高三数学微积分基本定理1
高数微积分基本公式大全
∫
⑻
1 ⑼∫ = csc2 xdx = − cot x + c sin 2 x ∫
⑾
x 1 ⑽∫ dx = arctan x + c 1 + x2
∫ cos
1
2
dx = ∫ sec 2 xdx = tan x + c
∫
1 1 − x2
dx = arcsin x + c
六、补充积分公式
∫ tan xdx = − ln cos x + c ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + c
2.二倍角公式
cos( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B
tan( A − B ) = tan A − tan B 1 + tan A tan B cot A ⋅ cot B + 1 cot( A − B ) = cot B − cot A
sin 2 A = 2sin A cos A tan 2 A = 2 tan A 1 − tan 2 A
2
u = cos x
xdx = ∫ f ( tan x )d ( tan x ) xdx = ∫ f ( cot x )d ( cot x )
1
2
u = tan x u = cot x
2
∫ f ( arctan x ) ⋅ 1 + x
dx = ∫ f ( arc ta n x )d ( arc ta n x )
tan
cot
4.和差化积公式
sin a + sin b = 2sin
a+b a−b ⋅ cos 2 2 a+b a −b cos a + cos b = 2 cos ⋅ cos 2 2
高三数学微积分基本定理1(新编201912)
a
a
(4) b a xdx 1 a x b
a
ln a a
(5) b sin xdx cos x b (6) b cos xdx sin x b
a
a
a
a
(2)
(x2)' 2x,
(
1 )' x
1 x2
练习
P55练习 (1)(3)(5)(7)
50,
4 25 ,
3 ln 2, 0
常用积分公式
(1) b xndx 1 xn1 b (n 1)
a
n1 a
2) b 1 dx ln x b (a, b 0) 2 ) b 1 dx ln( x) b (a, b 0)
ax
a
ax
a
b1
b
(2) dx ln x
ax
a
(3) b e xdx e x b
1.6.1 微积分基本定理
一 问题的提出
变速直线运动中位移函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时
间间隔 [T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的位移.
一方面, 变速直线运动中位移为
T2 v(t )dt
T1
另一方面, 这段位移可表示为 s(T2 ) s(T1 )
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
2. 若 F( x) f ( x),则F ( x)称为f ( x)的一个原函数
3. 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．
； 公众号助手 https:// 公众号助手
高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.4 定积分与微积分基本定理
方)； (2)如果在[a，b] 上，f(x)≤0，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝ b b b(a ＜ b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S ＝ |f(x)|dx ＝－
a a
f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方)；
(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在 x 轴上方和下 方都有图象，例如：在(a，c)上位于 x 轴上方，在(c，b)上位于 x 轴下方，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴围成的曲 c b 边梯形的面积为 S＝ f(x)dx＋ |f(x)|dx＝
b b b 4. f(x)dx， |f(x)|dx， | f(x)dx|三者在几何意义上的不同． 当
i 0 n－1
果和式极限存在，则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a，b] b fxdx 上的定积分，记作①______，即 ＝②________.
a
b (2)在 f(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， 区
a
间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数， ⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．
a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分 值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.
3．定积分的基本性质： b (1) kf(x)dx＝⑧____________________________.
c a
b f(x)dx－ f(x)dx.
