2019-2020学年江苏省扬州市江都区九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省扬州市九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省扬州市九年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.二次函数y=x2+x的图象与y轴的交点坐标是()A. (0,1)B. (0,−1)C. (0,0)D. (−1,0)2.下列方程为一元二次方程的是()=3A. x2−3=x(x+4)B. x2−1xC. x2−10x=5D. 4x+6xy=333.已知⊙O的半径为5，且圆心O到直线l的距离是方程x2−4x−12=0的一个根，则直线l与圆的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定4.如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠ABC=130°，则∠AOC=()A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°5.如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=()A. 112.5°B. 112°C. 125°D. 55°6.已知关于x的一元二次方程2x2−x+m2−9=0有一个根是0，则m的值为()A. 3B. 3或−3C. −3D. 不等于3的任意实数7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列命题中正确的是()A. a>b>cB. 一次函数y=ax+c的图象不经过第四象限C. m(am+b)+b<a(m是任意实数)D. 3b+2c>08.如图，已知A(3,6)、B(0,n)(0<n≤6)，作AC⊥AB，,0)，则PM的交x轴于点C，M为BC的中点，若P(32最小值为()A. 3B. 3√178C. 4√55D. 6√55第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.已知关于x的方程(a−2)x2−4x−5=0是一元二次方程，那么a的取值范围是______．10.抛物线y=(x−3)2+4的顶点坐标是______．11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AB=25cm，BC=15cm，则BD的长为______cm．12.如图，△ABC内接于⊙O，BC=a，CA=b，∠A−∠B=90°，则⊙O的半径为______ ．13.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过两点A(2,6)，B(−6,6)，则抛物线的对称轴为直线______14.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则△PBD与△PAC的面积比为______．15.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是_______．16.若二次函数y=4x2−4ax+(a2−2a+2)在0≤x≤1上的最小值为2，则a=______．17.①方程(x+1)(x−2)=0的根是______；②方程(x+3)2=4的根是______．18.如图，在等边△ABC中，D是BC边上一点，且BD：DC=1：3，把△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，那么AM：AN的值为________．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．四、解答题（本大题共9小题，共60.0分）)−1−4cos30°20.计算：√48−|−3|+(1201821.解下列方程：(1)x2−6x−3=0；(2)(x−2)2=2x−4．22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的周长为24，sinB=3，点D为BC的中5点．(1)求BC的长；(2)求∠BAD的正弦值．23.若实数a，b分别满足a2+8a+8=0，b2+8b+8=0且a≠b，求a√ab +b√ba的值．24.为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB.(参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数)25.2018年9月21日上午九点整，伴随着中国登山协会主席李致新同志的一声令下，“五彩金沙⋅花海毕节”“华龄杯”中国天空跑2018中国贵州金沙国际挑战赛在后山镇壮飞广场拉开帷幕．期间，王老板以2元/kg的价格购进一批橘子，以3元/kg 的价格出售，每天可售出200kg.为了促销，王老板决定降价销售，经调查发现，这批橘子每降价0.1元/kg，每天可多售出40kg.另外，每天的卫生费等固定成本共24元，王老板想每天盈利200元，应将每千克橘子的售价降低多少元？26.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E是BD⏜上一点，连接DE，AE，CE，已知CE=AC(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明；(2)若AB=AC=4，求DE的长．27.如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在△ACD的CD边上取一点P，连结AP，如果△APC是等腰三角形，且△ABC与△APD相似，则我们称△APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”．(1)如图2，在平行四边形ABCD中，∠B=45°，若△APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP=PC，∠BAC=∠DAP，则∠PCA的度数为______；(2)如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA=∠D=3∠CAD，∠BAC=2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由；(3)已知Rt△APC，若Rt△APC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP=PC=1，△ABC与△APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值．28.如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−2,0)，B(6,0)两点，与轴交于点C，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，CD，BD，求△BCD的面积；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点P，使以A，C，M，P四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：当x=0时，y=0，则二次函数二次函数y=x2+x的图象与y轴的交点坐标是(0,0)，故选：C．令x=0，求出y的值，然后写出与y轴的交点坐标即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义逐项判断即可．【解答】解：A.x2−3=x(x+4)整理得：4x+3=0，不是一元二次方程，故选项错误；=3是分式方程，故选项错误；B.x2−1xC.x2−10x=5是一元二次方程，故选项正确；D.4x+6xy=33含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项错误．故选C．3.【答案】C【解析】解：∵x2−4x−12=0，(x+2)(x−6)=0，解得：x1=−2(不合题意舍去)，x2=6，∵点O到直线l距离是方程x2−4x−12=0的一个根，即为6，∴点O到直线l的距离d=6，r=5，∴d>r，∴直线l与圆相离．故选C．首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线l的距离为d，若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离，从而得出答案．本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．在优弧AC上取点D，连接AD，CD，根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：在优弧AC上取点D，连接AD，CD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=130°，∴∠D=180°−130°=50°．∵∠D与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AOC=2∠D=100°．故选：A．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握三角形的内心的概念、三角形内角和定理是解题的关键．∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC=12∠ICB=12∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠A=45°，∴∠ABC+∠ACB=135°，∵点I是内心，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=67.5°，∴∠BIC=180°−67.5°=112.5°，故选A．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义把x=0代入原方程得到m2−9=0，然后求出m即可．【解答】解：把x=0代入2x2−x+m2−9=0，得m2−9=0，所以m=3或−3．故选B．7.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，然后根据图象判断其值．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=−1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A.由二次函数的图象开口向上可得a>0，由抛物线与y轴交于负半轴可得c<0，由x=−1，得出−b2a=−1，故b>0，b=2a，则b>a>c，故此选项错误；B.∵a>0，c<0，∴一次函数y=ax+c的图象经过一、三、四象限，故此选项错误；C.当x=−1时，y最小，即a−b−c最小，故a−b+c≤am2+bm+c，即m(am+b)+ b≥a，故此选项错误；D.由图象可知x=1，a+b+c>0，∵b=2a，∴a=12b，∴12b+b+c>0，∴3b+2c>0，故此选项正确，故选D．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E.则四边形CEHO是矩形，OH=CE=4，由△AHB∽△CEA，得出比例式，推出AE=2BH，设BH=x，则AE=2x，推出B(0,6−x)，C(3+2x,0)，由BM=CM，推出M(3+2x2,6−x2)，得出PN=ON−OP=x，在Rt△PMN中，由勾股定理得出PM2=PN2+MN2=x2+(6−x2)2=5 4x2−3x+9=54(x−65)2+365，根据二次函数的性质得出PM2最小值为365，即可得出结果．【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．则四边形CEHO是矩形，OH=CE=4，∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°，∴∠ABH+∠HAB=90°，∠HAB+∠EAC=90°，∴∠ABH=∠EAC，∴△AHB∽△CEA ，∴AH EC=BH AE ， ∴36=BH AE ，∴AE =2BH ，设BH =x ，则AE =2x ，∴OC =HE =3+2x ，OB =6−x ，∴B(0,6−x)，C(3+2x,0)∵BM =CM ，∴M(3+2x 2,6−x 2)，∵P(32,0)， ∴PN =ON −OP =3+2x 2−32=x ，∴PM 2=PN 2+MN 2=x 2+(6−x 2)2=54x 2−3x +9=54(x −65)2+365， ∴x =65时，PM 2有最小值，最小值为365，∴PM 的最小值为√365=6√55． 故选：D ． 9.【答案】a ≠2【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据二次项的系数不等于0解答即可．【解答】解：由题意得，a −2≠0，解得a ≠2，故答案为：a ≠2．10.【答案】(3,4)【解析】解：∵抛物线y=(x−3)2+4是顶点式，∴抛物线的顶点坐标是(3,4)，故答案为：(3,4)．因为顶点式y=a(x−ℎ)2+k，其顶点坐标是(ℎ,k)，对照求二次函数y=(x+2)2−1的顶点坐标即可．本题考查了二次函数的性质，注意：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．11.【答案】9【解析】解：∠ACB=90°，CD⊥AB，由射影定理得，BC2=BD⋅BA，∴BD=BC2BA =15225=9，故答案为：9．根据射影定理计算即可．本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．12.【答案】√a2+b22【解析】【分析】过点B作圆的直径BE交圆于点E，则∠ECB=90°，有∠E+∠EBC=90°，由圆内接四边形的对角互补知，∠E+∠A=180°，又因为∠A−∠ABC=90°，可证∠CBA=∠CBE，弧AC=弧CE，CE=CA=b，由勾股定理可求BE=√a2+b2，即⊙O的半径=√a2+b22．本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、圆内接四边形的对角互补、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．【解答】过点B作圆的直径BE交圆于点E，连接CE，∴∠ECB=90°，∴∠E+∠EBC=90°，∴∠E+∠A=180°，∵∠A−∠ABC=90°，∴∠CBA=∠CBE，弧AC=弧CE，CE=CA=b，由勾股定理得，BE=√a2+b2，∴⊙O的半径=√a2+b22．13.【答案】x=−2【解析】解：∵点A(2,6)与点B(−6,6)的纵坐标相等，∴点A、B关于抛物线对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x=2−62=−2．故答案为：x=−2．由点A、B的纵坐标相等可得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，再由点A、B的横坐标即可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．14.【答案】1：9【解析】解：∵BD//AC，BD=1，AC=3，∴△DBP∽△CAP，∴S△PBDS△PAC =(BDAC)2=19，故答案为1：9只要证明△DBP∽△CAP，利用相似三角形的性质即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．15.【答案】40cm【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值.根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．【解答】解：设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得：解得r=40cm．故这个扇形铁皮的半径为40cm．故答案为40cm．16.【答案】0或3+√5【解析】解：∵y=4x2−4ax+(a2−2a+2)=4(x−12a)2+(2−2a)，∴二次函数图象的顶点坐标为(12a,2−2a)．当12a<0，即a<0时，有a2−2a+2=2，解得：a1=0(舍去)，a2=2(舍去)；当0≤12a≤1，即0≤a≤2时，有2−2a=2，解得：a=0；当12a>1，即a>2时，有4−4a+(a2−2a+2)=2，解得：a3=3−√5(舍去)，a4=3+√5．综上所述：a的值为0或3+√5．故答案为：0或3+√5．利用配方法可找出抛物线的顶点坐标，分12a<0、0≤12a≤1及12a>1三种情况考虑，由二次函数的性质结合二次函数在0≤x≤1上的最小值为2，即可得出关于a的一元二次方程(或一元一次方程)，解之即可得出结论．本题考查了二次函数的最值，分12a<0、0≤12a≤1及12a>1三种情况找出关于a的方程是解题的关键．17.【答案】−1或2 −1或−5【解析】解：①(x+1)(x−2)=0 x+1=0或x−2=0x1=−1，x2=2②(x+3)2=4x+3=±2x1=−1，x2=−5故本题的答案①x1=−1，x2=2；②x1=−1，x2=−5①方程(x+1)(x−2)=0根据“两式乘积为0，则至少有一个式子的值为0.”求解；②方程(x+3)2=4要利用直接开平方法解方程．本题考查了因式分解法解一元二次方程，将方程等号右边的式子移到等号左边，然后将左边的式子进行因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，两个数相乘得0的情况，要知道0乘以任何数都得0，当两个数相乘得0时，这两个数都有可能等于0，不能漏掉一种情况．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．18.【答案】57【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．由BD：DC=1：3，可设BD=a，则CD=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通过证明△BMD∽△CDN即可求出AM：AN的值．【解答】解：∵BD：DC=1：3，∴设BD=a，则CD=3a，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AM=DM，AN=DN，∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MDB=120°，∴∠NDC=∠BMD，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△BMD∽△CDN，∴(BM+MD+BD)：(DN+NC+CD)=AM：AN，即AM：AN=5：7，．故答案为5719.【答案】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，AB=3，则AM=12∵AB//CD，∴点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，OM=√OA2−AM2=4，∴ON=MN−OM=3，在Rt△CON中，CN=√OC2−ON2=4，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=8．【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理求出OM，根据题意求出ON，根据勾股定理、垂径定理计算即可．本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．20.【答案】解：原式=4√3−3+2018−4×√32=4√3−3+2018−2√3=2015+2√3．【解析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.【答案】解：(1)x2−6x−3=0，x2−6x=3，x2−6x+9=3+9，即(x−3)2=12，∴x−3=±2√3，∴x1=3+2√3，x2=2−2√3；(2)(x−2)2=2x−4，(x−2)2−2(x−2)=0，(x−2)(x−2−2)=0，∴x−2=0或x−4=0，∴x1=2，x2=4．【解析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．(1)利用配方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可．22.【答案】解：(1)∵sinB=35，∴ACAB =35，设AB=5k，AC=3k，则BC=4k，∵△ABC的周长为24，∴3k+4k+5k=24，∴12k=24，∴k=2，∴AB=10，AC=6，BC=8；(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵点D为BC的中点，∴BD=CD=12BC=4，∴S△ABD=12S△ABC=12，∴12×10·DE=12，∴DE=125，在Rt△ACD中，AD2=CD2+AC2，∴AD=2√13，∴sin∠BAD=DEAD =1252√13=6√1365．【解析】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理以及三角函数的定义是解题的关键．(1)根据三角函数的定义设AB=5k，AC=3k，则BC=4k，再由三角形的周长得出k的值，即可得出三角形的三边；(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据S△ABD=12S△ABC，再由正弦函数的定义得出答案即可．23.【答案】−12√2【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及二次根式等知识，解答本题关键是根据题意，得到a+b=−8，ab=8，再把a√ab +b√ba整理成−√ab⋅(a+b)2−2abab，代入求值即可．【解答】解：根据题意，可知a、b是方程x2+8x+8=0的两个不相等的实数根，则a+b=−8，ab=8，∴a<0，b<0．原式=a√abb2+b√aba2=−ab√ab−ba√ab=−√ab(ab+ba)=−√ab⋅(a+b)2−2abab =−√8×64−168=−12√2．故答案为−12√2．24.【答案】解：设AE=x，在Rt△ACE中，CE=AEtan42∘≈1.1x，在Rt△AFE中，FE=AEtan61∘≈0.55x，由题意得，CF=CE−FE=1.1x−0.55x=12，解得：x=24011，故AB=AE+BE=24011+1.5≈23米．答：这个电视塔的高度AB为23米．【解析】设AE=x，在Rt△ACE中表示出CE，在Rt△AFE中表示出FE，再由DH=CF= 12米，可得出关于x的方程，解出即可得出答案．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．