2018年湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学(理)(word版)

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2018届湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学(理)试题Word版含解析

2018届湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学（理）试题一、单选题1．若复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把变形，利用复数代数形式的乘除运算法则化简即可得结果.详解：,,复数的虚部为，故选B.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分..2．设集合，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：判断中的元素是否符合集合的条件，即可得出结论.详解：，，，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合是否属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.3．设函数是以为周期的奇函数，已知时，，则在上是（）A. 增函数，且B. 减函数，且C. 增函数，且D. 减函数，且【答案】C【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性、周期性和单调性的关系进行转化即可得到结论.详解：函数的周期是，函数在上的单调性和上的单调性相同，时，为增函数，函数为奇函数，时，为增函数，当时，，当时，，在上，即在上是增函数，且，故选C.点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.4．已知向量满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：，可得，由，将，代入即可得结果.详解：根据题意，，则，可得，结合可得，则，故选A.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.5．在“五一”促销活动中，某商场对5月11日19时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为14万元，则9时到11时的销售额为（）A. 3万元B. 6万元C. 8万元D. 10万元【答案】D【解析】试题分析：由图知时到时的频率为0.35，时到时的为0.25，则时到时的销售额为0.2514100.35⨯=万元.故选D.【考点】频率分布直方图.6．将正方体截去两个三棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】侧视图为在侧面BB1C1C上投影，AD1投影为C1B，为实线；B1C为虚线；所以选B.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．7．已知命题；命题：，，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，即，可得是真命题，命题，令，利用导数研究其单调性可得是假命题，逐一判断选项中的命题真假即可的结果.详解：命题，即，因此是真命题，命题，令，因此函数在单调递增，，因此是假命题，为真命题，故选D.点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查指数函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.8．函数满足，且则的一个可能值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题设可得函数的图象关于对称，也关于对称，由此求出函数的周期的值，从而得出的可能取值.详解：函数，满足，函数的图象关于对称，又，函数的图象关于对称，为正整数，，即，解得为正整数，当时，，的一个可能取值是，故选B点睛：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，属于中档题.求三角函数的周期时，注意运用对称轴与对称中心的“距离”是四分之一周期的整数倍.9．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据双曲线的一条渐近线与直线平行，利用斜率相等列出的关系式，即可求解双曲线的离心率.详解：双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，可得，即，可得，离心率，故选A.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）参考数据：1.732,sin150.258,sin7.50.1305=︒≈︒≈A. 12B. 24C. 48D. 96 【答案】C【解析】试题分析：由程序框图， ,n S 值依次为： 6, 2.59808n S ==； 12,3n S ==；24, 3.10583n S ==，此时满足 3.10S ≥，输出24n =，故选B.【考点】程序框图.【技巧点睛】解题时要注意两种循环结构的区别，这也是容易出错是地方：当型循环与直到型循环.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反. 11．二面角的平面角是锐角，为锐角，则（）A. B.C.D. 以上三种情况都有可能【答案】A【解析】分析：过作于，连接则，则，连接，在中，，即可得结论.详解：如图，过作于，连接则，则，连接，在中，有，在中，，故选A.点睛：本题主要考查二面角的平面角的作法以及空间角的大小判定，意在考查空间想象能力以及转化与划归思想，属于中档题.12．已知函数的图象在点处的切线为，若直线也为函数的图象的切线，则必须满足 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】函数y=x2的导数为y′=x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=x0，切线方程为y﹣x02=x0（x﹣x0），设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，即有y=lnx的导数为y′=，可得x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，由0＜m＜1，可得x0＜2，且x02＞1，解得x0＞1，由m=，可得x02﹣lnx0﹣1=0，令f（x）=x2﹣lnx﹣1，x＞1，f′（x）=x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，且f（2）=1﹣ln2＞0，f（）=﹣ln3﹣1=（1﹣ln3）＜0，则有x02﹣lnx0﹣1=0的根x0∈（，2）．故选：D．点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．二、填空题13．的展开式中，的系数为_________．【答案】40【解析】分析：将二项式定理问题转化为排列组合的分组分配问题即可.详解：的展开式中项可以由个项、个项和个常数项相乘或由个项和个常数项相乘而得到，的展开式中项的系数是，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．已知满足约束条件，若可行域内存在使不等式有解，则实数的取值范围为_______．【答案】【解析】分析：由约束条件作出可行域，要使可行域内存在使不等式有解，则目标函数最大值，由此求得的取值范围.详解：由约束条件，作出可行域如图，要使可行域内存在使不等式有解，只需目标函数的有最大值为非负值即可，平移直线，由图可知，当直线经点时，目标函数的有最大值，所以，即，综上，可行域内存在使不等式有解，实数的取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知椭圆的离心率为，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率分别为，若点关于原点对称，则的值为______.【答案】【解析】∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是e===，a=2b，于是椭圆的方程可化为：x2+4y2=4b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．则m2+4n2=4b2，x02+4k2x02=4b2．m2﹣x02=4k2x02﹣4n2，∴k 1•k 2=×===﹣．k 1•k 2=﹣．故答案为：﹣．16．在ABC ∆中， ,6B ACD π∠==是AB 边上一点， 2,CD ACD =∆的面积为2， ACD ∠为锐角，则BC =__________．.【解析】∵在△ABC 中，∠B=30︒，D 是AB 边上一点，CD=2，△ACD 的面积为2，∠ACD 为锐角，∴S △ACD sin ∠ACD=2，解得sin ∠∴cos ∠ACD=∴AD=由正弦定理,24sin sin 5A A =⇒=又因为sin sin sin sin 5BC AC AC A BC A B B =∴==故答案为：．点睛: 本题考查三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题．当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦.三、解答题。

湖北省华中师范大学第一附属中学高三数学5月押题考试试题理(含答案)

湖北省华中师范大学第一附属中学高三数学5月押题考试试题理本试题卷共4页，23题(含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★―、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1. 已知复数ii i z +-=1)31(，则其共扼复数z 的虚部为 A. -1 B. 1 C.-i D. i2. 已知集合A={01|≥-x xx }，B={)12lg(|-=x y x }，则=B A A.(0，1] B.(0，21) C.( 21,-l] D.( 21,∞)3.设,均为单位向量，当,的夹角为32π,时，在方向上的投影为A. 23-B. 21-C. 21-D. 234. 已知等差数列{n a }满足2334a a =，则{n a }中一定为零的项是 A. 6a B. 6a C. 10a D.12a5.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(以下称合格考)和选择性考试(以下称选择考)，其中“选择考”成绩将计人高考总成绩，即“选择考，’成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”的总人数是2016年参加“选择考”的总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况,现统计了该校2016年和2018年“选择考” 的成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年相比，下列说法正确的是 A.获得A 等级的人数减少了B.获得B 等级的人数增加了1.5倍C.获得D 等级的人数减少了一半D.获得E 等级的人数相同 6.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A.122019- B.222019- C. 122020- D.222020-7.设函数)232sin()322cos()(ππ---=x x x f ，将函数)(x f 的图像向左平移ϕ (ϕ>0)个单位长度，得到函数)(x g 的图像，若)(x g 为偶函数，则ϕ的最小值是A.6π B. 3π C. 32π D.65π8.设数列{n a }的前n 项和为n S ，满足nn nn a S 21)1(+-=，则=++531S S S A.0 B.645 C. 6417 D. 6421 9.已知抛物线C: p px y (22=>0)，过其焦点F 的直线与C 交于A ,B 两点，0是坐标原点，记△AOB 的面积为S,且满足S FB AB 223||3||==，则=p A.21 B.1 C. 23 D.210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为 A.π27728 B. π9728C.π272128 D.π92128 11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=0,230＞,2ln )(2x x x x x x x x f ，1)(-=kx x g 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1-=y 的对称点在)(x g 的图像上，则k 的取值范围是A. )43,31(B. )43,21(C. )1,31(D. )1,21(12.在△ABC 中，A 、B 、C 为其三内角，满足tanA 、tanB 、tanC 都是整数，且A>B>C ，则下列结论中错误的是 A.A>52π B . B>3π C. A<94π D.B<125π 二、填空题:本题共4小题,每小题5分。

2018年最新华师一附中2018学年度高三高考模拟考试(数学理科) 精品

华师一附中2018—2018学年度高三高考模拟考试数学试题（理）命题人：汤克勤时间：120分钟总分：150分一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知p ：不等式|x -1|+|x +2|＞m 的解集为R ，q: f (x )=log 5-2m X 为减函数，则P 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．函数y=loga (|x|+1)(a ＞1)的图像大致是（） 3．当21-=i z 时，z 100+z 50+1的值等于（）A ．1B ．-1C ．iD ．-i 4．已知则),2,23(,54cos ),23,(,41sin ππββππ∈=∈-=a a a +β是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5．过双曲线12222=-by a x 上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则→PM .→PN 的值为（）A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2+b 26．已知奇函数f （x ）在)0,(-∞上为减函数，且f(2)=0，则不等式（x-1）f (x-1) ＞0的解集为（）A ．{x|-3＜x ＜-1}B ．{x|-3<x<1或x>2}C ．{x|-3<x<0或x>3} C ．{x|-1<x<1或1<x<3}7．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E ξ＝（） A ．43 B ．512 C ．719 D ．31 8．水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示。

