y y x A =≥=;对于B ，{}1||02xy y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ， ⊄A ;对于C ，{}lg 0y y x x ==R ， ⊄A ；对于D ，易知∅ ⊄A ，因此选C ．2.已知i 是虚数单位，则122ii-+等于（ ） A. i B. 45i -C.4355i - D. i -【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数之间的代数运算即可. 【详解】12(12)(2)52(2)(2)5i i i ii i i i ----===-++-. 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的代数运算，属于基础题.3.过点(2,3)A 且垂直于直线270x y +-=的直线方程为（ ） A. 250x y -+= B. 270x y +-=C. 230x y -+=D. 240x y -+=【答案】D 【解析】 【分析】设出垂直于直线270x y +-=的直线方程20x y m -+=，把(2,3)A 带入20x y m -+=解出m 即可. 【详解】设垂直于直线250x y +-=的直线方程为20x y m -+=， 又直线过点(2,3),2230A m ∴-⨯+=，解得4m =， 故所求直线的方程为240x y -+=. 故选:D【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的设法，属于基础题.4.下列函数()f x 中，满足“对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >”的是（ ） A. 2()(1)f x x =+ B. ()ln(1)f x x =-C. 1()f x x=D. ()x f x e =【答案】C 【解析】 【分析】根据题目所给条件，说明函数f （x ）在（﹣∞，0）上应为减函数，其中选项A 是二次函数，C 是反比例函数，D 是指数函数，图象情况易于判断，B 是对数型的，从定义域上就可以排除．【详解】函数满足“对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＞f （x 2）”，说明函数在（﹣∞，1）上为减函数．f （x ）=（x+1）2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，不满足题意．函数f （x ）=ln （x ﹣1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（﹣∞，0）无意义． 对于函数f （x ）=1x ，设x 1＜x 2＜0，则f （x 1）﹣f （x 2）=21121211x x x x x x --=，因为x 1，x 2∈（﹣∞，0），且x 1＜x 20，x 2﹣x 1＞0，则2112x x x x ->0，所以f （x 1）＞f （x 2），故函数f （x ）=1x在（﹣∞，0）上为减函数．函数f （x ）=e x 在（﹣∞，+∞）上为增函数． 故选C ．【点睛】本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（﹣∞，0）上的减函数．判断函数单调性的方法有：根据函数模型判断，由单调性得到结论，根据函数的图像得到单调性. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =，则95S S =（ ） A. 2 B.259C. 9D.925【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式化简95S S ，再利用等差数列的性质：m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+即可计算出95S S . 详解】535a a =，又()()()()19199515515399922955522a a a a S a a a S a a a ++⨯====++⨯. 故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和以及等差数列的性质，属于基础题.6.将函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，得到函数()sin y f x x =⋅的图象，则()f x 的表达式可以是（ ）A. ()2cos f x x =-B. ()2cos f x x =C. ()22f x x = D. ()2cos 2)2f x x x =+ 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位的函数，再根据()sin y f x x =⋅化简即可. 【详解】∵将函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位得cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2sin 22sin cos ()sin 2x x x x f x x π⎛⎫=-===⋅ ⎪⎝⎭，()2cos f x x ∴=.故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换，属于基础题.7.设,x y 是0，1，2，3，4，5中任意两个不同的数，那么复数x yi +恰好是纯虚数的概率为（ ） A.16B.13C.15D.130【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念，若复数x yi +恰好是纯虚数，即实部是0. 【详解】有题意知本题是一个古典概型，实验发生包含的事件是从6个数字中任取2个数字，共有6530⨯=种结果， 满足条件的事件是复数x yi +恰好是纯虚数，即实部是0，这样虚部有5中结果， ∴复数x yi +恰好是纯虚数的概率为51306=. 故选：A【点睛】本题主要考查了纯虚数和古典概型，属于基础题.8.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A. 2(3)π+B. 23π+C. 3π+D. 23π+【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知道该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形.【详解】由题意可得三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分， 然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形， 圆锥的底面半径为1，母线长为2，该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的2倍的和， 圆锥的轴截面是边长为231122232122(3)22S S S ππ=+=⨯⨯⨯⨯⨯=截面圆锥侧.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图还原几何体，组合体的表面积，解决此类问题的关键是还原几何体，属于中等题.9.．阅读如图的程序框图. 若输入6n =, 则输出k 的值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1； 第二圈，n=13,n=27,否k=2； 第三圈，n=27,n=55,否k=3；第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B ． 考点：本题主要考查程序框图．点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果．10.在ABC 所在的平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-，那么PBC 的面积与ABC 的面积之比是（ ） A.34B.12C.13D.23【答案】A 【解析】 【分析】首先化简2PA PC AB PB +=-可以得出30PA PC +=，所以点P 在AC 上，再根据三角形面积公式即可得出PBCABCS S △△. 【详解】2PA PC AB PB AB BP AP +=-=+=，230PA PC AP PA PC∴+-=+=，∴点P在边AC上，且||3 3||||,||4PCPA PCAC=∴=，如下图设ABC的AC边上的高为h，1||||321||4||2PBCABCPC hS PCS ACAC h⋅∴===⋅△△.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题.11.已知四面体P ABC-的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面,23ABC AC AB=，若四面体P ABC-的体积为32，则该球的体积为（）A. 3πB. 2πC. 22πD. 43π【答案】D【解析】【分析】根据题意O为AB的中点，ABC为直角三角形，所以AB为球的直径，再根据四面体P ABC-的体积为32，即可求出球的半径，利用球的体积公式即可求出球的体积.