2018届湖北省联考高考数学四模试卷(理科)Word版含解析
(完整版)武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科试题及答案world版
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 5.1.复数丄的共轭复数是（i 2A . 2 i4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点， 它们之间距离的最大值为 （）A . 73B . 76C . 2罷D . 2胚、选择题：本大题共 2.已知集合2M {x|x1} , N{x| ax 1}，若 N，则实数a 的取值集合为（ ）.{1,0}.{1, 1,0}则输出的S 属于（）.[2,4]D . [ 4,0]A . {1}.{1,1}Bt [ 2,2],M —J —H止视图I. ] ■的视图5. 一张储蓄卡的密码共有 6位数字，每位数字都可以从 0: 9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时, 那么条件p 是条件q 成立的（ ）O 为坐标原点，贝U PEF 与 OAB 的面积之比为（）A .乜B.戈 C . 1 D . §2 3 2 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.2 3 C11 A .BD5105106.若实数a , b 满足a b 1，mlOg a (lOgab)，n(lOg a b)2，l2log a b ，则m ，n ，l 的大小关系为（）A . mln B.l n m C .n 1mD.1 m n忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过 2次就按对的概率为（）7.已知直线ykx 1与双曲线x 2y 24的右支有两个交点，贝U k 的取值范围为（A .(0,于).诗.(于(诗)8.在ABC 中, 角A 、B 、C 的对应边分别为 a , b , c ，条件 p :，条件q : A2A .充分而不必要条件 •必要而不充分条件C.充要条件 •既不充分也不必要条件9.在(x 16 51）6的展开式中，含x 5项的系数为A . 6.242410.若 x ,y 满足x 2y 12x 22x 的最小值为A .221111.函数 f (x) 2si n(3)(0）的图象在[0,1]上恰有两个最大值点, 的取值范围为（A . [2 ,4 ] 132525.[2 P12.过点 P(2,1）作抛物线 4y 的两条切线, 切点分别为A ,PA , PB 分别交x轴于E , F 两点,13.已知sin 2cos ，则sin cos _______________ .r r r r r r r r r r r r r r r14.已知向量a , b , c满足a b 2c 0 ,且a 1 , b 3 , c 2，则a b 2a c 2b c __________5. 一张储蓄卡的密码共有 6位数字，每位数字都可以从 0: 9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时,15. 已知x (, ) , y f (x) 1为奇函数，f'(x) f(x)ta nx 0,则不等式f (x) cosx 的解集 2 2为 __________ .16. 在四面体ABCD 中，AD DB AC CB 1，则四面体体积最大时，它的外接球半径 R _________________三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17题〜第21题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.(1 )求 a 2, a g ；(2)设数列｛b n ｝满足b n (a n1)2 n 2 ，证明：数列 ｛b n ｝是等差数列，并求数列｛a n ｝的通项a n .A B1CQ 1 中,E ，F 分别在棱AB ， CD 上，且AE CF 1.18.如图，在棱长为3的正方体ABCD (2)求直线FC 1与平面AEG 所成角的正弦值.D 1M1,求证: B 1M 平面 A EC 1.17.已知正数数列｛a n ｝满足: a 1a n a n 1a n2n 1 2 (n 2).a n 119.已知椭圆两点，12与椭圆交于C , D两点•(1 )若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程;AB(2)记 --------- ，求的取值范围.CD20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示21.已知函数f(x) xe x a(lnx x), a R.(1 )当a e时，求f (x)的单调区间；x和考生(2)若f (x)有两个零点，求实数a的取值范围(二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.［选修4-4 :坐标系与参数方程］在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 0为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， I 的极坐标方程为(1) 写出I 和C 的普通方程；(2) 在C 上求点M ，使点M 到I 的距离最小，并求出最小值23.［选修4-5 :不等式选讲］ 已知 f (x) ax 2 x 2 .(1 )在a 2时，解不等式f(x) 1 ；(2)若关于x 的不等式 4 f(x) 4对x R 恒成立，求实数a 的取值范围(cos 2sin ) 10，C 的参数方程为x 3cos y 2si n(为参数,武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案、选择题「5: BDABC 6/0: BDABD ,,、〔2: CC二、填空题,3.2,4.,3,5.(0, — ),6..,5 5 26三、解答题仃.(,）由已知a 232，而 a ,2 ,• a 22 223 2(a ?22)，即 a 22 2a 23 0.a 2 a ,而a 20，则 a 23.又由a 3 a 2522 , a 23 , • a 3 9 522(a 33)，即 a 32a 3 8 0a 3a 2而 a 3 0，则 a 34.a 2 3 , a 3 4.（2）由已知条件可知： a 2 a ： ,2(a n a n ,) 2n X ••• (a nD 2(a n, ,)22n (n 仔，则 2 2 2(a n J n(a n,J (nD 22 2(a 3 ,)2 2 2(a 2 ", 0 ,而 b n(a nD 22n ,•- b n 0，数列｛b n ｝为等差数列…(an2 2J n .而 a n0，故a nn,8.解：（,）过M 作MT AA ,于点T ，连B ,T ,则 AT ,易证： AA ,EA^T , 于是 AA ,EA ,B ,T由 ABJATB , 90°，知AAEATB , 90°, •- A ,E B ,T .显然MT面 AA , B ,B ,而AE面 AA ,B ,B ,••• MT A ,E ，又 B ,T I MT T , /• A ,E 面 MTB , /• A ,E MB ,.连 BQ ,，则 B ,D , AC ,. 又 D ,M AC , , B , D , I D , M D ,, • AC , 面 MD,B , — AC 1 MB ,.由 A E MB , , AC , MB ,,Ai E I A )C , A , — B ,M 面 AEC ,.(2)在 D ,C ,上取点 N ，使 ND ,,，连接 EF .易知 AEyFN. /. VA ,EFC,VNEFC,VENFC,AA A_____ _____________________________________—S NFC 3 - (- 2 3) 3 3.对于 A ,EC ,, AC , 3^/2 , A E VT0，而 EC , ^22 , 3,3 2AEC ,的面积 S AC , A ,Esin EAC2由余弦定理可知COS EAC ,,0 ,8 22 1 2 d0 3「2、、201 3J2 *0 卓9 ?J 19.由等体积法可知F 到平面AEG 之距离h 满足〕S AEC ,h V A1EF C 1，则2 720 2311FC 1 .10，设F 。
湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学试题+Word版含解析
