河北省石家庄实验中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题答案
A9＝780－210× 9 （34）9－6＝767996<80，
所以须在第 9 年初对 M 更新．
……………12 分．
20．解：由题意：
的夹角为 ，根据平面向量的夹角公式：
得：cos =
即 1 2sin B 2 2 2 2cos B
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整理得 2 2cos B 2sin B
当 1≤n≤6 时，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；
……………7 分
当 n≥7 时，Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)
＝570＋70×43×4×1－34n－6
＝780－210×34n－6，
An＝780－210n×34n－6，
……………10 分
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又 A8＝780－210× 8 （34）8－6＝824674>80，
21
2 1 4an
1
2 2an 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4an 2an 1
2 2an 1
2
,
所以数列bn 是首项为 2 公差为 2 的等差数列
……………4 分
2 a1 1, b1 2 , 因 此 bn 2 (n 1) 2 2n , 由 bn 2an 1 得
an
n 1
.
2n
……………6 分
(II)
2 cn n
当
n
1
时，
2a1
a1
1 2
a1
1 2
当n
2
时， Sn
2an
1 2
, Sn1
2an1
1 2
两式相减得 an Sn Sn1 2an 2an1 …3 分
整理得： an 2 ………4 分 an1
∴ 数 列 an 是 以
1 2
为首项，2
列.
an
a1
2n1
1 2
2n1
2n2
……………5
分
为公比的等比数
，
cn cn2
4
nn
2
2 1 n
n
]
2
Tn
21
1 2
1 n 1
n
1
2
3
…………10 分
依题意要使Tn
1 cm cm1
对于n
N * 恒成立,只需 m(m 1) 4
3,
解得 m 3或 m 4 ,所以 m 的最小值为 3.
……………12 分
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石家庄市实验中学高一（下）4 月月考数学 参考答案
一．选择题（每小题 5 分，共 60 分.请将正确答案涂在答题卡上） 1．C．2．B 3．D 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B 9．A 10．D 11．C 12．B
二.填空（每小题 5 分，共 20 分.请将正确答案填写在答题纸上）
13．a9= 236 ．
∴bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28
…………10 分
18．解：（I）由已知得
，由正弦定理得
即 2sinAcosB+sinCcosB=﹣sinBcosC， 即 2sinAcosB+sin（B+C）=0． ∵B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA，
∴
，0 B ∴
；
． …………… 3 分
14．
． 15．AC=7．
16．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6
的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N*）的前 12 项，如下表所示．
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
按如此规律下去，请归纳，则 a2013+a2014+a2015 等于 1007 ．
左右两边平方整理得 sin 2 B 1 cos B 又 2
又sin2 B cos2 B 1
得
cos
B
1
或 cos
B
1
2
0 B
所以cos B 1, 0 B 2
B= ．
（2）由题意：A，B，C 为△ABC 的内角．A+B+C=π
∴A+C=
sin2A+sin2C= 1 1 cos 2A 1 1 cos 2C
22
22
=
=
[cos2A+cos2（
）]+1
=
∵
， ∴2A
（
）．
由三角函数的图象和性质可知： 1 sin(2A ) 1 1 1 sin(2A ) 1
2
6
22
64
所以：sin2A+sin2C
的取值范围是：
1 2
,
3 4
21、解（1）由题意知 2an
Sn
1 2
, an
0
………………1 分
解：将数列{an}奇数项，偶数项分开看，
奇数项为 1，﹣1，2，﹣2…，发现 a2n﹣1+a2n+1=0，
∴当 n=1007 时，a2013+a2015=0，
偶数项为 1，2，3…，所以 a2n=n，
当 2n=2014，a2014=1007；
∴a2013+a2014+a2015=1007，
故答案为：1007
……………… 6 分
（II）由（I）得
．
…………………7 分
将
代入 b2=a2+c2﹣2accosB 中，得 ac=3． ……………10 分
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∴
．
……………12 分．
19．解：(1)当 n≤6 时，数列{an}是首项为 120，公差为－10 的等差数列．
an＝120－10(n－1)＝130－10n；
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（2） an2 2bn 22n4
∴bn 4 2n ，……………………6 分
Cn
bn an
4 2n 2n2
16 8n 2n
Tn
8 2
0 22
8 23
24 8n 2n1
16 8n 2n
①
1 2
Tn
8 22
0 23
24 8n 2n
16 8n 2n1
②
……………………7 分
……………2 分．
当 n≥7 时，数列{an}是以 a6为首项，公比为34的等比数列，
又 a6＝70，所以 an＝70×34n－6；
因此，第 n 年初，M 的价值 an 的表达式为
130－10n，n≤6，
an＝
70×34n－6，n≥7.
……………4 分． ……………6 分．
(2)证明：设 Sn表示数列{an}的前 n 项和，由等差及等比数列的求和公式得
①-②得
1 2
Tn
4
8(
1 22
1 23
1 2n
)
16 8n 2n1
4
8
212（1 1
1
2n1 1
)
16 8n 2n1
2
4
（4 1
2
1
n1
)
16 8n 2n1
4n 2n
.………………11
分
Tn
8n 2n
.
22． (I)证明
……………9 分 ……………12 分
bn1
bn
2 2an1
1
2 2an 1
三.解答题（共 6 个小题，共 70 分.请将正确答案填写在答题纸上.）
17．解：（1）设{an}的公比为 q
由已知得 16=2q3，解得 q=2
所以 an=2×2n﹣1=2n
（2）由（1）得 a3=8，a5=32，则 b3=8，b5=32
…………5 分
设{bn}的公差为 d，则有
，解得
…………8 分
河北省石家庄实验中学2019-2020学年高一英语下学期4月月考试题[含答案].doc
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河北省⽯家庄实验中学2019-2020学年⾼⼀英语下学期4⽉⽉考试题[含答案].doc河北省⽯家庄实验中学2019-2020学年⾼⼀英语下学期4⽉⽉考试题温馨提⽰: 本次考试时间60分钟, 满分100分; 请将答案写在答题纸上阅读理解（每⼩题2.5分，共25分）AIt’s 2035. You have a job, a family and you're about 40 years old! Welcome to your future life. Getting ready for work, you pause in front of the mirror．“Turn red,” you say. Your shirt changes from sky blue to deep red. Tiny preprogrammed electronics ( 智能电⼦元件) are rear-ranged in your shirt to change its color. Looking into the mirror，you find it hard to believe you’re 40. You look much younger.With amazing advances in medicine, people in your generation may live to be 150 years old. You’re not even middle-aged! As you go into the kitchen and prepare to pour your breakfast cereal into a bowl, you hear, “To lose weight,you shouldn’t eat that.” from your shoes. They read the tiny electronic code (电⼦源码) on the cereal box to find out the nutrition details. You decide to listen to your shoes. “Kitchen, what can I have for breakfast?” A list of possible foods appears on the counter as the kitchen checks its food supplies.“Ready for your trip to space?” you ask your son and daughter. In 2005 only specially trained astronauts went into space and very few of them. Today anyone can go to space for day trips or longer vacations. Your best friend even works in space. Handing your children three strawberries each, you add, “The doctor said you need these for space travel. ” Thanks to medical advances, vaccination shots(防疫针)are a thing of the past. Ordinary foods contain specific vaccines. With the berries in their mouths, the kids head for the front door.It’s time for you to go to work. Your car checks your fingerprints and unlocks the doors. “My office. Autopilot! ” you command. Your car drives itself down the road and moves smoothly into traffic on the highway. You sit back and unroll your e-newspaper. The latest news downloads and fills the viewer. Looking through the pages, you watch the news as video films rather than read it.1.What changes the color of your shirt?A. The mirrorB. The medicineC. The counterD. The shirt itself2.How do the shoes know that you shouldn’t eat the breakfast cereal?A. By pouring the breakfast into a bowl.B. By checking the nutrition details of the food.C. By testing the food supplies in the kitchen.D. By listening to the doctor's advice.3.The strawberries the children eat serve as_________.A. vaccinesB. lunchC. breakfastD. nutrition4. How is the text organized?A. In order of preferenceB. In order of appearanceC. In order of timeD. In order of importanceBCanada---The True North"'In 1867 when Canada was created, a towering Silver Maple tree standing in front of Alexander Muir's house in Toronto gave him an idea. He would write a poem and a song about the great tree, so common in Canada and so symbolic, to celebrate Canada's Confederation(联邦).His song was called The Maple Leaf Forever and it has been the unofficial Canadian anthem(国歌) to this day.Last July during a major storm, the tree was knocked down. It fell across a house and a street. But because it was an important historic tree, most of the wood was saved rather than being destroyed.Recently woodworkers at The Evergreen Brick Works in Toronto, a community projects centre, cut the wood into logs and other usable pieces. The pieces were given to artists to create about 150 different projects.One artist took a piece of tree. On it, he'll carve (雕刻) a series of historical Canadian scenes. Another wood carver is making beautiful round wooden bowls. Yet another made an interesting candlestick from the tree's branches.Other woodworkers are making wood wig stands(假发架)for cancer patients who lose their hair. Still others are taking small pieces of wood and making them into pens. And some of the wood was made into gavels (⼩⽊槌)to be used by Toronto' s city councilors(市议员).Some of the projects will be on public show while some will be personally owned.The people in Toronto who lived near the tree for years and tried to protect it from harm were very sad to see the old tree go. But they are glad to see that their maple tree will live forever in the hearts and homes of many people.5. Why did Alexander write The Maple Leaf Forever？