（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点，不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水则一定正确的论断是（）A ．① B. ③ C. ②③ D. ①②③9．在135°的二面角β--AB a 内有一点P ，点P 到两个面β、a 的距离分别为22和3，则点P 到棱AB 的距离为（）A ．14 B. 13 C. 33 D. 1010．非零向量→→→→==b OB a OA ,，若点B 关于→OA 所在直线的对称点为B 1，则向量→1OB 为（） A ．→→→→→-⋅b a a b a 2||)(2 B ．2→→-b a C ．2||)(2→→→→→-⋅a b a b a D ．||)(2→→→→→-⋅a ba b a11．在数列{a n }中，a 1=7,a 2=24,对所有的自然数n, 都有a n+1= a n +a n+2，则a 2018为（）A ．7B ．24C ．13D ．25 12．设动点坐标（x,y ）满足0)4)(1(3{≥-++-≥y x y x x ，则x 2+y 2的最小值为（）A ．5B ．10C ．217D ．10 二、填空题（4×4分＝16分） 13.若在nXx )1(5-展开式中，第4项是常数项，则n=14.若函数在其定义域内连续，则a 、b 的值分别为。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018届高三5月适应性考试文数试题含解析

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，集合{3,4}B =，则()U C A B = （） A ．{4} B ．{2,3,4,5} C ．{3,4,5} D ．{2,3,4} 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得(){4,5}{3,4}{3,4,5}U C A B == ；故选C ．考点：集合的运算．2.计算0sin 47cos17cos 47cos107+的结果等于（）A ．12-B C D ．12【答案】D考点：1.诱导公式；2.两角差的正弦公式． 3.已知复数1023z i i=-+（其中i 是虚数单位），则||z =（）A ．．．．【答案】C 【解析】试题分析：因为1010(3)22333(3)(3)i z i i i i i i -=-=-=-++-，所以||z =C ．考点：1.复数的运算；2.复数的模．4.已知五个数2,,,,8a m b 构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率为（）A ．2 B ．2．2【答案】A考点：1.等比中项；2.圆锥曲线的离心率．【易错点睛】本题考查等比中项的应用和圆锥曲线的标准方程和离心率，属于基础题；本题的易错之处在于：利用等比中项求m 值，片面考虑162=m ，而忽视082>=m b ，导致得到错误答案（4±=m ，圆锥曲线为椭圆或双曲线），因此在研究等比数列时，要注意奇数项一定同号，偶数项也一定同号.5.若()xxf x e ae -=+为偶函数，则21(1)e f x e+-<的解集为（）A ．(2,)+∞B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(,0)(2,)-∞+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：由()xxf x e ae -=+为偶函数，得0))(1()()(=--=---xx e e a x f x f 恒成立，则1=a ，即x x e e x f -+=)(，则x x e e x f --=)('，且当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，即)(x f 在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增，且图象关于y 轴对称，则由21(1)(1)e f x f e+-<=，得1|1|<-x ，解得20<<x ，即21(1)e f x e +-<的解集为(0,2)；故选B ．考点：1.函数的奇偶性；2.导数与函数的单调性．6. ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++ 为零向量，且||||OA AB =，则CA 在BC方向上的投影为（）A ．3-B ．．3 D 【答案】B考点：1.平面向量的运算；2.投影的概念．7.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>，()()062f f ππ+=，()f x 在区间(,)62ππ上单调，则ω=（） A ．2 B ．3 C ．1 D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：因为)3sin(2cos 3sin )(πωωω+=+=x x x x f 满足()()062f f ππ+=且在区间(,)62ππ上单调，所以0)3(=πf 且3622πππωπ=-≥=T ，即)(33Z k k ∈=+ππωπ且3≤ω，即2=ω；故选A ．考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面中，面积最小值为（）A ．2 B ．2 C ．2 D ．12【答案】D考点：1.三视图；2.几何体的侧面积．9.阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为（）A ．18 B ．12 C D ．116【答案】D 【解析】试题分析：由程序框图，得9cos,1π==s n ，92cos9cos,2ππ==s n ，93cos 92cos9cos,3πππ==s n ，94cos 93cos 92cos 9cos ,4ππππ==s n ，则94c o s92c o s 9c o s 9s i n 29s i n 41πππππ=s 1619sin 169sin9sin 1698sin 94cos 94sin 29sin 16194cos 92cos 92sin 29sin 81===⋅==πππππππππππ；故选D ．考点：1.程序框图；2.二倍角公式．10.直线y a =分别与曲线2ln y x x =-，2y x =-交于点,P Q ，则||PQ 的最小值为（）A ．2 B．1 D【答案】A考点：函数的最值与导数．11.如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且CAB ∠等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，作α⊥AO ，垂足为O ，连接OB ，在面α内过O 作OB 的垂线，建立空间直角坐标系，由题意，设θ=∠=∠CAB ABO ，)0,,(,||y x C a AB =，则)0,c o s ,0(),sin ,0,0(θθa B a A ，所以(,,sin ),(0,cos ,sin )AC x y a AB a a θθθ=-=-，所以aa y x a ay ⋅+++=θθθθ222222sin sin cos cos ，即θθθθθ2224222sin cos sin cos sin 2a a y a x -+=，所以点C 的轨迹是抛物线；故选D ．考点：1.直线与平面所成的角；2.动点的轨迹问题．【方法点睛】本题考查空间坐标系的应用、三角函数、空间向量的数量积以及点的轨迹方程，属于难题；因为本题涉及直线与平面所成的角，先作出平面的准线，建立空间直角坐标系，利用角θ写出点的坐标，利用空间向量的夹角公式研究点),(y x 满足的方程，再通过点的轨迹方程研究其轨迹形状.12.定义在R 上的函数()f x 是减函数，且函数()y f x =的图象关于原点中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，其中t k s =∙，则当24s <<时，k 的取值范围是（） A ．1[,1]2-B ．(,0)[1,)-∞+∞C ．1(,1]2- D ．(,0][1,)-∞+∞ 【答案】C考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性．【方法点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、函数的最值问题以及数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题；解决本题的关键在于利用函数的奇偶性将不等式转化为)()(y f x f <的形式，再利用函数的单调性将问题转化成y x >的形式，再利用不等式的性质进行求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若幂函数222()(33)m m f x m m x --=-+的图象不过原点，则m 的值为 .【答案】1或 2 【解析】试题分析：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≤--=+-0213322m m m m ，即⎩⎨⎧≤+-=--0)1)(2(0)1)(2(m m m m ，解得1=m 或2=m ；故填1或 2 ．考点：幂函数．14.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是 . 【答案】15考点：古典概型．15.在ABC ∆中，1tan ,cos 2A B ==1，则最短边的长为 .【解析】试题分析：因为1tan ,cos 2A B ==π<<B A ,0，所以552cos ,55sin ==A A ， 1010sin =B ，则52s i nc o s c o s s i n )s i n (s i n =+=+=B A B A B A C ，因为C A B sin sin sin <<，所以最长边为1=AB ，最短边为AC ，则1010521AC =，解得55=AC考点：1.两角和的正弦公式；2.正弦定理．【易错点睛】本题考查同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式、正弦定理的应用，属于中档题；本题的易错之处有二：一是通过同角三角函数基本关系式（尤其是1cos sin 22=+αα）不要忽视角的范围确定符号，二是再判定最长边或最短边时，不要忽视利用正弦定理（边角关系）确定三角形的最长边和最短边. 16.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”，以下函数中“Z 函数”的序号为 .①31y x =-+；②32sin 2cos y x x x =--；③ln ||,00,0x x y x ≠⎧=⎨=⎩；④224,0,0x x x y x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.【答案】②④考点：1.新定义函数；2.函数的单调性．【方法点睛】本题以新定义函数为载体考查函数的单调性、导数与函数的单调性的关系、分段函数的单调性属于中档题；判定函数的单调性的常用方法有：（1）定义法，利用函数的单调性的定义进行判定其单调性（如：本题中对新定义函数的理解）；（2）基本函数法（熟记基本函数的单调性，如本题①）；（3）导数法：利用导数的符号判定函数的单调性（如本题中②）；（4）图象法（如本题中③）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5624a a +=，11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足1*12()n a n T a n N -=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式及数列11{}n n a a +的前n 项和；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列？并说明理由. 【答案】（1）21n a n =+，69nn +；（2）不是．考点：1.等差数列；2.等比数列；3.数列的通项与前n 项和的关系；4.裂项抵消法．【方法点睛】本题考查数列的通项与前n 项和的关系、等差数列与等比数列的综合应用、等比数列的定义以及裂项抵消法求和，属于中档题；判定一个数列为等比数列，一般有以下几种方法：（1）定义法：利用q a a nn =+1（q 为非零常数）；（2）通项公式法：若数列的通项公式为n n q p a ⋅=（q p ,为非零常数），则该数列为等比数列；（3）等比中项法：若非零实数b G a ,,满足2G ab =，则b G a ,,成等比数列. 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，90ADC ∠= ，2AD BC =，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.（1）证明：//PA 平面BMQ ；（2）已知2PD DC AD ===，求点P 到平面BMQ 的距离.【答案】（1）证明略；（2）22．(II)解由(1)可知，PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，……………………………………9分考点：1.线面平行的判定定理；2.点到平面的距离． 19. （本小题满分12分）某校高中三个年级共有学生1800名，各年级男生、女生的人数如下表：已知在高中学生中随机抽取一名同学时，抽到高三年级女生的概率为0.17. （1）求a 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生，则在高二年级应抽取多少名学生？（3）已知260,200b c ≥≥，求高二年级男生比女生多的概率. 【答案】（1）318；（2）20；（3）141100．【解析】试题分析：（1）利用高三年级女生抽到的概率公式进行求解；（2）利用分层抽样的特点（等比例）进行求解；（3）列出基本事件数，利用古典概型的概率公式进行求解．试题解析：（I ）根据题意得高三年级女生抽到的概率为1800a，所以17.01800=a 所以30617.01800=⨯=a （人） ………………3分 (II)由表格知高二年级的总人数为600)306344()290260(1800=+-+-人，所以高二年级应抽取的人数为20180060060=⨯（人） ……………………6分（III ）设事件A=“高二年级男生比女生多”，求概率)(A P用b 表示高二年级男生的人数，用c 表示高二年级女生的人数，且600=+c b 则满足200,260≥≥c b 的),(c b 配对的情况为)200,400()339,261(),340,260( ，共有141种情况，而事件A 发生的),(c b 配对的情况为)298,302(),299,301(，)200,400(, 共有100种情况，所以高二年级男生比女生多的概率为141100)(=A P …………………………12分考点：1.分层抽样；2.古典概型． 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，且||3MN =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点F 且斜率为k ，l 与椭圆C 相交于,A B 两点，与以椭圆C 的右顶点E 为圆心的圆相交于,P Q 两点（,,,A P B Q 自下至上排列），O 为坐标原点，若95OA OB ∙=- ，且||||AP BQ =，求直线l 和圆E 的方程.【答案】（1）22143y x +=；（20y -=0y +，()223312x y -+=．∴椭圆C 的方程为221y x +=．………………………………………………………………………4分考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系． 21. （本小题满分12分）设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数'()()3xg x f x =-的零点的个数；（3）若对任意0b a >>，()()1f b f a b a -<-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）当32>m 时，函数)(x g 无零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有一个零点，当320<<m 时，函数)(x g 有两个零点；（3）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41．当32>m 时，函数m y =和函数)(x h y =无交点；当32=m 时，函数m y =和函数)(x h y =有且仅有一个交点；当320<<m 时，函数m y =和函数)(x h y =有两个交点；④当0≤m 时，函数m y =和函数)(x h y =有且仅有一个交点。