【详解】由题意，O为AB的中点，ABC为直角三角形，如下图设2AB R=，由于23,3,AC AB AC R BC R=∴==.又PO⊥平面,ABC O为球心，OP OA OB R∴===，3311333,33262P ABC V R R RR R -=⨯⨯⋅⋅==∴=，34433V R ππ=⋅=球.故选：D【点睛】本题主要考查了三棱锥和球的体积公式，属于中等题.12.已知定义在R 上奇函数()f x 满足①对任意x ，都有(3)()f x f x +=成立；②当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，33()222f x x =--，则1()||f x x =在[4,4]-上根的个数是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出函数()f x 及1()||f x x =的图像即可. 【详解】由①知函数()f x 的最小正周期是3，由②得3204()333242x x f x x x ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数()f x 及1()||f x x =的图像即得.故选：B【点睛】本题主要考查了函数图像交点个数问题，解决此类问题关键是画出两个函数的图像,属于中等题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用 y （万元），有如下的统计资料：若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为y ＝a +bx ，其中已知b ＝1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用约为_________ 【答案】24.68 【解析】 【分析】根据所给的数据求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中心点代入求出a 的值，写出线性回归方程，代入x 的值，预报出结果． 【详解】∵由表格可知2345645x ++++==，2.23.8 5.5 6.57.05y ++++==5，∴这组数据的样本中心点是（4，5）， 根据样本中心点在线性回归直线上， ∴5＝a +1.23×4， ∴a ＝0.08，∴这组数据对应的线性回归方程是y ＝1.23x +0.08， ∵x ＝20，∴y ＝1.23×20+0.08＝24.68 故答案为24.68【点睛】本题考查线性回归方程的求解及应用，考查样本中心点的计算，考查了计算能力，属于基础题．14.设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是12，则2294a b+的最小值为________. 【答案】12【解析】 【分析】首先根据约束条件画出平面区域，找出z ax by =+取到最大值时,a b 的关系，再把a 代入2294a b+，得到关于b 的二次函数，即可求出最值.【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时， 目标函数0,0()ax by z a b +=>>取得最大12， 即4612a b +=，即236a b +=，则22222131113(1)94924222a b b b b ⎛⎫+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，故答案为:12. 【点睛】本题给出了二元一次不等式组，求目标函数的最大值，主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中等题. 15.已知数列{}n a 的前项和为n S ，且()*111,2n n n a a a n N +=⋅=∈，则2020S =_________.【答案】1010323⋅- 【解析】 【分析】首先化简12nn n a a +⋅=可得数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式求出2020S【详解】∵数列{}n a 满足()*111,2n n n a a a n +=⋅=∈N ，212a a ∴⋅=，解得22a =，当2n ≥时，12121222nn n n n n n na a a a a a +++++=⇒=， ∴数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2. 则()()()10101010202013201924202022121S2121a a a a a a --=+++++++=+--1010323=⋅-，故答案为：1010323⋅-.【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式，属于基础题.16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点是12,F F ，设P 是双曲线右支上一点，12F F 在1F P 上的投影的大小恰好为1F P 的模，且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 是___________.1 【解析】 【分析】根据12F F 在FP 上的投影的大小恰好为1F P 的模，得出12PF PF ⊥，再利用直角三角形，双曲线的定义即可求出离心率e . 【详解】12F F 在FP 上的投影的大小恰好为1F P 的模，12PF PF ∴⊥又因为它们的夹角为12,66PF F ππ∴∠=，∴在12PF F Rt △中，12122,,F F c PF PF c =∴==，根据双曲线的定义122,1cPF PF c aa-=-=∴=， 所以1e = 1.【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，属于基础题.三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数2()sin 2cos 1(0)62f x x x πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭.直线y =()y f x =图象相邻两交点的距离为π.（1）求ω的值；（2）在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别是a 、b 、c .若点,02B ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心，且3b =，求ABC 外接圆的面积. 【答案】（1）2；（2）3π 【解析】 【分析】（1）化简2()sin 2cos 1623x f x x x πωωπω⎛⎫=--+⎛=⎫- ⎪⎝⎪⎝⎭⎭，因为()f x函数()f x 的最小正周期为π，利用2ππω=，得2ω=.（2）根据点,02B ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心求出角B 的值，再利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆的面积公式即可求出圆的面积. 【详解】（1）1cos ()sin coscos sin21662xf x x x ππωωω+=⋅-⋅-⋅+31cos sin 22x x x x ωωωω⎫=-=⎪⎪⎭3x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()f x()f x 的最小正周期为π， 由2ππω=，得2ω=.（2）因为()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，20,,0,33333B B B B ππππππ<<-<-<∴-==，由正弦定理22,sin b R R R B ==∴= ABC 外接圆的面积为23R ππ=.【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式、三角函数的降幂公式、三角函数的图像与性质和正弦定理等知识，属于中等题.18.为了增强学生的环境意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理，制成下表： 成绩 [40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频数 231415144（1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图；（2）若从成绩在[40,50)中选一名学生，从成绩在[90,100)中选出2名学生，共3名学生召开座谈会，求[40,50)组中学生1A 和[90,100)组中学生1B 同时被选中的概率？【答案】（1）见解析；（2）14【解析】 【分析】（1）计算出各组的频率即可.（2）记[40,50)中的学生为12,A A ；[90,100)中的学生为1234,,,B B B B ，找出基本事件，1A ，1B 同时被抽得的事件即可。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十八)数学(理)试题
