高考理科数学试卷(带详解)

·江西卷(理科数学)1.[2019·江西卷] z 是z 的共轭复数， 若z ＋z ＝2， (z －z )i ＝2(i 为虚数单位)， 则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轭复数和复数的运算， 求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ， b ∈R )， 则z ＝a －b i ， 所以2a ＝2， －2b ＝2， 得a ＝1， b ＝－1， 故z ＝1－i.2.[2019·江西卷] 函数f (x )＝ln(2x －x )的定义域为( )A.(0， 1]B.[0， 1]C.(－∞， 0)∪(1， ＋∞)D.(－∞， 0]∪[1， ＋∞) 【测量目标】定义域【考查方式】根据对数函数的性质， 求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由2x －x >0， 得x >1或x <0.3.[2019·江西卷] 已知函数f (x )＝||5x ， g (x )＝2ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1， 则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数【考查方式】给出两个函数， 求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】由g (1)＝a －1， 由()1f g ⎡⎤⎣⎦＝1， 得|1|5a －＝1， 所以|a －1|＝0， 故a ＝1.4.[2019·江西卷] 在△ABC 中， 内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c .若22()c a b ＝－＋6， C ＝π3， 则△ABC 的面积是( )A.3 D.【测量目标】余弦定理， 面积【考查方式】先利用余弦定理求角， 求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab +-＝262ab ab -＝12， 所以ab ＝6， 所以ABC S V ＝1sin 2ab C. 5.[2019·江西卷] 一几何体的直观图如图所示， 下列给出的四个俯视图中正确的是( )第5题图LLJ73-77A B C D【测量目标】三视图【考查方式】给出实物图，判断俯视图【参考答案】B【难易程度】容易【试题解析】易知该几何体的俯视图为选项B中的图形.6.[2019·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652视力性别好差总计男41620女122032总计163652智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652 A.成绩 B.视力 C.智商【测量目标】卡方分布的应用【考查方式】直接给出表格，观察最大变量与性别的关系【参考答案】D【难易程度】中等()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯， ()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯， ()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.分析判断24χ最大， 所以选择D. 7.[2019·江西卷] 阅读如程序框图， 运行相应的程序， 则程序运行后输出的结果为( )第7题图 LLJ78A.7B.9C.10D.11【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图， 分析每一次执行的结果并判断是否满足条件， 最后得出答案. 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】当1i =时， 10lglg33S =+=->-1,123i =+=,3lg3lg lg55S =-+=->-1, 325i =+=,5lg 5lg lg 77S =-+=->-1， 527i =+=,7lg 7lg lg 99S =-+=->-1 729i =+=,9lg9lg lg1111S =-+=-<-1所以输出9i =.8.[2019·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ， 则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.13- C.13D.1 【测量目标】定积分【考查方式】给出函数的表达式， 求积分 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】1()0f x dx ⎰＝()211200x f x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝130112()03x f x dx x ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰＝112()03f x dx +⎰,得1()0f x dx ⎰＝13－. 9.[2019·江西卷] 在平面直角坐标系中， A ， B 分别是x 轴和y 轴上的动点， 若以AB 为直径的圆C 与直线2xA.4π5B.3π4C.(625)π-D.5π4【测量目标】直线与圆的位置关系， 面积和最值 【考查方式】已知直线与圆的位置关系， 求圆的面积 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由题意知， 圆C 必过点O (0， 0)， 故要使圆C 的面积最小， 则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径， 即2=5r ,所以=5r ， 所以4=π5S10.[2019·江西卷] 如图所示， 在长方体ABCD 1111A B C D 中， AB ＝11， AD ＝7， 1AA ＝12.一质点从顶点A 射向点E (4， 3， 12)， 遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)， 将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为(234)i L i ＝，，， 1L ＝AE ， 将线段1234L L L L ，，，竖直放置在同一水平线上， 则大致的图形是( )第10题图LLJ79A B C D 第10题图 LLJ80-83【测量目标】投影， 直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形 【参考答案】C 【难易程度】中等【试题解析】由题意， 1L ＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4， 3， 0)， 根据光的反射原理知， 直线 AE 和从点E 射向点1E 的直线1E E 关于EF 对称， 因此1E (8， 6， 0)， 且21L L ＝＝13.此时， 直线1EE 和从点1E 射出所得的直线12E E 关于过点1E (8， 6， 0)和底面ABCD 垂直的直线对称， 得2E ' (12， 9， 12).因为12>11， 9>7， 所以这次射出的点应在面11CDD C 上， 设为2E ， 求得31213==3L E E ， 321L L L <＝最后一次， 从点2E 射出， 落在平面1111A B C D 上， 求得4326>3L L =,故选C.【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质， 求最值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】易知|x －1|＋|x |≥1， 当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立.故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. [2019·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.1cos sin ρθθ=+， π02θ剟 B.1cos sin ρθθ=+， π04θ剟 C.