2019年高三数学下期末试题附答案(1)

2019年高三数学下期末试题附答案(1)

一、选择题

1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆

的实

线部分上运动，且

总是平行于轴，则

周长的取值范围是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）

A ．由两个圆锥组合成的

B ．由两个圆柱组合成的

C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的

D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的

3．如图，12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线

C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A ．23y x =±

B ．2y x =±

C ．3y x =

D ．2y x =±

4．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22

221x y a b

+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，

使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )

A ．2,13??

????

B ．12,32????

C ．1,13??

????

D ．10,3

?? ??

?

5．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

A ．4种

B ．10种

C ．18种

D ．20种

6．已知平面向量a v ,b v

是非零向量,|a v |=2,a v

⊥(a v +2b v ),则向量b v

在向量a v

方向上的投影为( ) A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2

7．若,αβv

v 是一组基底,向量γv

=x αu v +y βu v

(x,y ∈R),则称(x,y)为向量γv

在基底αu v ,βu

v 下的坐标,

现已知向量αu v 在基底p u v =(1,-1), q v =(2,1)下的坐标为(-2,2),则αu v 在另一组基底m u v

=(-1,1), n v

=(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0,-2) C ．(-2,0) D ．(0,2)

8．函数

()sin(2)2

f x x π

=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π

=对称，则关于函数

()y g x =以下说法正确的是（ ）

A ．最大值为1，图象关于直线2

x π=对称

B ．在0,

4π??

???

上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ??

-

???

上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π??

???

对称 9．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示,已知4B C ''=,3AC ''

=,//'''B C y 轴,

则ABC V 中AB 边上的中线的长度为( )

A ．

73

B ．73

C ．5

D ．

52

10．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )

A ．相交

B ．平行

C ．异面而且垂直

D ．异面但不垂直

11．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I e（ ）

A ．{}1-

B ．{}0,1

C ．{}1,2,3-

D ．{}1,0,1,3- 12．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ） A ．513x << B

．135x << C ．25x <<

D ．55x <<

二、填空题

13．已知椭圆22

195

x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中

点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 14．复数()1i i +的实部为 ．

15．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则

a =__________．

16．若x ，y 满足约束条件220

100x y x y y --≤??

-+≥??≤?

，则32z x y =+的最大值为_____________．

17．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

18．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线2

2(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两

次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．

19．若45100a b ==，则122()a b

+=_____________．

20．在ABC ?中，若13AB =3BC =，120C ∠=?，则AC =_____．

三、解答题

21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，

BA BP =.

（1）求证：PA BD ⊥；

（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.

22．已知曲线C ：

（t 为参数）， C ：

（为参数）．

（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 上的点P 对应的参数为

，Q 为C 上的动点，求

中点到直线

（t 为参数）距离的最小值．

23．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的一个焦点为

(

)

5,0，离心率为5.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

24．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2

~,X N

μσ，则①

()0.6827P X μσμσ-<+=…；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=…；③

(33)0.9973P X μσμσ-<+=….

（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 (

)2

,N μσ

，其

中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：

（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?

（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?

25．已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1

()f x g x x x

=

-，求()g x 的极值； （2）证明：2

()1x

f x e x +<-.

（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 3

2 4.48e ≈ 27.39e ≈）

26．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为

CDP V ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP V 的面积，并确定sin θ的取值范围；

（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】

圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），半径r ＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，利用1＜

y B ＜3，即可得出． 【详解】

抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3， ∵1＜y B ＜3，

∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．

故选：B ． 【点睛】

本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】

根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

3．A

解析：A 【解析】 【分析】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b

y x a

=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，

由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，

所以2212||46413F F =

+=13c ?=，

因为2521a x a =-=?=，所以23b =， 所以双曲线的渐近线方程为23b

y x x a

=±=±. 【点睛】

本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.

4．C

解析：C 【解析】 如图所示，

∵线段PF 1的中垂线经过F 2，

∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝

1

[,1)3

c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围。

5．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．

【详解】

∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r

),

∴a r g (a r +2b r

),=0，

即()

2·20a a b +=v

v v 即a r g b r

=﹣2

∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·2

2

a b a -=

v

v v =﹣1， 故选B ． 【点睛】

本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．

7．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

由已知αu r

=-2p u r +2q r =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设αu r =λm u r +μn r

=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),

则由224λμλμ-+=??

+=?解得0

2λμ=??=?

∴αu r =0m u r +2n r ,∴αu r

在基底m u r , n r 下的坐标为(0,2).

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】

设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4

y π

-+在函数y=f(x)的图像

上，

sin[2(-x+)]sin 2()42

y x g x ππ

=-=-=，

对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012

g π

=≠±，所以图象不关于直线2

x π=

对

称，所以该选项是错误的；

对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22

k x k π

π

ππ-

≤≤得

+

4

4

k x k π

π

ππ-

≤≤，

)k Z ∈（,所以函数在0,4π??

