二次根式课件概念
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《二次根式》课件
《二次根式》
知识梳理
一般地，我们把形如
概念
（a≥0）
的式子叫做二次根式. 其中“
1 ”
称为二次根号.
二
次
根
式
有意义
的条件
被开方数（式子）为非负数，
（a≥0）
性质
（a≥0）,二次根式的被开方数非负
≥0（a≥0），二次根式的值非负
二
次
根
式
（ ）2 = a （a≥0）
拓展
(
≥
0)
2 = = ቊ
.
3.已知 + 2与 − + 3 互为相反数，
求（ + ）2020 的值.
技巧点拨：解答本类问题时，常先依据“若几
个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”
列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再
把字母的值代入相关式子求值.
解： ∵
+ 2与 − + 3 互为相反数，
（4）原式 = 3 − = − 3.
7
− .
4
注意：（1）三类常见的非负数： ， ，2 .
2
（2）若 + + = 0，则 = 0， =
0， = 0，即若几个非负数的和等于0，则这几
个非负数均为0.
（3）化简形如 2 的式子时，要先转化为 ，
再根据a的符号去掉绝对值符号.
① （a≥0），二次根式的被开方数非负；
② ≥0（a≥0），二次根式的值非负.
（2）（ ）2 = （a≥0）.
（3）
2
≥0 ,
= =ቊ
− < 0 .
4. 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘
知识梳理
一般地，我们把形如
概念
（a≥0）
的式子叫做二次根式. 其中“
1 ”
称为二次根号.
二
次
根
式
有意义
的条件
被开方数（式子）为非负数，
（a≥0）
性质
（a≥0）,二次根式的被开方数非负
≥0（a≥0），二次根式的值非负
二
次
根
式
（ ）2 = a （a≥0）
拓展
(
≥
0)
2 = = ቊ
.
3.已知 + 2与 − + 3 互为相反数，
求（ + ）2020 的值.
技巧点拨：解答本类问题时，常先依据“若几
个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”
列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再
把字母的值代入相关式子求值.
解： ∵
+ 2与 − + 3 互为相反数，
（4）原式 = 3 − = − 3.
7
− .
4
注意：（1）三类常见的非负数： ， ，2 .
2
（2）若 + + = 0，则 = 0， =
0， = 0，即若几个非负数的和等于0，则这几
个非负数均为0.
（3）化简形如 2 的式子时，要先转化为 ，
再根据a的符号去掉绝对值符号.
① （a≥0），二次根式的被开方数非负；
② ≥0（a≥0），二次根式的值非负.
（2）（ ）2 = （a≥0）.
（3）
2
≥0 ,
= =ቊ
− < 0 .
4. 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 上课课件(22张PPT)
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一个正数a的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用
(a≥0)表示正数a的算术平方根.
求下列各数的平方根和算术平方根.
9 的平方根 3 ， 算术平方根 3 ；
计算：（1） (5)2 ；（2） (1 2)2 .
解：（1） (5)2 52 5
或 (5)2 -5 5
（2） (1 2)2 = 1- 2 =-（1- 2）= 2-1
例3 先化简再求值：
，其中 x=4.
解：
当 x=4时，x- 4- 4- .
∴当x=4时，
.
练习 1.计算：
2
8 =8
3 2=3
双重非负性
( 4)2 4
1 ( 1 )2 3
3
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
一般地，有
性质1
2
a a (a≥0)
例1.当x为何值时，下列各式在实数范围内Biblioteka 有意义？(1) x 3
(2) x2
解：（1）由题意，得 x+3≥0 ∴x≥-3
∴当x≥-3时， x 2 在实数范围内有意义.
2.当x取怎样的实数时， 2x 3 1 有意义？
x 1
解：由题意得
2x x 1
3 0
0，
∴
X≥
3 2
X ≠-1
∴ x 3，且x 1.
2
方法构想
一个式子中：
若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一个正数a的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用
(a≥0)表示正数a的算术平方根.
求下列各数的平方根和算术平方根.
9 的平方根 3 ， 算术平方根 3 ；
计算：（1） (5)2 ；（2） (1 2)2 .