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,所以其共轭复数为.2. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，由N⊆M，得或=1．由此能求出实数a的取值集合．【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，∵N⊆M，∴或=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．故选：D．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【详解】本程序为条件结果对应的表达式为S=，则当输入的t∈[﹣2，2]，则当t∈[﹣2，0）时，S=2t∈[﹣4，0），当t∈[0，2]时，如右图，S=﹣3t+t3=t（t﹣）（t）∈[﹣2，2]，综上S∈[﹣4，2]，故选：A．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键．4. 某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为2，1，1的长方体的体对角线，进而得到答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的直四棱柱，在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为2，1，1的长方体的体对角线，故d==，故选：B．【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5. 一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解．【详解】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：p==．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6. 若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出0=log a1＜log a b＜log a a=1，由此利用对数函数的单调性能比较m，n，l的大小．【详解】∵实数a，b满足a＞b＞1，m=log a（log a b），，，∴0=log a1＜log a b＜log a a=1，∴m=log a（log a b）＜log a1=0，0＜＜1，1＞=2log a b＞．∴m，n，l的大小关系为l＞n＞m．故选：B．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7. 已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线和切线的方程得出k的范围．【详解】双曲线的渐近线方程为y=±x，∴当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=或k=﹣（舍）．∴1＜k＜．故选：D．【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，直线与双曲线相切的等价条件，属于中档题．8. 在中，角、、的对应边分别为，，，条件：，条件：，那么条件是条件成立的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由条件p：a≤，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：cosA=≥，当且仅当b=c=a时取等号．又A∈（0，π），可得．由条件q：A，B，C∈（0，π），A≤．取，C=，B=满足上述条件，但是a．即可判断出结论．【详解】由条件p：a≤，则cosA=≥=≥=，当且仅当b=c=a时取等号．又A∈（0，π），∴．由条件q：A，B，C∈（0，π），A≤．取，C=，B=满足上述条件，但是a．∴条件p是条件q成立的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了余弦定理与基本不等式的性质、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 在的展开式中，含项的系数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把x+看作一项，写出的展开式的通项，再写出的展开式的通项，由x的指数为5求得r、s的值，则答案可求．【详解】的展开式的通项为．的展开式的通项为=．由6﹣r﹣2s=5，得r+2s=1，∵r，s∈N，∴r=1，s=0．∴在的展开式中，含x5项的系数为．故选：B．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.10. 若，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【详解】令，，作出可行域，如图所示：，表示可行域上的动点到定点距离的平方，然后减去，故其最小值为定点到直线AB的距离的平方减去。
2018年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)-教师用卷
2018年湖北省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，；．故选：B．先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，对数函数的单调性，指数函数的值域，以及交集的运算．2.欧拉公式为虚数单位是由著名数学家欧拉发明的，她将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，若将表示的复数记为z，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，．故选：A．由已知求得z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.记不等式组的解集为D，若，，，则实数a的最小值是A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，直线过定点，而经过，两点的直线的斜率为2，要使，，成立，则．实数a的最小值是2．故选：C．由约束条件作出可行域D，结合直线过定点，求出过点，的直线的斜率得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．4.已知，，则的值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，由，得，则．故选：C．由已知求得，结合，展开两角差的正弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，关键是“拆角配角”思想的应用，是基础题．5.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，函数，有，即，设当时，，则函数的定义域为，排除A，D当时，，，则，排除B；故选：C．根据题意，对于函数，分析有，即，据此分析函数的定义域，可以排除A、D，进而利用特殊值分析的值，排除B，即可得答案．本题考查函数的图象，注意分析函数的定义域．6.已知双曲线：的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则A. 1B. 3C. 1或9D. 3或7【答案】C【解析】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得，．，，由双曲线的定义可得，或9，故选：C．由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的方程、渐近线的方程求出a是解题的关键．7.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，且判断框内填入的条件是，则t的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得当时，满足判断框内的条件，可得：，时，此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为6．可得判断框内的s的范围为：，由于判断框内填入的条件是，则t的取值范围是故选：C．模拟程序的运行，可得判断框内s的范围，结合条件，可得t的范围．本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断s的范围是解题的关键，属于基础题．8.党的十九打报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业至少安排一名的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教．将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，基本事件总数，每所学校男女毕业至少安排一名包含的基本事件，每所学校男女毕业至少安排一名的概率为．故选：B．基本事件总数，每所学校男女毕业至少安排一名包含的基本事件，由此能求出每所学校男女毕业至少安排一名的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.已知，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设．，可得函数在内单调递增，，即，化为：．，．故选：B．设，利用导数研究其单调性可得a，b的大小关系，又，即可得出结论．本题考查指数函数与对数函数的单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.锐角中，角A所对的边为a，的面积，给出以下结论：；；；有最小值8．其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：由，得，又，得，故正确；由，得，两边同时除以，可得，故正确；由，且，，整理移项即得，故正确；由，，且，，都是正数．得．设，则，．当且仅当即时取“”，此时，，，的最小值是8，故正确．正确结论的个数有4个．故选：D．由三角形面积公式可得，结合正弦定理说明正确；把中的A用B、C表示，化弦为切说明正确；由，展开两角和的正切说明正确；由，结合转化为关于的代数式，令换元求最值．本题考查命题的真假判断与应用，考查三角形的解法，考查推理运算能力与逻辑思维能力，属中档题．11.已知正三棱锥的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为，则球O的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径底面中线长，设正三棱锥的底面边长为a，则，三棱锥的体积为，，解得，，球O的表面积．