25.【答案】解：设每千克橘子的售价应降低x元，则每天的销售量为(200+400x)千克，根据题意得：(3−2−x)(200+400x)=200+24，整理得：50x2−25x+3=0，解得：x1=0.3，x2=0.2．答：王老板想每天盈利200元，应将每千克橘子的售价降低0.3或0.2元．【解析】设每千克橘子的售价应降低x元，则每天的销售量为(200+400x)千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．26.【答案】解：(1)CE与⊙O相切，理由：连接OE，∵OA=OE，AC=EC，∴∠OAE=∠OEA，∠CAE=∠CEA，∴∠CEA+∠OEA=∠CAE+∠OAE，∴∠CEO=∠CAO，∵∠BAC=90°，∴∠CEO=90°，∴CE是⊙O的切线；(2)连接OC，OB，∵AB=AC=4，∠BAC=90°，∴OA=2，BC=4√2，CE=AC=4，∴OC =√AC 2+OA 2=2√5， ∵AC =CE ，OA =OE ，∴AE ⊥OC ，AF =EF ，∴AO 2=OF ⋅OC ，∴OF =AO 2OC =2√55， ∵OF ⊥AE ，BE ⊥AE ，∴OF//BE ，∵AO =OB ，∴BE =2OF =4√55，∵CE 是⊙O 的切线，∴∠CBE =∠DEC ，∵∠BCE =∠ECD ，∴△CDE∽△CEB ，∴DE BE =CE BC ， ∴4√55=4√2， ∴DE =2√105．【解析】本题考查了切线的判定和性质，等腰直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)连接OE ，根据等腰三角形的性质得到∠OAE =∠OEA ，∠CAE =∠CEA ，求得∠CEO =∠CAO ，得到∠CEO =90°，于是得到结论；(2)连接OC ，OB ，解直角三角形得到OA =2，BC =4√2，CE =AC =4，根据勾股定理得到OC =√AC 2+OA 2=2√5，根据射影定理得到AO 2=OF ⋅OC ，求得OF =AO 2OC =2√55，得到BE =2OF =4√55，根据相似三角形的性质即可得到结论． 27.【答案】45°【解析】解：(1)如图2中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∠D=∠B=45°∴∠BAC=∠DCA，∵AP=PC，∴∠PCA=∠PAC，∵∠BAC=∠DAP，∴∠DAP=∠CAP=∠PCA，在△ADC中，∠D+∠DCA+∠DAC=180°，∴3∠PCA=135°∴∠PCA=45°．故答案为45°．(2)如图3中，在线段AD上取一点P，使得PC=PA，则△PAC是等腰三角形，∴∠PAC=∠PCA，∴∠DPC=∠PAC+∠PPCA=2∠PAC，∵∠BAC=2∠DCA，∴∠BAC=∠DPC，∵∠BCA=∠D，∴△CBA∽△DCP，∴△PAC是一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，(3)由题意△APC是等腰直角三角形，∵△APC与△ABC，△ABC与△PCD相似，∴△PDC，△ABC都是等腰直角三角形；如图4中，当点P在线段AD上，∠ABC=90°时，易证∠DAB=90°，AB=AP=PD=1，BD=√12+22=√5．如图5中，当点P在线段AD上，∠BAC=90°时，作BE⊥DA交DA的延长线于E.易知DE=3，EB=1，BD=√12+32=√10．当∠ACB=90°时，四边形ABCD不存在，不符合题意；如图6中，如图7中，BD的长度与图4，图5类似．综上所述，满足条件的BD的长度为√5或√10．(1)根据平行四边形的性质、“等腰邻相似三角形”的定义构建方程即可解决问题；(2)在线段AD上取一点P，使得PC=PA，则△PAC即为所求；(3)分四种情形分别求解即可解决问题；本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．28.【答案】解：(1)∵抛物线经过A(−2,0)，B(6,0)两点，∴{4a−2b−3=036a+6b−3=0，解得{a=14b=−1，∴抛物线解析式为y=14x2−x−3；(2)∵抛物线的对称轴为直线x=−−2+62=2，∴当x=2时，y=1−2−3=−4，，∴D(2,−4)，∵抛物线y=14x2−x−3与y轴交于点C，∴C(0,−3)，设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0)，，∴{6k+c=0c=−3，解得{k=12c=−3，∴直线BC的解析式为y=12x−3，∴当x=2时，y=−2，∴E(2,−2)，∴ED=−2−(−4)=2，∴S△BCD=S△CDE+S△BDE=12ED×OB=12×2×6=6；(3)存在．P1(4,−3)，P2(2+2√7,3)，P3(2−2√7,3)．【解析】本题主要考查二次函数的应用，待定系数法确定一次函数关系式及三角形的面积等知识的综合运用．(1)可利用待定系数法将A，B两点代入抛物线解析式即可求解；(2)可根据抛物线的对称性求解抛物线的顶点D的坐标，再利用待定系数法求解直线BC 的解析式，根据x=2可求解E点坐标，即可得ED的长，进而利用S△BCD=S△CDE+S△BDE 可求解；(3)可设P(x,14x2−x−3)，注意分类讨论，可分以AM为平行四边形的边即当CP//AM时，1 4x2−x−3=−3可求解P1点坐标(4,−3)；以AM为平行四边形的对角线时，14x2−x−3=3，解方程可求解P2，P3点的坐标．。
江苏省扬州市2019-2020学年九年级上学期期末考试数学测试试卷
2019-2020学年第一学期期末测试试卷九年级数学（满分150 分，考试时间 120分钟）说明：1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B 铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．3．如有作图需要，请用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为A ．1B ．-1C ．1或-1D ．122．将方程2x 8x 90++=配方后，原方程可变形为A.2(x 4)7+=B. 2(x 4)25+=C. 2(x 4)9+=-D. 2(x 8)7+= 3．二次函数y ＝x 2－2x ＋3的图像的顶点坐标是 A ．(1，2)B ．(1，6)C ．(－1，6)D ．(－1，2)4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知sin A ＝34，则cos B 的值为A ．74B ．34C ．35D ．455．已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO ＝2，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相切 B ．相离 C ．相离或相切 D ．相切或相交6．如图，已知AB 是圆O 的直径，∠BAC =32°，D 为弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是 A ．25° B ．29° C ．30° D ．32°BC A（第4题）（第6题）AOBD7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，自变量x 与函数y 之间的部分对应值如下表：在该函数的图象上有A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两点，且-1＜x 1＜0，3＜x 2＜4，y 1与y 2的大小关系正确的是A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1≤y 2D ．y 1＜y 28．如图1， 在ABC △ 中，AB AC =，120BAC ∠=︒.点O 是BC 的中点，点D 沿B →A →C 方向从B 运动到C .设点D 经过的路径长为x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的大致图象如图2所示，则这条线段可能是图1中的A ．BDB ．ADC ．OD D ．CD二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上） 9．如果3cos 2A =，那么锐角A 的度数为 °．10．一元二次方程x 2－2x +m =0总有实数根，则m 应满足的条件是 .11．某果园2014年水果产量为100吨，2016年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 ． 12．将二次函数22y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ． 13．已知在ABC △中，AB= AC ＝5，BC ＝6，则tan B 的值为 ．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD =105°，则∠DCE 的度数是 °． 15．如图，已知矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，剪去正方形ABEF ，得到的矩形ECDF 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为 ．16．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，3023CDB CD ∠==，,则阴影部分的面积为 ．（结x … 0 1 2 3 …y … －1 2 3 2 …（第8题图1） （第8题图2）yOy Ox BAx Oy ODCBA果保留π）17．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x 尺，则可列方程为 ．18．关于x 的方程0)(2=++b m x a 的解是1x =2，2x =1-（a 、b 、m 为常数，≠a 0），则方程0)2(2=+++b m x a 的解是 ．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：（1）22sin 60cos 60︒+︒； （2）24cos 45tan 60(1)︒+︒-．20．（本题满分8分）解方程：（1）0)3(4)3(=---x x x ； （2）248960x x +-=．21．（本题满分8分）化简并求值：2(1)(1)(1)m m m +++-，其中m 是方程210x x +-= 的一个根．22．（本题满分8分）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后，剩下的部分做成一个容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．23．（本题满分10分）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ， EF ∥BC ，∠AEF =143°，AB =AE =1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）FA24．（本题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．，分别画出图①和图②中∠P的平分线；（1）操作：请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．（2）说理：结合图②，说明你这样画的理由．25．（本题满分10分）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其每天的销售量就减少20件.（1）当售价定为12元时，每天可售出件；（2）要使每天利润达到640元，则每件售价应定为多少元？（3）当每件售价定为多少元时，每天获得最大利润？并求出最大利润.26．（本题满分10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；AB=+，23BC=，求⊙O的半径．（2）若43A27．（本题满分12分）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α=13，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB =90°，作CD ⊥AB 于D .设∠BAC =α，则sin α=BCAB =13，可设BC =x ，则AB =3x ，……． 【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程） （2）如图2，已知点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P =β，sin β=35，求sin2β的值．ON MP图2OBCAD图128．（本题满分12分）如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，对称轴与抛物线相交于点M ，与x 轴相交于点N .点P 是线段MN 上的一动点，过点P 作CP PE ⊥交x 轴于点E .（1）直接写出抛物线的顶点M 的坐标是 ； （2）当点E 与点O （原点）重合时，求点P 的坐标； （3）点P 从M 运动到N 的过程中，求动点E 运动的路径长.-y y备用图第一学期期末考试初三数学试题参考答案及评分建议说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神酌情给分．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项BAABDBDC二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）9．30 10．1m ≤ 11．20% 12．22(1)2y x =-+ 13．4314．105 15．152+ 16．23π 17．222(4)(2)x x x -+-= 18．120,3x x ==- 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（1）解：原式=223122+（）（）……………………………2分 =1. ……………………………4分 （2）解：原式=4´22+3-22-1……………………………4分 = 3-1.（结果错误扣1分） ……………………………4分 20．（1）解：(3)(4)0x x -+= …………………………………………2分123,4x x ∴==- …………………………………4分（2）解：2(2)900x += …………………………………………2分1228,32x x ∴==- …………………………………4分21. 解：解：∵m 是方程210x x +-=的一个根，∴21m m +=． ……………2分∴22211m m m =+++-原式222m m =+ ……………6分2=． …………………………………………8分22．解：设长方体箱子的底面宽为x 米． ……………………………1分 根据题意，可得2x (x ＋4)＝90， ……………………………………………………………4分 解得 x 1＝5，x 2＝－9（舍去）． …………………………………………………………6分 矩形铁皮的面积为（5＋4）×（9＋4）＝117． …………………………………………7分 答：矩形铁皮的面积为117平方米． …………………………………………8分HG E BCAF23．解：过点E 作EG ⊥BC 于点G ，AH ⊥EG 于点H ． ……………………………… 2分∵EF ∥BC ，∴∠GEF =∠BGE =90°∵∠AEF =143°，∴∠AEH =53°．∴∠EAH =37°． ……………………………………4分 在△EAH 中，AE =1.2，∠AHE =90° ∴sin ∠EAH = sin 37° ∴0.6EHAE≈ ∴EH =1.2×0.6=0.72． …………………………………………6分∵AB ⊥BC ，∴四边形ABGH 为矩形．∵GH=AB =1.2 …………………………………………8分 ∴EG=EH+HG =1.2+0.72=1.92≈1.9答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米 …………………………………10分 24．（1）每个图形3分（图略） …………………………………6分 （2）证得弧等 …………………………………8分证得角等 …………………………………10分25．（1） 160 …………………………………………2分 （2） 设每件售价定为x 元,则640)]10(20200)[8(=---x x …………………………………………4分 解之，x=16 或 x=12答：要使每天利润达到640元，则每件售价应定为16或12元 …………………6分 （3）设售价为x 元，每天的利润为y 元，则=y 720)14(20)]10(20200)[8(2+--=---x x x …………………8分当x=14时，y 有最大值，为720答：当每件售价定为14元时，每天获得最大利润，为720元 …………………10分 26．（1）证明：连接OA ． …………………………………1分∵∠B =60°，∴∠AOC =2∠B =120°． 又∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =30°． 又∵AP =AC ，∴∠P =∠ACP =30°．PO DCBAEQRO NMP图2∴∠OAP =∠AOC ﹣∠P =90°．∴OA ⊥PA ． …………………………4分 又∵点A 在⊙O 上，∴PA 是⊙O 的切线． …………………………5分（2）解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ． …………………………………6分 在Rt△BCE 中，∠B =60°，BC =， ∴12BE BC ==，CE =3． ………………………………7分∵4AB =+，∴4AE AB BE =-=．∴在Rt△ACE 中，5AC ==． ………………………………9分∴AP =AC =5．∴在Rt△PAO 中，OA =∴⊙O ． ………………………………………………………10分27．解：（1）求出CD =． ………………………………………………………2分求出sin2α=CD OC． ………………………………………………………5分（2）如图，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ，连接MQ ，MO ，过点M 作MR NO ⊥于点R ．……………………………6分在⊙O 中，∠NMQ =90°．∵ ∠Q=∠P =β，∴∠MON=2∠Q=2β．……………………7分 在Rt △QMN 中，∵ sin β=35MN NQ =， ∴设MN =3k ，则NQ =5k ，易得OM=21NQ=52k ． (9)分∴MQ 4k =． ∵Δ1122NMQ S MN MQ NQ MR =⋅=⋅，∴345k k k MR ⋅=⋅．∴MR=125k ． ………………………………………………………………………11分 在Rt △MRO 中，sin2β=sin ∠MON =122455252kMRk OM ==．…………………………12分 28．（1）（1，4） ………………………………………………………………2分 （2）过点C 作CF ⊥MN ，垂足为F先证△ENP ∽△PFC ， ……………………………………………4分 ∴CFPFPN EN =当点E 与O 重合时，EN=1, 设PF=m 则131mm -=………………………………………………………………6分 解之，352m ±=∴点P 的坐标为35(1,)2+或 35(1,)2- …………………………………………7分 （3）当点P 与M 重合时，如图。
江苏省扬州市江都区(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(提升题)知识点分类