解：（1） (5)2 52 5
或 (5)2 -5 5
（2） (1 2)2 = 1- 2 =-（1- 2）= 2-1
例3 先化简再求值：
，其中 x=4.
解：
当 x=4时，x- 4- 4- .
∴当x=4时，
.
练习 1.计算：
2
8 =8
3 2=3
双重非负性
( 4)2 4
1 ( 1 )2 3
3
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
一般地，有
性质1
2
a a (a≥0)
例1.当x为何值时，下列各式在实数范围内Biblioteka 有意义？(1) x 3
(2) x2
解：（1）由题意，得 x+3≥0 ∴x≥-3
∴当x≥-3时， x 2 在实数范围内有意义.
2.当x取怎样的实数时， 2x 3 1 有意义？
x 1
解：由题意得
2x x 1
3 0
0，
∴
X≥
3 2
X ≠-1
∴ x 3，且x 1.
2
方法构想
一个式子中：
若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
二次根式的定义 课件
分析：要使式子 x 有1意义，必须x-1≥0，
即x≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0, ∴x≥1
X是怎样的数时,下列各式在实数范围内 有意义?
(1) x 3; (2) 2 4 x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算：
( 5)2 5
( 100)2 100
( 2 )2 5
二次根式概念
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式.
二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0), 3 8, a (a 0)
例2要使式子 x 1有意义，字母x3
练习：
( 13)2 ( 16)2 ( 1 )2
3 ( 7)2
二次根式的性质1：
1 a 0a 0
2
2 a aa 0
计算： ⑴ 25=2
；25 ⑵
= (；25)2 25
⑶ 0.=49 ；0.7 ⑷
=
.
1
2 3
数学概念的学习方法：抓住要满足的条件.
13
3.总结 ( a )2 和 a2 的联系与区别：
联系：当 a≥0时， =( a.)2 a2
区别：( a中)2a的取值范围是
a，≥0
而 a中2 a的取值范围是 a为任意. 实数
14
课堂练习
❖练习：P3第1、2、3
课堂小结： ⑴非负数a的算术平方根 a(a≥0)叫做二次根式.二次 根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有 “ ”，二是被开方数的取值必须大于或等于0. ⑵二次根式的性质: ①双重非负性：被开方数a≥0； ≥a0. ②基本性质： ( a=)a2 (a≥0)， =｜a2a｜.
即x≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0, ∴x≥1
X是怎样的数时,下列各式在实数范围内 有意义?
(1) x 3; (2) 2 4 x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算：
( 5)2 5
( 100)2 100
( 2 )2 5
二次根式概念
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式.
二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0), 3 8, a (a 0)
例2要使式子 x 1有意义，字母x3
练习：
( 13)2 ( 16)2 ( 1 )2
3 ( 7)2
二次根式的性质1：
1 a 0a 0
2
2 a aa 0
计算： ⑴ 25=2
；25 ⑵
= (；25)2 25
⑶ 0.=49 ；0.7 ⑷
=
.
1
2 3
数学概念的学习方法：抓住要满足的条件.
13
3.总结 ( a )2 和 a2 的联系与区别：
联系：当 a≥0时， =( a.)2 a2
区别：( a中)2a的取值范围是
a，≥0
而 a中2 a的取值范围是 a为任意. 实数
14
课堂练习
❖练习：P3第1、2、3
课堂小结： ⑴非负数a的算术平方根 a(a≥0)叫做二次根式.二次 根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有 “ ”，二是被开方数的取值必须大于或等于0. ⑵二次根式的性质: ①双重非负性：被开方数a≥0； ≥a0. ②基本性质： ( a=)a2 (a≥0)， =｜a2a｜.
二次根式(课件)八年级数学下册(苏科版)
−13
2
+ −13 ＝11 + 13＝24．
课堂练习
用代数式表示：
10．
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 2∶3 的长方形的长和宽．
解：（1）设圆的半径为 r，则
所以 S＝πr²，则 r ＝±
思考：当a＜0时， a 2 = -a ？
a(a＜0) 平方
运算
-2
-0.1
2
...3
a2
4
算术平
方根
0.01
4
...9
观察两者有什么关系？
a2
2
0.1
2
...3
探究新知
的性质：
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典型例题
例2 化简：
1
3
2 4 ；
3
3
探究新知
( a ) 2 ( a 0) 的性质：
2
(
a
)
一般地，
＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 a 有
意义的前提条件.
