初一数学几何证明题答案

初一典型几何证明题

1、已知： AB=4，AC=2，D是 BC中点， AD是整数，求 AD

解：延长 AD到 E, 使 AD=DE

∵D是 BC中

点∴ BD=DC

在△ ACD和△ BDE中

A

AD=DE

∠BDE=∠

ADC BD=DC

∴△ ACD≌△ BDE ∴AC=BE=2

∵在△ ABE中

AB-BE＜AE＜ AB+BE ∵AB=4

即4-2 ＜2AD＜ 4+2 1＜AD＜3

∴AD=2B C

D

2、已知： BC=DE，∠ B=∠ E，∠ C=∠ D， F 是 CD中点，求证：∠ 1=∠ 2

A

1

2

B E

C F D

证明：连接 BF 和 EF

∵BC=ED,CF=DF,∠ BCF=∠EDF

∴△ BCF≌△ EDF (S.A.S)

∴BF=EF,∠ CBF=∠ DEF

连接 BE

在△ BEF中 ,BF=EF

∴ ∠ EBF=∠ BEF。

∵ ∠ ABC=∠ AED。

∴ ∠ ABE=∠ AEB。

∴AB=AE。

在△ ABF和△ AEF中

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴△ ABF≌△ AEF。

∴ ∠ BAF=∠ EAF ( ∠1=∠ 2) 。

3、已知：∠ 1=∠2，CD=DE， EF//AB，求证： EF=AC

A

12

F

C

D

E

B

过C 作 CG∥EF 交 AD的延长线于点

G CG∥EF，可得，∠ EFD＝ CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠ GDC（对顶角）

∴△ EFD≌△ CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠ EFD

又， EF∥AB

∴，∠ EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠ CGD＝∠2

∴△ AGC为等腰三角形，

AC＝CG

又EF＝CG

∴EF＝AC

4、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠ B=2∠C

证明：延长 AB取点 E，使 AE＝AC，连接 DE

∵AD平分∠ BAC

∴∠ EAD＝∠ CAD

∵AE＝AC，AD＝ AD

∴△ AED≌△ ACD （SAS）

∴∠ E＝∠ C

∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE

∴BD＝BE

∴∠ BDE＝∠ E

∵∠ ABC＝∠ E+∠BDE

∴∠ ABC＝2∠E

∴∠ ABC＝2∠C

5、已知： AC平分∠ BAD，CE⊥ AB，∠ B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE

证明：

在AE上取 F，使 EF＝EB，连接 CF

∵CE⊥AB

∴∠ CEB＝∠ CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝ CE，

∴△ CEB≌△ CEF

∴∠ B＝∠ CFE

∵∠ B＋∠ D＝180°，∠ CFE＋∠ CFA＝180°

∴∠ D＝∠ CFA

∵AC平分∠ BAD

∴∠ DAC＝∠ FAC

∵AC＝AC

∴△ ADC≌△ AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝ AD＋BE

6、如图，四边形 ABCD中， AB∥DC，BE、CE分别平分∠ ABC、∠BCD，且点 E 在 AD上。求证： BC=AB+DC。又∵∠ DCE=∠FCE

在 BC上截取 BF=AB，连接 EF CE 平分∠ BCD

∵ BE平分∠ ABC CE=CE

∴∠ ABE=∠FBE∴⊿ DCE≌⊿ FCE（AAS）

又∵ BE=BE∴CD=CF

∴⊿ ABE≌⊿ FBE（SAS）∴BC=BF+CF=AB+CD

∴∠ A=∠ BFE

∵ AB//CD

∴∠ A+∠ D=180o

∵∠ BFE+∠CFE=180o

∴∠ D=∠ CFE

7. P 是∠ BAC平分线 AD上一点， AC>AB，求证： PC-PB

在 AC上取点 E，∴PC＜（AC－AE）＋PB

使 AE＝ AB。∴PC－PB＜AC－AB。

∵AE＝ AB

AP ＝AP

∠EAP＝∠ BAE，∴△ EAP≌△ BAP

C

A

P D

∴PE＝ PB。

PC＜EC＋ PE B

8.已知∠ ABC=3∠C，∠ 1=∠ 2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：∴点 E 一定在直线 BD上，

在 AC上取一点 D，使得角 DBC=角 C在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD ∵∠ ABC=3∠C∴点E也是BD的中点

