任意角的三角函数一
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任意角的三角函数及其诱导公式
-α
余弦函数的诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα 函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边， 由终边的位置关系可得
3)tan(-16500)的符号是——？
3)sin(-21π/5）的符号是——？
练习：求值 19 23 1、 sin ; 2、con(); 4 3 0 3、 tan （ 1110 ）
二、三角函数的诱导公式
1、若α是一个正锐角，怎样用α表示第一、二、 三、四象限角,并研究其终边位置关系.
一
任意角的三角函数及其诱导公式
一、 任意角的 的三角函数.
角的 终 边 与 单 位 圆 相 交 点 于P(a , b ); b 则 si n b 1
P(a,b)
b 称为角 的正弦函数； 记作 b=sin ;
一般用x表示自变量，y表示函数； 所以正弦函数表示：y＝sin x （x R） 相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα #43;α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α
1.2任意角的三角函数((不知年级))全面版
2 若lg(sintan)有意义，则是（C）
A 第一象限角
B 第四象限角
C 第一象限角或第四象限角
D 第一或第四象限角或x轴的正半轴
3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a3 。
例3 若是是第二象限角, 且|cos(/2)|=- cos(/2), 问/2是第几象限角？
公式一：sin(α ＋ k·2π )＝sinα cos(α ＋ k·2π )＝cosα
tan(α ＋ k·2π)＝tanα
(k∈Z)
说明：
1 运用公式时， k∈Z不能省略！ 2 α ＋ k·2π， k∈Z表示任意
与 α终边相同的角。 3 此公式表明求任意角的三角函数
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
练习 已知是第三象限角，且sin(/2)<0， 则( B ) A cos(/2)<0 B cos(/2)>0 C tan(/2)>0 D cot(/2)>0
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
1.2.1任意角的三角函数(一)
R
例题与练习
例1. 求下列各角的四个三角函数值：
(1) ;
5 (2) . 3
例题与练习
例2. 已知角的终边经过点P(－ 3,－4)， 求角的四个三角函数值．
小结:若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函数可转化为
y x y 2 2 sin , cos , tan , ( r x y ) r r x
我们把它们统称为三角函数.
说 明：
①的始边与轴的非负半轴重合， 的终边没有表明一定是正角或负角，以 及的大小，只表明与的终边相同的角 所在的位置；
x
②根据相似三角形的知识，对于确 定的角，四个比值不以点P(x, y)在的 终边上的位置的改变而改变大小；
说 明：
2 在y轴上，终边上任意一点 的横坐标x都 y 等于0，所以tan 无意义；同理当 x x k ( k Z ) 时， cot 无意义； y
1.2.1任意角的 三角函数
复习引入
锐角三角函数的定义：
斜边 对边
sin
邻边
对边 斜边 _____;cos
邻边 斜边 _____; tan
对边 邻边 _____
锐角三角函数坐标化
O 重 设锐角 的顶点与原点 y P(a,b) 合,始边与 x 轴的非负半轴重合. P(a,b) 在 的终边上任取一点 P(a, b) ,它 r 与原点的距离 r a2 b2 α
（1）y叫做α 的正弦，记作sinα ， 即 y sinα =y； （2）x叫做α 的余弦，记作 cosα ，即cosα =x
P(x,y)
α
O
A(1,0) x
y （3） 叫做α 的正切，记作tanα ，即 x y
任意角三角函数
45°的三角函数值
sin(45°) = cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1
30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导
利用三角函数的定义和性质，可以推导出这些 特殊角的三角函数值。例如，利用正弦、余弦、 正切的定义，可以推导出sin(30°) = 1/2， cos(30°) = √3/2，tan(30°) = 1/√3。
sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = 无 穷大
30°的三角函数值
sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3
60°的三角函数值
sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3
反余弦函数图像
反余弦函数的图像是一个连续的单调递减函数， 其值域为$[0, pi]$。在定义域内，反余弦函数先 从无定义开始，经过一个先增后减的过程，最后 又无定义结束。
单调性
反正弦函数和反余弦函数在其定义域内都是单调 的。
05
三角函数的应用
在几何学中的应用
确定平面内一点的位置
01
通过三角函数，可以确定平面内一个点的位置，例如在极坐标
解决物理问题
在解决物理问题时，经常需要用到三角函数，例 如在求解力学、电磁学、波动等问题时。
3
分析信号和波形
在信号处理和波形分析中，三角函数是常用的工 具，例如在频谱分析、滤波器设计等方面。
在工程学中的应用
结构设计
在工程结构设计中，三角函数可以用来计算角度、长度等参数， 以确保结构的稳定性和安全性。
同理，利用勾股定理和三角形的性质， 可以推导出其他特殊角的三角函数值。
任意角的三角函数1
π
0
−1
3π 2
2π
sinα cosα tanα
0
1
3 2 1 2
1
−1
0
1
0
不存在
0
不存在01来自300
已知角 α 终边上一点 P（ − 3 ，y），且 sin α = 2 y， 例4 4 求 cos α、tan α 的值。
2 解： 由已知得 r = （ − 3 ）+ y 2 = 3 + y 2
y y ∴ sin α = = ，又 sin α = 2 y r 4 3 + y2
x
x cot α = x . cot 叫做α的余切，记作： ④比值 叫做 的余切，记作： α 即 y y
r sec α 即 sec α = r . 记作： 记作 正割， ⑤比值 x 叫做α的正割， ： x
r csc α 即 csc α = r . 叫做α的余割， 记作： ⑥比值 叫做 的余割， 记作： y y
任意角的三角函数定义
是任意角， 的终 设α是任意角，α的终 是任意角 边上任意一点 P(x , y) (除端点外 ， 除端点外) 除端点外 它与原点的 距离为r，则 距离为 ，
r=
x + y
2
2
=
x 2 + y 2 > 0.