典型例题
例1 计算：
2
(2)( 5) 2
3
1 2
(1)( )
2
(2)可以用到幂
的哪条基本性
质呢？
”．
典型例题
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
(2) 6;
(3)
(5)
xy x, y异号 ; (6)
12;
2
+ −13 ＝11 + 13＝24．
课堂练习
用代数式表示：
10．
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 2∶3 的长方形的长和宽．
解：（1）设圆的半径为 r，则
所以 S＝πr²，则 r ＝±
思考：当a＜0时， a 2 = -a ？
a(a＜0) 平方
运算
-2
-0.1
2
...3
a2
4
算术平
方根
0.01
4
...9
观察两者有什么关系？
a2
2
0.1
2
...3
探究新知
的性质：
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典型例题
例2 化简：
1
3
2 4 ；
3
3
探究新知
( a ) 2 ( a 0) 的性质：
2
(
a
)
一般地，
＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 a 有
意义的前提条件.
典型例题
例1 计算：
2
(2)( 5) 2
3
1 2
(1)( )
2
(2)可以用到幂
的哪条基本性
质呢？
”．
典型例题
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
(2) 6;
(3)
(5)
xy x, y异号 ; (6)
12;
二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
公开课课件二次根式
2 当x0且x1，1- x 有意义 4由题意可知： x-5 0 解得x5且x6
x6
当x 5且 6x时， x-+5x-6 0有意义
13
尝试与交流
22=4,（ 即4）2= 4
32=9,（ 即9）2= 9
同样地（，2）2= 2 （ 5）2= 5 你还能给出类似的例子吗？试试看 你有什么发现
当a0时(,a)2=a .
在实数范围内,负数没有平方根
11
例题讲解
例1 x为何值时, 下列各式在实数范围内有意义。
(1) 13x (2) 1x 3x (3) (x5)2
解: （1）由1-3x≥0得x≤
1
1
3
当x 3 时， 1-3x有意义
1+x 0
2 由题意可知：
解不等式组得到： -1x3
3-x 0
当 -x13时， 1+-x3-有 x 意义
斜边长为____a_2___2__5_0_0__米。
6
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S,
S 则半径为____________.
7
b-3
如图示的值表示正方形的面积, 则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
b3
表示一些正数的算术平方根.
一般地,式子a (a0) 叫做二次根式,
a称为是被开方数
3由于 x+520, 当x取一切实数 x+时 52有意义
12
挑战求自x为我何值时, 下列各式在实数范围内有意义。
3 1 2x-1
2
2
2 1-x
3 1-
x
4 x-5 + x-6 0
解：1由2x-1＞0得x＞12当x＞ 12
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
第五讲二次根式PPT课件
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
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a
30
2
a 2 ( 30 ) ) 30 ( a 那么正方形的面积是＿＿＿＿＿ a
当 a 0 时， ( a )
2
a
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算: 2 (1)( 12 )
( 2)(
2 2 ) 3
2
(3)( a b ) (a b 0)
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算:
说一说，下列各式是二次根式吗?
(1) 32
( 2) 12
( 3 ) a 2 1 ( 4) m ( m 0)
解: (1)(3)(4) 是二次根式
掌握二次根式的概念
(( 4条件
ａ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________ 例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
3 （1）3的平方根是______
3 （2）3的算术平方根是_______
0呢？ a a 0 （4）一个非负数a的算术平方根应表示为__________
（3） 5有意义吗？为什么？ 正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
算术平方根的性质
正数和0都有算术平方根；
① 5 ② m ③ m2 1 ④ x2 2x 2
1．函数y=
1 x-3
中，自变量x的取值范围是_______
x＞3
2.(2006郴州市课改实验区)要使二次根式 无意义,应满足的条件 是( B ）
2x 6
A.X ≥3 B.X＜3 C.X＞3 D.X≤3
x 3.(2006广州)若代数式 在实数范围内有 x 1
意义,则x的取值范围为( A.x>0 B.X≥0 C.X≠0 D.X≥0且x ≠1
D
)
3 2 1.计算 : (1)( ) _____; 19
( 2)( 3 6 )2 _____;
2 2 ( 3)( ) _____; 3
(4)3( 3 ) 2 2( 5 )2 _____;
1.思考：如图，长 3 3 米的梯子靠 在墙上，梯子的底部离墙角 11 米， 请求出梯子的顶端与地面的距离h多少 米?
