北京市西城区九年级数学2018-2019学年上学期期末试卷(带答案解析)
；
②将抛物线 C1 向右平移使它经过点 F，此时得到的抛物线记为 C2，直接写出抛物线 C2 的
表达式．
24．
（6 分）如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O．点 D 在⊙O 上，BD 平分∠ABC
交 AC 于点 E，DF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：FD 是⊙O 的切线；
23．
（6 分）如图，直线 l：y＝﹣2x+m 与 x 轴交于点 A（﹣2，0）
，抛物线 C1：y＝x2+4x+3
与 x 轴的一个交点为 B（点 B 在点 A 的左侧），过点 B 作 BD 垂直 x 轴交直线 l 于点 D．
（1）求 m 的值和点 B 的坐标；
（2）将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°，点 B，D 的对应点分别为点 E，F．
（x﹣4）
（2）
（x+2）＞0 的解集为
②不等式（x﹣9）
（x﹣8）
（x﹣7）2＞0 的解集为
．
．
26．
（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2﹣4ax+3a．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当 a＞0 时，设抛物线与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧）
，顶点为 C，若△ABC
A．
（3，5）
B．
（1，5）
【考点】H3：二次函数的性质．
）
C．
（3，1）
D．
（﹣1，5）
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【解答】解：因为 y＝3（x﹣1）2+5 是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）
．
故选：B．
2．
（3 分）如果 4x＝3y，那么下列结论正确的是（
3
4
A． =
4
3
，D（0，3）
，E（3，0）
，点 P 是直线 l：y＝2x+8 上的一
个动点．若点 P 独立于折线 CD﹣DE，求点 P 的横坐标 xp 的取值范围；
（3）如图 3，⊙H 是以点 H（0，4）为圆心，半径为 1 的圆．点 T（0，t）在 y 轴上且 t＞
﹣3，以点 T 为中心的正方形 KLMN 的顶点 K 的坐标为（0，t+3），将正方形 KLMN 在 x
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠CEB＝∠A+∠C＝80°，
第10页（共34页）
D．90°
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故选：B．
4．
（3 分）下列关于二次函数 y＝2x2 的说法正确的是（
）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）
B．它的图象的对称轴是直线 x＝2
C．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
D．当 x＝0 时，y 有最大值为 0
．
15．
（3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB＞AD，E，F 分别是 AB，DC 的中点，将矩形 ABCD
第3页（共34页）
沿 EF 所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形 ABCD 相似，则用等式表示 AB 与
AD 的数量关系为
．
16．
（3 分）如图，⊙O 的半径是 5，点 A 在⊙O 上．P 是⊙O 所在平面内一点，且 AP＝2，
．
12．
（3 分）草坪上的自动喷水装置的旋转角为 200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能
喷灌的扇形草坪面积为 5π 平方米，则这个扇形的半径是
米．
13．
（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx 与直线 y＝mx+n 相交于点 A（﹣3，﹣6）
，B （1，﹣2）
，
则关于 x 的方程 ax2+bx＝mx+n 的解为
（1）判断 BD 与 CE 的数量关系，并证明你的结论；
（2）若 AB＝2，AD＝2√2，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．
①BD 的长为
；
第8页（共34页）
②点 P，Q 分别为 BC，DE 的中点，连接 PQ，写出求 PQ 长的思路．
28．
（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P 和图形 W，如果以 P 为端点的任意一条射
2018-2019 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共 16 分，每小题 3 分第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．
（3 分）抛物线 y＝3（x﹣1）2+5 的顶点坐标是（
A．
（3，5）
B．
（1，5）
）
C．
（3，1）
2．
（3 分）如果 4x＝3y，那么下列结论正确的是（
m 时，求此时铅球的水平距离．
12
第5页（共34页）
22．
（5 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，以 OC，OD 为邻边作平行四边
形 OCED，连接 OE．
（1）求证：四边形 OBCE 是平行四边形；
（2）连接 BE 交 AC 于点 F．若 AB＝2，∠AOB＝60°，求 BF 的长．
3
4
A． =
4
3
B． =
D．
（﹣1，5）
）
4
3
C． =
D．x＝4，y＝3
̂ =
̂ ，∠A＝40°，则∠CEB 的
3．
（3 分）如图，圆的两条弦 AB，CD 相交于点 E，且
度数为（
）
A．50°
B．80°
C．70°
4．
（3 分）下列关于二次函数 y＝2x2 的说法正确的是（
D．90°
x 的范围
x＞3
x＜3
y 的符号
+
﹣
由表格可知不等式 x﹣3＞0 的解集为 x＞3．
②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0，观察函数 y＝（x﹣3）
（x﹣1）的图象可以得到如表表
格：
x 的范围
x＞3
1＜x＜3
x＜1
y 的符号
+
﹣
+
由表格可知不等式（x﹣3）
（x﹣1）＞0 的解集为
．
③对于不等式（x﹣3）
设铁塔顶端到地面的高度 FE 为 xm，根据以上条件，可以列出的方程为（
A．x＝（x﹣10）tan 50°
B．x＝（x﹣10）cos50°
C．x﹣10＝x tan 50°
D．x＝（x+10）sin 50°
）
8．
（3 分）抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（﹣2，0），且对称轴为直线 x＝1，其部分图象如图
【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H7：二次函数的最值．
9．（3 分）如图所示的网格是正方形网格，点 A，O，B 都在格点上，tan∠AOB 的值
为
．
10．
（3 分）请写出一个开口向下，且与 y 轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式：
．
11．
（3 分）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 DE∥BC．若 AD＝2，AB
＝3，DE＝4，则 BC 的长为
所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＞0；②16a+4b+c＝0；③若 m＞n＞0，则 x＝1+m 时的函数值大于 x＝1﹣n 时的函数
值；④点（− 2，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（
A．①②
B．②③
C．②④
二、填空题（本题共 16 分，每小题 3 分）
第2页（共34页）
）
D．③④
过点 P 作直线 l，使 l⊥PA．
（1）点 O 到直线 l 距离的最大值为
；
（2）若 M，N 是直线 l 与⊙O 的公共点，则当线段 MN 的长度最大时，OP 的长为
．
三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 5 分，第 27，
28 题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
B． =
【考点】83：等式的性质．
3
4
）
4
3
C． =
D．x＝4，y＝3
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【解答】解：A．若 = ，等式两边同时乘以 12 得：4x＝3y，A 项正确，
4
3
4
3
B．若 = ，等式两边同时乘以 12 得：3x＝4y，B 项错误，
C．若 = ，等式两边同时乘以 3y 得：3x＝4y，C 项错误，
6．
（3 分）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AD＝2，
BC＝5，则△ABC 的周长为（
）
第1页（共34页）
A．16
B．14
C．12
D．10
7．
（3 分）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示
意图
相关数据
CD＝10m，α＝45°，β＝50°
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
第4页（共34页）
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜﹣2 时，直接写出 y 的取值范围．
20．
（5 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，OC＝4，AC＝4√2．
【精品初三期末试卷】2018-2019学年北京市西城区初三第一学期期末数学试卷+答案
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷九年级数学2019.1一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A .35B . 45C . 34D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）．A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. A .(4,5)-，开口向上 B .(4,5)-，开口向下 C .(4,5)--，开口向上 D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A .48πB .24πC .4πD .2π 5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）． A ．34° B ．46° C ．56° D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A .m ≤4B .<4mC . m ≥4-D .>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB ACBP CB=8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =， 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y 与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：抛物线顶点坐标 与x 轴交点坐标 与y 轴交点坐标22y x x =-+(1,1)(0,0)（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ． （1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）0 8.75 15 18.75 20…（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）； （2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x =（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．图1 图223．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）． （1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ； ③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物 线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ． （1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ； （2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点． （1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．北京市西城区2018—2019学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACABCCDB二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（0，3）． 10．4． 11．4．12．－1＜x ＜2． 13．2．14．1154cos α（或2CE ·cos α）． 15．②④． 16．1．三、解答题（本题共68分，第17—20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．解：2sin30°＋cos 245°－tan60°．2122()322=⨯+-（3分）1132=+-（4分）332=-．（5分） 18．（1）证明：如图．∵∠ABE ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ， ∴△ABE ∽△ACB ．（2分） （2）解：由（1）得AB AEAC AB=．（3分） ∴AB 2＝AC ·AE ． ∵AB ＝6，AE ＝4，∴29AB AC AE==．（4分） ∵AB ∥CD ，∴△CDE ∽△ABE ．∴CD CE AB AE=．∴()651542AB CE AB AC AECDAE AE⋅⋅-⨯====．（5分）19．解：（1）（0，0），（2，0）．（2分）（2）画图见图．（4分）2倍．（5分）20．解：（1）α－45°，45．（2分）（2）画图如图．（3分）连接BE，设AC与BE交于点G．由题意可知，∠BAC＝∠CAE＝45°，AB＝AC＝AE＝2．∴∠BAE＝90°，AG⊥BE，BG＝EG．∴点A到直线BE的距离即为线段AG的长．（4分）∴2222BE ABAG===．（5分）∴当α＝45°时，点A到直线BE的距离为2．21．解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t的函数关系式为h＝at2＋bt（a≠0）．（1分）∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴15,4220.a ba b+=⎧⎨+=⎩（2分）解得5,20.ab=-⎧⎨=⎩（3分）∴h 与t 之间的函数关系式为h ＝－5t 2＋20t ．（4分）（2）小球飞行3秒时，t ＝3（s ），此时h ＝－5×32＋20×3＝15（m ）．（5分）答：此时小球的高度为15m ．（3）方法一：设t （s ）时，小球的飞行高度达到22m ．则－5t 2＋20t ＝22．即5t 2－20t ＋22＝0．∵Δ＝（－20）2－4×5×22＜0，∴此方程无实数根．所以小球的飞行高度不能达到22m ．（6分）方法二：∵h ＝－5t 2＋20t ＝－5（t －2）2＋20，∴小球飞行的最大高度为20m ．∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m ．（6分）22．解：（1）a ＝－2，k ＝2．（2分）（2）证明：∵双曲线2y x=上一点P 的横坐标为1． ∴点P 的坐标为P （1，2）．（3分）∴直线PA ，PB 的函数表达式分别为y ＝x ＋1，y ＝－x ＋3．∴直线PA ，PB 与x 轴的交点坐标分别为M （－1，0），N （3，0）． ∴22PM =，22PN =，MN ＝4．（4分）∴PM ＝PN ，（5分）PM 2＋PN 2＝MN 2．∴∠MPN ＝90°．∴PM ⊥PN ．（6分）说明：其他正确的解法相应给分．23．解：如图，作BD ⊥l 于点D ．（1分）∴Rt △CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝13，5cos cos 13C α==， ∴5cos 13513CD BC C =⋅=⨯=，（2分） 222213512BD BC CD =-=-=．（3分） 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，BD ＝12，4sin 5A =，∴12154sin 5BD AB A===．（4分） 1294tan 3BD AD A ===． 作图：以点D 为圆心，9为半径作弧与射线l 交于点A ，连接AB ．（5分）24．（1）证明：如图，连接OC ．∵AB 是半圆的直径，AC 是半圆的弦，∴∠ACB ＝90°．（1分）∵点D 在弦AC 的延长线上，∴∠DCB ＝180°－∠ACB ＝90°．∴∠DCE ＋∠BCE ＝90°．∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠B ．∵∠DCE ＝∠B ，∴∠BCO ＋∠BCE ＝90°，即∠OCE ＝90°．（2分）∴CE ⊥OC ．∴CE 是半圆的切线．（3分）（2）解：设半圆的半径长为r ．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，2tan 3B =， 设AC ＝2k ，则BC ＝3k ，2213AB AC BC k =+=． ∴2sin 1313AC B AB ==． ∵OD ⊥AB ，∴∠D ＋∠A ＝90°．∵AB 是半圆的直径．∴∠ACB ＝90°，∠B ＋∠A ＝90°．∴∠D ＝∠B ． ∴2sin sin 1313D B ==． 在Rt △AOD 中，∠AOD ＝90°，2sin 1313D =，又∵CD ＝10， ∴132132(210)13OA k AD k ==+． ∴13k ＝4（2k ＋10）．解得k ＝8．经检验，k ＝8是原方程的解． ∴134132r k ==．（5分） 25．解：（1）当a ＝3时，抛物线G 为y ＝x 2－6x ＋2．∴y ＝x 2－6x ＋2＝x 2－2×3x ＋32－32＋2＝（x －3）2－7．（1分）此时抛物线G 的顶点坐标为（3，－7）．（2分）（2）①y ＝x 2－2ax ＋a －1＝（x 2－2ax ＋a 2）－a 2＋a －1＝（x －a ）2－a 2＋a －1．∵抛物线G 的顶点坐标为P （p ，q ），∴2, 1.p a q a a =⎧⎨=-+-⎩（3分） ②由①得q ＝－p 2＋p －1．（4分）③C ．（5分）（3）答案不唯一，如新抛物线H 的函数表达式为y ＝x 2－2ax ＋a 2＋a ，k ＝1，b ＝0．（6分）26．解：（1）∵抛物线M 的顶点坐标为B （0，1），∴设抛物线M 的函数表达式为y ＝ax 2＋1．（1分）∵抛物线M 经过点A （－1，0），∴a ×（－1）2＋1＝0．解得a ＝－1．（2分）∴抛物线M 的函数表达式为y ＝－x 2＋1．（3分）（2）①B 1（2t ，－1）．（4分）②由题意可知抛物线M 1的顶点B 1的坐标为B 1（2t ，－1），二次项系数为1，∴抛物线M 1的函数表达式为y ＝（x －2t ）2－1（t ＞0）．当抛物线M 1经过点A （－1，0）时（如图），（－1－2t ）2－1＝0．解得t 1＝－1，t 2＝0．当抛物线M 1经过点B （0，1）时（如图），（2t ）2－1＝1． 解得22t =±．结合图象分析，因为t ＞0，所以当抛物线M 1与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是202t <≤．（6分）27．解：（1）150．（1分）OM ⊥BD ′．（2分）（2）OM ⊥BD ′，32OM BD '=． 证明：如图，取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于点N ．∵E ，M 分别为AO ，AC ′的中点，∴EM ∥OC ′，2OC EM '=． ∴∠OEM ＋∠AOC ′＝180°．∵∠AOB ＝∠C ′OD ′＝90°，∴∠BOD ′＋∠AOC ′＝180°．∴∠OEM ＝∠BOD ′．①（3分）∵∠OAB ＝∠OC ′D ′＝30°， ∴3232AOEO AO OB OB OC EM OC OD OD ====''''， 即EO EM OB OD ='．②（4分） 由①②得△EOM ∽△OBD ′．（5分）∴∠1＝∠2，322OM EO AO BD OB OB ==='，即32OM BD '=．（6分） ∵点N 是MO 的延长线与BD ′的交点，∠AOB ＝90°，∴∠1＋∠3＝180°－∠AOB ＝90°．∴∠2＋∠3＝90°．∴OM ⊥BD ′．（7分）说明：其他正确的解法相应给分．28．解：（1）①Q 1．（见图）（1分）②如图，点P （4，－1）关于AB 所在直线的对称点为P ′（0，－1），（2分）此时点P ′恰好在直线y ＝x －1上．∵点M 是点P 关于线段AB 的内称点，∴点M 关于AB 所在直线的对称点M ′落在△ABP 的内部（不含边界）．又∵点M 在直线y ＝x －1上，∴点M 应在线段P ′G 上（点G 为线段AB 与直线y ＝x －1的交点），且不与两个端点P ′，G 重合． ∴0＜x M ＜2．（3分）（2）如图．∵点E 是点D 关于线段AB 的内称点，∴点E 关于AB 所在直线的对称点E ′应在△ABD 的内部（不含边界）．∵点D 关于AB 所在直线的对称点为原点O ，∴点E 应在△ABO 的内部（不含边界）．（4分）∵A （2，2），C （3，3），D （4，0）， 可得2AC =，22AD =，10CD =．∴AC 2＋AD 2＝CD 2．∴∠CAD ＝90°．∴AC ⊥AD ．此时直线DA 与以AC 为半径的⊙C 相切，半径2AC =．（5分）当直线DE 与以CD 为半径的⊙C 相切，D 为切点时，⊙C 的半径最大，最大值为10． ∴符合题意的⊙C 的半径r 的取值范围是210r <≤．（7分）。
北京市西城区2019届九年级上期末数学试卷含解析
北京市西城区2021 届九年级上期末数学试卷含答案解析一、选择题〔此题共30 分，每题 3 分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数 y=〔x﹣5〕2+7 的最小值是〔〕A．﹣ 7B．7 C．﹣ 5D．52．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，AC=3，BC=4，那么 cosA 的值为〔〕A．B．C．D．3．如图，⊙ C 与∠ AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙ C 相切于点 P．假设∠AOB=90°，OP=6，那么 OC的长为〔〕A．12 B．C．D．4．将二次函数 y=x2﹣ 6x+5 用配方法化成 y=〔 x﹣h〕2+k 的形式，以下结果中正确的是〔〕A．y=〔x﹣ 6〕2+5 B．y=〔 x﹣ 3〕2+5 C．y=〔x﹣3〕2﹣4D． y=〔 x+3〕2﹣95．假设一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，那么此扇形的圆心角等于〔〕A．30°B．60°C．90°D．120°B．以原点 O 为位似中心，将△ OAB 放大为原来的 2 倍，得到△ OA1B1，且点 A1 在第二象限，那么点A1的坐标为〔〕A．〔﹣ 2，4〕B．〔，1〕C．〔 2，﹣ 4〕D．〔 2，4〕7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东 37°方向，距离灯塔40 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的正东方向上的 B 处．这时，B 处与灯塔 P 的距离 BP 的长可以表示为〔〕A．40 海里B．40tan37 °海里C．40cos37 °海里D．40sin37 海°里8．如图， A，B，C 三点在的圆上，在△ABC 中，∠ ABC=70°，∠ ACB=30°，D 是的中点，连接DB，DC，那么∠ DBC的度数为〔〕A．30°B．45°C．50°D．70°9．某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价 1 元，每星期可多卖出20 件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，那么 y 与 x 的关系式为〔〕A．y=60〔300+20x〕B．y=〔 60﹣x〕〔 300+20x〕C．y=300〔60﹣ 20x〕D．y=〔 60﹣x〕〔 300﹣20x〕10．二次函数 y=2x2﹣ 8x+m 满足以下条件：当﹣ 2＜x＜﹣ 1 时，它的图象位于x 轴的下方；当 6＜x＜7 时，它的图象位于x 轴的上方，那么 m 的值为〔〕A．8 B．﹣ 10C．﹣ 42D．﹣ 24二、填空题〔此题共18 分，每题 3 分〕11．假设，那么的值为．12．点 A〔﹣ 3，y1〕， B〔 2， y2〕在抛物线 y=x2﹣ 5x 上，那么y1y2．〔填“＞〞，“＜〞或“ =〕〞13．△ ABC 的三边长分别为5， 12，13，与它相似的△ DEF 的最小边长为15，那么△ DEF的周长为．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A，∠ A=30°，AB=20．点 D 在射线 AC 上，且∠ ADB是钝角，写出一个满足条件的AD 的长度值： AD=．15．程大位所著?算法统宗?是一部传统数学重要的著作．在?算法统宗?中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？〞【注释】 1 步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有 1 尺高，如将秋千的踏板往前推动两步〔 10 尺〕时，踏板就和人一样高，这个人身高是 5 尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？〞如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态， A 是踏板， CD 是地面，点 B 是推动两步后踏板的位置，弧AB 是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺， CD=EB=10尺，人的身高 BD=5 尺．设绳索长 OA=OB=x尺，那么可列方程为．16．阅读下面材料：在学习?圆?这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．： P 为⊙ O 外一点．求作：经过点 P 的⊙ O 的切线．小敏的作法如下：如图，（1〕连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线 MN 交 OP 于点 C；（2〕以点 C 为圆心， CO 的长为半径作圆，交⊙ O 于 A， B 两点；（3〕作直线 PA， PB．所以直线 PA， PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请答复：连接OA，OB 后，可证∠ OAP=∠ OBP=90°，其依据是；由此可证明直线 PA，PB 都是⊙ O 的切线，其依据是．三、解答题〔此题共 72 分，第 17-26 题，每题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7分，第 29 题 8 分〕解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算： 4cos30 ° ?tan60﹣°sin245°．18．如图，△ ABC中， AB=12，BC=15，AD⊥ BC于点 D，∠ BAD=30°，求 tanC 的值．19．抛物线 y=﹣ x2+2x+3 与 x 轴交于 A， B 两点，点 A 在点 B 的左侧．（1〕求 A，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2〕设此抛物线的顶点为 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求四边形 ACBD的面积．