A. To celebrate the birth of Canada.B. To express his love for the maple tree.C To go with his poem.D. To memorize the maple tree.6. Why was the wood of the tree kept by many people?A. The tree has practical value.B. They used it to honour Alexander Muir.C. They thought the tree was publicly owned.D. The tree was closely tied to Canadian history.7. What is the best title for the text?A. Maple Tree in TorontoB. Projects of Maple TreeC. Maple Tree Will Live ForeverD. A Fallen Maple Tree was savedCA bargain is something offered at a low and advantageous price. A more recent definition is: a bargain is a dirty trick to force money out of the pockets of silly and innocent people. The cost of producing a new, for example, toothpaste would make80pence the proper price for it, so we will market it at ￡1.20. It is not a bad toothpaste, and as people like to try new things, itwill sell well to start with; but the attraction of novelty soon fades, so sales will fall. When that happens we will reduce the price to ￡1.15. And we will turn it into a bargain by printing 5pence OFF all over it.Sometimes it is not 5pence OFF but 1pence OFF. What breathtaking rudeness to advertise 1pence OFF your soap or washing powder or whatever! Even the poorest old-age pensioner ought to regard this as an insult (侮辱), but he doesn’t. A bargain must not be missed. People say one has to have washing powder (or whatever) and one might as well buy it a penny cheaper.The real danger starts when unnecessary things become ‘bargains’. Many people justcannot resist bargains. Provided they think they are getting a bargain they will buy clothes they will never wear or furniture they have no space for. Once I heard of a man who bought an electric saw (电锯) as a bargain and cut off two of his fingers the next day. But he had no regrets: the saw had been truly cheap.Quite a few people actually believe that they make money on such bargains. A lady once told me: “I’ve had a lucky day today.I bought a dress for ￡120, reduced from ￡400; and I bought a beautiful Persian carpet for ￡600, reduced from ￡900.” It will never occur to her that she has ac tually wasted ￡720. She feels as though she had made ￡580. She also feels, I am sure, that if she had more time for shopping, she could make a living out of it. Some people buy in large quantities because it is cheaper. Once a couple bought enough sugar for their lifetime and the lifetime of their children and grandchildren. They thought it a bargain not to be missed. When the sugar arrived they didn’t know where to store it –– until they realized that their toilet was a very spacious one. So that was where they piled up their sugar. Not only did their guests feel rather strange whenever they were offered sugar to put into their coffee, but the toilet became extremely sticky.To offer bargains is a commercial trick to make the poor poorer. When greedy fools fall for this trick, it serves them right.8. Which word best describes the language style of the passage?A. polite.B. foolish.C. serious.D. humorous.9. How does the author feel about 1pence OFF a product?A. It’s a gift for poor people.B. It’s an insult to shoppers.C. It’s a bargain worth trying.D. It’s a real reduction in price.10. Which statement will the author probably agree with?A. Bargains are things people don’t really need.B. Bargains are often really cheap products.C. Bargains help people make a living.D. Bargains play tricks on people.七选五（每⼩题2分，共10分）Taking good notes is a time-saving skill that will help you to become a better student in several ways 11 . Second, your notes are excellent materials to refer to when you are studying for a test. Third, note-taking offers variety to your study time and helps you to hold your interest.You will want to take notes during classroom discussions and while reading a textbook or doing research for airport. 12 Whenever or however you take notes, keep in mind that note-taking is a selective process. 13The following methods may work best for you.●Read the text quickly to find the main facts and ideas in it.●Carefully read the text and watch for words that can show main points and supporting facts.● Write your notes in your own words.● 14● Note any questions or ideas you may have about what was said or written.As you take notes, you may want to use your own shorthand(速记). When you do, be sure that you understand your symbols and that you use them all the time. 15A. Use words, not complete sentences.B. There are three practical note-taking methods.C. You must write your notes on separate paper.D. Otherwise, you may not be able to read your notes later.E. you will also want to develop your own method for taking notes.F. That means you must first decide what is important enough to include in your notes.G. First, the simple act of writing something down makes it easier for you to understand and remember it.完形填空（每⼩题1.5分，共30.0分）It was raining heavily. I was 16 to go for the physical training and was 17 at Fort Campbell, where the traffic was moving slowly. I was probably going to be late and growing more and more 18 . The speed slowed almost to zero as I 19 Memorial Grove, the site built to honor the soldiers who died in an airplane crash. 20 it was close to Memorial Day, a small national flag had been 21 in the ground next to each soldier’smemorial plaque (墓碑).My 22 at the time was getting past the bottleneck, getting out of the rain and getting to the physical training on time. To my 23 , just as the traffic was getting started again, the car in front of me stopped. A soldier 24 in the pouring rain and ran over toward the Memorial Grove.I couldn’t 25 it! This stupid man was 26 everyone for no reason! I 27 sounding the horn (喇叭), with the purpose of 28 the same worry and anger in him.He was getting completely 29 . He ran up to one of the memorial plaques, 30 the small national flag that had 31 and set it straight again. Then, he came to attention, took a(n) 32 salute (敬礼), ran back to his car and drove off.I’ll never forget what happened that day. That soldier 33 me more about duty, honor, and respect. That simple salute-the act of34 his dead brothers moved me. All the army values were contained in one gesture.I am thankful for examples like that. I will remember all those who gave up their 35 for our motherland as well as the soldier who honored them in the heavy rain.16.A.driving B. running C. walking D. riding17.A.knocked B. checked C. warned D. caught18.A.relaxed B. regretful C. impatient D. hungry19.A.passed B. remembered C. left D. visited20.A.Although B. Because C. Until D. Unless21.A.found B. placed C. stored D. thrown22.A.impression B. disappointment C. thought D. worry23.A.anger B. sadness C. joy D. excitement24.A.fell down B. stood still C. cheered up D. jumped out25.A.allow B. believe C. explain D. change26.A.cheating B. fooling C. preventing D. frightening27.A.considered B. enjoyed C. practiced D. kept28.A.causing B. reducing C. showing D. avoiding29.A.astonished B. wet C. scared D. embarrassed30.A.staredat B. held up C. put away D. picked up31.A.flew in the air B. stood in the groundC. fallen to the groundD. broken into pieces32.A.interesting B. exhausting C. standard D. funny33.A.taught B. promised C. brought D. served34.A.visiting B. honoring C. helping D. imitating35.A.rights B. duties C. dreams D. lives语法填空（每⼩题1.5分，共15分每空最多填3词）Last week, 36 support of the battle against the novel coronavirus in Wuhan, my classmates and I started a campaign 37 ( name) “Lucky Money Plan”, which turnedout to be worthwhile and 38 (benefit). Learning from TV that the epidemic situationin Wuhan went bad to worse and 39 the protective equipment were badly needed, I really felt uneasy and depressed, determined to do my bit to deal with this 40 (worry) situation. After careful 41 (consider), a good idea hit me that I could raise some money to buy medical supplies for Wuhan.Without delay, I posted my advocation (⽀持) letter on the school website, calling onall my fellows to take an active part in it. 42 to my amazement, all of them showed great interest and donated all their lucky money. I ordered a wide range of medical necessities on the Internet, through express, these items were directly delivered to a hospital in Wuhan.A few days later, I 43 (unexpected) received a telephone call from the hospital.The doctor spoke highly of 44 we had done, saying our kindness and our support 45 (strength) their determination to wipe out the virus. Hearing these words, I felt extremely excited and proud. I was convinced that we Chinese people were sure to win this battle.