故选：A．正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，半径底面中线长，设正三棱锥的底面边长为a，三棱锥的体积为，求出，从而，由此能求出球O的表面积．本题考查空间想象能力，关键是要抓住这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上．12.设其中，则D的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可得，，由表示两点与点的距离，而A在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为，由，可得，设，则递增，且，可得切点，即有，则D的最小值为．故选：C．由表示两点与点的距离，而A在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则D表示A与C的距离和A 与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，画出图形，当F，A，C三点共线，且QF为曲线的法线，D取得最小值，计算即可得到所求最小值．本题考查函数的几何意义，注意运用两点的距离和抛物线的定义，以及三点共线、函数的导数的几何意义，考查转化思想和运算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在的展开式中，常数项等于______用数字作答【答案】112【解析】解：根据题意，可得其二项展开式的通项为，分析可得，时，有，此时，，故答案为112．根据题意，可得其二项展开式的通项为，进而分析可得，时，有，将代入可得答案．本题考查二项式定理，注意其展开式的通项公式的形式．14.已知向量与的夹角为，，则的最大值为______．【答案】【解析】解：向量与的夹角为，，，，，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，的最大值为：．故答案为：．由向量与的夹角为，，得，由，得到，当且仅当时取等号，由此能求出的最大值．本题考查向量的模的最大值的求法，考查向量的模、向量的数量积、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15.已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意：转化为与函数在区间上恰有三个交点问题，上，．当，可得．根据余弦函数的图象：可得，解得：的取值范围是故答案为：函数在区间上恰有三个零点，转化为与函数在区间上恰有三个交点问题，利用余弦函数的图象即可求解．本题主要考查三角函数的零点转化为交点问题，转化思想的运用属于基础题．16.点是直线上的动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A，B是切点，则三角形PAB面积的最小值为______．【答案】【解析】解：圆C的半径为，圆心到直线的距离为，设，则，，，当d取得最小值时，PA取得最小值为，AB取得最小值为，AD取得最小值为，，，三角形PAB面积的最小值为．故答案为：当PC与直线垂直时，PA最小，设，则，求出的值，再求出AB，进一步得到AD的值，因而可求得三角形PAB面积的最小值．本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列，，其中，，且满足，，．求证：数列为等比数列；求数列的前n项和．【答案】证明：时，又，是首项为4，公比为2的等比数列．解：由知，又．又，所以为常数数列，联立得：，，．【解析】即可证明．由知，，又．可得为常数数列，联立得：，可得：，利用裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图，在平行四边形ABCD中，，，，四边形EBDF是矩形，，平面平面ABCD．若，求证：；若二面角的正弦值为，求a的值．【答案】证明：连接AC，在中，由，，，由余弦定理得，又，则，同理由余弦定理得：，由四边形ABCD是矩形，则，又平面平面ABCD，平面ABCD，，同理，由勾股定理得，，，故CE；由，，面CDF，，，面ACE，；解：以A点为原点，AB，AC所在的直线分别为x轴，y轴，过点A与平面ABC垂直的直线z轴建立空间直角坐标系，则，设平面AEF的法向量为，则，即，取，则，即，同理可求得平面CEF的法向量为，设二面角的平面角为，则，则，即，解得或，又，故或．【解析】连接AC，推导出，，，，；由，，得面CDF，从而，由此能证明面ACE，从而；以A点为原点，AB，AC所在的直线分别为x轴，y轴，过点A与平面ABC垂直的直线z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出a．本题考查线线垂直的证明，考查线段长的求法，考查线段长的求法，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．19.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：把频率作为概率，从所有无现金支付用户中人数很多随机抽取3人，用X表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求X的分布列与数学期望．附：，其中．【答案】解：列联表补充如下，故有的把握认为支付宝用户与年龄有关系．把频率作为概率，从所有无现金支付用户人数最多中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以X的取值依次为0，1，2，3，且X服从二项分布；；X【解析】根据题意，由已知可得列联表，由独立性检验计算公式计算的值，结合独立性检验的意义可得答案；把频率作为概率，从所有无现金支付用户人数最多中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以X的取值依次为0，1，2，3，且X服从二项分布，进而得到X的分布列与数学期望独立性检验，就是要把采集样本的数据，利用公式计算的值，比较与临界值的大小关系，来判定事件A与B是否无关的问题具体步骤：采集样本数据由计算的值统计推断，当时，有的把握说事件A与B有关；当时，有的把握说事件A与B有关；当时，认为事件A与B是无关的．20.已知椭圆：的离心率为、分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，当时，内切圆的半径为．求椭圆C的方程；已知直线l：与椭圆C相较于A，B两点，且，当直线PA，PB 的斜率之和为2时，问：点P到直线l的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】解：根据题意，当时，内直角三角形，又由，内切圆的半径为，则有，则，即，又，联立解得：，故，所以椭圆的方程为，设、，联立直线和椭圆的方程得：，当时有：，由得：，即，整理得：，所以，化简整理得：，代入得：，解之得：或，点P到直线l的距离，设，易得或，则，当时；当时，，若，则；若，则，当时，；综上所述：，故点P到直线l的距离没有最大值．【解析】根据题意，由直角三角形的内切圆的性质可得，变形可得，结合椭圆的离心率公式可得a、c的值，结合椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程，即可得答案；设、，联立直线l和椭圆的方程可得，用k表示直线PA，PB的斜率，即可得，整理可得，解可得k的值，进而由点到直线的距离可得点P到直线l的距离，设，据此分析可得答案．本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意利用直角三角形的内切圆半径公式分析．21.已知函数．当时，讨论函数的单调性；求函数的极值．【答案】解：函数的定义域为，其导数为．当时，，设，则，显然时，递增；时，，递减，故，于是，所以时，，递减；时，，递增，故在递减，在递增由知，函数在递增，在递减，所以，又当时，，讨论：当时，，此时：因为时，，递增；时，，递减；所以极大值，无极小值；当时，，此时：因为时，，递减；时，，递增；所以极小值，无极大值；当时，，又在递增，所以在上有唯一零点，且，易证：时，，所以，所以，又在递减，所以在上有唯一零点，且，故：当时，，递减；当，，递增；当时，，递减；当，，递增；所以，极大值，，极小值．极小值【解析】求导，根据导数和函数的单调性关系即可求出，需要分类讨论，根据导数和函数的极值的关系，即可求出．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，曲线：，曲线：为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．求曲线，的极坐标方程；已知射线l：与曲线，分别交于点A，异于原点，当时，求的取值范围．【答案】解：因为：，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线：，，则曲线的极坐标方程为．由得，，，因为，则，故的取值范围是【解析】由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程，从而能求出曲线的极坐标方程；由曲线：，，能求出曲线的极坐标方程．由，，能求出的取值范围．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段的平方和的取值范围的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知函数的最小值为3．求的值；若，，求证：．【答案】解：，所以，即；证明：由，则原式等价为：，即，而，故原不等式成立．【解析】根据绝对值不等式的性质求出的值即可；求出，根据基本不等式的性质证明即可．本题考查了绝对值不等式的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题．。