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十八）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知复数1023z i i=-+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）. A. 33i - B. 33i +C. 3i -D. 3i +【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数代数形式的四则运算求出z ，再根据共轭复数的概念得到z ．【详解】解：∵1023z i i=-+()()()103233i i i i -=-+-3233i i i =--=-， ∴33z i =+， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题． 2.已知集合{}2,1,1,2A =--，()(){}120,B x x x x Z =+-<∈，则A B =（ ）.A. {}1B. {}11-，C. {}2,2-D. {}0,1【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式并用列举法求出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：∵()()120x x +-<， ∴12x -<<， ∴{}0,1B =， 又{}2,1,1,2A =--， ∴{}1A B ⋂=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．3.居民消费价格指数，简称CPI ，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标.一般来说，CPI 的高低直接影响着国家的宏观经济调控措施的出台与力度，下图是国家统计局发布的我国2009年至2018年这十年居民消费价格指数的折线图.则下列对该折线图分析正确的是（ ）A. 这十年的居民消费价格指数的中位数为2013年的居民消费价格指数B. 这十年的居民消费价格指数的众数为2015年的居民消费价格指数C. 2009年～2012年这4年居民消费价格指数的方差小于2015年～2018年这4年居民消费价格指数的方差D. 2011年～2013年这3年居民消费价格指数的平均值大于2016年～2018年这3年居民消费价格指数的平均值 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象，从低到高依次写出各点的横坐标（即年份），由此可判断A 选项，观察各点的纵坐标，由此可判断B 选项与D 选项；根据方差的定义，数据上下波动的幅度越小，方差越小，从而可判断C 选项． 【详解】解：结合图象，从低到高各点的横坐标依次为2009，2015，2014（2017），2016，2018，2013，2012，2010，2011，则A 错；观察各点的纵坐标，可得2014年与2017年的数据相等，其余各年的数据均不相等，则B 错；同时2011年～2013年这3年居民消费价格指数均大于2016年～2018年这3年居民消费价格指数，则D 对； 根据方差的定义，数据上下波动的幅度越小，方差越小，明显发现2015年～2018年这4年居民消费价格指数更稳定，则C 错； 故选：D ．【点睛】本题主要考查根据折线图解决实际问题，考查数形结合思想，属于基础题． 4.函数()cos x f x e x =-的图象大致为（ ）.A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】（法一）结合选项中的图象，求出(1)f 的符号即可得出结论；（法二）求导，判断函数()cos x f x e x =-在()0,∞+上的单调性，从而得出结论．【详解】解：（法一）∵()cos x f x e x =-， ∴(1)cos10f e =->， 符合要求的只有D 选项； （法二）∵()cos x f x e x =-， ∴()sin 0x f'x e x =+>，∴函数()cos x f x e x =-在()0,∞+上单调递增， 符合要求的只有D 选项； 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，通常结合函数的定义域、奇偶性、单调性等性质利用排除法解题，属于基础题．5.把书架上的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》5本中国古代数学专著重新排列一下，若要求其中的《周髀算经》和《九章算术》这2本书相邻，则所有不同排法的种数为（ ）. A. 120 B. 96 C. 48 D. 24【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法将《周髀算经》和《九章算术》捆绑在一起后与其余三本书全排列，再乘以《周髀算经》和《九章算术》的全排列即可．【详解】解：由题意可得《周髀算经》和《九章算术》这2本书相邻的不同排法有424248A A ⋅=种，故选：C ．【点睛】本题主要考查排列中的相邻问题，一般用捆绑法解决，属于基础题． 6.函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期及对称轴是（ ）. A. 3,x k πππ=+()k Z ∈ B. 2,3x k πππ=+()k Z ∈ C. 23,x k πππ=+()k Z ∈D. 22,3x k πππ=+()k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】先化简函数为()()sin f x A x B ωϕ=++的形式，再用整体法即可求出答案． 【详解】解：∵()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1sin cos sin 22x x x =++3sin 22x x =+6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期2T π=， 由,62x k k Z πππ+=+∈得,3x k k Z ππ=+∈，即函数()f x 的对称轴为,3x k k Z ππ=+∈，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，属于基础题． 7.已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④若,,m n m n αβ，则αβ∥.其中正确的命题是（ ） A. ①② B. ②③C. ①④D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假． 【详解】①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，如图，则α与β不一定垂直，故①为假命题；②若,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则αβ∥；故②为真命题； ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥，故③为真命题；④若,,m n m n αβ，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．故选B ．【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．8.设双曲线2222:1x y C a b-=()0, 0a b >>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若点P 在双曲线C 的右支上，且124PF PF =，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）. A. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的定义可得122PF PF a -=，再根据点P 在双曲线的右支上，2PF c a ≥-，从而求得此双曲线的离心率的范围．【详解】解：由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又124PF PF =， ∴183PF a =，223PF a =，∵点P 在双曲线的右支上， ∴2PF c a ≥-，即23a c a ≥-， ∴离心率53c e a =≤， 又双曲线的离心率1e >， ∴513e <≤， 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 9.若24sin cos2t θθ=，则2sin sin 2θθ+=（ ）.2t B. tC. 2tD. 4t【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得1cos 4sin 2t θθ+⋅=，由此即可求出答案． 【详解】解：∵24sin cos 2t θθ=，∴1cos 4sin 2t θθ+⋅=， 即2sin sin 2t θθ+=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．10.