单词拼写（每⼩题1分，共10分每空只填⼀词）46. Her excuse for being late was totally _________________(难以置信).47. Federico Mayor Zaragoza has won many _______________(奖) for his work in politics.48. Lewis was ___________(钦佩) for his work in medieval literature.49. The two ____________(间谍) attempted to escape to a neighboring country.50. Marry is a girl of great ____________(好奇⼼). She takes an interest in everything.51 . Passengers should check their ___________(⾏李) before boarding the plane.52.The young man speaks ____________(温和地) and everyone likes him.53.The discussion was held in a lively _________(⽓氛) with members talking freely to eachother.54.On _________(到达), the thief was caught by the police at the airport.55. When __________(提醒) to attend the meeting, the manager set out immediately.单句语法填空（每空1分，共10分；每空最多填3 个词）56.________(surround) by fear towards the stomach cancer, Xiong Dun had to admit it isthe fear of the cancer _____was driving her to fight against the disease, like in a war.57.With the virus_________(spread) rapidly in this region, a large amount of equipmentas well as the medical experts from abroad__________(send) here so far.58.In National Examinations based on the law, _____is well-known to us all is that thosewho cheat will bear legal responsibility if _______(spot) in our country.59.The hospital,______(measure) 200×3000 meters, began new operations in 2015 to screenand treat patients_______(enter) China from African countries.60.As_____ the COVID-19, there is simply no basis and no reason to push China for an apology,because it is yet undetermined where the virus came into_______(exist) first.⾼⼀英语答题卡班级___________ 学号___________姓名__________成绩__________选择题:26 27 28 29 3031 32 33 34 35语法填空（每⼩题1.5分）合计得分__________36--40_____________ ____________ ____________ ____________ ____________ 41--45_________________________ ____________ ____________ ____________ 单词拼写（每⼩题1分）合计得分__________46--50____________ ____________ ____________ ____________ ____________ 51--55_____________ ____________ ____________ ____________ ____________ 单句语法填空（每⼩题1分）合计得分__________56_____________ ____________ 57____________ ____________58____________ ____________ 59____________ ____________60 ____________ ____________。
2019-2020学年河北省石家庄市某校高一(下)4月周考卷数学试卷
2019-2020学年河北省石家庄市某校高一（下）4月周考卷数学试卷选择题1. 设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A.a 2>b 2 B.ac 2>bc 2C.a +c >b +cD.1a<1b2. 在△ABC 中，若a =2,b =2√3,A =30∘，则B 等于（ ） A.30∘ B.30∘或150∘ C.60∘ D.60∘或120∘3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=−11，a 4+a 6=−6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.94. 下列命题中正确的是（ ） A.y =x +1x 的最小值是2B.y =2−3x −4x(x >0)的最大值是2−4√3C.y =sin 2x +4sin 2x 的最小值是4D.y =2−3x −4x (x <0)的最小值是2−4√35. 已知数列{a n }为正项等比数列，且a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4，则a 2+a 6=（ ） A.1 B.2 C.3 D.46. 若变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥3x −y +1≤0x +2y −6≤0，则目标函数z =2x −y 的最小值是（ ）A.−3B.0C.13D.1037. 对任意的实数x ，不等式mx 2−mx −1<0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.(−4,0) B.(−4,0]C.[−4,0]D.[−4,0)8. 若锐角△ABC 的面积为10√3，且AB =5，AC =8，则BC =（ ） A.6 B.7C.8D.99. 已知S n =1−2+3−4+⋯+(−1)n−1n ，则S 17+S 33+S 50等于（ ）A.0B.1C.−1D.210. 已知数列{a n },{b n }均为等差数列，其前n 项和分别记为A n ,B n ，满足A n B n=4n+12n+3，则a5b 7的值为（ ）A.2117 B.3729C.5329D.413111. 已知{a n }是等比数列，a 2=2,a 5=14，则a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1=（ ） A.16(1−4−n ) B.16(1−2−n )C.323(1−2−n )D.323(1−4−n )12. 若∀x ∈{x|1≤x ≤5},不等式x 2+ax −2≤0恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.{a|a >−235}B.{a|−235≤a ≤1} C.{a|a >1} D.{a|a ≤−235}解答题已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2n 2+n +1，n ∈N ∗，求a n =________.设x >0,y >0，且1x +2y =2，则x +2y 的最小值为________.数列{a n }满足a 1=3，且对于任意的n ∈N ∗都有，a n+1−a n =n +2，则a 39=________．如图，隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距2√3km 的C 、D 两点，同时，测∠ACB =75∘，∠BCD =45∘，∠ADC =30∘，∠ADB =45∘（A 、B 、C 、D 在同一平面内），则两目标A 、B 之间的距离为________.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(sin A−sin B)=c(sin C−sin B)．（1）求A．（2）若a=4，求△ABC面积S的最大值．已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n=3a n−2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log32a n+1，求数列{1b n b n+1}的前n项和T n．已知函数f(x)=x2−x−6．（1）求不等式f(x)<0的解集；（2）若对于一切x>1，均有f(x)≥(m+3)x−m−10成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年河北省石家庄市某校高一（下）4月周考卷数学试卷选择题1.【答案】C【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评2.【答案】D【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评3.【答案】A【考点】等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评4.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评5.【答案】B【考点】等比数列的性质等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评6.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评7.【答案】B【考点】不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评8.【答案】B【考点】余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评9.【答案】B【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评10.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评11.【答案】D【考点】等比数列的前n项和等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评12.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵Δ=a2+8>0,∴y=x2+ax−2开口向上，且方程x2+ax−2=0有两个不等的实根.当不等式x2+ax−2≤0在x∈{x|1≤x≤5}上恒成立时，需满足{1+a−2≤0，25+5a−2≤0，解得，a≤−235.故选D.【点评】此题暂无点评解答题【答案】{4,n=1,4n−1,n≥2.【考点】数列递推式【解析】根据a n=S n−S n−1可以求出通项公式a n，判断S1与a1是否相等，从而确定a n的表达式．【解答】解：由S n=2n2+n+1，n∈N∗，可得S n−1=2(n−1)2+(n−1)+1(n≥2)．两式作差得：a n=2n2+n+1−2(n−1)2−(n−1)−1=4n−1(n≥2)．又a1=S1=4不适合上式，∴a n={4,n=1,4n−1,n≥2.故答案为：{4,n=1,4n−1,n≥2.【点评】本题考查了利用递推公式a n=S n−S n−1求通项公式的方法，关键是最后要判断S1与a1是否相等，确定a n的表达式是否需要写成分段函数形式，是基础题．【答案】92【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】820【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】2√5【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】【考点】正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】【考点】二次函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评。
2019-2020学年河北省石家庄市高一下学期期末数学试题(解析版)
【答案】C
【解析】把不等式 转化为 或 ，即可求解.
【详解】
由题意，不等式 等价于 或 ，
解得 或 ，即不等式 的解集为 或 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.
【点睛】
(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力
(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.
【答案】B
【解析】利用等差数列的前 项和公式得出这个有限连续正整数数列的首项与项数的关系，然后分析其所有取值可能性.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．
【详解】
由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离
为球的半径，
， 是正三角形，所以 ．
所求球的表面积为：
故选C
【点睛】
本题考查面面平行的判定：当两条相交直线与另一平面平行时，则过这两条交线的平面与另一平面平行
9．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（）
A．y＝4x+5B．y＝4x﹣5C．y＝4x﹣9D．y＝4x+9
【答案】C
【解析】设直线 上的点 关于点 的对称点的坐标为 ，求出 ， ，再代入直线 中即可得到对称直线的方程.