20．如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，∠ A=∠BDC．（1〕求证：△ ABD∽△ DCB；（2〕假设 AB=12，AD=8，CD=15，求 DB的长．21．某小区有一块长21 米，宽 8 米的矩形空地，如下图．社区方案在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60 平方米，人行通道的宽度应是多少米？22．抛物线 C1：y1=2x2﹣4x+k 与 x 轴只有一个公共点．（1〕求 k 的值；（2〕怎样平移抛物线 C1就可以得到抛物线 C2：y2=2〔 x+1〕2﹣ 4k？请写出具体的平移方法；〔 3〕假设点 A〔 1，t 〕和点 B〔 m，n〕都在抛物线C2：y2=2〔x+1〕2﹣4k 上，且n＜t ，直接写出 m 的取值范围．23．如图， AB 是⊙ O 的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙ O上，且OC⊥AB 于点 D，∠ E=30°，连接 OA．〔 1〕求 OA 的长；〔 2〕假设 AF 是⊙ O 的另一条弦，且点O 到 AF 的距离为，直接写出∠ BAF的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度〔测角仪高度忽略不计〕．他们的操作方法如下：如图，他们先在 B 处测得最高塔塔顶 A 的仰角为 45°，然后向最高塔的塔基直行90 米到达 C 处，再次测得最高塔塔顶 A 的仰角为 58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米．〔参考数据： sin58 °≈， cos58°≈，tan58 °≈〕25．如图，△ ABC 内接于⊙ O， AB 是⊙ O 的直径． PC 是⊙ O 的切线， C 为切点， PD⊥ AB 于点 D，交 AC 于点 E．（1〕求证：∠ PCE=∠ PEC；（2〕假设 AB=10，ED= ，sinA= ，求 PC的长．26．阅读下面材料：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线y1=ax+b 与双曲线 y2= 交于 A〔 1，3〕和 B〔﹣ 3，﹣ 1〕两点．观察图象可知：①当 x=﹣ 3 或 1 时， y1=y2；②当﹣ 3＜x＜0 或 x＞1 时， y1＞ y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0 的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣ x﹣4＞0 的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将〔2〕、〔 3〕、〔 4〕补充完整：（1〕将不等式按条件进行转化：当 x=0 时，原不等式不成立；27 / 42当x＜0 时，原不等式可以转化为 x2+4x﹣ 1＜；〔 2〕构造函数，画出图象设 y3=x2+4x﹣1， y4= ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；〔不用列表〕（3〕确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜测并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有 x 的值为；〔 4〕借助图象，写出解集结合〔1〕的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3 4x2﹣x﹣4＞0 的+解集为．27．〔 7 分〕如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数y=﹣bx c 的图+ +象经过点 A〔1 ，0〕，且当 x=0 和 x=5 时所对应的函数值相等．一次函数 y=﹣x+3 与二次函数 y=﹣+bx+c 的图象分别交于 B， C 两点，点 B 在第一象限．〔 1〕求二次函数 y=﹣+bx+c 的表达式；（2〕连接 AB，求 AB 的长；（3〕连接 AC，M 是线段 AC 的中点，将点 B 绕点 M 旋转 180°得到点 N，连接AN，CN，判断四边形 ABCN的形状，并证明你的结论．28．〔 7 分〕在△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=BC=4，M 为 AB 的中点． D 是射线BC上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE，连接ED，N 为 ED 的中点，连接 AN， MN ．〔 1〕如图 1，当 BD=2时， AN=，NM与AB的位置关系是；（2〕当 4＜BD＜8 时，①依题意补全图 2；②判断〔 1〕中 NM 与 AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3〕连接 ME，在点 D 运动的过程中，当 BD 的长为何值时， ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．29．〔 8 分〕在平面直角坐标系 xOy 中，过⊙ C 上一点 P 作⊙ C 的切线 l．当入射光线照射在点P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l 的夹角和入射光线与切线 l 的夹角相等，点 P 称为反射点．规定：光线不能“穿过〞⊙C，即当入射光线在⊙ C 外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙ C 内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙ C 外反射的示意图如图 1 所示，其中∠ 1=∠2．〔 1〕自⊙ C 内一点出发的入射光线经⊙ C 第一次反射后的示意图如图 2 所示，P1是第 1 个反射点．请在图 2 中作出光线经⊙ C 第二次反射后的反射光线；〔 2〕当⊙ O 的半径为 1 时，如图 3，①第一象限内的一条入射光线平行于x 轴，且自⊙ O 的外部照射在其上点 P处，此光线经⊙ O 反射后，反射光线与y 轴平行，那么反射光线与切线l 的夹角为°；②自点 A〔﹣ 1，0〕出发的入射光线，在⊙ O 内不断地反射．假设第 1 个反射点P1在第二象限，且第12 个反射点 P12与点 A 重合，那么第1 个反射点 P1的坐标为；〔 3〕如图 4，点 M 的坐标为〔 0，2〕，⊙ M 的半径为 1．第一象限内自点O 出发的入射光线经⊙ M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P 的纵坐标的取值范围．-学年西九年级〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔此题共30 分，每题 3 分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数 y=〔x﹣5〕2+7 的最小值是〔〕A．﹣ 7B．7 C．﹣ 5D．5【考点】二次函数的最值．【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵ y=〔x﹣5〕2+7∴当 x=5 时， y 有最小值 7．应选 B．【点评】此题考查了二次函数的最值：当a＞0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣，函数最小值y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧， y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣，函数最大值y=．2．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，AC=3，BC=4，那么 cosA 的值为〔〕A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在 Rt△ABC中，∠ C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5．cosA= =，应选： A．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，⊙ C 与∠ AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙ C 相切于点 P．假设∠AOB=90°，OP=6，那么 OC的长为〔〕A．12 B．C．D．【考点】切线的性质．【分析】连接CP，由切线的性质可得CP⊥ AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△ POC 是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC 的长．【解答】解：连接 CP，∵OA 边与⊙ C 相切于点 P，∴ CP⊥AO，∵⊙ C 与∠ AOB的两边分别相切，∠AOB=90°，∴∠ POC=45°，∴OP=CP=6，∴ OC= =6 ，应选 C．【点评】此题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△ POC是等腰直角三角形是解题关键．4．将二次函数 y=x2﹣ 6x+5 用配方法化成 y=〔 x﹣h〕2+k 的形式，以下结果中正确的是〔〕A．y=〔x﹣ 6〕2+5 B．y=〔 x﹣ 3〕2+5 C．y=〔x﹣3〕2﹣4D． y=〔 x+3〕2﹣9【考点】二次函数的三种形式．【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解： y=x2﹣ 6x+5=x2﹣6x+9﹣4=〔 x﹣ 3〕2﹣4，应选： C．【点评】此题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．5．假设一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，那么此扇形的圆心角等于〔〕A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】弧长的计算．【分析】把弧长公式进行变形，代入数据计算即可．【解答】解：根据弧长的公式l=，得n===120°，应选： D．【点评】此题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l=是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为〔﹣ 1， 2〕， AB⊥ x 轴于点B．以原点 O 为位似中心，将△ OAB 放大为原来的 2 倍，得到△ OA1B1，且点 A1在第二象限，那么点A1的坐标为〔〕A．〔﹣ 2，4〕B．〔，1〕C．〔 2，﹣ 4〕D．〔 2，4〕【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】直接利用位似图形的性质以及结合 A 点坐标直接得出点 A1的坐标．【解答】解：∵点 A 的坐标为〔﹣ 1，2〕，以原点 O 为位似中心，将△ OAB放大为原来的 2 倍，得到△ OA1B1，且点 A1在第二象限，∴点 A1的坐标为〔﹣ 2， 4〕．应选： A．【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东 37°方向，距离灯塔40 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的正东方向上的 B 处．这时，B 处与灯塔 P 的距离 BP 的长可以表示为〔〕A．40 海里B．40tan37 °海里C．40cos37 °海里D．40sin37 海°里【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】根据条件得出∠ BAP=37°，再根据 AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P 的南偏东 37°方向，∴∠ BAP=37°，∵ AP=40海里，∴BP=AP?sin37°=40sin37海°里；应选 D．【点评】此题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，表达了数学应用于实际生活的思想．8．如图， A，B，C 三点在的圆上，在△ABC 中，∠ ABC=70°，∠ ACB=30°，D 是的中点，连接DB，DC，那么∠ DBC的度数为〔〕A．30°B．45°C．50°D．70°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，根据等腰三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵∠ ABC=70°，∠ ACB=30°，∴∠ A=80°，∴∠ D=∠ A=80°，∵ D 是的中点，∴，∴BD=CD，∴∠ DBC=∠DCB==50°，应选 C．【点评】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价 1 元，每星期可多卖出20 件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，那么 y 与 x 的关系式为〔〕A．y=60〔300+20x〕B．y=〔 60﹣x〕〔 300+20x〕C．y=300〔60﹣ 20x〕D．y=〔 60﹣x〕〔 300﹣20x〕【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据降价 x 元，那么售价为〔 60﹣ x〕元，销售量为〔 300+20x〕件，由题意可得等量关系：总销售额为 y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【解答】解：降价 x 元，那么售价为〔 60﹣x〕元，销售量为〔 300+20x〕件，根据题意得， y=〔 60﹣x〕〔 300+20x〕，应选： B．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．．二次函数2﹣ 8x+m 满足以下条件：当﹣ 2＜x＜﹣ 1 时，它的图象位于 x 10 y=2x轴的下方；当6＜x＜7 时，它的图象位于 x 轴的上方，那么 m 的值为〔〕A．8 B．﹣ 10C．﹣ 42D．﹣ 24【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，在 7＜ x＜8 这一段位于 x 轴的上方，利用抛物线对称性得到抛物线在0＜x＜1 这一段位于x 轴的上方，而图象在 1＜ x＜2 这一段位于 x 轴的下方，于是可得抛物线过点〔﹣ 2，0〕，〔 6，0〕，然后把〔﹣ 2，0〕代入 y=2x2﹣ 8x+m 可求出 m 的值．【解答】解：∵抛物线 y=2x2﹣8x+m=2〔 x﹣2〕2﹣8+m 的对称轴为直线 x=2，而抛物线在﹣ 2＜x＜﹣ 1 时，它的图象位于 x 轴的下方；当 6＜x＜7 时，它的图象位于 x 轴的上方∴抛物线过点〔﹣ 2，0〕，〔 6， 0〕，2把〔﹣ 2，0〕代入 y=2x ﹣8x+m 得 8+16+m=0，解得 m=﹣24．【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c〔 a ， b ， c 是常数， a ≠ 0 〕与 x 轴的交点坐标，令 y=0，即ax2+bx+c=0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．△ =b2﹣ 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：△ =b2﹣ 4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△ =b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△ =b2﹣ 4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．二、填空题〔此题共18 分，每题 3 分〕11．假设，那么的值为．【考点】比例的性质．【分析】的比值，根据比例的合比性质即可求得．【解答】解：根据比例的合比性质，=，那么=．【点评】熟练应用比例的合比性质．12．点 A〔﹣ 3，y1〕， B〔2， y2〕在抛物线 y=x2﹣5x 上，那么 y1＞y2．〔填“＞〞，“＜〞或“ =〕〞【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为﹣ 3、2 时的函数值，然后比拟函数值的大小即可．【解答】解：当 x=﹣3 时， y1=x2﹣5x=24；当x=2 时， y2=x2﹣5x=﹣6；∵ 24＞﹣ 6，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．△ ABC 的三边长分别为5， 12，13，与它相似的△ DEF 的最小边长为15，那么△ DEF的周长为90．【考点】相似三角形的性质．【分析】由△ ABC的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△ DEF的最小边长为15，即可求得△ AC 的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵△ ABC的三边长分别为5， 12，13，∴△ ABC的周长为： 5+12+13=30，∵与它相似的△ DEF的最小边长为 15，∴△ DEF的周长：△ ABC的周长 =15： 5=3：1，∴△ DEF的周长为： 3×30=90．故答案为 90．【点评】此题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．14．如图，线段 AB 和射线 AC 交于点 A，∠ A=30°，AB=20．点 D 在射线 AC 上，且∠ ADB是钝角，写出一个满足条件的 AD 的长度值： AD= 10 ．【考点】含 30 度角的直角三角形．【分析】过 B 作 BE⊥ AC 于 E，由∠ A=30°，AB=20，得到 AE=10 ，推出∠ADB ＞∠ AEB，即可得到结论．【解答】解：过 B 作 BE⊥AC于 E，∵∠ A=30°，AB=20，∴AE=10 ，∵∠ ADB 是钝角，∴∠ ADB＞∠ AEB，∴0＜ AD＜10 ，∴AD=10，故答案为： 10．【点评】此题考查了含 30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．15．程大位所著?算法统宗?是一部传统数学重要的著作．在?算法统宗?中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？〞【注释】 1 步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有 1 尺高，如将秋千的踏板往前推动两步〔 10 尺〕时，踏板就和人一样高，这个人身高是 5 尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？〞如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态， A 是踏板， CD 是地面，点 B 是推动两步后踏板的位置，弧AB 是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺， CD=EB=10尺，人的身高 BD=5 尺．设绳索长 OA=OB=x尺，那么可列方程为 102+〔x﹣5+1〕2=x2．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设绳索有 x 尺长，此时绳索长，向前推出的 10 尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列出方程．【解答】解：设绳索长 OA=OB=x尺，22 2由题意得， 10 +〔 x﹣5+1〕 =x ．故答案为： 102+〔 x﹣5+1〕2=x2．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来求解．16．阅读下面材料：在学习?圆?这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．： P 为⊙ O 外一点．求作：经过点 P 的⊙ O 的切线．小敏的作法如下：如图，（1〕连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线 MN 交 OP 于点 C；（2〕以点 C 为圆心， CO 的长为半径作圆，交⊙ O 于 A， B 两点；（3〕作直线 PA， PB．所以直线 PA， PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请答复：连接 OA，OB 后，可证∠ OAP=∠ OBP=90°，其依据是直径所对的圆周角是 90°；由此可证明直线PA，PB 都是⊙ O 的切线，其依据是经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．【考点】作图—复杂作图；切线的判定．【分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．【解答】解：连接 OA， OB 后，可证∠ OAP=∠ OBP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是 90°；由此可证明直线PA， PB都是⊙ O 的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆故答案为：直径所对的圆周角是的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键．三、解答题〔此题共 72 分，第 17-26 题，每题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分〕解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．217．计算： 4cos30 ° ?tan60﹣°sin 45°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式 =4× × ﹣〔〕2=6﹣=．【点评】此题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．如图，△ ABC中， AB=12，BC=15，AD⊥ BC于点 D，∠ BAD=30°，求tanC 的值．【考点】解直角三角形．【分析】根据在△ ABC 中， AB=12，BC=15， AD⊥ BC 于点 D，∠ BAD=30°，可以求得 BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC 的值．【解答】解：∵△ ABC中， AB=12， BC=15，AD⊥BC于点 D，∠ BAD=30°，∴∠ ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴CD=BC﹣BD=15﹣6=9，∴ AD=，∴ tanC=．即 tanC 的值是．【点评】此题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．19．抛物线 y=﹣ x2+2x+3 与 x 轴交于 A， B 两点，点 A 在点 B 的左侧．（1〕求 A，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2〕设此抛物线的顶点为 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求四边形 ACBD的面积．【考点】抛物线与 x 轴的交点．【分析】〔1〕令 y=0 解方程即可求得 A 和 B 的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；（2〕首先求得 D 的坐标，然后利用面积公式即可求解．【解答】解：〔 1〕令 y=0，那么﹣ x2+2x+3=0，解得： x1=﹣1，x2=3．那么 A 的坐标是〔﹣ 1，0〕， B 的坐标是〔 3， 0〕．y=﹣x2+2x+3=﹣〔 x﹣1〕2+4，那么对称轴是 x=1，顶点 C 的坐标是〔 1，4〕；〔 2〕 D 的坐标是〔 1，﹣ 4〕．AB=3﹣〔﹣ 1〕=4， CD=4﹣〔﹣ 4〕=8，那么四边形 ACBD的面积是：AB?CD= × 4× 8=16．【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得 A 和 B 的坐标是关键．20．如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，∠ A=∠BDC．（1〕求证：△ ABD∽△ DCB；（2〕假设 AB=12，AD=8，CD=15，求 DB的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】〔1〕根据平行线的性质，可得∠ ADB 与∠ DBC 的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2〕根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】〔1〕证明：∵ AD∥BC，∴∠ ADB=∠DBC．∵∠ A=∠ BDC，∴△ ABD∽△ DCB；（2〕∵△ ABD∽△ DCB， AB=12，AD=8， CD=15，∴= ，即 = ，解得 DB=10，DB 的长 10．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．21．某小区有一块长21 米，宽 8 米的矩形空地，如下图．社区方案在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60 平方米，人行通道的宽度应是多少米？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设人行道的宽度为x 米，那么矩形绿地的长度为：，宽度为：8﹣2x，根据两块绿地的面积之和为60 平方米，列方程求解．【解答】解：设人行道的宽度为x 米，由题意得， 2××〔8﹣2x〕=60，解得： x1=2，x2=9〔不合题意，舍去〕．答：人行道的宽度为 2 米．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是读懂题意，设出未知数，找出适宜的等量关系，列方程求解．22．抛物线 C1：y1=2x2﹣4x+k 与 x 轴只有一个公共点．（1〕求 k 的值；（2〕怎样平移抛物线 C1就可以得到抛物线 C2：y2=2〔 x+1〕2﹣ 4k？请写出具体的平移方法；〔 3〕假设点 A〔 1，t 〕和点 B〔 m，n〕都在抛物线 C2：y2=2〔x+1〕2﹣4k 上，且n＜t ，直接写出 m 的取值范围．【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．【分析】〔1〕抛物线与 x 轴只有一个公共点，那么判别式△ =0，据此即可求得 k 的值；（2〕把 C1化成顶点式的形式，利用函数平移的法那么即可确定；（3〕首先求得 t 的值，然后求得等 y=t 时 C2中对应的自变量的值，结合函数的性质即可求解．【解答】解：〔 1〕根据题意得：△ =16﹣8k=0，解得： k=2；（2〕 C1是： y1=2x2﹣4x+2=2〔x﹣1〕2，抛物线 C2是： y2=2〔x+1〕2﹣8．那么平移抛物线 C1就可以得到抛物线 C2的方法是向左平移 2 个单位长度，向下平移 8 个单位长度；（3〕当 x=1 时， y2=2〔 x+1〕2﹣ 8=0，即 t=0．在y2=2〔 x+1〕2﹣ 8 中，令 y=0，解得： x=1 或﹣ 3．那么当 n＜t 时，即 2〔x+1〕2﹣8＜0 时， m 的范围是﹣ 3＜ m＜1．【点评】此题考查抛物线与x 轴的交点的个数确实定，以及函数的平移方法，根据函数的性质确定m 的范围是关键．23．如图， AB 是⊙ O 的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙ O上，且OC⊥AB 于点 D，∠ E=30°，连接 OA．〔 1〕求 OA 的长；〔 2〕假设 AF 是⊙ O 的另一条弦，且点O 到 AF 的距离为，直接写出∠ BAF的度数．【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【分析】〔1〕根据垂径定理求出 AD 的长，根据圆周角定理求出∠ AOD 的度数，运用正弦的定义解答即可；（2〕作 OH⊥AF 于 H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出∠ OAF 的度数，分情况计算即可．【解答】解：〔 1〕∵ OC⊥ AB，AB=，∴AD=DB=2 ，∵∠ E=30°，∴∠ AOD=60°，∠ OAB=30°，∴ OA==4；（2〕如图，作 OH⊥AF 于 H，∵ OA=4，OH=2 ，∴∠ OAF=45°，∴∠ BAF=∠OAF+∠OAB=75°，那么∠ BAF′=∠OAF′﹣∠ OAB=15°，∴∠ BAF的度数是 75°或 15°．【点评】此题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度〔测角仪高度忽略不计〕．他们的操作方法如下：如图，他们先在 B 处测得最高塔塔顶 A 的仰角为 45°，然后向最高塔的塔基直行90 米到达 C 处，再次测得最高塔塔顶 A 的仰角为 58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米．〔参考数据： sin58 °≈， cos58°≈，tan58 °≈〕【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据已知条件求出BD=AD，设 DC=x，得出AD=90+x ，再根据tan58 °=，求出x的值，即可得出AD 的值．【解答】解：∵∠ B=45°，AD⊥DB，∴∠ DAB=45°，∴BD=AD，设DC=x，那么BD=BC+DC=90+x，∴27 / 42∴ tan58 °= =，解得： x=150，∴AD=90+150=240〔米〕，答：最高塔的高度 AD 约为 240 米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．25．如图，△ ABC 内接于⊙ O， AB 是⊙ O 的直径． PC 是⊙ O 的切线， C 为切点， PD⊥ AB 于点 D，交 AC 于点 E．（1〕求证：∠ PCE=∠ PEC；（2〕假设 AB=10，ED= ，sinA= ，求 PC的长．【考点】切线的性质．【分析】〔1〕由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ ACB=90°．由同角的余角相等可知∠AED=∠ B，结合对顶角的性质可知∠PCE=∠PEC；〔 2〕过点 P 作 PF⊥ AC，垂足为 F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC=8，AE= ，由等腰三角形三线合一的性质可知 EF= ，然后证明△ AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得 PE的长，从而得到 PC的长．【解答】解：〔 1〕∵ PC是圆 O 的切线，∴∠ PCA=∠B．∵AB是圆 O 的直径，∴∠。