???

上单调递减，所以该选项是正确的；

对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()4

4

k k k Z π

π

ππ+

∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；

对于选项D,函数的周期为π，解2,,2

k x k x π

π=∴=

所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π

∈（

,所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】

本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可. 【详解】

由斜二测画法规则知AC BC ⊥,即ABC V 直角三角形,其中3AC =,8BC =,所以

AB =所以AB . 故选：A . 【点睛】

本题主要考查了斜二测画法前后的图形关系,属于基础题型.

10．D

解析：D 【解析】

解：利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】

={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I

【点睛】

易于理解集补集的概念、交集概念有误.

12．A

解析：A

【解析】

试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐

角为角α，根据余弦定理得

222

23

cos0

4

x

x

α

+-

=>

，解得x>x边对的锐角为

β，根据余弦定理得

222

23

cos0

12

x

β

+-

=>

，解得0x

<

x

<< A.

考点：余弦定理.

二、填空题

13．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立

【解析】

【分析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】

方法1：由题意可知||=|2

OF OM|=c=，

由中位线定理可得

12||4

PF OM

==，设(,)

P x y可得22

(2)16

x y

-+=，

联立方程

22

1 95

x y

+=

可解得

321

,

22

x x

=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，

求得

3

,

22

P

?

-

??

，所以

2

1

2

PF

k==

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，

由中位线定理可得12||4PF OM ==，即3

42

p p a ex x -=?=-

求得3152P ?- ??

，所以15

21512

PF k == 【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.

14．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-

【解析】

复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.

15．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：12【解析】 【分析】

根据2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】

因为2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，

由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22

=2x y x +，即22(1)1x y -+=，

因为直线与圆相切，所以111201 2.2

a a a a -=∴=±>∴=+Q ，，，

【点睛】

（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；

（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2

cos ,sin ,ρθρθρ的形式，

进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.

16．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B 点时取得最大值联立方程组求得点B 的坐标代入目标函数

解析：6 【解析】 【分析】

首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式

3122y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合1

2z 的几何

意义，可以发现直线31

22

y x z =-

+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 【详解】

根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

由32z x y =+，可得3122

y x z =-+， 画出直线3

2

y x =-

，将其上下移动，

结合

2z

的几何意义，可知当直线3122

y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由2200x y y --=??=?

，解得(2,0)B ，

此时max 3206z =?+=，故答案为6.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.

17．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不

解析：y =sin x （答案不唯一）

【解析】

分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.

详解：令0,0

()4,(0,2]

x f x x x =?=?

-∈?，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.

又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.

点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.

18．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =

【解析】 【分析】

先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】

由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2

p

F ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2

p

y k x =-

，1122(,),(,)P x y Q x y ，

由2()22p y k x y px ?

=-???=?得：222()24p k x px px -+=，整理得

2222244)0(8k x k p p x k p -++=，

所以2122

2k p p x x k ++=，2

124p x x =， 所以2122

22

2k PQ x x p p p k

+=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，

又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；

因此min 24PQ p ==，所求方程为2

4y x =.

故答案为2

4y x = 【点睛】

本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.

19．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2

【解析】 【分析】

根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果． 【详解】

45100a b ==Q ，

4log 100a ∴=，5log 100b =，

10010010012

log 42log 5log 1001a b ∴+=+==， 则1222a b ??+= ???

故答案为2 【点睛】

本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．

20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确

定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计

解析：1 【解析】 【分析】

由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】

由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题

21．(1)见解析；(2) 43

sin 7

α=

【解析】

试题分析：.（1）取AP 中点M ，易证PA ⊥面DMB ，所以PA BD ⊥，（2）以

,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面DPC 的法向量

()

13,1,3n =--u v ，设平面PCB 的法向量2n u u v =()

3,1,3-，1212

12?1cos ,7

n n n n n n ==u v u u v

u v u u v u v u u v ，即43

sin α=

. 试题解析：

（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ， ∵DA DP =，BA BP =

∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ?= ∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ?面DMB ，∴PA BD ⊥

（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=

∴DAP ?是等腰三角形，ABP ?是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，

3BM =.

∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥

以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A -，()

0,3,0B ，()1,0,0P ，()0,0,1D

从而得()1,0,1DP =-u u u v ，()1,3,0DC AB ==u u u v u u u u u v ，()

1,3,0BP =-u u u v ，()1,0,1BC AD ==u u u v u u u v 设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =u v

则11?0?0n DP n DC ?=??=??u v u u u v

u v u u u v ，即11110

30

x z x y -=???+=??，∴()

13,1,3n =--u v ， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =u u v ，

由22?0?0n BC n BP ?=??=??u u v u u u v

u u v u u u v ，得22220

30

x z x y +=???-=??，∴()

23,1,3n =-u u v ∴121212?1

cos ,7

n n n n n n ==u v u u v

u v u u v u

v u u v 设二面角D PC B --为α，∴21243

sin 1cos ,n n α=-=

u v u u v

点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 22．（Ⅰ）

为圆心是（

，半径是1的圆.