c
a
c
2．由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝ b b(a＜b)围成的图形的面积为 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
3.6定积分与微积分基本定理
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组第 课时 3.6定积分与微积分基本定理考纲定位 了解定积分的概念及几何意义；了解微积分基本定理.【考点整合】 1、定积分()baf x dx ⎰的几何意义：2、定积分的性质： （1）()______bakf x dx =⎰（2）12[()()]______________baf x f x dx ±=⎰（3）()()______()bc aaf x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰其中3、微积分基本定理一般地,如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数,并且()()F x f x '=,那么()___________baf x dx =⎰【典型例题】一、利用微积分基本定理求函数的积分 1、计算定积分：（1）32(1)xdx +⎰ （2）0sin xdx π⎰ （3）20sin xdx π⎰2、（2010 湖南）421d x x⎰等于（ ） A ．2ln 2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 23、（2011 福建）1(2)xe x dx +⎰等于（ ）A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +4、（2013 湖南）计算1213x dx -⎰的值等于 ．二、利用积分求区域面积5、（2012 湖北）已知二次函数()y f x =的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A.25π B.43 C.32 D.2π6、（2012 福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，xyo y f (x)=abS则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ） A ．41 B ．51 C ．61 D ．71 7、已知函数，则21()f x dx -⎰等于（ ）A ．3B ．4C ．3.5D ．4.58、（2011 湖南）由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12 B ．1 C ．32D ．3【上本作业】已知实数0a ≠，函数2()(2),()f x ax x x R =-∈.（1）若函数()f x 有极大值为3227，求实数a 的值； （2）在第（1）问的前提下，求1()f x dx ⎰的值.【课后反思】3.6定积分与微积分基本定理 参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案122DC2BCCD上本作业：解：（1）32()44f x ax ax ax =-+则2()384(32)(2)f x ax ax a a x x '=-+=--令()0f x '=，则2,23x x ==或， 由于()f x 的极大值为3227，而(2)0f =故232()327f =，所以1a =.（2）32()44f x x x x =-+11324321000141411()(44)(2)|2434312f x dx x x x dx x x x =-+=-+=-+=⎰⎰。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案 定积分与微积分基本定理1
第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C. 答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。
北京四中高三数学高考总复习定积分和微积分基本定理知识梳理
定积分和微积分基本定理【考纲要求】1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念及其基本定理。
2.正确计算定积分,利用定积分求面积。
【知识网络】【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点011i i n a x x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=⋅⋅⋅,作和式11()()n nn i i i i b aI f x f nξξ==-=∆=∑∑,当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作()baf x dx ⎰,即()baf x dx ⎰＝1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑,这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[,]a b 叫做积分区间,函数()f x 叫做被积函数,x 叫做积分变量,()f x dx 叫做被积式.要点诠释：（1）定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 要点二、定积分的性质 （1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）,（2）[]1212()()()()bbbaaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰,（3）()()()bcb aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中b c a <<）,（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数,则()0bb f x dx -=⎰;若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数,则0()2()bbbf x dx f x dx -=⎰⎰.要点三、微积分基本定理定积分的概念定积分的性质微积分基本定理定积分的几何意义及应用如果'()()F x f x =,且)(x f 在[]b a ,上连续,则()()()baf x dx F b F a =-⎰,其中()F x 叫做)(x f 的一个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数,其中c 为常数.一般地,原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()b aF x .因此,微积分基本定理可以写成形式：()()()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰.要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.要点四、定积分的几何意义设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上,当0)(≥x f 时,定积分⎰badx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的面积;如图（1）所示.在[]b a ,上,当0)(≤x f 时,由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方,定积分⎰badx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在[]b a ,上,当)(x f 既取正值又取负值时,定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =,两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正号,在x 轴下方的面积积分时,取负号.如图（2）所示.要点五、应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图,由三条直线x a =,x b =()a b <,x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]bbaaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰;2. 如图,由三条直线x a =,x b =()a b <,x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰;3. 如图,由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =,x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()bb baaaS f x dx f x f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像;（2）借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; （3）写出定积分表达式; （4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ,等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分,即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动,并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <,那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分 （1）⎰-π)cos (sin dx x x ; （2）dx xx x ⎰+-212)1(; （3）⎰-+0)(cos πdx e x x .【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ,∴00(sin cos )(cos sin )2-=--=⎰x x dx x x ππ;（2）∵2321(ln )23'-+=-+x x x x x x, ∴232221115()(ln )ln 2236x x x x dx x x -+=-+=-⎰.（3）∵(sin )cos '+=+x x x e x e ,∴01(cos )(sin )1x x x e dx x e e πππ--+=+=-⎰; 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理,其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数()F x 。
3.6定积分的概念与微积分基本定理
-a
a 2 f(x)dx ____________. 0
第三章
导
数
高三一轮总复习 ·数学(理科)
8．定积分的求法 (1)定义法(用微分思想求曲边梯形的面积， 即分割， 近似代 替，求和，取极限)； (2)牛顿－莱布尼茨公式法； (3)几何意义法：若曲线 y＝f(x) ，x 轴与直线 x＝a，x＝b 之间的各部分区域是可求面积的规则图形， 则可直接求其面积， 比如求
0
0
其中被积函数 y＝ 1－x－12 (0≤x≤1)的图象恰是一个 1 π 1 1 位于 x 轴上方的4圆，其面积为4，又可用公式求得 xdx＝2，
0
π 1 故 [ 1－x－1 －x]dx＝4 －2.