北京西城区2019年初三上年末考试数学试题及解析
北京西城区2019年初三上年末考试数学试题及解析九年级数学2018.1作图题用下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意旳、 1、抛物线2(2)1y x =-+旳顶点坐标是 A 、(21)， B 、(21)-，C 、(21)-，D 、(21)--，2、如图，⊙O 是△ABC 旳外接圆，假设o 100AOB ∠=，那么∠ACB 旳度数是 A 、40° B 、50° C 、60° D 、80°3、假设两个圆旳半径分别为2和1，圆心距为3，那么这两个圆旳位置关系是A 、内含B 、内切C 、相交D 、外切4、以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形旳是 ABCD5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设BC ＝1，AC ＝2，那么sin A 旳值为A B C 、12D 、26、如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠旳对称轴为直线12x =-、以下结论中，正确旳选项是 A 、a ＜0B 、当12x <-时，y 随x 旳增大而增大C 、0a b c ++>D 、当12x =-时，y 旳最小值是44c b-7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点旳横、纵坐标差不多上整数、假设将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，那么旋转中心旳坐标是 A 、(00)， B 、(10)， C 、(11)-， D 、(2.50.5)， 8、假设抛物线()2231y x m m =-+-〔m 是常数〕与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴旳两侧，那么m 旳取值范围是 A 、2m < B 、2m > C 、94m <D 、94m > 【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕9、如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，假设2AD =，3DB =，1DE =，那么BC 旳长是、10、把抛物线2=y x 向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线=y 、11、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝2、将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角后得到△A ′B ′C ，当点A 旳对应点A'落在AB 边上时，旋转角α旳度数是度，阴影部分旳面积为、12、在平面直角坐标系xOy 中，过点(65)A ，作AB ⊥x 轴于点B 、半径为(05)r r <<旳⊙A与AB 交于点C ，过B 点作⊙A 旳切线BD ，切点为D ，连接DC 并延长交x 轴于点E .〔1〕当52r =时，EB 旳长等于；〔2〕点E 旳坐标为〔用含r 旳代数式表示〕、 【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕 13、计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒、 14、：二次函数23y x bx =+-旳图象通过点(25)A ，、〔1〕求二次函数旳【解析】式；〔2〕求二次函数旳图象与x 轴旳交点坐标；〔3〕将〔1〕中求得旳函数【解析】式用配方法化成2()y x h k =-+旳形式、15、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，点P 在AD 边上，且PC PB ⊥、假设AB＝6，DC ＝4，PD ＝2，求PB 旳长、 16、列方程或方程组解应用题：“美化都市，改善人民居住环境”是都市建设旳一项重要内容、某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2017年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2018年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2017年底至2018年底该市城区绿地总面积旳年平均增长率、 17、如图，为了估算某河旳宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BD ，∠ACB ＝45°，∠ADB ＝30°，同时点B ，C ，D 在同一条直线上、假设测得CD ＝30米，求河宽AB 〔结果上，EF ∥AB 、假设EF ＝16，直截了当写出EF 20分，每题5分〕19、设二次函数2143y x x =-+旳图象为C 1、二次函数22(0)y ax bx c a =++≠旳图象与C 1关于y 轴对称、〔1〕求二次函数22y ax bx c =++旳【解析】式； 〔2〕当3x -<≤0时，直截了当写出2y 旳取值范围； 〔3〕设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象旳顶点为点A ，与y 轴旳交点为点B ，一次函数3y kx m =+(k ，m 为常数，k ≠0)旳图象通过A ，B 两点，当23y y <时，直截了当写出x 旳取值范围、20、如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上任意一点〔不A B CO与点C ，D 重合〕，作AF ⊥AE 交CB 旳延长线于点F 、 〔1〕求证：△ADE ∽△ABF ；〔2〕连接EF ，M 为EF 旳中点，AB ＝4，AD ＝2，设DE ＝x ， ①求点M 到FC 旳距离〔用含x 旳代数式表示〕；②连接BM ，设2BM y =，求y 与x 之间旳函数关系式，并直截了当写出BM 旳长度旳最小值、21、如图，AB 是⊙O 旳直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 旳切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 旳延长线于点E 、 〔1〕求证：DE 是⊙O 旳切线；〔2〕假设23CE DE =，求cos ABC ∠旳值、22、阅读下面材料：定义：与圆旳所有切线和割线．．．．．．．问题：⊙O 旳半径为1，画一个⊙O 旳关联图形、在解决这个问题时，小明以O 为原点建立平面直角坐标系xOy 进行探究，他发觉能画出专门多⊙O 旳关联图形，例如：⊙O 本身和图1中旳△ABC 〔它们差不多上封闭旳图形〕，以及图2中以O 为圆心旳〔它是非封闭旳图形〕，它们差不多上⊙O 旳关联图形、而图2中以P ，Q 为端点旳一条曲线就不是⊙O 旳关联图形、 参考小明旳发觉，解决问题：〔1；①⊙O 旳外切正多边形 ②⊙O 旳内接正多边形③⊙O 旳一个半径大于1旳同心圆〔2〕假设图形G 是⊙O 旳关联图形，同时它是封闭旳，那么图形G 旳周长旳最小值是﹏﹏﹏﹏； 〔3〕在图2中，当⊙O 旳关联图形旳弧长最小时，通过D ，E 两点旳直线为y =﹏﹏； 〔4〕请你在备用图中画出一个⊙O 旳关联图形，所画图形旳长度l 小于〔2〕中图形G旳周长旳最小值，并写出l 旳值〔直截了当画出图形，不写作法〕、【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕23、：二次函数2314y x mx m =-++〔m 为常数〕、〔1〕假设那个二次函数旳图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴旳正半轴上、 ①求m 旳值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴旳负半轴上，现将那个二次函数旳图象平移，使平移后旳函数图象恰好通过B ，C 两点，求平移后旳图象对应旳函数【解析】式；（DmE（DmE〔2〕当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++旳最小值〔用含m 旳代数式表示〕、24、：△ABC ，△DEF 差不多上等边三角形，M 是BC 与EF 旳中点，连接AD ，BE .〔1〕如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直截了当写出AD 与BE 旳数量关系和位置关系； 〔2〕△ABC 固定不动，将图1中旳△DEF 绕点M 顺时针旋转α〔o 0≤α≤o 90〕角，如图2所示，推断〔1〕中旳结论是否仍然成立，假设成立，请加以证明；假设不成立，说明理由；〔3〕△ABC 固定不动，将图1中旳△DEF 绕点M 旋转α〔o 0≤α≤o 90〕角，作DH ⊥BC于点H 、设BH ＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成旳图形面积为S 、当AB ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 旳函数关系式，并写出相应旳x 旳取值范围、25、：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠旳图象与x 轴交于点A ，B 〔A 点在B 点旳左侧〕，与y 轴交于点C ，△ABC 旳面积为12、〔1〕①填空：二次函数图象旳对称轴为； ②求二次函数旳【解析】式； 〔2〕点D 旳坐标为〔－2，1〕，点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan 2ADP ∠=，求点P 旳横坐标； 〔3〕点E 在x 轴旳正半轴上，o 45OCE ∠>，点O 与点O '关于EC 所在直线对称、作ON⊥EO '于点N ，交EC 于点M 、假设EM ·EC ＝32，求点E 旳坐标、北京市西城区2018-2018学年度第一学期期末九年级数学试卷参考【答案】及评分标准2018.1【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕13、解：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒、2322=- ......................................... 4分= ....................................................... 5分14、解：〔1〕∵二次函数23y x bx =+-旳图象通过点A (2，5)，∴4235b +-=、 ............................................. 1分 ∴2b =、∴二次函数旳【解析】式为223y x x =+-、 ...................... 2分 〔2〕令0y =，那么有2230x x +-=、解得13x =-，21x =、∴二次函数旳图象与x 轴旳交点坐标为(3,0)-和(1,0)、 ............. 4分 〔3〕223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-、 .............................................. 5分15、解：∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，∴∠D =90°、∴90DCP DPC ∠+∠=︒、 ∵PC PB ⊥，∴∠BPC =90°，90DPC APB ∠+∠=︒、 ∴∠DCP =∠APB 、 ......................... 2分 ∴t an an t DCP APB =∠∠、 在Rt △PCD 中，CD =2，PD =4， ∴1tan 2PD DCP CD ∠==、在Rt △PBA 中，AB =6， ∴tan AB APB PA∠=、∴162PA =、 ∴12PA =、 ....................................................... 4分5分16x 、 .... 1分依题意，得75(1)108x +=、 ............................................ 2分整理，得236(1)25x +=、 ................................................. 3分 615x +=±、解得x 1=0.2=20%，x 2=－2.2〔舍去〕、 ..................................... 4分 答：从2017年底至2018年底该市城区绿地总面积旳年平均增长率是20%、 .... 5分 17、解：设河宽AB 为x 米、 ................................................ 1分∵AB ⊥BC ，AC B 〔2〕2或14、 .................................................... 5分【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕 19、解：〔1〕二次函数2143y x x =-+图象旳顶点(2,1)-关于y 轴旳对称点坐标为(2,1)--，······················· 1分∴所求旳二次函数旳【解析】式为22(2)1y x =+-， ········ 2分即2243y x x =++、〔2〕1-≤2y ≤3、 ·························· 4分 〔3〕20x -<<、 ··························· 5分 20、〔1〕证明：∵在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°、∴90ABF D ∠=∠=︒、 ∵AF ⊥AE ，∴∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒、 ∴90BAE BAF ∠+∠=︒、 ∴∠DAE =∠BAF 、∴△ADE ∽△ABF 、 ···················· 2分〔2〕解：①如图，取FC 旳中点H ，连接MH 、∵M 为EF 旳中点，∴MH ∥DC ，12MH EC =、∵在矩形ABCD 中，∠C =90°，∴MH ⊥FC ，即MH 是点M 到FC 旳距离、 ∵DE =x ，DC =AB =4、 ∴EC =4x -，H MDFA ECB∴12MH EC =122x =-、 即点M 到FC 旳距离为MH 122x =-、 ...........................3分 ②∵△ADE ∽△ABF ，∴DE BF AD AB =、 ∴24x BF =、 ∴2BF x =，FC =22x +，FH =CH =1x +、 ∴1HB BF HF x =-=-、 ∵122MH x =-， ∴在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2MB BH MH x x =+=-+-25454x x =-+、 ∴25454y x x =-+〔04x <<〕， .............................. 4分当85x =时，BM 长旳最小值是、 .......................... 5分21、〔1〕证明：如图，连接OC 、∵AD 是过点A 旳切线，AB 是⊙O 旳直径， ∴AD ⊥AB ， ∴∠DAB =90°、 ∵OD ∥BC ，∴∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC 、 ∵OC =OB ，∴∠OCB =∠ABC 、 ∴∠DOC =∠AOD 、在△COD 和△AOD 中， OC =OA ，∠DOC =∠AOD ， OD =OD ，∴△COD ≌△AOD 、 .................................................. 1分 ∴∠OCD=∠DAB =90°、 ∴OC ⊥DE 于点C 、 ∵OC 是⊙O 旳半径， ∴DE 是⊙O 旳切线、 ................................................ 2分〔2〕解：由23CE DE =，可设2(0)CE k k =>，那么3DE k =、................... 3分 ∴AD DC k ==、∴在Rt △DAE 中，AE =、∴tan E =AD AE =∵在Rt △OCE 中，tan 2OC OCE CE k==、2OC k=，∴OC OA ==∴在Rt △AOD中，OD 、.. ....................... 4分∴cos cos OA ABC AOD OD ∠=∠=、.. ............................... 5分 22、解：〔1〕①③； ..... 2分〔2〕2π； ...... 3分〔3〕x -- . 4分〔4〕【答案】不唯一，所画图形是非封闭旳，长度l 满足2π+≤l ＜2π、 例如：在图1中l 2=π+，在图2中l =6、 .... 5分阅卷说明：在〔1〕中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在〔4〕中画图正确且图形长度都正确得1分，否那么得0分、【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕23、解：〔1〕①∵二次函数2314y x mx m =-++旳图象与x 轴只有一个公共点A ，∴∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=、 .................................. 1分整理，得2340m m --=、 解得，14m =，21m =-、 又点A 在x 轴旳正半轴上， ∴0m >、 ∴m =4、 ....................................................... 2分 ②由①得点A 旳坐标为(20)，、∵四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴旳负半轴上， ∴点B 旳坐标为(02)-，，点C 旳坐标为(22)-，、 .................... 3分设平移后旳图象对应旳函数【解析】式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)、 ∴2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后旳图象对应旳函数【解析】式为222y x x =--、 ............. 4分〔２〕函数2314y x mx m =-++旳图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上旳抛物线、分三种情况：(ⅰ)当02m<，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 旳增大而增大，现在函数旳最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数旳最小值为23144m m -++；(ⅲ)当22m>，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 旳增大而减小，现在函数旳图1 图2最小值为554m -+、综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++旳最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++旳最小值为23144m m -++；当4m >时，函数2314y x mx m =-++旳最小值为554m -+、 ............. 7分24、〔1〕ADBE=，AD BE ⊥、............................................ 2分 〔2〕证明：连接DM ，AM 、在等边三角形ABC 中，M 为BC 旳中点，∴AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AMBM=∴90BME EMA ∠+∠=︒、同理，DMEM =90AMD EMA ∠+∠=︒、∴AM DM BM EM=，AMD BME ∠=∠、 ·· 3分 ∴△ADM ∽△BEM 、 ∴AD DM BE EM= ........................................ 4分 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K 、 ∴MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠、 ∴90GKA AMB ∠=∠=︒、 ∴AD BE ⊥、 .............................................. 5分〔3〕解：(ⅰ)当△DEF 绕点M 顺时针旋转α(o 0≤α≤o 90)∵△ADM ∽△BEM ， ∴2()3ADM BEM S AD S BE∆∆==、 ∴13BEM ADM S S ∆∆=∴ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+-121133)12322x =⨯⨯⨯⨯--⨯ =+∴S =〔3≤x ≤3+〕、 .............................. 6分 (ⅱ)当△DEF 绕点M 逆时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，可证△ADM ∽△BEM ， ∴21()3BEM ADM S BM S AM ∆∆==、 ∴13BEM ADM S S ∆∆=、∴ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--21)32x =⨯⨯-=∴S =(3-≤x ≤3)、综上，S +(3x ≤3+、 .......................... 7分25、解：〔11分.............. 2分〔2〕如图，作(ⅰ)在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2ADF DF∠==、延长DF 与抛物线交于点P 1，那么P 1点为所求、 ∴点P 1旳坐标为(24)--，、 .................................... 3分 (ⅱ)当点P 在直线AD 旳上方时，延长P 1A 至点G 使得AG =AP 1，连接DG ，作GH⊥x 轴于点H ，如下图、 可证△GHA ≌△1PFA 、 ∴HA =AF ，GH =P 1F ，GA =P 1A 、 又∵(40)A -，，1(2P --，∴点G 旳坐标是(64)-，、在△ADP 1中，DA =DP 1＝５，1AP =，∴22211DA AP DP +=、∴1o 90DAP ∠=、∴DA ⊥1GP 、 ∴1DG DP =、 ∴1ADG ADP ∠=∠、∴1tan tan ADG ADP ∠=∠=P 点为所求、作DK 2S ∥GK 交DK 于点S 、设P 24)x +-，那么222141522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--、由2P S DS =，3GK =，4DK =，得215224x x x +---=、 综5分 〔3o 90=、6分 ∴CT MT =、∵在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ET OEC OE∠=， 在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OE OEC EC∠=， ∴OE ET EC OE=、 ∴2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅32TM EC =+⋅、同理2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=、∴2321648OE =+=、∵0OE >，∴OE =，....................................... 8分。
北京市西城区九级第一学期期末数学试题(含答案)