ρ=cos sin θθ+， π02θ剟 D.ρ=cos sin θθ+， π04θ剟 【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程转化成极坐标方程 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】依题意， 方程y ＝1－x 的极坐标方程为()cos sin ρθθ+＝1， 整理得1cos sin ρθθ=+.因为0≤x ≤1， 所以 01y剟， 结合图形可知π02θ剟. 12.[2019·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品， 从中任取4件， 则恰好取到1件次品的概率是________. 【测量目标】超几何分布【考查方式】根据超几何分布的表达式就可以求出概率 【参考答案】12【难易程度】容易【试题解析】由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝1337410C 12C C = 13.[2019·江西卷] 若曲线y ＝ex－上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0， 则点P 的坐标是________.【测量目标】直线与曲线的位置关系【考查方式】根据直线与曲线的位置关系， 求其点的坐标 【参考答案】(－ln 2， 2) 【难易程度】容易【试题解析】设点P 的坐标为00()x y ，， exy '－＝－又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0， 所以0ex －－＝－2， 可得0ln 2x ＝－， 此时y ＝2， 所以点P 的坐标为(－ln 2， 2).14.[2019·江西卷] 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α， 且1cos =α， 向量a ＝3122e e －与b ＝123e e －的夹角为β，【测量目标】平面向量的夹角【考查方式】根据平面向量求其夹角的余弦值【参考答案】3【难易程度】容易【试题解析】cos = ||||ab a b β2215.[2019·江西卷] 过点M (1， 1)作斜率为－12的直线与椭圆22:22=1(>>0)x y C a b a b +相交于A ， B 两点， 若M是线段AB 的中点， 则椭圆C 的离心率等于________. 【测量目标】直线与椭圆的位置关系， 离心率【考查方式】利用交点， 联立方程找出关系， 求其离心率 【参考答案】=2e 【难易程度】中等【试题解析】设点A (11x y ，)， 点B (22x y ，)， 点M 是线段AB 的中点， 所以12x x ＋＝2， 12y y ＋＝2， 且2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差可得22122x x a -＝22122()y y b --， 即12122()()x x x x a +-＝12122()()y y y y b +--， 所以1212y y x x --=y 1－y 2x 1－x 2＝22b a -，即AB k ＝22b a -.由题意可知， 直线AB 的斜率为12-，所以22b a -＝12-， 即a b .又222a b c ＝＋，所以c ＝b ， 2e =. 16. [2019·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x＋θ)＋a cos(x ＋2θ)， 其中a ∈R ， ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a ， π4θ=时， 求f (x )在区间[0， π]上的最大值与最小值； (2)若π2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝0， (π)f ＝1， 求a ， θ的值.【测量目标】三角函数最值， 参数【考查方式】先转化函数解析式， 在利用给定的定义域求其最值， 在求参数的值 【试题解析】(1)f (x )＝sin π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2cos π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(sin x ＋cos x )sin x＝2cos x－2sin x ＝sin π4x ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为x ∈[0， π]， 所以π4－x ∈3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故f (x )在区间[0， π]上的最大值为2， 最小值为－ 1.(2)由()π02π1ff ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 知cos 0θ≠，所以12sin 0(2sin 1)sin 1.a a a θθθ-=⎧⎨--=⎩ 解得1π6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.17.[2019·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{}n a ， {}n b (*0n b n ≠∈N ，)满足1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0.(1)令nn na cb =， 求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b －＝， 求数列{}n a 的前n 项和.n S【难易程度】容易【测量目标】等差数列， 错位相减【考查方式】先求出等差数列， 再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0， *0)n b n ≠∈N ，(， 所以11n n a b ++－nna b ＝2， 即1n n c c ＋－＝2， 所以数列{}n c 是以1c ＝1为首项， d ＝2为公差的等差数列， 故21.n c n ＝－(2)由13n n b －＝， 知1(21)3n n a n －＝－，于是数列{}n a 的前n 项和n S ＝0121133353(21)3n n ⨯⨯⨯⋯⨯－＋＋＋＋－，3n S ＝1211333(23)3(21)3n n n n ⨯⨯⨯⨯L －＋＋＋－＋－，将两式相减得－2n S ＝1＋1212(333)(2n n ⨯L －＋＋＋－－1)32(22)3n n n ⨯⨯＝－－－， 所以(1)31.n n S n ＝－＋18. [2019·江西卷] 已知函数f (x )＝()2x bx b ++∈R . (1)当b ＝4时， 求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 求b 的取值范围.【测量目标】极值， 单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值， 再利用单调性求参数的取值范围 【试题解析】(1)当b ＝4时， f ′(x )＝12x-， 由f ′(x )＝0， 得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈ (－∞， －2)时，f ′(x )<0， f (x )单调递减；当x ∈ (－2， 0)时， f ′(x )>0， f (x )单调递增；当x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<， f (x )单调递减， 故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0， 在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2) f ′(x )＝12x-， 易知当x ∈10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭时，<012x -， 依题意当x ∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时， 有5x ＋(3b －2)… 0， 从而53＋(3b －2)… 0， 得1.9b …所以b 的取值范围为1,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19.