∴∠ ABD=∠ABC- ∠DBC=3∠C- ∠C=2∠C；∴BD=2BE

∵∠ ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∵BD=CD=AC-AB

∴ AB=AD∴AC-AB=2BE

∴ AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形 ABD中，AE是角 BAD的角平

分线，

∴ AE垂直 BD

∵BE⊥AE

9.如图，在△ ABC中， BD=DC，∠ 1=∠2，求证： AD⊥

BC．解：延长 AD至 BC于点 E,

∵BD=DC ∴△ BDC是等腰三角

形∴∠ DBC=∠DCB

又∵∠ 1=∠2 ∴∠ DBC+∠1=∠DCB+∠2

即∠ ABC=∠ACB

∴△ ABC是等腰三角形

∴AB=AC

在△ ABD和△A CD中

AB=AC

∠1=∠2

BD=DC

∴△ ABD和△ ACD是全等三角形（边角边）

∴∠ BAD=∠CAD

∴AE是△ ABC的中垂线

∴AE⊥BC

∴AD⊥BC

10.如图， OM平分∠ POQ， MA⊥OP, MB⊥OQ， A、 B 为垂足， AB交

OM于点 N．求证：∠ OAB=∠OBA

证明：

∵OM平分∠ POQ

∴∠ POM＝∠ QOM

∵MA⊥ OP，MB⊥OQ

∴∠ MAO＝∠ MBO＝90

∵OM＝ OM

∴△ AOM≌△ BOM （ AAS）

∴OA＝ OB

∵ON＝ ON

∴△ AON≌△ BON （ SAS）

∴∠ OAB=∠OBA，∠ ONA=∠ONB

∵∠ ONA+∠ONB＝ 180

∴∠ ONA＝∠ ONB＝90

∴OM⊥ AB

11.如图，已知AD∥BC，∠ PAB的平分线与∠ CBA的平分线相交于E，CE的连线交 AP 于

D．求证： AD+BC=AB．

证明：

在AB上取 F，使 AF＝AD，连接 EF ∵AE平分∠ DAB

∴∠ DAE=∠FAE

在⊿ ADE和⊿ AFE中

AD＝ AF

∠DAE=∠FAE

AE=AE

∴⊿ ADE≌⊿ AFE（SAS）

∴∠ ADE=∠AFE

∵AB//CD

∴∠ ADE+∠C=180o

∵∠ AFE+∠BFE=180o

∴∠ C=∠ BFE

P

C

E

D

A B

∵BE 平分∠ ABC

∠CBE=∠ FBE

在⊿ BFE和⊿ BCE中∠C=∠ BFE

∠CBE=∠FBE

CE=CE

∴⊿ BFE≌⊿ BCE（AAS）∴CB=BF

12.如图①，E、F 分别为线段 AC上的两个动点，且 DE⊥AC于 E，BF⊥AC于 F，若 AB=CD，

AF=CE，BD交 AC于点 M．

（1）求证： MB=MD，ME=MF

（2）当 E、 F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成

立请给予证明；若不成立请说明理由．

(1)证：∵ DE⊥AC于 E，BF⊥AC于 F，

∴∠ DEC=∠BFA=90°， DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE， AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（ HL）

∴DE=BF．

在△ DEM和△ BFM中

∠DEM=∠BFM

∠D ME=∠B MF

DE=BF

∴△ DEM≌△ BFM(AAS)

∴MB=MD，ME=MF

(2)证：∵ DE⊥AC于 E，BF⊥A C于 F，

∴∠ DEC=∠BFA=90°， DE∥BF，

在 Rt△DEC和 Rt△BFA中，

∵AF=CE， AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）

∴DE=BF．

在△ DEM和△ BFM

中∠DEM=∠BFM

∠D ME=∠B MF

DE=BF

∴△ DEM≌△ BFM(AAS)

∴MB=MD，ME=MF

13 如图，△ ABC中，∠ BAC=90 度， AB=AC，BD是∠ ABC的平分线， BD的延长线垂直于过

C

点的直线于 E，直线 CE交 BA的延长线于 F．求证： BD=2CE．

证：∵∠ CEB=∠ CAB=90°

∠ADB=∠ CDE

在△ ABD中，∠ ABD = 180°- ∠CAB-∠ADB 在△ CED中，∠ DCE = 180°- ∠CEB-∠CDE ∴∠ ABD =∠ DCE

F

A

E

D

B C

在△ ABD和△ ACF中

∠DAB=∠ CAF

AB=AC

∠ABD =∠DCF

∴△ ABD≌△ ACF(ASA)

∴BD=CF

∵BD是∠ ABC的平分

线∴∠ FBE =∠ CBE

在△ FBE和△ CBE中

∠FBE =∠CBE

BE=BE

∠BEF =∠BEC

∴△ FBE≌△ CBE(ASA)