江苏省扬州市江都区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2021秋•江都区期末）某种服装，平均每天销售20件，每件盈利20元．经调研发现，在成本不变的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，为确保每件服装获得一定的利润，每件降价不超过10元．（1）设每件降价x元，则每天将销售 件；（用含x的代数式表示）（2）如果每天要盈利540元，每件应降价多少元？二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）2．（2022秋•江都区期末）规定：某一个函数图象上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”．（1）函数y＝x2 “自反”函数（填：“是”或“不是”），如果是，求出这个函数的所有“反点”，如果不是，请说明理由；（2）若抛物线y＝ax2﹣5x+a﹣3（a为常数）上有且只有一个“反点”，求a的值；（3）若抛物线y＝（a﹣1）x2+bx+2（a、b为常数，a≠1）对于任意的常数b恒有两个“反点”，求a的取值范围．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2020秋•江都区期末）春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于120%．分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表：销售单价x（元/件）…405060…每天销售量y（件）…300250200…（1）直接写出y与x的函数关系式： ；（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；（3）为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于5000元，请预测今年销售单价的范围是多少？（4）花店承诺：今年每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（n＜5）给“爱心基金”．若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大，则n的取值范围是多少？四．二次函数综合题（共1小题）4．（2021秋•江都区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝+bx+c的图象与x 轴交于点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．已知点E（0，3）、点F（4，t）（t＞3），点M是线段EF上一动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N．（1）直接写出二次函数的表达式： ．（2）若t＝5，当MN最大时，求M的坐标．（3）在点M从点E运动至点F的过程中，若线段MN的长逐渐增大，求t的取值范围．五．矩形的性质（共1小题）5．（2021秋•江都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，点E在边AB上，且AE＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿折线AD﹣DC运动，到达点C后停止运动．连接PE，作点A关于直线PE的对称点F，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）如图1，在点P的运动过程中，当F与点C重合时，求BC的长；（2）如图2，如果BC＝4，当点F落在矩形ABCD的边上时，求t的值．六．四边形综合题（共1小题）6．（2020秋•江都区期末）我们认为，顺次连接公共斜边的两个直角三角形的四个顶点所得的四边形叫做“规正四边形”．如图1，△ABC和△DBC都是直角三角形，且∠BAC＝∠BDC＝90°，则四边形ABCD是规正四边形．在△ABC中，高线CE和AD相交于点H．（1）连接DE，如图2．①写出图中所有的规正四边形有 ；②求证：∠CAD＝∠DEC；（2）连接BH并延长交AC于点F，如图3．求证：四边形AEHF是规正四边形．七．切线的判定与性质（共2小题）7．（2020秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，CD 是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）求证：NE与⊙O相切；（2）求图中阴影部分的面积．8．（2022秋•江都区期末）如图，AB是⊙O的直径，AC、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的直线AM相交于点P，且∠CAB＝∠APB．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求线段PD的长．八．圆的综合题（共1小题）9．（2022秋•江都区期末）问题提出：若任意两个正数的和为定值，则它们的乘积会如何变化呢？比如两个正数的和是1，那么这两个正数可以是和，和，和，…它们的乘积分别是，，，…，初步判断：当这两个正数分别是和时，乘积有最大值为．（1）问题探究：若两个正数的和是10，其中一个正数为x（0＜x＜10），这两个正数的乘积为y，试探究y 与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．（2）结论猜想：猜想：若任意两个正数的和是一个固定的数a，那么这两个正数的乘积存在最大值，最大值为 ．（3）结论应用：①已知m、n满足，则当t为多少时，mn取得最大值？并求出最大值：②如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上一点，且AC＝5，点D是半圆上一动点，点E、F分别是CD、AD延长线上一点，且满足AE+CF＝20，直接写出四边形ACEF 的面积的最大值．九．相似三角形的判定与性质（共1小题）10．（2022秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，正方形BDEF 的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长．一十．相似三角形的应用（共1小题）11．（2020秋•江都区期末）如图，某同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（DC），可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？一十一．方差（共2小题）12．（2020秋•江都区期末）甲、乙两班各选派10名学生参加“文明城市创建”知识问答．各参赛选手的成绩如下：甲班：93，98，89，93，95，96，93，96，98，99；乙班：93，95，88，100，92，93，100，98，98，93；通过整理，得到数据分析表如下：班级最高分平均分中位数众数方差甲班999595.5a b乙班10095c9313.8（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；（2）根据上述数据，你认为哪个班的成绩好一些？请简要说明理由．13．（2021秋•江都区期末）八（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：甲789710109101010乙10879810109109（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是 队．一十二．列表法与树状图法（共2小题）14．（2020秋•江都区期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学担任环保志愿者．（1）若随机抽取1名，则恰巧是甲同学的概率是 ；（2）若随机抽取2名，求甲同学在其中的概率（用画树状图法或列表法求解）．15．（2021秋•江都区期末）张老师积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区安排，志愿者将被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）或C组（环境消杀）．（1）张老师被分到B组的概率是 ；（2）王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法，求出他和张老师被分到同一组的概率是多少？江苏省扬州市江都区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2021秋•江都区期末）某种服装，平均每天销售20件，每件盈利20元．经调研发现，在成本不变的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，为确保每件服装获得一定的利润，每件降价不超过10元．（1）设每件降价x元，则每天将销售 （20+5x） 件；（用含x的代数式表示）（2）如果每天要盈利540元，每件应降价多少元？【答案】（1）（20+5x）；（2）2元．【解答】解：（1）根据题意知，每天将销售（20+5x）件；故答案为：（20+5x）；（2）根据题意，得（20﹣x）×（20+5x）＝540．解得x1＝2，x2＝14＞10（不合题意，舍去）．答：每件应降价2元．二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）2．（2022秋•江都区期末）规定：某一个函数图象上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”．（1）函数y＝x2 是 “自反”函数（填：“是”或“不是”），如果是，求出这个函数的所有“反点”，如果不是，请说明理由；（2）若抛物线y＝ax2﹣5x+a﹣3（a为常数）上有且只有一个“反点”，求a的值；（3）若抛物线y＝（a﹣1）x2+bx+2（a、b为常数，a≠1）对于任意的常数b恒有两个“反点”，求a的取值范围．【答案】（1）是，（0，0），（﹣1，1）；（2）a的值为﹣1或4；（3）a＜1．【解答】（1）解：∵y＝x2经过原点，满足定义，则y＝x2是“自反”函数，依题意，解得：或，∴“自反”函数y＝x2的“反点”是（0，0）或（﹣1，1），故答案为：是；（2）解：依题意，即ax2﹣4x+a﹣3＝0有两个相等的实数解，∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4a（a﹣3）＝0，解得：a＝﹣1或a＝4；（3）∵关于x的二次函数y＝（a﹣1）x2+bx+2（a≠1，n为常数）对于任意的常数b恒有两个“反点”，∴，即（a﹣1）x2+（b+1）x+2＝0有两个不等实数根，∴，即b2+2b﹣8a+9＞0，∴关于b的二次函数y＝b2+2b﹣8a+9与x轴无交点，∴Δ2＝22﹣4（﹣8a+9）＜0，解得：a＜1．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2020秋•江都区期末）春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于120%．分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表：销售单价x（元/件）…405060…每天销售量y（件）…300250200…（1）直接写出y与x的函数关系式： y＝﹣5x+500 ；（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；（3）为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于5000元，请预测今年销售单价的范围是多少？（4）花店承诺：今年每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（n＜5）给“爱心基金”．若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大，则n的取值范围是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把x＝40，y＝300和x＝50，y＝250分别代入得：，解得：，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500，故答案为：y＝﹣5x+500；（2）设每天获得的利润为W元，则W＝（﹣5x+500）（x﹣30）＝﹣5x2+650x﹣15000，∵0≤x﹣30≤30×120%，∴30≤x≤66，∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝65，∴当x＝65时，W有最大值，为6125．∴销售单价为65元时，销售利润最大，最大利润为6125元；（3）当W＝5000时，﹣5x2+650x﹣15000＝5000，解得，x1＝50，x2＝80，二次函数的开口向下，可知W≥5000时，50≤x≤80，∵x≤66，∴50≤x≤66；（4）设W'表示扣除捐款后的日利润，W'＝（﹣5x+500）（x﹣30﹣n）＝﹣5（x﹣100）（x﹣30﹣n）＝﹣5x2+（650+5n）x﹣15000﹣500n，∵y随x的增大而减小，要使得W'随着y的减小而增大，∴在x≤66范围内，W'随x的增大而增大，∵开口向下，对称轴是直线x＝65+，∴65+≥66，解得n≥2，∵n＜5，∴2≤n＜5．四．二次函数综合题（共1小题）4．（2021秋•江都区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝+bx+c的图象与x 轴交于点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．已知点E（0，3）、点F（4，t）（t＞3），点M是线段EF上一动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N．（1）直接写出二次函数的表达式： y＝ ．（2）若t＝5，当MN最大时，求M的坐标．（3）在点M从点E运动至点F的过程中，若线段MN的长逐渐增大，求t的取值范围．【答案】（1）y＝+2；（2）M（3，）；（3）t≥9．【解答】解：（1）由题意得，y＝）•（x﹣4）＝﹣，故答案为：y＝+2；（2）∵E（0，3），F（4，5），∴直线EF的关系式是：y＝，设M（a，），N（a，+2），∴MN＝（）﹣（）＝﹣+3a+1＝﹣（a﹣3）2+，∴当a＝3时，MN最大＝，当a＝3时，y＝＝，∴M（3，）；（3）∵E（0，3），F（4，t），∴直线EF的关系式是：y＝x+3，设M（m，），N（m，﹣m+2），∴MN＝（）﹣（﹣+2）＝﹣+1，∵对称轴m＝，0≤m≤4，∴当时，MN随m的增大而增大，∴t≥9．五．矩形的性质（共1小题）5．（2021秋•江都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，点E在边AB上，且AE＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿折线AD﹣DC运动，到达点C后停止运动．连接PE，作点A关于直线PE的对称点F，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）如图1，在点P的运动过程中，当F与点C重合时，求BC的长；（2）如图2，如果BC＝4，当点F落在矩形ABCD的边上时，求t的值．【答案】（1）BC＝3；（2）t的值为或7或．【解答】解：（1）如图1，连接AC交PE于O，过点P作PT⊥AB于T，∵点A关于直线PE的对称点F与点C重合，∴PE⊥AC，OA＝OC，∴∠AOE＝∠COP＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝9，∴∠EAO＝∠PCO，在△AEO和△CPO中，，∴△AEO≌△CPO（ASA），∴CP＝AE＝5，∴DP＝BE＝4，∵∠DAB＝∠D＝∠ATP＝90°，∴四边形ADPT是矩形，∴AT＝DP＝4，PT＝AD＝BC，∴ET＝1，∵∠ETP＝∠CBA＝∠AOE＝90°，∴∠EPT+∠PET＝∠CAB+∠PET＝90°，∴∠EPT＝∠CAB，∴△PET∽△ACB，∴＝，∴＝，∴BC＝3；（2）根据题意，点F不能落在边AD和边AB上，分以下两种情况：①当点在AD边上、点F落在CD边上时，如图2，连接AF、PF，∵点A关于直线PE的对称点F，∴PE垂直平分AF，∴PF＝AP，∠FAD+∠EPA＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠FAD+∠AFD＝90°，∴∠EPA＝∠AFD，∴△AFD∽△EPA，∴＝，由题意得：AP＝t，则PF＝t，DP＝4﹣t，∴＝，∴DF＝t，在Rt△PFD中，PD2+DF2＝PF2，∴（4﹣t）2+（t）2＝t2，解得：t＝10或t＝，∵点P在边AD上，t＜4，∴t＝10不符合题意，舍去，∴t＝；②当点P、F都落在CD边上时，如图3，连接AP、EF、AF，AF与PE交于点K，∵点A关于直线PE的对称点F，∴PE垂直平分AF，∴PF＝AP，AK＝FK，∠PKF＝∠EKA＝90°，∵AB∥CD，∴∠PFK＝∠EAK，∴△PFK≌△EAK（ASA），∴PF＝AE＝5，∴AP＝5，∵AD＝4，DP＝t﹣4，∠D＝90°，∴42+（t﹣4）2＝52，解得：t＝7或t＝1（与点P在CD上矛盾，舍去），∴t＝7；③当点P在CD边上、点F落在BC边上时，如图4，连接AF、AP、FP、EF，∵点A关于直线PE的对称点F，∴PE垂直平分AF，∴PF＝AP，EF＝AE＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，在Rt△EFB中，BF＝＝＝3，∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1，由题意得：AD+DP＝t，AD＝4，∴DP＝t﹣4，∴CP＝CD﹣DP＝9﹣（t﹣4）＝13﹣t，∵DP2+AD2＝AP2，CP2+CF2＝PF2，∴DP2+AD2＝CP2+CF2，∴（t﹣4）2+42＝（13﹣t）2+12，解得：t＝，综上所述，t的值为或7或．六．四边形综合题（共1小题）6．（2020秋•江都区期末）我们认为，顺次连接公共斜边的两个直角三角形的四个顶点所得的四边形叫做“规正四边形”．如图1，△ABC和△DBC都是直角三角形，且∠BAC＝∠BDC＝90°，则四边形ABCD是规正四边形．在△ABC中，高线CE和AD相交于点H．（1）连接DE，如图2．①写出图中所有的规正四边形有 四边形AEDC、四边形BEHD ；②求证：∠CAD＝∠DEC；（2）连接BH并延长交AC于点F，如图3．求证：四边形AEHF是规正四边形．【答案】（1）①四边形AEDC、四边形BEHD；②证明过程见解析；（2）证明过程见解析．【解答】解：（1）①∵CE和AD是△ABC的高线，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∠AEC＝∠CDA＝90°，∴四边形BEHD和四边形AEDC是规正四边形．故答案为：四边形AEDC、四边形BEHD；②证明：∵∠AEH＝∠CDH＝90°，∠AHE＝∠CHD，∴△AEH∽△CHD，∴，又∵∠HED＝∠HAC，∴△DEH∽△CAH，∴∠CAD＝∠DEC；（2）证明：连接DE，由（2）可知，∠CAD＝∠DEC，同理：∠CBF＝∠DEC，∴∠CBF＝∠CAD，∵∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ACB+∠CBF＝90°，∴∠CFB＝90°，∴四边形AEHF是规正四边形．七．切线的判定与性质（共2小题）7．（2020秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，CD 是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）求证：NE与⊙O相切；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明过程请看解答；（2）．【解答】（1）证明：如图，连接ON，∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵CO＝ON，∴∠BCD＝∠CNO，∴ON∥BD，∴∠ONE＝∠NEB＝90°，即ON⊥NE，∴NE与⊙O相切；（2）∵，∴∠B＝30°，∴∠CON＝120°，∴，，∴．8．（2022秋•江都区期末）如图，AB是⊙O的直径，AC、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的直线AM相交于点P，且∠CAB＝∠APB．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求线段PD的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：由圆周角定理得：∠CAB＝∠CDB，∵∠CAB＝∠APB，∴∠CDB＝∠APB，∴AM∥DC，∵CD⊥AB，∴AB⊥AM，∵OA是⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线；（2）解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE，∴AD＝AC＝8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，AB＝2×5＝10，∴，∵∠BDA＝∠BAP＝90°，∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAP，∴，即，解得：，∴．八．圆的综合题（共1小题）9．（2022秋•江都区期末）问题提出：若任意两个正数的和为定值，则它们的乘积会如何变化呢？比如两个正数的和是1，那么这两个正数可以是和，和，和，…它们的乘积分别是，，，…，初步判断：当这两个正数分别是和时，乘积有最大值为．（1）问题探究：若两个正数的和是10，其中一个正数为x（0＜x＜10），这两个正数的乘积为y，试探究y 与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．（2）结论猜想：猜想：若任意两个正数的和是一个固定的数a，那么这两个正数的乘积存在最大值，最大值为 ．（3）结论应用：①已知m、n满足，则当t为多少时，mn取得最大值？并求出最大值：②如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上一点，且AC＝5，点D是半圆上一动点，点E、F分别是CD、AD延长线上一点，且满足AE+CF＝20，直接写出四边形ACEF 的面积的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+10x（0＜x＜10），25；（2）；（3）①，；②25．【解答】解：（1）∵两个正数的和是10，其中一个正数为x（0＜x＜10），∴另一个正数是10﹣x，∵这两个正数的乘积为y，∴y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，∵﹣1＜0，∴当x＝5时，y最大，最大值为25；（2）设其中一个正数为m，则另一个正数为a﹣m，它们的积为n，∴，∵﹣1＜0，∴当时，n最大，最大值为；故答案为：；（3）①∵，∴m+n＝2t﹣1+（﹣2t+10）＝9，且m＞0，n＞0，∴由（2）的结论可知，当，即时，mn有最大值；②∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝5，∴，∴∠B＝30°，∴∠ADC＝∠B＝30°，如图所示，过点A作AH⊥CF于H，∴AH＝AD⋅sin∠ADC，∴S△ACF＝＝•sin∠ADH，同理可得S△CEF＝，又∵∠EDF＝∠ADH，∴sin∠ADH＝sin∠EDF，∴S四边形ACEF＝S△CEF+S△ACF＝•sin∠ADH+＝＝CF•AE，∵AE+CF＝20，且AE＞0，CF＞0，∴由（2）的结论可知CF⋅AE的最大值为，∴S四边形ACEF的最大值为25．九．相似三角形的判定与性质（共1小题）10．（2022秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长．【答案】（1）△ABE∽△CBD，理由见解析；（2）或．【解答】解：（1）结论：△ABE∽△CBD，理由如下：∵四边形BDEF是正方形，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∠EBD＝45°，∴，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴，∠ABC＝45°，∴∠EBD﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠ABD，即∠ABE＝∠CBD，又∵，∴△ABE∽△CBD；（2）∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，∴，∵当A、E、F三点在一直线上时，∠AFB＝90°，∴，如图1，当AE在AB左上方时，∴，∵△ABE∽△CBD，∴，∴；如图2，当AE在AB右下方时，∴∵△ABE∽△CBD，∴，∴；综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为或．一十．相似三角形的应用（共1小题）11．（2020秋•江都区期末）如图，某同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（DC），可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？【答案】某同学与教学楼（AB）之间的距离为60米．【解答】解：如图，过E作EG⊥CD交AB于H，CD于G，根据题意可得：四边形EFCG是矩形，∴EF＝HB＝CG＝1.6m，EH＝FB，HG＝BC＝30m，∴AH＝20m，DG＝30m，由AH∥DG得：△AEH∽△DEG，∴，即∴．∴EH＝60．答：某同学与教学楼（AB）之间的距离为60米．一十一．方差（共2小题）12．