1 0
2
【规律总结】 根据定积分的几何意义，可将一些特殊函数 的定积分转化为利用平面几何知识求某些规则图形的面积．
b－a lim n f(ξi) b b n→∞i＝1 f(x)dx，即 f(x)dx＝__________________________.
n
a a
第三章
导
数
高三一轮总复习 ·数学(理科)
其中 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积
[a，b] 叫做积 式，b，a 分别叫做积分上限和积分下限，区间________
1 －1
1－x2dx；
(4)利用奇、偶函数的性质．
第三章
导
数
高三一轮总复习 ·数学(理科)
2 f(x)dx 的值等于( 1．设 f(x)＝x3＋x，则 －2
)
A．0
2 C. f(x)dx
B．8
2 D．2 f(x)dx
微积分基本公式和基本定理
利用泰勒公式展开函数$f(x) = sin x$在$x = frac{pi}{2}$处的幂级数。
答案
根据泰勒公式，得到$sin x = sum_{n=0}^{infty} (1)^n cdot frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。代入$x = frac{pi}{2}$，得到$sin frac{pi}{2} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n cdot frac{(frac{pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1$。
求函数$f(x) = ln(x + sqrt{1 + x^2})$的导数。
利用链式法则和基本导数公式 ，得到$f'(x) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}} = frac{x}{1 + x^2}$。
积分习题及答案
题目
计算$int_0^1 (x^2 + 1) dx$。
泰勒公式是一个重要的微积分定理，它可以用来近似计算复杂的函数。通过泰勒公式，可以将一个复 杂的函数展开成多项式的和，从而简化计算。
泰勒公式在近似计算中广泛应用于数值分析、物理、工程等领域。例如，在计算物理现象的近似解时 ，可以使用泰勒公式来逼近真实解。此外，泰勒公式还可以用于求解函数的极限、证明不等式等数学 问题。
牛顿-莱布尼兹定理
总结词
牛顿-莱布尼兹定理是计算定积分的 核心定理，它提供了计算定积分的简 便方法。
详细描述
牛顿-莱布尼兹定理表述为：对于任意 在[a, b]区间上连续的函数f(x)，F(x)是f(x)的一个原函数。这个定理大大 简化了定积分的计算过程，是微积分学 中的重要内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
澳洲房贷利率https:///how-much-can-i-borrow/