如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是棱1CC 的中点，则平面1AD E 与平面ABCD 的交线与直线11C D 所成角的正切值为（ ）.A.12B.23C.32D. 2【答案】A 【解析】 【分析】延长1D E 与直线CD 相交于F ，连接AF ，则AFD ∠为平面1AD E 与平面ABCD 的交线与直线11C D 所成角，从而解直角三角形即可．【详解】解：延长1D E 与直线CD 相交于F ，连接AF ，则平面1AD E 与平面ABCD 的交线为AF ， 而11//C D CD ，∴AFD ∠为平面1AD E 与平面ABCD 的交线与直线11C D 所成角， ∵E 是棱1CC 的中点，且11//DD CC ， ∴CD CF =， ∴1tan 2AD AFD DF ∠==，故选：A ．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题．11.已知抛物线2:2C x py =()0p >的焦点为F ，若O 为坐标原点，点A 、B 在抛物线C 上，且2AF FB =，则AFOF=（ ）. A.54B.43C.32D.53【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可设直线AB 的方程为()02p y kx k =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程并消元，由韦达定理得122x x pk +=，212x x p =-，又2AF FB =可得122x x -=，由此可求出k ，再根据抛物线的定义即可求出比值．【详解】解：由题意可得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意可知直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为()02py kx k =+≠， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消元得2220x pkx p --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设10x <，∴122x x pk +=，212x x p =-，又2AF FB =，∴()12200x x -=-，即122x x -=，∴122x p x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴122x x k p +==，∴12232222p p p p y AF p p OF ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===，故选：C ．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查转化与化归思想，属于中档题．12.已知定义在[]22-,上的函数()y f x =满足()()f x f x '<，则不等式1()(21)x e f x f x ->-的解集为（ ）. A. (,1)-∞ B. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []0,1D. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x F x e =，求导得()()()x f'x f x F'x e -=，从而有()()xf x F x e=在[]22-,上单调递减，1()(21)x e f x f x ->-()()2121x x f x f x e e --⇔>()()21F x F x ⇔>-，根据单调性解不等式即可． 【详解】解：令()()x f x F x e =，则()()()xf'x f x F'x e -=， ∵()()f x f x '<， ∴()F'0x <， ∴()()xf x F x e =在[]22-,上单调递减， ∵1()(21)x ef x f x ->-()()2121x x f x f x e e--⇔>()()21F x F x ⇔>-， ∴22221221x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得312x <≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查导数在研究函数单调性中的应用，考查利用单调性解不等式，本题的关键是构造函数()()xf x F x e =，属于难题． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：13.在菱形ABCD 中，若6BD =，则CB DB ⋅的值为______. 【答案】18 【解析】 【分析】 设ACBD O =，()CB DB CO OB DB ⋅=+⋅，由此可求出答案．【详解】解：设ACBD O =，如图则AC BD ⊥，则()CB DB CO OB DB ⋅=+⋅CO DB OB DB =⋅+⋅210182DB =+=，故答案为：18．【点睛】本题主要考查定义法求平面向量的数量积，考查平面向量的基本运算，属于基础题． 14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若22()8c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积为______. 【答案】3【解析】 【分析】结合题意及余弦定理可得282cos3ab ab π-+=-，求出8ab =，再根据三角形的面积公式即可求出答案．【详解】解：∵2222()828c a b a b ab =-+=+-+，3C π=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴282cos 3ab ab ab π-+=-=-，∴8ab =， ∴ABC ∆的面积113sin 82322S ab C ==⨯⨯=， 故答案为：23．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，属于基础题．15.若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则22x y x y+-的最小值为__________．【答案】4 【解析】由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，＝＝＝x －y ＋≥4，则的最小值为4.16.“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得当则有利，反之必有弊害.对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.某次调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是______.如果其中共有260人回答为“是”，则由此可以估计这800名学生中，上学带手机的人数约为______. 【答案】 (1). 800 (2). 120 【解析】 【分析】第一空因为样本容量为800，则回答“不是”的人数不超过样本容量即可；结合掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率均为0.5，则回答第一个问题和第二个问题的人数大约为400，而学号为奇数和偶数的概率均为0.5，则回答第一个问题的人中回答“是”的占200人，由此可得出第二空答案． 【详解】解：∵某次调查活动共有800名高中生参与了调查， ∴回答为“不是”的人数的最大值是800，∵掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率均为0.5， ∴回答第一个问题和第二个问题的人数大约为400，而学号为奇数和偶数的概率均为0.5，则回答第一个问题的人中回答“是”的占200人， ∵其中共有260人回答为“是”，∴在回答问题（2）的400人中，回答“是”人数为260-200=60， ∴这800名学生中，上学带手机的人数约为120， 故答案为：800；120．【点睛】本题主要考查随机抽样的概念及特征，考查涉及敏感性信息的问卷调查，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为315n S S ⋅=，0n a >，1d >，且______.从“①等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =；②11a -，21a -，31a +为等比数列{}n b 的前3项”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：115n T ≥.【答案】选择②；（1）21n a n =+()*n ∈N .（2）证明见解析【解析】 【分析】若选①，则由题意3312b a b a =<=，则0d <，不符合题意，故选②； （1）由题意得2315a =，()()()2132111a a a -+=-，由此解方程组即可得出；（2）利用裂项相消法求出113612n T n=⨯+，而35122n +≤，从而得出证明． 