∴CE=FE CF=2CE

∴BD=2CE

14.如图： DF=CE， AD=BC，∠ D=∠C。求证：△ AED≌△ BFC。

证明：∵ DF=CE，

∴DF-EF=CE-EF，

D EF

C 即 DE=CF，

在△ AED和△ BFC中，

∵AD=BC，∠D=∠C ， DE=CF

∴△ AED≌△ BFC（ SAS）A B

15.如图： AE、 BC交于点 M，F 点在 AM上， BE∥CF， BE=CF。

求证： AM是△ ABC的中线。

证明：∵ BE‖CF∵BE=CF

∴∠ E=∠ CFM，∠ EBM=∠FCM∴△ BEM≌△ CFM

∴BM=CM

∴AM是△ ABC的中线

A

F

B

M

C

E

16.AB=AC，DB=DC， F 是 AD的延长线上的一点。求证：

BF=CF 证：在△ ABD与△ ACD中

AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ ABD≌△ ACD(SSS)

∴∠ ADB=∠ADC

∴∠ BDF=∠FDC

在△ BDF与△ FDC中

BD=DC

∠BDF=∠

FDC DF=DF

17.如图： AB=CD， AE=DF，CE=FB。求证：证：∵ CF=CE+EF

EB=EF+FB

又∵ CE=FB

∴CF=EB

在△ CDF与△ ABE中

AB=CD

AE=DF

BE=CF

∴△ CDF≌△ ABE(SSS)

∴∠ DCB=∠ABF

在△ ABF与△ CDE中

∴△ FBD≌△ FCD(SAS)

∴BF=FC

A

D

B C

F

AF=DE。

AB=CD

∠ABF =∠ DCE

BF=CE

∴△ ABF≌△ CDE (SAS)

∴AF=ED

A B

F

E

C D

18.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳 E，F，M，且 BE＝CF，M在 BC的中点，试说明三只石凳 E，F，M恰好在一条直线上 .

证明：连接 EF∵AB∥CD

∴∠ B=∠C

∴△ BEM ≌△ CFM （ SAS ）

∵M 是 BC 中点

∴CF=BE

∴BM=CM

在△ BEM 和△ CFM 中

BE=CF ∠B=∠C

BM=CM

19. 已知：如图所示， AB ＝AD ， BC ＝DC ，E 、F 分别是 DC 、 BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

证：连接 AC

DE=BF

∵在△ ADC 和△ ABC 中

∴△ ADE ≌△ ABF （SAS ）

AD=AB ∴AE=AF

DC=BC AC=AC

∴△ ADC ≌△ ABC （SSS ）

D

∴∠ B=∠ D

E

∵ E 、 F 分别是 DC 、 BC 的中点 A

C

又∵ BC ＝ DC F

∴ DE=BF

B

∵在△ ADE 和△ ABF 中

AD=AB

∠D=∠B

20. 如图，在四边形 ABCD 中， E 是 AC 上的一点，∠ 1=∠2，∠ 3=∠4，求证 : ∠5=∠6．

证明：∵在△ ADC 和△ ABC 中

∴△ DEC ≌△ BEC （SAS ）

∠BAC=∠ DAC ∴∠ DEC=∠BEC

∠BCA=∠ DCA AC=AC

D

∴△ ADC ≌△ ABC （AAS ）

∵ AB=AD ，BC=CD A

1

5

3 C

在△ DEC 与△ BEC 中

2E 6

4

CE=CE

B ∠BCA=∠ DCA

BC=CD

21. 如图，在△ ABC 中， AD 为∠ BAC 的平分线， DE ⊥AB 于 E ， DF ⊥AC 于 F 。

求证： DE=DF ．

证明：∵ AD 是∠ BAC 的平分线

∴∠ EAD=∠FAD

∵DE⊥AB，DF⊥ AC

A

∴∠ BFD=∠CFD=90°

∴∠ AED与∠ AFD=90°

在△ AED与△ AFD中

∠EAD=∠ FAD E F

AD=AD B D C

∠AED=∠ AFD

∴△ AED≌△ AFD（AAS）

∴AE=AF

22.如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC

证明：∴MB=MC．

∵ AB=AC A

∴∠ B=∠ C

∵ME⊥AB，MF⊥ AC

∴∠ BEM=∠CFM=90°

E F

在△ BME和△ CMF中

∵ ∠ B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF B M C

∴△ BME≌△ CMF（AAS）

23. 在△ ABC 中，ACB 90 ， AC BC ，直线 MN 经过点C，且 AD MN于D，BE MN 于 E .(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图1的位置时，求证：① ADC ≌ CEB ；

② DE AD BE；

(2) 当直线MN绕点C旋转到图 2 的位置时，（ 1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由 .