2019-2020学年河北省石家庄实验中学高一下学期3月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年河北省石家庄实验中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．7【答案】B 【解析】【详解】()()()42234124123S S S a a a a d d --=+-+==⇒=,2．已知锐角三角形的三边长分别为1、3、a ，那么a 的取值范围为( )A ．()4 B ．(C ．()D ．)4【答案】B【解析】由已知中ABC ∆的三边分别为1,3,a ，按最大边为3或者a 进行分类讨论，结合余弦定理以及三角形为锐角三角形，由两边长1和3求出a 的范围. 【详解】依题意ABC ∆的三边长为1,3,a ，且ABC ∆是锐角三角形. 当3为最大边长时，3a ≥，设3所对的角为α，根据余弦定理得22213cos 02a aα+-=>，解得3a ≥>当a 为最大边长时，3a >，设a 所对的角为β，根据余弦定理得219cos 06aβ+-=>，解得3a <<综上所述，实数a 的取值范围是(. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据三角形是锐角三角形求参数的取值范围，考查余弦定理解三角形，属于中档题.3．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为：A ．52B ．51C ．50D ．49【答案】A【解析】由1221n n a a +-=，得到112n n a a +-=，进而得到数列{}n a 首项为2，公差为12的等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，数列{}n a 满足1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， 又由12a =，所以数列{}n a 首项为2，公差为12的等差数列， 所以101111002100522a a d =+=+⨯=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，以及等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．若圆的半径为4，a 、b 、c 为圆的内接三角形的三边，若abc ＝，则三角形的面积为( )A ．B ．C D ．2【答案】C【解析】【详解】试题分析：由正弦定理可知2sin a R A=，∴sin 2aA R =，∴1sin 24ABC abcS bc A R===V ． 【考点】正弦定理的运用．5．ABC V 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量(),p a c b =+v，(),q b a c a =--v．若//p q v v ，则C 等于（）．A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】先由题意得到()()()0a c c a b b a +---=，化简整理，根据余弦定理，即可得出结果. 【详解】因为向量(),p a c b =+u r ，(),q b a c a =--r ，//p q u r r，所以()()()0a c c a b b a +---=， 整理得：222b a c ab +-=所以2221cos 222+-===b a c ab C ab ab解得3C π=.故选B 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理与向量共线的坐标表示，即可得出结果. 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S 等于 A ．18 B ．36 C ．54 D ．72【答案】D【解析】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等，由451718a a a a +==+,结合等差数列的求和公式可求得8S . 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，4518a a +=,∴由等差数列的性质得：451818a a a a +=+= ,又其前n 项和为n S ,()()1884584722a a S a a +∴==+=，故选D .【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式的应用，属于中档题. 解答与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.7．一角槽的横断面如图所示，四边形ADEB 是矩形，且50α=︒，70β=︒，90AC mm =，150BC mm =，则DE 的长等于( )A ．210mmB ．200mmC ．198mmD ．171mm【答案】A【解析】先求得ACB ∠的值，利用余弦定理求得AB ，也即求得DE 的长. 【详解】由于50α=︒，70β=︒，所以120ACB ∠=o ，由余弦定理得222cos120DE AB AC BC AC BC ==+-⨯⨯⨯o18100225002901502=++⨯⨯⨯210mm =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题. 8．在ABC ∆中，60A ︒∠=，43a =，42b =，则B 等于（ ）A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上答案都不对 【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得，得，结合得045B =，故选C ．【考点】正弦定理.9．已知在ABC V 中，()sin sin cos cos sin A B A B C +=+⋅，则ABC V 的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】D【解析】利用正弦定理可将已知中的等号两边的“边”转化为它所对角的正弦，再利用余弦定理化简即得该三角形的形状． 【详解】根据正弦定理，原式可变形为：()cos cos c A B a b +=+所以22222222b c a a c b c a b bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭整理得222a b c +=∴ 90C ∠=︒．故选D ． 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．在等差数列{}n a 中，10110,0a a ，且1110a a >,则使{}n a 的前n 项和Sn 0<成立的中最大的自然数为( ) A ．11 B ．10 C ．19 D ．20【答案】C【解析】∵{}n a 为等差数列，10110,0a a ，∴0d >，又∵1110a a >，∴1110a a >-即10110a a +>，由()120201011201002a a S a a +=⨯=+>，1191910191902a a S a +=⨯=<，故可得使{}n a 的前n 项和0n S <成立的中最大的自然数为19，故选C. 11．如图所示，在，已知，角的平分线把三角形面积分为两部分，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由两个三角形的面积比，得到边，利用正弦定理求得的值.【详解】 角的平分线，，设，，设，在中，利用正弦定理，解得：.【点睛】本题考查三角形面积公式、正弦定理在平面几何中的综合应用.12．如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45︒，若50CD =米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ（）A ．231+B ．31C 31D 31【答案】C【解析】先在ABC ∆中利用正弦定理求出BC 的值，再在BCD ∆中由正弦定理解出sin θ，再计算cos θ．【详解】在ABC ∆中，sin sin AB BACBC ACB∠=∠100sin1550(62)sin(4515)︒==︒-︒，在BCD ∆中，sin sin BC CBDBDC CD∠∠=62)231502=⨯=，又∵cos sin BDC θ=∠，∴cos 31θ=-.故选C. 【点睛】本题考查解三角形在实际中的应用，属于基础题．二、填空题 13．已知数列1316n n a n +=-，则数列{}n a 中的最小项是第_________项.【答案】5【解析】将数列{}n a 的通项公式进行分离常数，由此判断出数列的单调性和最小值. 【详解】 由于1316n n a n +=-11913316n ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，所以当6n ≥时，0n a >，且单调递减，当5n ≤时，0n a <，且单调递减.所以当5n =时，n a 取得最小值.故答案为：5 【点睛】本小题主要考查数列的单调性和最值，属于基础题.14．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =_________． 【答案】【解析】∵3sinA ＝5sinB ，∴3a ＝5b.① 又∵b ＋c ＝2a ，② ∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b. ∴cosC ＝2222b a c ab+-＝2225733523b b b b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯＝－12. ∴C ＝23π.15．已知数列{}n a 满足11a =，()12n n a a n n -=+≥，则{}n a 的通项公式为______. 【答案】()12n n +【解析】利用数列的递推关系，结合累加法转化求解即可.【详解】Q ()12n n a a n n -=+≥，∴()12n n a a n n --=≥，∴()()()()()11221111212n n n n n n na a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=L L ，当1n =时也满足 故答案为：()12n n +.【点睛】本题考查了数列递推关系式的应用以及等差数列的前n 项和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.16．如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已知山高100BC m =，则山高MN =__________m ．【答案】150【解析】试题分析：在ABC V 中，45,90,100BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=Q ,1001002sin 45AC ∴==︒AMC V 中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒Q 45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得,sin sin AM AC ACM AMC =∠∠即1002sin 60AM =︒解得1003AM =在Rt AMN V 中，sin MN AM MAN =⋅∠1003sin 60=︒150()m =．故答案为150．【考点】正弦定理的应用．三、解答题17．已知在等差数列{}n a 中，11a =，33a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值. 【答案】（1）32n a n =-（2）7k =【解析】（1）根据等差数列通项公式，结合条件代入后可求得公差，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）中所得公差，结合等差数列前n 项和公式，代入即可解方程求得k 的值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由131,3a a ==-，可得123d +=-，解得2d =-. 所以1(1)(2)32n a n n =+-⨯-=-.（2）由11,2a d ==-，得22n S n n =-，又35k S =-，则2235k k -=-， 即22350k k --=， 解得7k =或5k =-. 又*k N ∈， 故7k =. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前n 项和公式的简单应用，属于基础题. 18．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且32,cos 5a B ==. (1)若4b =,求sin A 的值; (2)若4ABC S ∆=,求b ,c 的值.【答案】(1)25;(2)b =【解析】(1)先求出sin B ，再利用正弦定理可得结果； (2)由ABC S ∆求出c ，再利用余弦定理解三角形. 【详解】(1)∵3cos 05B =>,且0B π<<，∴4sin 5B ==，由正弦定理得sin sin a b A B=， ∴42sin 25sin 45a B Ab ⨯===； (2)∵1sin 42ABC S ac B ∆==，∴142c 425⨯⨯⨯=， ∴5c =，由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =【点睛】本题考查正弦余弦定理解三角形，是基础题.19．已知在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c，sin b B =. （1）求角A 的大小；（2）若4a =c -的取值范围. 【答案】（1）6π；（2）(4,. 【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得tan A 的值，进而求得角A 的大小. （2）利用正弦定理求出,b c 的表达式，利用辅助角公式进行化简，然后根据三角函数c -的取值范围. 【详解】 （1）由sin cos b B A =及正弦定理得：sin sin cos B AB A=，∴3tan A =， 又∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6A π=. （2）28sin a R A==， ∴()531323sin sin 83sin sin 8sin cos 62b c RB C B B B B π⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 8sin 6B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 又∵ABC V 为锐角三角形，∴,32B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即,663B πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ∴()34,43b c -∈.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查辅助角公式以及三角函数值域的求法，属于中档题.20．在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π===,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.