第一章 1.3 算法案例

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用更相减损术求36与 的最大公约数 的最大公约数． 用更相减损术求 与20的最大公约数． [错解 用更相减损术步骤如下： 错解] 用更相减损术步骤如下： 错解 36－20＝16， － ＝ ， 20－16＝4， － ＝ ， 16－4＝12， － ＝ ， 12－4＝8， － ＝ ， 8－4＝4， － ＝ ， 的最大公约数为4. 故36与20的最大公约数为 与 的最大公约数为 返回
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v3＝42×2＋3＝87； × ＋ ＝ ； v4＝87×2＋0＝174； × ＋ ＝ ； v5＝174×2＋0＝348； × ＋ ＝ ； v6＝348×2＋2＝698； × ＋ ＝ ； v7＝698×2＋1＝1397. × ＋ ＝ ∴当x＝2时，多项式的值为1397. ＝ 时 多项式的值为 返回
[错因 本题结果虽正确，但解题过程是错误的．错误 错因] 本题结果虽正确，但解题过程是错误的． 错因 的根源在于没有完全掌握更相减损术的规则． 的根源在于没有完全掌握更相减损术的规则．更相减损 术要求若两数均为偶数则要用2约简． 术要求若两数均为偶数则要用2约简．本题出错正是忽略 约简 这一过程所致． 这一过程所致．
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[正解 ∵36与20都是偶数， 正解] 都是偶数， 正解 与 都是偶数 约简得9和 ∴两次用2约简得 和5. 两次用 约简得 用更相减损术的步骤如下： 用更相减损术的步骤如下： 9－5＝4， － ＝ ， 5－4＝1， － ＝ ， 4－1＝3， － ＝ ， 3－1＝2， － ＝ ， 2－1＝1. － ＝ 的最大公约数为2 ∴36与20的最大公约数为 2×1＝4. 与 的最大公约数为 ＝ 返回
探究点二
秦九韶算法及应用
用秦九韶算法计算多项式的值时， 用秦九韶算法计算多项式的值时，要正确将多项式 的形式进行改写，然后由内向外依次计算， 的形式进行改写，然后由内向外依次计算，当多项式函数 中间出现空项式，要以系数为零的齐次项补充． 中间出现空算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋ ＝ 用秦九韶算法求多项式 2x＋1当x＝2时的值． ＋ 当 ＝ 时的值 时的值． [提示 注意本题中有几项不存在，此时在计算时，我们 提示] 注意本题中有几项不存在，此时在计算时， 提示 应该将这些项加上，比如含 这一项可看作0·x 应该将这些项加上，比如含x3这一项可看作 3.
探究点一
求最大公约数
1. 用辗转相除法和更相减损术求最大公约数． 用辗转相除法和更相减损术求最大公约数． 2．用辗转相除法求最大公约数时，相除余数为零时得 ．用辗转相除法求最大公约数时， 结果，用更相减损术求最大公约数时， 结果，用更相减损术求最大公约数时，当被减数与 差相等时一般它就是最大公约数． 差相等时一般它就是最大公约数． 返回
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用更相减损术检验你的结果． 用更相减损术检验你的结果． 解：更相减损术： 更相减损术： 都是偶数． ∵378与90都是偶数． 与 都是偶数 约简得189和 ∴用2约简得 和45. 约简得 189－45＝144,144－45＝99， － ＝ － ＝ ， 99－45＝54,54－45＝9， － ＝ － ＝ ， 45－9＝36,36－9＝27， － ＝ － ＝ ， 27－9＝18,18－9＝9. － ＝ － ＝ 的最大公约数为2× ＝ ∴378与90的最大公约数为 ×9＝18. 与 的最大公约数为 返回
四、进位制 进位制是人们为了 计数 和 运算方便 而约定的记数系 进一”就是 进制 进制的基数是k. 统，“满k进一 就是 k进制 ，k进制的基数是 满 进一 进制的基数是 把十进制数化为k进制数时，通常用除 取余法 取余法． 把十进制数化为 进制数时，通常用除k取余法． 进制数时
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注意给定两个正整数， 注意给定两个正整数，是否都可以用辗转相除法和更相 减损术求出它们的最大公约数？ 减损术求出它们的最大公约数？ 提示：可以．由除法和减法的性质可知， 提示：可以．由除法和减法的性质可知，对于任意两个 正整数， 正整数，辗转相除法或更相减损术总可以在有限步之后 完成， 完成，故总能用这两种方法求出任意两个正整数的最大 公约数. 公约数 返回
∴137(10)＝345(6)． ． 返回
(4)53(8)＝5×81＋3×80＝43(10)． × × ．
∴53(8)＝101011(2)． ． 返回
2．将八进制数74化成二进制数． ．将八进制数 化成二进制数 化成二进制数． 化成十进制数： 解：首先将八进制数74化成十进制数： 首先将八进制数 化成十进制数 74(8)＝7×81＋4×80＝60(10)， × × 然后再将十进制数60化成二进制数 然后再将十进制数 化成二进制数. 化成二进制数 所以60 所以 (10)＝111 100(2)． ． 综上可得74 综上可得 (8)＝111100(2)． ． 返回
其他进制化十进制时，利用求各位上的数与 的 其他进制化十进制时，利用求各位上的数与k的
幂的乘积后再相加的方法，十进制化其他进制可采用除k取 幂的乘积后再相加的方法，十进制化其他进制可采用除 取 余法
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[解] (1)101 11 1011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋ 解 × × × × 1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379(10)． × × × × × ． (2)235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124(10)． × × × ． (3)