（2020秋•江都区期末）甲、乙两班各选派10名学生参加“文明城市创建”知识问答．各参赛选手的成绩如下：甲班：93，98，89，93，95，96，93，96，98，99；乙班：93，95，88，100，92，93，100，98，98，93；通过整理，得到数据分析表如下：班级最高分平均分中位数众数方差甲班999595.5a b乙班10095c9313.8（1）填空：a＝ 93 ，b＝ 8.4 ，c＝ 94 ；（2）根据上述数据，你认为哪个班的成绩好一些？请简要说明理由．【答案】（1）a＝93，b＝8.4，c＝94；（2）言之有理即可．【解答】解：（1）甲班成绩出现次数最多的是93，所以甲班成绩的众数a＝93，方差b＝×[（89﹣95）2+3×（93﹣95）2+（95﹣95）2+2×（96﹣95）2+2×（98﹣95）2+（99﹣95）2]＝8.4，乙班成绩重新排列为：88，92，93，93，93，95，98，98，100，100；所以乙班成绩的中位数c＝＝94，故答案为：93、8.4、94；（2）∵甲班的方差是8.4，乙班的方差是13.8，甲的方差小于乙的方差，∵甲班代表队成绩稳定；∵甲班的中位数是95，乙班的中位数是94，∴甲班的高分人数多于乙班的平均数，∴综上甲班代表队成绩好．13．（2021秋•江都区期末）八（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：甲789710109101010乙10879810109109（1）甲队成绩的中位数是 9.5 分，乙队成绩的众数是 10 分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是 乙 队．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2＝9.5（分），则中位数是9.5分；乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是10分；故答案为：9.5，10；（2）乙队的平均成绩是：×（10×4+8×2+7+9×3）＝9，则方差是：×[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]＝1；（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，∴成绩较为整齐的是乙队；故答案为：乙．一十二．列表法与树状图法（共2小题）14．（2020秋•江都区期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学担任环保志愿者．（1）若随机抽取1名，则恰巧是甲同学的概率是 ；（2）若随机抽取2名，求甲同学在其中的概率（用画树状图法或列表法求解）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）若随机抽取1名，则恰巧是甲同学的概率是，故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中2名同学中有甲同学的结果数为6，所以甲同学在其中的概率为．15．（2021秋•江都区期末）张老师积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区安排，志愿者将被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）或C组（环境消杀）．（1）张老师被分到B组的概率是 ；（2）王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法，求出他和张老师被分到同一组的概率是多少？【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）张老师被分到B组的概率是；故答案为：（2）根据题意画树状图如下：一共有9种等可能情况，他和张老师被分到同一组的有3种情况，所以他和张老师被分到同一组的概率是：＝．。
江苏省扬州市江都区2019届九年级上学期数学期末考试试卷
江苏省扬州市江都区2019届九年级上学期数学期末考试试卷一、单选题（共8题；共16分）1.方程x2=4x的根是（）A. 4B. ﹣4C. 0或4D. 0或﹣42.⊙O的半径为1，同一平面内，若点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O内D. 无法确定3.二次函数y=x 2 －2x+3的图象的顶点坐标是（）A. （1，2）B. （1，6）C. （－1，6）D. （－1，2）4.13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A. 方差B. 众数C. 平均数D. 中位数5.已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定6.如图，已知是半圆的直径，，是的中点，那么的度数是（）A. B. C. D.7.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A. B. C. D.8.已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣6＝m（m＜0）的两根为x1，x2，且x1＜x2，则下列正确的是（）A. ﹣3＜x1＜x2＜2B. ﹣2＜x1＜x2＜3C. x1＜﹣3，x2＞2D. x1＜﹣2，x2＞3二、填空题（共10题；共10分）9.如果，那么锐角A的度数为________．10.科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度约为________ （精确到）.11.近几年房价迅速上涨，已知某小区年1月房价为每平方米元，经过两年连续涨价后，年1月房价为每平方米元.设该小区这两年房价平均增长率为，根据题意可列方程为________.12.一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在号板上的概率是________.13.将二次函数的图像向右平移个单位得到二次函数的表达式为________.14.一个圆锥的底面圆半径为2cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm.15.小明推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系为，则小明推铅球的成绩是________ .16.已知是方程的根，则代数式的值为________.17.如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为________.18.如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作⊙，为⊙上一动点，连接.以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为________.三、解答题（共10题；共94分）19.（1）解方程：；（2）计算：.20.已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2﹣3＝0（1）若此方程有实根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根.21.某校初三一班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：甲队 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10乙队 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9（1）写出甲队成绩的中位数和乙队成绩的众数；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是哪个队？22.临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：.享受美食，.交流谈心，.体育锻炼，.欣赏艺术.（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是________.（2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率.23.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF：DC＝1：4，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为10，求BG的长．24.根据扬州市某风景区的旅游信息，公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社元. 公司参加这次旅游的员工有多少人？扬州市某风景区旅游信息表旅游人数收费标准不超过人人均收费元超过人每增加人，人均收费降低元，但人均收费不低于元25.如图，在△中，，为斜边上的中点，连接，以为直径作⊙，分别与、交于点、.过点作⊥，垂足为点.（1）求证：为⊙的切线；（2）连接，若，，求的长.26.我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.类比直线与圆的位置关系，给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个公共点叫做直线与抛物线相交；直线与抛物线有唯一的公共点叫做直线与抛物线相切，这个公共点叫做切点；直线与抛物线没有公共点叫做直线与抛物线相离.（1）记一次函数的图像为直线，二次函数的图像为抛物线，若直线与抛物线相交，求的取值范围；（2）若二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点，直线l与CB平行，并且与该二次函数的图像相切，求切点P的坐标.27.如图，中，，，.点从点出发，沿着运动，速度为个单位/ ，在点运动的过程中，以为圆心的圆始终与斜边相切,设⊙的面积为，点的运动时间为（）（）.（1）当时，________；（用含的式子表示）（2）求与的函数表达式；（3）在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，直接写出t的值.28.如图①，二次函数的图像与轴交于、两点（点在的左侧），顶点为，连接并延长交轴于点，若.（1）求二次函数的表达式； （2）在 轴上方有一点 ，，且，连接并延长交抛物线于点，求点的坐标；（3）如图②，折叠△ ，使点落在线段上的点处，折痕为.若△有一条边与轴垂直，直接写出此时点的坐标.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解：x2=4x，x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，x=0，x﹣4=0，解得：x=0或4，故选C．【分析】移项后分解因式得出x（x﹣4）=0，推出方程x=0，x﹣4=0，求出即可．2.【答案】B【解析】【解答】解：∵OP=1，⊙O的半径为1，即d=r，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O上，故答案为：B【分析】根据点与圆的关系OP等于⊙O的半径，得到P与⊙O的位置关系是点P在⊙O上.3.【答案】A【解析】【解答】∵y=x2-2x+3=x2-2x+1-1+3=（x-1）2+2，∴抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是（1，2）．故答案为：A．【分析】将函数解析式通过配方转化为顶点式，就可得出此函数的顶点坐标。
江苏省扬州市江都区(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(基础题)知识点分类
江苏省扬州市江都区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．规律型：数字的变化类（共1小题）1．（2021秋•江都区期末）定义一种新的运算方式：∁n2＝（其中n≥2且n是整数），例如C32＝＝3，C52＝＝10．（1）若∁n2＝45，求n的值；（2）记∁n2＝y，当y≥153时，求n的取值范围．二．解一元二次方程-配方法（共1小题）2．（2020秋•江都区期末）（1）计算：（tan60°+1）2﹣8sin30℃os30°．（2）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．三．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）3．（2021秋•江都区期末）解方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）x2﹣4x+1＝0．4．（2022秋•江都区期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣4＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．四．抛物线与x轴的交点（共1小题）5．（2020秋•江都区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）直接写出这个函数的顶点坐标为 ，与x轴的交点坐标为 ；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象；（3）①写出一个此二次函数的性质 ；②当0≤x≤3时，y的取值范围是 ．五．二次函数的应用（共1小题）6．（2022秋•江都区期末）某商店销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月售出500kg，经市场调查，销售价每提高1元，月销售量就减少10kg．（1）当销售单价定为60元时，求月销售量和销售利润．（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到6750元，销售单价应定为多少元？（3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．六．切线的判定与性质（共1小题）7．（2021秋•江都区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝4，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．七．相似三角形的判定（共1小题）8．（2020秋•江都区期末）我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系．某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，且，则△ABC与△A'B'C'相似吗？并说明理由．八．相似三角形的判定与性质（共3小题）9．（2020秋•江都区期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．（1）求证：AB•CQ＝PB•PC；（2）当CQ最大时，求BP的长．10．（2021秋•江都区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）若BD＝9，AC＝6，求AD的长．11．（2022秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15．（1）求BC边上的高AD的长度；（2）正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上，求正方形EFGH 的边长．九．作图-相似变换（共1小题）12．（2022秋•江都区期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（3，8）、B （5，8）、C（6，7）．（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 ；△ABC外接圆的半径是 ；（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；（3）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为．一十．相似形综合题（共1小题）13．（2021秋•江都区期末）如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题：（1）以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1．（2）以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1．①画出△A1B2C1；②求点A的运动路径长．一十一．方差（共1小题）14．（2022秋•江都区期末）在党的二十大胜利召开之际，某中学举行“同声放歌心向党，携手欢庆二十大”歌唱大赛，向党的二十大献礼，八年级和九年级根据级部初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个年级各选出的5名选手的复赛成绩（单位：分）如下表：八年级80758510085九年级751007010080（1）八年级复赛成绩的中位数是 分，九年级复赛成绩的众数是 分；（2）计算两个年级复赛成绩的方差，并说明哪个年级的复赛成绩较稳定．一十二．列表法与树状图法（共1小题）15．（2022秋•江都区期末）为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有A、B、C、D四名同学报名参加．（1）若从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是 ；（2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中A、B两名同学参加活动的概率．江苏省扬州市江都区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．规律型：数字的变化类（共1小题）1．（2021秋•江都区期末）定义一种新的运算方式：∁n2＝（其中n≥2且n是整数），例如C32＝＝3，C52＝＝10．（1）若∁n2＝45，求n的值；（2）记∁n2＝y，当y≥153时，求n的取值范围．【答案】（1）n＝10；（2）n≥18．【解答】解：（1）∵∁n2＝，∴∁n2＝＝45，∴n＝10或n＝﹣9（舍）；（2）∵∁n2＝，∁n2＝y，∴＝y，∵y≥153，∴≥153，当n＝18时，＝153，∴n≥18．二．解一元二次方程-配方法（共1小题）2．（2020秋•江都区期末）（1）计算：（tan60°+1）2﹣8sin30℃os30°．（2）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．【答案】（1）4；（2），．【解答】解：（1）原式＝；（2）x2﹣4x＝3，x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，∴x﹣2＝±，∴，．三．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）3．（2021秋•江都区期末）解方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）x2﹣4x+1＝0．【答案】（1）x1＝0，x2＝2；（2）x1＝2+，x2＝2﹣．【解答】解：（1）x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2；（2）x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣．4．（2022秋•江都区期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣4＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．【答案】（1），；（2）x1＝﹣3，x2＝﹣4．【解答】解：（1）由原方程得：x2﹣4x＝4，得x2﹣4x+4＝4+4，得（x﹣2）2＝8，得，解得，，所以，原方程的解为，；（2）由原方程得：x（x+4）+3（x+4）＝0，得（x+4）（x+3）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣4，所以，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝﹣4．四．抛物线与x轴的交点（共1小题）5．（2020秋•江都区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）直接写出这个函数的顶点坐标为 （2，﹣1） ，与x轴的交点坐标为 （1，0），（3，0） ；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象；（3）①写出一个此二次函数的性质 x＞2时，y随x的增大而增大 ；②当0≤x≤3时，y的取值范围是 ﹣1≤y≤3 ．【答案】（1）（2，﹣1）；（1，0），（3，0）；（2）见解答；（3）x＞2时，y随x的增大而增大；﹣1≤y≤3．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；故答案为（2，﹣1）；（1，0），（3，0）；（2）当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），如图，（3）①x＞2时，y随x的增大而增大；②当0≤x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为x＞2时，y随x的增大而增大；﹣1≤y≤3．五．二次函数的应用（共1小题）6．（2022秋•江都区期末）某商店销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月售出500kg，经市场调查，销售价每提高1元，月销售量就减少10kg．（1）当销售单价定为60元时，求月销售量和销售利润．（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到6750元，销售单价应定为多少元？（3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）月销售量为400kg；销售利润为8000元；（2）销售单价应定为85元；（3）当售价定为70元时，会获得最大利润9000元．【解答】解：（1）由题意得，当销售单价定为60元时，月销售量为500﹣（60﹣50）×10＝400（kg），∴销售利润为400×（60﹣40）＝8000（元）；（2）设销售单价定为x元，根据题意得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝6750，解得：x1＝55，x2＝85，当x＝55时，销售成本为40×[500﹣10×（55﹣50）]＝18000＞10000，不合题意，舍去；当x＝85时，销售成本为40×[500﹣10×（85﹣50）]＝6000＜10000，符合题意；答：销售单价应定为85元；（3）设销售单价定为x元，月利润为y元，根据题意得：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，当x＝70时，y最大＝9000；答：当售价定为70元时，会获得最大利润9000元．