北京市西城区2018— 2018学年度第一学期期末试卷九年级数学 2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数()257y x =-+的最小值是 A ．7- B ．7 C ．5-D ．52．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35B ．53C ．45D ．343．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12B ．C ．．4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)，AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为 原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1 的坐标为 A ．(2-，4)B ．(12-，1)C ．(2，4-)D ．(2，4)7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与 灯塔P 的距离BP 的长可以表示为 A ．40海里B ．40tan37°海里C ．40cos37°海里D ．40sin37°海里8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是 的中点， 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为 A ．30° B ．45° C ．50°D ．70°9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+ C．300(6020)y x =- D ．(60)(30020)y x x =--10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10- C ．42-D ．24-二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a bb+的值为． 12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”）13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°，AB =20．点D 在射线AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件 的AD 的长度值：AD =．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC =1尺，CD =EB =10尺，人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺，则可列方程为． BAC16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是；由此可证明直线P A ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：24cos30tan60sin 45︒⋅︒-︒．18．如图，△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD 求tan C 的值．19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．20．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠BDC ．（2）若AB =12，AD =8，CD =15，求DB 的长．21．某小区有一块长21M ，宽8M 的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x M 的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方M ，人行通道的宽度应是多少M ？22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直接写出m 的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在⊙O 上，且OC ⊥AB 于点D ，∠E =30°，连接OA ． （1）求OA 的长；（2）若AF 是⊙O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为直接写出∠BAF 的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90M 到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少M ．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：∠PCE =∠PEC ； （2）若AB =10，ED =3，sin A =3，求PC 的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+双曲线2ky x=交于A （1，3）和B （3-，1-）两点． 观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =； ②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式kax b x+>的解集． 有这样一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当0x <时，原不等式可以转化为2441x x x+-<；（2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中 画出抛物线．．．．．2341y x x =+-；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解读式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数21y x bx c =-++的表达式；（2（328．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC = 4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当BD =2时，AN =_______，NM 与AB 的位置关系是____________； （2）当4<BD <8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P 称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．图1 图2 图3（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°；，0)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在②自点A(1第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．图4北京市西城区2018— 2018学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=24………………………………………………………3分=162-=112．…………………………………………………………………………5分18．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=12AB=6，…………………………………1分AD=AB·cos∠BAD =12·cos30°=2分∵BC=15，∴CD= BC－BD=15－6=9．………………………………………………………3分∴在Rt△ADC中，tan C=ADCD……………………………………………………4分=9=3．………………………………………5分19．解：（1）令0=y ，则2230x x -++=．解得 11-=x ，32=x ．………………………………………………………1分 ∵点A 在点B 的左侧，∴A （1-，0），B （3，0）．…………………………………………………2分 对称轴为直线1=x ．…………………………………………………………3分 （2）∵当1x =时，4=y ，∴顶点C 的坐标为（1，4）．…………………………………………………4分∵点C ，D 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（1，4-）．∵AB =4，∴=ACB DCB ACBD S S S ∆∆+四边形1442162=⨯⨯⨯=．………………………………5分20．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ．……………………1分 ∵∠A =∠BDC ，∴△ABD ∽△DCB ．……………………3分（2）解：∵△ABD ∽△DCB ，∴AB ADDC DB=．…………………………………………………………4分 ∵AB =12，AD =8，CD =15， ∴12815DB=． ∴DB =10．………………………………………………………………5分21．解：根据题意，得 (213)(82)60x x --=．…………………………………………2分整理得 211180x x -+=．解得 12x =，29x =．…………………………………………………………3分 ∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =．……………………………………………………………………………4分答：人行通道的宽度是2M ．……………………………………………………5分 22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根．∴2(4)420k ∆=--⨯=．……………………………………………………1分 解得 2k =．…………………………………………………………………2分（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为（1，0），抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为（-1，-8）， ………………3分∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ．…………………………………………………………………4分（3）31m -<<．……………………………………………………………………5分 23．解：（1）∵OC ⊥AB 于点D ，∴AD =DB ， ……………………………………1分∠ADO =90°．∵AB =∴AD =∵∠AOD =2∠E ，∠E =30°，∴∠AOD =60°．………………………………………………………………2分∵在Rt △AOD 中，， ∴OA =︒=∠60sin 32sin AOD AD =4．………………………………………………3分 （2）∠BAF =75°或15°．……………………………………………………………5分24．解：（1）∵在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，∠B =45°，∴∠BAD =90°—∠B =45°． ∴∠BAD =∠B ．∴AD =DB ．……………………………1分 设AD =x ，∵在Rt △ADC 中，tan ∠ACD =ADDC，∠ACD =58°， ∴DC =tan 58x．………………………………………………………………3分∵DB = DC + CB =AD ，CB =90，∴tan 58x+90=x ．……………………………………………………………4分将tan58°≈1.60代入方程，解得x ≈240．…………………………………………………………………5分答：最高塔的高度AD 约为240M ．25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵ PC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴OC ⊥PC ．……………………………1分∴∠PCO =∠1+∠2=90°．∵PD ⊥AB 于点D ，∴∠EDA =90°．∴∠A +∠3=90°．∵OA =OC ，∴∠A =∠1．∴∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．即∠PCE =∠PEC ．…………………………………………………………2分（2）解：作PF ⊥EC 于点F ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵在Rt △ABC 中，AB =10，3sin 5A =， ∴BC =AB ·sin A =6．∴AC =22BC AB -=8．………………………………………………………3分∵在Rt △AED 中，ED =32， ∴AE =sin ED A =52． ∴EC=AC －AE =112． ∵∠2=∠4，∴PE=PC ．∵PF ⊥EC 于点F ，∴FC=124分 ∠PFC =90°．图1 图2∴∠2+∠5=90°．∵∠A +∠2=∠1+∠2=90°．∴∠A =∠5．∴sin ∠5 =35． ∴在Rt △PFC 中，PC =sin 5FC ∠=1255．……………………………………5分26．解：（2）抛物线如图所示； ……………………1分（3）x =4-，1-或1； ……………………3分（4）41x -<<-或1x >．……………………5分27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++， 当0x =和5x =时所对应的函数值相等， ∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称 轴是直线52x =． ∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0）， ∴10,25.2b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………1分 解得 2,5.2c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-．………………………………2分 （2）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点， ∴2153222x x x -+=-+-． 解得 12x =，25x =．………………3分∴交点坐标为（2，1），（5，2-）．∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（2，1）．∴点D 的坐标为（2，0）．在Rt △ABD 中，AD =1，BD =1，∴AB 2．…………………………………………………4分（3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形．………………………………………5分证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转∴M 是线段BN 的中点．∴MB = MN ．∵M 是线段AC 的中点，∴MA = MC．∴四边形ABCN 是平行四边形．……∵一次函数3y x =-+ 当0y =时，3x =．∴点E 的坐标为（3，0）．∴DE =1= DB ．∴在Rt △BDE 中，∠DBE =∠DEB =45°．同理∠DAB =∠DBA =45°．∴∠ABE =∠DBA +∠DBE =90°．∴四边形ABCN 是矩形．……………………………………………7分28．解：（1 …………………………2分（2）①补全图形如图所示； ………………3分②结论：（1）中NM 与AB 的位置关系不变．证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠B =45°．∴∠CAN +∠NAM =45°．∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴AD =AE ，∠DAE =90°．∵N 为ED 的中点，∴∠DAN =12∠DAE =45°， AN ⊥DE ． ∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND =90°．∴∠NAM =∠DAC ．………………………………………………4分在Rt △AND 中，AN AD =cos ∠DAN在Rt △ACB 中，AC AB =cos ∠CAB∵M 为AB 的中点， ∴AB =2AM． ∴22AC AC AB AM ==∴AM AC ． ∴AN AD =AM AC． ∴△ANM ∽△ADC ．∴∠AMN =∠ACD ．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴∠ACD =180°－∠ACB =90°．∴∠AMN =90°． ∴NM ⊥AB ．………………………………………………………5分（3）当BD 的长为 6 时，7分29．解：（1）所得图形，如图1所示．……………………1分（2）①45°； ………………………………………3分②(，12)或(12-)； ……………5分 （3）①如图2，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，点Q 在第一象限，连接MQ ，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ．∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，∴MQ ⊥OQ ．∴∠MQO =90°．∵MO =2，MQ =1， ∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=21=MO MQ ． ∴∠MOQ =30°．M Q∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3．∵QH ⊥x 轴，∴∠QHO =90°．∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°，∴在Rt △QOH 中，QH = OQ ﹒sin ∠QOH =23．…………………………6分 ②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ．∵直线l 是⊙M 的切线，∴MD ⊥l ．∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°．∵∠1=∠2，∴∠OPD =∠NPD ．∵PN ∥x 轴，∴∠NPD =∠PDO ．∴∠OPD =∠PDO ．∴OP =OD ．∵OF ⊥PD ，∴∠MFO =90°，PF =FD ．∵cos OMF ∠=MFMOMO MD =，设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1， ∴12212x x +=+．解得x =∵0x >，∴34x -+=．∵PE ⊥OD ，∴∠PED =90°=∠MOD ．∴PE ∥MO ．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos ∠EPD = cos ∠OMF ． ∴MO MFPD PE=． ∴PD MO MFPE ⋅= =122xx +⋅(1)x x =+=158-．…………………………………………………………7分． 可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵坐标的取值范围是15382P y <．………………………………8分。
北京西城区2019年初三上年末数学试卷含解析解析
北京西城区2019年初三上年末数学试卷含解析解析【一】选择题〔此题共30分，每题3分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意旳、1、二次函数y=〔x﹣5〕2+7旳最小值是〔〕A、﹣7B、7C、﹣5D、52、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA旳值为〔〕A、B、C、D、3、如图，⊙C与∠AOB旳两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P、假设∠AOB=90°，OP=6，那么OC旳长为〔〕A、12B、C、D、4、将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=〔x﹣h〕2+k旳形式，以下结果中正确旳选项是〔〕A、y=〔x﹣6〕2+5B、y=〔x﹣3〕2+5C、y=〔x﹣3〕2﹣4D、y=〔x+3〕2﹣95、假设一个扇形旳半径是18cm，且它旳弧长是12πcm，那么此扇形旳圆心角等于〔〕A、30°B、60°C、90°D、120°6、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A旳坐标为〔﹣1，2〕，AB⊥x轴于点B、以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来旳2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，那么点A1旳坐标为〔〕A、〔﹣2，4〕B、〔，1〕C、〔2，﹣4〕D、〔2，4〕7、如图，一艘海轮位于灯塔P旳南偏东37°方向，距离灯塔40海里旳A处，它沿正北方向航行一段时刻后，到达位于灯塔P旳正东方向上旳B处、这时，B 处与灯塔P旳距离BP旳长能够表示为〔〕A、40海里B、40tan37°海里C、40cos37°海里D、40sin37°海里8、如图，A，B，C三点在旳圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是旳中点，连接DB，DC，那么∠DBC旳度数为〔〕A、30°B、45°C、50°D、70°9、某商品现在旳售价为每件60元，每星期可卖出300件、市场调查反映，假如调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件、设每件商品降价x元后，每星期售出商品旳总销售额为y元，那么y与x旳关系式为〔〕A、y=60〔300+20x〕B、y=〔60﹣x〕〔300+20x〕C、y=300〔60﹣20x〕D、y=〔60﹣x〕〔300﹣20x〕10、二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它旳图象位于x 轴旳下方；当6＜x＜7时，它旳图象位于x轴旳上方，那么m旳值为〔〕A、8B、﹣10C、﹣42D、﹣24【二】填空题〔此题共18分，每题3分〕11、假设，那么旳值为、12、点A〔﹣3，y1〕，B〔2，y2〕在抛物线y=x2﹣5x上，那么y1y2、〔填“＞”，“＜”或“=”〕13、△ABC旳三边长分别为5，12，13，与它相似旳△DEF旳最小边长为15，那么△DEF旳周长为、14、如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20、点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件旳AD旳长度值：AD=、15、程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要旳著作、在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺、送行二步与人齐，五尺人高曾记、仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉、良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺、译文：“当秋千静止时，秋千上旳踏板离地有1尺高，如将秋千旳踏板往前推动两步〔10尺〕时，踏板就和人一样高，那个人身高是5尺、漂亮旳小姐和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断、好奇旳能工巧匠，能算出这秋千旳绳索长是多少吗？”如图，假设秋千旳绳索长始终保持直线状态，OA是秋千旳静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板旳位置，弧AB是踏板移动旳轨迹、AC=1尺，CD=EB=10尺，人旳身高BD=5尺、设绳索长OA=OB=x尺，那么可列方程为、16、阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆旳切线、：P为⊙O外一点、求作：通过点P旳⊙O旳切线、小敏旳作法如下：如图，〔1〕连接OP，作线段OP旳垂直平分线MN交OP于点C；〔2〕以点C为圆心，CO旳长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；〔3〕作直线PA，PB、因此直线PA，PB确实是所求作旳切线、老师认为小敏旳作法正确、请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB差不多上⊙O旳切线，其依据是、【三】解答题〔此题共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程、17、计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°、18、如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tanC旳值、19、抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B旳左侧、〔1〕求A，B两点旳坐标和此抛物线旳对称轴；〔2〕设此抛物线旳顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD旳面积、20、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC、〔1〕求证：△ABD∽△DCB；〔2〕假设AB=12，AD=8，CD=15，求DB旳长、21、某小区有一块长21米，宽8米旳矩形空地，如下图、社区打算在其中修建两块完全相同旳矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽度为x米旳人行通道、假如这两块绿地旳面积之和为60平方米，人行通道旳宽度应是多少米？22、抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点、〔1〕求k旳值；〔2〕如何样平移抛物线C1就能够得到抛物线C2：y2=2〔x+1〕2﹣4k？请写出具体旳平移方法；〔3〕假设点A〔1，t〕和点B〔m，n〕都在抛物线C2：y2=2〔x+1〕2﹣4k上，且n＜t，直截了当写出m旳取值范围、23、如图，AB是⊙O旳一条弦，且AB=、点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB 于点D，∠E=30°，连接OA、〔1〕求OA旳长；〔2〕假设AF是⊙O旳另一条弦，且点O到AF旳距离为，直截了当写出∠BAF旳度数、24、奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致旳独立塔组成、在综合实践活动课中，某小组旳同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔旳高度〔测角仪高度忽略不计〕、他们旳操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 旳仰角为45°，然后向最高塔旳塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 旳仰角为58°、请关心他们计算出最高塔旳高度AD 约为多少米、〔参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60〕25、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 旳直径、PC 是⊙O 旳切线，C 为切点，PD ⊥AB 于点D ，交AC 于点E 、 〔1〕求证：∠PCE=∠PEC ；〔2〕假设AB=10，ED=，sinA=，求PC 旳长、26、阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y 1=ax+b 与双曲线y 2=交于A 〔1，3〕和B 〔﹣3，﹣1〕两点、 观看图象可知：①当x=﹣3或1时，y 1=y 2； ②当﹣3＜x ＜0或x ＞1时，y 1＞y 2，即通过观看函数旳图象，能够得到不等式ax+b＞旳解集、有如此一个问题：求不等式x 3+4x 2﹣x ﹣4＞0旳解集、某同学依照学习以上知识旳经验，对求不等式x 3+4x 2﹣x ﹣4＞0旳解集进行了探究、下面是他旳探究过程，请将〔2〕、〔3〕、〔4〕补充完整： 〔1〕将不等式按条件进行转化： 当x=0时，原不等式不成立；当x ＞0时，原不等式能够转化为x 2+4x ﹣1＞；当x ＜0时，原不等式能够转化为x 2+4x ﹣1＜； 〔2〕构造函数，画出图象设y 3=x 2+4x ﹣1，y 4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数旳图象、双曲线y 4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y 3=x 2+4x ﹣1；〔不用列表〕〔3〕确定两个函数图象公共点旳横坐标观看所画两个函数旳图象，猜想并通过代入函数【解析】式验证可知：满足y 3=y 4旳所有x 旳值为；〔4〕借助图象，写出解集结合〔1〕旳讨论结果，观看两个函数旳图象可知：不等式x 3+4x 2﹣x ﹣4＞0旳解集为、27、〔7分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=﹣+bx+c 旳图象通过点A 〔1，0〕，且当x=0和x=5时所对应旳函数值相等、一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c 旳图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限、〔1〕求二次函数y=﹣+bx+c 旳表达式；〔2〕连接AB ，求AB 旳长；〔3〕连接AC ，M 是线段AC 旳中点，将点B 绕点M 旋转180°得到点N ，连接AN ，CN ，推断四边形ABCN 旳形状，并证明你旳结论、28、〔7分〕在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB旳中点、D是射线BC 上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED旳中点，连接AN，MN、〔1〕如图1，当BD=2时，AN=，NM与AB旳位置关系是；〔2〕当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②推断〔1〕中NM与AB旳位置关系是否发生变化，并证明你旳结论；〔3〕连接ME，在点D运动旳过程中，当BD旳长为何值时，ME旳长最小？最小值是多少？