北师大版九年级数学上学期期末冲刺模拟测试卷 (四)含答案与解析

北师大版九年级上学期期末冲刺模拟测试卷(四)数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷相对应的位置上，并认真核对；2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；3．考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。

一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．23x-=162⎛⎫⎪⎝⎭B．2312x-=416⎛⎫⎪⎝⎭C．231x-=416⎛⎫⎪⎝⎭D．以上都不对2．已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（）．A．20米B．30米C．40米D．50米3．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是（）A．110B．310C．25D．144．下列说法中正确的是（）A．方程x2-8=0有两个相等的实数根;B．方程5x2=-2x没有实数根;12C ．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，那么b 2-4ac<0D ．如果a 、c 异号，那么方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根.5．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC 8=，BD 6=，点E 为AB 中点，连接OE ，则OE 的长是（ ）A ．5B ．125 C ．4 D ．52 6．下列说法中正确的有（ ）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9；④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝8x上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为( )A ．85B ．235C ．3.5D ．58．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD ＝BD ，CE ＝2BE ．过B 作BF ∥CD 交AE 的延长线为F ．当BF ＝1时，AB的长为（）A．4 B．5 C．6 D．79．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC＝4，∠CBD＝30°，则AE的长为（）A．27 3B．374C．475D．710．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为(5，4) B．AB＝AD C．a＝16-D．OC•OD＝16二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．若a是方程210x x+-=的一个根，则11a aa a-++的值是________.12．如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，90OCD∠=︒，60AOB∠=︒，34若点B 的坐标是()6,0，则点C 的坐标是__________，点D 的坐标是__________.13．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，且∠CDF ＝27°，则∠DAF 等于______度.14．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，点B 是x 轴正半轴上一点，∠OAB =45°，双曲线ky x=过点A ，交AB 于点C ，连接OC ，若OC ⊥AB ，则tan ∠ABO 的值是_____．15．如图，已知90ACB ∠=︒，90BAD ∠=︒，AB AD =，若5CD =，1tan 4BAC ∠=，则四边形ABCD 的面积为______．16．“若抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不等实根。

”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若d、e(d＜e)是关于x的方程1＋(x﹣f)(x﹣g)=0的两根，且f＜g，则d、e、f、g的大小关系是________．三、解答题（本大题共9小题，第17-21题每小题8分，第22-23题每小题10分，第24题12分，第25题14分，共86分）17．（1）计算：1 0182sin45(2)3π-⎛⎫-︒+-- ⎪⎝⎭（2）解方程：2230x x--=18．如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在线段AC上,且CD=2AD．求作DE⊥AC于点D,且DE交AB于点E;并求出DEBC的值.(要求:尺规作图保留作图痕迹,不写作法)19．如图，△DEF由△ABC平移得到，∠DFE=∠CDF=30°，∠DEF=90°，BE⊥DF于点B．连接CE，AB=3．（1）求证：四边形ACDF为矩形（2）求线段CE的长和△CEF的面积．520．如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．21．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．22．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx（x＞0，k＞0图象上的两点（n，3n）、（n+1，2n）．（1）求n的值；（2）如图，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A在反比例函数y＝kx（x＞0，k＞0）的图象上，过点A作AB⊥l于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥BC于点D，记△BOC的面积为S1，△ABD 的面积为S2，求S1﹣S2的值．623．如图是某幼儿园的两个同一水平面AF上的长度相同的滑梯模型图，已知滑梯斜面BC＝EF＝4m，∠ABC ＝30°，∠EFD＝53°，且对角线CE所在的四边形是正方形．若小红从D﹣C﹣B再返回D处，小芳从D﹣C﹣E﹣F再返回D，试计算说明，小红和小芳谁走的路程更短，短多少？（精确到0.1m）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，2 1.41,3 1.73≈≈）24．如图，点D在等边ABC内，连接DA，DB，DC，将线段BD绕点B顺时针旋转60︒到BE，连接CE，且EC可由BD平移得到，（1）求证：四边形BDCE是菱形；（2）若2AD=,求点A到直线CE的距离.25．已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）7（1）求a的值；（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题：①如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；②如图③，点D（1，1），探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与解析一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．23x-=162⎛⎫⎪⎝⎭B．2312x-=416⎛⎫⎪⎝⎭C．231x-=416⎛⎫⎪⎝⎭D．以上都不对【答案】C【解析】先进行移项，再把二次项系数化为1，配方即可．