【详解】解：若选①，因为{}n b 的公比12q =，且0n a >，则3312b a b a =<=，则0d <，不符合题意，故选②；（1）由{}n a 为等差数列，315S =，得2315a =，则25a =， 又11a -，21a -，31a -为等比数列{}n b 的前3项，∴()()()2132111a a a -+=-，即(4)(6)16d d -+=，解得2d =或4d =-（舍），∴13a =，21n a n =+()*n ∈N ；（2）∵111111(21)(23)22123n na a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， ∴122311113(23)n n n n T a a a a a a n +=+++=+111113366151122n =⨯≥⨯=++．【点睛】本题主要考查等差数列的应用，考查裂项相消法求数列的和，考查计算能力与转化能力，属于基础题．18.如图，已知等边ABC 与直角梯形ABDE 所在的平面互相垂直，且AE AB ⊥，//BD AE ，22AB BD AE ===，12AM MC =.（1）证明：直线//CD 平面BEM ；（2）求直线ED 与平面BEM 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26【解析】 【分析】（1）连接AD 交于EB 点O ，连接OM ，则:1:2AO OD =，12AM MC =得:1:2AM MC =，则//MO CD ，则//CD 平面BEM ；（2）解：取AB 中点F ，ED 中点G ，连接CF ，FG ，则//FG AE ，可证AE ⊥平面ABC ，则FG ⊥平面ABC ，分别以FC ，FB ，FG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与直线的方向向量的夹角的余弦值即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接AD 交于EB 点O ，连接OM ，∵//BD AE ，2BD AE =， ∴:1:2AO OD =， ∵12AM MC =， ∴:1:2AM MC =，∴//MO CD ， 又∵CD ⊄平面BEM ，MO ⊂平面BEM ， ∴//CD 平面BEM ；（2）解：取AB 中点F ，ED 中点G ，连接CF ，FG ，∴//FG AE ，又∵ABC 等边，∴CF AB ⊥；∵平面ABC ⊥平面ABDE ，AE AB ⊥，平面ABC 平面ABDE AB =，AE ⊂平面ABDE ，∴AE ⊥平面ABC ， ∴FG ⊥平面ABC ，分别以FC ，FB ，FG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，3,0,0)C ，(0,1,2)D ，(0,1,1)E -，∴31,03AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)BA =-，35,03BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,1)EB =-，(0,2,1)ED =，设平面BEM 的一个法向量为(),,n x y z =，则由00n EB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得一个(5,3,23)n =，设直线ED 与平面BEM 所成角为θ， 则6sin cos ,5n ED θ=<>=， ∴直线ED 与平面BEM 所成角的正弦值为6． 【点睛】本题主要考查证明线面平行的方法，考查直线与平面所成的角的求法，属于中档题．19.我国是世界上严重缺水的归家之一，某市为了制订合理的节水方案，对家庭用水情况进行了抽样调查，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t ）的数据，将这些数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，[)1,1.5，[)1.5,2，[)2,2.5，[)2.5,3，[)3,3.5，[)3.5,4，[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的b 值，若该市有30万个家庭，试估计全市月均用水量不低于3t 的家庭数； （2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计全市家庭月均用水量的平均数； （3）现从月均用水量在[)0,0.5，[)0.5,1的家庭中，先按照分层抽样的方法抽取9个家庭，再从这9家庭中抽取4个家庭，记这4个家庭中月均用水量在[)0.5,1中的数量为ξ，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）0.08b =，36000；（2）2.02；（3）分布列见解析，8()3E ξ= 【解析】 【分析】（1）由题意()0.0420.120.160.280.30.0.50.5144b +++⨯+++=+，解得0.08b =，由此可得全市月均用水量不低于3t 的家庭所占比例为12%，从而求出答案； （2）直接根据平均数的计算公式求解即可；（3）按照分层抽样抽取9个家庭，即[)0,0.5抽3家，[)0.5,1抽6家，因此ξ可能的取值为1,2,3,4，根据概率计算公式即可求出ξ的分布列，再根据期望的计算公式即可求出期望． 【详解】解：（1）∵频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，∴()0.0420.120.160.280.30.0.50.5144b +++⨯+++=+，解得0.08b =， ∴月均用水量不低于3t 的家庭所占比例(0.040.080.12)++0.50.1212%⨯==， 因此估计全市月均用水量不低于3t 的家庭所占比例为12%， 家庭数约为30000012%36000⨯=； （2）因为(0.250.080.750.16 1.250.3⨯+⨯+⨯ 1.750.44 2.250.5+⨯+⨯ 2.750.28+⨯ 3.250.12+⨯3.750.08 4.250.04)0.5 2.02+⨯+⨯⨯=，因此估计全市家庭月均用水量的平均数为2.02；（3）在月均用水量[)0,0.5，[)0.5,1中，[)0,0.5有4家，[)0.5,1有8家，共12家， 按照分层抽样抽取9个家庭，即[)0,0.5抽3家，[)0.5,1抽6家， 因此ξ可能的取值为1,2,3,4，其中3136491(1)21C C C P ξ===，2236495(2)14C C P C ξ===， 13364910(3)21C C P C ξ===，0436495(4)42C C P C ξ===，∴ξ的分布列如下表所示：数学期望151058()1234211421423E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的实际应用，考查随机变量的分布列与期望的求法，考查计算能力，属于中档题．20.已知椭圆221:164x yC+=，A为椭圆1C上的动点，点B在y轴上，且直线AB垂直于y轴，点M满足63BM BA=.（1）求M的轨迹方程2C；（2）设点F是椭圆1C的右焦点，点N是2C上在第一象限内的点，过点N作2C的切线交椭圆1C于P，Q 两点，试判断PQF∆的周长是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）224x y+=；（2）是定值，26【解析】【分析】（1）设()11,A x y，(),M x y，由已知有()10,B y，由题意得())111160,0,x y y x y y--=--，由此可求出答案；（2）由已知得(2,0)F，设()22,P x y，()33,Q x y且23,(6,6)x x∈-结合两点间距离公式以及椭圆的方程可得||||6PF PN+=||||6QF QN+=||||||6PF QF PQ++=【详解】解：（1）设()11,A x y，(),M x y，由已知有()10,B y，∵63BM BA=，∴())111160,0,3x y y x y y--=--，解得116x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入1C得224x y+=，∴2C 的方程为224x y +=；（2）由已知得(2,0)F ，设()22,P x y ，()33,Q x y 且23,(6,6)x x ∈-，则()2222||2PF x y =-+又2222164x y +=，代入上式得()2222||2PF x y =-+()22222416x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()221323x =-)23323x =-， 又22||||||PN OP ON =-22224x y =+-=22222341463x x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， ∴||||6PF PN +=同理||||6QF QN +=||||||26PF QF PQ ++=故PQF ∆的周长为定值26【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题． 21.已知函数2()f x x x =-，()ln g x x =．（1）讨论函数()()()h x af x g x =-(R)a ∈的单调性；（2）证明：若1a <，则对于任意0x >，不等式()(1) ()(2) f x x g x a x >++-恒成立． 