六．切线的判定与性质（共1小题）7．（2021秋•江都区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝4，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）证明过程见解答；（2）S阴影＝8﹣．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DCA+∠OCA＝∠DAC+∠OAC，∴∠OCD＝∠OAD，∵直线l与⊙O相切于点A，∴直线l⊥OA，∴∠OCD＝∠OAD＝90°，∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，∴直线DC是⊙O的切线.（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝2×30°＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OC＝BC＝4，∵∠OCE＝90°，∠COE＝60°，∴∠E＝30°，∴OE＝2OC＝2×4＝8，∴CE＝＝＝4，∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COB＝×4×4﹣×π×42＝8﹣．七．相似三角形的判定（共1小题）8．（2020秋•江都区期末）我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系．某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，且，则△ABC与△A'B'C'相似吗？并说明理由．【答案】见解析．【解答】解：相似，理由：令，则AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，由勾股定理得：＝，∴，∴，∴△ABC∽△A'B'C'．八．相似三角形的判定与性质（共3小题）9．（2020秋•江都区期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．（1）求证：AB•CQ＝PB•PC；（2）当CQ最大时，求BP的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2）BP＝1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠QPC，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴AB•CQ＝PB•PC；（2）解：设BP＝x，CQ＝y，由（1）得2y＝x（2﹣x），∴，∵，开口向下，对称轴是直线x＝1，且x的范围是0≤x≤2，∴当x＝1时，y有最大值为，即当CQ最大时，BP＝1．10．（2021秋•江都区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）若BD＝9，AC＝6，求AD的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）3．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠ADC，∠ACD+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AC2＝AB•AD；（2）解：∵AC2＝AB•AD，BD＝9，AC＝6，∴36＝（AD+9）•AD，解得：AD1＝3，AD2＝﹣12（舍去），则AD的长为3．11．（2022秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15．（1）求BC边上的高AD的长度；（2）正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上，求正方形EFGH 的边长．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，AC＝9，BC＝15，∴，∵，∴；（2）解：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，如图，设AD与EH交于点M，∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴，得，解得，∴正方形EFGH的边长为．九．作图-相似变换（共1小题）12．（2022秋•江都区期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（3，8）、B （5，8）、C（6，7）．（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 （4，6） ；△ABC外接圆的半径是 ；（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 （4，6） ；（3）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为．【答案】（1）（4，6）；；（2）（4，6）；（3）见解析．【解答】（1）解：如图，根据网格的特点分别作AB，BC的垂直平分线，交于点G，连接AG，根据网格的特点可得圆心G（4，6）；∴半径，故答案为：（4，6）；；（2）解：如图，连接BE，AD，交于点M，即位似中心，根据网格的特点可知M（4，6）故答案为：（4，6）；（3）解：∵，∵△A1B1C1∽△ABC，且相似比为．∴根据网格的特点作出△A1B1C1，如图，∴△A1B1C1即为所求作的三角形．一十．相似形综合题（共1小题）13．（2021秋•江都区期末）如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题：（1）以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1．（2）以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1．①画出△A1B2C1；②求点A的运动路径长．【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求；（2）①如图所示，△A1B2C1即为所求；②由图形可知，AC1＝＝2，∴点A的运动路径为＝＝π．一十一．方差（共1小题）14．（2022秋•江都区期末）在党的二十大胜利召开之际，某中学举行“同声放歌心向党，携手欢庆二十大”歌唱大赛，向党的二十大献礼，八年级和九年级根据级部初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个年级各选出的5名选手的复赛成绩（单位：分）如下表：八年级80758510085九年级751007010080（1）八年级复赛成绩的中位数是 85 分，九年级复赛成绩的众数是 100 分；（2）计算两个年级复赛成绩的方差，并说明哪个年级的复赛成绩较稳定．【答案】（1）85；100；（2），，八年级的复赛成绩较稳定．【解答】解：（1）把八年级成绩从小到大排列为：75，80，85，85，100，处在最中间的为85，∴八年级复赛成绩的中位数是85分；∵九年级复赛成绩中100分出现了两次，出现的次数最多，∴九年级复赛成绩的众数是100分，故答案为：85；100；（2）八年级复赛成绩的平均成绩为分，∴八年级复赛成绩的方差为；九年级复赛成绩的平均成绩为分，∴九年级复赛成绩的方差为；∵160＞70，即，∴八年级的复赛成绩较稳定．一十二．列表法与树状图法（共1小题）15．（2022秋•江都区期末）为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有A、B、C、D四名同学报名参加．（1）若从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是 ；（2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中A、B两名同学参加活动的概率．【答案】（1）；（2）表格见解析，．【解答】解：（1）∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同，∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是，故答案为：．（2）列表如下：A B C DA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数有2种，∴恰好选中A、B两名同学参加活动的概率＝．。
2019-2020学年江苏省扬州市江都区八校联考等九年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省扬州市江都区八校联考等九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共24分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是( )A ．212x x -=B ．2(1)1x x x -=+C ．25620x y --=D ．(1)0x x -=2．（3分）下列说法错误的是( )A ． 直径是圆中最长的弦B ． 长度相等的两条弧是等弧C ． 面积相等的两个圆是等圆D ． 半径相等的两个半圆是等弧 3．（3分）数据3，1，5，3，4的众数为( )A ．3B ．2.5C ．4D ．54．（3分）在一个不透明的布袋中装有2个白球和4个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．235．（3分）已知O 的半径是6，圆心O 到直线l 的距离是3，则直线l 与O 的位置关系是()A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法确定6．（3分）ABC ∆为O 的内接三角形，若160AOC ∠=︒，则ABC ∠的度数是( )A ．80︒B ．160︒C ．80︒或20︒D ．80︒或100︒7．（3分）有一个边长为50cm 的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为( )A ．50cmB ．252cmC ．502cmD ．503cm8．（3分）如图，O 内切于四边形ABCD ，10AB =，7BC =，8CD =，则AD 的长度为( )A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题：（每题3分，共30分）9．（3分）一元二次方程220x x-=的解为．10．（3分）若一组数据1、3-、5、2，则这组数据的极差为．11．（3分）某药品原价每盒50元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒32元，则该药品平均每次降价的百分率是．12．（3分）已知方程220x kx++=有两个相等的实数根，则k=．13．（3分）如图，O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是．14．（3分）如图，在ABC∆中，5AB=，3BC=，4AC=，以点C为圆心的圆与AB相切，则C的半径为．15．（3分）已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120︒，则此扇形的弧长为cm．16．（3分）如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，2CA CB==，分别以A，B，C为圆心，以1为半径画弧，三条弧与AB所围成的阴影部分的面积是．17．（3分）反比例函数kyx=的图象经过点(,)P a b，其中a、b是一元二次方程240x kx++=的两根，那么点P的坐标是．18．（3分）已知：如图，在Rt ABC∆中，2BC AC==，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的O交BM于N，则线段AN的最小值为．三、解答题：（本大题共10小题，共96分）19．（8分）解下列方程：（1）2430x x-+=（2）(3)26x x x+=+20．（8分）先化简，再求值：2211()1121x xx x x x--÷-+-+，其中x是方程230x x+-=的根．21．（8分）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下：甲8588848583乙8387848685（1）请你分别计算这两组数据的平均数；（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．22．（8分）游客到某景区旅游，经过景区检票口时，共有3个检票通道A、B、C，游客可随机选择其中的一个通过．（1）一名游客经过此检票口时，选择A通道通过的概率是；（2）两名游客经过此检票口时，求他们选择不同通道通过的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）23．（10分）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D坐标为；（2）连接AD、CD，则D的半径为（结果保留根号），ADC∠的度数为；（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为．（结果保留根号）．24．（10分）已知关于x的一元二次方程2(2)20mx m x-++=．（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．25．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多销售2件．（1）商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）问在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能，请说明理由．26．（10分）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，BAC∠的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心、OA长为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若2OA=，30B∠=︒，求涂色部分的面积（结果保留π和根号）．27．（12分）如果关于x的一元二次方程20ax bx c++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，（1）方程220x x--=（填“是”或“不是”)倍根方程；（2）若(2)()0x mx n-+=是倍根方程，则求代数式2245m mn n++值；（3）若点(,)p q在反比例函数2yx=的图象上，则关于x的方程230px x q++=是倍根方程吗？28．（12分）阅读理解：如果两个正数a ，b ，即0a >，0b >，有下面的不等式：2a b ab +，当且仅当a b =时取到等号我们把2a b +叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具． 初步探究：（1）已知0x >，求函数4y x x=+的最小值． 问题迁移：（2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏为成一个面积为2100m 的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？创新应用：（3）如图，在直角坐标系中，直线AB 经点(3,4)P ，与坐标轴正半轴相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积最小时，求AOB ∆的内切圆的半径．2019-2020学年江苏省扬州市江都区八校联考等九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共24分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是( )A ．212x x -=B ．2(1)1x x x -=+C ．25620x y --=D ．(1)0x x -=【分析】根据一元二次方程的定义，依次分析各个选项．【解答】解：A ．分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义，A 项错误，B ．整理得：1x -=，属于一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，B 项错误，C ．含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，C 项错误，D ．符合一元二次方程的定义，D 项正确，故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．（3分）下列说法错误的是( )A ． 直径是圆中最长的弦B ． 长度相等的两条弧是等弧C ． 面积相等的两个圆是等圆D ． 半径相等的两个半圆是等弧 【分析】根据直径的定义对A 进行判断；根据等弧的定义对B 进行判断；根据等圆的定义对C 进行判断；根据半圆和等弧的定义对D 进行判断 ．【解答】解：A 、直径是圆中最长的弦， 所以A 选项的说法正确；B 、在同圆或等圆中， 长度相等的两条弧是等弧， 所以B 选项的说法错误；C 、面积相等的两个圆的半径相等， 则它们是等圆， 所以C 选项的说法正确；D 、半径相等的两个半圆是等弧， 所以D 选项的说法正确 ．故选：B ．【点评】本题考查了圆的认识： 掌握与圆有关的概念 （弦 、直径、 半径、 弧、半圆、 优弧、 劣弧、 等圆、 等弧等） ．3．（3分）数据3，1，5，3，4的众数为( )A ．3B ．2.5C ．4D ．5【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．【解答】解：因为3出现的次数最多，出现了2次，所以众数是3；故选：A．【点评】主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．4．（3分）在一个不透明的布袋中装有2个白球和4个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是()A．14B．13C．12D．23【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：根据题意可得：一个不透明的布袋中装有2个白球和4个红球，共6个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率42 63 =，故选：D．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）mn =．5．（3分）已知O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与O的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．无法确定【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．【解答】解：O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，63>，∴直线l与O相交．故选：B．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d r<时直线l和O相交是解答此题的关键．6．（3分）ABC∆为O的内接三角形，若160AOC∠=︒，则ABC∠的度数是() A．80︒B．160︒C．80︒或20︒D．80︒或100︒【分析】根据圆周角性质，圆内接四边形，可得答案．【解答】解：如图， 111608022ABC AOC ∠=∠=⨯︒=︒， 180ABC AB C ∠+∠'=︒，100AB C ∠'=︒，综上所述，ABC ∠的度数是80︒或100︒，故选：D ．【点评】本题考查了圆周角定理，利用圆周角定理是解题关键．7．（3分）有一个边长为50cm 的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为( )A ．50cmB ．252cmC ．502cmD ．503cm【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为50cm ，进而由勾股定理可得答案．【解答】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为：225050502+=．故选：C ．【点评】本题主要考查正多边形和圆的相关知识；注意：熟记等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍，可以给解决此题带来方便．8．（3分）如图，O 内切于四边形ABCD ，10AB =，7BC =，8CD =，则AD 的长度为( )A ．8B ．9C ．10D ．11【分析】根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD 的长．【解答】解：O 内切于四边形ABCD ，AD BC AB CD ∴+=+，10AB =，7BC =，8CD =，7108AD ∴+=+，解得：11AD =．故选：D ．【点评】此题主要考查了圆外切四边形的性质，得出对边和直接关系是解题关键．二、填空题：（每题3分，共30分）9．（3分）一元二次方程220x x -=的解为 10x =，22x = ．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：(2)0x x -=，可得0x =或20x -=，解得：10x =，22x =．故答案为：10x =，22x =【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（3分）若一组数据1、3-、5、2，则这组数据的极差为 8 ．【分析】根据极差的定义即可求得．【解答】解：这组数据的极差为5(3)8--=；故答案为：8．【点评】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．11．（3分）某药品原价每盒50元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒32元，则该药品平均每次降价的百分率是 20% ．