三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
（2）性质：到三边距离相等。
2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
（2）性质：到三个顶点距离相等。
3 重心：
（1）三条中线的交点。
（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
4 垂心：三条高所在直线的交点。
5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质58172
向量的童心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：中、每个角的角平分线的交点（XX的圆心）；外心：中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心1、是的重心若是的重心，则故，为的重心.2、P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC勺重心.证明：PG 二PA AG 二PB BG = PC CG = 3PG 二（AG BG CG）（PA PB PC）TG是厶ABC的重心•••,即由此可得•（反之亦然（证略））3、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.例1 若为内一点，，则是的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心二、垂心1、是的垂心若是（非直角三角形）的垂心，则故2、H是面内任一点，点H是厶ABC勺垂心.由,同理，. 故是勺垂心. （反之亦然（证略））3、是所在平面上一点，若，则是勺垂心.由，得，即，所以.同理可证，.•••是的垂心.如图1.4、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的垂心.例2 P 是厶ABC 所在平面上一点，若，则 P 是厶ABC 的 ()A .外心 B.内心 C.重心 D.垂心三、内心1、是的内心的充要条件是如果记的单位向量为，则刚才是的内心的充要条件可以写成- ► 9------- ► - * ---- ► ------- F- --- 4 9- —►0A ・ 8 (3 =0B ・ e e21=OC ・ e2 飞31=02、是的内心的充要条件也可以是。
OA • AB AC阿阿 =0B *BA BC BC BA 引进单位向量，使条件变得更简洁。
图1B=0C • CA CBC3、若是的内心，则故或者;4、已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心．T,,则由题意得，・・T与分别为和方向上的单位向量，•••与平分线共线，即平分.同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图。
垂心、重心、内心、外心、旁心的定义和性质
垂心、重心、内心、外心、旁心的定义和性质1.定义垂心：三角形三条高的交点重心：三角形三条中线的交点内心：三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心外心：三角形三条边的垂直平分线的交点即外接圆的圆心旁心：三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点注意：正三角形中重心、垂心、外心、内心重合，这个点叫中心。
2.性质垂心：1、锐角三角形垂心在三角形内部，直角三角形垂心在三角形直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外部。
2、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
3、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
4、从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
（西姆松线）重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
4、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
5、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3内心：1、到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。
2、内心都在三角形的内部。
3、设三角形的三个顶点坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)，其对边长分别为a,b,c，则内心坐标I((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+b+c))外心：1、到三角形三顶点的距离相等，都等于外接圆半径R。
2、直角三角形外心在斜边的中点，锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部。
旁心：1、旁心到三边的距离相等。
2、三角形有三个旁切圆，三个旁心。
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心.垂心.外心及心坎.当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中间.一.三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 暗示.性 质：1.外心到三极点等距,即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆地点的平面内一点,知足⋅+=⋅+=⋅+)()()(,则点O 为ABC ∆的外心.二.三角形的心坎定 义：三角形三条角等分线的交点叫做三角形的心坎,即内切圆圆心.ABC ∆的心坎一般用字母I暗示,它具有如下性质：性 质：1.心坎到三角形三边等距,且极点与心坎的连线等分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.向量性质：设()+∞∈,0λ,则向量)||||(AC AB AP =λ,则动点P 的轨迹过ABC ∆的心坎.三.三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 暗示.性 质：1.极点与垂心连线必垂直对边,即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆地点的平面内一点,知足⋅=⋅=⋅,则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 地点的平面内一点,知足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心.四.三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 暗示.性 质：G 的连线必等分对边.2.重心定理：三角形重心与极点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三极点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）=++;（2）)(31++=.。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结 1 . O 是 ABC 的重心OA OB OC 0；1 ________________ ___ ____若 O 是 ABC 的重心，则 S BOC S AOC S AOB 丁S AB c 故 OA OB OC 0； u u ur 4 u u ur u u ur uuirPG 3- ( PA PB PC ) G 为 ABC 的重心.32. O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记 AB,BC,CA 的单位向量为6©忌，则刚才。
是若O 是ABC (非直角三角形)的垂心，则SBOC:AOC: SAOBtan A : tan B : tan C故tan AOA tan BOB tan COC 0 3. O 是ABC 的外心 ------ 2 . 2 2|OA | |OB | |OC |(或 OA OB OC )若 O 是 ABC 的外心则 SBOC:SAOC: SAOB sin BOC:sin AOC :sin A°Bsin2A : sin2B : sin2C故 sin2AOA sin 2BOB sin2COC 0O^( A B _4. O 是内心 ABC 的充要条件是|AB |竺)O B -(旦 BC ) AC| BA ||BC |OC (| CACA一空)0S BOC : S AOC : S AOB故 aOA bOB cOC 0或 sinAOAsin BOB sin COC 0.7umr uuu uuu uua uuu uuu|AB|PC |BC|PA |CA|PBABC 的内心; uuu uuur向量(-UUB AC^)( 0)所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平|AB| |AC|分线所在直线)；范 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1 . O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足CABC内心的充要条件可以写成OA (ei e3)OB (ei e2)OC (e2 e3)0，O是ABC内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC 0 。
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三角形的“四心”时间：2021.03.02创作：欧阳数所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心。
结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+，则点O 为ABC ∆的垂心。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）=++；（2）)(31PC PB PA PG ++=。
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质三角形是几何学中的基础概念之一，具有丰富的性质和特点。
其中，重心、外心、垂心和内心是三角形重要的特殊点，它们在三角形的研究和计算中起着重要的作用。
本文将介绍三角形重心、外心、垂心和内心的向量表示及其性质。
一、三角形重心的向量表示及性质重心是三角形三条中线的交点，记为G。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。
则三角形重心G的向量表示为：G = (a + b + c)/3重心G的性质如下：1. 重心到三角形各顶点的向量和为0向量，即AG + BG + CG = 0。
2. 重心将中线分成2:1的比例，即AG : GM = 2:1，BG : GN = 2:1，CG : GP = 2:1，其中M、N、P分别为中线BC、AC、AB的中点。
3. 重心是三角形内切圆和外接圆的同一个圆心。
二、三角形外心的向量表示及性质外心是三角形三条垂直平分线的交点，记为O。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。
则三角形外心O的向量表示为：O = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的垂直平分线的向量。
外心O的性质如下：1. 外心到三角形各顶点的距离相等，即OA = OB = OC。
2. 外心是三角形外接圆的圆心，且外接圆的半径为OA、OB、OC中的一个。
三、三角形垂心的向量表示及性质垂心是三角形三条高线的交点，记为H。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。
则三角形垂心H的向量表示为：H = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的高线的向量。
垂心H的性质如下：1. 垂心到三角形各顶点的距离相等，即HA = HB = HC。
2. 垂心是三角形内接圆的圆心，且内接圆的半径为HA、HB、HC中的一个。
四、三角形内心的向量表示及性质内心是三角形三条角平分线的交点，记为I。