澳洲房贷利率 [单选]下列关于双香豆素药的叙述错误的是（）A.苯巴比妥、苯妥英钠等可降低其抗凝作用B.保泰松、消炎痛、乙酰水杨酸等能与血浆蛋白结合而置换，使其抗凝作用增强C.卢谱抗生素能减弱其抗凝作用D.广泛应用于各种有凝血倾向的疾病，如房颤E.一开始服用华法林没有抗凝作 澳洲房贷利率 [单选]关于非孕期成人正常子宫，下列说法错误的是（）。A.子宫长7～8cmB.子宫容积约50mLC.子宫体位于骨盆腔中央D.子宫颈与子宫体相连处称为峡部，长约1cmE.正常子宫呈前倾前屈位 澳洲房贷利率 [填空题]“DOCG”在意大利葡萄酒中代表（）。 澳洲房贷利率 [问答题,简答题]口对口吹气式人工呼吸操作方法 澳洲房贷利率 [单选,A2型题,A1/A2型题]脑脊液标本抽出后，第2管通常用作何种检查（）A.生化检查B.细胞计数C.细菌学检查D.物理检查E.以上均不对 澳洲房贷利率 [单选]19岁男性，自婴儿期皮肤上就有多数鳞屑斑，患者的一个哥哥和一个妹妹有类似疾病，可能的诊断是（）A.毛发红糠疹B.性联遗传性鱼鳞病C.寻常型鱼鳞病D.层板状鱼鳞病E.表皮松解性角化过度鱼鳞病 澳洲房贷利率 [单选]治疗热痹首选方是（）A.三痹汤B.白虎加桂枝汤C.桂枝汤D.防风汤E.桂枝芍药知母汤 澳洲房贷利率 [单选]—条路的交通信号监控系统是由监控分中心和控制节点的计算机系统、外场设备以及（）等组成。A.局域网B.交换机C.可变信息标志D.传输通道 澳洲房贷利率 [单选]一般可于腹壁听到胎心音的最早时间是（）A.30周后B.20周后C.8周后D.10周后E.25周后 澳洲房贷利率 [问答题,简答题]成功销售主管应该有几种？ 澳洲房贷利率 [单选]鄱阳湖生态经济区建设分为几个阶段？（）A、两个阶段B、三个阶段C、四个阶段 澳洲房贷利率 [单选]某患者进食后发生恶心、呕吐、腹泻。如果在患者粪便标本中分离到一种菌，革兰染色阴性；其生化反应结果是：氧化酶(+)，蔗糖(-)，动力(+)，吲哚(+)，脲酶(-)。则该菌可能是()A．福氏志贺菌B．霍乱弧菌C．大肠埃希菌0157:H7D．副溶血弧菌E．蜡样芽胞杆菌 澳洲房贷利率 [单选]在国有资产评估的初始阶段，资产评估发挥着（பைடு நூலகம்作用，这是国有资产评估所特有的作用。A.评价B.管理C.鉴证D.定价 澳洲房贷利率 [单选,A2型题,A1/A2型题]CT扫描的优点不包括（）A.密度分辨力高B.可作定量分析C.极限分辨力高D.真正的断面图像E.图像无层面以外结构的干扰 澳洲房贷利率 [单选,A2型题,A1/A2型题]床单位进行紫外线灯照射消毒时，灯管应位于（）A.床旁2m处B.床面上2m处C.床旁1m处D.床面上1m处E.在房间内吸顶安装 澳洲房贷利率 [多选]为了发展经济，发展中国家在人口问题上应采取的政策是（）A.开展计划生育运动B.降低人口数量C.提高人口质量D.改善社会经济条件E.提高妇女在经济发展中的地位 澳洲房贷利率 [判断题]在概括河流图形时，首先要研究河流的弯曲形状和曲折系数。A.正确B.错误 澳洲房贷利率 [单选,A1型题]马的初情期年龄是（）A.10～15月龄B.6～12月龄C.8～15月龄D.12月龄E.8～10月龄 澳洲房贷利率 [单选]（）不属于按拣货单位分区。A.箱装拣货区B.单车拣货区C.拣货人员工作区D.台车拣货区 澳洲房贷利率 [单选]某火电厂，220直流系统，每机组设阀铅酸电池，单母接线，两机组间有联络。不设保护回路的是（）。A.蓄电池出口回路B.馈线C.直流分电柜电源进线D.蓄电池试验放电回路 澳洲房贷利率 [问答题,简答题]心电图的测量方法 澳洲房贷利率 [单选]下列公文标题表述准确的是（）。A.××医院关于要求改变拨款方式的报告B.××省财政厅关于同意××大学新建教学楼的批示C.××大学关于举行春季运动会决定的通知D.