（1）

①∵∠ ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠ CAD+∠ACD=90°，∠ BCE+∠ CBE=90°，∠ ACD+∠ BCE=90°．

∴∠ CAD=∠BCE．

∵AC=BC，

∴△ ADC≌△ CEB．

②∵△ ADC≌△ CEB，

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ ACD=∠CBE．

又∵ AC=BC，

∴△ ACD≌△ CBE．∴

CE=AD，CD=BE．∴

DE=CE﹣CD=AD﹣BE

24.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

F

E A

M

B C

（1）∵ AE⊥ AB，AF⊥AC，

∴∠ BAE=∠CAF=90°，

∴∠ BAE+∠BAC=∠CAF+∠ BAC，

即∠ EAC=∠BAF，

在△ ABF和△ AEC中，

∵AE=AB，∠ EAC=∠ BAF， AF=AC，

∴△ ABF≌△ AEC（SAS），

∴ EC=BF；

（ 2）如图，根据（ 1），△ ABF≌△ AEC，

∴∠ AEC=∠ABF，

∵AE⊥AB，

∴∠ BAE=90°，

∴∠ AEC+∠ADE=90°，

∵∠ ADE=∠BDM（对顶角相等），

∴∠ ABF+∠BDM=90°，

在△ BDM中，∠ BMD=180°- ∠ABF-∠BDM=180°-90 °=90°，

∴EC⊥BF．

25.如图：BE⊥ AC，CF⊥ AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

N

A

4

3

F

1

E M 2

B C

证明：

（1）∵ BE⊥ AC，CF⊥AB

∴∠ ABM+∠BAC=90°，∠ ACN+∠ BAC=90°

∴∠ ABM=∠ACN

∵BM=AC，CN=AB

∴△ ABM≌△ NAC

∴AM=AN

（2）∵△ ABM≌△ NAC

∴∠ BAM=∠N

∵∠ N+∠ BAN=90°

∴∠ BAM+∠BAN=90°

即∠ MAN=90°

∴AM⊥AN

26.已知：如图，AB＝CD，DE⊥ AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE BF ．求证： AB∥ CD ．

证明：

∵DE⊥AC，BF⊥ AC

∴∠ CED=∠AFB=90o

又∵ AB=CD， BF=DE

∴Rt⊿ABF≌ Rt⊿CDE（HL）∴AF=CE

∠BAF=∠ DCE

∴AB//CD D C

F

E

A B

1、如图，四边形 ABCD 中，∠ A＝∠ C=90 °， BE 平分∠ ABC，DF 平分∠ ADC，试

问 BE 与 DF 平行吗？为什么？

2、如图，△ ABC中，∠ A=36°，∠ ABC=40°， BE平分∠ ABC，∠ E=18。试证明CE平分∠ ACD.

3、已知：如图∠1=∠ 2，∠ C=∠D，那么∠ A=∠ F 吗？试说明理由D E F

2

H

G

1

4、如图 AB ∥CD∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，试说明AD ∥ BE ；

A B C

5、已知 AB ∥ CD ，直线 a 交 AB 、 CD 分别于点 E、 F，点 M 在 EF 上， P 是直线 CD 上的一个动点，（点P不与 F重合）

（1）当点 P 在射线 FC 上移动时，∠ FMP+ ∠FPM= ∠AEF 成立吗？请说明理由。

（2）当点 P 在射线 FD 上移动时，∠ FMP+ ∠ FPM 与∠ AEF 有什么关系？并说明你的理由。

6、如图， E、F 分别 AB、 CD是上一点，2 D ， 1与 C 互余， EC AF . 试说明 AB // CD

7、如图，已知ABC， AD BC 于D， E 为 AB 上一点， EF BC 于F， DG // BA 交CA于G.求证1 2 .