【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导2121()2ax ax h x ax a x x--'=--=，再分类讨论得导数符号，从而得出函数的单调性；（2）原不等式即2(1)ln 0x x x ax x +-+-<，变形为(1)ln 10x xx a x+-+-<，只需ln ln 1x x x a x -<--+证恒成立；设函数()ln F x x x =-，ln ()1xG x a x=--+，结合导数易得()(1)1F x F ≤=-，1()()1G x G e a e≥=-+-，由1a <，得1111a e e -+->->-，从而得出证明．【详解】（1）解：函数()2()ln h x a x x x =--的定义域为(0,)+∞，2121()2ax ax h x ax a x x--'=--=，①当0a =时，1()0h x x'=-<，则()h x (0,)+∞内单调递减；②当0a >时，由()0h x '<得，2210ax ax --<，解得04a x a+<<，由()0h x '>得，x >，则()h x 在⎛ ⎝⎭内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增； ③当80a -≤<时，221212148a ax ax a x ⎛⎫--=--- ⎪⎝⎭108a ≤--≤，则()0h x '≤，则()h x 在(0,)+∞内单调递减；④当8a <-时，由()0h x '<得，2210ax ax --<，解得04a x a +<<，或4a x a->，由()0h x '>得，44a a x a a <<，则()h x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递减，在⎝⎭内单调递增；综上：当0a >时，()h x 在0,4a a ⎛+ ⎪⎝⎭内单调递减；在4a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭内单调递增； 当80a -≤≤时，()h x 在(0,)+∞内单调递减；当8a <-时，()h x 在0,4a a ⎛+ ⎪⎝⎭，4a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭内单调递减，在,44a a a a ⎛- ⎪⎝⎭内单调递增；（2）证明：原不等式即2(1)ln 0x x x ax x +-+-<，变形为(1)ln 10x x x a x+-+-<， ∴只需ln ln 1x x x a x-<--+证恒成立， 设函数()ln F x x x =-，ln ()1x G x a x =--+， 因为11()1x F x x x-'=-=，易得()F x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()(1)1F x F ≤=-，221ln ln 1()x x G x x x--'=-=，()G x 在(0,e)单调递减，在上(e,)+∞单调递增， 所以1()()1G x G e a e ≥=-+-，因为1a <，所以1111a e e -+->->-，即ln ln 1x x x a x-<--+在(0,)+∞内恒成立， ∴若1a <，则对于任意0x >，不等式()(1)()(2)f x x g x a x >++-．【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查计算能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．※考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4——4：坐标系与参数方程22.已知曲线1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C的参数方程为cos 4sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标；（2）若点A 的极坐标为()2,π，设曲线2C 与y 轴相交于点B ，则在曲线1C 上是否存在点P ，使得PA PB ⊥，若存在，求出点P 的直角坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）)π，2π⎫⎪⎭；（2）存在，点4,33P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先求出曲线1C 和2C 的直角坐标方程，联立方程求得两曲线的公共点的直角坐标，再转化为极坐标； （2）求出点A 和点B 的直角坐标，假设存在点P满足条件，设点)P θθ，求得(2)AP θθ=+，(2BP θθ=，由题意得0AP BP ⋅=，结合数量积的坐标表示即可求出答案．【详解】解：（1）由题知，曲线1C 消去参数θ得到曲线1C 的直角坐标方程为222y y +=，曲线2C 消去参数t 得到曲线2C 的直角坐标方程为y x =+，联立1C 与2C的直角坐标方程222x y y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩解得0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故两曲线的公共点的直角坐标为(和，∴曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标为)π，2π⎫⎪⎭； （2）点A 的直角坐标为(2,0)-，点B 的直角坐标为，假设存在点P 满足条件，不妨设点)P θθ，则(2)AP θθ=+，(2BP θθ=，因为PA PB ⊥，所以AP BP ⊥，即0AP BP ⋅=，且0BP ≠，得2)0θθθθ+⋅-=，sin 1θθ-=-，又22cos sin 1θθ+=，得cos 3θ=-，1sin 3θ=-， 所以点4,3P ⎛- ⎝⎭， 即在曲线1C 上存在点4,33P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，使得PA PB ⊥．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查计算能力，属于中档题．选修4——5：不等式选讲23.设1()|2|f x x t x t=++-(0)t <，()3g x x =+. （1）当1t =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）证明：()f x ≥.【答案】（1）{}04x x <<；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）结合绝对值三角不等式、基本不等式证明即可．【详解】解：（1）当1t =-时，不等式()()f x g x <等价于|2||1|3x x x -++<+①，当1x ≤-时，①式化为213x x x ---<+，解得23x -<，解集为∅； 当12x -<<时，①式化为213x x x -++<+，解得0x <，从而02x <<；当2x ≥时，①式化为213x x x -++<+，解得04<，从而24x ≤<；所以不等式()()f x g x <的解集为{}04x x <<；（2）∵0t <，∴11()|2|(2)f x x t x x t x t t ⎛⎫=++-≥+-- ⎪⎝⎭112|2|t t t t =+=+≥= 当且仅当1(2)0x t x t ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭且12t t =时等号成立． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式和基本不等式的应用，属于中档题．。
2021届河北衡水中学新高考仿真考试(七)数学试题