××市人民政府关于开展财务大检查的通知 澳洲房贷利率 [填空题]观赏植物生长的环境条件主要是：温度、（）、水分、土壤、空气、养分。 澳洲房贷利率 [单选,A2型题,A1/A2型题]鼻息肉的主要浸润细胞是（）。A.中性粒细胞B.淋巴细胞C.嗜酸性粒细胞D.浆细胞E.肥大细胞 澳洲房贷利率 [单选,A2型题,A1/A2型题]传统医学的"四诊"是指（）A.察、言、观、色B.视、触、叩、听C.切、闻、望、问D.摸、视、听、叩E.触、动、量、望 澳洲房贷利率 [单选]CT机的运行环境湿度要求是()A．30%～45%B．35%～50%C．40%～65%D．45%～70%E．50%～75% 澳洲房贷利率 [单选]为保证油轮的安全引航、靠泊和防止海域污染，所有进港的空载油轮留存的压舱水不得少于该油轮载重量的（）。A、1/3B、1/4C、1/5D、1/6 澳洲房贷利率 [单选]矿业工程建设其他费用中的专业性项目包括有采矿权转让费、井筒地质检查钻探费、探矿权转让费和()。A.环境影响评价费用B.安全生产评价费C.规费D.维修费 澳洲房贷利率 [单选]下述中，关于像素和体素的不准确的概念是哪项()A．CT图像的基本组成单元称为体素B．像素大小与图像的分辨率高低成反比C．体素是一个三维概念D．体素是被按矩阵排列分隔的基本成像单元E．像素实际上是体素在成像时的表现 澳洲房贷利率 [单选]关于饭店营销，下列说法错误的是（）。A.饭店营销是指饭店经营者通过为客人创造产品和价值并进行交换而满足其需要和欲望的一系列有计划、有组织的活动B.饭店营销就是对饭店所提供服务的销售C.饭店营销是通过客人的满意来实现饭店目标D.饭店营销先通过确定客人 澳洲房贷利率 [填空题]人们在安静环境看书时，会感到桌上的座钟声音时强时弱的“嘀嗒”响声，这是（）现象，它属于正常注意的稳定性品质特性。 澳洲房贷利率 [单选]根据WHO（2003）报告世界各国自杀率排位中国内地女性自杀率（）A.16.8/10万B.16.1/10万C.14.8/10万D.14.1/10万E.13.4/10万 澳洲房贷利率 [单选,A2型题,A1/A2型题]联苯胺引起的肿瘤为我国法定职业性肿瘤的是（）。A.肺癌B.皮肤癌C.肝血管瘤D.膀胱癌E.白血病 澳洲房贷利率 [名词解释]气流分布 澳洲房贷利率 [单选]是确定一个清单项目(子项)综合单价的重要依据之一，必须对项目进行准确全面的描述，满足确定综合单价的需要的是（）。A.项目特征B.项目名称C.项目编码D.工程量计算规则 澳洲房贷利率 [单选,A型题]可作片剂助流剂的是()A、糊精B、聚维酮C、糖粉D、硬脂酸镁E、微粉硅胶 澳洲房贷利率 [问答题,简答题]广告媒体的种类？ 澳洲房贷利率 [单选]预防风心病加重的根本措施是（）.A.积极治疗心力衰竭B.积极锻炼身体C.饮食清淡，避免妊娠D.预防和治疗感染E.卧床休息 澳洲房贷利率 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于血红蛋白生理变化的描述，下列错误的是（）A.新生儿Hb浓度明显增高，2周后逐渐转为正常B.正常男性儿童6～7岁及女性21～35岁时Hb浓度最低C.6个月至2岁婴幼儿Hb浓度最高D.高山地区居民和登山运动员因缺氧刺激使Hb高于正常E.妊娠期相对减少 澳洲房贷利率 [单选]目前我国行政单位会计采用的会计确认和计量的基础是()。A.收付实现制B.实地盘存制C.永续盘存制D.权责发生制