定 义：
y y 叫做α的正弦， 记作： ①比值 叫做 的正弦， 记作： α 即 sin α = . sin r r
x. x cos 记作： 记作： α 即 cos α = 余弦， ②比值 叫做α的余弦， r r
y y 叫做α的正切， 记作： ③比值 叫做 的正切， 记作： α 即 tan α = . tan x x
高一数学任意角的三角函数(一)
cos θ>0 由tan θ<0， 得角 θ 为第四象限角.
∴角θ为第三或第四象限角.
探究点四 诱导公式一
思考1 诱导公式一是什么？ 答 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同 一三角函数值相等.由此得到诱导公式一： sin(k·360°＋α)＝sin α，cos(k·360°＋α)＝cos α， tan(k·360°＋α)＝tan α，其中k∈Z， 或者：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α， tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.
圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α
的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ y， y
cos α＝ x ，tan α＝ x .
探究点二 任意角三角函数的概念
y
yx
x
x2＋y2
思考2 对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的 位置的改变而改变呢？ 答 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实 数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边 上点P的位置无关.
思考2 诱导公式一的作用是什么？ 答 把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角 函数值.
例如：sin 420°＝sin 60°＝ 23；cos(－330°)＝cos 30°＝ 23；
tan(－315°)＝tan 45°＝1.
例3 求下列各式的值.
(1)cos 253π＋tan－154π；
45°－sin
90°＋cos
30°＝1－1＋
3 2
＝
3 2.
呈重点、现规律
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位 置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时 必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取. 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
任意角的三角函数-1
O
M
x
MP tan OM
M P OP OM OP M P OM
1、角度一定时，角的终边上任意一点的纵 我们发现： 坐标与该点到原点的距离的比值就一定。 非空数集上的 2、当角度变化时，角的终边上任意一点的 映射！即是一 纵坐标与该点到原点的距离的比值就变化。 个函数！ 3、当角的终边相同时，角的终边上任意一点 的纵坐标与该点到原点的距离的比值就相同。 y 对应法则 1 r y 角 2 6 r 的 取 取 1 值 值 4
A.4 3 C. 4 3
B. 4 3 D. 3
1.2.1任意角的三角函数
初中：在直角三角形中锐角A的三角函数定义:
BC a sin A AB c
AC b cos A AB c BC a tan A AC b
c
A
B
a b C
上述定义只限于直角三角形中的锐角，而
现在角的定义已经拓广到任意角.
如：
2 sin ? 3 cos ? t an(
α 的终边 P(x，y)
O
x
三角函数的定义域:
三角函数 定义域
y sin
y cos
R R
y tan
{ |
2
k , k Z }
说明
正切函数．以上三种函数都称为三角函数;
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)?
任意角是 在直角坐 标平面内 给出定义
正弦、余弦、正切 是在直角三角形中 给出定义
思考：如何定义任意角的三角函数？
新课引入
M
x
MP tan OM
M P OP OM OP M P OM
1、角度一定时，角的终边上任意一点的纵 我们发现： 坐标与该点到原点的距离的比值就一定。 非空数集上的 2、当角度变化时，角的终边上任意一点的 映射！即是一 纵坐标与该点到原点的距离的比值就变化。 个函数！ 3、当角的终边相同时，角的终边上任意一点 的纵坐标与该点到原点的距离的比值就相同。 y 对应法则 1 r y 角 2 6 r 的 取 取 1 值 值 4
A.4 3 C. 4 3
B. 4 3 D. 3
1.2.1任意角的三角函数
初中：在直角三角形中锐角A的三角函数定义:
BC a sin A AB c
AC b cos A AB c BC a tan A AC b
c
A
B
a b C
上述定义只限于直角三角形中的锐角，而
现在角的定义已经拓广到任意角.
如：
2 sin ? 3 cos ? t an(
α 的终边 P(x，y)
O
x
三角函数的定义域:
三角函数 定义域
y sin
y cos
R R
y tan
{ |
2
k , k Z }
说明
正切函数．以上三种函数都称为三角函数;
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)?