2018年湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试理数试题含答案

2018年湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足i z i -=+1)21(，则复数z 的虚部为（）A ．53 B ．53- C ．i 53 D ．i 53- 2．设集合}2,2{-=M ，}21|{<=xx N ，则下列结论正确的是（）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．}2{=M ND ．R M N =3．设函数)(x f 是以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，xx f 2)(=，则)(x f 在)2018,2017(上是（） A ．增函数，且0)(>x f B ．减函数，且0)(<x f C ．增函数，且0)(<x f D ．减函数，且0)(>x f4．已知向量b a ,满足)2,3(,2||,1||=-==b a b a ，则=-|2|b a （） A ．22 B ．17 C ．15 D ．525．在“五一设促销活动中，某商场对5月1日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为14万元，则9时到11时的销售额为（）A ．3万元B ．6万元C ．8万元D ．10万元6．将正方体截去两个三棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）7．已知命题xx x p 32),0,(:>-∞∈∀；命题q ：)2,0(π∈∃x ，x x >sin ，则下列命题为真命题的是（）A ．q p ∧B ．q p ∨⌝)(C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∧ 8．函数)cos()(ϕω+=x A x f 满足)3()3(x f x f --=+ππ，且)6()6(x f x f -=+ππ，则ω的一个可能值是（）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 的一条渐近线与直线012=--y x 平行，则双曲线C 的离心率为（） A ．26 B ．2 C ．3 D ．3610．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内正多边形的边数无限增多时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（）参考数据：1305.05.7sin ,258.015sin ,732.1300≈≈=.A ．12B ．24C ．48D ．9611．二面角βα--AB 的平面角是锐角θ，MCB AB C MN M ∠∈⊥∈,,,βα为锐角，则（） A ．θ<∠MCN B ．θ=∠MCN C ．θ>∠MCN D ．以上三种情况都有可能 12．已知函数221x y =的图象在点)21,(200x x 处的切线为l ，若l 也为函数)10(ln <<=x x y 的图象的切线，则0x 必须满足（）A ．1220<<x B ．210<<x C ．320<<x D ．230<<x 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．52)12(-+x x 的展开式中，3x 的系数为．14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若可行域内存在),(y x 使不等式02≥++k y x 有解，则实数k 的取值范围为．15．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过椭圆上一点M 作直线MB MA ,交椭圆于B A ,两点，且斜率分别为21,k k ，若点B A ,关于原点对称，则21k k ⋅的值为． 16．在ABC ∆中，6π=∠B ，5=AC ，D 是AB 边上一点，2=CD ，ACD ∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则=BC .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知公比不为1的等比数列}{n a 的前3项积为27，且22a 为13a 和3a 的等差中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）若数列}{n b 满足),2(log *131N n n a b b n n n ∈≥⋅=+-，且11=b ，求数列}{2+n nb b 的前n 项和n S . 18．华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60,名同学（男同学30名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）在犯错误的概率不超过1%是条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间5—8分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为6—8分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；（3）现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人，对题目的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥AB 平面BCP ，//CD 平面ABP ，22=====CD BP CP BC AB .（1）证明：平面⊥ABP 平面ADP ；（2）若直线PA 与平面PCD 所成角为α，求αsin 的值.20.已知抛物线y x C 2:2=的焦点为F ，过抛物线上一点M 作抛物线C 的切线l ，l 交y 轴于点N . （1）判断MNF ∆的形状；（2）若B A ,两点在抛物线C 上，点)1,1(D 满足0=+BD AD ，若抛物线C 上存在异于B A ,的点E ，使得，使得经过E B A ,,三点的圆与抛物线在点E 处有相同的切线，求点E 的坐标. 21．已知函数ax x x f +=ln )(在点))(,(t f t 处的切线方程为13+=x y . （1）求a 的值；（2）已知2≤k ，当1>x 时，12)31()(-+->x xk x f 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）对于在)1,0(中的任意一个常数b ，是否存在正数0x ，使得122023)1(00<+--+x b ex x f ？请说明理由. 22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数），曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 1cos y x （β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）已知射线αθ=:1l （26παπ<<），将射线1l 顺时针方向旋转6π得到2l ：6παθ-=，且射线1l 与曲线1C 交于两点，射线2l 与曲线2C 交于Q O ,两点，求||||OQ OP ⋅的最大值. 23.已知函数|1|)(-=ax x f .（1）若2)(≤x f 的解集为]2,3[-，求实数a 的值；（2）若1=a ，若存在R x ∈，使得不等式m x f x f 23)1()12(-≤--+成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：BBCAD 6-10：BDBAC 11、12：AD二、填空题13．40 14．4-≥k 15．41-16．558三、解答题17．解：（1）由前3项积为27，得32=a ，设等比数列的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项得34333⨯=+⨯q q，由公比不为1，解得3=q所以13-=n n a（2）由n b a b b n n n n ⋅=⋅=++-1131log ，得!112211n b b b b b b b b n n n n n =⋅⋅⋅⋅=--- 令2111)1)(2(1)!2(!2+-+=++=+==+n n n n n n b b c n n n ，则)2(22121)2111()4131()3121(+=+-=+-+++-+-=n n n n n S n 18.解：(1)由表中数据得2K 的观测值635.6444.494036243030)8142216(602<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k 在犯错误概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关.（2）设甲、乙解答一道物理题的时间分别为y x ,分钟，则}8685|),{(⎩⎨⎧≤≤≤≤=Ωy x y x ，设事件A 为“甲比乙先解答完此题”，则},|),{(⎩⎨⎧<Ω∈=yx y x y x A ，作出可行域如图∴323222211)(=⨯⨯⨯-=A P .（3）由题设可知选择做物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828=C 种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有1526=C 种，恰有一人被抽到有121612=C C 种，两人都被抽到有122=C 种∴X 可能取值为0,1,2，281)2(,732812)1(,2815)0(=======X P X P X P X 的分布列为∴2128122812128150)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19、解：（1）∵//CD 平面⊂CD ABP ,平面ABCD ，平面 ABCD 平面AB ABP =，∴AB CD //，分别取BP AP ,中点E ，O ，连接,DE OC EO ,，则,//EO CD EO CD =，所以四边形DEOC 为平行四边形， ∴OC DE //，∵B AB PB AB CO PB CO =⊥⊥ ,,， ∴⊥CO 平面ABP ， ∴⊥DE 平面ABP ， ∵⊂DE 平面DAP ， ∴平面⊥BAP 平面DAP .（2）由（1）可得OE OB OC ,,两两垂直以O 为原点建立空间直角坐标系xyz O -，如图，则由已知条件有)2,1,0(),0,1,0(),1,0,3(),0,0,3(A P D C -，)1,0,0(=CD ，)0,1,3(=PC ，)2,2,0(=PA平面PCD 的一个法向量记为),,(z y x n =，则⎩⎨⎧=+=030y x z ，∴)0,3,1(-=n从而46|22232||,cos |sin =⨯-=><=n PA α. 20、（1）设)2,(211x x M ，∵22x y =，∴x y ='，则切线l 的方程为)(21121x x x x y -=-，即2211x x x y -=， ∴)2,0(21x N -，∵)21,0(F ，∴,212||,212||2121+=+=x NF x MF ||||NF MF = 所以MNF ∆为等腰三角形.（2）设)2,(222x x A ，∵0=+BD AD ，∴)1,1(D 是AB 的中点，∴)22,2(222x x B --，∵)22,2(222x x B --在抛物线C 上，∴)22(2)2(2222x x -=-，∴02=x 或22=x∴B A ,两点的坐标为)2,2(),0,0(，设)2,(200x x E （2,000≠≠x x ），则由①②得圆心)482,42(020020+++-x x x x M 由10-=⋅x k ME 得02020=--x x ，∴10-=x 或20=x ， ∵2,000≠≠x x ， ∴10-=x∴点E 的坐标为)21,1(-.21.解：（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞， ∵ax x x f +=ln )(，∴a xx f +=1)('，故函数)(x f 在点))(,(t f t 处的切线方程为))(1()(t x a tt f y -+=-即1ln )1(-++=t x a ty 又已知函数)(x f 在点))(,(t f t 处的切线方程为13+=x y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+11ln 31t a t ∴2=a（2）由（1）可知，x x x f 2ln )(+=，∵12)31()(-+->x x k x f ，∴1)31(ln -->xk x ，即0)3(ln >--+x k x x x ，令)3(ln )(--+=x k x x x x g ，则k x x g -+=2ln )('， ∵1,2>≤x k ，∴02,0ln ≥->k x ，∴0)('>x g ，∴)(x g 在),1(+∞为增函数 ∴k g x g 21)1()(+=>， ∴021≥+k ，∴221≤≤-k （3）对于)1,0(∈b ，假设存在正数0x 使得122023)1(00<+--+x b e x x f 成立，即12)1(2220020)1ln(2023)1(00000<++=+=+--+--+x b e x x b e x b ex x x x x f ， ∴012)1(2000<-++-x b ex x 要存在正数0x 使得上式成立，只需上式最小值小于0即可令12)1()(2-++=-x b ex x H x，则)()1()('x x x e b x bx e x e x H ----=++-=，令0)('>x H ，得b x 1ln >；令0)('<x H ，得bx 1ln 0<<；∴bx 1ln =为函数)(x H 的极小值点，亦即最小值点，即函数)(x H 的最小值为1ln ln 21ln 2)ln 1(1ln 2)11(ln )1(ln 222ln -+-=-+-=-++=b b b b bb b b b b b e b b H b令)10(1ln ln 2)(2<<-+-=x x x x x x x G ，则02ln 11ln ln 222ln )('22>=+--⋅+=x x x x x x x G ∴)(x G 在)1,0(上是增函数，∴0)1()(=<G x G ， ∴0)1(ln <bH ∴存在正数b x 1ln0=，使得122023)1(00<+--+x b e x x f 成立. 22、（1）曲线1C 直角坐标方程为1)1(22=+-y x ，所以1C 极坐标方程为θρcos 2=，曲线2C 直角坐标方程we 1)1(22=-+y x ，所以2C 极坐标方程为θρsin 2= （2）设点P 的极坐标为),(1αρ，即αρcos 21=，设点Q 的极坐标为)6,(2παρ-，即)6sin(22παρ-=则||||OQ OP ⋅)cos 21sin 23(cos 4)6sin(2cos 221αααπααρρ-=-⋅=⋅=1)62sin(212cos 2sin 3cos 2cos sin 322--=--=-=παααααα ∵26παπ<< ∴65626ππαπ<-< 当262ππα=-，即3πα=时，||||OQ OP ⋅取最大值1.23.解：（1）显然0≠a当0>a 时，解集为]3,1[a a -，31-=-a ，13=a，无解；当0<a 时，解集为]1,3[aa -，令11=-a ，33-=a ，1-=a ，综上所述，1-=a （2）当1=a 时，令=)(x h ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<-≤--=--=--+2,220,230,2|2||2|)1()12(x x x x x x x x x f x f由此可知，)(x h 在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增，则当0=x 时，)(x h 取到最小值2-，由题意知m 232-≤-，则实数m 的取值范围是]25,(-∞.。

