第十二章 方差分析
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第12章-多重线性回归分析
8
6 因变量总变异的分解
P
(X,Y)
Y
（Y Y） （Y Y）
（Y Y）
Y X
Y
Y
9
Y的总变异分解
Y Y Yˆ Y Y Yˆ
Y Y 2 Yˆ Y 2 Y Yˆ 2
总变异 SS总
回归平方和 剩余平方和
SS回
SS剩
10
Y的总变异分解
病程 (X2)
10.0 3.0 15.0 3.0 4.0 6.0 2.9 9.0 5.0 2.0 8.0 20.0
表 12-1 脂联素水平与相关因素的测量数据
空腹
回归模空型腹 ？
瘦素
脂联 BMI 病程 瘦素
脂联
(X3)
血糖 (X4)
素(Y)
(X1)
(X2)
(X3)
血糖 素(Y) (X4)
5.75 13.6 29.36 21.11 9.0 4.90 6.0 17.28
H 0： 1 2 3 4 0 ，即总体中各偏回归系数均为0； H 1：总体中各偏回归系数不为0或不全为0；
= 0.05。
2 计算检验统计量： 3 确定P值，作出推断结论。
拒绝H0，说明从整体上而言，用这四个自变量构成 的回归方程解释糖尿病患者体内脂联素的变化是有统 计学意义的。
的平方和 (Y Yˆ)2为最小。
只有一个自变量
两个自变量
例12-1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平的影响因 素，某医师测定30例患者的BMI、病程、瘦素、空腹血糖， 数据如表12-1所示。
BMI (X1)
24.22 24.22 19.03 23.39 19.49 24.38 19.03 21.11 23.32 24.34 23.82 22.86
6 因变量总变异的分解
P
(X,Y)
Y
（Y Y） （Y Y）
（Y Y）
Y X
Y
Y
9
Y的总变异分解
Y Y Yˆ Y Y Yˆ
Y Y 2 Yˆ Y 2 Y Yˆ 2
总变异 SS总
回归平方和 剩余平方和
SS回
SS剩
10
Y的总变异分解
病程 (X2)
10.0 3.0 15.0 3.0 4.0 6.0 2.9 9.0 5.0 2.0 8.0 20.0
表 12-1 脂联素水平与相关因素的测量数据
空腹
回归模空型腹 ？
瘦素
脂联 BMI 病程 瘦素
脂联
(X3)
血糖 (X4)
素(Y)
(X1)
(X2)
(X3)
血糖 素(Y) (X4)
5.75 13.6 29.36 21.11 9.0 4.90 6.0 17.28
H 0： 1 2 3 4 0 ，即总体中各偏回归系数均为0； H 1：总体中各偏回归系数不为0或不全为0；
= 0.05。
2 计算检验统计量： 3 确定P值，作出推断结论。
拒绝H0，说明从整体上而言，用这四个自变量构成 的回归方程解释糖尿病患者体内脂联素的变化是有统 计学意义的。
的平方和 (Y Yˆ)2为最小。
只有一个自变量
两个自变量
例12-1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平的影响因 素，某医师测定30例患者的BMI、病程、瘦素、空腹血糖， 数据如表12-1所示。
BMI (X1)
24.22 24.22 19.03 23.39 19.49 24.38 19.03 21.11 23.32 24.34 23.82 22.86
方差分析SPSS
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
随机区组设计的两因素方差分析
配伍设计有两个研究因素，区组因素和处理因素。 事先将全部受试对象按某种或某些特征分为若干个 区组，使每个区组内研究对象的特征尽可能相近。 每个区组内的观察对象与研究因素的水平数k相等， 分别使每个区组内的观察对象随机地接受研究因素 某一水平的处理。
k ni
SS总＝
( Xij X )2 ,总 N 1
i1 j 1
组间变异：各处理组的样本均数也大小不等。大小可用各组
均数 X i 与总均数 X 的离均差平方和表示。
k
SS组间＝ ni ( X i X )2 , 组间 k 1, MS组间＝SS组间 组间 i 1
组内变异：各处理组内部观察值也大小不等，可用各处理组
内部每个观察值 X ij与组均数 X i 的离均差平方和表示。
k ni
SS组内＝
( Xij Xi )2,组内 N k，MS组内＝SS组内 组内
i1 j1
三种变异的关系
SS总 SS组间 SS组内
并且该等式和上面的等式存在如下的对应关系 总变异＝随机变异+处理因素导致的变异
总变异＝组内变异 + 组间变异
＝0.05
2、选定检验方法，计算检验统计量
F MS处理 MS误差；F MS区组 MS误差 3、确定P值，作出推断结论
F F ，P (处理，误差 ) F F ，P (处理，误差 )
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
多重比较