请直截了当写出结果、29、〔8分〕在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C旳切线l、当入射光线照耀在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l旳夹角和入射光线与切线l旳夹角相等，点P称为反射点、规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射、专门地，圆旳切线不能作为入射光线和反射光线、光线在⊙C外反射旳示意图如图1所示，其中∠1=∠2、〔1〕自⊙C内一点动身旳入射光线经⊙C第一次反射后旳示意图如图2所示，P1是第1个反射点、请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后旳反射光线；〔2〕当⊙O旳半径为1时，如图3，①第一象限内旳一条入射光线平行于x轴，且自⊙O旳外部照耀在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，那么反射光线与切线l旳夹角为°；②自点A〔﹣1，0〕动身旳入射光线，在⊙O内不断地反射、假设第1个反射点P 1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，那么第1个反射点P1旳坐标为；〔3〕如图4，点M旳坐标为〔0，2〕，⊙M旳半径为1、第一象限内自点O动身旳入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P旳纵坐标旳取值范围、2018-2016学年北京市西城区九年级〔上〕期末数学试卷参考【答案】与试题【解析】【一】选择题〔此题共30分，每题3分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意旳、1、二次函数y=〔x﹣5〕2+7旳最小值是〔〕A、﹣7B、7C、﹣5D、5【考点】二次函数旳最值、【分析】依照二次函数旳性质求解、【解答】解：∵y=〔x﹣5〕2+7∴当x=5时，y有最小值7、应选B、【点评】此题考查了二次函数旳最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x 旳增大而减少；在对称轴右侧，y随x旳增大而增大，因为图象有最低点，因此函数有最小值，当x=﹣，函数最小值y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x旳增大而增大；在对称轴右侧，y随x旳增大而减少，因为图象有最高点，因此函数有最大值，当x=﹣，函数最大值y=、2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA旳值为〔〕A、B、C、D、【考点】锐角三角函数旳定义、【分析】依照勾股定理，可得AB旳长，依照锐角旳余弦等于邻边比斜边，可得【答案】、【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5、cosA==，应选：A、【点评】此题考查了锐角三角函数旳定义，在直角三角形中，锐角旳正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边、3、如图，⊙C与∠AOB旳两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P、假设∠AOB=90°，OP=6，那么OC旳长为〔〕A、12B、C、D、【考点】切线旳性质、【分析】连接CP，由切线旳性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC旳长、【解答】解：连接CP，∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∵⊙C与∠AOB旳两边分别相切，∠AOB=90°，∴∠POC=45°，∴OP=CP=6，∴OC==6，应选C、【点评】此题考查了切线旳性质定理、切线长定理以及勾股定理旳运用，能够正确旳判定△POC是等腰直角三角形是解题关键、4、将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=〔x﹣h〕2+k旳形式，以下结果中正确旳选项是〔〕A、y=〔x﹣6〕2+5B、y=〔x﹣3〕2+5C、y=〔x﹣3〕2﹣4D、y=〔x+3〕2﹣9【考点】二次函数旳三种形式、【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可、【解答】解：y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=〔x﹣3〕2﹣4，应选：C、【点评】此题考查旳是二次函数旳三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题旳关键、5、假设一个扇形旳半径是18cm，且它旳弧长是12πcm，那么此扇形旳圆心角等于〔〕A、30°B、60°C、90°D、120°【考点】弧长旳计算、【分析】把弧长公式进行变形，代入数据计算即可、【解答】解：依照弧长旳公式l=，得n===120°，应选：D、【点评】此题考查旳是弧长旳计算，掌握弧长旳公式l=是解题旳关键、6、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A旳坐标为〔﹣1，2〕，AB⊥x轴于点B、以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来旳2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，那么点A1旳坐标为〔〕A、〔﹣2，4〕B、〔，1〕C、〔2，﹣4〕D、〔2，4〕【考点】位似变换；坐标与图形性质、【分析】直截了当利用位似图形旳性质以及结合A点坐标直截了当得出点A1旳坐标、【解答】解：∵点A旳坐标为〔﹣1，2〕，以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来旳2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，∴点A1旳坐标为〔﹣2，4〕、应选：A、【点评】此题要紧考查了位似变换以及坐标与图形旳性质，正确把握位似图形旳性质是解题关键、7、如图，一艘海轮位于灯塔P旳南偏东37°方向，距离灯塔40海里旳A处，它沿正北方向航行一段时刻后，到达位于灯塔P旳正东方向上旳B处、这时，B 处与灯塔P旳距离BP旳长能够表示为〔〕A、40海里B、40tan37°海里C、40cos37°海里D、40sin37°海里【考点】解直角三角形旳应用﹣方向角问题、【分析】依照条件得出∠BAP=37°，再依照AP=40海里和正弦定理即可求出BP 旳长、【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P旳南偏东37°方向，∴∠BAP=37°，∵AP=40海里，∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里；应选D、【点评】此题考查解直角三角形，用到旳知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数旳有关知识，结合航海中旳实际问题，将解直角三角形旳相关知识有机结合，表达了数学应用于实际生活旳思想、8、如图，A，B，C三点在旳圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是旳中点，连接DB，DC，那么∠DBC旳度数为〔〕A、30°B、45°C、50°D、70°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦旳关系、【分析】依照三角形旳内角和定理得到∠A=80°，依照圆周角定理得到∠D=∠A=80°，依照等腰三角形旳内角和即可得到结论、【解答】解：∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，∴∠A=80°，∴∠D=∠A=80°，∵D是旳中点，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB==50°，应选C、【点评】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦旳关系，等腰三角形旳性质，熟练掌握圆周角定理是解题旳关键、9、某商品现在旳售价为每件60元，每星期可卖出300件、市场调查反映，假如调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件、设每件商品降价x元后，每星期售出商品旳总销售额为y元，那么y与x旳关系式为〔〕A、y=60〔300+20x〕B、y=〔60﹣x〕〔300+20x〕C、y=300〔60﹣20x〕D、y=〔60﹣x〕〔300﹣20x〕【考点】依照实际问题列二次函数关系式、【分析】依照降价x元，那么售价为〔60﹣x〕元，销售量为〔300+20x〕件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，依照等量关系列出函数【解析】式即可、【解答】解：降价x元，那么售价为〔60﹣x〕元，销售量为〔300+20x〕件，依照题意得，y=〔60﹣x〕〔300+20x〕，应选：B、【点评】此题要紧考查了依照实际问题列二次函数【解析】式，关键是正确理解题意，找出题目中旳等量关系，再列函数【解析】式、10、二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它旳图象位于x 轴旳下方；当6＜x＜7时，它旳图象位于x轴旳上方，那么m旳值为〔〕A、8B、﹣10C、﹣42D、﹣24【考点】二次函数旳性质、【分析】依照抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，在7＜x＜8这一段位于x轴旳上方，利用抛物线对称性得到抛物线在0＜x＜1这一段位于x轴旳上方，而图象在1＜x＜2这一段位于x轴旳下方，因此可得抛物线过点〔﹣2，0〕，〔6，0〕，然后把〔﹣2，0〕代入y=2x2﹣8x+m可求出m旳值、【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣8x+m=2〔x﹣2〕2﹣8+m旳对称轴为直线x=2，而抛物线在﹣2＜x＜﹣1时，它旳图象位于x轴旳下方；当6＜x＜7时，它旳图象位于x轴旳上方∴抛物线过点〔﹣2，0〕，〔6，0〕，把〔﹣2，0〕代入y=2x2﹣8x+m得8+16+m=0，解得m=﹣24、应选D、【点评】此题考查了抛物线与x轴旳交点以及抛物线旳轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c〔a，b，c是常数，a≠0〕与x轴旳交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x旳一元二次方程即可求得交点横坐标、△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴旳交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点、【二】填空题〔此题共18分，每题3分〕11、假设，那么旳值为、【考点】比例旳性质、【分析】旳比值，依照比例旳合比性质即可求得、【解答】解：依照比例旳合比性质，=，那么=、【点评】熟练应用比例旳合比性质、12、点A〔﹣3，y1〕，B〔2，y2〕在抛物线y=x2﹣5x上，那么y1＞y2、〔填“＞”，“＜”或“=”〕【考点】二次函数图象上点旳坐标特征、【分析】分别计算自变量为﹣3、2时旳函数值，然后比较函数值旳大小即可、【解答】解：当x=﹣3时，y1=x2﹣5x=24；当x=2时，y2=x2﹣5x=﹣6；∵24＞﹣6，∴y1＞y2、故【答案】为：＞、【点评】此题考查了二次函数图象上点旳坐标特征：二次函数图象上点旳坐标满足其【解析】式、也考查了二次函数旳性质、13、△ABC旳三边长分别为5，12，13，与它相似旳△DEF旳最小边长为15，那么△DEF旳周长为90、【考点】相似三角形旳性质、【分析】由△ABC旳三边长分别为5，12，13，与它相似旳△DEF旳最小边长为15，即可求得△AC旳周长以及相似比，又由相似三角形旳周长旳比等于相似比，即可求得【答案】、【解答】解：∵△ABC旳三边长分别为5，12，13，∴△ABC旳周长为：5+12+13=30，∵与它相似旳△DEF旳最小边长为15，∴△DEF旳周长：△ABC旳周长=15：5=3：1，∴△DEF旳周长为：3×30=90、故【答案】为90、【点评】此题考查了相似三角形旳性质、熟练掌握相似三角形旳周长比等于相似比是解题关键、14、如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20、点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件旳AD旳长度值：AD=10、【考点】含30度角旳直角三角形、【分析】过B作BE⊥AC于E，由∠A=30°，AB=20，得到AE=10，推出∠ADB ＞∠AEB，即可得到结论、【解答】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A=30°，AB=20，∴AE=10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD=10，故【答案】为：10、【点评】此题考查了含30°角旳直角三角形旳性质，熟记直角三角形旳性质是解题旳关键、15、程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要旳著作、在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺、送行二步与人齐，五尺人高曾记、仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉、良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺、译文：“当秋千静止时，秋千上旳踏板离地有1尺高，如将秋千旳踏板往前推动两步〔10尺〕时，踏板就和人一样高，那个人身高是5尺、漂亮旳小姐和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断、好奇旳能工巧匠，能算出这秋千旳绳索长是多少吗？”如图，假设秋千旳绳索长始终保持直线状态，OA是秋千旳静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板旳位置，弧AB是踏板移动旳轨迹、AC=1尺，CD=EB=10尺，人旳身高BD=5尺、设绳索长OA=OB=x尺，那么可列方程为102+〔x ﹣5+1〕2=x2、【考点】由实际问题抽象出一元二次方程、【分析】设绳索有x尺长，现在绳索长，向前推出旳10尺，和秋千旳上端为端点，垂直地面旳线可构成直角三角形，依照勾股定理列出方程、【解答】解：设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+〔x﹣5+1〕2=x2、故【答案】为：102+〔x﹣5+1〕2=x2、【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来求解、16、阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆旳切线、：P为⊙O外一点、求作：通过点P旳⊙O旳切线、小敏旳作法如下：如图，〔1〕连接OP，作线段OP旳垂直平分线MN交OP于点C；〔2〕以点C为圆心，CO旳长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；〔3〕作直线PA，PB、因此直线PA，PB确实是所求作旳切线、老师认为小敏旳作法正确、请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对旳圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB差不多上⊙O旳切线，其依据是通过半径外端，且与半径垂直旳直线是圆旳切线、【考点】作图—复杂作图；切线旳判定、【分析】分别利用圆周角定理以及切线旳判定方法得出【答案】、【解答】解：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是：直径所对旳圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB差不多上⊙O旳切线，其依据是：通过半径外端，且与半径垂直旳直线是圆旳切线、故【答案】为：直径所对旳圆周角是90°；通过半径外端，且与半径垂直旳直线是圆旳切线、【点评】此题要紧考查了切线旳判定以及圆周角定理，正确把握切线旳判定方法是解题关键、【三】解答题〔此题共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程、17、计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°、【考点】专门角旳三角函数值、【分析】依照专门角三角函数值，可得实数旳运算，依照实数旳运算，可得【答案】、【解答】解：原式=4××﹣〔〕2=6﹣=、【点评】此题考查了专门角三角函数值，熟记专门角三角函数值是解题关键、18、如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tanC旳值、【考点】解直角三角形、【分析】依照在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，能够求得BD、AD、CD旳长，从而能够求得tanC旳值、【解答】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴CD=BC﹣BD=15﹣6=9，∴AD=，∴tanC=、即tanC旳值是、【点评】此题考查解直角三角形，解题旳关键是计算出题目中各边旳长，找出所求问题需要旳条件、19、抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B旳左侧、〔1〕求A，B两点旳坐标和此抛物线旳对称轴；〔2〕设此抛物线旳顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD旳面积、【考点】抛物线与x轴旳交点、【分析】〔1〕令y=0解方程即可求得A和B旳横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；〔2〕首先求得D旳坐标，然后利用面积公式即可求解、【解答】解：〔1〕令y=0，那么﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3、那么A旳坐标是〔﹣1，0〕，B旳坐标是〔3，0〕、y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，那么对称轴是x=1，顶点C旳坐标是〔1，4〕；〔2〕D旳坐标是〔1，﹣4〕、AB=3﹣〔﹣1〕=4，CD=4﹣〔﹣4〕=8，那么四边形ACBD旳面积是：AB•CD=×4×8=16、【点评】此题考查了待定系数法求函数【解析】式以及配方法确定二次函数旳对称轴和顶点坐标，正确求得A和B旳坐标是关键、20、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC、〔1〕求证：△ABD∽△DCB；〔2〕假设AB=12，AD=8，CD=15，求DB旳长、【考点】相似三角形旳判定与性质、【分析】〔1〕依照平行线旳性质，可得∠ADB与∠DBC旳关系，依照两个角对应相等旳两个三角形相似，可得【答案】；〔2〕依照相似三角形旳性质，可得【答案】、【解答】〔1〕证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC、∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；〔2〕∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB旳长10、【点评】此题考查了相似三角形旳判定与性质，利用了两个角对应相等旳两个三角形相似，利用相似三角形旳对应边成比例是解题关键、21、某小区有一块长21米，宽8米旳矩形空地，如下图、社区打算在其中修建两块完全相同旳矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽度为x米旳人行通道、假如这两块绿地旳面积之和为60平方米，人行通道旳宽度应是多少米？【考点】一元二次方程旳应用、【分析】设人行道旳宽度为x米，那么矩形绿地旳长度为：，宽度为：8﹣2x，依照两块绿地旳面积之和为60平方米，列方程求解、【解答】解：设人行道旳宽度为x米，由题意得，2××〔8﹣2x〕=60，解得：x1=2，x2=9〔不合题意，舍去〕、答：人行道旳宽度为2米、【点评】此题考查了一元二次方程旳应用，解答此题旳关键是读懂题意，设出未知数，找出合适旳等量关系，列方程求解、22、抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点、〔1〕求k旳值；〔2〕如何样平移抛物线C1就能够得到抛物线C2：y2=2〔x+1〕2﹣4k？请写出具体旳平移方法；〔3〕假设点A〔1，t〕和点B〔m，n〕都在抛物线C2：y2=2〔x+1〕2﹣4k上，且n＜t，直截了当写出m旳取值范围、【考点】抛物线与x轴旳交点；二次函数图象上点旳坐标特征；二次函数图象与几何变换、【分析】〔1〕抛物线与x轴只有一个公共点，那么判别式△=0，据此即可求得k旳值；〔2〕把C1化成顶点式旳形式，利用函数平移旳法那么即可确定；〔3〕首先求得t旳值，然后求得等y=t时C2中对应旳自变量旳值，结合函数旳性质即可求解、【解答】解：〔1〕依照题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；〔2〕C1是：y1=2x2﹣4x+2=2〔x﹣1〕2，抛物线C2是：y2=2〔x+1〕2﹣8、那么平移抛物线C1就能够得到抛物线C2旳方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；〔3〕当x=1时，y2=2〔x+1〕2﹣8=0，即t=0、在y2=2〔x+1〕2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3、那么当n＜t时，即2〔x+1〕2﹣8＜0时，m旳范围是﹣3＜m＜1、【点评】此题考查抛物线与x轴旳交点旳个数旳确定，以及函数旳平移方法，依照函数旳性质确定m旳范围是关键、23、如图，AB是⊙O旳一条弦，且AB=、点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB 于点D，∠E=30°，连接OA、〔1〕求OA旳长；〔2〕假设AF是⊙O旳另一条弦，且点O到AF旳距离为，直截了当写出∠BAF旳度数、【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理、【分析】〔1〕依照垂径定理求出AD旳长，依照圆周角定理求出∠AOD旳度数，运用正弦旳定义解答即可；〔2〕作OH⊥AF于H，依照勾股定理和等腰直角三角形旳性质求出∠OAF旳度数，分情况计算即可、【解答】解：〔1〕∵OC⊥AB，AB=，∴AD=DB=2，∵∠E=30°，∴∠AOD=60°，∠OAB=30°，∴OA==4；〔2〕如图，作OH⊥AF于H，∵OA=4，OH=2，∴∠OAF=45°，∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°，那么∠BAF′=∠OAF′﹣∠OAB=15°，∴∠BAF旳度数是75°或15°、【点评】此题考查旳是垂径定理、圆周角定理和勾股定理旳应用，掌握垂直弦旳直径平分这条弦，同时平分弦所对旳两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等，都等于这条弧所对旳圆心角旳一半是解题旳关键，注意分情况讨论思想旳应用、24、奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致旳独立塔组成、在综合实践活动课中，某小组旳同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔旳高度〔测角仪高度忽略不计〕、他们旳操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A 旳仰角为45°，然后向最高塔旳塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A旳仰角为58°、请关心他们计算出最高塔旳高度AD约为多少米、〔参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60〕【考点】解直角三角形旳应用﹣仰角俯角问题、【分析】依照条件求出BD=AD，设DC=x，得出AD=90+x，再依照tan58°=，求出x旳值，即可得出AD旳值、【解答】解：∵∠B=45°，AD⊥DB，∴∠DAB=45°，∴BD=AD，设DC=x，那么BD=BC+DC=90+x，∴AD=90+x，∴tan58°===1.60，解得：x=150，∴AD=90+150=240〔米〕，答：最高塔旳高度AD约为240米、【点评】此题考查了解直角三角形旳应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想旳运用、25、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O旳直径、PC是⊙O旳切线，C为切点，PD ⊥AB于点D，交AC于点E、〔1〕求证：∠PCE=∠PEC；〔2〕假设AB=10，ED=，sinA=，求PC旳长、【考点】切线旳性质、【分析】〔1〕由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对旳圆周角等于90°可知∠ACB=90°、由同角旳余角相等可知∠AED=∠B，结合对顶角旳性质可知∠PCE=∠PEC；〔2〕过点P作PF⊥AC，垂足为F、由锐角三角函数旳定义和勾股定理可求得AC=8，AE=，由等腰三角形三线合一旳性质可知EF=，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形旳性质可求得PE旳长，从而得到PC旳长、【解答】解：〔1〕∵PC是圆O旳切线，∴∠PCA=∠B、∵AB是圆O旳直径，∴∠ACB=90°、∴∠A+∠B=90°、∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED=90°、∴∠AED=∠B、∵∠PEC=∠AED，∴∠PCE=∠PEC、〔2〕如下图，过点P作PF⊥AC，垂足为F、。
最新-学年北京市西城区届初三上学期期末考试数学试题(含答案)