湖北省华中师大一附中2018届高三5月底押题考试(理综)

机密★启用前华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试理科综合试题一、选择题1.人类的结核病是由结核杆菌引起的慢性传染病，下列有关人体细胞与结核杆菌细胞共性的叙述，错误的是A.细胞膜都具有控制物质进出细胞的功能B.细胞质中都含有能合成蛋白质的核糖体C.核膜的主要成分都是蛋白质和磷脂分子D.遗传信息流动的方向都为DNA→RNA→蛋白质2.下列有关运动员长跑时生理变化过程的描述，正确的是A.大量产生C02，有氧呼吸明显升高B.大量产生热能，人体体温明显升高C.大量消耗葡萄糖，血糖含量明显下降D.大量消耗ATP，细胞内ATP的含量明显下降3.8%的盐酸会杀死细胞，将洋葱鱗片叶表皮细胞浸润在8%的盐酸中，发现部分细胞发生了质壁分离，部分细胞未发生，对此现象，下列叙述错误的是A.发生质壁分离过程中，光学显微镜下始终未能观察到染色体B.发生质壁分离过程中，H20、H+、Cl-都能通过细胞膜和液泡膜C.发生质壁分离一段时间后，细胞置于清水中将无法复原D.若未发生质壁分离，则说明细胞液的浓度大于8%的盐酸4.在胚胎发育过程中产生了过量的运动神经元，它们竞争肌细胞所分泌的神经生长因子。

只有接受了足够量神经生长因子的神经元才能生存，其他的则发生凋亡，使得剩下的神经元与肌细胞的数量相当。

下列有关叙述错误的是A.肌细胞能影响神经元的基因表达B.神经元能影响肌细胞膜的通透性C.免疫细胞清除凋亡的神经元以维持内环境的相对稳定D.神经元与肌细胞之间相互传递兴奋以进行信息交流5.在研究森林群落时，不属于群落水平研究的是A.丰富度B.年龄组成C.种间关系D.森林中各种群分别占据的位置6.人的眼睛散光(A)对不散光(a)为显性；直发(B)和卷发(b)杂合时表现为波浪发，两对基因分别位于两对常染色体上。

一个其母亲正常但本人有散光症的波浪发女性，与一个无散光症的波浪发男性婚配。

下列叙述正确的是A.基因B、b的遗传不符合基因的分离定律B.卵细胞中同时含A、B的概率为1/2C.所生孩子中最多有6种不同的表现型D.生出一个无散光症直发孩子的概率为3/87.在化学的发展史上，中国在化学应用方面做出了不可磨灭的贡献，并对人类的文明起到了巨大的推动作用，譬如以“中国雪”为成分之一的一种混合物“把骑士阶层炸得粉碎”。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试(理)数学试题及答案解析