[2019·江西卷]如图， 四棱锥P ABCD 中， ABCD 为矩形， 平面P AD ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥PD .(2)若∠BPC ＝90︒， PB ＝2， PC ＝2， 问AB 为何值时， 四棱锥P ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值.第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系， 夹角的余弦值， 法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系， 在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明：因为ABCD 为矩形， 所以AB ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面P AD ， 故AB ⊥PD .(2)过P 作AD 的垂线， 垂足为O ， 过O 作BC 的垂线， 垂足为G ， 连接PG .故PO ⊥平面ABCD ， BC ⊥平面POG ， BC ⊥PG .在Rt △BPC 中， PG 23， GC 26， BG ＝63.设AB ＝m ， 则OP ＝22PG OG -＝243m -， 故四棱锥P -ABCD 的体积为2214=686333m V m m m -=-.因为2248686m m m m -=-2228633m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 所以当m ＝63 即AB ＝63四棱锥P -ABCD 的体积最大.此时， 建立如图所示的空间直角坐标系， 各点的坐标分别为O (0， 0， 0)， B 66⎫⎪⎪⎝⎭，C626,,0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D⎝⎛⎭⎫0，263，0，P60,0,⎛⎫⎪⎪⎝⎭，故BPu u u r＝6266,,⎛⎫⎪⎪⎝⎭，BCuuu r＝(0，6，0)，6,0,0CD⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r.设平面BPC的法向量1(,,1),n x y=u u r则由1n PC⊥u u r u u u r,1n BC⊥u u r u u u r得626660x yy⎧+-=⎪⎨⎪=⎩，解得1,0,x y==1(1,0,1),n=u u r同理可求出平面DPC的法向量21(0,,1),2n=u u r，从而平面BPC与平面DPC夹角θ的余弦值为121210cos.||||1214n nn nθ⋅===⋅⋅+u u r u u ru u r u u r第19题图LLJ84b21.[2019·江西卷] 随机将()1,2,,2,2n n n*⋅⋅⋅∈N…这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为1a，最大数为2a；B组最小数为1b，最大数为2b，记2112,a ab bξη=-=-(1)当3n=时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C发生的概率()P C；(3)对(2)中的事件,C表示C的对立事件，判断()P C和()P C的大小关系，并说明理由.【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率，数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望，在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当3n=时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有3620C=种，所以ξ的分布列为:ξ 2 3 4 5P 1531031015133172345.5101052Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n-+-L又ξ和η恰好相等且等于1n-时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于(1,2,,2),(3)n k k n n+=-L…时，不同的分组方法有22C kk种；所以当2n=时，42()63P C==;当3n…时,222(2C)nkk-+∑1()(),P C P C <等价于22214(2C )C n knk n k -=+<∑①.用数学归纳法来证明：1o 当3n =时， ①式左边124(2C )16,=+=①式右边36C 20,==所以①式成立.2o假设(3)n m m =…时①式成立， 即22214(2C )C m k mk m k -=+<∑成立.那么， 当1n m =+时，①式左边122112222222114(2C)4(2C )4C C 4C m m k k m m m kk m m m k k +--++++===+=++<+∑∑(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++2112222(1)(2)(22)!(4)2(1)C C (1)!(1)!(21)(21)m m m m m m m m m m m m m m +++++-+<=⋅<+++-=①式右边.即当1n m =+时①式也成立,综合1o 2o 得， 对于3n …的所有正整数， 都有()()P C P C <成立.20. [2019·江西卷] 如图， 已知双曲线()22:210x C y a a-=>的右焦点F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF OB ⊥， BF OA P (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线0:021x y l y y a -=与直线AF 相交于点M ， 与直线23=x 相交于点N ， 证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值， 并求此定值第20题图 LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点， 直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程， 再利用直线与曲线的位置关系求第二问【试题解析】(1)设(,0)F c ， 因为1b =， 所以21c a +直线OB 方程为1y x a =-， 直线BF 的方程为1()y x c a =-， 解得(,)22c c B a -,又直线OA 的方程为1y x a =， 则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ， 所以31()1a a -=-， 解得23a =， 故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由(1)知3a = 则直线l 的方程为0001(0)3x xy y y -=≠， 即0033x x y y -=,因为直线AF 的方程为2x =， 所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y -,直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-,则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-,因为是C 上一点， 则2200 1.3x y -=， 代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-， 所求定值为23MF NF =。