精品文档ECB2019 年北京市西城区初三期末数学试卷 数 学 2019.1一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1—8 题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个． 1. 抛物线 y = 3(x -1)2 + 5 的顶点坐标是A ．(3，5)B ． (1，5)C ．(3,1)D ．(-1,5)2. 如果4x =3y ，那么下列结论正确的是A ． x =y B ． x =y C ． x =4 D ．x = 4, y 3 44 3y 33. 如图，圆的两条弦 AB ，CD 相交于点 E ，且AD = C B ，∠A =40︒，则∠CEB 的度数为 AA ． 50︒B ．80︒ DC ．70︒ D ．90︒ 4. 下列关于二次函数 y = 2x 2 的说法正确的是A . 它的图象经过点(-1,-2)B . 它的图象的对称轴是直线x = 2C . 当x < 0 时，y 随 x 的增大而减小D . 当x = 0 时，y 有最大值为 05. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点 D ．若 BC =24，cos B = 12，则 AD 的长为A13 A ．12 B ．10 BDCC ．6D ．5FDOB6. 如图，△ABC 的内切圆O 与 AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且 AD = 2， BC = 5 ，则△ABC 的周长为 AA ．16B ．14C ．12D ．10CE7. 下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：题目测量铁塔顶端到地面的高度FF测量目标示意图ADAD αHβB C EBCE相关数据 CD = 10m ，=45︒， =50︒设铁塔顶端到地面的高度FE 为x m ，根据以上条件，可以列出的方程为A ． x = (x -10) tan 50︒B ． x = (x -10) cos50︒C ． x -10 = x tan 50︒D ．x = (x +10)sin 50︒ 8. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点(-2,0)，且对称轴为直线x = 1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ① ac > 0 ；②16a + 4b + c = 0 ；③若m > n > 0 ，则 x = 1+ m时的函数值大于x = 1 - n 时的函数值；④点(-在此抛物线上．其中正确结论的序号是c, 0) 一定2aA ．①②B ．②③C ．②④D ．③④D EAOByOxBA二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9.如图所示的网格是正方形网格，点 A ，O ，B 都在格点上，tan ∠AOB 的值为 ．10. 请写出一个开口向下，且与 y 轴的交点坐标为(0, 2) 的抛物线的表达式： ．11. 如图，在△ABC 中，点 D ，E 分别在 AB ，AC 上，且 DE ∥BC ．若AD = 2， AB = 3 ， DE = 4 ，则BC 的长为 ．ABC12. 草坪上的自动喷水装置的旋转角为 200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5 平方米，则这个扇形的半径是米．13. 如图，抛物线 y = ax 2 + bx 与直线 y = mx + n 相交于点 A (-3, -6) ，B (1,-2) ，则关于x 的方程ax 2 + bx = mx + n 的解为 ．AOD14. 如图，舞台地面上有一段以点 O 为圆心的 AB ，某同学要站在 AB的中点 C 的位置上．于是他想：只要从点 OAB出发，沿着与弦AB 垂直的方向走到 AB 上，O就能找到 AB 的中点C ．老师肯定了他的想法．（1） 请按照这位同学的想法，在图中画出点 C ；（2） 这位同学确定点C 所用方法的依据是 ．15. 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB > AD ，E ，F 分别是 AB ，DC 的中点，将矩形 ABCD 沿 EF 所在直线对折，若AEB 得到的两个小矩形都和矩形 ABCD 相似，则用等式表示 AB 与 AD 的数量关系为 FC．16. 如图，O 的半径是 5，点 A 在O 上．P 是O 所在平面内一点，且 AP = 2 ，过点 P 作直线 l ，使 l ⊥PA ． （1） 点O 到直线 l 距离的最大值为 ；（2） 若 M ，N 是直线 l 与O 的公共点，则当线段 MN 的长度最大时，OP 的长 为．三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题， 每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演 算步骤或证明过程．17．计算： 4sin 30︒ -2 cos 45︒ + tan 260︒ .18.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B=∠ACB，点E，F 分别在AB，BC 上，且∠EFB=∠D．（1）求证：△EFB∽△CDA；（2）若AB=20，AD=5，BF=4，求EB 的长．A DEB F C19.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：x …-3 -2 -1 0 1 …y …0 -3 -4 -3 0 …（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当-4 <x <-2 时，直接写出y 的取值范围.y1O 1 x2 yO x20. 如图，四边形 ABCD 内接于O ，OC =4，AC = 4 ．（1） 求点 O 到 AC 的距离； （2） 求∠ADC 的度数.A21. 一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度 y （单位： m ） 与水平距离 x （ 单位： m ） 近似满足函数关系 y = - 1 x 2 + 2x + c ，其图象如图所示.已知铅球落地时的水平距离12 3 为 10m ．（1） 求铅球出手时离地面的高度；（2） 在铅球行进过程中，当它离地面的高度为11 m 时，求此时12铅球的水平距离.DCOB1 22. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ，BD 交于点 O ，以 OC ，OD 为邻边作平行四边形 OCED ，连接 OE ．（1） 求证：四边形 OBCE 是平行四边形；（2） 连接 BE 交 AC 于点 F . 若 AB =2，∠AOB =60°，求 BF 的长．ADEBC23.如图，直线 l ： y = -2x + m 与 x 轴交于点 A （-2,0），抛物线C : y = x 2+ 4x + 3与 x 轴的一个交点为 B （点 B 在点 A 的左侧），过点 B 作 BD 垂直 x 轴交直线 l 于点 D ．（1） 求 m 的值和点 B 的坐标；（2） 将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°，点 B ，D 的对应点分别为点 E ，F . ①点 F 的坐标为；②将抛物线C 1 向右平移使它经过点 F ，此时得到的抛物线记为C 2 ，直接写出抛物线C 2 的表达式．yDB AO xO24.如图，AB 是O 的直径，△ABC 内接于O ．点 D 在O 上，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 E ，DF ⊥BC 交 BC 的延长线于点 F ．（1） 求证：FD 是O 的切线；（2） 若BD = 8 ，sin ∠DBF = 3，求 DE 的长． 5AF25.小明利用函数与不等式的关系，对形如( x - x 1 )( x - x 2 )( x - x n ) > 0（n 为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1） 下面是小明的探究过程，请．补．充．完．整．：①对于不等式x - 3 > 0 ，观察函数 y = x - 3 的图象可以得到如下表格：由表格可知不等式x - 3 > 0 的解集为x > 3．②对于不等式( x - 3)( x - 1) > 0 ，观察函数 y = ( x - 3)( x -1) 的图象可以得到如下表格： DOBE Cx 的范围 x > 3x < 3 y 的符号+-x 的范围 x > 3 1 < x < 3x < 1y 的符号 + -+由表格可知不等式( x - 3)( x - 1) > 0 的解集为．③对于不等式( x - 3)( x - 1)( x + 1) > 0 ，请根据已描出的点画出函数y = ( x - 3)( x - 1)( x + 1) 的图象；y-1 O 1 3x观察函数 y = ( x - 3)( x - 1)( x + 1) 的图象补全下面的表格：x 的范围 x > 3 1 < x < 3-1 < x < 1x < -1y 的符号+-由表格可知不等式( x - 3)( x - 1)( x + 1) > 0 的解集为．小明将上述探究过程总结如下：对于解形如( x - x 1 )( x - x 2 )( x - x n ) > 0（n 为正整数）的不等式，先将x 1 ,x 2 ,x n 按从大到小的顺序排列， 再划分 x 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中 y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2） 请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式( x - 6)( x - 4)( x - 2)( x + 2) > 0 的解集为 ． ②不等式( x - 9)( x - 8)( x - 7)2> 0 的解集为．y 5 4 3 2 1–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5 x26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =ax2 - 4ax + 3a ．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a > 0 时，设抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C，若△ABC 为等边三角形，求a 的值；（3）过T (0,t )（其中-1 ≤t ≤ 2 ）且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于M，N 两点. 若对于满足条件的任意t 值，线段MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．2 A27.如图，在△ABC 中，AB =AC ．△ADE ∽△ABC ，连接 BD ，CE ．（1）判断 BD 与 CE 的数量关系，并证明你的结论；（2）若 AB =2，AD = 2 ，∠BAC =105°，∠CAD =30°．①BD 的 长 为 ；②点 P ，Q 分别为 BC ，DE 的中点，连接 PQ ，写出求 PQ 长的思路．EDBCylDC 1O 1 E x28.在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P 和图形 W ，如果以 P 为端点的任．意．一条射．线．与图形 W 最多只有一个公共点，那么称点 P 独立于图形 W .（1）如图 1，已知点 A （ -2 ，0），以原点 O 为圆心，OA 长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 B ．在 P 1（0，4），P 2（0，1），P （3 0，-3 ），P （4 4，0）这四个点中，独立于 的点是 ；图1图2（2）如图 2，已知点 C （ -3 ，0），D （0，3），E （3，0），点 P是直线 l ： y = 2x + 8 上的一个动点．若点 P 独立于折线CD －DE ，求点 P 的横坐标 x p 的取值范围；y1 AOBx1yHK1 OT1xLNM（3）如图 3，⊙H 是以点 H （0，4）为圆心，半径为 1 的圆． 点 T （0，t ）在 y 轴上且 t > -3 ，以点 T 为中心的正方形KLMN 的顶点 K 的坐标为（0， t + 3 ），将正方形 KLMN 在 x轴及 x 轴上方的部分记为图形 W ．若⊙H 上的所有点都独立于图形 W ，直接写出 t 的取值范围．图32 CO2019 年北京市西城区初三年级数学期末考试试卷答案2019.1一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BABCDBAC二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9． 12 10． y = -x 2 + 2 （答案不唯一）11．612．313．x 1 = -3 ， x 2 = 114．（1） AB（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧15． AB = 2 AD16．（1）7； （2） 三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分，第 23~26 题， 每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17． 4sin 30︒ - 2 cos 45︒ + tan 2 60︒原式= 4 ⨯ 1 - ⨯ 2+2 2= 2 -1 + 3 = 43 )221(y1 O1x18．（1）∵AB =AC∴∠B =∠ACB ∵AD ∥BC ∴∠DAC =∠ACB ∴∠B =∠DAC ∵∠D =∠EFB ∴△EFB ∽△CDA （2）∵△EFB ∽△CDA∴ BE = BFAC AD∵AB =AC =20，AD =5，BF =4 ∴BE =1619．（1）由二次函数对称性可知，二次函数顶点为（-1，-4）设二次函数解析式为 y = a ( x + 1)2- 4 将（1,0）带入解析式得：a =1 ∴ y = x 2 + 2x - 3（2）如图；（3） -3 < y < 5OC 2 - MC 2 20．（1）作 OM ⊥AC 于 M∵OM ⊥AC ，AC = 4∴AM =MC = 2 ∵OC =4∴OM = = 2 （2）连接 OA∵OM =MC ，∠OMC =90° ∴∠MOC =∠MCO =45° ∵OA =OC ∴∠OAM =45° ∴∠AOC =90° ∴∠B =45° ∵∠D +∠B =180°∴∠D =135°21．（1）将（10,0）带入 y = - 1x 2 + 2 x + c 得： c = 5∴高度为5.3 12 3 3（2）将 y = 11 带入 y = - 1 x 2 + 2 x + 5 得： 11 = - 1 x 2 + 2 x + 512 12 3 3 12 12 3 3整理得： x 2 - 8x - 9 = 0 解得： x 1 = 9, x 2 = -1 （舍去） ∴水平距离为 9m.22 2OF22．（1）∵四边形 ABCD 为矩形∴OA =OB =OC =OD∵四边形 OCED 为平行四边形 ∴四边形 OCED 为菱形 ∴CE ∥OD ，CE =OD ∵OD =OB∴CE ∥OB ，CE =OB∴四边形 OBCE 为平行四边形（2）过 F 作 FM ⊥BC 于 M ，过 O 作 ON ⊥BC 于 N∵FM ⊥BC ，ON ⊥BC∴ON ∥FM AD∵AO =OC E∴ON = 12 AB =1BNMC∵OF =FC∴FM = 12 ON = 12∵∠AOB =60°，OA =OB ∴∠OAB =60°，∠ACB =30° 在 Rt △ABC 中： ∵AB =2，∠ACB =30°∴BC = 2 在 Rt △CFM 中：3BM 2 + FM 2 yD EFB AOx∵∠ACB =30°，FM = 12∴CM =3 2∴BM =BC －CM =∴BF = =23．（1）将 A （－2，0）代入 y = -2x + m 得：m =－4．在 y = x 2+ 4x + 3 中，令 y =0 得： 0 = ( x + 3)( x + 1) 解得： x 1 = -3, x 2 = -1 ∵点 B 在点 A 的左侧∴B （－3,0） （2）①如图 F （0,1）② y 1 = x 2 + 2 2x + 1或 y = x 2 - 2 2x + 124．（1）连接OD ∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD =∠DBF ∵OB =OD ∴∠ABD =∠ODB ∴∠DBF =∠ODB ∵∠DBF +∠BDF =90° ∴∠ODB +∠BDF =90°3 3 271精品文档∴∠ODF=90°精品文档∴FD 是O 的切线（2）连接AD∵AB 是直径∴∠ADE=90°∵BD 平分∠ABC∴∠DBF=∠ABD在Rt△ABD 中，BD=8∵sin ∠ABD = sin ∠DBF =35∴AD=6∵∠DAC=∠DBC3∴sin∠DAC=sin∠DBC =53在Rt△ADE 中，AD=6，sin∠DAC =59∴DE=225．（1）②x > 3 或x <1；③如图y-1 O13xx 的范围x > 3 1 <x < 3 -1 <x < 1 x <-1 y 的符号+ - + -⎨ ⎩-1 < x < 1或x > 3（2）① x < -2 或2 < x < 4 或x > 6② x < 8 或x > 9 且x ≠ 726．（1）x = - b2a= - -4a = 2 2a （2）y = ax 2 - 4ax + 3a = a ( x -1)( x - 3) ∴ A (1,0)， B (3,0) ， C (2,-a ) ∵ a > 0 ∴-a < 0 ∵△ABC 为等边三角形， ∴C (2, - 3 )∴ -a = - ∴ a =（3）a ≤ - 8 或a ≥ 4 3 3 27．（1）BD =CE ．证明：∵AB =AC ，△ADE ∽△ABC ， ∴AD =AE ，∠BAC =∠DAE ． ∵∠BAC+∠CAD =∠DAE+∠CAD ， ∴∠BAD =∠CAE ． 在△ABD 和△ACE 中，⎧ AB = AC ⎪∠BAD = ∠CAE ⎪ AD = AE 3 3y 5 4 3 2 1–5 –4 –3 –2 –1 O –1–2–3 –4 –53 ( ,2) 2B 4 5x( 2 ,-1) C 3A 1 2 32 MQA∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴BD =CE ． （2）① 2 ②连接AP 、AQ ． E∵AB =AC ，AD =AE ，P 、Q 分别为 BC 、DE 的中点，∴AP ⊥BC ，AQ ⊥DE ． D∵∠BAC =∠DAE =105°，BPC∴∠BAP =∠CAP = 1∠BAC =52.5°，2∠DAQ = 1∠DAE =52.5°．2在Rt △ABP 中，AP =AB ·cos ∠BAP =2 cos52.5°；在Rt △ADQ 中，AQ =AD ·cos ∠DAQ = 2 cos52.5°．∵∠PAQ =∠CAP+∠DAQ+∠CAD =52.5°+52.5°+30°=135°， 作 QM ⊥PA 的延长线于 M ，∴∠MAQ =45°．∴MQ =MA =2 AQ ．2∵MP =MA +AP ，在Rt △PMQ 中， PQ =即可求出 PQ ．5MQ 2 + MP 22 2 2 ⎩ ⎩28．（1）P 2，P 3．（2）由 C （ -3 ，0），D （0，3），E （3，0）可得：直线 CD 的解析式 y = x + 3 ；直线 DE 的解析式 y = - x + 3 ．⎧ y = 2x + 8由⎨ y = x + 3 ⎧ y = 2x + 8 ，可得直线 l 与直线 CD 交点横坐标 x = -5 ； x = - 5由⎨ y = - x + 3 ，可得直线 l 与直线 DE 交点横坐标 3 ．∴x < -5 或 x > - 5 ． pp 3（3）-3 < t < 1 - 或1 + < t < 7 - ．更多初中数学资料，初中数学试题精解请微信关注。
2018-2019学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷与答案
2018-2019学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题3分第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（1，5）C．（3，1）D．（﹣1，5）2．（3分）如果4x＝3y，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．x＝4，y＝3 3．（3分）如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且＝，∠A＝40°，则∠CEB的度数为（）A．50°B．80°C．70°D．90°4．（3分）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）B．它的图象的对称轴是直线x＝2C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＝0时，y有最大值为05．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝24，cos B＝，则AD 的长为（）A．12B．10C．6D．56．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16B．14C．12D．107．（3分）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：8点（﹣，A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空题（本题共16分，每小题3分）9．（3分）如图所示的网格是正方形网格，点A，O，B都在格点上，tan∠AOB的值为．10．（3分）请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式：．11．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB ＝3，DE＝4，则BC的长为．12．（3分）草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5π平方米，则这个扇形的半径是米．13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为．14．（3分）如图，舞台的面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点C．老师肯定了他的想法．（1）请按照这位同学的想法，在图中画出点C；（2）这位同学确定点C所用方法的依据是．15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＞AD，E，F分别是AB，DC的中点，将矩形ABCD 沿EF所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形ABCD相似，则用等式表示AB与AD的数量关系为．16．（3分）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥P A．（1）点O到直线l距离的最大值为；（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，点E，F分别在AB，BC 上，且∠EFB＝∠D．（1）求证：△EFB∽△CDA；（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的长．19．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．20．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．21．（5分）一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离的面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣x2+x+c，其图象如图所示．已知铅球落的时的水平距离为10m．（1）求铅球出手时离的面的高度；（2）在铅球行进过程中，当它离的面的高度为m时，求此时铅球的水平距离．22．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．23．（6分）如图，直线l：y＝﹣2x+m与x轴交于点A（﹣2，0），抛物线C1：y＝x2+4x+3与x轴的一个交点为B（点B在点A的左侧），过点B作BD垂直x轴交直线l于点D．（1）求m的值和点B的坐标；（2）将△ABD绕点A顺时针旋转90°，点B，D的对应点分别为点E，F．①点F的坐标为；②将抛物线C1向右平移使它经过点F，此时得到的抛物线记为C2，直接写出抛物线C2的表达式．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O上，BD平分∠ABC 交AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）若BD＝8，sin∠DBF＝，求DE的长．25．（6分）小明利用函数与不等式的关系，对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0，观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0，观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值；（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB＝2，AD＝2，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．①BD的长为；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．（1）如图1，已知点A（﹣2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，﹣3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是；（2）如图2，已知点C（﹣3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y＝2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD﹣DE，求点P的横坐标x p的取值范围；（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t ＞﹣3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．2018-2019学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题3分第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【解答】解：因为y＝3（x﹣1）2+5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）．故选：B．2．【解答】解：A．若＝，等式两边同时乘以12得：4x＝3y，A项正确，B．若＝，等式两边同时乘以12得：3x＝4y，B项错误，C．若＝，等式两边同时乘以3y得：3x＝4y，C项错误，D．若x＝4，y＝3，则3x＝4y，D项错误，故选：A．3．【解答】解：∵＝，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠CEB＝∠A+∠C＝80°，故选：B．4．【解答】解：A、当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）2＝2≠﹣2，故此选项错误；B、它的图象的对称轴是直线x＝0，故此选项错误；C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确；D、当x＝0时，y有最小值是0，故此选项错误；故选：C．5．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴BD＝BC＝12．在直角△ABD中，∵cos B＝＝，∴AB＝13，∴AD＝＝＝5．故选：D．6．【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选：B．7．【解答】解：过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x﹣10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x﹣10，∴CE＝x﹣10，∵tanβ＝tan50°＝＝，∴x＝（x﹣10）tan 50°，故选：A．8．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），∴16a+4b+c＝0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n，∵若m＞n＞0，∴1+m＞1+n，∴x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值，故③错误；∵抛物线的对称轴为﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，∴c＝﹣8a，∴﹣＝4，∵点（﹣2，0）的对称点是（4，0），∴点（﹣，0）一定在此抛物线上，故④正确，故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题3分）9．【解答】解：如图，连接AB．在直角△AOB中，∵∠OBA＝90°，AB＝2，OB＝4，∴tan∠AOB＝＝＝．故答案为．10．【解答】解：因为抛物线的开口向下，则可设a＝﹣1，又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），则可设顶点为（0，2），所以此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．故答案为y＝﹣x2+2．11．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴BC＝6．故答案为：6．12．【解答】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5π平方米，圆心角为200°，∴它能喷灌的草坪的面积为：＝5πm2．解得：R＝3故答案为：3．13．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．14．【解答】解：（1）如图所示，点C即为所求．（2）这位同学确定点C所用方法的依据是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧，故答案为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．15．【解答】解：由于AB＞AD，E，F分别是AB，DC的中点，∴矩形AEFD≌矩形BEFC，∵两个小矩形都和矩形ABCD相似，∴矩形AEFD∽矩形ABCD，∴，∴AB2＝AD2，∴AB＝AD，故答案为：AB＝AD．16．【解答】解：（1）如图1，∵l⊥P A，∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，最大值为AO+AP＝5+2＝7；（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直径，∵l⊥P A，∴∠APO＝90°，∵AP＝2，OA＝5，∴OP＝＝，故答案为：7，．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【解答】解：原式＝4×﹣×+（）2＝2﹣1+3＝4．18．