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学四模试卷(理科)
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)设集合A=[1，2]，B={x∈Z|x 2-2x-3＜0}，则A∩B=（）A．[1，2]B．（-1，3）C．{1}D．{1，2}2．(★)若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z 1=2-i，则复数=（）A．-1B．1C．-+i D．-i3．(★)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为（）A．48里B．24里C．12里D．6里4．(★)若P（x，y）是满足约束条件，且=2，则z的最大值为（）A．1B．4C．7D．105．(★★)为了估计椭圆=1在平面内围成的面积，用随机模拟的方法由计算机设定在x∈[0，2]，y∈[0，2]内随机产生10个随机数组（x i，y i）如表，得到10个随机点M i（x i，y i），i∈[1，10]，i∈N，则由此可估计该椭圆所围成的面积为（）A．3.2B．6.4C．8D．2π6．(★★)一个几何体三视图如下，则其体积为（）A．12B．8C．6D．47．(★★)如图所示的程序框图，若输入a=101201，则输出的b=（）A．64B．46C．289D．3078．(★★)已知函数f（x）=2cosx（msinx-cosx）+1的一条对称轴方程为，则函数f （x）的最大值为（）A．1B．C．D．29．(★★)已知直线l：ax+2by-1=0被圆x 2+y 2=4截得的弦长为，则3a+2b的最大值为（）A．B．10C．D．510．(★★)已知△ABC中，|AB|=2，|AC|=4，∠BAC=60°，P为线段AC上任意一点，则•的范围是（）A．[1，4]B．[0，4]C．[-2，4]D．[-，4]11．(★★★)已知三棱锥D-ABC所有顶点都在球O的球面上，△ABC为边长为的正三角形，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，且AD=8，二面角C-AB-D为120°，则球O的表面积为（）A．B．124πC．D．31π12．(★★★)已知抛物线y 2=4x，过焦点F的弦AB（点A在一象限），P（0，6），O为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为（）A．B．C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(★★)ln（2x-1）＜0的解集为．14．(★★)一个工人准备把4件相同的货物全部搬运至仓库，每次最少搬运1件，最多搬运2件，则他不同的搬运种数为（填写准确数字）15．(★★★)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且，则S △ABC= ．16．(★★★)函数 有公切线y=ax （a ＞0），则实数m 的值为三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(★★★)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4-S 2=7a 1，S 5=30． （1）求{a n }的通项公式a n ； （2）设b n = ，数列{b n }的前n 项和T n ＜log 2（m 2-m ）对任意n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围．18．(★★★)某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：mg ）进行统计．规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．（1）完成以2×2下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ξ为“植株死亡”的数量，求ξ得分布列和期望E ξ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η． 参考数据： K 2=，其中n=a+b+c+d19．(★★★★)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为等腰梯形，且AB∥DC，AC⊥BD，．（1）若，试确定实数λ的值，使PA∥面MBD；（2）若∠APC=90°，求直线AP与面PBC所成角的正弦值．20．(★★★★★)已知点F（-2，0）及直线，若动点P到直线l的距离d满足．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设P在x轴上方，斜率为正的直线PF交轨迹C于另一点Q，若以P为圆心，PQ为半径的圆与直线l没有公共点，求直线PF斜率k的取值范围．21．(★★★★★)已知函数f（x）=mx 2+nx-xlnx（m＞0），且f（x）≥0．（1）求的最小值；（2）当取得最小值时，若方程e x-1+（1-2a）x-af（x）=0无实根，求实数a的取值范围．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★★★)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的直角坐标方程为x+y-1=0，曲线C的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=2asinθ（a＞0）．（1）设t为参数，若，求直线l的参数方程及曲线C的普通方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B，设P（1，0），且|PA|，|AB|，|PB|依次成等比数列，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★★★)已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|的最大值为t．（1）求t的值以及此时的x的取值范围；（2）若实数a，b满足a 2+2b=t-2，证明：2a 2+b 2≥．。
2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学试卷(四)含答案
x2 y 2 12．设双曲线 C : 2 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， F1 F2 2c ，过 a b
3a F2 作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A ，已知 Q c, ， F2Q F2 A ，点 P 是双 2
9．已知偶函数 f x 在 0, 单调递减，若 f 2 0 ，则满足 xf x 1 0 的的取值范 围是（ ） B． 1, 0 3, D． 1, 0 1,3
曲线 C 右支上的动点，且 PF1 PQ A． , 1 0,3 C． , 1 1,3 ）
B．
5 2
C．
3 2
D．
1 2
4．已知等差数列 an 的前项和为 S n ，且 S9 6 ，则 tan a5 （
3 3
）
★ 祝考试顺利 ★
注意事项： 1 、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2 、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13)~(21) 题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第 (22)~(23) 题为选考题，考生根据要求作答。
则坐标原点与点 （x, y ) 连线倾斜角小于
1 16
的概率为（ 3
）
A．
B．
3 16
C．
3 3 16
D．
3 3 32
二、填空题：本大题共 4 视图如图所示（单位： cm ） ，则该几何体的侧面积是________ cm 2 ．
湖北省武汉市2018年高三四月调研测试数学理试卷及答案