任意角是 在直角坐 标平面内 给出定义
正弦、余弦、正切 是在直角三角形中 给出定义
思考：如何定义任意角的三角函数？
新课引入
任意角的三角 函数(1)
y sin r
B（x，y）
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
B（x，y） r α A C x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
B（x，y） r α A x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y B（x，y）
r α A x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y B（x，y） （2，4） r （1，2） β α A x
教法、学法分析
1.教学方法 根据本节课的内容和学生认知水平，贯彻启发 性教学原则，充分体现以教师为主导，以学生为主 体，以思维创新为主线的教学思想，本节课的教学 方法主要有“问题探究、启发诱导、合作讨论、分 层教学”相结合，用“问题”组织教学，激发学生 的“求异”思维，通过合作讨论，实现师生互动， 生生互动，让学生相互合作，学会总结，在探索中 学习，在研究中提高。
2 2
合作讨论
教学程序设计 形成概念
概念的理解： 问题1. 角的三角函数值与所选的点的位置是否有关? 问题2. 任意角均有对应的三角函数值吗? 设计意图： 通过合作讨论，培养学生的合作精神，增 强学生的参与意识，充分体现学生的主体地位，提高 学生的交流、表达能力
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P o M x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P
o M
x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y P
M
o
x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P
M
o
x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P
M
o
x
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. 1.2.1 任意角的三角函数（一）2015.12
【预习案】
目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。
1、初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？
特别地，r =1时，sin= ___ ,cos= ___ ,tan= _____ （）.
5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律?
7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？
8、三角函数在坐标轴上的取值情况
角
0 90180270360
弧度数
sin
cos
tan
【课堂案】
例1、已知角的终边经过点P(-3,4),求角的正弦,余弦和正切值.
强化1: 已知角的终边经过点P(12,-5),求角的正弦,余弦和正切值.
强化2：已知角的终边经过点P(6m,-8m)，其中m0，求角的三角函数值.
强化3：已知角的终边在直线y = 3x上，求角的三角函数值。
例 2.确定下列三角函数值的符号.
(1) cos 250(2)sin(- ) (3) tan(-672) (4)tan3
强化：1.若角的终边过点(-3，-2)则( )
A.sin tan0
B. cos tan0
C.sin cos0
D.sin cos0 强化：2. 若sin0,tan0则是第象限角? 反之成立吗?
强化：3.设是三角形的一个内角，则sin,cos, tan, tan中，哪些可以取负值？
强化2、 2cos
+tan(-
7
)+cos
2
13
+sin
3
2 4 6 2
巩固案】
1、角
的终边上有一点P （a ,a ） ， a
0，则sin
的值是（ ）
2、已知角
的终边经过点 p （—1, 3 ）,则sin
+ cos
的值是（ ）
已知角
的终边上一点P （- 3,m ），且sin
= 2m ，求cos
的值.
5、若cos 0,tan 0则在( )
6、若sin cos
0 ，则
在（ ）
A. 第一、四象限
B. 第一、三象限
7、下列命题中，正确命题的个数是（
）
（1）终边相同的角的同名三角函数的值相同 （3）若sin 0则
是第一、二象限的角
（2）终边不同的角的同名三角函数的值不等
4）若
是第二象限的角,且 p （x,y ）是其终边
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第三象限
D. 第四象限
上一点，则 cos
=
-x
例 3、求值： (1) sin1485
(2)cos 9
强化 1、(1)cos1140
(2)tan 19
(3)sin(-1050)
(4)tan(-31)
3、
已知角的终边经过点 P （ x ,1）,且 cos =
25
5
则x 的值是（ 4、 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限
. 1.2.1 任意角的三角函数(一)
2015.12
8、 若角
的终边落在直线 y = 3x 上，求 sin
, cos ,tan 的值。
9、已知角
的终边经过点 p (4a ,-3a )(a o ),求2sin
+ cos
的值。
10、若x (0,2
),函数y = sin x + - tan x 的定义域是( ) 3 A.[0,] B.[0,] C.[
3
,2] D.( ,] 2 2
2
11、已知cos
= cos
, tan
= -tan
，则
的取值范围是(
)
A. 2k - ,2k
2
B. 2k
- ,2k + 2 2
C.k - ,k
D. 2k + ,2k +
2 12、若 cos = cos , tan = - tan ，则的终边在( A.第二、四象限 B.第一、三象限
2
C.第一、三象限或x 轴上
D. 第二、四象限或x 轴上
13、 若是第三象限角，且cos 0，则是( ) 22 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 14、 函数y = sin x +cos x + tan x sin x cos x
tan x
的值域是 15、 cos 9
+tan(-11)= 46 11 71 19 cos - +sin - -tan = 3 6
3
sin90 +cos0 -2sin270 -tan180= 16、已知
f (x ) =
c f o (s x
-x 1)-1
的值。