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠B＝∠DAC，∵∠D＝∠EFB，∴△EFB∽△CDA；（2）∵△EFB∽△CDA，∴，∵AB＝AC＝20，AD＝5，BF＝4，∴BE＝16．19．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；（2）如图所示：（3）∵y＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，当x＝﹣2时，y＝﹣3，又对称轴为x＝﹣1，∴当﹣4＜x＜﹣2时，y的取值范围是﹣3＜y＜5．20．【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．21．【解答】解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣x2+x+c，得：﹣×102+×10+c＝0，解得c＝，即铅球出手时离的面的高度m；（2）将y＝代入﹣x2+x+＝，整理，得：x2﹣8x﹣9＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍），∴此时铅球的水平距离为9m．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED为菱形，∴CE∥OB，CE＝OB，∴四边形OBCE为平行四边形；（2）解：过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，∵FM⊥BC，ON⊥BC，∴ON∥FM，∵AO＝OC，∴ON＝AB＝1，∵OF＝FC，∴FM＝ON＝，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OAB＝60°，∠ACB＝30°，在Rt△ABC中：∵AB＝2，∠ACB＝30°，∴BC＝2，∵∠ACB＝30°，FM＝，∴CM＝，∴BM＝BC﹣CM＝，∴BF＝＝．23．【解答】解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝﹣2x+m，得：0＝﹣2×（﹣2）+m，解得：m＝﹣4．当y＝0时，有x2+4x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，又∵点B在点A的左侧，∴点B的坐标为（﹣3，0）．（2）当x＝﹣3时，y＝﹣2x﹣4＝2，∴点D的坐标为（﹣3，2），∴BD＝2，AB＝1．①依照题意画出图形，则EF＝BD＝2，OF＝AE＝AB＝1，又∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点F在y轴正半轴上，∴点F的坐标为（0，1）．②∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴设平移后得到的抛物线C2的表达式为y＝（x+m）2﹣1．将F（0，1）代入y＝（x+m）2﹣1，得：1＝（0+m）2﹣1，解得：m1＝，m2＝﹣，∴抛物线C2的表达式为y＝（x﹣）2﹣1或y＝（x+）2﹣1，即y＝x2﹣2x+1或y＝x2+2x+1．24．【解答】解：（1）连接OD，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠ABD＝∠DBF，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠DBF＝∠ODB，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∴∠ODB+∠BDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴FD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠DBF＝∠ABD，在Rt△ABD中，BD＝8，∵sin∠ABD＝sin∠DBF＝，∴AD＝6，∵∠DAC＝∠DBC，∴sin∠DAE＝sin∠DBC＝，在Rt△ADE中，sin∠DAC＝，∴DE＝．25．【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1，故答案为：x＞3或x＜1；③当﹣1＜x＜1时，（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0，当x＜﹣1时，（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0，由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1，故答案为：+，﹣，x＞3或﹣1＜x＜1；（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2，故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7，故答案为：x＞9或x＜8且x≠726．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．（2）依照题意，画出图形，如图1所示．当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，即a（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3．由（1）可知，顶点C的坐标为（2，﹣a）．∵a＞0，∴﹣a＜0．∵△ABC为等边三角形，∴点C的坐标为（2，﹣），∴﹣a＝﹣，∴a＝．（3）分两种情况考虑，如图2所示：①当a＞0时，a（﹣1）×（﹣3）≤﹣1，解得：a≥；②当a＜0时，a（﹣1）×（﹣3）≥2，解得：a≤﹣．27．【解答】解：（1）结论：BD＝CE，理由：∵△ADE∽△ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAH＝45°，∵∠H＝90°，AD＝2，∴AH＝DH＝2，在Rt△BDH中，BD＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥P A交P A的延长线于H．在Rt△ABP中，AP＝AB•sin37.5°，在Rt△AQD中，AQ＝AD•sin37.5°，在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．28．【解答】解：（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，﹣3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是P2，P3．故答案为P2，P3．（2）∵C（﹣3，0），D（0，3），E（3，0），∴直线CD的解析式为y＝x+3，直线DE的解析式为y＝﹣x+3，由，解得，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为﹣5，由，解得，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为﹣，∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为：x P＜﹣5或x P＞﹣．（3）如图3﹣1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，则EH＝EK＝1，HK＝，∴OT＝KT+HK﹣OH＝3+﹣4＝﹣1，∴T（0，1﹣），此时t＝1﹣，∴当﹣3＜t＜1﹣时，⊙H上的所有点都独立于图形W．如图3﹣2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．OT＝OH+KH﹣KT＝4+﹣3＝1+，∴T（0，1+），此时t＝1+，如图3﹣3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．OT＝OM+TM＝4﹣+3＝7﹣，∴T（0，7﹣），此时t＝7﹣，∴当1+＜t＜7﹣时，⊙H上的所有点都独立于图形W．综上所述，满足条件的t的值为﹣3＜t＜1﹣或1+＜t＜7﹣．单词的词性变化动词变为名词cleaner seller player surferjumper speaker traveler teacherfarmer diver driver, writerRunner winner robberVisitor inventor conductor inspector（检查员）cross——crossing wash——washingpark——parking pack——packing（包装）。
2018-2019学年北京市各区九年级(上)期末数学试卷6套附答案解析
2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（）A. (1,3)B. (−1,3)C. (1,−3)D. (3,−1)2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（）A. 35B. 45C. 34D. 433.方程x2-x+3=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根4.如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）A. 150∘B. 120∘C. 60∘D. 30∘5.如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y=2x（x＞0）的图象上的一点，则矩形OABC的面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：AB=2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（）A. 2：3B. 4：9C. 4：5D. √2：√37.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A. (54√3+10)cmB. (54√2+10)cmC. 64 cmD. 54cm8.在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A. y1B. y2C. y3D. y4二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.方程x2-3x=0的根为______．10.半径为2且圆心角为90°的扇形面积为______．11.已知抛物线的对称轴是x=n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为______．12.在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y=x与y=k（k≠0）的图象有两个交点，则kx的取值范围是______．13.如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为______．14.已知（-1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式______．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是______．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线y =2上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为______．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17. 计算：cos45°-2sin30°+（-2）0．18. 已知x =n 是关于x 的一元二次方程mx 2-4x -5=0的一个根，若mn 2-4n +m =6，求m 的值．四、解答题（本大题共10小题，共58.0分）19. 如图，AD 与BC 交于O 点，∠A =∠C ，AO =4，CO =2，CD =3，求AB 的长．20. 近视镜镜片的焦距y （单位：米）是镜片的度数x （单位：度）的函数，下表记录了一组数据：x （单位：度） … 100 250 400 500 … y （单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 …（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是______； A ．y =1100x ；B ．y =100x；C ．y =-1200x +32；D ．y =x 240000−13800x +198（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为______21.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（______）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（______）（填推理的依据）．22.2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．23. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =12x 与双曲线y =kx 的一个交点是A （2，a ）．（1）求k 的值；（2）设点P （m ，n ）是双曲线y =kx 上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点B （b ，0）．①若m =1，求b 的值；②若PB =2AB ，结合图象，直接写出b 的值．24.如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB=6cm，AC=2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格：x/cm00.250.47123456y/cm 1.430.660 1.31 2.59 2.76______ 1.660（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD=AC时，AM的长度约为______cm．25.如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC=PF；，求FB的长．（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC=3√2，tan P=3426.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y=4x2-8ax+4a2-4，A（-1，0），N（n，0）．（1）当a=1时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．27.已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．（1）如图1，①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为______．（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A 旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．28.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）和点B（b，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当a=-4，b=3时，点A，B的逆序正方形如图1所示．（1）图1中点C的坐标为______；（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的______坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为______；（3）已知正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．①判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若a=4，b＞0，且点C恰好落在⊙T上，直接写出t的取值范围答案和解析1.【答案】A【解析】解：抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1，3）．故选：A．根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记．2.【答案】C【解析】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO=∠PNO=90°，∵x轴⊥y轴，∴∠MON=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形MONP是矩形，∴PM=ON，PN=OM，∵P（4，3），∴ON=PM=4，PN=3，∴tanα==，故选：C．过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵a=1，b=-1，c=3，∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，所以方程没有实数根．故选：C．把a=1，b=-1，c=3代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4.【答案】A【解析】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，∴BC与B'C是对应边，∴旋转角∠BCB'=180°-30°=150°．故选：A．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．5.【答案】B【解析】解：∵点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴矩形OABC的面积S=|k|=2，故选：B．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．6.【答案】B【解析】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=．故选：B．由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选：C．过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．8.【答案】A【解析】解：由图象可知：抛物线y1的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1=抛物线y2的顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2=x2-1；抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3=（x-1）2+1；抛物线y4的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y4=2（x-1）2-3；综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1故选：A．由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．9.【答案】x1=0，x2=3【解析】解：因式分解得，x（x-3）=0，解得，x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．10.【答案】π【解析】解：扇形的面积是=π，故答案为π．根据扇形面积公式求出即可．11.【答案】2【解析】解：∵抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线=2．即n的值为2．故答案为2．利用抛物线与x轴的交点为对称轴，从而得到抛物线的对称轴方程．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．12.【答案】k＞0【解析】解：联立两解析式得：，消去y得：x2-k=0，∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点，∴△=b2-4ac=4k＞0，即k＞0．故k的取值范围是k＞0．故答案为：k＞0．联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．13.【答案】（1，2）【解析】解：点B的坐标为（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0），∴以原点O为位似中心，把△OAB缩小，得到△OA'B'，∵点A的坐标为（2，4），∴点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算．本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．14.【答案】y=-2，答案不唯一x【解析】解：∵（-1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，∴函数图象的分支在二四象限，则k＜0．故答案为：y=-，答案不唯一．先根据题意判断出k的符号，再写出符合条件的解析式即可．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决此题的关键是确定k的符号．15.【答案】点M与点N【解析】解：如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N，故答案为：点M与点N．分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，即可得到满足到点O和点A的距本题主要考查了点与圆的位置关系以及点的坐标，解题时注意：当点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径．16.【答案】√3 【解析】 解：连接PQ 、OP ，如图，∵直线OQ 切⊙P 于点Q ，∴PQ ⊥OQ ，在Rt △OPQ 中，OQ==，当OP 最小时，OQ 最小，当OP ⊥直线y=2时，OP 有最小值2，∴OQ 的最小值为=． 故答案为． 连接PQ 、OP ，如图，根据切线的性质得PQ ⊥OQ ，再利用勾股定理得到OQ=，利用垂线段最短，当OP 最小时，OQ 最小，然后求出OP 的最小值，从而得到OQ 的最小值．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．17.【答案】解：原式=√22-2×12+1=√22-1+1=√22． 【解析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可求出值． 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：把x =n 代入方程得：mn 2-4n -5=0，即mn 2-4n =5，代入已知等式得：5+m =6，解得：m =1．【解析】把x=n 代入方程求出mn 2-4n 的值，代入已知等式求出m 的值即可．此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【答案】解：∵∠A=∠C，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴AB CD =AOCO，即AB3=42，∴AB=6．【解析】由∠A=∠C，∠AOB=∠COD可得出△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质可得出=，代入AO=4，CO=2，CD=3即可求出AB的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．20.【答案】B12【解析】解：（1）根据表格数据可得，100×1=250×0.4=400×0.25=500×0.2=100，所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，所以y关于x的函数关系式是y=．故选：B．（2）将x=200代入y=，得y==．故答案为．（1）根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，依此即可求解；（2）将x=200代入（1）中的解析式，求出y即可．本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键．21.【答案】圆周角定理切线的判定【解析】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（圆周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理，切线的判定．（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．22.【答案】解：设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中，tan∠DPA=DA，DP，即tan18°=yx∴y=0.33x，，在Rt△PDB中，tan∠DPB=BDPD即tan53°=y+5.6，x∴y+5.6=1.33x，∴0.33x+5.6=1.33x，解得x=5.6，答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．【解析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°=，即y=0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6=1.33x，所以0.33x+5.6=1.33x，然后解方程求出x即可．本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．23.【答案】解：（1）∵直线y =12x 与双曲线y =kx 的一个交点是A （2，a ），∴a =12×2=1， ∴A （2，1），∴k =2×1=2； （2）①若m =1，则P （1，n ），∵点P （1，n ）是双曲线y =k x 上不同于A 的一点， ∴n =k =2，∴P （1，2），∵A （2，1），则直线PA 的解析式为y =-x +3，∵直线PA 与x 轴交于点B （b ，0），∴0=-b +3，∴b =3；②如图1，当P 在第一象限时，∵PB =2AB ，A （2，1），∴P 点的纵坐标时2，代入y =2x 求得x =1，∴P （1，2），由①可知，此时b =3；如图2，当P 在第，三象限时，∵PB =2AB ，A （2，1），∴P 点的纵坐标时-2，代入y =2x 求得x =-1，∴P （-1，-2），∵A （2，1）则直线PA 的解析式为y =x -1，∴b =1，综上，b 的值为3或1．【解析】（1）由直线解析式求得A （2，1），然后代入双曲线y=中，即可求得k 的值； （2）①根据系数k 的几何意义即可求得n 的值，得到P 的坐标，继而求得直线PA 的解析式，代入B （b ，0）即可求得b 的值；②分两种情况讨论求得即可． 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．24.【答案】2.41 1.38或4.62解：（1）描出后图象后，x=4时，测得y=2.41（答案不唯一），故答案是2.41；（2）图象如下图所示：当x=4时，测量得：y=2.41；（3）当BD=AC时，y=2，即图中点A、B的位置，从图中测量可得：x A=1.38，x B=4.62，故：答案为：1.38或4.62（本题答案不唯一）．（1）描出图象后，测量x=4时，y的值，即可求解；（2）描点即可；（3）当BD=AC时，即：y=2，即图中点A、B的位置，即可求解．本题考查的函数的作图，主要通过描点的方法作图，再根据题意测量出相应的长度．25.【答案】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°，∵OE=OC，∴∠E=∠OCE，∵OE⊥AB，∴∠E+∠EFA=∠OCE+∠FCP=90°，∴∠EFA=∠FCP，∵∠EFA=∠CFP，∴∠CFP=∠FCP，∴PC=PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，∵OB∥PC，∴∠COB=90°，∵OB=OC，BC=3√2，∵BG ⊥PC ，∴四边形OBGC 是正方形，∴OB =CG =BG =3，∵tan P =34，∴BG PG =34，∴PG =4，∴由勾股定理可知：PB =5，∵PF =PC =7，∴FB =PF -PB =7-5=2．【解析】（1）连接OC ，根据切线的性质以及OE ⊥AB ，可知∠E+∠EFA=∠OCE+∠FCP=90°，从而可知∠EFA=∠FCP ，由对顶角的性质可知∠CFP=∠FCP ，所以PC=PF ； （2）过点B 作BG ⊥PC 于点G ，由于OB ∥PC ，且OB=OC ，BC=3，从而可知OB=3，易证四边形OBGC 是正方形，所以OB=CG=BG=3，所以，所以PG=4，由勾股定理可知：PB=5，所以FB=PF-PB=7-5=2．