【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x ，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x ，依题意，得：250(1)32x -=，解得：10.220%x ==，2 1.8x =（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（3分）已知方程220x kx ++=有两个相等的实数根，则k = 22± ．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△24120k =-⨯⨯=，22k ∴=±，故答案为：22±【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．13．（3分）如图，O 的直径为10，弦AB 长为8，点P 在AB 上运动，则OP 的最小值是 3 ．【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP AB ⊥时，OP 的值最小．连接OA ，在直角三角形OAP 中由勾股定理即可求得OP 的长度．【解答】解：当OP AB ⊥时，OP 的值最小，则142AP BP AB '='==， 如图所示，连接OA ，在Rt OAP ∆'中，4AP '=，5OA =，则根据勾股定理知3OP '=，即OP 的最小值为3．【点评】本题主要考查了勾股定理、垂径定理．注意两点之间，垂线段最短是解答此题的关键．14．（3分）如图，在ABC ∆中，5AB =，3BC =，4AC =，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则C 的半径为 2.4 ．【分析】设切点为D ，连接CD ，由AB 是C 的切线，即可得CD AB ⊥，又由在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，根据勾股定理求得AB 的长，然后由1122ABC S AC BC AB CD ∆==，即可求得以C 为圆心与AB 相切的圆的半径的长． 【解答】解：在ABC ∆中， 5AB =，3BC =，4AC =，222222345AC BC AB ∴+=+==， 90C ∴∠=︒，如图：设切点为D ，连接CD ，AB 是C 的切线，CD AB ∴⊥， 1122ABC S AC BC AB CD ∆==， AC BC AB CD ∴=，即342.45AC BC CD AB ⨯===， C ∴的半径为2.4，故答案为：2.4【点评】此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．15．（3分）已知扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为120︒，则此扇形的弧长为 4π cm ．【分析】在半径是R 的圆中，因为360︒的圆心角所对的弧长就等于圆周长2C R π=，所以n ︒圆心角所对的弧长为180l n R π=÷．【解答】解：扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为120︒，∴扇形的弧长为：12064180cm ππ=； 故答案为：4π．【点评】本题考查了弧长的计算．解答该题需熟记弧长的公式180n rl π=． 16．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2CA CB ==，分别以A ，B ，C 为圆心，以1为半径画弧，三条弧与AB 所围成的阴影部分的面积是 22π-．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到45A B ∠=∠=︒，根据扇形的面积的面积公式求得三个扇形的面积，于是得到阴影部分的面积ABC =∆的面积-三个扇形的面积． 【解答】解：90C ∠=︒，2CA CB ==， 45A B ∴∠=∠=︒，∴三条弧所组成的三个扇形的面积为2229014514513603603602ππππ⨯⨯⨯++=，ABC ∆的面积为12222⨯⨯=，∴阴影部分的面积22π=-，故答案为：22π-．【点评】本题考查了扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键．17．（3分）反比例函数ky x=的图象经过点(,)P a b ，其中a 、b 是一元二次方程240x kx ++=的两根，那么点P 的坐标是 (2,2)-- ． 【分析】先根据点(,)P a b 是反比例函数ky x=的图象上的点，把点P 的坐标代入解析式，得到关于a 、b 、k 的等式ab k =；又因为a 、b 是一元二次方程240x kx ++=的两根，得到a b k +=-，4ab =，根据以上关系式求出a 、b 的值即可．【解答】解：把点(,)P a b代入kyx=得，ab k=，因为a、b是一元二次方程240x kx++=的两根，根据根与系数的关系得：a b k+=-，4ab=，于是有：44a bab+=-⎧⎨=⎩，解得22ab=-⎧⎨=-⎩，点P的坐标是(2,2)--．【点评】此题考查了函数和方程的关系及图象上点的坐标和函数解析式的关系，综合性较强，是一道好题．18．（3分）已知：如图，在Rt ABC∆中，2BC AC==，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的O交BM于N，则线段AN的最小值为51-．【分析】如图1，连接CN，根据CM是O的直径，得到90CNM∠=︒，根据邻补角的定义得到90CNB∠=︒，根据圆周角定理得到点N在以BC为直径的O'上，推出当点O'、N、A共线时，AN最小，如图2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图1，连接CN，CM是O的直径，90CNM∴∠=︒，90CNB∴∠=︒，∴点N在以BC为直径的O'上，O'的半径为1，∴当点O'、N、A共线时，AN最小，如图2，在Rt△AO C'中，1O C'=，2AC=，225O A O C AC∴'='+51AN AO O N∴='-'=，即线段AN51．故答案为51-．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．解决本题的关键是确定N点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．三、解答题：（本大题共10小题，共96分）19．（8分）解下列方程：（1）2430x x-+=（2）(3)26x x x+=+【分析】（1）利用十字相乘法分解左边，然后可得一元一次方程30x-=，10x-=，再解即可；（2）首先把右边化为0，再提公因式3x+，进而达到分解的目的，然后可得30x+=，20x-=，再解即可．【解答】解：（1）(3)(1)0x x--=，则30x-=，10x-=，11x∴=，23x=；（2）(3)(26)0x x x+-+=，(3)2(3)0x x x+-+=，(3)(2)0x x+-=，则30x+=，20x-=，12x ∴=，23x =-．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．20．（8分）先化简，再求值：2211()1121x x x x x x --÷-+-+，其中x 是方程230x x +-=的根． 【分析】直接利用已知得出(1)3x x +=，再利用分式的混合运算法则进而计算得出答案． 【解答】解：230x x +-=，23x x ∴+=， (1)3x x ∴+=，∴原式22(1)(1)(1)(1)x x x x x -=÷-+- 21(1)(1)x x x x -=-+2(1)x x =+23=． 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．（8分）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下：（1）请你分别计算这两组数据的平均数；（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．【分析】（1）根据平均数的概念列式计算即可得解；（2）求出两人测试成绩的方差，然后根据方差越小越稳定选择合适人选． 【解答】解：（1）甲平均数：11(8588848583)4258555⨯++++=⨯=，乙平均数：11(8387848685)4258555⨯++++=⨯=；（2）选派乙工人参加合适．理由如下：(2222221[(8585)(8885)(8485)(8585)8385)5S ⎤=⨯-+-+-+-+-⎦甲， 1(09104)5=⨯++++， 2.8=，(2222221[(8385)(8785)(8485)(8685)8585)5S ⎤=⨯-+-+-+-+-⎦乙， 1(44110)5=⨯++++， 2=，2.82>，22S S ∴>乙甲，∴乙成绩更稳定， ∴选派乙工人参加合适．【点评】本题考查了算术平均数，方差，平均数表示一组数据的平均程度，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．22．（8分）游客到某景区旅游，经过景区检票口时，共有3个检票通道A 、B 、C ，游客可随机选择其中的一个通过．（1）一名游客经过此检票口时，选择A 通道通过的概率是13； （2）两名游客经过此检票口时，求他们选择不同通道通过的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）通过列表展示所有9种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）一名游客经过此检票口时，选择A 通道通过的概率13=；故答案为13；（2）列表如下：B(,)B A (,)B B (,)B C C(,)C A(,)C B(,)C A共有9种等可能结果，其中通道不同的结果为6种， 所以他们选择不同通道通过的概率6293P ==． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 23．（10分）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，请在网格图中进行下列操作：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出点D 坐标为 (1,0)- ； （2）连接AD 、CD ，则D 的半径为 （结果保留根号），ADC ∠的度数为 ； （3）若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 ．（结果保留根号）．【分析】（1）根据线段垂直平分线性质找出D 即可；（2）根据勾股定理即可求出CD ，证CED DOA ∆≅∆，根据全等三角形的性质求出COE OAD ∠=∠，根据三角形内角和定理即可求出ADC ∠；（3）根据弧长公式求出弧长，根据圆的周长公式求出即可． 【解答】解：（1）如图：D 的坐标为(1,0)-，故答案为：(1,0)-；（2）如图：设小正方形的边长为1，由勾股定理得：224117CD =+， 在CED ∆和DOA ∆中 90CE DO CEO DOA OE OA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩CED DOA ∴∆≅∆， COE OAD ∴∠=∠， 90AOD ∠=︒， 90OAD ADO ∴∠+∠=︒，180()180()1809090ADC CDE ADO OAD ADO ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，1790︒；（3）AC 901717π⨯==，设圆锥底面半径为r ， 则172r π=， 解得：17r = 17． 【点评】此题主要考查了弧长公式，勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理进行推理和计算是解此题的关键．24．（10分）已知关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x -++=． （Ⅰ）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根．（Ⅱ）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【分析】（Ⅰ）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（Ⅱ）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值． 【解答】（Ⅰ）证明：△2(2)8m m =+-244m m =-+2(2)m =-，不论m 为不为0的何值时，2(2)0m -，∴△0，∴方程总有实数根；（Ⅱ）解方程得，2(2)2m m x m+±-=，12x m=，21x =， 方程有两个不相等的正整数根，1m ∴=或2，2m =不合题意， 1m ∴=．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△0>⇔方程有两个不相等的实数根；△0=⇔方程有两个相等的实数根；△0<⇔方程没有实数根是解题的关键．25．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多销售2件．（1）商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）问在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能，请说明理由．【分析】（1）设每件衬衫应降价x 元，则每件盈利(40)x -元，每天可以售出(202)x +，所以此时商场平均每天要盈利(40)(202)x x -+元，根据商场平均每天要盈利1200=元，为等量关系列出方程求解即可．（2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利1500=元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能．【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40)x-元，每天可以售出(202)x+，由题意，得(40)(202)1200x x-+=，即：(10)(20)0x x--=，解得110x=，220x=，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，所以，若商场平均每天要盈利120O元，每件衬衫应降价20元；（2）假设能达到，由题意，得(40)(202)1500x x-+=，整理，得2303500x x-+=，△230213505000=-⨯⨯=-<，即：该方程无解，所以，商场平均每天盈利不能达到1500元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点是“根的判别式”的应用．26．（10分）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，BAC∠的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心、OA长为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若2OA=，30B∠=︒，求涂色部分的面积（结果保留π和根号）．【分析】（1）连接OD，证明//OD AC，即可证得90ODB∠=︒，从而证得BC是圆的切线；（2）根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）BC与O相切．证明：连接OD．AD是BAC∠的平分线，BAD CAD ∴∠=∠．又OD OA =，OAD ODA ∴∠=∠．CAD ODA ∴∠=∠．//OD AC ∴．90ODB C ∴∠=∠=︒，即OD BC ⊥．又BC 过半径OD 的外端点D ，BC ∴与O 相切；（2）解：OA OD =，2OA =，2OD ∴=，在Rt ABC ∆中，230OD B =∠=︒，460OB ODB ∴=∠=︒， 由勾股定理得：23BD =1232OBD S OD BD ∆∴==260223603ODF S ππ⋅⨯==扇形， ∴涂色部分的面积2233π=-．【点评】本题考查了切线的判定，扇形面积，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．27．（12分）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，（1）方程220x x --= 不是 （填“是”或“不是” )倍根方程；（2）若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则求代数式2245m mn n ++值；（3）若点(,)p q 在反比例函数2y x=的图象上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程吗？【分析】（1）解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；（2）根据(2)()0x mx n -+=是倍根方程，从而得到0m n +=，40m n +=，进而得到2245(4)()0m mn n m n m n ++=++=；（3）根据点(,)p q 在反比例函数y =的图象上得到2pq =，然后解方程230px x q ++=即可得到正确的结论．【解答】解：（1）解方程220x x --=得：12x =，21x =-，∴方程220x x --=不是倍根方程，故答案为：不是；（2）(2)()0x mx n -+=是倍根方程，且12x =，2n x m =-， ∴1n m=-，或4n m =-， 0m n ∴+=，40m n +=，2245(4)()0m mn n m n m n ++=++=；（3）关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程，理由如下：点(,)p q 在反比例函数2y x=的图象上， 2pq ∴=， 解方程230px x q ++=得：11x p =-，22x p=-， 212x x ∴=， ∴关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．28．（12分）阅读理解：如果两个正数a ，b ，即0a >，0b >，有下面的不等式：2a b ab +，当且仅当a b =时取到等号我们把2a b +叫做正数a ，b 的算术平均数，a ，b 的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具． 初步探究：（1）已知0x >，求函数4y x x=+的最小值． 问题迁移：（2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏为成一个面积为2100m 的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？创新应用：（3）如图，在直角坐标系中，直线AB 经点(3,4)P ，与坐标轴正半轴相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积最小时，求AOB ∆的内切圆的半径．【分析】（1）根据0x >，令a x =，4b x=，利用题中的新定义求出函数的最小值即可； （2）设一直角边为xm ，则另一直角边为200m x ，栅栏总长为ym ，根据题意表示出y 与x 的函数关系式，利用题中的新定义求出y 取得最小值时x 的值即可；（3）设直线AB 解析式为y kx b =+，把P 坐标代入用k 表示出b ，进而表示出A 与B 坐标，确定出OA 与OB 的长，得出三角形AOB 面积，利用题中的新定义求出三角形AOB 面积最小时k 的值，确定出直角三角形三边，即可求出三角形AOB 内切圆半径．【解答】解：（1）令a x =，4(0)b x x=>， 由2a b ab +，得4424y x x x x =+=， 当且仅当4x x=时，即2x =时，函数有最小值，最小值为4； （2）设一直角边为xm ，则另一直角边为200m x ，栅栏总长为ym ， 20020022y x x x x=+= 当且仅当200x x=时，即102x m =时，y 有最小值，即所用栅栏最短； （3）设直线AB 的解析式是y kx b =+，把(3,4)P 代入得：43k b =+，整理得：43b k =-，∴直线AB 的解析式是43y kx k =+-，当0x =时，43y k =-；当0y =时，34k x k-=，即(0,43)A k -，34(k B k-，0)， 113498(43)12()222AOB k S OB OA k k k k∆-∴==-=-+， 要使AOB ∆的面积最小，∴982k k+必须最大， 0k <，0k ∴->，98982261222k k k k ---=⨯=-，当且仅当982k k-=-时，取等号， 解得：43k =±， 0k <，43k ∴=-， 即438OA k =-=，6OB =，根据勾股定理得：10AB =，设三角形AOB 的内切圆的半径是R ，由三角形面积公式得：11116868102222R R R ⨯⨯=⨯+⨯+⨯， 解得：2R =．【点评】此题属于圆的综合题，弄清题中新定义“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”是解本题的关键．。
2019-2020学年江苏省扬州市江都区十校联考九年级(上)第二次质检数学试卷解析版