移项得2x²-3x=-1，89二次项系数化为1得23122x x -=-， 配方得23919216216x x -+=-+， 即231()416x -=， 故选：C ．【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，运用配方法时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键．2．已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（ ）．A ．20米B ．30米C ．40米D ．50米 【答案】B【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设建筑物的高度为xm ，则可列比例为：1.5240x =, 解得：x=30，故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用同一时刻物高和影长成正比得出是解题关键．3．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是（ ）A．1 10B．310C．25D．14【答案】C【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的情况，再利用概率公式即可求得答案．画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的有8种情况，∴取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是：820=25.故答案选C.【点睛】本题考查的知识点是列表法及树状图法，解题的关键是熟练的掌握列表法及树状图法.4．下列说法中正确的是（）A．方程x2-8=0有两个相等的实数根;B．方程5x2=-2x没有实数根;C．如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，那么b2-4ac<0D．如果a、c异号，那么方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.【答案】D【解析】1011分别利用根的判别式求出其符号，进而得出正确答案．A 、方程x 2-8=0有两个相等的实数根，b 2-4ac=-4×1×（-8）=32＞0，故此方有两个不相等的实数根，故此选项错误；B 、方程5x 2=-2x ，b 2-4ac=4-0=4＞0，故此方有两个不相等的实数根，故此选项错误；C 、如果一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，那么b 2-4ac≥0，故此选项错误；D 、如果a 、c 异号，那么方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故此选项正确.故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．5．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC 8=，BD 6=，点E 为AB 中点，连接OE ，则OE 的长是（ ）A ．5B ．125C ．4D ．52【答案】D【解析】 由菱形对角线相互垂直平分，可得OB 和OA 的长度，即可得出答案.解：∵菱形对角线相互垂直平分， ∴OB=3,OA=4，且OA ⊥OB.∵22345+=,∴OE=52,故选：D.【点睛】本题考查了菱形的定义和勾股定理，熟悉掌握概念是解决本题的关键.6．下列说法中正确的有（）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9；④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】根据位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理判断．解：①位似图形都相似，本选项说法正确；②两个等腰三角形不一定相似，本选项说法错误；③两个相似多边形的面积比是2：3④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2，那么这两个矩形对应边的比不一定相等，两个矩形不一定一定相似，本选项说法错误；∴正确的只有①；故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换、相似多边形的判定和性质，掌握位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理是解题的关键．127．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣1，1)，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝8x上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为( )A．85B．235C．3.5 D．5【答案】B【解析】设点D(m，8m)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x 轴于点N，根据AAS先证明△DHA≌△CGD、△ANB≌△DGC可得AN＝DG＝1＝AH，据此可得关于m的方程，求出m的值后，进一步即可求得答案.解：设点D(m，8m)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，如图所示：∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，13∴∠HDA＝∠GCD，又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，∴△DHA≌△CGD(AAS)，∴HA＝DG，DH＝CG，同理△ANB≌△DGC(AAS)，∴AN＝DG＝1＝AH，则点G(m，8m﹣1)，CG＝DH，AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，故点G(﹣2，﹣5)，D(﹣2，﹣4)，H(﹣2，1)，则点E(﹣85，﹣5)，GE＝25，CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣25＝235，故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点和全等三角形的判定与性质，构造全等、充分运用正方形的性质是解题的关键.8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD＝BD，CE＝2BE．过B作BF∥CD交AE的延长线为F．当BF＝1时，AB的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B14【解析】通过证明△CEO∽△BEF，可得BFBECO CE=，可求CO=2，由平行线分线段成比例可求OD的长，即可求CD 的长，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求解．证明：如图，∵BF∥CD，∴△CEO∽△BEF，∴BF BECO CE=，且BF＝1，CE＝2BE，∴CO＝2，∵BF∥CD，∴OD ADBF AB=，且AD＝BD，∴OD＝12BF＝12，∴CD＝CO+OD＝52，∵∠C＝90°，AD＝BD，∴AB＝2CD＝5，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．159．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC＝4，∠CBD＝30°，则AE的长为（）A 273B374C475D7【答案】D【解析】如图，作EH⊥AB于H，利用∠CBD的余弦可求出BD的长，利用∠ABD的余弦可求出AB的长，利用∠EBH 的正弦和余弦可求出BH、HE的长，即可求出AH的长，利用勾股定理求出AE的长即可．