LSD-t 检验：适用于检验k组中某一对或某几对在 专业上有特殊意义的均数是否相等。
第十二章 连续变量的统计推断(二)—单因素方差分析
SPSS中实现过程 中实现过程
随机抽取了三组学生的数学成绩，试以 随机抽取了三组学生的数学成绩，试以0.05的显著性水 的显著性水 平分析三组学生的数学平均成绩是否有显著差异。 平分析三组学生的数学平均成绩是否有显著差异。
人 名 hxh yaju yu shizg hah s watet jess wish 2_new1 2_new2 2_new3 2_new4 2_new5 2_new6 2_new7 2_new8 2_new9 数 学 99.00 88.00 99.00 89.00 94.00 90.00 79.00 56.00 89.00 99.00 70.00 89.00 55.00 50.00 67.00 67.00 56.00 56.00 组 别 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
实现步骤
在菜单中选择“OneANOVA”命令 在菜单中选择“One-Way ANOVA”命令
“One“One-Way ANOVA”对话框 ANOVA”对话框
“One“One-Way ANOVA：Options”对话框 ANOVA：Options”对话框
“One“One-Way ANOVA：Post Hoc Multiple Comparisons”对话框 ANOVA： Comparisons”对话框
单因素方差分析实质上采用了统计推断的方法， 单因素方差分析实质上采用了统计推断的方法， 由于方差分析有一个比较严格的前提条件， 由于方差分析有一个比较严格的前提条件，即不 同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布， 同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布， 因此方差分析问题就转换成研究不同水平下各个 总体的均值是否有显著差异的问题。 总体的均值是否有显著差异的问题。
《社会统计学》章节知识点——单选题
《社会统计学》章节知识点——单选题第一章总论●变量类型1.下列变量属于数值型变量的是（ A ）。
A．工资收入B．产品等级C．学生对考试改革的态度D．企业的类型【参考答案】A2.从变量分类看，下列变量属于定序变量的是（ C ）。
A．专业B．性别C．产品等级D．收入【参考答案】C●总体和样本1．某地区政府想了解全市332.1万户家庭年均收入水平，从中抽取3000户家庭进行调查，以推断所有家庭的年均收入水平，这项研究的样本是（ B ）。
A．332．1万户家庭B．3000户家庭C．332．1户家庭的年均收入D．3000户家庭的年均收入【参考答案】B2．学校后勤集团想了解学校22000学生的每月生活费用，从中抽取2200名学生进行调查，以推断所有学生的每月生活费用水平，这项研究的总体是（ A ）。
A．22000名学生B．2200名学生C．22000名学生的每月生活费用 D．2200名学生的每月生活费用【参考答案】A3．为了解某地区的消费，从该地区随机抽取5000户进行调查，其中30%回答他们的月消费在5000元以上，40%回答他们每月用于通讯、网络的费用在300元以上，此处5000户是（ C ）。
A．变量 B．总体 C．样本 D．统计量【参考答案】C●抽样方式4．从含有N个元素的总体中，抽取n个元素作为样本，同时保证总体中每个元素都有相同的机会入选样本，这样的抽样方式称为（ A ）。
A．简单随机抽样B．系统抽样 C．整群抽样D．分层抽样【参考答案】A5．某班级有60名男生，40名女生，为了了解学生购书支出，从男生中抽取12名学生，从女生中抽取8名学生进行调查，这种调查方法属于（ C ）。
A．简单随机抽样 B．整群抽样 C．分层抽样 D．系统抽样【参考答案】C6．先将总体按某标志分为不同的类别或层次，然后在各个类别中采用简单随机抽样或系统抽样的方式抽取子样本，最后将所有子样本合起来作为总样本，这样的抽样方式称为（ D ）。
医学统计学课件：第十二章 重复测量设计资料的方差分析
111
123
131
B
10
118
114
116
123
133
C
11
131
119
118
135
129
C
12
129
128
121
148
132
C
13
123
123
120
143
136
C
14
123
121
116
145
126
C
15
125
124
118
142
130
2. 未设立对照的重复测量数据
表12-3 受试者血糖浓度（mmol/L）
• 能说明治疗有效吗？
住院休息，环境和情绪的改变？考虑了吗？
二、设立对照的前后测量设计
高血压患者治疗前后的舒张压（mmHg）
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