【答案】10【解析】试题分析：根据题意，设出ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理求出a 的长度，再由正弦定理求出角B 的大小，在ABD ∆中.利用正弦定理即可求出AD 的长度.试题解析：如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222232cos (32)62326cos 1836(36)904a b c bc BAC π=+-∠=+-⨯⨯⨯=+--=，所以310a =.又由正弦定理得sin 10sin 10310b BAC B a ∠===. 由题设知04B π<<，所以21310cos 1sin 110B B =-=-=. 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 310sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B B π⋅====-. 【考点】1.正弦定理、余弦定理的应用.21．已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= （1）求d 及n S ； （2）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=L .【答案】（1），（）；（2），.【解析】【详解】试题分析：（1）根据2336S S ⋅=求出，再由0d >，求出数列的通项公式，用等差数列的求和公式求；（2）由（1）的结论，把1265m m m m k a a a a +++++++=L 表示为与的等式，由条件 得出，解方程组求得结论.（1）由题意，， 将代入上式得或， 因为，所以，从而，（）.（2）由（1）知，12(21)(1)m m m m k a a a a m k k +++++++=+-+L ，所以， 由知，，所以，所以.【考点】数列的概念，通项公式，求和公式.22．已知函数()sin 2cos (0)f x m x x m =+>的最大值为2.（Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间；（Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)2m 2+，令其为2，即可求得m ，利用正弦函数的单调性可求得此函数的递减区间，找到［0,π］上的单调递减区间即可；（2）本小题关键是求得边a 与b 的乘积，利用正弦定理，把f (A )f (B )46sin?Asin?B 44ππ-+-=化为边a 与b 的关系，另一方面已知C=60°，c=3，由余弦定理，可得边a 与b 的另一关系，两式联立解得ab （当然也可解得a 与b 的单个值，但计算量大），利用ABC 1S absin?C 2∆=可求得面积. 试题解析：(1)由题意，f(x)2m 2+，2m 2 2.+=而m>0，于是2，f(x)=2sin(x+4π).由正弦函数的单调性及周期性可得x 满足32k x 2k (k Z)242πππππ+≤+≤+∈，即52k x 2k (k Z).44ππππ+≤≤+∈所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为,.4ππ［］ (2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得c 32R 2 3.sin?C sin60===︒化简f (A )f (B )46sin?Asin?B 44ππ-+-=，得6sin Asin B.由正弦定理，得()2R a b 26ab,a b 2ab.+=+=① 由余弦定理，得a 2+b 2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9="0." ②将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或3ab 2=-(舍去)，故ABC 133S absin?C 24∆==【考点】辅助角公式, 正弦函数的单调性,正弦定理, 余弦定理,方程思想，三角形面积公式：ABC 1S absin?C 2∆=.。
石家庄市2019-2020学年第二学期期末检测高一数学(含答案)
,
2
单调递增，
又因为
h(x1) h(x2 )
g(t1) g(t2 )
g max
gmin
a 1
，
2
即 gmax
gmin
g
2
g
1 2
3a
3 2
a 1
，
2
解得 a 4 ， 5
所以 a 4 ， ………………………………………………………10 分
5
当 1 a 4 时， 1 1 a 1，
………………………………………………4 分
(2) a 、b 、 c 成等差数列 2b=a+c …………………………6 分
cosB=
=
−
…………………………7 分
即
，3 =3ac，
…………………9 分
S= acsinB=
= ………………………………………10 分
即
……………………………………………12 分
当 0 a 1时，方程有两个解，
t1
2 2
4a
1
a x1 log2 1
a
，
t2
2 2
4a
1
a x2 log2 1
a
， ……………………………5 分
当 a 1 时，方程仅有一个根，
t 2 4a 1 2
a x log2 1
a
；………………………………6 分
（2） h(x) 2x f (x) ，代入 f (x) ，
高一数学答案
1.A 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.B 8.C 9.C 10.A 11.A 12.B
13.
5 2
14. 0 k 8
河北省2019-2020学年高一月考试卷数学试卷含答案
高一数学试题（时间：120分钟满分：150分）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．下列命题正确的是( )．①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．A．①③B．②③C．②③④D．④2．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）A．B．C．D．3．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．B．C．D．5．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A．B．C．D．6．已知方程有两个不同的解，则实数k的取值范围（）A．B．C．D．7．在三棱柱中，已知, ，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）.A ．B．C．D．8．在正方体中，是正方形的中心，则异面直线与所成角为A．B．C．D．9．如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为( )A．B．C．D．10．，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为（）A．B．C．D．11．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（）A．B．C．D．12．直线与圆有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为____条14．如果直线将圆平分且不通过第四象限，那么的斜率的取值范围是___．15．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC.其中正确的结论序号是________．16．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则______．三、解答题17．（ 10分）已知圆的圆心为，直线与圆相切．求圆的标准方程；若直线过点，且被圆所截得弦长为2，求直线的方程．18．（ 12分）已知圆与轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线上．（1）求圆的方程；（2）圆与圆：相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．19．（ 12分）如图，在三棱锥中，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，，求点到平面的距离．20．（ 12分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的体积.21．（ 12分）已知点是圆上的动点，点，是线段的中点（1）求点的轨迹方程；（2）若点的轨迹与直线交于两点，且，求的值.22．（ 12分）在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与直线相切.(1)求圆的方程。
2019-2020学年河北省石家庄市第二中学高一下学期4月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年河北省石家庄市第二中学高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知ABC ∆中，且11,2a b A ===则sin B =（ ） A．B．2C ．14D ．12【答案】A【解析】利用正弦定理即可得到答案. 【详解】 由正弦定理sin sin a b A B=，可得1sin 2sin 12b A B a ===. 故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理的简单运用，属于基础题.2．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若222a b c bc =++，则角A 为（ ） A ．30° B ．150︒C ．120︒D ．90︒【答案】C【解析】由余弦定理变形得cos A ． 【详解】将222a b c bc =++代入2222cos a b c bc A =+-中得1cos 2A =-.由0180A <<︒︒，得120A =︒，故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理，掌握用余弦定理求角是解题关键．3．在等差数列{}n a 中，已知35715a a a ++=，则该数列前9项和9S =（ ） A ．18 B ．27C ．36D ．45【答案】D【解析】根据等差数列的性质求得5a ，再根据等差数列前n 项和公式求得9S . 【详解】在等差数列{}n a 中，35755315,5a a a a a ++===，所以195952999954522a a aS a +=⨯=⨯==⨯=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.4．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=（ ）A ．4B ．19C ．20D ．23【答案】D【解析】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对347a a +=、5613a a +=进行化简，得出公差和公比的数值，然后对78a a +进行化简即可得出结果．【详解】设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，由347a a +=，5613a a +=，得127d q ++=，212213d q ++=， 解得2d =，2q =，所以37813271623a a d q +=++=+=，故选D ．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．5．已知向量(1,2)=-r a ，(,1)(0,0)b x y x y =->>r ，且a b r r P ，则21x y+的最小值是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】根据平面向量平行的坐标运算公式，可得21x y +=，对21x y+乘以“1”，可得()21212225y x x y x y x y x y⎛⎫ ⎪⎝⎭+=++=++，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为//a b r r，且向量(1,2)=-r a ，(,1)(0,0)b x y x y =->>r ，所以21x y +=，所以()2121222559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13x y ==时，取等号.故选：C. 【点睛】本题主要考查了平面向量平行的坐标运算公式和基本不等式的应用，属于基础题. 6．在空间中，下列命题正确的是A ．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等B ．两条异面直线所成的有的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行D ．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 【答案】C【解析】根据两个角可能互补判断A ；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B ；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C ；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D. 【详解】如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A 不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B 不正确； 根据两个平面平行的性质定理知C 正确；如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D 不正确,综上可知只有C 的说法是正确的,故选C. 【点睛】本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，本题是一个概念辨析问题.7．如图，在正四面体OABC 中，D 是OA 的中点，则BD 与OC 所成角的余弦值是（ ）A ．12B ．36C ．22D ．336【答案】B【解析】取AC 的中点E ,连接DE ,BE ,可得BDE ∠就是BD 与OC 所成的角, 设OA a =,可得3BD BE a==,12DE a =,利用余弦定理可得cos BDE ∠的值,可得答案. 【详解】解:如图: ,取AC 的中点E ,连接DE ,BE ,可得BDE ∠就是BD 与OC 所成的角, 设OA a =,则32BD BE ==,12DE a =,2223cos 2BD DE BE BDE BD DE +-∠==⋅, 故选: B. 【点睛】本题主要考查异面直线所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的灵活运用,属于基础题.8．如图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，,E F 分别为111,B C C D 的中点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且()2()22f x b x x ≥-+ 平面EFDB ，则1tan APA ∠ 的最大值是( )A ．