1．已知多项式函数f(x)＝2x5＋x4－x3＋6x2－3x＋7，用秦 ．已知多项式函数 ＝ ＋ ， 九韶算法求当x＝4时的函数值． 九韶算法求当 ＝ 时的函数值． 时的函数值
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解：根据秦九韶算法，把多项式变形为 根据秦九韶算法， f(x)＝2x5＋x4－x3＋6x2－3x＋7＝((((2x＋1)x－1)x＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － ＋ 6)x－3)x＋7. － ＋ 这样所求的函数值为f(4)＝((((2×4＋1)×4－1)×4＋ ＝ 这样所求的函数值为 × ＋ × － × ＋ 6)×4－3)×4＋7＝2331. × － × ＋ ＝
二、更相减损术 1．更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中 ．更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》 的算法． 介绍的一种求 两个正整数的最大公约数 的算法．
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2．其基本过程是： ．其基本过程是： 第一步，任意给定两个正整数， 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 偶数．若是， 用2约简 ；若不是，执行 第二步 ． 约简 若不是， 若是， 第二步， 的数， 第二步，以 较大 的数减去 较小 的数，接着把所得的 的数比较，并以大数减小数，继续这个操作， 差与较小 的数比较，并以大数减小数，继续这个操作， 直到所得的数 相等 ，则这个数 等数 或这个数与 为止， 等数)或这个数与 为止 则这个数(等数
分别用辗转相除法求378与90的最大公约数． 与 的最大公约数 的最大公约数． 分别用辗转相除法求 [提示 按辗转相除法的步骤执行． 提示] 按辗转相除法的步骤执行． 提示
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[解] 辗转相除法： 解 辗转相除法： 378＝90×4＋18， ＝ × ＋ ， 90＝18×5＋0， ＝ × ＋ ， 的最大公约数是18. ∴378与90的最大公约数是 与 的最大公约数是
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[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： 解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1 ＝ ＋ ＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1. ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 ＝ 时的值 时的值： 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝2时的值： v0＝8； ； v1＝8×2＋5＝21； × ＋ ＝ ； v2＝21×2＋0＝42； × ＋ ＝ ；
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探究点三
进位制之间的转化
1.将一个十进制数 化为 进制数 的步骤： 将一个十进制数a化为 进制数b的步骤 将一个十进制数 化为k进制数 的步骤： 第一步：将给定的十进制整数除以基数 ， 第一步：将给定的十进制整数除以基数k，余数便是等 值的k进制的最低位． 值的 进制的最低位． 进制的最低位 第二步：将上一步的商再除以基数 ， 第二步：将上一步的商再除以基数k，余数便是等值的 k进制数的次低位． 进制数的次低位． 进制数的次低位 第三步：重复第二步，直到最后所得的商等于 为止 为止． 第三步：重复第二步，直到最后所得的商等于0为止． 各次除得的余数便是k进制各位的数， 各次除得的余数便是 进制各位的数，最后一次的余数 进制各位的数 是最高位． 是最高位． 返回
改写成如下形式： 改写成如下形式： ＋ － ＋ － ＋ ＋ ＋ f(x)＝ (…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0 . ＝
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求多项式的值时，首先计算 最内层括号内 一次多项式的值， 求多项式的值时， 一次多项式的值， anx＋an－1 ＋ － 即 v1 ＝ ， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 ＋ － v2＝ v1x＋an－2 x＋ － v3＝ v2x＋an－3 … vn＝ vn－1x＋a0 － ＋ 这样， 次多项式f(x)的值就转化为求 n个一次多项式 的 这样，求n次多项式 次多项式 的值就转化为求 个一次多项式 值． 返回
约简的数的乘积就是所求的最大公约数． 约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
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三、秦九韶算法 1．秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作 ． 一元n次多项式 《数书九章》中提出的一种用于计算 一元 次多项式 的 数书九章》 值的方法. 值的方法
－ 2．把一个n次多项式 ＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ．把一个 次多项式 次多项式f(x)＝ ＋ ＋ －
－ 2．与k进制数 n an－1…a1(k)等值的十进制数是 ＝an×kn－1 ． 进制数a － 等值的十进制数是a＝ 进制数 － ＋an－1kn－2＋…＋a2×k1＋a1×k0. ＋ －