处理组 前后 130 114 124 110 136 126 128 116 122 102 118 100 116 98 138 122 126 108 124 106
1. 设立对照的重复测量设计
• 将手术要求基本相同的15名患者随机分3
组，在手术过程中分别采用A，B，C三 种麻醉诱导方法，在T0（诱导前）、T1、 T2、T3，T4 五个时相测量患者的收缩压， 数据记录见表。
表 12-16 不同麻醉诱导时相患者的收缩压（mmHg）
方法 序号
T0
麻醉诱导时相
T1
.937**
.882**
Sig. (2-tailed)
.001
.004
N
8
生物统计第十二章 实验设计2
在某些情况下，我们不仅需要排除假阳性， 还需要排除假阴性。此时就需要设置阳性 对照了。这主要用于我们对实验材料是否 会产生我们所希望的变化并无十分把握的 情况。例如在遗传毒理实验中，常以靶细 胞染色体是否受到损害为指标。如果我们 选用了一类新的靶细胞，那对它是否会出 可观察到的明显的染色体损害就不是非常 肯定。此时则不仅需要阴性对照，也需要 阳性对照，即留出部分实验材料采用一些 已知的强诱变剂，
注意适当设置对照， 四 ． 注意适当设置对照 ， 包括阴性 对照与阳性对照
在生命科学的研究中，常常很难事先根据理 论或经验确定一个标准值，然后再检验样 本是否与它相同。常用的方法是设置一个 对照，通过与对照的比较来检验是否达到 了目的。这种对照又可分为阴性对照与阳 性对照。所谓阴性对照常常是留出一定量 实验材料不加特殊处理，让它们保持自然 状态；而另一部分材料则按预定程序加以 特定处理，然后对处理和不处理的结果加 以比较，看它们是否有差异，从而判断处 理是否有效。
2. 双样本：当两总体标准差σ1，σ2已知时， 其平均值之差的标准差为：
σ 12
n1
2 σ 12。因此有： σ2
n1
L = u 0 . 975 +
+
n2
σ
2 2
令
n n
1
n2
= =
σ σ σ
1
（12.2）
2
σ
1
2
+ σ
2
N ,
2
则有：N = n1 + n2, 且
从统计学角度看，我们更关心第三步，即从数 据处理与分析的角度作好实验设计。一个好 的实验设计，应当是既不丢掉有用信息，又 不浪费人力物力去收集无用数据，并保证以 最小的工作量获取能满足使用需求精度的数 据。从前边的一些课程中也可看到实验设计 的重要性。例如二因素方差分析，有交互作 用，但实验未设重复；或本应进行协方差分 析，却未记录协变量的数据，等等。
第十二章 方差分析
2
2. 组内误差 组内误差（sum squares of error）是因素的同一水平（同一个总体） 下样本数据的误差。它是每个水平或组的个体样本数据与其本组平均值 误差的平方和，通常记作 SSE，也称为误差项平法和或残差平方和。 计算公式为：
SSE xij xi
i 1 j 1
假设显著水平 α = 0.05，可以通过查 F 分布表得：F0.05（2，12）= 3.89。而 F = 17. 06 839 > F0.05（2，12）= 3.89， 所以拒绝虚无假设，也就是说，我们 认为专业对收入有显著影响。
通过 F 检验可以发现自变量与因变量之间是否有影响，但是至于影 响程度多大，F 检验不能给出。
方差分析的逻辑
方差分析作为一种统计方法，是根据变异的可加性，将数据的总变异分 为不同来源的分量。具体地讲，它将总平方和分解为组内误差和组间误 差。 1. 总误差平方和 总误差平方和（sum squares of total）是全部观察值 xij 与所有观察 值的平均值 x 的误差平方和，通常记作 SST。它反映了前部观察值的 离散状况。 公式为：
F 统计量服从自由度为 n1 和 n2 的 F 分布。
F 统计量构造
组间均方： MSA 组 间 平 方 和 SSA
自由度
k 1
组内均方： MSE 组 内 平 方 和 SSE
自由度
nk
在计算出组间均方 MSA 和组内均方 MSE 后，将它们两个进行对比即 可得到检验需要的 F 统计量。 计算公式为： F
例子
某大学不同专业毕业生平均月收入 专业 单位：元
毕业生
社会学 1 2 3 4 5 3200 2800 3000 3400 2600 经济学 5000 5000 4300 4000 3900 信息学 4500 4200 3800 4800 4000
第2章单因素方差分析
第12章方差分析（Analysis of V ariance）方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。
在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。
有的影响大些，有的影响小些。
为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。
方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。
方差分析开始于本世纪20年代。
1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。