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1.设集合{}|lg P y y x ==，集合{|Q x y ==，则()=PQ R ð（）A ．[]2,0-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞-2.已知i 为虚数单位，若复数i 1i-=+a z （∈a R ）的虚部为1-，则a =（）A ．2-B ．1C ．2D ．1-3.定义在R 上的函数||1()()12x m f x -=-为偶函数，记0.5(lo g 2)a f =，2(lo g 1.5)b f =，()c f m =，则（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<4.已知向量a ，b 满足||2a=，||4b=，()a a b ⊥+，则向量a 在b 方向上的投影为（） A ．1-B ．2-C ．2D ．15.已知变量x ，y 满足220,1,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则21x y x +++的取值范围是（）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．19,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y ab-=（0a >，0b >）的左、右焦点，若点2F 关于双曲线C 的一条渐近线的对称点为M ，且1||3F M =，则双曲线C 的实轴长为（）A ．32B ．3 C2D．7.《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知在直三棱柱111A B C A B C -中，A C B C ⊥，1A C =，2B C =，13A A =，截面11A B C 将该直三棱柱分割成一个阳马和一个鳖臑，则得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比为（） A ．2:1B ．1:2C ．1:1D ．2:38.已知a ，b R ∈，则||a b >是||||a a b b >的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（）A ．1009-B ．1009C ．1008-D ．100810.已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为2r ，宽为r ，圆半径为r ，则该几何体的体积和表面积分别为（）A ．34π3r ，2(3π+rB ．32π3r ，2(3π+rC ．34π3r ，2(4π+rD ．32π3r ，2(4π+r11.向量π(sin (),sin )4ωω=-a x x ，π(s in (),s in o s )4ωωω=++b x x x （0ω>），函数1()2g x a b =⋅-的两个相邻的零点间的距离为π2，若0x x =（0π02≤≤x ）是函数()f x a b=⋅的一个零点，则0c o s 2x 的值为（）A ．18B ．18C ．18- D ．812.若曲线1C ：2y a x =与曲线2C ：xy e =（其中无理数 2.718e =…）存在公切线，则整数a 的最值情况为（） A ．最大值为2，没有最小值 B ．最小值为2，没有最大值 C ．既没有最大值也没有最小值D ．最小值为1，最大值为2 第Ⅱ卷二、填空题13.已知5(1)(12)a x x +-的展开式中，3x 的系数为20-，则实数a = ．14.已知平面区域{}(,)|0,01x y x y πΩ=≤≤≤≤，现向该区域内任意掷点，则点落在曲线2c o s y x =下方的概率为．15.设抛物线C ：24x y =的焦点为F ，其准线与y 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若90A M B ∠=︒，则||A F = ．16.如图，在平面四边形A B C D 中，A B B C ⊥，A D D C ⊥，1A B A D ==，2π3∠=B A D ，射线B C 上的两个动点E ，F 使得D C 平分E D F ∠（点E 在线段B C 上且与B 、C 不重合），则当4B F B E +取最小值时，tan E D F ∠= ．三、解答题17.已知*∈n N ，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和，212a =且44S a +，66S a +，55S a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2lo g (1)n nb a n λλ=-+≠-，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 满足20182018T =，求λ的值．18.如图1，在R t A B C∆中，90A B C ∠=︒，D ，E 分别为线段A B ，A C 的中点，4A B =，B C =D E 为折痕，将A D E ∆折起到图2中'A D E ∆的位置，使平面'A D E ⊥平面D B C E ，连接'A C ，'A B ，设F 是线段'A C 上的动点，且'C F C A λ=．（1）证明：B E ⊥平面'A D C ；（2）试确定λ的值，使得二面角F B E C --的大小为45︒．19.某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．（1）完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[20,30)或[40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望．附：22()()()()()n a d b c Ka b c d a c b d -=++++20.已知椭圆1C ：22221(0)yx a b ab+=>>，过1C 上一动点P 作P M x ⊥轴，垂足为点M ．当点N 满足63M N M P =时，点N 的轨迹2C 恰是一个圆．（1）求椭圆1C 的离心率；（2）若与曲线2C 切于T 点的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且当//A B x 轴时，||2A B =，求A O B ∆的最大面积．21.已知函数21()ln (1)2f x x m x =+-，其中∈m R ．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12()11ln 2042f x x -<<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为c o s ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα≤<），曲线C 的极坐标方程为2c o s 4s in ρθθ=．（1）若π6α=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求||A B 的最小值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|f x x a =--()∈a R ．（1）若()f x 在[]1,2-上的最大值是最小值的2倍，解不等式()5f x ≥；（2）若存在实数x 使得1()(1)2f x f x <+成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】一、选择题1-5:D C C A B 6-10:B C A B B 11、12：A C 二、填空题 13.3214.1215.2三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由6644552()S a S a S a +=+++，得6564645()()2S S S S a a a -+-+=+，即644a a =，∴214q =，∵{}n a 是单调递减数列，∴12q =，又∵212a =，∴11a =，∴11()2n n a -=．（2）由（1）得121lo g ()(1)12n n b n n λλ-=-+=+-，∴[][]111111(1)1(1)(1)11(1)1(1)(1)1n n b b n n n n λλλλλ+⎡⎤==-⎢⎥+-⋅++-++-++-⎣⎦，∴20181112018()2018120192018(20192018)T λλλλλ=-==+++，∴1λ=-或12019λ=， ∵1λ≠-，∴12019λ=．18.解：以D 为坐标原点， D B ，D E ，'D A 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为(0,0,0)D ，'(0,0,2)A ，(2,0,0)B，(2,0)C，(00)E ．（1）(2,0)B E =-，(2,0)D C=，'(0,0,2)D A=， ∵440B E D C ⋅=-+=，∴B E D C ⊥， ∵'0B E D A ⋅=，∴'B E D A ⊥，又'D CD A D =，∴BE ⊥平面'A D C ．（2）设'C F C A λ=，则(2,2)C F λ=--，∴(22,,2)F λλ-，设平面B E F 的法向量为(,,)n x y z=，∵(20)B E =-，(2,,2)B F λλ=-，∴20,2()20,x x y z λλ⎧-+=⎪⎨-⋅+-⋅+⋅=⎪⎩取(,,32)n λλ=-，又∵平面B E C 的法向量为'(0,0,1)n =，∴c o s 452︒==，得23620λλ-+=，解得13λ=±，又∵01λ<<，∴13λ=-∴13λ=-F B E C --的大小为45︒．19.解：（1）根据图1和表1得到22⨯列联表：将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：222()200(8649614)5000 6.105()()()()182********819n a d b c Ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，∵6.105 6.635<，∴没有99%的把握认为该企业生产的产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据图1和表1可知，设备改造前的产品为合格品的概率约为864310050=，设备改造后产品为合格品的概率约为962410025=，显然设备改造后合格率更高，因此，改造后的设备更优．（3）由表1知：一等品的频率为12，即从所有合格品产品中随机抽到一件一等品的概率为12；二等品的频率为13，即从所有合格品产品中随机抽到一件二等品的概率为13；三等品的频率为16，即从所有合格品产品中随机抽到一件三等品的概率为16．由已知得：随机变量X 的取值为：240,270,300,330, 360，111(240)6636P X ==⨯=，12111(270)369P X C ==⨯⨯=，1211115(300)263318P X C ==⨯⨯+⨯=，12111(330)233P X C ==⨯⨯=，111(360)224P X ==⨯=，∴随即变量X 的分布列为：∴11511()2402703003303603203691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）设00(,)P x y ，(,)N x y ，由P M x ⊥轴知0(,0)M x ，∵63M N M P =，∴00,.2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 又∵P 点在椭圆1C 上，∴2200221y x ab+=，即2222312y x ab+=，又N 点的轨迹恰是一个圆，那么2223b a =，22222213c a b eaa-===，∵(0,1)e ∈，∴3e =（2）由（1）知椭圆1C ：2222132yxcc+=，圆2C ：2222x yc +=．当//A B x 轴时，切点T 为2C 与y轴的交点，即(0,)T ±，此时2A B =，23A x ==，即232c=，故1C ：223290x y +-=，2C ：223x y +=．设直线A B ：y k x m =+（斜率显然存在），11(,)A x y ，22(,)B x y ，由直线l 与2C=223(1)mk =+，联立直线l 与椭圆1C 的方程22,3290,y k x m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(23)4290k x k m x m +++-=，其中222222164(23)(29)12(692)360k m k m k m ∆=-+-=+-=>，有12221224,2329,23k m x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩那么122|||23A B x x k=-==+，t =（1t ≥），则266||1212t A B t t t==++，又函数12y t t=+在[1,)+∞上单调递增，则3y ≥，故||2A B ≤，∴11||22A O B S A B ∆=⨯≤⋅，即A O B ∆21.解：（1）函数()f x 定义域为(,1)-∞，且2'()11m x x mf x x xx-+-=-=--，10x ->，令20x x m -+-=，14m ∆=-，当0∆≤，即14m ≥时，'()0f x ≤，∴()f x 在(,1)-∞上单调递减；当0∆>，即14m <时，由20x x m -+=，解得12x =22x =若104m <<，则121x x <<，∴1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；12(,)x x x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；2(,1)x x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；若0m ≤，则121x x <≤，∴1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；11(,1)x x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；综上所述：0m ≤时，()f x的单调递减区间为1(,2--∞，单调递增区间为1(2-；104m <<时，()f x的单调递减区间为(,2-∞，2，单调递增区间为22；14m ≥时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞．（2）因为函数()f x 定义域为(,1)-∞，且2'()11m x x mf x x xx-+-=-=--，∵函数()f x 存在两个极值点，∴'()0f x =在(,1)-∞上有两个不等实根1x ，2x ，记2()g x x x m =-+-，则140,11,2(1)(1)0,m g ⎧∆=->⎪⎪-<⎨⨯-⎪⎪<⎩∴104m <<，从而由12121,,x x x x m +=⎧⎨=⎩且12x x <，可得11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈，∴22111122221ln (1)()12ln (1)2x m x f x x m x x x x x +-==⨯+-211111ln (1)2(1)x x x x =⨯+--，构造函数2()ln (1)2(1)xx x x x ϕ=+--，1(0,)2x ∈，则22222'()ln (1)ln (1)2(1)12(1)x xx xx x x x xx ϕ-=+--=+----，记22()ln (1)2(1)xp x x x =+--，1(0,)2x ∈，则231'()(1)3x x p x x h -+-=-，令'()0p x =，得031(0,)22x -=∈（3122x +=>，故舍去），∴()p x 在0(0,)x 上单调递减，在01(,)2x 上单调递增，又(0)0p =，11()ln 2022p =-<，∴当1(0,)2x ∈时，恒有()0p x <，即'()0x ϕ<，∴()x ϕ在1(0,)2上单调递减，∴1()()(0)2x ϕϕϕ<<，即11ln 2()042x ϕ-<<，∴12()11ln 2042f x x -<<．22.解：（1）当π6α=-时，由直线l 的参数方程c o s ,2s in ,x t y t αα=⎧⎨=+⎩消去t得23y x =+，即直线l的普通方程为0x -+=；因为曲线过极点，由2c o s 4s in ρθθ=，得2(c o s )4s in ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24x y =．（2）将直线l 的参数方程代入24x y =，得22co s 4sin 80t t αα--=，由题意知ππ[0,)(,π)22α∈，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1224s in c o s t t αα+=，1228c o st t α=-，∴12||||A B t t=-====∵ππ[0,)(,π)22α∈，2c o s (0,1]α∈，211c o s α≥，当2c o s 1α=，即0α=时，||A B 的最小值为23.解：（1）∵[]1,2x ∈-，∴m in 1()()2f x f a ==-，m a x ()(1)(2)3f x f f a =-==-，∴32a a -=-，解得3a =-，不等式()5f x ≥，即|21|2x -≥，解得32x ≥或12x ≤-，故不等式()5f x ≥的解集为31|22x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或．（2）由1()(1)2f x f x <+，得|42||21|a x x >--+，令()|42||21|g x x x =--+，问题转化为m in ()a g x >，又123,,211()61,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩故m in 1()()22g x g ==-，则2a >-，所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．。

2018届华中师范大学附属中学高三高考模拟试题(五)数学(理科)试题(含答案)