2B ．2C ．22D ．32【答案】C【解析】分析：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，则AO =P PM ，从而A 1P=C 1M ，由此能求出tan ∠APA 1的最大值．详解：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，设正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，∵在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ， ∴AO =P PM ，∴A 1P=C 1M=24AC =∴tan ∠APA 1=11AA A P242． ∴tan ∠APA 1的最大值是2． 故选：D ．点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．32π B ．πC ．3πD ．12π【答案】C【解析】该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥1A BCD AB BC BD -===，.所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径2r 为正方体体对角线的长. 即22221113r =++=. 所以外接球的表面积为243r ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,123AA =D ，F 分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF ∆的周长的最小值为()A ．222+B ．232+C ．62+D ．72+【答案】D【解析】根据正三棱柱的特征可知ABC ∆为等边三角形且1AA ⊥平面ABC ，根据1AA AD ⊥可利用勾股定理求得2DF =；把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，可知当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值；在ADF ∆中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果. 【详解】Q 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ABC ∆∴为等边三角形且1AA ⊥平面ABCAD ⊂Q 平面ABC 1AA AD ∴⊥ 132DF ∴=+=把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，如下图所示：当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值 又150FAD ∠=o ，3AF =1AD =()22min 32cos 42372DE EF AF AD AF AD FAD ⎛⎫∴+=+-⋅∠=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭DEF ∴∆72本题正确选项：D 【点睛】本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.11．已知正方体1111A B C D ABCD -的棱1AA 的中点为E ，AC 与BD 交于点O ，平面α过点E 且与直线1OC 垂直，若1AB =，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为( ) A ．6B ．6 C ．3 D ．3 【答案】A【解析】根据正方体的垂直关系可得BD ⊥平面11ACC A ，进而1BD OC ⊥，可考虑平面BDE 是否为所求的平面，只需证明1OE OC ⊥即可确定平面α. 【详解】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，1AB =，则2113122OC =+=，2113424OE =+=，2119244EC =+=，∴22211OC OE EC +=，1OE OC ∴⊥；又BD ⊥平面11ACC A ，1BD OC ∴⊥，且OE BD O =I ，1OC ∴⊥平面BDE ，且1136222BDE S BD OE ∆==⨯⨯=g ， 即α截该正方体所得截面图形的面积为6. 故选:A .【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点,且线段12PP 平行于平面11A ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124B ．112C ．16D ．12【答案】A【解析】 由题意在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD 上的动点，且线段12PP 平行于平面11121,AADD PP B AD B ∆~∆， 设1,(0,1)PB x x =∈，即1222,PP x P =到平面11AA B B 的距离为x ， 所以四棱锥121PP AB 的体积为2111(1)1()326V x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-， 当12x =时，体积取得最大值124，故选A ．点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．二、填空题13．已知0a >，0b >，且21a b +=，则ab 的最大值为_________ 【答案】18【解析】直接由基本不等式求解． 【详解】∵0a >，0b >，∴21a b +=≥即18ab ≤，当且仅当2a b =，即11,24a b ==时等号成立． 故答案为：18． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题． 14．已知数列{}n a 满足11111,111n na a a +=-=++，则10a =__________.【答案】1719-【解析】数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为以12 为首项，1为公差的等差数列。
河北省石家庄市2019-2020学年高考数学四模考试卷含解析
河北省石家庄市2019-2020学年高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1 BC ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设直线l 的方程为1x my =+代入抛物线方程，利用韦达定理可得124y y m +=,124y y =-,由3AF BF =可知3AF FB =u u u r u u u r所以可得123y y =-代入化简求得参数,即可求得结果.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y （10y >，20y <）.易知直线l 的斜率存在且不为0，设为1m，则直线l 的方程为1x my =+.与抛物线方程联立得()241y my =+，所以124y y =-，124y y m +=.因为3AF BF =，所以3AF FB =u u u r u u u r ，得123y y =-，所以2243y =，即23y =-，1y =1214m y y ==+. 故选:B. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属于中档题. 2．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③． 【详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题． 故选：C ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题． 3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324 B ．522C ．535D ．578【答案】D 【解析】 【分析】因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键. 4．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，即可求解.【详解】22(1)22,21iz i i z i i+-=+==-. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题. 5．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A ．2 B ．2C ．10D ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|2510z i i =-⋅+=⨯=，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题. 6．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．112-B ．2360C ．1120D ．4360【答案】D 【解析】 【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】 运行程序，11,25s i =-=，1211,3552s i =+--=，123111,455523s i =++---=，12341111,55555234s i =+++----=，12341111,55555234s i =+++----=，1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环，故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题. 7．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ） A ．21,2n n n ∀>> B ．21,2n n n ∃≤≤ C ．21,2n n n ∀>≤ D ．21,2n n n ∃>≤【答案】C 【解析】根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2nn n ∀>≤，所以选C.8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面，且23m = C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m =D ．直线1AE 与直线1CF 共面，且3m = 【答案】B 【解析】 【分析】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC P ，再由平面的基本性质可知，直线1A E与直线1C F 共面.，同理易得11AB C D P ，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠，然后再利用余弦定理求解. 【详解】 如图所示：连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正方体的特征得11EF AC P ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面. 由正四棱柱的特征得11AB C D P ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.设12AA =AB =122=，则5DF =，13C F =16C D 由余弦定理，得1cos m DC F =∠=2236=⨯⨯. 故选：B 【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.9．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π= D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.10．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u v u u u v，且1OQ AB ⋅=u u u v u u u v，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>【答案】A 【解析】 【分析】设,A B 坐标，根据向量坐标运算表示出2BP PA =u u u r u u u r，从而可利用,x y 表示出,a b ；由坐标运算表示出1OQ AB ⋅=u u u r u u u r，代入,a b 整理可得所求的轨迹方程.【详解】设(),0A a ，()0,B b ，其中0a >，0b >2BP PA =u u u r u u u r Q ()(),2,x y b a x y ∴-=--，即()22x a x y b y ⎧=-⎨-=-⎩ 30230x a b y ⎧=>⎪∴⎨⎪=>⎩ ,P Q Q 关于y 轴对称 (),Q x y ∴-()(),,1OQ AB x y a b ax by ∴⋅=-⋅-=+=u u u r u u u r ()223310,02x y x y ∴+=>>故选：A 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.11．已知函数()(1)(2)x e f x m x x e -=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ）A ．32e e +B ．22e e +C ．32e e -D ．22e e -【答案】A 【解析】 【分析】若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出()g x 的最小值，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，结合图象可得. 【详解】解：()(1)(2)0xf e e x m x x =--->-， ∴(1)(2)x m x x e e ->-+， 设()(2)xy g x x e e ==-+， ∴()(1)x g x x e '=-，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， ∴()(1)0g x g ≥=，当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞，()f x e →， 函数(1)y m x =-恒过点()1,0，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，如图所示，，若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，∴3(31)(32)e m e -≤-+且(21)(22)x m e e ->-+，即32(3)m g e e ≤=+，且m e >∴32e ee m +<≤，故实数m 的最大值为32e e+，故选：A 【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.12．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届石家庄实验中学高一数学下学期线上月考试题(下载版)