因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。
Fisher1926年在澳大利亚去世。
现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。
在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。
若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。
下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。
1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance）1.一般表达形式2.方差分析的假定前提3.数学模形4.统计假设5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验6.举例7.多重比较1.1.1 一般表达形式首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。
某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。
每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。
除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表：通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。
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i
n
(1) ∑ X ij
各水平重复试验数据之和 j =1 （各样本数据之和） 2 n (2) ∑ X ij 各水平重复试验数据平方和 j =1 （各样本数据平方和） k n (3) ∑∑ X ij 各水平重复试验数据和的总和 i =1 j =1 （全部数据之和） k n 2 X ij 各水平重复试验数据平方和的总和 (4)∑∑ i=1 j =1 （全部数据的平方和）
方差分析表 差异来源 离差平方和 组 组 总 间 内 379.611 84.000 463.611 自由度 2 15 17 方差 189.805 5.600 F 33.89 P P<0.01
2 xij = 493 ∑∑
(− 23)2 C=
18
2
= 29.389
LT = 493 − 29.389 = 463.611
(− 35) + (− 18) − 29.389 = 379.611 30 LA = + 5 7 6 LE = 463.611 − 379.611 = 84.000
2 2
′ nT = 18 −1 = 17
C =
(ΣΣ X )
ij
2
N
2
69 .7 2 = = 202 . 420 24
LT = ΣΣX ij − c = 248.31 − 202.420 = 45.890
LA
(ΣX ) =Σ
ij
2
ni
13.42 16.52 13.82 26.02 −c = + + + − 202.420 = 17.288 6 6 6 6
2、计算离差平方和 （1）总离差平方和
LT
(∑∑X ) = ∑∑X − = ∑∑X N
2 2 ij ij
2 2 ij ij
2 ij
−c
(∑∑ X ) c=
ij
2
N
（2）组间离差平方和
LA
(∑ X ) (∑∑ X ) (∑ X ) =∑ − =∑ n N n
ij i i
2
−c
（3）组内离差平方和
L E = LT − L A
H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3
排球 1 2 3 4 5 6 7 8 5 3 8 6 体操 -5 -7 -5 -5 -3 -8 -2
ij
′ x ij = x ij − 70
游泳 -1 -8 -4 -3 -2 0 -18 94
∑x 2 xij ∑
30 198
-35 201
∑∑ x
ij
= −23
LE = LT − L A = 45 ⋅890 − 17.288 = 28.602
nT = N −1= 24−1= 23 ′ n′ = k −1= 4−1= 3 A n′ = N −k = 24−4 = 20 E
LA 17.288 = = 5.762 MSA = ′ 3 nA
L E 28 .602 MS E = = = 1 .430 n′ 20 E
3、计算自由度 ′ （1）总自由度 nT = N − 1 （2）组间自由度 n′ = k − 1 A ′ （3）组内自由度 n′ = N − k = nT − n′A E 4、计算方差 LA MS A = （1）组间方差 ′
nA
（2）组内方差 计算统计量F 5、 计算统计量F值