8、如图 5-29，已知： AB//CD ，求证：B+ D+ BED = 360 （至少用三种方法）

A B

E

C D

9、如图，已知AB ∥ CD，∠ 1：∠ 2：∠ 3=1： 2： 3，求证： BA 平分∠ EBF E

A

2 1

3

D

C F

10、已知，如图，AB ∥ CD ∥ GH ，EG 平分∠ BEF， FG 平分∠ EFD,求证：∠ EGF=90 °

A E B

1

H 3

G 4

C F 2

D

11.如图， AD ∥BC ，∠ B=∠ D ，求证： AB ∥ CD 。

A

B

D

C

A

D G

/

F

23

B E C

13.已知∠ 1=∠ 2，∠ 1=∠ 3，求证： CD∥OB 。

A

P

C

3D

/ 2

O B

14.如图，已知∠ 1=∠ 2，∠ C=∠ CDO ，求证： CD ∥ OP。

D

P

/

2

C O B

15.已知∠ 1=∠ 2，∠ 2=∠ 3，求证： CD∥EB 。

C

3D

2

/

E O B

16.如图∠ 1=∠ 2，求证：∠ 3=∠ 4。

/3

B

A

C

4

D

2

17. 已知∠ A= ∠ E， FG∥DE，求证：∠ CFG= ∠B 。

A B

18.已知，如图，∠1=∠ 2，∠ 2+∠ 3=1800，求证： a∥ b， c∥ d。

c d

1

a

23

b

19.如图， AC ∥ DE， DC∥EF ， CD 平分∠ BCA ，求证： EF 平分∠ BED 。

A

D

F

B E

C

20、已知，如图，∠1=450，∠ 2=1450，∠ 3=450，∠ 4=1350，求证： l 1∥ l 2， l3∥ l5， l 2∥ l4。

l3

l11

l2

3

2

44

l5

21、如图，∠ 1=∠ 2，∠ 3= ∠ 4，∠ E=900，求证： AB ∥ CD。

A

B

1

2

E

3

4

C D

22、如图，∠ A=2 ∠ B ，∠ D=2 ∠ C，求证： AB ∥ CD。

C D

23、如图， EF∥ GH， AB 、AD 、 CB、 CD 是∠ EAC 、∠ FAC、∠ GCA 、∠ HCA 的平分线，求证：∠BAD= ∠ B= ∠ C=∠ D。

E A

F

B D

G H

C

24、已知，如图， B 、E、C 在同一直线上，∠A= ∠ DEC ，∠ D=∠ BEA ，∠ A+ ∠ D=900

，求证： AE ⊥

DE ，AB ∥ CD。

A

D

B E

C

25、如图，已知，BE 平分∠ ABC ，∠ CBF= ∠ CFB=65 0，∠ EDF=50 0，，

求证： BC∥ AE 。

E

D

C

A B

26、已知，∠ D=90 0，∠ 1=∠2， EF⊥ CD ，求证：∠ 3= ∠B 。

A D

1

E3F

2

B C A

D

3 12

27、如图， AB ∥ CD，∠ 1=∠ 2，∠ B= ∠ 3，AC ∥DE，求证： AD ∥ BC。

28．已知： BC ＝DE，∠ B ＝∠ E，∠ C＝∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠B C E 1＝∠ 2

29．如图，四边形ABCD 中， AB ∥DC ，BE、CE 分别平分∠ ABC 、∠ BCD ，且点 E 在 AD 上。求证：BC ＝AB ＋ DC。

30．已知： AB ＝ CD，∠ A ＝∠ D ，求证：∠ B ＝∠ C.

31．如图： DF＝ CE， AD ＝ BC ，∠ D ＝∠ C。求证：△ AED ≌△ BFC 。

32．如图： AE 、 BC 交于点 M ， F 点在 AM 上， BE ∥ CF， BE＝ CF。求证： AM 是△

ABC 的中线。

33． AB ＝ AC ，DB ＝ DC， F 是 AD 的延长线上的一点。求证：BF＝CF

34．如图： AB ＝ CD， AE＝ DF ， CE＝ FB。求证： AF ＝ DE 。

35．已知：如图所示，AB ＝ AD ，BC ＝ DC ， E、 F 分别是 DC 、 BC 的中点，求证：AE ＝ AF 。36．如图，在四边形ABCD 中， E 是 AC 上的一点，∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，求证 : ∠ 5＝∠ 6．

37．如图，已知 AC ⊥AB ，DB ⊥ AB ，AC ＝ BE，AE ＝ BD ，试猜想线段 CE 与 DE 的大小与位置关系，并证明你的结论 .

38．如图（ 13）△ ABC ≌△ EDC 。求证： BE=AD 。

39．如图： AD=BC ， DE ⊥ AC 于 E，BF ⊥AC 于 F，DE=BF 。求证：（ 1） AF=CE ，（ 2） AB ∥CD。

40．如图，已知 P 点是∠ AOB 平分线上一点， PC⊥OA ，PD ⊥OB，垂足为 C、 D，（ 1）∠ PCD= ∠PDC 吗？为什么？（ 2） OP 是 CD 的垂直平分线吗？为什么？