如图，作EH⊥AB 于H，在Rt△BDC中，BC＝4，∠CBD＝30°，∴BD＝BC·cos30°3∵BD平分∠ABC，∠CBD＝30°，∴∠ABD=30°，∠EBH=60°，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝3∴AB＝BD·cos30°=3，∵点E为BC中点，∴BE＝EC＝2，在Rt△BEH中，BH＝BE·cos∠EBH＝1，HE＝EH·sin∠EBH316∴AH=AB-BH=2，在Rt△AEH中，AE＝22222(3)AH EH+=+＝7，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构建直角三角形并熟记三角函数的定义是解题关键．10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为(5，4) B．AB＝AD C．a＝16-D．OC•OD＝16【答案】D【解析】由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性1718可得点D 的坐标，则OC•OD 的值可计算；由勾股定理可得AD 的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4交y 轴于点A ，所以A （0，4）．因为对称轴为直线x ＝52，AB ∥x 轴，所以B （5，4），选项A 正确，不符合题意．如答图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，则BE ＝4，AB ＝5．因为AB ∥x 轴，所以∠BAC ＝∠ACO ．因为点B 关于直线AC 的对称点恰好落在线段OC 上，所以∠ACO ＝∠ACB ，所以∠BAC ＝∠ACB ，所以BC ＝AB ＝5．在Rt △BCE 中，由勾股定理得EC ＝3，所以C （8，0），因为对称轴为直线x ＝52，所以D （－3，0）．在Rt △ADO 中，OA ＝4，OD ＝3，所以AD ＝5，所以AB ＝AD ，选项B 正确，不符合题意．设y ＝ax 2＋bx ＋4＝a(x ＋3)(x －8)，将A （0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a ＝16-，选项C 正确，不符合题意．因为OC ＝8，OD ＝3，所以OC•OD ＝24，选项D 错误，符合题意，因此本题选D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．若a 是方程210x x +-=的一个根，则11a a a a-++的值是________. 【答案】1【解析】将a 代入方程210x x +-=，得到210a a +-=，进而得到21a a -=，21a a =-，然后代入求值即可.解：由题意，将a 代入方程210x x +-=∴210a a+-=，21a a-=，21a a=-∴22 11(1)(1)11111a a a a a aa a aa a a a a--+-+=+=+=+-=+++故答案为：1【点睛】本题考查一元二次方程的解，及分式的化简，掌握方程的解的概念和平方差公式是本题的解题关键. 12．如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，90OCD∠=︒，60AOB∠=︒，若点B的坐标是()6,0，则点C的坐标是__________，点D的坐标是__________.【答案】(2，3()8,0【解析】根据坐标系中，以点O为位似中心的位似图形的性质可得点D的坐标，过点C作CM⊥OD于点M，根据含30°角的直角三角形的性质，可求点C的坐标．∵OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，点B的坐标是()6,0，∴点D的坐标是(8，0)，∵90OCD∠=︒，60AOB∠=︒，∴∠D=30°，∴OC=12OD=12×8=4，19过点C作CM⊥OD于点M，∴∠OCM=30°，∴OM=12OC=12×2=2，CM=3OM=23，∴点C的坐标是(2，23)．故答案是：(2，23)；(8，0)．【点睛】本题主要考查直角坐标系中，位似图形的性质和直角三角形的性质，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．13．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，且∠CDF＝27°，则∠DAF等于______度.【答案】51【解析】20如图，连接BF，由菱形的轴对称性质得DF=BF，因为EF是AB的垂直平分线，所以BF=AF，所以DF=AF=FB，所以∠FDA=∠FAD=∠FAB，设∠FDA=∠FAD=∠FAB=x，因为∠CDA+∠BAD=180°，所以3x+27°=180°，解得x=51°，故答案为51.14．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点，∠OAB=45°，双曲线kyx=过点A，交AB于点C，连接OC，若OC⊥AB，则tan∠ABO的值是_____．【答案】152【解析】过点C作CE垂直x轴，CD垂直AD，设点A的和点C的坐标，根据“AAS”证明△CEO≌△ADC，求出点A、C的坐标与k的关系，从而求出tan∠ABO的值.作CE⊥x轴，AD⊥CD2122则∠D=∠OEC ，∠ACD=∠COE∵∠OAB =45°∴AC=OC∴△CEO ≌△ADC∴AD=CE,CD=OE设AD=a ,CD=b可知点A 的坐标为（,b a b a -+），点C 的坐标为（,b a ）可得22,ab k b a k =-=∴22ab b a =- ∴2210b b a a--= ∴15b a +=或15b a -=（舍）， ∵∠ABO+∠BCE=∠BCE+∠OCE=90°，∴∠ABO=∠OCE23∴tan ∠ABO=tan ∠OCE=15OE b CE a +== 故答案是：15+ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征及锐角三角函数的定义，找出A 、B 的坐标与反比例函数系数k 的关系是解决本题的关键.15．如图，已知90ACB ∠=︒，90BAD ∠=︒，AB AD =，若5CD =，1tan 4BAC ∠=，则四边形ABCD 的面积为______．【答案】10【解析】过点D 作DE ⊥AC 于E ，利用AAS 证出ABC ≌DAE ，从而得出BC=AE ，AC=DE ，∠BAC=∠ADE ，根据锐角三角函数可得14BC AE AC DE ==，设BC=AE=x ，则AC=DE=4x ，从而求出CE ，利用勾股定理列出方程即可求出x 的值，从而求出BC 、AC 和DE ，再根据四边形ABCD 的面积=ABC ACD SS +即可求出结论．解：过点D 作DE ⊥AC 于E24∴∠EAD ＋∠ADE=90°∵90BAD ∠=︒∴∠BAC ＋∠EAD=90°∴∠BAC=∠ADE∵∠BCA=∠AED=90°，AB AD = ∴ABC ≌DAE∴BC=AE ，AC=DE ，∠BAC=∠ADE ∴1tan tan 4BAC ADE ∠=∠= ∴14BC AEAC DE ==设BC=AE=x ，则AC=DE=4x∴EC=AC －AE=3x在Rt CDE 中，CE 2＋DE 2=CD 2即（3x ）2＋（4x ）2=52解得：x=1或-1（不符合题意舍去）∴BC=1，AC=DE=425∴四边形ABCD 的面积=ABC ACD S S =12BC·AC ＋12AC·DE =12×1×4＋12×4×4 =10故答案为：10．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理是解题关键．16．“若抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0有两个不等实根。