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i +B ．2i -+ C ．2i --D ．2i -2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}-3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A ．．5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A ．25B ．310 C ．15D ．1106.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >>7.已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ） A． B． C．( D． 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤，条件q ：2B CA +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A ．6B ．6- C ．24D ．24-10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（ ） A ．2-B ．211 C ．4D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（ ）A．12 D ．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=．14.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++=，且1a =，3b =，2c =，则22a b a c b c ⋅+⋅+⋅=． 15.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为． 16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R =． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11212n n n n n a a a a ---+=+-(2)n ≥.（1）求2a ，3a ；（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC . （2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.19.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）记AB CDλ=，求λ的取值范围.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =14.31=；②2(,)zN μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.21.已知函数()(ln )x f x xe a x x =-+，a R ∈. （1）当a e =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12：CC 二、填空题 13.25 14. 13- 15. (0,)2π三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，而12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=. 而20a >，则23a =. 又由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=. 而30a >，则34a =. ∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--， 则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =⋅⋅⋅=-- 222(1)1a =--0=，而22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列. ∴22(1)n a n -=.而0n a >， 故1n a n =+.18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =. 易证：111AA E A BT ∆≅∆，于是111AA E A BT ∠=∠. 由111190A BT ATB ∠+∠=，知11190AA E ATB ∠+∠=， ∴11A E BT ⊥.显然MT ⊥面11AA B B ，而1A E ⊂面11AA B B ， ∴1MT A E ⊥，又1BT MT T =，∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥. 连11B D ，则1111B D AC ⊥. 又111D M AC ⊥，1111B D D M D =，∴11AC ⊥面11MD B ， ∴111AC MB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A E AC A =，∴1B M ⊥面11A EC .（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF . 易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==11113(23)33332NFC S ∆=⋅⨯=⨯⨯⨯=.对于11A EC ∆，11AC =，1A E =而1EC ，由余弦定理可知11cos EAC ∠==∴11A EC ∆的面积11111sin 2S A C A E EA C =⋅∠12=⨯=由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足111113A EC A EFC S h V ∆-⋅=，则133h =，∴h =，又1FC =1FC 与平面1AEC 所成角为θ，∴sinθ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中，∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩. ∵AB 中点为(1,1)， ∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=. （2）由（1）知12AB x =-==. 设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得CD =∴0)ABk CD λ==≠. ∴2241312kk k λ=++-41132k k=++-. 令13t k k=+， 则4()12g t t =+-，(,[23,)t ∈-∞-+∞. ()g t 在(,-∞-，)+∞分别单调递减，∴2()1gt ≤<或1()2g t <≤故221λ≤<或212λ<≤.即6(1,λ+∈. 20.解：（1）由题意知：∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==. ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=. 而(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞，当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x+-=.∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈. ∴()(ln )x f x xe a x x =-+()t e at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点. ①在0a =时，()t g t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点； ②在0a <时，'()tg t e a =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点； ③在0a >时，由'()0t g t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值(ln )(1ln )g a a a =-. 若0a e <<，(1ln )0g a a =->最小，()g t 无零点； 若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最小，而(0)10g =>， 由于ln ()x f x x=在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>. 从而2()0ag a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞. 22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=. ∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤. 在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤； 在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解； 在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立， 而22(1)x ax a x +--≤+， 或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =. ∴a 的取值为1或1-.。
2018年湖北高考理科数学试题含答案(版)(最新整理)
1(x
0)
时，可得
M
f
(a, b)
c
a
2
b
，即
M
f
(a, b)
为
a, b
的算
术平均数.
（3）当 f x _____(x 0) 时， M f (a,b) 为 a,b 的几何平均数；
（4）当
f
x
_____( x
0) 时，
M
f
(a, b)
为 a, b 的调和平均数
2ab ab
；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
x
3
4
5
6
y
4.0
2.5
0.5
0.5
得到的回归方程为 yˆ bx a ，则（ ）
7
2.0
8
3.0
A. a 0,b 0 B. a 0,b 0 C. a 0,b 0 D. a 0.b 0
5.在如图所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），
中，只有一项是符合题目要求的。
1.