x 1 3.已知 ，你能求出 x 的取值范围吗？ 3 x 切入点：分类讨论思想。
为一个非负整数，试求非负整数 的值 a 10 a
4.已知
若a.b为实数,且 | 2 a | b 2 0 求 a 2 b 2 2b 1的值。
解: 2 a 0, b 2 0
( 3) 2
(1) 35
( 2)
(3)3 2
( 4)
xy ( x、y异号)
解: (1) (2) 是二次根式
掌握二次根式的概念
说一说，下列各式是二次根式吗?
(1) 32
( 2) 12
( 3 ) a 2 1 ( 4) m ( m 0)
解: (1)(3)(4) 是二次根式
掌握二次根式的概念
负数没有算术平方根。
二次根式
30
正方形喷泉池的面积为30 m , 那么正方形的边长是
2
30
m
圆形花坛的面积为S, 那么这个圆的半径是
s
__________
A
B
A
a 81 AB=＿＿＿＿＿米
2
B
A
.●
?
.●
a米
.●
B
9米
C
掌握二次根式的概念
s
3
a 2 81
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
( 4)(
x 1) (
2 2
x )
2
2
(5)(3 6 )
2
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算:
(6)( 2
1 2 ) 2
掌握并应用二次根式的基本性质 填空:
13 (1)( 13 ) _______ 3 3 2 (2)( ) _______ 7 7
2
10 (3)( 8 ) ( 2 ) ______
A
3 3
Ｃ
11
Ｂ
2.思考：x 3 y 2 0，求y 的值.
2 x
1.已知 y
x 4 4 x，你能求出 2
的值吗？ x y
切入点：从字母的取值范围入手。 x y 互为相反数， 3 9 2.已知 x 2 y 与
求 的值. x、 y
切入点：从代数式的非负性入手。
掌握二次根式的意义
2.（2008宿迁）若 2 x 1 1 无意义，则 x x＜ 的取值范围是_________________. 2
掌握二次根式的意义
1 有意义，则 x 的取值范围是 1 8x
3.若
1 _________________. x＜ 8
4.ａ取何值时,下列二次根式在实数范围 内有意义.
a叫被开方数
为了方便起见，我们把一个数的算术平 方根（如
2 ）也叫二次根式。 3
5，
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次根 式的代数式，不能称之为二次根式；
而
2x2 2x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
掌握二次根式的概念
下列哪些是二次根式?为什么?
而 2 a b2 0
2 a 0, b 2 0
a 2 , b 2
原式 a b 1 a b 1 2 1 3
2 2 2 2
( 4) 1 3 2x 3 2x
掌握二次根式有意义的条件
如何确定字母 的值,使含有 二次根式的式 子在实数范围 内有意义？
x 1
1 3 2x
2
x 2
2
x
掌握二次根式的意义
１．(2009南京)二次根式 x 1 中，字母x 的取值范围是（ C ） A. x＜l B.x≤1 C.x≥1 D.x＞1
(1) a 5
( 2) 1 10a
( 3) ( a 1) 2
0.01 4 9 ( 4 )2 _______ ( 9 )2 _____ ( 0.01)2 _____
2 ( 2 ) ____ ( 30)2 _____ 30
2
掌握并应用二次根式的基本性质
30
正方形的边长
2 2
(4)( a b ) a b ______
2 2 2
2
2
(5) 2( 5 ) _______ 10
2
1.二次根式的定义: 2.二次根式 a 有 意义的条件:
形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式
３．二次根式的 基本性质
a0
当a≥0时，
( a) a
2
１．下列各式一定是二次根式的有__________
(1) x 1
( 2) x 2
2
( 3) x
2
( 4)
1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
掌握二次根式有意义的条件
(1) x 1 x 1
(2) x 22 x
22
掌握二次根式有意义的条件
( 3) x x
2 2
掌握二次根式有意义的条件