2021届河北衡水中学新高考仿真考试（七）数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题：1.已知复数z 满足()2z i i -=-，则z =( ) A.1255i - B. 1255i -+ C.1255i + D. 1255i -- 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可求出2i z i -=-，结合复数的除法运算对其进行整理得1255z i =-，从而可求出共轭复数. 【详解】解：由题意可得：(2)122(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+，则1255z i =+. 故选:C.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的求解.本题的关键是对z 进行整理变形. 2.已知集合{}2230A x x x =-++≥，{}20B x x =->，则A B =( )A. ()1,3B. (]1,3C. ()1,2-D. [)1,2-【答案】D 【解析】【分析】先解不等式得集合A,B ，再根据交集概念求结果. 【详解】由题意得[]1,3A =-，(),2B =-∞中，则[)1,2A B =-.故选：D【点睛】本题考查集合交集运算、一元二次不等式解集，考查基本分析求解能力，属基础题.3.空气质量指数简称AQI ，是定量描述空气质量的指数，空气质量指数小于50表示空气质量为优.下图是某市一周的空气质量指数趋势图，则下列说法错误的是( )A. 该市这周有4天的空气质量指数为优B. 该市这周空气质量指数的中位数是31C. 该市这周空气质量指数的极差是65D. 该市这周空气质量指数的平均数是53【答案】B 【解析】 【分析】由图可知该市这周空气质量指数，从而可计算平均数，中位数，极差，即可选出正确答案. 【详解】解：由图可知该市这周空气质量指数为96,74,54,31,37,36,43，则平均数为()196745431373643537⨯++++++=，有4天的空气质量指数小于50， 按大小排列为31,36,37,43,54,74,96，则中位数为43，极差为963165-=故选:B.【点睛】本题考查了数据分析，考查了平均数的求解，考查了中位数的求解，考查了极差的求解. 4.函数()ln 11x f x x +=+的部分图象大致是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 的图象关于直线1x =-对称，排除C 、D ；当10x -<<时，ln 10x +<，所以()0f x <，排除B .【详解】设()ln xg x x=，因为()()g x g x =-，所以()g x 的图象关于y 轴对称. 所以()f x 的图象关于直线1x =-对称，排除C 、D ； 当10x -<<时，ln 10x +<，所以()0f x <，排除B ， 故选：A【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项. 5.已知:1p x a -<，3:11q x >+，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( ) A. []0,1 B. (]0,1C. [)1,2-D. ()1,2-【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式和分式不等式对命题进行化简，依据二者的关系可得1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，即可求出a 的取值范围.【详解】解：因为1x a -<，所以11a x a -<<+.即:11p a x a -<<+， 因为311x >+，所以12x -<<，即:12q x -<<. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤.故选:A.【点睛】本题考查了已知命题关系求参数的取值范围，考查了绝对值不等式的求解，考查了分式不等式的求解.本题的关键是对命题进行化简.6.已知0a >，0b >，且320a b ab +-=，则3a b +的最小值是( ) A. 6 B. 8C. 12D. 16【答案】B 【解析】 【分析】先化简条件得312a b+=，再利用1的代换以及基本不等式求最值即可. 【详解】因为0a >，0b >，320a b ab +-=，所以312a b+=，所以()()1311331133101061082222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （当且仅当2a b ==时取等号）. 故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.7.踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动.某单位组织踢毽子比赛，把10人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为26，29，32，45，51；乙组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为28，31，38，42，49.从甲、乙两组中各随机抽取1人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是( ) A.59B.49C.1325D.1225【答案】C 【解析】 【分析】先确定从甲、乙两组中各随机抽取1人总事件数，再确定抽取两人踢毽子的数目之和为奇数所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】从甲、乙两组中各随机抽取1人有5525⨯=种取法； 其中抽取两人踢毽子的数目之和为奇数有223313⨯+⨯=种取法； 从而所抽两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是1325故选：C【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知()f x '是函数()f x 的导数，且()()f x f x -=，当0x ≥时，()3f x x '>，则不等式()()3132f x f x x --<-的解集是( )A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()232g x f x x =-，根据条件确定其单调性与奇偶性，化简不等式()()3132f x f x x --<-为()()1g x g x <-，再根据单调性与奇偶性转化不等式为1x x <-，解得结果.【详解】设()()232g x f x x =-，则()()3g x f x x ''=-. 因为当0x ≥时，()3f x x '>，所以当0x ≥时，()()30g x f x x ''=->，即()g x 在[)0,+∞上单调递增. 因为()()f x f x -=，所以()()()()223322g x f x x f x x g x -=--=-=∴，()g x 是偶函数. 因为()()3132f x f x x --<-，所以()()()22331122f x x f x x -<---，即()()1g x g x <-，()()|||1|g x g x ∴<-,则1x x <-，解得12x <. 故选：D【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性、利用单调性与奇偶性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、多项选择题：9.已知函数()tan ,tan sin sin ,tan sin x x x f x x x x >⎧=⎨≤⎩，则( )A. ()f x 的值域为()1,-+∞B. ()f x 的单调递增区间为(),2k k k πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Z C. 当且仅当()2k x k k πππ-<≤∈Z 时，()0f x ≤D. ()f x 的最小正周期时2π 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质可得当()2k x k k πππ<<+∈Z 时，()tan f x x =，当()2k x k k πππ-<≤∈Z 时，()sin f x x =，结合图象逐一判断即可. 【详解】当tan sin x x >，即()2k x k k πππ<<+∈Z 时，()()tan 0,f x x =∈+∞；当tan sin x x ≤，即()2k x k k πππ-<≤∈Z 时，()()sin 1,1f x x =∈-.综上，()f x 的值域为()1,-+∞，故A 正确；()f x 的单调递增区间是2,222k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭和()32,22k k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈Z ，B 错误；当()2,22x k k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈Z 时，()0f x >，故C 错误；结合()f x 的图象可知()f x 的最小正周期是2π，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，得出函数()f x 的解析式是解题的关键，属于中档题.10.已知奇函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()21f =-，若()()1g x f x =-，则下列结论一定成立的是( )A. ()10g =B. ()122g =-C. ()()0g x g x -+>D. ()()110g x g x -+++<【答案】AC 【解析】 【分析】A.由()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，可得()()10g f =，可判断选项A;由()()12g f =，又()f x 为定义在R 上的减函数，且()21f =-，()()()210f f f <<，从而可判断选项B;由题意()()()()11g x g x f x f x -+=--+，根据()f x 是定义在R 上的减函数，则()()11f x f x ->+，可判断选项C;因为()()()1g x f x f x -+=-=-，所以()()()()110g x g x f x f x -+++=-+=，可判断选项D.