i
为虚数单位，则
1 (
i
)
2
（
）
1 i
A. 1
B. 1
C. i
D. i
3. 设 U 为全集， A, B 是集合，则“存在集合 C 使得 A C, B CU C 是“ A B ”的
（）
5
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，
并有如下关系；
2018年湖北省高考数学理科试卷及解析(全部题目)
2018年湖北省高考数学理科试卷及解读1.i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解读】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B. 34 C.1 D.42【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解读】选C . 因为1r T +=rr r r r r r x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1.3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,UA CB C⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解读】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A =，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解读】选B .画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyzO-中，一个四面体的顶点坐标分别是<0,0,2），<2,2,0），<1,2，1），<2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解读】选D.在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.6.若函数f(x>，()g x满足11()g()d0f x x x-=⎰，则称f(x>，()g x为区间[-1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos22f x xg x x==；②()1,g()1f x x x x=+=-；③2(),g()f x x x x==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是< ）A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解读】选C. 对①，1111 111111(sin cos)(sin)cos|0 2222x x dx x dx x---⋅==-=⎰⎰，则)(xf、)(xg为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对③，1341111()|04x dx x --==⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为< ）A.81B.41C. 43D.87 【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解读】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSP S⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯. 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。
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2018届湖北省联考高考四模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x≥0} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＜0或x＞1}2．设复数z满足z（1+i）=i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．1 D．3．在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为（）A．B．C．D．4．若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，3] B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．[﹣1，1]5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．已知直线l过双曲线Γ： =1（a＞0，b＞0）的一个焦点且与Γ的一条渐近线平行，若l在y轴上的截距为a，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．27．已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．20088．若tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sin cos cosα=（）A．1 B．C．D．9．如图所示，单位位圆上的两个向量相互垂直，若向量满足（）（）=0，则||的取值范围是（）A．[0，1] B．[0，] C．[1，] D．[1，2]10．直线y=kx﹣4，k＞0与抛物线y2=2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，若AB=2BC，则k=（）A．B．C．2D．11．已知函数f（x）=cos（2x+φ），且f（x）dx=0，则下列说法正确的是（）A．f（x）的一条对称轴为x=B．存在φ使得f（x）在区间[﹣，]上单调递减C．f（x）的一个对称中心为（，0）D．存在φ使得f（x）在区间[，]上单调递增12．设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（）A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2020）D．（2020，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（1+x）2017的展开式中，x2017的系数为．（用数字作答）14．已知点（x，y）满足约束条件，则的取值范围为．15．已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则当取得最小值时，f（a+b）= ．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则cosC﹣2sinB 的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知等差数列{an}满足an＞1，其前n项和Sn满足6Sn=an2+3an+2（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）设数列{bn}满足bn=，且其前n项和为Tn，证明：≤Tn＜．18．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，过点C作CO⊥AB，垂足为O，将△OBC沿CO折起，如图2使得平面CBO与平面AOCD所成的二面角的大小为θ（0＜θ＜π），E，F分别为BC，AO的中点（1）求证：EF∥平面ABD（2）若θ=，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值．19．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．20．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）过点A （0，3），与双曲线=1有相同的焦点（1）求椭圆C 的方程；（2）过A 点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C 于P ，Q 两点，则PQ 是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．21．已知函数f （x ）=8a 2lnx+x 2+6ax+b （a ，b ∈R ）（1）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2x ，求a ，b 的值；（2）若a ≥1，证明：∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有＞14成立．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0（1）若直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围；（2）若m=0，求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．2018届湖北省联考高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x≥0} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＜0或x＞1}【考点】交集及其运算．【分析】求函数定义域得集合A，解不等式得集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|y=}={x|x≥0}，B={x|x2﹣x＞0}={x|x＜0或x＞1}，则A∩B={x|x＞1}．故选：C．【点评】本题考查了求函数定义域和解不等式的应用问题，也考查了交集的运算问题，是基础题．2．设复数z满足z（1+i）=i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．1 D．【考点】复数求模．【分析】先求出复数z，然后利用求模公式可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i得z===+i，则则|z|==，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的运算、复数求模，属基础题．3．在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为=，故选：C．【点评】本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式是解决本题的关键．4．若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，3] B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．[﹣1，1]【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可．