2018届华中师范大学附属中学高三高考模拟试题（五）数学(理科)命题人、审题人：高三理数备课组本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设复数z 满足z ＋2z －＝6＋i(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点位于(D) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(2)已知全集U ＝R ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18<2x <1，M ＝{}x |y ＝ln （－x －1），则图中阴影部分表示的集合是(C)(A){}x |－3<x<－1 (B){}x |－3<x<0 (C){}x |－1≤x<0 (D){}x|x<－3(3)从某企业生产的某种产品中抽取若干件，经测量得这些产品的一项质量指标值Z 服从正态分布N(200，150)，某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，则E(X)等于(C)附：150≈12.2.若Z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4. (A) 34.13 (B)31.74 (C)68.26 (D)95.44【解析】由于150≈12.2，则P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6，所以一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意，X ～B(100，0.682 6)，∴E(X)＝100×0.682 6＝68.26，故选C.(4)已知a ＝18118， b ＝log 1718， c ＝log 1817，则a ，b ，c 的大小关系为(A)(A) a>b>c (B) a>c>b (C) b>a>c (D) c>b>a【解析】a ＝18118>1，b ＝log 1718＝12log 1718∈⎝⎛⎭⎫12，1， c ＝log 1817＝12log 1817∈⎝⎛⎭⎫0，12，∴a>b>c ，故选A. (5)执行下列程序框图，若输出i 的值为3，则输入x 的取值范围是(D)(A)0<x<3 (B)1<x<3 (C)1≤x<3 (D)1<x ≤3【解析】该程序框图执行以下程序：i ＝1，x ＝2x ＋1；i ＝2，x ＝2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3；i ＝3，x ＝2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7，则由⎩⎨⎧8x ＋7>15，4x ＋3≤15，可得1<x ≤3，故选D.(6)如图是一个旋转体被挖掉一个最大半球后得到的几何体的三视图，则该几何体的表面积是(B)(A)14π (B)15π (C)16π (D)18π(7)函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，||φ<π2)的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象(D)(A) 关于点⎝⎛⎭⎫7π12，0对称 (B) 关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称 (C) 关于直线x ＝7π12对称 (D) 关于直线x ＝－π12对称(8)若二项式(2－x)n (n ∈N *)的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b a ＋ab 的最小值是(B)(A) 2 (B)136 (C)73 (D) 156【解析】令x ＝－1，得a ＝3n，又b ＝2n，∴b a ＝2n 3n ＝⎝⎛⎭⎫23n，∴b a ＋a b ＝⎝⎛⎭⎫23n ＋⎝⎛⎭⎫32n ≥23＋32＝136，故选B. (9)在高校自主招生中，某中学获得6个推荐名额，其中中南大学2名，湖南大学2名，湖南师范大学2名，并且湖南大学和中南大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男3女共6个推荐对象，则不同的推荐方法共有(A)(A) 54 (B)45 (C) 24 (D) 72【解析】由题意可分为两类：第一类是将3个男生每个大学各推荐1人，共有A 33A 33＝36种推荐方法；第二类是将3个男生分成两组分别推荐给湖南大学和中南大学，其余3个女生从剩下的大学中选，共有C 23A 22C 23＝18种推荐方法．故共有36＋18＝54种推荐方法，故选A.(10)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－9x ＋b 的图象关于点(1，0)对称，且对满足－1≤s<t ≤m 的任意实数s ，t ，有f(s)>f(t)，则实数m 的最大值为(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】由f(x)＋f(2－x)＝0得a ＝－3，b ＝11，故f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋11，令f′(x)＝3(x 2－2x －3)≤0，解得f(x)的单调递减区间为(－1，3)，故m max ＝3，选C.(11)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过原点O 的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且||MN ＝2||OF ，若△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为(D)(A)3 (B)2 (C) 3 (D) 2【解析】法一：由M ，N 关于原点对称及||MN ＝2||OF 知MF ⊥NF ，设M(x 0，y 0)，N(－x 0，－y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则MF →＝(c －x 0，－y 0)，NF →＝(c ＋x 0，y 0)，因为MF →·NF →＝0，所以(c －x 0)(c ＋x 0)－y 20＝0，即x 20＝c 2－y 20，而M(x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20a 2－y 20b 2＝1，所以c 2－y 20a 2－y 20b 2＝1，化简可得y 0＝b 2c .又因为△MNF 的面积为ab ，所以12·c·y 0＋12·c·y 0＝ab ，即y 0＝abc ，所以b 2c ＝abc，即a ＝b ，从而离心率为 2.法二：不妨设M 在第一象限，双曲线的左焦点为F ′，连接MF′，NF ′，则易知四边形MFNF′是矩形，设|MF′|＝m ，|MF|＝n ，则可得 ⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，12mn ＝ab ，可解得a ＝b ，双曲线是等轴双曲线，离心率为 2.(12)已知平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，BC ⊥CD, BC ＝CD ，沿BD 将△BCD 折起形成三棱锥C －ABD ，当三棱锥C －ABD 的外接球的体积最小时，关于三棱锥C －ABD 有下列说法：①平面BCD ⊥平面ABD ；②取BD 的中点O ，则OC ⊥BA ；③三棱锥C －ABD 的外接球的体积是323π27；④对棱BC 与AD 所成的角的余弦值是24.这些说法中正确的个数有(D) (A)1 (B) 2 (C)3 (D)4【解析】设正△ABD 的中心是G ，三棱锥C －ABD 的外接球球心是Q ，则QG ⊥平面ABD ，QO ⊥平面CBD ，设球半径是R ，则R 2＝AG 2＋QG 2＝43＋QG 2 ，当QG ＝0时三棱锥C －ABD 的外接球的体积最小，此时Q 与G 重合，平面BCD ⊥平面ABD ，球半径是233 ，体积是323π27；此时AC ＝2，取BD 的中点O ，则OC ⊥平面ABD ，即OC ⊥BA ，则对棱BC 与AD 所成的角θ满足：|cos θ|＝|BC →·AD →||BC →||AD →|＝|BC →·（BD →－BA →）||BC →||AD →|＝|BC →·BD →－（OC →－OB →）·BA →||BC →||AD →|＝24 (也可建系用坐标向量法或平移成相交直线再用余弦定理解三角形求对棱BC 与AD 所成的角的余弦值)，故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)点A 从()1，0出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是⎝⎛⎭⎫－35，45，记∠B ＝α，则sin 2α＝__－2425__ .【解析】由题意可得：sin α＝45，cos α＝－35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. (14)若圆A ：(x －1)2＋(y －4)2＝a 上至少存在一点P 落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －1≥0，3x －y －1≥0，x ＋y －7≤0表示的平面区域内，则实数a的取值范围是__⎣⎡⎦⎤25，4__．【解析】圆A 与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －1≥0，3x －y －1≥0，x ＋y －7≤0表示的平面区域有交点，作出图象后易求得a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤25，4.(15)已知AB 为圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，点P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一动点，则PA →·PB →的最小值为__2__.【解析】方法一：依据对称性，不妨设直径AB 在x 轴上，P(2cos x ，3sin x)，从而PA →·PB →＝(2cos x －1)(2cos x ＋1)＋3sin 2x ＝2＋cos 2x ≥2.方法二：PA →·PB →＝（PA →＋PB →）2－（PA →－PB →）24＝PO →2－1＝||PO 2－1，而||PO min＝3，则答案为2.方法三：PA →·PB →＝(PO →＋OA →)(PO →＋OB →)＝PO →2＋(OA →＋OB →)PO →＋OA →·OB →＝PO →2－OA →2＝PO →2－1，下同法二．(16)已知函数f(x)＝e x (x －1)－ax ＋1，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)≤0，则a 的取值范围是__[0，1)__．【解析】设g(x)＝e x (x －1)，y ＝ax －1，由题知存在唯一的整数x 0，使得g(x 0)≤ax 0－1. 因为g′(x)＝xe x .当x<0时，g ′(x)＜0，即g(x)单调递减，g(x)的值域为(－1，0)；当x ＝0时，[g(x)]min ＝－1；当x>0时，g ′(x)＞0，即g(x)单调递增，g(1)＝0且g(x)的值域为(－1，＋∞)，直线y ＝ax －1恒过点(0，－1)．作出图象知当且仅当a ∈[0，1)时满足题设．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6＝3a 7－a 2，S 7＝2a 11＋7. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b 1＝3，数列{b n }的第n 项b n 是数列{a n }的第b n －1项(n ≥2)． (ⅰ)证明：{b n －1}是等比数列； (ⅱ)求数列{a n b n }的前n 项和T n .【解析】(Ⅰ)设等差数列{} a n 的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧6a 1＋6×52d ＝3（a 1＋6d ）－（a 1＋d ），7a 1＋7×62d ＝2（a 1＋10d ）＋7，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1－d ＝0，5a 1＋d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(4分)(Ⅱ)(ⅰ) 依题意，n ≥2时，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1，所以b n －1＝2(b n －1－1)，又b 1－1＝2，从而{}b n －1是以2为首项，2为公比的等比数列．(8分) (ⅱ)由(ⅰ)知b n －1＝2·2n －1＝2n ，即 b n ＝2n ＋1. 故 a n b n ＝(2n －1)(2n ＋1)＝(2n －1)2n ＋(2n －1)，所以T n ＝[]1·2＋3·22＋…＋（2n －1）·2n ＋[]1＋3＋…＋（2n －1），即T n ＝[]1·2＋3·22＋…＋（2n －1）·2n ＋n 2 ① 2T n ＝[]1·22＋3·23＋…＋（2n －1）·2n ＋1＋2n 2 ② ①－②得－T n ＝2＋2(22＋23 ＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1－n 2＝(3－2n)·2n ＋1－n 2－6所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋n 2＋6.(12分) (18)(本小题满分12分)某高校在自主招生期间，把高三学生的平时成绩按“百分制”进行折算，选出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75，80)，第二组[80，85)，第三组[85，90)，第四组[90，95)，第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．且第四组的学生人数为60，第五组对应的小长方形的高为0.02.(Ⅰ)请在图中补全频率分布直方图；(Ⅱ)若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，并且在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，设第三组有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望．【解析】(Ⅰ)因为第四组的学生人数为60，且第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列，所以总人数为n ＝5×60＝300，由频率分布直方图可知，第五组的学生人数为0.02×5×300＝30，又公差为60－302＝15，所以第一组的学生人数为45，第二组的学生人数为75，第三组的学生人数为90. 故第一、二、三、四组的频率分别为45300＝0.15，75300＝0.25，90300＝0.3，60300＝0.2.补全频率分布直方图如图：)(5分)(Ⅱ)由题意得，用分层抽样的方法在第三、四、五组中应分别抽取的学生人数为90×690＋60＋30＝3，60×690＋60＋30＝2，30×690＋60＋30＝1，则ξ的所有可能取值为0，1，2，3.(6分)P (ξ＝0)＝C 03C 33C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 33C 03C 36＝120.因此ξ的分布列为：(10分)E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.(12分)(19)(本小题满分12分)如图，已知多面体MNABCD 的一个面ABCD 是边长为2的菱形，且∠ABC ＝60°，BM ⊥平面ABCD ，BM ∥DN ，BM ＝2DN ，点E 是线段MN 上任意一点．(Ⅰ)证明：平面EAC ⊥平面BMND ；(Ⅱ)若∠AEC 的最大值是2π3，求三棱锥M －NAC 的体积．【解析】(Ⅰ)∵BM ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥BM ；又四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，则AC ⊥平面BMND ，则平面EAC ⊥平面BMND.(5分)(Ⅱ)由已知易知AE ＝CE>1, cos ∠AEC ＝2AE 2－AC 22AE 2＝1－2AE 2，∠AEC ∈(0，π)， ∴当AE 最短时∠AEC 最大，即AE ⊥MN ，CE ⊥MN 时∠AEC 最大，(同理得∠ANC<60°，∠AMC<60°)此时，∠AEC 是二面角A －MN －C 的平面角，大小是120°，AE ＝233.(7分)取MN 得中点H ，连接H 与AC 、BD 的交点O ，易知OH ⊥平面ABCD ，如图建系，设ND ＝a ，则A(1，0，0)，N(0，－3，a)，M(0，3，2a)，则AN →＝(－1，－3，a)，AM →＝(－1，3，2a)，设平面AMN 的法向量n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AM →＝－x ＋3y ＋2az ＝0，n 1·AN →＝－x －3y ＋az ＝0，n 1＝⎝⎛⎭⎫3a 2，－3a 6，1，同理求得平面CMN 的法向量n 2＝⎝⎛⎭⎫－3a 2，－3a 6，1.所以|cos ∠AEC|＝⎪⎪⎪⎪－9a 24＋3a 236＋19a 24＋3a 236＋1＝12，解之得：a ＝1510或a ＝62(舍去)，(10分) MN ＝a 2＋BD 2＝320＋12＝91510，S △EAC ＝12AE 2sin 120°＝12×43×32＝33， V M －NAC ＝V M －EAC ＋V N －EAC ＝13S △EAC ·MN ＝3510(采用几何计算类似给分)．(12分)(20)(本小题满分12分)如图，点F 是抛物线E ：x 2＝2py(p>0)的焦点，点A 是抛物线上的定点，且AF →＝(2，0)．点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2，且k 2－k 1＝2，以A 为圆心，||AF 的长为半径的圆分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，抛物线E 在点B ，C 处的切线相交于D 点．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)记△BCD 的面积为S 1，△AMN 的面积为S 2，求S 1S 2的最小值．【解析】(Ⅰ)设A(x 0，y 0)，依题意知F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则AF →＝⎝⎛⎭⎫－x 0，p 2－y 0＝(2，0)x 0＝－2，y 0＝p 2，代入抛物线方程中得：p ＝2，则抛物线方程为x 2＝4y.(4分)(Ⅱ)设B ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，C ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，由(Ⅰ)知A(－2，1)，所以k 2－k 1＝x 224－1x 2＋2－x 214－1x 1＋2＝x 2－x 14.又k 2－k 1＝2，所以x 2－x 1＝8.(5分) 设直线BD 的方程是y －x 214＝k(x －x 1)，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx ＋4kx 1－x 21＝0.令Δ＝16k2－4(4kx 1－x 21)＝0，解得k ＝x 12，所以直线BD 的方程是y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.同理可得直线CD 的方程为y ＝x 22x －x 224.(7分)联立直线BD 和CD 的方程，解得x D ＝x 1＋x 22，y D ＝x 1x 24.(8分)设BC 的中点为P ，则P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 21＋x 228，所以S 1＝S △BDP ＋S △CDP ＝12||DP ·(h 1＋h 2)＝12⎪⎪⎪⎪x 21＋x 228－x 1x 24·||x 2－x 1 ＝（x 2－x 1）316＝32.(9分)另一方面，S 2＝12||AM ·||AN sin ∠MAN ＝2sin ∠MAN, (10分) 所以S 1S 2＝322sin ∠MAN ＝16sin ∠MAN≥16，等号成立时，∠MAN ＝90°，即k 1k 2＝－1，又k 2－k 1＝2，故k 1＝－1，k 2＝1. 所以S 1S 2的最小值为16.(12分)(21)(本小题满分12分)已知f(x)＝e x ＋ax 2－x －1，其中a 为实数． (Ⅰ)若a ≥0，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)设g(x)＝f(x)＋6ln(2a ＋2)＋2a 2－6a －72(a>－1)，若对任意x ≥0，g(x)≥0，求实数a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当a ≥0时，f ′(x)＝e x ＋2ax －1为单调增函数，且f′(0)＝0，故当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x ∈(－∞，0)时，f ′(x)<0，即f(x)在(－∞，0)上单调递减．(4分) (Ⅱ)因为g′(x)＝e x ＋2ax －1，g ″(x)＝e x ＋2a.若a ≥－12，则对任意x ≥0，有g″(x)＝e x ＋2a ≥1＋2a ≥0，即g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g′(x)≥g′(0)＝0，所以有g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(x)≥g(0)＝6ln(2a＋2)＋2a 2－6a －72；令h(a)＝6ln(2a ＋2)＋2a 2－6a －72⎝⎛⎭⎫a ≥－12，则h′(a)＝4a ⎝⎛⎭⎫a －12a ＋1，当a ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，h ′(a)>0，即h(a)在⎣⎡⎭⎫－12，0上单调递增；当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(a)<0，即h(a)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减；当a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，h ′(a)>0，即h(a)在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增；又由于h ⎝⎛⎭⎫－12＝12＋3－72＝0，h ⎝⎛⎭⎫12＝6(ln 3－1)>0，所以当a ∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞时，g(x)≥0.(8分) 若－1<a<－12，g ″(0)＝1＋2a<0，而g″(x)单调递增，且一定存在x 0>0使得g″(x 0)＝0，此时，对任意的x ∈(0，x 0)，g ″(x)<0，即g′(x)在(0，x 0)上单调递减，则g′(x)≤g′(0)＝0，所以有g(x)在(0，x 0)上单调递减，于是当x ∈()0，x 0时，g(x)<g(0)＝6ln(2a ＋2)＋2a 2－6a －72；令m(a)＝6ln(2a ＋2)＋2a 2－6a －72⎝⎛⎭⎫－1<a<－12，则m′(a)＝4a ⎝⎛⎭⎫a －12a ＋1>0，又由于m ⎝⎛⎭⎫－12＝12＋3－72＝0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12时，m(a)<0；于是当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12时，g(0)<0，与题设不符；综上，所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞.(12分) 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋rcos φ，y ＝1＋rsin φ(r>0, φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，若直线l 与曲线C 相切．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π6，求△MON 面积的最大值．【解析】(Ⅰ)由题意可知直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋2,曲线C 是圆心为()3，1，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得： r ＝||3·3－1＋22＝2；可知曲线C 的方程为()x －32＋()y －12＝4,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1，θ)，N ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π6，(ρ1>0，ρ2>0)，S △MON ＝12||OM →||ON →sin π6，＝14ρ1·ρ2＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝2sin θcos θ＋23cos 2 θ ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＋3，当θ＝π12 时， S △MON ＝2＋3，所以△MON 面积的最大值为2＋ 3.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知关于x 的不等式||x －m ＋2x ≤0的解集为{x|x ≤－ }2，其中m>0. (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥2.【解析】(Ⅰ)由f ()x ≤0得||x －m ＋2x ≤0，即⎩⎨⎧x ≥m ，x －m ＋2x ≤0，或⎩⎨⎧x ≤m ，m －x ＋2x ≤0，化简得：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥m ，x ≤m 3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤m ，x ≤－m.由于m>0，所以不等式组的解集为{x | }x ≤－m . 由题设可得－m ＝－2，故m ＝2. (5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，a ＋b ＋c ＝2，又由均值不等式有：b 2a ＋a ≥2b ，c 2b ＋b ≥2c ，a 2c ＋c ≥2a ，三式相加可得：b 2a ＋a ＋c 2b ＋b ＋a 2c ＋c ≥2b ＋2c ＋2a ，所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ＝2.(10分)。