本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识．26.【答案】解：（1）①把a =1代入二次函数表达式得：y =4x 2-8x -1，令y =0，即4x 2-8x -1=0，解得：1±√52， 即抛物线G 与x 轴的交点坐标为：（1+√52，0）、（1-√52，0）； ②抛物线G 与线段AN 只有一个交点，则x =-1时，y ≥0（已经成立），x =n 时，y ＜0，且n ＞-1，4n 2-8n -1＜0，解得：-1-√52＜n ＜−1+√52即：-1＜n ＜−1+√52； （2）由②知，抛物线G 与线段AN 有两个交点，则x =-1时，y ≥0，x =n 时，y ≥0，即：{4+8a +4a 2−4≥0n 2−2an +a 2−1≥0，解得：{a ≥0或a ≤−2n ≤a −1或n ≥a +1， 即：n 的取值范围为：n ≤a -1或n ≥a +1．【解析】②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x=-1时，y≥0（已经成立），x=n时，y ＜0，且n＞-1，即可求解；（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x=-1时，y≥0，x=n时，y≥0，即可求解．本题考查的是二次函数的综合运用，其核心是利用二次函数解不等式，本题难度较大．27.【答案】1α2【解析】证明：（1）①如图1，连接DA，并延长DA交BC于点M，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴AD=AC，且AB=AC，∴AD=AB=AC，∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上②∵AD=AB=AC∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=故答案为：α（2）如图2，连接CE，∵∠BAC=60°，AB=AC∴△ABC是等边三角形∴BC=AC，∠ACB=60°，∵∠BDC=∴∠BDC=30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE=60°，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE=CE，且∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD=AE，（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，∵在△BOF中，BO+OF≥BC∴当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，如图，过点O作OH⊥BC，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AC，∠ACB=45°，且OH⊥BC，∴∠COH=∠HCO=45°，∴OH=HC，∴OC=HC，∵点O是AC中点，∴AC=2HC，∴BC=4HC，∴BH=BC-HC=3HC∴tan∠FBC==（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC，可求∠BDC的度数；（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE=BD；（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求，OH=HC，BH=3HC，即可求tan∠FBC的值．本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．28.【答案】（-1，3）纵 3 错误【解析】解：（1）如图1，过点C作CE垂直x轴，垂足为E，∴∠CEB=∠BOE=90°，∴∠CBE+∠BCE=90°，∵正方形ABCD，∴BC=AB，∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°，∴∠BCE=∠ABO，∴△BCE≌△ABO（AAS），∴BE=AO=4，CE=BO=3，∴C（-1，3），故答案为（-1，3）；（2）∵△BCE≌△ABO，∴CE=BO=3，∴改变图1中的点A的位置，其余条件不变时，点C的纵坐标总是3，故答案为：不变，3；（3）①错误反例如图2；点C在x轴上，当点D在第三象限；②如图1，若a=4，b＞0时，∵△BCE≌△ABO，∴CE=BO=b，BE=OA=4，∴点C（b-4，b），∴点C在直线y=x+4上，（-4＜x），作直线y=x+4，交坐标轴与M，N两点，作圆T与直线相切于点H，如图3，y=x+4，当x=0时，y=4，当y=4时，x=-4，∴M（0，4），N（-4，0），∴OM=ON，∴∠ONH=45°，∵MN与圆T相切，TH=1，∴TH⊥MN，TN==，此时点T（-4+，0），当T在点N左侧时，TN=1，此时点T（-5，0），综上所述t的取值范围是-5＜t≤-4+．（1）过点C作CE垂直x轴，垂足为E，证明△BCE≌△ABO即可；（2）运用全等分析CE不变即可；（3）①举个反例即可；②先分析点C的轨迹，在分析圆T与其有交点即可；此题主要考查圆的综合问题，会构造全等三角形分析问题，会分析点的运动轨迹并运用切线求出直线与圆有交点的条件是解题的关键．2018-2019学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）29.某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 三棱柱30.已知∠A为锐角，且sin A=√3，那么∠A等于（）2A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘31.“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.32.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=34°，那么∠BAD等于（）A. 34∘B. 46∘C. 56∘D. 66∘33.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A. 30∘B. 45∘C. 90∘D. 135∘34.若函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是（）A. m>1B. m<1C. m≤1D. m=135.二次函数y=x2-2x，若点A（-1，y1），B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 不能确定36.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度t/℃…-5-32…植物高度增长量h/mm…344641…科学家推测出h（mm）与t之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．已知温度越适合，植物高度增长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为（）A. −2℃B. −1℃C. 0℃D. 1℃二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）37.若反比例函数y=k的图象经过点（-1，2），则k的值是______．x38.请写出一个过点（0，1）的函数的表达式______．39.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（-1，0），则点Q的坐标为______．40.在平面直角坐标系xOy中，若点B（-1，2）与点A关于原点O中心对称，则点A的坐标为______．41.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是劣弧CD上一动点，则∠AEB=______°．42.圆心角为60°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的弧长是______cm．43.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB=______°．44.如图，点P是等边三角形ABC内一点，将CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，连接AP，BP，BQ，PQ，若∠PBQ=40°，下列结论：①△ACP≌△BCQ；②∠APB=100°；③∠BPQ=50°，其中一定成立的是______（填序号）．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）tan45°．45.计算：2cos30°-tan60°+sin30°+12，AC=2，求AB的长．46.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=1247.已知：二次函数的表达式y=x2-2x-3．（1）用配方法将其化为y=a（x-h）2+k的形式；（2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质．48.尺规作图：如图，AD为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长．小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程．在⊙O中，连接OF．∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴AB⏜=BC⏜=CD⏜=DE⏜=EF⏜=AF⏜∴∠AOF=60°∴∠ADF=12∠AOF=30°______（填推理的依据）∵AD为⊙O直径∴∠AFD=90°∵cos30°=DFAD =√3 2∴DF=______．49.港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB 的长）．（已知√3≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）50.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．（1）求证：∠OCF=∠BCD；，求⊙O半径的长．（2）若CD=4，tan∠OCF=1251.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象与x轴的交点为A（2，0），的图象交于点C（-1，m）．与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数y=kx（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BP，当S△ABM=2S△OMP时，请直接写出点P的坐标．52.如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求⊙O直径的长．53.有这样一个问题：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=m，BD=n，求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）．小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：解：如图，令AD=3，BD=4，设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理得，（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12所以S△ABC=12AC⋅BC=12（x+3）（x+4）=12(x2+7x+12)=12×（12+12）=12请你参考小冬的做法．解决以下问题：（1）当AD=5，BD=7时，求△ABC的面积；（2）当AD=m，BD=n时，直接写出求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）为______．54.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-4mx+4m-2的顶点为M．（1）顶点M的坐标为______．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若MN∥y轴且MN=2．①点N的坐标为______；②过点N作y轴的垂线l，若直线l与抛物线交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m的取值范围．55.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC上一点（与点A，C不重合），连接BD，过点A作AE⊥BD的延长线于E．（1）①在图中作出△ABC的外接圆⊙O，并用文字描述圆心O的位置；②连接OE，求证：点E在⊙O上；（2）①延长线段BD至点F，使EF=AE，连接CF，根据题意补全图形；②用等式表示线段CF与AB的数量关系，并证明．56.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）=0．已知A（-4，0），B（0，4），C（-2，0），（1）d（点A，点B）=______，d（点A，线段BC）=______；（2）⊙O半径为r，①当r=1时，求⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）；②若d（⊙O，△ABC）=1，则r=______．（3）D为x轴上一点，⊙D的半径为1，点B关于x轴的对称点为点B'，⊙D与∠BAB'的“近距离”d（⊙D，∠BAB'）＜1，请直接写出圆心D的横坐标m的取值范围．。
西城区2018-2019学年度第一学期期末九年级数学试题参考答案
北京市西城区2019— 2019学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2019.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=24(2-………………………………………………………3分=162-=112．…………………………………………………………………………5分18．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=12AB=6，…………………………………1分AD=AB·cos∠BAD =12·cos30°=……………………………………2分∵BC=15，∴CD= BC－BD=15－6=9．………………………………………………………3分∴在Rt△ADC中，tan C=ADCD……………………………………………………4分………………………………………5分19．解：（1）令0=y，则2230x x-++=．解得11-=x，32=x．………………………………………………………1分∵点A在点B的左侧，∴A （1-，0），B （3，0）． …………………………………………………2分 对称轴为直线1=x ． …………………………………………………………3分 （2）∵当1x =时，4=y ，∴顶点C 的坐标为（1，4）． …………………………………………………4分∵点C ，D 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（1，4-）．∵AB =4，∴=ACB DCB ACBD S S S ∆∆+四边形1442162=⨯⨯⨯=． ………………………………5分20．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ． ……………………1分 ∵∠A =∠BDC ，∴△ABD ∽△DCB ． ……………………3分（2）解：∵△ABD ∽△DCB ，∴AB ADDC DB=． …………………………………………………………4分 ∵AB =12，AD =8，CD =15， ∴12815DB=． ∴DB =10． ………………………………………………………………5分21．解：根据题意，得 (213)(82)6x x --=． …………………………………………2分 整理得 211180x x -+=．解得 12x =，29x =． …………………………………………………………3分 ∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =． ……………………………………………………………………………4分答：人行通道的宽度是2米． ……………………………………………………5分 22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根．∴2(4)420k ∆=--⨯=． ……………………………………………………1分 解得 2k =． …………………………………………………………………2分（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为（1，0），抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为（-1，-8）， ………………3分∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ． …………………………………………………………………4分（3）31m -<<． ……………………………………………………………………5分 23．解：（1）∵OC ⊥AB 于点D ，∴AD =DB ， ……………………………………1分∠ADO =90°．∵AB =∴AD =∵∠AOD =2∠E ，∠E =30°，∴∠AOD =60°． ………………………………………………………………2分∵在Rt △AOD 中， ∴OA =︒=∠60sin 32sin AOD AD =4． ………………………………………………3分 （2）∠BAF =75°或15°． ……………………………………………………………5分24．解：（1）∵在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，∠B =45°，∴∠BAD =90°—∠B =45°． ∴∠BAD =∠B ．∴AD =DB ． ……………………………1分 设AD =x ，∵在Rt △ADC 中，tan ∠ACD =ADDC，∠ACD =58°， ∴DC =tan58x． ………………………………………………………………3分∵DB = DC + CB =AD ，CB =90，∴tan58x+90=x ． ……………………………………………………………4分将tan58°≈1.60代入方程，解得x ≈240． …………………………………………………………………5分答：最高塔的高度AD 约为240米． 25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵ PC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴OC ⊥PC ． ……………………………1分 ∴∠PCO =∠1+∠2=90°． ∵PD ⊥AB 于点D ， ∴∠EDA =90°．图1∴∠A +∠3=90°． ∵OA =OC ， ∴∠A =∠1． ∴∠2=∠3． ∵∠3=∠4， ∴∠2=∠4．即∠PCE =∠PEC ． …………………………………………………………2分（2）解：作PF ⊥EC 于点F ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∵在Rt △ABC 中，AB =10，3sin 5A =， ∴BC =AB ·sin A =6．∴AC =22BC AB -=8．3分 ∵在Rt △AED 中，ED =32， ∴AE =sin ED A =52． ∴EC=AC －AE =112． ∵∠2=∠4， ∴PE=PC ．∵PF ⊥EC 于点F ， ∴FC=12……………………………………………………………4分 ∠PFC =90°． ∴∠2+∠5=90°．∵∠A +∠2=∠1+∠2=90°． ∴∠A =∠5． ∴sin ∠5 =35． ∴在Rt △PFC 中，PC =sin 5FC ∠=1255． ……………………………………5分26．解：（2）抛物线如图所示； ……………………1分（3）x =4-，1-或1； ……………………3分 （4）41x -<<-或1x >． ……………………5分27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++，当0x =和5x =时所对应的函数值相等，∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称轴是直线52x =．∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），∴10,25.2b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………1分解得 2,5.2c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-． ………………………………2分（2）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，∴2153222x x x -+=-+-．解得 12x =，25x =． ………………3分 ∴交点坐标为（2，1），（5，2-）． ∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（2，1）． ∴点D 的坐标为（2，0）． 在Rt △ABD 中，AD =1，BD =1，∴AB=2． …………………………………………………4分 （3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形． ………………………………………5分证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转180°得到点N ，∴M 是线段BN 的中点．∴MB = MN ．∵M 是线段AC 的中点， ∴MA = MC ．∴四边形ABCN 是平行四边形． ∵一次函数3y x =-+的图象与x 当0y =时，3x =． ∴点E 的坐标为（3，0）． ∴DE =1= DB ．∴在Rt △BDE 中，∠DBE =∠DEB =45°． 同理∠DAB =∠DBA =45°． ∴∠ABE =∠DBA +∠DBE =90°．∴四边形ABCN 是矩形． ……………………………………………7分28．解：（1 …………………………2分 （2）①补全图形如图所示； ………………3 ②结论：（1）中NM 与AB 证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ， ∴∠CAB =∠B =45°． ∴∠CAN +∠NAM =45°．∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ， ∴AD =AE ，∠DAE =90°． ∵N 为ED 的中点，∴∠DAN =12∠DAE =45°， AN ⊥DE ．∴∠CAN +∠DAC =45°， ∠AND =90°．∴∠NAM =∠DAC ． 4分在Rt △AND 中，ANAD =cos ∠DAN ．在Rt △ACB 中，ACAB =cos ∠CAB． ∵M 为AB 的中点，∴AB =2AM ．∴2AC AC AB AM ==．∴AM AC ． ∴AN AD =AMAC． ∴△ANM ∽△ADC ． ∴∠AMN =∠ACD ．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴∠ACD =180°－∠ACB =90°． ∴∠AMN =90°．∴NM ⊥AB ． ………………………………………………………5分（3）当BD 的长为 6 时， ……………………………7分 29．解：（1）所得图形，如图1所示． ……………………1分（2）①45°； ………………………………………3分②(2，12)或(12-，2)； ……………5分 （3）①如图2，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，点Q 在第一象限，连接MQ ，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ． ∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ， ∴MQ ⊥OQ ． ∴∠MQO =90°． ∵MO =2，MQ =1，∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=21=MO MQ ．∴∠MOQ =30°．∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3． ∵QH ⊥x 轴， ∴∠QHO =90°．∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°，∴在Rt △QOH 中，QH = OQ ﹒sin ∠QOH =23． …………………………6分 ②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ．∵直线l 是⊙M 的切线， ∴MD ⊥l ．∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°．图2∵∠1=∠2，∴∠OPD =∠NPD ． ∵PN ∥x 轴，∴∠NPD =∠PDO ． ∴∠OPD =∠PDO ． ∴OP =OD ． ∵OF ⊥PD ， ∴∠MFO =90°，PF =FD ．∵cos OMF ∠=MF MOMO MD=， 设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1， ∴12212x x+=+．解得x =∵0x >，∴x =． ∵PE ⊥OD ， ∴∠PED =90°=∠MOD ． ∴PE ∥MO ．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos ∠EPD = cos ∠OMF ． ∴MOMF PD PE =． ∴PD MO MFPE ⋅==122x x +⋅ (1)x x =+=158-． …………………………………………………………7分． 可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P32P y <． ………………………………8分。
北京市西城区2018届九年级上期末考试数学试题有答案[精选]
北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷九年级数学 2018.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A .35B . 45C . 34D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）． A .12y y > B .12y y = C .12y y < D .不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A .(4,5)-，开口向上B .(4,5)-，开口向下C .(4,5)--，开口向上D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A .48πB .24πC .4πD .2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）. A .m ≤4 B .<4m C . m ≥4- D .>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB AC BP CB= 8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果3=AD ，AC =10，那么EC = .xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .15.如图，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1（2）将抛物线1212回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 h （m ）0 8.75 1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的 计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ． ①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：（用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2 (0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。