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，因为()()1g x f x =-， 所以()()100g f ==，故A 正确； 因为()f x 为定义在R 上减函数，且()21f =-，()()()210f f f <<，即()110f -<<.所以()120g -<<，故B 不一定成立；因为()()1g x f x =-，所以()()()11g x f x f x -=--=-+，所以()()()()11g x g x f x f x -+=--+，因为()f x 是定义在R 上的减函数，所以()()11f x f x ->+，所以()()110f x f x +-->，即()()0g x g x -+>，故C 正确； 因为()()1g x f x =-，所以()()()1g x f x f x -+=-=-，()()1g x f x +=， 所以()()()()110g x g x f x f x -+++=-+=，选项D 错误.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，考查赋值法的应用，属于中档题.11.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( ) A.B. C.D. 3【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，将PQF △的周长的最小值转化为求QF PQ '+的最小值，即可求出离心率的范围，观察选项即可判断.【详解】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得2415PF PF '==+=，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C 的离心率266c e a ==≤.因为1e >.所以双曲线C 的离心率的取值范围为(1,6⎤⎦. 故选：AC【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率及一动点到两定点的距离之和的最小值，属于基础题. 12.一个正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，点H 是棱DN 的中点，P ，Q 分别是线段AC ，BN （不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是( )A. 在点P 的运动过程中，存在//HP BMB. 在点Q 的运动过程中，存在FQ AH ⊥C. 三棱锥H QAC -的体积为定值D. 三棱锥B PEM -的体积不为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】由异面直线的判断方法，可判断A ；运用线面垂直的判断与性质定理可判断B ；由棱锥的体积公式和线面距离与点面距离的关系，可判断C ，D ．【详解】解：由平面展开图，还原正方体，如图所示.对于A 选项，因为点P 是线段AC 上的动点，所以HP ⊂平面ACH ，因为BM ⊄平面ACH ，且BM 与平面ACH 不平行，所以不存在//HP BM .故A 错误； 对于B 选项.连接BD ，BD AC O ⋂=，连接OF ，OF BN G ⋂=，取AD 的中点K ，连接EK ，OK .则O 为BD 的中点，//OK EF ，所以E ，F ，O ，K 四点共面，因为AH EK ⊥，AH EF ⊥，所以AH ⊥平面EFOK ，因为GF ⊂平面EFOK ，所以AH GF ⊥，即当点Q 运动到G 点时，FQ AH ⊥，故B 正确；对于C 选项，因为点H 是棱DN 的中点，所以//OH BN ，因为OH ⊂平面ACH ，BN ⊄平面ACH ，所以//BN 平面ACH ，则直线BN 上的任意一点到平面ACH 的距离相等，且为定值，因为点Q 是线段BN 上的动点，所以点Q 到平面ACH 的距离d 为定值，因为ACH 的面积为定值，所以13H QW Q WH ACH V V d S --⋅==△（定值），故C 正确；对于D 选项，因为点P 是线段AC 上的动点。
河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题含解析
河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MB MA ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA u u u r u u u r，由平面向量的数量积可得答案. 【详解】如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，由1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，易得11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，则31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．266【答案】A 【解析】 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r.因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =. 因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DM r =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题3．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数 D ．()()f x g x ⋅是奇函数【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【详解】解：()f x Q 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=，()()()()f x g x f x g x --=-g g ，故函数是奇函数，故A 错误， |()|()|()|()f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故B 错误， ()|()|()|()|f x g x f x g x --=-g g 是奇函数，故C 正确． |()()||()()|f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．已知()21AB =-u u u r ，，()1,AC λ=u u u r，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ）A ．-1B ．7C ．1D ．1或7【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 10AB AC BAC AB AC ⋅∠===u u u r u u u r u u u r u u u r . ∴解得1λ=. 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 5．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23 B ．17C ．20D ．63【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【详解】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则①()223x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：00555(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②()223x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：11555(2)220C x x -⋅⋅⋅=-； ③()223x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：225551240C x x ⋅⋅⋅=；综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.6．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ， 而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形， 所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I , 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠=== ∴13πCA E ∠=.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。