【解答】解：x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，∴（﹣1，4）⊆（2m2﹣3，+∞），∴2m2﹣3≤﹣1，解得﹣1≤m≤1，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，几何体的体积为=π，故选C．【点评】本题考查三视图，考查几何体体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．6．已知直线l过双曲线Γ： =1（a＞0，b＞0）的一个焦点且与Γ的一条渐近线平行，若l在y轴上的截距为a，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件，求出直线方程，代入焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：不妨设直线l过双曲线的左焦点（﹣c，0），要使l在y轴上的截距为：为a，直线l方程：y=，直线经过（﹣c，0），可得，可得，e，平方化简解得e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．7．已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．2008【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=10时，退出循环，输出的S的值为2000．【解答】解：i=1，s=2017，i=2；s=2016，i=3；s=2016，i=3；s=2016，i=4，s=2016，i=5；s=2015，i=6；s=2010，i=7；s=2009，i=8；s=2008，i=9；s=2007，i=10；s=2000，跳出循环，输出s=2000，故选：B．【点评】本题考查程序框图和算法，考查学生的运算能力．8．若tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sin cos cosα=（）A．1 B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sin cos cosα=sin2α﹣cos2α+3sinαcosα===，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．9．如图所示，单位位圆上的两个向量相互垂直，若向量满足（）（）=0，则||的取值范围是（）A．[0，1] B．[0，] C．[1，] D．[1，2]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先由条件可得出，||=，这样便可由得出，从而得出的取值范围．【解答】解：由条件，，；∵；∴；∴；∴；∴的取值范围为．故选B．【点评】考查向量垂直的充要条件，单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式．10．直线y=kx ﹣4，k ＞0与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于点C ，若AB=2BC ，则k=（ ）A ．B ．C ．2D ．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及相似三角形的性质，即可求得x 1，x 2，由x 1x 2=，代入计算即可求得k 的值．【解答】解：如图，过AB 两点作抛物线的准线抛物线的准线的垂线，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，整理得：k 2x 2﹣（8k+2）x+16=0，则x 1+x 2=，x 1x 2=，显然△CB′B∽△CA′A，则==，由抛物线的定义得： ==，∴=，整理得：4x 2=（x 1+x2）﹣，∴x 2=﹣，则x 1=+，由x 1x 2=，则（+）（﹣）=，由k ＞，0解得：k=，或将选项一一代入验证，只有A 成立，故选：A ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，相似三角形的性质，计算量大，计算过程复杂，考查数形结合思想，属于中档题．11．已知函数f（x）=cos（2x+φ），且f（x）dx=0，则下列说法正确的是（）A．f（x）的一条对称轴为x=B．存在φ使得f（x）在区间[﹣，]上单调递减C．f（x）的一个对称中心为（，0）D．存在φ使得f（x）在区间[，]上单调递增【考点】余弦函数的图象．【分析】利用f（x）=cos（2x+φ），f（x）dx，求出φ值，然后找出分析选项，即可得出结论．【解答】解：f（x）=cos（2x+φ），f（x）dx=sin（2x+φ）=sin（+φ）+sinφ=0，∴tanφ=﹣，解得φ=﹣+kπ，k∈Z．令2x﹣+kπ=nπ，n∈Z，可得x=（n﹣k）π+，令（n﹣k）π+=π， =，矛盾；令2mπ≤2x﹣+kπ≤π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[+mπ， +mπ]，不符合题意，k为偶数，单调减区间为[+mπ， +mπ]，不符合题意；令2x﹣+kπ=π+mπ，x=+（m﹣k）=，∴ =，矛盾；令π+2mπ≤2x﹣+kπ≤2π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[+mπ， +mπ]，符合题意．故选D．【点评】本题主要考查定积分，余弦函数的图象的性质，属于中档题．12．设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（）A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2020）D．（2020，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数的运算．【分析】利用函数的可导性，构造函数g（x）=x3f（x），利用函数的单调性以及不等式，转化求解不等式的解集即可．【解答】解：定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），3f（x）+xf′（x）＞ln （x+1），所以3x2f（x）+x3f′（x）＞x2ln（x+1）＞0（x＞0），可得[x3f（x）]′＞0，所以函数g（x）=x3f（x）在（0，+∞）是增函数，因为（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0，且f（3）=1，所以（x﹣2017）3f（x﹣2017）＞33f（3），即g（x﹣2017）＞g（3），所以x﹣2017＞3，解得x＞2020．则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为：（2020，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的导数，不等式的解集，不等式恒成立问题存在性问题，考查转化思想以及计算能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2016﹣x）（1+x）2017的展开式中，x2017的系数为﹣1 ．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式，求得（1+x）2017的展开式的通项公式，可得（2016﹣x）（1+x）2017的展开式中，x2017的系数．=x r，【解答】解：由于（1+x）2017的展开式的通项公式为Tr+1分别令r=2017，r=2016，可得（2016﹣x）（1+x）2017的展开式中x2017的系数为2016﹣=2016﹣2017=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题14．已知点（x，y）满足约束条件，则的取值范围为[﹣，] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z=的几何意义求出其范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：z=的几何意义是可行域内的点与（﹣3，0）连线的斜率：结合图形可知在A处取得最大值，在B处取得最小值，由：解得A（2，4），z=的最大值为：；由解得B（﹣1，﹣3），z=的最小值为：﹣．则的取值范围为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，判断目标函数的几何意义是解题的关键，是一道中档题．15．已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则当取得最小值时，f（a+b）= 1﹣2lg2 ．【考点】基本不等式．【分析】根据函数的性质可得ab=1，再根据基本不等式得到当取得最小值，a，b的值，再代值计算即可【解答】解：由f（a）=f（b）可得lgb=﹣lga，即lgab=0，即ab=1，则==4a+b≥2=4，当且仅当b=4a时，取得最小值，由，可得a=，b=2，∴f（a+b）=f（）=lg=1﹣2lg2，故答案为：1﹣2lg2．【点评】本题主要考查函数的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生的逻辑推理能力．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则cosC﹣2sinB 的最小值为﹣1 ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理化简已知等式可求b2+c2﹣a2=bc，进而利用余弦定理可求cosA=，可得A=，C=﹣B，利用三角函数恒等变换的应用化简可得cosC﹣2sinB=﹣sin（B+），进而利用正弦函数的图象和性质可求最小值．【解答】解：在△ABC中，∵ =，∴=，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=，C=﹣B，∴cosC﹣2sinB=cos（﹣B）﹣2sinB=﹣sinB﹣cosB=﹣sin（B+）≥﹣1，当B+=时等号成立，即当B=，C=时， cosC﹣2sinB的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算求解能力和转化思想，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知等差数列{an }满足an＞1，其前n项和Sn满足6Sn=an2+3an+2（1）求数列{an }的通项公式及前n项和Sn；（2）设数列{bn }满足bn=，且其前n项和为Tn，证明：≤Tn＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n=1、2时，解得a1．a2，利用公差d=a2﹣a1=3．可得an=a1+（n﹣1）d=3n﹣1．（2）由（1）可得an =3n﹣1．利用“裂项求和”即可得出数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵6S n =a n 2+3a n +2，∴6a 1=a 12+3a 1+2， 解得a 1=1或a 1=2．∵a n ＞1，∴a 1=2．当n=2时，6S 2=a 22+3a 2+2，即6（2+a 2）=a 22+3a 2+2，解得a 2=5或a 2=﹣2（舍）．