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华中师范大学第一附属中学（湖北）三高三5月押题考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1+2)1i z i =-，则复数z 的虚部为（） A ．35 B ．35- C ．35i D ．35i - 2.设集合{}2,2M =-，12N xx ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（） A ．N M ⊆ B ．M N ⊆ C ．{}2N M ⋂= D ．N M R ⋂=3.设函数()f x 是以2为周期的奇函数，已知(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()f x 在(2017,2018)上是（） A ．增函数，且()0f x > B ．减函数，且()0f x < C ．增函数，且()0f x < D ．减函数，且()0f x >4.已知向量a ，b 满足1a =，2b =，(3,2)a b -=，则2a b +=（） A ．22 B ．17 C.15 D ．255.在“五一”促销活动中，某商场对5月11日19时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为14万元，则9时到11时的销售额为（）A ．3万元B ．6万元 C.8万元 D ．10万元6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图是（）A ．B ． C. D ．7.已知命题:(,0),23x x p x ∀∈-∞>；命题:(0,),sin 2q x x x π∃∈>，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨ C.()p q ⌝∧ D ．()p q ∧⌝ 8.函数()cos()f x A x ωϕ=+满足()()33f x f x ππ+=--，且()()66f x f x ππ+=-则ω的一个可能值是（）A ．2B ．3 C.4 D ．59.已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 的一条渐近线与直线210x y --=平行，则双曲线C 的离心率为（） A ．62 B ．2 C.3 D ．6310.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）参考数据：3 1.732,sin150.258,sin7.50.1305=︒≈︒≈A ．12B ．24 C.48 D ．9611.二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，,,,M MN C AB MCB αβ∈⊥∈∠为锐角，则（） A ．MCN θ∠< B ．MCN θ∠= C.MCN θ∠> D ．以上三种情况都有可能 12.已知函数212y x =的图象在点2001(,)2x x 处的切线为l ，若l 也为函数ln (01)y x x =<<的图象的切线，则0x 必须满足（）A ．0212x << B ．012x << C.023x << D ．032x << 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.25(21)x x +-的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）14.已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若可行域内存在(,)x y 使不等式20x y k ++≥有解，则实数k的取值范围为．15.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，过椭圆上一点M 作垂线MA ，MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，则12k k ⋅的值为． 16.在ABC ∆中，,5,6B ACD π∠==是AB 边上一点，2,CD ACD =∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前3项和为27，且22a 为13a 和3a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足*131log (2,)n n n b b a n n N -+=⋅≥∈，且11b =，求数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 18.华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60名同学（男同学30名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答。