MS F = MS
A E
p > 0.05
p ≤ 0 .05 p ≤ 0.01
（四）确定概率判定
因素对试验结果无显著性影响
因素对试验结果有显著 性影响 因素对试验结果有高度 显著性影响
对[例1]进行单因素方差分析
H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 = µ 4
方法一 方法二 方法三 方法四 1 2 3 4 5 6 3.3 1.2 0 2.7 3.0 3.2
MS A 5 .762 F = = = 4 .029 ≈ 4 .03 MS E 1 .430
差异来源 组 组 总 间 内
F0.01(3, 20 ) = 4.94 F0.05(3,20) = 3.10 4.03>3.10 P<0.05 训练方法对运动员磷 酸肌酸增长值有显著性影响，即四种训练方 法 运动员磷酸肌酸平均增长值差异有显著性意 方差分析表 义。
第十二章 方差分析
第一节 单因素方差分析
一、单因素方差分析的几个概念 因素： 因素：影响研究对象的某一指标、变量。 。 水平： 水平：因素变化的各种状态或因素变化所分 的等级或组别。 单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫 单因素试验 单因素试验。
单因素方差分析：对单因素试验结果进行分 单因素方差分析 析，检验因素对试验结果有无显著性影响的 方法叫单因素方差分析。单因素方差分析是 两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验 多个平均数之间的差异，从而确定因素对试 验结果有无显著性影响的一种统计方法。 二、单因素方差分析的基本原理
ij
3.0 2.3 2.4 1.1 4.0 3.7 16.5 50.95
0.4 1.7 2.3 4.5 3.6 1.3 13.8 43.24
3.6 4.5 4.2 4.4 3.7 5.6 26.0 115.26
∑x
∑ xij
13.4 38.86
∑∑ x
∑∑ x
ij
= 69.70间方差 F= 组内方差
三、单因素方差分析的方法步骤 单因素方差分析的方法步骤 单因素方差分析应用的条件： 单因素方差分析应用的条件：被检验的总体 服从正态分布且各总体方差齐性。 ㈠ 提出统计假设
H 0 : µ1 = µ 2 = ⋯ = µ k
㈡ 计算统计量F值 计算统计量F 1、列表计算下列各值 试验数据用 x ij 表示 i 列标 i =1，2，……K j行标 j = 1，2，…… n
LE MSE = n′ E
（三） 查表求临界值 附表4 F值表（方差分析用） P291 Fα （ n ′ , n ′ )
1 2
′ A n1 = n′ = k -1
F < F0.05( n1′ ,n′2 )
F ≥ F0.05 ( n1′ , n ′2 ) F ≥ F0.01( n1′ ,n′2 )
n′ = n′ = N −k 2 E
n′ = 3 −1 = 2 A
n′ = 18 − 3 = 15 E
84.000 379.611 = 5.600 MS E = MS A = = 189.805 15 2 189.805 F= = 33.893 ≈ 33.89 5.600
F 0 . 01 ( 2 ,15 ) = 6 . 36
33.89>6.36 P<0.01 运动项目对运动员纵跳成绩有显著性影响,不 同运动项目运动员平均纵跳成绩差异有高度 显著性意义。
[例1]为考查不同训练方法对磷酸肌酸增长的 影响，我们采用了四种不同的训练方法。每 种方法选取条件相仿的6名运动员，通过三个 月的训练以后，其磷酸肌酸的增长值（单 位：mg/100ml）如下表。试检验训练方法对 运动员磷酸肌酸增长值有无显著性影响？即 四种训练方法运动员磷酸肌酸平均增长值差 异 有无显著性意义？
离差平方和 自由度 17.288 28.602 45.890 3 20 23 方差 F P 5.762 1.430 4.03 P<0.05
[例2]测得男子排球、体操、游泳三个项目运 动员的纵跳成绩（单位：厘米）如下： 排球 78 75 73 78 76 体操 65 63 65 65 67 62 68 游泳 69 62 66 67 68 70 试检验运动项目对纵跳成绩有无显著性影 响，即不同运动项目运动员平均纵跳成绩之 间的差异有无显著意义？
编号 1
xi
方法一 方法二 方法三 方法四 3.3 1.2 0 2.7 3.0 3.2 2.23 3.0 2.3 2.4 1.1 4.0 3.7 2.75 0.4 1.7 2.3 4.5 3.6 1.3 2.30 3.6. 4.5 4.2 4.4 3.7 5.6 4.33
2 3 4 5 6
xi
从表中的数据可以看到 1、存在组内差异 2、存在组间差异 3、存在总的差异 方差分析的基本思想是：将总差异分解，分 方差分析的基本思想 出组间差异和组内差异，并分别用组间方 差、组内方差来表示其差异程度的大小，然 后对组间差异和组内差异的大小进行比较。