∴等差数列{a n }的公差d=a 2﹣a 1=3． ∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n ﹣1．前n 项和S n =．（2），前n 项和为T n =b 1+b 2+b 3+…+b n ==∵b n ＞0，∴，∴≤T n ＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的定义与通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图1，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2CD=4，AD=2，过点C 作CO ⊥AB ，垂足为O ，将△OBC 沿CO 折起，如图2使得平面CBO 与平面AOCD 所成的二面角的大小为θ（0＜θ＜π），E ，F 分别为BC ，AO 的中点（1）求证：EF ∥平面ABD（2）若θ=，求二面角F ﹣BD ﹣O 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过点E 作EH ∥BD ，交CD 于点H ，连结HF ，推导出平面EHF ∥平面ABD ，由此能证明EF ∥平面ABD ．（2）由题得平面CBO 与平面AOCD 所成二面角的平面角为∠BOA=θ，连结BF ，以点F 为坐标原点，以FO ，FH ，FB 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BD﹣O的余弦值．【解答】证明：（1）过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，则H为CD中点，∴HF∥AD∵AD⊂平面ABD，HF⊄平面ABD，∴HF∥平面ABD，同理，EH∥平面ABD，∵EH∩HF=H，∴平面EHF∥平面ABD，∵EF⊂平面EHF，∴EF∥平面ABD．解：（2）由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，连结BF，∵θ=，OB=2，OF=1，∴BF⊥AO，以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，0），B（0，0，），D（﹣1，2，0），O（1，0，0），设平面FBD的法向量=（x，y，z），则，取x=2，解得=（2，﹣1，0）同理得平面BDO的一个法向量=（，1），设二面角F﹣BD﹣O的平面角为α，cosα===，∴二面角F﹣BD﹣O的余弦值为．【点评】本题考查空间直线与增面的位置关系、空间角、数学建模，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．19．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P．（2）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（2）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．E（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）过点A （0，3），与双曲线=1有相同的焦点（1）求椭圆C 的方程；（2）过A 点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C 于P ，Q 两点，则PQ 是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c ，由A 点，可得b ，求得a ，即可得到椭圆方程；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线AP 的斜率为k ，直线AQ 的斜率为﹣，直线AP 的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，求得P 的坐标，k 换为﹣，可得Q 的坐标，求出直线PQ 的斜率，以及方程，整理可得恒过定点．【解答】解：（1）双曲线=1的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），可得椭圆中的c=3，由椭圆过点A （0，3），可得b=3，则a==6，则椭圆的方程为+=1；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线AP 的斜率为k ，直线AQ 的斜率为﹣，直线AP 的方程为y=kx+3，代入椭圆x 2+4y 2﹣36=0，可得（1+4k 2）x 2+24kx=0，解得x 1=﹣，y 1=kx 1+3=，即有P （﹣，），将上式中的k 换为﹣，可得Q （，），则直线PQ 的斜率为k PQ ==，直线PQ 的方程为y ﹣=（x+），可化为x （k 2﹣1）﹣（5y+9）k=0，可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=﹣．则PQ 过定点（0，﹣）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用双曲线的焦点坐标，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数f （x ）=8a 2lnx+x 2+6ax+b （a ，b ∈R ）（1）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2x ，求a ，b 的值；（2）若a ≥1，证明：∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有＞14成立．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，由题意可知，即可求得a ，b 的值；（2）利用分析法，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得结论．【解答】解：（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），求导f′（x ）=+2x+6a ，由曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2x ，则，解得：或，则a ，b 的值0，1或﹣，；（2）证明：①当x 1＜x 2时，则x 2﹣x 1＞0，欲证：∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有＞14成立，只需证∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f （x 2）﹣f （x 1）＞14（x 2﹣x 1）成立， 只需证∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f （x 2）﹣14x 2＞f （x 1）﹣14x 1成立，构造函数h （x ）=f （x ）﹣14x ，则h′（x ）=2x++6a ﹣14，由a ≥1，则h′（x ）=2x++6a ﹣14≥8a+6a ﹣14≥0，∴h （x ）在（0，+∞）内单调递增，则h （x 2）＞h （x 1）成立，∴f （x 2）﹣14x 2＞f （x 1）﹣14x 1成立，则＞14成立；②当x 1＞x 2时，则x 2﹣x 2＜0，欲证：∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有＞14成立，只需证∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f （x 2）﹣f （x 1）＞14（x 2﹣x 1）成立， 只需证∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f （x 2）﹣14x 2＞f （x 1）﹣14x 1成立，构造函数H （x ）=f （x ）﹣14x ，则H′（x ）=2x++6a ﹣14，由a ≥1，则H′（x ）=2x++6a ﹣14≥8a+6a ﹣14≥0，∴H （x ）在（0，+∞）内单调递增，则H （x 2）＜H （x 1）成立，∴＞14成立，综上可知：∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有＞14成立．【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数求函数的单调性及最值，考查分析法证明不等式，考查转化思想，属于中档题．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ﹣4=0（1）若直线l 与曲线C 没有公共点，求m 的取值范围； （2）若m=0，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程为，代入并整理可得t 2+（m ﹣1）t+m 2﹣4=0，利用直线l 与曲线C 没有公共点，即可求m 的取值范围；（2）若m=0，若m=0，直线l 的极坐标方程为θ=，代入C 的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0，利用极径的意义求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x ﹣4=0，即（x ﹣1）2+y 2=5直线l 的参数方程为，代入并整理可得t 2+（m ﹣1）t+m 2﹣4=0∵直线l 与曲线C 没有公共点，∴△=（m ﹣1）2﹣4（m 2﹣4）＜0，∴m ＜﹣﹣2或m ＞﹣+2；（2）若m=0，直线l 的极坐标方程为θ=，代入C 的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0．直线l 被曲线C 截得的弦的端点的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=﹣4，∴直线l 被曲线C 截得的弦长=|ρ1﹣ρ2|==．【点评】本题考查三种方程的转化，考查极径的意义，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017湖北四模）已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，分类讨论，求不等式f（x）＞4的解集；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，利用不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞4为|x﹣2|+|x+1|＞4．x＜﹣1时，不等式可化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣；﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立；x＞2时，不等式可化为（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞，∴x＞；综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，∴2m2﹣m+2，∴0≤m≤1．【点评】本题主要考查绝对值的意义，带由绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．。