选题情况如下表：（单位：人）物理题数学题总计男同学 16 14 30 女同学82230总计 24 36 60（1）在犯错误的概率不超过1%的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为58-分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为68-分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；（3）现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人，对她们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 附表及公式2()P k k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD 平面ABP ，22AB BC CP BP CD =====（1）证明：平面ABP ⊥平面ADP ；（2）若直线PA 与平面PCD 所成角为α，求sin α的值.20.已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ，过抛物线上一点M 作抛物线C 的切线l ，l 交y 轴于点N . （1）判断MNF ∆的形状；（2）若,A B 两点在抛物线C 上，点(1,1)D 满足0AD BD +=，若抛物线C 上存在异于,A B 的点E ，使得经过,,A B E 三点的圆与抛物线在点E 处的有相同的切线，求点E 的坐标. 21. 已知函数()ln f x x ax =+在点(,())t f t 处的切线方程为31y x =+. （1）求a 的值；（2）已知2k ≤，当1x >时，3()121f x k x x ⎛⎫>-+- ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；（3）对于在(0,1)中的任意一个常数b ，是否存在正数0x ，使得00(1)322012f x x b ex +--+<？请说明理由. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）已知射线1:62l ππθαα⎛⎫=<<⎪⎝⎭，将射线1l 顺时针方向旋转6π得到2:6l πθα=-，且射线1l 与曲线1C 交于两点，射线2l 与曲线2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x ax =-.（1）若()2f x ≤的解集为[]3,1-，求实数a 的值；（2）若1a =，若存在x R ∈，使得不等式(21)(1)32f x f x m +--≤-成立，求实数m 的取值范围.华中师范大学第一附属中学（湖北）三高三5月押题考试理科数学参考答案和评分标准一、选择题1-5:BBCAD 6-10:BDBAC 11、12：AD二、填空题13.40 14.4k ≥- 15.14-16.855三、解答题17.解（1）由前3项积为27得：23a =，设等比数列的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项得：33343q q⋅+=⨯，由公比不为1，解得：3q =，所以13n n a -=（2）由1311log n n n n b b a b n -+-=⋅=⋅，得121121...!n n n n n b b b b b n b b b ---=⋅⋅⋅⋅= 令2!111(2)!(2)(n 1)12n n n b n c b n n n n +====-+++++，则11111111()()...()233412222(2)n nS n n n n =-+-++-=-=++++ 18.解：（1）由表中数据得2K 的观测值260(1622148)404.444 6.635303024369k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 在犯错误的概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理题和数学题的学习与性别有关。

（2）设甲、乙解答第一道物理题的时间分别为,x y 分钟，则{58(,)68x x y y ⎧≤≤⎫Ω=⎨⎬≤≤⎭⎩，设事件A 为“甲比乙先解答完此题”，则(,)(,)x y A x y x y ⎧⎧∈Ω⎫⎪=⎨⎨⎬<⎭⎩⎪⎩，作出可行域如图∴12222()1233P A ⨯⨯=-=⨯（3）由题可知在选择做物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有221C =种∴X 可能值为1512310,1,2,(0),(1),(2)2828728P X P X P X ======= X 的分布列为：X 0 1 2P1528 1228 128∴151211()0122828282E X =⨯+⨯+⨯= 19.解：（1）∵//CD 平面ABP ，CD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面ABP AB =，∴//CD AB ，分别取,AP BP 中点,E O ，连接,,,DE EO OC则//CD EO ，CD EO =，所以四边形DEOC 为平行四边形.∴//DE OC ，∵,,CO PB CO AB PB AB B ⊥⊥⋂=，∴CO ⊥平面ABP ，∴DE ⊥平面ABP ∵DE ⊂平面DAP ，∴平面BAP ⊥平面DAP （2）由（1）可得,,OC OB OE 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则由已知条件有：(3,0,0),D(3,0,1)C(0,1,0),(0,1,2),(0,0,1),(3,1,0),(0,2,2)P A CD PC PA -===平面PCD 的一个法向量记为(,,)n x y z =，则030z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩∴(1,3,0)n =- 从而236sin cos ,4222PA n α-===⨯ 20.解析：（1）设211(,)2x M x ，∵22x y =，∴'y x =，则切线l 的方程为2111()2x y x x x -=-，即2112x y x x =-， ∴21(0,)2x N -，∵1(0,)2F ，∴221111,,2222x x MF NF MF NF =+=+= 所以MNF ∆为等腰三角形（2）设222(,)2x A x ，∵0AD BD +=，∴(1,1)D 是AB 的中点，∴222(2,2)2x B x --∵222(2,2)2x B x --在抛物线C 上∴2222(2)2(2)2x x -=-，∴20x =或22x =∴,A B 两点的坐标为(0,0),(2,2)，设2000(,)(0,2)2x E x x x ≠≠，则由①②得圆心220000228(,)44x x x x M +++-由01ME k x ⋅=-，得20020x x --=，∴01x =-或02x =∵000,2x x ≠≠，∴01x =- ∴点E 的坐标为1(1,)2-21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln f x x ax =+，∴1'()f x a x=+，故函数()f x 在点(,())t f t 处的切线方程为1()()()y f t a x t t -=+-，即1()ln 1y a x t t=++-又已知函数()f x 在点(,())t f t 处切线方程为31y x =+，∴13ln 11a t t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，∴2a =（2）由（1）可知()ln 2f x x x =+，∵3()(1)21f x k x x >-+-，∴3ln (1)1x k x>-- 即ln (3)0x x x k x +-->，令()ln (3)g x x x x k x =+--，则'()ln 2g x x k =+- ∵2,1k x ≤>，∴ln 0,20x k >-≥，∴'()0g x >，∴()0g x >在(1,)+∞为增函数 ∴()(1)12g x g k >=+，∴120k +≥，∴122k -≤≤ （3）对于(0,1)b ∈，假设存在正数0x 使得00(1)322012f x x b ex +--+<成立. 即0000(1)32ln(1)322200122f x x x x b b e x e x +--+--+=+<，∴0200(1)102x b x e x -++-< 要存在正数0x 使得上式成立，只需要上式最小值小于0即可令2()(1)12xb H x x ex -=++-，则'()(1)()x x x H x e x e bx x b e ---=-++=- 令'()0H x >，得1ln x b >；令'()0H x <，得10ln x b<<∴1ln x b =为函数()H x 的极小值点，亦即最小值点，即函数()H x 的最小值为ln 22211(ln )(ln 1)ln 1(1ln )ln 1ln ln 1222b b b bH e b b b b b b b b b b =++-=-+-=-+-令2()ln ln 1(01)2x G x x x x x x =-+-<<，则22ln 2ln ln '()ln 110222x x x xG x x x =+⋅--+=> ∴()G x 在(0,1)上是增函数，∴()(1)0G x G <=，∴1(ln )0H b< ∴存在正数01lnx b =，使得：00(1)322012f x x b e x +--+<成立 22.解：（1）曲线1C 直角坐标方程为22(1)1x y -+=，所以1C 直角坐标方程为2cos ρθ=.曲线2C 直角坐标方程为22(y 1)1x +-=，所以2C 极坐标方程为2sin ρθ= （2）设点P 的极坐标为1(,)ρα，即12c o s ρα=；设点Q 的极坐标为2(,)6πρα-，即22s i n ()6πρα=-；则12312cos 2sin()4cos (sin cos )622OP OQ πρρααααα⋅=⋅=⋅-=-23sin cos αα= 22cos 3sin 2cos 212sin(2)16παααα-=--=--∵,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴52,666πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭当262ππα-=，即3πα=时，OP OQ ⋅取最大值123.解：（1）显然0a ≠，当0a >时，解集为1313,,3,1a a aa ⎡⎤--=-=⎢⎥⎣⎦，无解；当0a <时，解集为31,a a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，令131,3,1a a a -==-=-综上所述，1a =-（2）当1a =时，令2,0()(21)(1)2232,022,2x x h x f x f x x x x x x x --≤⎧⎪=+--=--=-<≤⎨⎪+>⎩，由此可知，()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，则当0x =时，()h x 取最小值2-，由题意知，232m -≤-，则实数m 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦。