天津市和平区高三数学理科第二学期第一次质量调查
天津市和平区高三数学第一次质量调查(一模)考试试题
和平区2016-2017学年度第二学期高三第一次质量调查数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+- ，若{1,2}A B =-I ，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-2 2、设变量,x y 满足约束条件3010230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数32z x y =+的取值范围是A ．[]6,22B ．[]7,22C ．[]8,22D ．[]7,233、在ABC ∆中，若4,3AB AC BC ===，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．459 4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32 B ．53C ．4124D ．10360 5、“125x x ++-≤”是“23x -≤≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP ∆为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP ∠的度数为A ．030B ．060C ．0120D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BAD AB AD π∠===， 若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC AD DC λ==, 其中[]0,1λ∈，则AN BM ⋅u u u r u u u u r 的取值范围是A ．[]3,1--B ．[]3,1-C ．[]1,1-D ．[]1,38、已知函数()2223,2213,2x x x f x x x x ⎧+-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x m -=恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范围是A ．[]0,4B ．(0,4)C ．(4,5)D ．(0,5)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..9、已知复数121i a bi i +=++，则a b += 10、8()x y y x-的展开式中2x 的系数为 （用数字作答） 11、已知一个几何体的三视图如右图所示（单位：cm ）则该几何体的体积为 3cm 12、在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程是312(12x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，则圆C 的圆心到直线l 的距离为13、已知()3236,()1,()9f x x x x f a f b =++==，则a b +的值为 14、若不等式223()x y mx x y +≥+对于,x y R ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分13分）已知函数()223sin()cos()2cos ()(0)444f x ax ax ax a πππ=--+->，且函数的最小正周期为2π. （1）求a 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值.16、（本小题满分13分）理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可)；（2）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如下表：规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,//,,2,ABCD AB DC DA AB AB AP ⊥== 1,DA DC E ==为PC 上一点，且23PE PC =. （1）求PE 的长；（2）求证：AE ⊥平面PBC ；（3）求二面角B AE D --的度数.18、（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知111,21()n n a a S n N ++==+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若31n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(23,1)，且以椭圆的短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.（1）求椭圆E 的方程；（2）设(,)P x y 是椭圆E 上的动点，(2,0)M 为以定点，求PM 的最小值及取得最小值时点P 的坐标.20、（本小题满分14分）设函数()21ln ,(0)2f x x a x a =+<.（1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线斜率为12，求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设()2(1)g x x a x =--，当1a ≤-时，讨论()f x 与()g x 图象交点的个数.。
2024届天津和平区高三一模数学试题(含答案与解析)
2024届天津和平区高三一模考试试卷数 学温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 球的表面积公式24S R π=球，其中R 表示球的半径.如果事件A 、B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ . 如果事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =.一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}N 22,Z 2A x x B x x =∈-≤<=∈<，集合C A B = ，则集合C 的子集个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数()32x f x x =+的图象大致是（ ）A. B.C. D.3. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若1321,,4a a a 成等差数列，则91089a a a a +=+（ ）A.1+B.1-C. 4+D. 4-4. 已知,a b ∈R ，则“222a b +>”是“2a b +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ）①估计居民月均用水量低于31.5m 的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为32.1m ；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于33m 的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间(]1.5,2中应抽取4人. A. 1B. 2C. 3D. 46. 设131122112,log 3log 9,32ab c -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 已知函数22()sin cos (),()f x x x x f x =-∈'R 是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（ ） A. 函数π2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 B. 函数()f x 与()f x '值域相同 C. 函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D. 函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 8. 若三棱台111ABC A B C -上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260π的球O的表面上，112AB A B ==，则三棱台111ABC A B C -的高为（ ） AB. 8C. 6或8D. 或69. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，1112F AF B =，2ABF △的面积为220F A F B ⋅> ，若双曲线C 的实轴长为4，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22142x y -=B. 22144x y -=C. 221424x y -=D.221169x y -= 第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10. i 为虚数单位，复数1i z =+则3i z +=_______.11.在52x ⎛- ⎝的二项展开式中，3x 的系数为_______（请用数字作答）. 12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习的的.强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X 的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______.13. 圆226160x y y ++-=与抛物线()220x py p =>的准线相交于A ，B 两点.若6AB =，则抛物线的焦点坐标为_______.14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M 在正六边形的边上运动，动点,A B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称.（i ）请用,MA MB 表示MO = _______；（ii ）请写出MA MB ⋅的取值范围_______.15. 若函数()23π()sin π4344f x a x ax x a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭（其中0a >）在区间[]0,5上恰有4个零点，则a 的取值范围为___________________.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，其中2,a b c =+=，且sin A C =.（1）求c 的值； （2）求tan A 的值；（3）求cos 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，3PD AD ==，点,E F 分别是棱PA ，PC 的中点，点M 是线段BC 上一点.（1）求证：PB ⊥平面EFD ；（2）求平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值； （3）若直线MF 与平面ABCDMC 的长度. 18. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆C 的方程； （2）设不过原点O的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为T ，直线OT 与椭圆C 交于两点M ，N ，证明：TP TQ TM TN ⋅=⋅. 19. 若数列{}n a满足)1n a n *+=∈N ，其中0,0n d a ≠>，则称数列{}n a 为M 数列.（1）已知数列{}n a 为M 数列，当11,1d a ==时. （ⅰ）求证：数列{}2n a 是等差数列，并写出数列{}()n a n *∈N通项公式；（ⅱ）()()242*1(1)nkn kkk T a a n =⎡⎤=+-∈⎣⎦∑N ，求()*11nk kn T =∈∑N . （2）若{}n a 是M 数列()n *∈N ，且0d >，证明：存在正整数n .使得112024ni ia =>∑. 20. 已知函数()1()ln ,()1e (0)x f x x x g x x x -==->，（,e a ∈R 为自然对数底数）. （1）求函数()f x 的单调区间：（2）设()g x 在1x =处的切线方程为()y k x =，求证：当(1,)x ∈+∞时，()()g x k x <；的的（3）若()()(),01,,1.f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，存在123x x x <<，使得()()()123h x h x h x ==，且21x mx =，求证：当()1,2m ∈时，231(2ln 2e)1x x x +<+.参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}N 22,Z 2A x x B x x =∈-≤<=∈<，集合C A B = ，则集合C 的子集个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据集合的交集运算求得集合C ，然后可解. 【详解】因为{}{}0,1,1,0,1A B ==-， 所以{}0,1C A B == ， 所以集合C 的子集个数为224=. 故选：D2. 函数()32x f x x =+的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性可排除C ；利用导数可求得()f x 单调性，由此可排除AD. 【详解】()f x 定义域为R ，()()()3322x x f x f x x x --==-=-++， ()f x \为定义在R 上的奇函数，图象关于坐标原点对称，C 错误；当0x >时，()32x f x x =+，()()()()()232223223022x x x x x f x x x +-+'∴==>++， ()f x \在()0,∞+上单调递增，AD 错误，B 正确.故选：B.3. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若1321,,4a a a 成等差数列，则91089a a a a +=+（ ）A.1+B.1-C. 4+D. 4-【答案】A 【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，且0q >，由等差数列的中项性质列方程计算可得q ，再由等比数列的通项公式计算可得【详解】因为等比数列{}n a 中的各项都是正数，设公比为q ，得0q >，又1321,,4a a a 成等差数列， 可得31212312111222242a a a a a a q a a a q ⨯=+⇒+=⇒+=，又10a ≠，所以2220q q --=，解得1q =1q =， 又0q >，所以1q =+则()()991098988111a q a a a q a a a q a ++====+++，故选：A4. 已知,a b ∈R ，则“222a b +>”是“2a b +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【解析】【分析】根据题意，利用特例可判定充分性不成立，结合直线与圆的位置关系，可判定必要性成立，即可得到答案.【详解】例如：12a b ==，此时22225a b =+>，但122a b +=+<，所以充分性不成立；设直线:2l x y +=，圆22:2C x y +=，则圆心为(0,0)O ，半径为r =可得圆心(0,0)O 到l 的距离为d r ===，此时直线l 与圆C 相切，所以2x y +>与圆C 没有公共点，即满足不等式2a b +>的点(,)a b ，使得222a b +>恒成立，即必要性成立， 所以“222a b +>”是“2a b +>”的必要不充分条件. 故选：B.5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ）①估计居民月均用水量低于31.5m 的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为32.1m ；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于33m 的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间(]1.5,2中应抽取4人. A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】由频率分布直方图求频率判断①，结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判断②；用频率估计总体即可判断③，结合分层抽样的概念即可判断④.【详解】由频率分布直方图可知，居民月均用水量低于31.5m 的概率为()0.20.30.50.25P =+⨯=，故①正确；前三组的频率之和为(0.20.30.4)0.50.4550%++⨯=<，而前四组频率之和为(0.20.30.40.5)0.50.750%+++⨯=>，故中位数位于[)2,2.5，由0.50.4520.5 2.10.70.45-+⨯=-，可以估计居民月均用水量的中位数约为32.1m ，②正确；估计40万居民中月均用水量不低于33m 的人数为4000000.1560000⨯=，③正确；根据用水量对这100位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取20人，则在用水量31.52m 中应抽取()200.40.54⨯⨯=人，④正确.故选：D6. 设131122112,log 3log 9,32a b c -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得a 最小，再利用33b c >得出,b c 大小.【详解】由123a⎛⎫= ⎪⎝⎭可得1133log 2log 10a =<=，11122221log 3log 9log log 313b =-==>，11331202c -⎛⎫===> ⎪⎝⎭， 下面比较,b c ，因为2322328⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以3232>，所以32223log 3log 22b =>=，而333327228c ⎛⎫==<=⎪⎝⎭，故32c <，所以c b <， 综上，b c a >>. 故选：B7. 已知函数22()sin cos (),()f x x x x f x =-∈'R 是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（ ） A. 函数π2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 B. 函数()f x 与()f x '的值域相同 C. 函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D. 函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】D 【解析】【分析】化简()f x 并求导，结合值域，对称性，单调性逐项判断即可. 【详解】由题意，22()sin cos cos 2,()2sin 2f x x x x f x x =-=-'=， 对A, ππcos 2cos 222f x x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，故A 错误； 对B ，易知()f x 的值域为[]1,1-，()f x '的值域为[]22-,，故B 错误； 对C , ππ(cos 042f =-=,故C 错误； 对D, ()πππ2π,,2,0,π6333x x ⎛⎫⎛⎫∈∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,cos 2y x =单调递减，故()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D正确. 故选：D.8. 若三棱台111ABC A B C -的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260π的球O的表面上，112AB A B ==，则三棱台111ABC A B C -的高为（ ）A. B. 8C. 6或8D. 或6【答案】C 【解析】【分析】由题可知，三棱台111ABC A B C -为正三棱台，上下底面的中心1M ，M 连线构成的线段为高，根据球的性质可得17OM =，1OM =，进而可得1M M . 【详解】设球O 的半径为r ，则24π260πr =，得r =，如图所示，1M 为111A B C △的中心，M 为ABC 的中心，由题意可知，三棱台111ABC A B C -为正三棱台，1MM 为其高，球心O 在1MM 上， 在111A B C △中11114B M A B ==，在ABC中8BM AB ==，故17OM ==，1OM ==，当O 在线段1M M 上时，118M M OM OM =+=，当O 在线段1M M 的延长线上时，116M M OM OM =-=， 故选：C9. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，1112F AF B =，2ABF △的面积为220F A F B ⋅> ，若双曲线C 的实轴长为4，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22142x y -=B. 22144x y -=C. 221424x y -=D.221169x y -= 【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的定义及对称性求出1AF ，2AF ，由余弦定理解三角形可得2c ，即可得解. 【详解】如图，由1112F AF B =及双曲线、直线的对称性可知，1212F A F A =， 则由双曲线定义可知，21124AF AF AF a -=== 所以28AF =，24BF =，所以22222211sin 84sin 16sin 22ABF S AF BF AF B AF B AF B =∠=⨯⨯∠=∠=解得2sin AF B ∠=因为220F A F B ⋅> ，所以2π3AF B ∠=，所以122π3F AF ∠=，由余弦定理可知2221212122π2cos1664321123F F AF AF AF AF =+-=++=， 所以228c =，22228424b c a =-=-=，所以双曲线方程为：221424x y -=故选：C第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10. i 为虚数单位，复数1i z =+则3i z +=_______.【解析】【分析】根据复数的运算及模的定义求解即可.【详解】3i 3i(1i)2i z +=++=+==，故答案11.在52x ⎛- ⎝的二项展开式中，3x 的系数为_______（请用数字作答）. 【答案】80- 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项展开式通项为17102(5)33155C (2)(2)C r rrr rrr r T xxx---+=-=-，令71033r-=，解得3r =, 所以333458C 80T x x =-=-， 故答案为：80-12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X 的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______. 【答案】 ①.95②. 23【解析】【分析】求出随机变量X 的各个取值的概率，求期望，据此求(2)P X ≥即可. 【详解】由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，为则()34310C 410C 12030P X ====，()1264310C C 3631C 12010P X ====， ()2164310C C 6012C 1202P X ====，()36310C 2013C 1206P X ====，所以3119()12310265E X =⨯+⨯+⨯=； 党员甲能通过初试的概率为112(2)(2)(3)263P X P X P X ≥==+==+=. 故答案为：95；2313. 圆226160x y y ++-=与抛物线()220x py p =>的准线相交于A ，B 两点.若6AB =，则抛物线的焦点坐标为_______. 【答案】()0,7 【解析】【分析】根据弦长为6AB =，利用垂径定理可得14p =，进而可得焦点坐标为()0,7.【详解】如图，抛物线()220x py p =>的准线方程为2p y =-， 圆226160x y y ++-=即()22325x y ++=，圆心坐标为()0,3-，半径为5，由垂径定理可得2223522AB p ⎛⎫⎡⎤⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，即23162p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得14p =或2p =-（舍去），故抛物线的方程为228x y =，焦点坐标为()0,7. 故答案为：()0,714. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M 在正六边形的边上运动，动点,A B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称.（i ）请用,MA MB 表示MO = _______；（ii ）请写出MA MB ⋅的取值范围_______.【答案】 ①. 1122MA MB +②. []8,12【解析】【分析】（i ）根据向量线性运算可直接得到结果；（ii ）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为24MO - ；根据正六边形性质可求得MO的范围，由此可得结果.【详解】（i ）,A B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，O ∴为AB 中点，1122MO MA MB ∴=+；（ii ）()()()2MA MB MO OA MO OB MO OA OB MO OA OB⋅=+⋅+=++⋅+⋅ 2224MO OA MO =-=- ；当M 为正六边形顶点时，MO 取得最大值；当OM 与正六边形的边垂直时，MO取得最小值；六边形为正六边形，ODE ∴ 为正三角形，max4MO OD ∴==；作OF DE ⊥，则F 为DE 中点，minMOOF ∴===[]248,12MO ∴-∈ ，即MA MB ⋅的取值范围为[]8,12.故答案为：1122MA MB +；[]8,12.15. 若函数()23π()sin π4344f x a x ax x a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭（其中0a >）在区间[]0,5上恰有4个零点，则a 的取值范围为___________________.【答案】114[,)207⋃3192[,)4203⎧⎫⋃⋃⋃⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分别分析()2434g x ax x a =-++和()3πsin π4h x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点个数求解即可，同时要注意重根问题的检验.【详解】当0a >，设()3πsin π4h x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()2434g x ax x a =-++， 则()g x 为开口向上的二次函数，()()()Δ164344322a a a a =-+=--+， ①当23a =，()0g x =有唯一解3x =，此时()23πsin π34h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23π3π31ππ,34412t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()0h x =有三个解，且均不为3，符合题意； ②当2,03a >∆<，()0g x =无解，故()3πsin π4h x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭区间[]0,5上恰有4个零点，则3π3π5π4π4a ≤-<，解得319420a ≤<，符合题意； ③当20,03a <<∆>，()g x 的对称轴20x a =>，且()()52816,274g a g a =-=-，（i ）当47a =，()()250g g ==，此时()0g x =有两个解：2和5，43π3π59ππ,74428t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()0h x =有三个解，且与()0g x =的解2，5不重合，不合题意， （ii ）当4273a <<，且()()250g g =>，此时()0g x =有两个解，且均属于()2,5，3π3π3ππ,5π444t a x a ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦， 若()0h x =有2个解，故3ππ5π2π4a ≤-<，解得7112020a ≤<，则a ∈∅，舍去；（iii ）若()0h x =有3个解，故3π2π5π3π4a ≤-<，解得113204a ≤<， 若此时()0g x =有2个解，则必须有1个重根，下面检验重根情况：3πππ4a x k -=，则()43=Z 4k x k a +∈，()0h x =的3个解为3711,,444x a a a=， 且[]315(1,2,5411a ∈⊄，[]7735(,2,54211a ∈⊆，[]1111(,5]2,543a ∈⊆， 故重根可能为74a ，114a ，34a. 令()24340g x ax x a =-++=，023a <<，解得12x x ==当2x 重合，若2114x a =，则114a =（0a >），解得42,73a ⎛⎫=⎪⎝⎭，满足题意；若274x a =，则74a =，即14-=，无解；若234x a =，34a =，即54-=，无解；当1x 重合，若134x a =，则34a =47a =<（舍去）；若174x a =，则74a =47a =>，符合题意；若1141x a =，则114a =34-=，无解，舍去； （iv ）当407a <<，()()250g g =<，此时()0g x =有1个解， 设为m ，则()1,2m ∈，3π3π3ππ,5π444t a x a ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，故3π2π5π3π4a ≤-<，解得113204a ≤<， 又407a <<，综合得114207a ≤<，同理（iii ）的分析，[]32115(,1,241611a ∈⊆，[]7735(,]2,54211a ∈⊆， 此时()0h x =有三个解，且与()0g x =的解不重合，符合题意， 综上所述：114207a ≤<或19232020a ≤<或23a = 故答案为：114[,)207⋃3192[,)4203⎧⎫⋃⋃⋃⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题，关键是根据二次函数特征讨论判别式及区间端点与5的关系.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c，其中2,a b c =+=，且sin A C =.（1）求c 的值； （2）求tan A 的值； （3）求cos 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）（2）（3【解析】【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解； （2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解；（3）由二倍角的正余弦公式及两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】sin A C = ，a ∴=，2a b c a =+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩，解得42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，c ∴=.【小问2详解】由余弦定理可得222cos 2c b a A bc +-==，又0πA <<，sin A ∴==sin tan cos A A A ==【小问3详解】因为23cos 22cos 1sin 22sin cos 4,A A A A A =-=-==所以πππcos 2cos 2cos sin 2sin 444A A A ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 17. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，3PD AD ==，点,E F 分别是棱PA ，PC 的中点，点M 是线段BC 上一点.（1）求证：PB ⊥平面EFD ；（2）求平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值；（3）若直线MF 与平面ABCD MC 的长度. 【答案】（1）证明见解析（2 （3）1 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明即可； （2）求平面的法向量，利用向量法求夹角余弦即可；（3）利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，所以以点D 为坐标原点，,,DA DC DP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()()33333,0,0,3,3,0,0,3,0,0,0,0,0,0,3,,0,,0,,2222A B C D P E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3333,0,,0,,2222DE DF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面EFD 的法向量为()1,,n x y z =，则113302233022n DE x z n DF y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1x =，则()11,1,1n =- ，又因为()3,3,3PB =- ，则13PB n =，即1//PB n ，由n ⊥平面EFD ，所以PB ⊥平面EFD【小问2详解】设平面EFD 与平面ABCD 的夹角为θ，平面EFD 的法向量()11,1,1n =- ，平面ABCD 的法向量()20,0,1n =,所以，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅ ，则平面EFD 与平面ABCD【小问3详解】.设MC 长度为(0)m m >，(0),3,M m ， 设直线MF 与平面ABCD 所成角为1θ，因为133sin ,,22MF m θ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ ，2122sin cos ,MF n MF n MF n θ⋅=====⋅，解得1m =，此时MC 的长度为1.18. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆C 的方程； （2）设不过原点O的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为T ，直线OT 与椭圆C 交于两点M ，N ，证明：TP TQ TM TN ⋅=⋅.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 方程组，求得,a b 的值，即可求解；（2）设AB的方程为y x m =+，联立方程组，求得1212,x x x x +，得到()2mT ，再由OT 的方程为y x =，联立方程组，求得(M N ，进而求得27(6)12TM TN m ⋅=-，再由弦长公式，求得PQ ，结合21()2TP TQ PQ ⋅=，即可得证. 【小问1详解】解：由椭圆2222:1x y C a b+=的离心率为12，且过点F 且与x 轴垂直的直线截得的线段长为3，可得22221223c a b a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,a b ==，所以椭圆的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】证明：设直线AB所在的直线方程为(0)y x m m =+≠，联立方程组22143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得223260x m ++-=，所以()()22Δ43260m =-⨯->，解得m <<，设112200(,),(,),(,)P x y Q x y T x y，则21212263m x x x x -+==，所以0x =，则(2m y m =+=，即()2mT ， 所以OT的方程为y x =，联立22143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以(M N ，则27(6)12TM TN m ⋅==-，又由2PQ x =-===，又因为T 的中点，可得22221117()(6)24412TP TQ PQ PQ m ⋅====-，所以TP TQ TM TN ⋅=⋅.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线问题的方法与策略：1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决曲线问题的基础，它能将距离进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 19. 若数列{}n a满足)1n a n *+=∈N ，其中0,0n d a ≠>，则称数列{}n a 为M 数列.（1）已知数列{}n a 为M 数列，当11,1d a ==时. （ⅰ）求证：数列{}2n a 是等差数列，并写出数列{}()n a n *∈N的通项公式；（ⅱ）()()242*1(1)nkn kkk T a a n =⎡⎤=+-∈⎣⎦∑N ，求()*11nk kn T =∈∑N . （2）若{}n a 是M 数列()n *∈N ，且0d >，证明：存在正整数n .使得112024ni ia =>∑. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析，n a =（ⅱ）11222n -+ （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）(ⅰ)根据等差数列定义即可证明并写出通项公式（ⅱ）分组求和得出n T ，利用裂项相消法求解即可；（2）求出1na ，利用放缩法可得1na >，相加相消即可)1112ni ia a d =>∑，据此即可得证.【小问1详解】（ⅰ）由1n a +=()22*11N n n a a n +-=∈，所以数列{}2n a 是首项为21a 公差为1的等差数列，所以()2211n a a n d n =+-=，又因为0n a >，所以)*N n a n =∈.（ⅱ）4242,n na n a n ===，()222422111(1)(1)(1)nnnkkk n kkk k k T a a k k ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=-⋅+-⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑ 设221(1)n kk A k =⎡⎤=-⋅⎣⎦∑，21(1)nkk B k =⎡⎤=-⋅⎣⎦∑，()()()22222222142(1)12342374122nk k n n A k n n n n=+⋅⎡⎤=-⋅=-+-+-+=++-==+⎣⎦∑ ，21(1)12342nkk B k n n =⎡⎤=-⋅=-+-+-+=⎣⎦∑ ，所以()2211111222,2121n n T A B n n n n n T n n n n ⎛⎫=+=++=+==- ⎪++⎝⎭， 111111111111112223121222ni n T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ . 【小问2详解】 若{}n a 是M 数列()n *∈N ，有()2211naa n d =+-，故n a =0d >，即1na==>==，则112ni ia d =>++∑)12a d=，1a -随n 的增大而增大， 若)122024a d->，可得()2120241012n a d >+，因为n *∈N ，故对任意的0d >，总存在正整数n 使)122024a d->，即总存在正整数n ，使得112024ni ia =>∑.【点睛】关键点点睛：本题解题中，对求和要求较高，裂项相消法求和是解决问题关键，其次利用放缩法适当放缩，继续利用裂项相消法是证明的关键. 20. 已知函数()1()ln ,()1e (0)x f x x x g x x x -==->，（,e a ∈R 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间：（2）设()g x 在1x =处的切线方程为()y k x =，求证：当(1,)x ∈+∞时，()()g x k x <；（3）若()()(),01,, 1.f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，存在123x x x <<，使得()()()123h x h x h x ==，且21x mx =，求证：当()1,2m ∈时，231(2ln 2e)1x x x +<+.【答案】（1）单调递增区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导数，解不等式即可得解；（2）求出切线方程，令()()()x k x g x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性，即可得证；（3）由(),()f x g x 的单调性，得出()h x 的单调性，转化为()()()1231,0eh x h x h x t ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，可转化的为231ln 11m x x m m x m ⎛⎫⎛⎫+<++⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，构造函数利用导数求最值即可得证.【小问1详解】因为()ln 1f x x '=+，定义域为()0,∞+， 令()0f x '>，即1ln 1,ex x >->， 所以()f x 递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【小问2详解】 因为()()11e1x g x x -'=-++，所以(1)1g '=-，而(1)0g =，所以()g x 在点(1,0)处切线方程为：()1y k x x ==-+， 当()1,x ∞∈+时，令()()()()1e 21,1,x x k x g x x x x ϕ∞-=-=-+∈+，由e (1)x y x =-+，e1xy '=-，当0x <时，0'<y ，当0x >时，0'>y ，所以e (1)x y x =-+在(,0)-∞递减，在(0,)+∞上单调递增，故0e (01)0y ≥-+=，即e 1(0)x x x >+≠， 所以12e 21210x x x x x --+>-+>，所以()0x ϕ>， 所以()()1e210x k x g x x x --=-+>在(1,)x ∈+∞时恒成立，即(1,)x ∈+∞时，()()g x k x <得证. 【小问3详解】 由题意可知()1ln ,01e ,1x x x x h x x x x -<<⎧=⎨-+≥⎩， 因为1x ≥时，()()1e 1xh x x =-++'，令()()()()()1e 1,2e 0xxw x h x x w x x ''==-++=-+<，所以()h x '在1x ≥时单调递减，所以()()10h x h ''≤<，所以()h x 在(1,)+∞上为减函数，且()10h =，此时()(],0h x ∞∈-， 则由（1）有()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且11e e h ⎛⎫=-⎪⎝⎭，此时()1,0e h x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 的由题意，设()()()1231,0eh x h x h x t ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，设()1y k x x ==-+与y t =交点的横坐标为3x '，则31x t '=-，有33x x '<，因为()()()112211111111ln ln ln ln ln ln mmx x x x t x x mx mx x mx x mx ==⇒=⇒=⇒=，且1ln ln 1m mx m=-，所以111ln ln 1m t x x x m m -⎛⎫== ⎪-⎝⎭，又21x mx =，所以232321111ln 11m x x x x x t mx t m m x m '⎛⎫⎛⎫+<+=+-=-+=++⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 令()ln 1m d m m m m ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则()()()()()2221ln ln ,1,211m m m m m m d m m m m ----==∈--' ()()()()()2221ln ln ,1,211m m mm m mf m m m m ----==∈--'，令ln (1)(0)y x x x =-->，则111xy x x-'=-=， 所以01x <<时，0'>y ，1x >时，0'<y ，所以函数ln (1)(0)y x x x =-->在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以ln (1)ln1(11)0x x --≤--=，即ln 1(1)x x x <-≠，所以()222ln 1210m m m m m m m m -->---=-+>，()0d m '>，所以()d m 在(1,2)m ∈单调递增. 在(1,2)m ∈时，()()222ln 222ln 221d m d <=+=+-， 所以()()231122ln 212ln 2e 1x x x x +<++=+， 所以()2312ln 2e 1x x x +<+.【点睛】关键点点睛：本题第三步证明困难，关键在于由()()()123h x h x h x ==，转化为231ln 11m x x m m x m ⎛⎫⎛⎫+<++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，再利用导数求出1ln 11m m m x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,2)m ∈上的最值.。
天津市和平区2019届高三数学下学期第一次质量调查试题理
天津市和平区2019届高三数学下学期第一次质量调查试题 理温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：[]∙如果事件B A ，互斥,那么 ∙如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P += )()()(B P A P AB P =.∙柱体的体积公式Sh V=. ∙锥体的体积公式Sh V 31=.其中S 表示柱体的底面积, 其中S 表示锥体的底面积,h 表示柱体的高. h 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合}2,1,0{=M ,},11{Z x x x N ∈≤≤-=,则(A) N M ⊆ (B) M N ⊆ (C) {}1,0=N M (D) N N M = (2) 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥,32,3,1y x y x x 则y x z +=2的最大值为(A) 1 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (3) 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(A) 20(B) 30 (C) 40 (D) 50(4) 在△ABC 中,若bc c b a -+=222,4=bc ,则△ABC 的面积为 (A)21(B) 1 (C) 3 (D) 2(5) 不等式01>-xx 成立的充分不必要条件是 (A) 1>x (B) 1->x (C) 1-<x 或10<<x (D) 01<<-x 或1>x [](6) 已知b a 22log log >，则下列不等式一定成立的是(A)b a 11> (B ) 0)ln(>-b a (C) 12<-b a (D) b a )21()31(< (7) 设双曲线122=+ny mx 的一个焦点与抛物线281x y =的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为(A) 2 (B) 3 (C) 22 (D) 32(8) 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=1,24,10,0)(2x x x x g 若关于x 的方程)()(x g m x f =+恰有三个不相等的实数解,则m 的取值范围是(A) ]2ln ,0[ (B) )0,2ln 2(-- (C) (]0,2ln 2-- (D) [)2ln 2,0+第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2023年天津市和平区高三下学期高考一模数学试卷含答案
D. 的图像关于点 对称
7.抛物线 的焦点为 ，其准线与双曲线 的渐近线相交于 两点，若 的周长为 ，则 （）
A 2B. C.8D.4
8.为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm 玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ；
（3）数列 满足 ，记 和 分别为 和 的前 项和，证明： .
19.在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，点 是椭圆与 轴负半轴的交点，点 是椭圆与 轴正半轴的交点，且直线 与圆 相切.
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知斜率大于0的直线 与椭圆 有唯一的公共点 ，过点 作直线 的平行线交椭圆 于点 ，若 的面积为 ，求直线 的方程.
（1）求 的大小：
（2）若 ，
（i）求 的面积；
（ii）求 .
17.在如图所示的几何体中， 平面 平面 ； 是 的中点.
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18.已知数列 为首项 的等比数列，且 成等差数列；数列 为首项 的单调递增的等差数列，数列 的前 项和为 ，且 成等比数列.
10.设 为虚数单位，复数 __________.
11. 的展开式中常数项为__________.
12.直线 与圆 交 ， 两点，若 为等边三角形，则 的值为______．
13.先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“ 为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且 ”，则概率 ___________， ___________.
天津市和平区2015届高三下学期第一次质量调查数学理试题
天津市和平区2015届高三下学期第一次质量调查数学理试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件B A ，互斥,那么如果事件B A ，相互独立,那么 )()()(B P A P B A P += .)()()(B P A P B A P ⋅=⋅.柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示 锥体的体积公式Sh V 31=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.锥体的底面积,h 表示锥体的高.（4）设函数⎪⎩⎪⎨⎧<=-,1,,1,3)(2x x x x f x 若9)(>x f ,则x 的取值范围是（A ）),3()2,(+∞--∞ （B ）)3,2(-（C ）),2()3,(+∞--∞ （D ）),3[]2,(+∞--∞≥（5）设∈a R ,则1>a 是11<a的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件（6）在△ABC 中, 已知M 是BC 的中点,1=AM ,点P 在AM 上且满足PM AP 2=,则)(CP BP AP +⋅等于 （A ）94 （B ）34（C ）34- （D ）94-（7）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-+--+-，，022033,042y x y x y x 则22)1(y x z ++=的最小值为（A ）5 （B ）4 （C ）554 （D ）516 （8）如图,PA 切圆O 于点A ,割线PBC 经过圆心O ,若1==OB PB ,OD 平分AOC ∠,交圆O 于点D ,连接PD 交圆O 于点E ,则PE 的长等于（A ）77（B）773（C ）775 （D ）7第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
天津市和平区2020届高三数学下学期第一次质量调查试题 理
天津市和平区2020届高三数学下学期第一次质量调查试题 理温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：[]•如果事件B A ，互斥,那么 •如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P +=Y )()()(B P A P AB P =.•柱体的体积公式Sh V=. •锥体的体积公式Sh V 31=.其中S 表示柱体的底面积, 其中S 表示锥体的底面积, h 表示柱体的高. h 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合}2,1,0{=M ,},11{Z x x x N ∈≤≤-=,则(A) N M ⊆ (B) M N ⊆ (C) {}1,0=N M I (D) N N M =Y (2) 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥,32,3,1y x y x x 则y x z +=2的最大值为(A) 1 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (3) 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(A) 20(B) 30 (C) 40 (D) 50(4) 在△ABC 中,若bc c b a -+=222,4=bc ,则△ABC 的面积为 (A)21(B) 1 (C) 3 (D) 2 结束输出T 开始?S T >否0,0,1===i T S6+=S S是3+=i i i T T +=输出T(5) 不等式01>-xx 成立的充分不必要条件是 (A) 1>x (B) 1->x (C) 1-<x 或10<<x (D) 01<<-x 或1>x [](6) 已知b a 22log log >，则下列不等式一定成立的是(A)b a 11> (B ) 0)ln(>-b a (C) 12<-b a (D) b a )21()31(< (7) 设双曲线122=+ny mx 的一个焦点与抛物线281x y =的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为(A) 2 (B) 3 (C) 22 (D) 32(8) 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=1,24,10,0)(2x x x x g 若关于x 的方程)()(x g m x f =+恰有三个不相等的实数解,则m 的取值范围是(A) ]2ln ,0[ (B) )0,2ln 2(-- (C) (]0,2ln 2-- (D) [)2ln 2,0+第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
天津市和平区高三数学下学期第一次质量调查试题 理
天津市和平区2015届高三数学下学期第一次质量调查试题 理第Ⅰ卷 选择题（共40分） 注意事项:1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件B A ，互斥,那么•如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P +=Y . )()()(B P A P B A P ⋅=⋅.•柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示•锥体的体积公式ShV 31=. 其中S 表示 柱体的底面积,h 表示柱体的高. 锥体的底面积,h 表示锥体的高.（4）设函数⎪⎩⎪⎨⎧<=-,1,,1,3)(2x x x x f x 若9)(>x f ,则x 的取值范围是 （A ）),3()2,(+∞--∞Y （B ）)3,2(-（C ）),2()3,(+∞--∞Y（D ）),3[]2,(+∞--∞Y（5）设∈a R,则1>a 是11<a 的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件（6）在△ABC 中, 已知M 是BC 的中点,1=AM ,点P 在AM 上且满足PM AP 2=,则)(CP BP AP +⋅等于≥（A ）94（B ）34（C ）34-（D ）94-（7）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-+--+-，，022033,042y x y x y x 则22)1(y x z ++=的最小值为（A ）5（B ）4（C ）554（D ）516（8）如图,PA 切圆O 于点A ,割线PBC 经过圆心O ,若1==OB PB ,OD 平分AOC ∠,交圆O 于点D ,连接PD交圆O 于点E ,则PE 的长等于 （A ）77（B ）773（C ）775（D ）7第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
天津市和平区2019届高三数学下学期第一次质量调查试卷 理(含解析)
天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学（理）试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷选择题（共40分)注意事项：1。
答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3。
本卷共8小题，每小题5分，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集运算得到结果即可。
【详解】集合M=｛0，1,2｝，N=｛x｜x-1≤x≤1,x∈Z｝=｛-1，0，1}则。
故答案为:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算及集合的包含关系,属简单题．2.设变量满足约束条件，则的最大值为( ）A. 1B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最大值时点的坐标，据此求解目标函数的最大值即可。
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数即:，其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C处取得最大值，联立直线方程：,可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项。
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by（ab≠0)的最值,当b＞0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y 轴上截距最小时，z值最大。
3。
执行如图所示的程序框图,则输出的结果为（）A. 20B. 30 C。
40 D. 50【答案】B试题分析:不成立，执行循环体，;不成立，执行循环体，,不成立，执行循环体，，不成立，执行循环体，，成立，退出循环体，输出,故答案为B。
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天津市和平区2008-2009学年度高三第二学期第一次质量调查数学理本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷本卷共10小题，每小题5分，共50分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数2)i 1()i 2)(i 21(-++等于A.25B. 25-C. i 25D. i 25- 2. 设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-02y 2y x 20y x ，则目标函数y x 3z -=的最小值为A. 8-B. 6-C. 4-D. 2-3. 设集合{}{}3x 2x |x B ,0x x |x A 22<-=<-=，则 A. B B A = B. B B A = C. Φ=B AD. R B A =4. 在等比数列{}n a 中，n 1n a a <+，且5a a ,6a a 6482=+=⋅，则75a a 等于 A.65 B. 56 C. 32 D. 23 5. 过点)1,0(-作直线l 与圆020y 4x 2y x 22=---+交于A 、B 两点，如果|AB|=8，则直线l 的方程为A. 04y 4x 3=++B. 04y 4x 3=--C. 01y 04y 4x 3=+=++或D. 01y 04y 4x 3=+=--或6. 如图，在正四面体ABC P -中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论不成立的是A. BC//平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面PAED. 平面PDE ⊥平面ABC7. 已知函数)0(3x sin )x (f >ω⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ω=的最小正周期为π，则该函数的图象A. 关于直线=x 3π对称B. 关于点⎪⎭⎫⎝⎛π0,3对称C. 关于直线6x π-=对称 D. 关于点⎪⎭⎫⎝⎛π0,6对称8.dx x 4222⎰--的值是A.2πB. πC. π2D. π49. 如图，F 为抛物线x 4y 2=的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FC FB FA =++，则|FC ||FB ||FA |++等于 A. 6B. 4C. 3D. 210. 已知0<a<b ，且a+b=1，下列不等式成立的是 A. 0a log 2> B. 12b a >- C. 22ab > D. 2)ab (log 2-<第II 卷本卷共12小题，共100分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
把答案填在题中横线上。
11. 某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则n 等于________。
12. 在如下图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出s 的结果是________。
13. 在62x x 1⎪⎭⎫⎝⎛-的展开式中，3x 的系数是________（用数字作答）。
14. 已知△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则⋅的值为________。
15. 有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有________种（用数字作答）。
16. 如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D 。
若3BC AB ,72CD ===，则BD 的长为________；AC 的长为________。
三、解答题：本大题共6小题，共76分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）在△ABC 中，1010B cos ,4A =π=。
（I ）求cosC ；（II ）设5BC =，求AB 。
18. （本小题满分12分）在4名男生和3名女生中挑选3人参加志愿者服务活动。
（I ）求至多选中1名女生的概率；（II ）记女生被选中的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望。
19. （本小题满分12分） 如图，正四棱锥P —ABCD 的底面边长与侧棱长都是2，点O 为底面ABCD 的中心，M 为PC 的中点。
（I ）求异面直线BM 和AD 所成角的大小；（II ）求二面角M —PB —D 的余弦值。
20. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前三项为a 2,4,1a -，记前n 项和为n S 。
（I ）设2550S k =，求a 和k 的值；（II ）设1n 41173nn b b b b ,nS b -++++=求的值。
21. （本小题满分14分）设A 、B 分别为椭圆⎪⎭⎫⎝⎛>>=+23,1,、)0b a (1b y a x 2222右顶点的左为椭圆上一点，椭圆的长半轴的长等于焦距。
（I ）求椭圆的方程；（II ）设)0x (),x ,4(P ≠，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N ，证明点B 在以MN 为直径的圆内。
22. （本小题满分14分）已知函数]2,0[x ,3x 3x4)x (f 2∈+=。
（I ）求)x (f 的值域；（II ）设0a ≠，函数]2,0[x ,x a ax 31)x (g 23∈-=。
若对任意]2,0[x 1∈，总存在]2,0[x 0∈，使0)x (g )x (f 01=-，求实数a 的取值范围。
【参考答案】一、选择题 1. B 2. C3. A4. D5. C6. D7. B8. C9. A10. D二、填空题 11. 19212. 28613. 20-14. 19-15. 84016.723;4 三、解答题17. （本题12分） 解：（I ）),0(B ,1010B cos π∈=10103B cos 1B sin 2=-=∴ 2分分4Bsin 4sin B cos 4cos B 4cos C cos B 4)B A (C π+π-=⎪⎭⎫⎝⎛+π-=∴⎪⎭⎫⎝⎛+π-π=+-π=分6551010322101022=⨯+⨯-=（II ）),0(C ,55C cos π∈= 552C cos 1C sin 2=-=∴ 8分由已知条件224sin A sin ,5BC =π==根据正弦定理，得Asin BCC sin AB =10分 22225525A sin C sin BC AB =⨯=⋅=∴ 12分 18. （本题12分）解：（I ）在7人中选出3人，总的结果数是35C 37=种，（2分）记“被选中的3人中至多有1名女生”为事件A ，则A 包含两种情形：①被选中的是1名女生，2名男生的结果数是种18C C 2413=，②被选中的是3名男生的结果数是种4C 34=4分∴至多选中1名女生的概率为3522C C C C )A (P 37342413=+=6分（II ）由题意知随机变量ξ可能的取值为：0，1，2，3，则有3518C C C )1(P ,354C C )0(P 3724133734===ξ===ξ， 351C C )3(P ,3512C C C )2(P 3733371423===ξ===ξ 8分∴:的分布列为ξξ12 3P3543518 3512 351 10分∴ξ的数学期望79351335122351813540E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ 12分19. （本题12分） 解：（I ）连接PO ，以OA ，OB ，OP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系。
2分∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都是2。
∴2PO =∴)2,0,0(P ),0,2,0(D ),0,0,2(C ),0,2,0(B ),0,0,2(A --分的中点为∵422,0,22M PC M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴分所成的角为和即异面直线∵6.30AD BM ,30,]180,0[,23|BM ||AD |BM ,AD cos 22,2,22BM ),0,2,2(AD ︒︒>=∴<︒︒>∈<=⋅>=<∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=∴（II ）∵OC PO ,OC BD ),0,0,2(⊥⊥-= ∴OC 是平面PDB 的一个法向量。
8分由（I ）得)2,2,0(-=设平面BMP 的一个法向量为)c ,b ,a (=n则由,⊥⊥n n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-⋅0c 22b 2a 220c 2b 2a 0⎩⎨⎧=-+=∴0c b 2a cb ，不妨设c=1 得平面BMP 的一个法向量为)1,1,1(-=n10分33211)1()0,0,2()1,1,1(OC ,cos 222=⋅++--⋅->=<∴n ∵二面角M —PB —D 小于90°∴二面角M —PB —D 的余弦值为3312分20. （本题12分）解：（I ）由已知得231321a 2a a ,a 2a ,4a ,1a a =+==-=又 3a ,8a 2)1a (==+-∴即 2分 2a a d ,2a 121=-==∴公差由d 2)1k (k ka S 1k -+=，得 4分255022)1k (k k 2=⨯-+即02550k k 2=-+。
解得k=50或51k -=（舍去） 50k ,3a ==∴ 6分（II ）由d 2)1n (n na S 1n -+=，得n n 22)1n (n n 2S 2n +=⨯-+= 8分1n nSb n n +==∴ 9分}b {n ∴是等差数列则)11n 4()111()17()13(b b b b 1n 41173+-+++++++=++++-2n)n 44(+=11分 n 2n 2b b b b 21n 41173+=++++∴- 12分21. （本题14分）解：（I ）依题意得2222c 3c a b ,c 2a =-==1c3y c 4x 2222=+∴ 2分把1c 3y c 4x 23,12222=+⎪⎭⎫⎝⎛代入解得1c 2=∴椭圆的方程为13y 4x 22=+ 4分 （II ）由（I ）得)0,2(B ),0,2(A -，设)y ,x (M 00，如图所示，∵M 点在椭圆上，∴)x 4(43y 2020-=①∵M 点异于顶点A 、B ， ∴2x 20<<-由P 、A 、M 三点共线，可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2x y 6,4P 00，从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-=2x y 6,2BP ),y ,2x (BM 0000 7分∴)y 34x (2x 22x y 64x 2202000200+-+=++-=⋅② 8分将①式代入②式化简得)x 2(25BP BM 0-=⋅ 10分∵0x 20>- ∴0>⋅12分于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，∴点B 在以MN 为直径的圆内。