2019-2020学年江苏省扬州市江都区十校联考九年级（上）第二次质检数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1D．y＝x2+2．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是（）A．﹣2B．﹣3C．2D．33．（3分）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＞6B．r≥6C．r＜6D．r≤64．（3分）一只不透明的袋子中装有5个黑球4个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）二次函数y＝x2﹣mx+3，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为（）A．8B．0C．3D．﹣86．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．32x+2×20x﹣2x2＝570B．32x+2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝5707．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交于点A、B，与y轴负半轴交于点C，且方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和3．在下面结论中：①abc＞0；②a+b+c＜0；③c+3a＝0；④若点M（，m）在此抛物线上，则m小于c．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心作⊙O交x轴正半轴于A，P为⊙O上的动点（点P不在坐标轴上），过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴于点C、D，B为CD中点，连接AB，则∠BAO的最大值是（）A．15°B．30°C．45°D．60°二．填空题：（每题3分，共30分）9．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为．10．（3分）某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是．11．（3分）函数的图象是抛物线，则m＝．12．（3分）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是．13．（3分）若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为．14．（3分）点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝x2﹣2x上，则y1，y2，y3的大小关系是．（用“＜”连接）15．（3分）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为．16．（3分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为．17．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝．18．（3分）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC ⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为．三、解答题（共10题，共96分）19．（8分）解方程（1）x2﹣2x﹣2＝0（2）（x﹣2）2＝3x﹣620．（8分）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是环，乙命中环数的众数是环；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会．（填“变大”、“变小”或“不变”）21．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．22．（8分）在一个不透明的袋子中装有白色、黄色和蓝色三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，蓝球有1个．现从中任意摸出一个小球是白球的概率是．（1）袋子中黄色小球有个；（2）如果第一次任意摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用画树状图或列表格的方法求两次都摸出白球的概率．23．（10分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）求在旋转过程中点B所经过的路径长；（3）求在旋转过程中线段AB扫过的图形的面积．24．（10分）水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？25．（10分）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1，和y2＝x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．26．（10分）已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）若⊙O的半径为5，AB＝12，求DE的长．27．（12分）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BDP的周长最短？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）求出△ABC外接圆心M的坐标．28．（12分）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为；（2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y＝x+b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；（3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y＝﹣上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．2019-2020学年江苏省扬州市江都区十校联考九年级（上）第二次质检数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A错误；B、y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，故B错误；C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；D、y＝x2+不是二次函数，故D错误；故选：C．2．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，∴x1x2＝＝＝﹣3．故选：B．3．【解答】解：∵点A在半径为r的⊙O内，∴OA小于r而OA＝6，∴r＞6．故选：A．4．【解答】解：∵一只不透明的袋子中装有5个黑球4个白球，这些球除颜色外都相同，∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为：＝；故选：D．5．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+3，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，∴对称轴为x＝﹣2，∴y＝（x+2）2﹣1即y＝x2+4x+3，∴m＝﹣4，∴二次函数y＝x2+4x+3，当x＝1时，y＝1+4+3＝8．故选：A．6．【解答】解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．故选：D．7．【解答】解：①∵方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和3，∴图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴对称轴x＝﹣＝1，∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∴b＜0∵抛物线交于y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0．故选项正确；②∵对称轴x＝1，∴由图象可知当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0．故选项正确；③∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象于x的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故选项正确；④∵对称轴x＝1，∴C（0，c）与对称轴的距离为1，∵点M（，m），∴﹣1＜1，∴M与对称轴的距离小于1，∵抛物线的开口方向向上，∴m小于c．故选项正确；故选：D．8．【解答】解：∵B为CD中点，四边形OCPD为矩形，∴点B为对角线CD、OP交点，即点B为OP中点，连接OP，由题意可知，当BA⊥OP时∠BAO最大，设半径为2a，则OB＝a，OA＝2a，在Rt△ABO中，sin∠BAO＝，∠BAO＝30°．故选：B．二．填空题：（每题3分，共30分）9．【解答】解：顶点坐标是（1，3）．10．【解答】解：由加权平均数的公式可知＝＝86，故答案为86．11．【解答】解：根据二次函数的定义，m2+1＝2且m﹣1≠0，解得m＝±1且m≠1，所以，m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．【解答】解：连OD，OE，OF，如图，设半径为r．则OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，CD＝r．∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∴AE＝AF＝4﹣r，BF＝BD＝3﹣r，∴4﹣r+3﹣r＝5，∴r＝1．故填1．13．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的点的坐标为（2，3），所以平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+3．故答案为：y＝（x﹣2）2+3．14．【解答】解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝1，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∵点（﹣3，y1）关于直线x＝1的对称点是（5，y1），2＜3＜5，∴y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．15．【解答】解：由图可知，OA＝OB＝，而AB＝4，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠O＝90°，OB＝＝2；则弧AB的长为＝＝π，设底面半径为r，则2πr＝π，r＝（cm）．这个圆锥的底面半径为cm．故答案为：cm16．【解答】解：连接AC，BC，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴点D的坐标为（0，﹣3），∴OD的长为3，设y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0）∴AO＝1，BO＝3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∵CO⊥AB，∴CO2＝AO•BO＝3，∴CO＝，∴CD＝CO+OD＝3+，故答案为：3+．17．【解答】解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．故答案为：2．18．【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB＝＝5，∴BA′＝＝，∵AC＝CA′，DE＝EA，∴EC＝DA′，∵DA′≤BD+BA′，∴DA′≤5+，∴DA′的最大值为5+，∴EC的最大值为，故答案为．三、解答题（共10题，共96分）19．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0x2﹣2x＝2x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6，（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0∴x1＝2，x2＝5．20．【解答】解：（1）把甲命中环数从小到大排列为7，8，8，8，9，最中间的数是8，则中位数是8；在乙命中环数中，6和9都出现了2次，出现的次数最多，则乙命中环数的众数是6和9；故答案为：8，6和9；（2）甲的平均数是：（7+8+8+8+9）÷5＝8，则甲的方差是：[（7﹣8）2+3（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，乙的平均数是：（6+6+9+9+10）÷5＝8，则乙的方差是：[2（6﹣8）2+2（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2.8，所以甲的成绩比较稳定；（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．故答案为：变小．21．【解答】（1）证明：∵方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，∴△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝m2+4m+4﹣8m+4＝m2﹣4m+4+4＝（m﹣2）2+4＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：把x＝1代入方程可得1﹣（m+2）+2m﹣1＝0，解得m＝2，∴方程为x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，∴方程的另一根为x＝3，当边长为1和3的线段为直角三角形的直角边时，则斜边＝＝，此时直角三角形的周长＝4+，当边长为3的直角三角形斜边时，则另一直角边＝＝2，此时直角三角形的周长＝4+2，综上可知直角三角形的周长为4+或4+2．22．【解答】解：（1）黄球个数＝2÷﹣2﹣1＝1；（2）共有12种情况，两次都摸出白球的情况有2种，所以概率是．23．【解答】解：（1）△A1OB1如图所示；（2）由勾股定理得，BO＝，所以，点B所经过的路径长＝＝π；（3）由勾股定理得，OA＝＝，∴AB所扫过的面积＝S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB＝S扇形A1OA﹣S扇形B1OB＝﹣＝π﹣π＝．24．【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是150+×30＝150+300x（斤）；（2）根据题意得：（6﹣4﹣x）（150+300x）＝450，解得：x＝或x＝1，当x＝时，销售量是150+300×＝300＜360；当x＝1时，销售量是150+300＝450（斤）．∵每天至少售出360斤，∴x＝1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．25．【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，当a＝2，h＝3，k＝4时，二次函数的关系式为y＝2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a＝3，h＝3，k＝4时，二次函数的关系式为y＝3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y＝2（x﹣3）2+4与y＝3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y＝2（x﹣3）2+4与y＝3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y＝2（x﹣3）2+4与y＝3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1＝1．整理得：m2﹣2m+1＝0．解得：m1＝m2＝1．∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+x2+bx+c＝3x2+（b﹣4）x+（c+3），∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2＝3（x﹣1）2+1＝3x2﹣6x+4，∴函数y2的表达式为：y2＝x2﹣2x+1．∴y2＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴函数y2的图象的对称轴为x＝1．∵1＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2的取值范围为0≤y2≤4．26．【解答】（1）证明：连结CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．（3）解：∵AB＝12，BD＝AD，∴AD＝6，∵CA＝CB＝10，在Rt△ADC中，DC＝＝8，∵DE⊥AC，∴•AD•CD＝•AC•DE，∴DE＝＝．27．【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝3，∴A（﹣2，0），C（0，3），将点A与C代入y＝﹣+bx+c，∴c＝3，b＝，∴y＝﹣+x+3；（2）∵函数的对称轴为x＝，∴D（2，2）关于对称轴的对称点为D'（﹣1，2），连接D'B与对称轴交于点P即为所求点；∵DP＝D'P，∴DP+PB+BD＝D'P+PB+BD＝D'B+BD，易求B（3，0），∵直线BD'的解析式为y＝﹣x+，∴P（，），∴当P（，）时△BDP的周长最短；（3）∵BO＝CO＝3，∴BC的垂直平分线过BC的中点，∴BC的垂直平分线解析式为y＝x，∵AB的垂直平分线是x＝，AB与BC垂直平分线的交点即为△ABC外接圆心M，∴M（，）．28．【解答】解：（1）由勾股定理，得AB＝5，点A，B的“确定圆”的面积为52π＝25π，故答案为：25π；（2）∵直线y＝x+b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，∴⊙A的半径AB＝3且直线y＝x+b与⊙A相切于点B，如图，∴AB⊥CD，∠DCA＝45°．，①当b＞0时，则点B在第二象限．过点B作BE⊥x轴于点E，∵在Rt△BEA中，∠BAE＝45°，AB＝3，∴．∴．②当b＜0时，则点B'在第四象限．同理可得．综上所述，点B的坐标为或．（3）如图2，，直线y＝﹣当y＝0时，x＝3，即C（3，0）．∵tan∠BCP＝，∴∠BCP＝30°，∴PC＝2PB．P到直线y＝﹣的距离最小是PB＝4，∴PC＝8．3﹣8＝﹣5，P1（﹣5，0），3+8＝11，P（11，0），当m≤﹣5或m≥11时，PD的距离大于或等于4，点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π．点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，m的范围是m≤﹣5或m≥11．。
2019-2020学年扬州市邗江区九年级上册期末数学试卷(有答案)【优质版】
2019-2020学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上）1．（3分）下列事件属于随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．太阳从东方升起C．掷一次骰子，向上一面点数是7D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯2．（3分）为了考查某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的中位数和极差分别是（）A．13，11 B．14，11 C．12，11 D．13，163．（3分）方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙C的半径为，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定5．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y26．（3分）⊙O的半径为10，两平行弦AC，BD的长分别为12，16，则两弦间的距离是（）A．2 B．14 C．6或8 D．2 或147．（3分）小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①abc＞0②2a﹣3b=0③b2﹣4ac＞0④a+b+c＞0⑤4b＜c则其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．（3分）如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上.）9．（3分）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）10．（3分）据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37℃）的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为℃（精确到1℃）．11．（3分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为．12．（3分）一组数据﹣1，﹣2，x，1，2的平均数为0，则这组数据的方差为．13．（3分）某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元，求平均每次降价的百分率为．14．（3分）已知⊙O半径为1，A、B在⊙O上，且AB=，则AB所对的圆周角为o．15．（3分）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为．16．（3分）若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．17．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A．将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，当图象G 在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时，x的取值范围是．18．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中线，将△ABC 沿直线CD翻折，点B′是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果∠CAE=∠BAB′，那么CE的长是．三、解答题（本大题共有10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解题时写出必要的文字说明，推理步骤或演算步骤.）19．（8分）解方程：（1）x2+2x=1；（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．20．（8分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．21．（8分）有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是A．菱形，B．平行四边形，C．线段，D．角，将这四张卡片背面朝上洗匀后（1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是；（2）随机抽取两张卡片（不放回），求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明．22．（8分）某市发生地震后，某校学生会向全校1 900名学生发起了捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了统计图，如图①和②，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值是；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数；（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．23．（10分）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为；（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．24．（10分）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积．25．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．26．（10分）如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．27．（12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．28．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．2019-2020学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上）1．（3分）下列事件属于随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．太阳从东方升起C．掷一次骰子，向上一面点数是7D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【解答】解：A、是必然事件，故A不符合题意；B、是必然事件，故B不符合题意；C、是不可能事件，故C不符合题意；D、是随机事件，故D符合题意；故选：D．2．（3分）为了考查某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的中位数和极差分别是（）A．13，11 B．14，11 C．12，11 D．13，16【解答】解：将数据从小到大排列为：8，9，10，11，12，14，16，16，17，19，中位数为：13；极差=19﹣8=11．故选：A．3．（3分）方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程2x2﹣5x+3=0有两个不相等的实数根．故选：B．4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙C的半径为，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定【解答】解：过O作OD⊥AB于D，由勾股定理得：AB==13，由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CD，∴5×12=13×CD，∴CD=＞，∴⊙O与AB的位置关系是相离，故选：C．5．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．6．（3分）⊙O的半径为10，两平行弦AC，BD的长分别为12，16，则两弦间的距离是（）A．2 B．14 C．6或8 D．2 或14【解答】解：如图①，当弦AC，BD在⊙O的圆心同侧时，作OE⊥AC垂足为E，交BD于点F，∵OE⊥AC AC∥BD，∴OF⊥BD，∴AE=AC=6，BF=BD=8，在Rt△AOE中OE===8同理可得：OF=6∴EF=OE﹣OF=8﹣6=2；如图②，当弦AC，BD在⊙O的圆心两侧时，同理可得：EF=OE+OF=8+6=14综上所述两弦之间的距离为2或14．故选：D．7．（3分）小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①abc＞0②2a﹣3b=0③b2﹣4ac＞0④a+b+c＞0⑤4b＜c则其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①因为函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，c＜0，由函数图象开口向上可知，a＞0，由①知，c＜0，由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x=﹣＞0，故b＜0，故abc＞0；故此选项正确；②因为函数的对称轴为x=﹣=，故2a=﹣3b，即2a+3b=0；故此选项错误；③因为图象和x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故此选项正确；④把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜0，故此选项错误；⑤当x=2时，y=4a+2b+c=2×（﹣3b）+2b+c=c﹣4b，而点（2，c﹣4b）在第一象限，∴⑤c﹣4b＞0，故此选项正确；其中正确信息的有①③⑤，故选：B．8．（3分）如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC=OA，∴△CDB∽△FDO，∴=，∵D、E为OB的三等分点，∴==2，∴=2，∴BC=2OF，∴OA=2OF，∴F是OA的中点；所以①结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H，由C（3，4）知：OH=4，CH=3，∴OC=5，∴AB=OC=5，∵A（8，0），∴OA=8，∴OA≠AB，∴∠AOB≠∠EBG，∴△OFD∽△BEG不成立，所以②结论不正确；③由①知：F为OA的中点，同理得；G是AB的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG=OB，FG∥OB，∵OB=3DE，∴FG=DE，∴=，过C作CQ⊥AB于Q，如图3．S▱OABC=OA•OH=AB•CQ，∴4×8=5CQ，∴CQ=，S△OCF=OF•OH=×4×4=8，S△CGB=BG•CQ=××=8，S△AFG=×4×2=4，=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12，∴S△CFG∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴=（）2=，∴=，=S△CFG=；∴S四边形DEGF所以③结论正确；④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，∴OB==，∴OD=，所以④结论不正确；本题结论正确的有：①③．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上.）9．（3分）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【解答】解：∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE．10．（3分）据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37℃）的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为23℃（精确到1℃）．【解答】解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃．故答案为23．11．（3分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为6．【解答】解：设这个多边形的边数为n，∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，∴（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6．∴此多边形的边数为6．故答案为：6．12．（3分）一组数据﹣1，﹣2，x，1，2的平均数为0，则这组数据的方差为2．【解答】解：由平均数的公式得：（﹣1﹣2+1+2+x）÷5=0，解得x=0；∴方差=[（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]÷5=2．故答案为：2．13．（3分）某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元，求平均每次降价的百分率为20%．【解答】解：设降价的百分率为x，由题意得2500（1﹣x）2=1600，解得x1=0.2，x2=﹣1.8（舍）．所以平均每次降价的百分率为20%．故答案为20%．14．（3分）已知⊙O半径为1，A、B在⊙O上，且AB=，则AB所对的圆周角为45或135o．【解答】解：如图所示，∵OC⊥AB，∴C为AB的中点，即AC=BC=AB=，在Rt△AOC中，OA=1，AC=，根据勾股定理得：OC==，即OC=AC，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC=45°，同理∠BOC=45°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∵∠AOB与∠ADB都对，∴∠ADB=∠AOB=45°，∵大角∠AOB=270°，∴∠AEB=135°，∴弦AB所对的圆周角为45°或135°．故答案为：45或135．15．（3分）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为5．【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴===（）2=，∴△ACD的面积=5，故答案是：5．16．（3分）若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC=2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC=×360°=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB===30°，∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=2×=，∴BC=2BD=2．∴等边△ABC的边长为2．故答案为：2．17．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A．将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，当图象G 在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时，x的取值范围是1＜x＜2或x＞2+．【解答】解：由题意抛物线：y=（x﹣2）2﹣，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+；如图③，由题意得：当y=1时，（x﹣2）2﹣=1，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F（2+，1），当y=1时，﹣（x﹣2）2+=1，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；故答案为1＜x＜2或x＞2+．18．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中线，将△ABC 沿直线CD翻折，点B′是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果∠CAE=∠BAB′，那么CE的长是．【解答】解：如图，∵△CDB′是由□CDB翻折，∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CDB′，AD=DB=DB′，∴∠DB B′=∠DB′B，∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，∴∠ABB′=∠ACE，∵AD=DB=DB′=3，∴∠AB′B=90°，∵∠ACE=∠ABB′，∠CAE=∠BAB′，∴△ACE∽△ABB′，∴∠AEC=∠AB′B=90°，在RT△AEC中，∵AC=4，AD=3，∴CD==5，∵AC•AD=•CD•AE，∴AE==，在RT△ACE中，CE===．故答案为．三、解答题（本大题共有10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解题时写出必要的文字说明，推理步骤或演算步骤.）19．（8分）解方程：（1）x2+2x=1；（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．【解答】解：（1）方程配方得：x2+2x+1=2，即（x+1）2=2，开方得：x+1=±，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；（2）分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+2）=0，解得：x1=3，x2=1．20．（8分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．21．（8分）有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是A．菱形，B．平行四边形，C．线段，D．角，将这四张卡片背面朝上洗匀后（1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是；（2）随机抽取两张卡片（不放回），求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明．【解答】解：（1）菱形，轴对称图形；平行四边形，不是轴对称图形；线段，轴对称图形；角，轴对称图形，则随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是；故答案为：；（2）列表如下：其中A，B，C为中心对称图形，D不为中心对称图形，则P==．22．（8分）某市发生地震后，某校学生会向全校1 900名学生发起了捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了统计图，如图①和②，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为50，图①中m的值是32；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数；（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．【解答】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人），m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32，故答案为：50、32；（2）∵=（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，∴这组数据的平均数为16；（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．23．（10分）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为（2，0）；（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．【解答】解：（1）如图；D（2，0）（4分）（2）如图；；作CE⊥x轴，垂足为E．∵△AOD≌△DEC，∴∠OAD=∠CDE，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，∴扇形DAC的圆心角为90度；（3）∵弧AC的长度即为圆锥底面圆的周长．l弧=，设圆锥底面圆半径为r，则，∴．24．（10分）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OP ，如图∵OD=OP∴∠OPD=∠ODP∵∠APC=∠AOD∴∠APC +∠OPD=∠ODP +∠AOD ，又∵PD ⊥BE∴∠ODP +∠AOD=90°∴∠APC +∠OPD=90°即∠APO=90°∴PO ⊥AP∴AP 是⊙O 的切线（2）解：在Rt △APO 中，∵AP=，PO=4，∴AO=，即，∴∠A=30°，∴∠POA=60°，∴∠OPC=30°在Rt △OPC 中，∵OC=2，OP=4，∴PC=∴又∵PD ⊥BE∴PC=CD∴∠POD=120°，，∴S 阴影=S 扇形OPBD ﹣S △OPD =．25．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．【解答】解：（1）设销售价格为x元时，当天销售利润为2000元，则（x﹣20）•[250﹣10（x﹣25）]=2000，整理，得：x2﹣70x+1200=0，解得：x1=30，x2=40（舍去），答：该商品销售价是30元/件；（2）设该商品每天的销售利润为y，则y=（x﹣20）•[250﹣10（x﹣25）]=﹣10x2﹣700x+10000=﹣10（x﹣35）2+2250，答：当销售单价为35元/件时，销售利润最大．26．（10分）如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．【解答】解：（1）∵BC=2AD，点E为BC中点，∴BC=2CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形AECD为平行四边形；（2）∵四边形AECD为平行四边形，∴∠D=∠AEC，∵∠EAF=∠CAD，∴∠EAC=∠DAF，∴△AEC∽△ADF，（3）设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，∴在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE==a，∵△AEC∽△ADF，∴=，即=，∴DF=a，∴CF=CD﹣DF=a﹣a=a，∵AE∥DC，∴===．27．（12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=．（1）已知点A （﹣5，8）在一次函数y=ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数y=﹣x 2+4x ﹣．①当点B （m ，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②当﹣3≤x ≤3时，求函数y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）y=ax ﹣3的相关函数y=，将A （﹣5，8）代入y=﹣ax +3得：5a +3=8，解得a=1；（2）二次函数y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数为y=，①当m ＜0时，将B （m ，）代入y=x 2﹣4x +得m 2﹣4m +=，解得：m=2+（舍去），或m=2﹣，当m ≥0时，将B （m ，）代入y=﹣x 2+4x ﹣得：﹣m 2+4m ﹣=，解得：m=2+或m=2﹣．综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣；②当﹣3≤x ＜0时，y=x 2﹣4x +，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小，∴此时y 的最大值为，当0≤x ≤3时，函数y=﹣x 2+4x ﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=，综上所述，当﹣3≤x ≤3时，函数y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣．28．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+2x +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3），∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；（2）如图1，∵点C关于直线l的对称点为N，∴N（2，3），∵直线y=kx+b经过C、M两点，∴，∴，∴y=x+3，∵y=x+3与x轴交于点D，∴D（﹣3，0），∴AD=2=CN又∵AD∥CN，∴CDAN是平行四边形；（3）设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2，则MP=4﹣a，又∠HMP=45°，∴HP=AP=，Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即：，解得：，∴P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）．。
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2019-2020学年江苏省扬州市江都区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知α为锐角，且sinα＝，则α的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）
A ．B．3a＝4b C ．D．4a＝3b
3．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是（）
A ．
B ．
C ．D．1
4．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A是OA'的中点，△ABC的面积是6，则△A'B'C'的面积为（）
A．9B．12C．18D．24
5．若将半径为24cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm
6．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，DE＝2，AB＝8，则⊙O的半径为（）
A．5B．8C．3D．10
7．已知抛物线y＝ax2+2x﹣1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，AB＝5，以AB为斜边向上作Rt△ABD，∠ADB＝90°．连接CD，若
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