为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长

半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）

【解析】 【分析】 【详解】 （1）

为圆心是

，半径是1的圆，

为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，

短半轴长是3的椭圆. （2）当

时，

，故 的普通方程为，到

的距离

所以当

时，取得最小值

.

考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.

23．（1）22194

x y +=；（2）22

013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、

b 、

c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：

第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、

2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为

()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用

0?=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方

程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知

553a =?=，且有2235b -=2b =，

因此椭圆C 的标准方程为22

194

x y +=；

（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得

()()()2

2

2000094189360k

x k y kx x y kx ++-+--=，

()(

)

()2220000184949360k y kx k y kx ?????=--?+--=????

， 化简得()2

2

00

940y kx k ---=，即()()2

2

20

00

9240x k kx y y --+-=，

则1k 、2

k 是关于k 的一元二次方程()()22

20

00

9240x k kx y y --+-=的两根，则

201220419

y k k x -==--，

化简得22

0013x y +=；

②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆

2213x y +=上.

综上所述，点P 的轨迹方程为2

2

13x y +=.

考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思

想的灵活应用.

24．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位 【解析】 【分析】

（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i ）根据正态分布可得：0.6827

()0.50.84142

P X μσ>-=+

≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解. 【详解】

（1）由频率分布直方图可得：

120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =?+?+?+?+?+?+?=；

（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827

()0.50.84142

P X μσ>-=+

≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；

（ii ）0.9545

(12.14)(2)0.50.97732

P X P X μσ≥=≥-=+

≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，

记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B : 恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率

()()

100010000.997310.9973k

k

k P X k C -==-

()()()()

10010.97731

110.9773P X k k P X k k =-?=>=-?-得10010.9773978.2773k

所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，

()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有

可能是978位. 【点睛】

此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强. 25．（1）见解析；（2）见证明 【解析】 【分析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）问题转化为证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，根据xlnx ≤x （x ﹣1），问题转化为只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），根据函数的单调性证明即可．

【详解】 （1）()()2

1ln 1(0)f x x g x x x x x x

=

-

=->，()2

2ln 'x g x x -=，当()

2

0,x e ∈，()'0g x >，

当()

2

,x e ∈+∞，()'0g x <，()g x ∴在(

)2

0,e

上递增，在()2

,e +∞上递减，()g x ∴在

2x e =取得极大值，极大值为

2

1

e ，无极大值. （2）要证

f （x ）+1＜e x ﹣x 2． 即证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，

先证明lnx ≤x ﹣1，取h （x ）＝lnx ﹣x+1，则h ′（x ）＝，

易知h （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

故h （x ）≤h （1）＝0，即lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取“＝”， 故xlnx ≤x （x ﹣1），e x ﹣x 2﹣xlnx ≥e x ﹣2x 2+x ﹣1， 故只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，

令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），则k ′（x ）＝e x ﹣4x+1，

令F （x ）＝k ′（x ），则F ′（x ）＝e x ﹣4，令F ′（x ）＝0，解得：x ＝2ln2， ∵F ′（x ）递增，故x ∈（0，2ln2]时，F ′（x ）≤0，F （x ）递减，即k ′（x ）递减， x ∈（2ln2，+∞）时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增，即k ′（x ）递增， 且k ′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k ′（0）＝2＞0，k ′（2）＝e 2﹣8+1＞0，

由零点存在定理，可知?x 1∈（0，2ln2），?x 2∈（2ln2，2），使得k ′（x 1）＝k ′（x 2）＝0，

故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′（x ）＞0，k （x ）递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′（x ）＜0，k （x ）递减，故k （x ）的最小值是k （0）＝0或k （x 2），由k ′（x 2）＝0，得＝4x 2

﹣1， k （x 2）＝﹣2

+x 2﹣1＝﹣（x 2﹣2）（2x 2﹣1），∵x 2∈（2ln2，2），∴k （x 2）＞

0，

故x ＞0时，k （x ）＞0，原不等式成立． 【点睛】

本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．

26．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14??????

；（2）6

π． 【解析】

分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.

详解：

解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，

则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为

12

×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π

6

）． 当θ∈[θ0，

π

2

）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[

1

4

，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[

1

4

，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×

800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π

2

）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，

π

2

）， 则()()

()()2

2

2

'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．

令()'=0f θ，得θ=π6

， 当θ∈（θ0，π

6

）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（

π6，π

2

）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π

6

时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=

π

6

时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．