石家庄实验中学2019级高一下3月月考数学试题时间：120分钟总分：150分一、选择题(本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝( ) A．2 B．3 C．6 D．72．已知锐角三角形的三边长分别为1、3、a，那么a的取值范围为( )A．(2√2，4) B．(2√2，√10) C．(2√2，10) D．(√10，4)3．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1－2a n=1，则a101的值为( )A．49 B．50 C．51 D．524．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16√2，则三角形的面积为( ) A．2√2B．8√2 C. √2D．√225．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p̅＝(a＋c，b)，向量q̅＝(b－a，c－a)，若p̅∥q̅，则角C的大小为( )A. π6B. π3C. π2D．2π36．已知等差数列a n的前n项和为S n，若a4＝18－a5，则S8＝（）A．18 B．36 C．54 D．727．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC＝90 mm，BC＝150 mm，则DE的长等于( )A．210 mm B．200 mm C．198 mm D．171 mm8．在△ABC中，∠A＝60°，a＝4√3，b＝4√2，则∠B等于( )A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对9．已知在△ABC中，sin A＋sin B＝sin C(cos A＋cos B)，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形10．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则{a n}的前n项和S n<0，则n的最大值为( )A．17 B．18 C．19 D．2011．在△ABC中，A:B＝1:2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3:2两部分，则cos A等于( )A. 13B. 12C. 34D．012．如图2，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝( )A ．2√3＋1B ．2√3－1 C. √3－1 D ．√3＋1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知数列a n =n+13n−16，则数列a n 中的最小项是第 项。
2019-2020学年河北省石家庄高中高三(下)期初数学(文科)试题Word版含解析
2019-2020学年河北省石家庄高中高三（下）期初数学（文科）试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）（x+1），x∈A}，则A∩B= ．1．已知集合A={x|x2﹣4x≤0，x∈Z}，B={y|y=log22．复数，其共轭复数为，则= ．3．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为．4．执行如图所示的伪代码，输出的结果是．5．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：mg/m3）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为．6．已知l，m表示两条不同的直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的条件．7．观察下列等式：，，，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*， = ．8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β，②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．上述命题中为真命题的是（填写所有真命题的序号）．9．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，且，，若，则△ABC的面积为．10．已知椭圆=1（a＞b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为．11．已知x，y为正数，则的最大值为．12．已知函数，若a＞b≥0，且f（a）=f（b），则bf（a）的取值范围是．13．设数列{an }为等差数列，数列{bn}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且bi=ai2（i=1，2，3），则数列{bn}的公比为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（1，2），M，N为圆O上不同的两点，且满足．若，则||的最小值为．二、解答题（共6小题，满分80分）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c=b．（1）求证：B≤；（2）当=﹣2，b=2时，求△ABC的面积．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA=DC=2AB．（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．17．某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S （θ）； （2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．18．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的右准线为直线l ，动直线y=kx+m （k ＜0，m ＞0）交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为（其中e 为椭圆的离心率），且OQ=OM ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．已知数列{a n }满足a 1=x ，a 2=3x ，S n+1+S n +S n ﹣1=3n 2+2（n ≥2，n ∈N *），S n 是数列{a n }的前n 项和． （1）若数列{a n }为等差数列． （ⅰ）求数列的通项a n ；（ⅱ）若数列{b n }满足b n =2an ，数列{c n }满足c n =t 2b n+2﹣tb n+1﹣b n ，试比较数列{b n }前n 项和B n 与{c n }前n 项和C n 的大小；（2）若对任意n ∈N *，a n ＜a n+1恒成立，求实数x 的取值范围． 20．已知函数f （x ）=e x ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a=2，b=1，求函数f （x ）的极值；（2）设g （x ）=a （x ﹣1）e x ﹣f （x ）．①当a=1时，对任意x ∈（0，+∞），都有g （x ）≥1成立，求b 的最大值；②设g ′（x ）为g （x ）的导函数，若存在x ＞1，使g （x ）+g ′（x ）=0成立，求的取值范围．2019-2020学年河北省石家庄高中高三（下）期初数学（文科）试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={x|x 2﹣4x ≤0，x ∈Z}，B={y|y=log 2（x+1），x ∈A}，则A ∩B= {0，1，2} ． 【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】求出集合A 中二次不等式的解，得到x 的范围即可确定出集合A ，而集合B 中函数的定义域为集合A ，所以由A 的范围确定出集合B 中函数的值域即可得到集合B ，然后求出两集合的交集即可． 【解答】解：由集合A 中的x 2﹣4x ≤0，解得0≤x ≤4，又x ∈Z ，所以集合A={0，1，2，3，4}； 由集合B 中的函数y=log 2（x+1）中的自变量x ∈A ，得到集合B={0，1，log 23，2，log 25}； 则A ∩B={0，1，2} 故答案为：{0，1，2}．【点评】此题属于以对数函数的定义域及二次不等式为平台，考查了交集的运算，是一道综合题．学生求集合B 中函数的值域时应注意自变量x 的范围． 2．复数，其共轭复数为，则= 4﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的复数z 运用复数的除法运算化简，然后得到其共轭复数，最后把复数z 和其共轭复数代入整理即可．【解答】解：由，得：．所以=（﹣1+i）（﹣1﹣i）﹣（﹣1+i）+1=（﹣1）2﹣i2+1﹣i+1=1+1+1﹣i+1=4﹣i．故答案为4﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举出所有情况，让能组成三角形的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，共有2、3、5；2、3、6；2、5、6；3、5、6；4种情况，能构成三角形的有2、5、6；3、5、6，共两种情况，所以P（任取三条，能构成三角形）==．故答案为：【点评】此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．4．执行如图所示的伪代码，输出的结果是11 ．【考点】选择结构．【分析】根据当型循环结构的算法的流程，判断算法的功能是求满足S=1×3×5×…×I＞200的I+2的值，由此可得输出的I值．【解答】解：本题程序为当型循环结构的算法，算法的功能是求满足S=1×3×5×…×I＞0的I+2的值，∵S=1×3×5×7=105＜200，S=1×3×5×7×9=945＞200，∴输出的I=9+2=11．故答案为：11．【点评】本题考查了当型循环结构的算法语句，根据程序的流程判断算法的功能是关键．5．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：mg/m3）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先由平均数的公式计算出这组数据的平均值，再根据方差的公式计算．【解答】解：由题意得： =（115+125+132+128+125）=125，∴数据的方差S2= [（115﹣125）2+（125﹣125）2+（132﹣125）2+（128﹣125）2+（125﹣125）2]=．故答案为：【点评】此题主要考查了方差的定义以及平均数的求法，正确记忆方差公式，一般地设n个数据，x1，x2，…x n 的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，是解决问题的关键．6．已知l，m表示两条不同的直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面垂直的性质和定义即可得到结论．【解答】解：根据线面垂直的定义可知，∵m是平面α内的任意一条直线，∴当l⊥m时，l⊥α成立，∴若l⊥α，则根据线面垂直的性质可知，l⊥m成立，即“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件，故答案为：充要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的定义，利用线面垂直的定义是解决本题的关键．7．观察下列等式：，，，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*， = 1﹣．【考点】归纳推理．【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为，由此即可得到结论．【解答】解：由已知中的等式，，，，…我们可以推断：对于n∈N*， =1﹣故答案为：1﹣【点评】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β，②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．上述命题中为真命题的是①④（填写所有真命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①由线面垂直的判定定理可知正确；②m与n可能平行可能相交；③m与n可能平行或异面；④由线面平行的性质定理可知正确．【解答】解：选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；选项②错误，若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m与n可能平行可能相交；选项③错误，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n可能平行或异面；选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．故答案为：①④【点评】本题考查命题真假的判断，涉及线面位置关系的确定，属基础题．9．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，且，，若，则△ABC的面积为 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由∠A=90°，=．不妨设=（m，0），=（0，m），又，，，可得+=（m，m）=2=2（cosθ，sinθ），解得θ，m即可得出．【解答】解：∵∠A=90°，=，不妨设=（m，0），=（0，m），又，，，∴+=（m，m）=2=2（cosθ，sinθ），∴cosθ=sinθ，解得tanθ=1，取．∴=．∴=， =，∴S==1，△ABC故答案为：1．【点评】本题考查了向量的线性运算、三角函数求值、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知椭圆=1（a＞b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为﹣1 ．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】先利用条件求出F，P的坐标和椭圆另一焦点坐标，进而求出|PE|，|PF|和|EF|，再利用椭圆定义求出2a和2c就可找到椭圆的离心率．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为（，0），设椭圆另一焦点为E．当x=时代入抛物线方程得y=±p．又因为PQ经过焦点F，所以P（，p）且PF⊥OF．所以|PE|==p，|PF|=P．|EF|=p．故2a=p+p，2c=p．e==﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题求椭圆的离心率．在求椭圆的离心率时，一般是求出a，c，也可以求出b，c或b，a；再利用a，b，c之间的关系求a，c即可求出椭圆的离心率．11．已知x，y为正数，则的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0，从而有==，利用基本不等式可求【解答】解：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0∴==当且仅当即a=b时取等号即最大值为故答案为：【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是利用换元法配凑基本不等式的应用条件12．已知函数，若a＞b≥0，且f（a）=f（b），则bf（a）的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可作出函数f（x）=的图象，依题意，数形结合，可求得bf（a）的取值范围．【解答】解：∵f（x）=，a＞b≥0，且f（a）=f（b），作图如下：由图可知，当a=1时，直线y=与f （x ）有两个交点，即f （a ）=f （1）=，此时，由b+2=得b=， ∴bf （a ）=×=；当b=1时，直线y=3与f （x ）只有一个交点，且f （a ）=f （b ）=3， ∴bf （a ）=1×3=3，∴bf （a ）的取值范围为[，3）． 故答案为：[，3）．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想与作图能力，属于中档题．13．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1＜a 2，b 1＜b 2，且b i =a i 2（i=1，2，3），则数列{b n }的公比为 3+2．【考点】等比数列的性质．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，可得d ＞0，由数列{b n }为等比数列，可得b 22=b 1b 3，代入化简可得a 1和d 的关系，分类讨论可得b 1和b 2，可得其公比． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1＜a 2可得d ＞0， ∴b 1=a 12，b 2=a 22=（a 1+d ）2， b 3=a 32=（a 1+2d ）2，∵数列{b n }为等比数列，∴b 22=b 1b 3， 即（a 1+d ）4=a 12（a 1+2d ）2， ∴（a 1+d ）2=a 1（a 1+2d ） ① 或（a 1+d ）2=﹣a 1（a 1+2d ），② 由①可得d=0与d ＞0矛盾，应舍去； 由②可得a 1=d ，或a 1=d ，当a 1=d 时，可得b 1=a 12=b 2=a 22=（a 1+d ）2=，此时显然与b 1＜b 2矛盾，舍去；当a 1=d 时，可得b 1=a 12=，b 2=（a1+d）2=，∴数列{bn}的公比q==3+2，综上可得数列{bn}的公比q=3+2，故答案为：3+2【点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（1，2），M，N为圆O上不同的两点，且满足．若，则||的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由于，可得．由于，利用向量的平行四边形法则和矩形的定义可得||=．当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时，|MN|取得最小值．【解答】解：如图所示，∵，∴．∵，则||=．当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时，|MN|取得最小值．设kPM=k，∵∠QPM=45°，∴，解得k=．∴直线PM的方程为：，化为x﹣3y+5=0，∴，化为10y2﹣30y+9=0，解得．∴x=3y﹣5=．∴M．∴===．故答案为：．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则和矩形的定义、满足一定条件取得最小值的转化问题，考查了计算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分80分）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c=b．（1）求证：B≤；（2）当=﹣2，b=2时，求△ABC的面积．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由余弦定理得，将已知a+c=b代入，然后配方得到cosB≥0得出B ≤；（2）由，得accosB=2，再由b2=a2+c2﹣2accosB=12和已知，得出ac=4，利用三角形的面积公式求出面积．【解答】（1）证明：（1）∵△ABC中，a+c=b，∴=，∴B≤；（当且仅当a=c时取得等号）．…（2）∵，∴accosB=2，b2=a2+c2﹣2accosB=12，∴a2+c2=16，b=2，…又，∴ac=4，∴，∴，∴．…【点评】本题考查三角形中的余弦定理、正弦定理的应用以及三角形的面积公式，是一道中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA=DC=2AB．（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用线线平行，平行线分线段成比例即可；（2）利用线面垂直，证明面面垂直．【解答】证（1）因为OE∥平面PBC，OE⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBC=PC，所以OE∥PC，所以AO：OC=AE：EP．…因为DC∥AB，DC=2AB，所以AO：OC=AB：DC=1：2．所以=．…（2）法一：取PC的中点F，连结FB，FD．因为△PAD是正三角形，DA=DC，所以DP=DC．因为F为PC的中点，所以DF⊥PC．…因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．因为DC∥AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA．设AB=a，在等腰直角三角形PCD中，DF=PF=a．在Rt△PAB中，PB=a．在直角梯形ABCD中，BD=BC=a．因为BC=PB=a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB．在Rt△PFB中，FB=a．在△FDB中，由DF=a，FB=a，BD=a，可知DF2+FB2=BD2，所以FB⊥DF．…由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB=F，PC、FB⊂平面PBC，所以DF⊥平面PBC．又DF⊂平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC．…法二：取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，所以MF∥DC，MF=DC．因为DC∥AB，AB=DC，所以MF∥AB，MF=AB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF．…在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM⊥PD．因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AM．又因为DC∥AB，所以DC⊥AM．因为BF∥AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD．又因为PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BF⊥平面PCD．…因为BF⊂平面PBC，所以平面PBC平面PDC．…【点评】本题考查空间直线位置关系，即面面垂直，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．17．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．【考点】弧度制的应用．【分析】（1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大．【解答】解：（1）由题意，AC=100cosθ，直径AB为100米，∴半径为50米，圆心角为2θ，∴ =100θ，∴绿化带总长度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，）；（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，∴S′（θ）=﹣200sinθ+100，令S′（θ）=0，可得θ=．函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴θ=时，绿化带总长度最大．【点评】利用导数可以解决实际问题中的最值问题，关键是确定函数解析式，正确运用导数工具，确定函数的单调性．18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的右准线为直线l，动直线y=kx+m（k＜0，m＞0）交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点Q的纵坐标为（其中e为椭圆的离心率），且OQ=OM．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出，2a=．由此能求出椭圆E的标准方程．（2）把y=kx+m，（k＜0，m＞0），代入，得（5k2+1）x2+10mkx+5m2﹣5=0，由此利用已知条件能求出为常数﹣2．【解答】解：（1）椭圆E： =1（a＞b＞0）的右准线为直线l，动直线y=kx+m（k＜0，m＞0）交椭圆于A，B两点，当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则A（a，0），B（0，b），M（）．∵线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，∴Q（，），由O，M，Q三点共线，得，化简，得b=1．…∵OQ=OM，∴ =，化简，得2a=．由，解得a2=5，c2=4，…∴椭圆E 的标准方程为．…（2）把y=kx+m ，（k ＜0，m ＞0），代入，得（5k 2+1）x 2+10mkx+5m 2﹣5=0．… 当△＞0，5k 2﹣m 2+1＞0时，，y M =，从而点M （﹣，）．…∴直线OM 的方程y=﹣．由，得． …∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴OP 2=OMOQ ， 从而=|x M |x Q =﹣．…由，得m=﹣2k ，从而，满足△＞0． …∴为常数﹣2．…【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足等比中项的常数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等比中项、椭圆、直线方程等知识点的合理运用．19．已知数列{a n }满足a 1=x ，a 2=3x ，S n+1+S n +S n ﹣1=3n 2+2（n ≥2，n ∈N *），S n 是数列{a n }的前n 项和． （1）若数列{a n }为等差数列． （ⅰ）求数列的通项a n ；（ⅱ）若数列{b n }满足b n =2an ，数列{c n }满足c n =t 2b n+2﹣tb n+1﹣b n ，试比较数列{b n }前n 项和B n 与{c n }前n 项和C n 的大小；（2）若对任意n ∈N *，a n ＜a n+1恒成立，求实数x 的取值范围． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）（ⅰ）由条件可得S 3+S 2+S 1=14，即a 3+2a 2+3a 1=14，求得a 3=14﹣9x ，再由等差数列的性质，可得x=1，进而得到通项公式；（ⅱ）其前n 项和B n ＞0，将前n 项和B n 与{c n }前n 项和C n 作差，讨论t 的范围，即可得到大小关系； （2）将n 换为n+1，两式作差，再将n 换为n+1，两式作差，可得，再由数列的单调性，可得不等式，解得即可得到所求范围． 【解答】解：（1）（ⅰ）因为，所以S 3+S 2+S 1=14，即a 3+2a 2+3a 1=14，又a 1=x ，a 2=3x ， 所以a 3=14﹣9x ，又因为数列{a n }成等差数列，所以2a 2=a 1+a 3， 即6x=x+（14﹣9x ），解得x=1， 所以；（ⅱ）因为，所以，其前n 项和B n ＞0，又因为，所以其前n 项和，所以，当或时，C n ＞B n ； 当或时，C n =B n ； 当时，C n ＜B n ．（2）由，知，两式作差，得，所以，作差得，所以，当n=1时，a n =a 1=x ；当n=3k ﹣1时，a n =a 3k ﹣1=a 2+（k ﹣1）×6=3x+6k ﹣6=2n+3x ﹣4； 当n=3k 时，a n =a 3k =a 3+（k ﹣1）×6=14﹣9x+6k ﹣6=2n ﹣9x+8； 当n=3k+1时，a n =a 3k+1=a 4+（k ﹣1）×6=1+6x+6k ﹣6=2n+6x ﹣7； 因为对任意n ∈N *，a n ＜a n+1恒成立， 所以a 1＜a 2且a 3k ﹣1＜a 3k ＜a 3k+1＜a 3k+2，所以，解得，，故实数x 的取值范围为．【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于难题．20．已知函数f （x ）=e x ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a=2，b=1，求函数f （x ）的极值； （2）设g （x ）=a （x ﹣1）e x ﹣f （x ）．①当a=1时，对任意x ∈（0，+∞），都有g （x ）≥1成立，求b 的最大值；②设g ′（x ）为g （x ）的导函数，若存在x ＞1，使g （x ）+g ′（x ）=0成立，求的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）根据导数的性质，可以判断原函数的单调区间，进行求出极值；（2）利用分离变量法，由已知变量的取值范围求出参数的取值范围，通过构造新的函数，等价转化，解决存在性问题，若存在x ＞1，成立，即求出u （x ）的最小值．【解答】解：（1）当a=2，b=1时，，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴，令f′（x）＞0得：，令，∴函数y=f（x），在（﹣∞，﹣1）和上单调递增，在（﹣1，0）和（0，）上单调递减；∴f（x）的极大值是，极小值是；（2）g（x）=（ax﹣）e x，①当a=1时，g（x）=，∵g（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，∴在x∈（0，+∞）上恒成立．记，（x＞0），则，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴，∴函数的小值为﹣1﹣e﹣1．②∵，所以，由g（x）+g′（x）=0，得，整理得2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0．存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，等价于存在x＞1，2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0成立，∵a＞0，∴，设（x＞1），则，∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴u（x）＞u（1）=﹣1，∴，即的取值范围为（﹣1，+∞）．【点评】本题考查了，利用导数的性质，求函数的极值，构造函数，利用化归，等价转化思想，解决恒成立问题和存在性的问题，这是常考的题型，也是高考的热点．平时要多多留意．。