正项级数收敛性
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法正项级数是指级数中每一项都是非负数的级数。
在数学中，我们常常关注正项级数的收敛性，即该级数的和是否有界。
为了判别正项级数的收敛性，有以下几个方法。
1.比较法比较法是最常用的判别正项级数收敛性的方法之一、比较法分为两种情况：-若存在一个已知的发散级数∑a_n和该正项级数∑b_n满足对于所有n，有a_n≤b_n，则可以得出该正项级数也是发散的。
-若存在一个已知的收敛级数∑a_n和该正项级数∑b_n满足对于所有n，有a_n≥b_n，则可以得出该正项级数也是收敛的。
2.极限比值法（达朗贝尔判别法）极限比值法是另一种判别正项级数收敛性的重要方法。
对于正项级数∑a_n，首先计算其相邻两项的比值a_(n+1)/a_n的极限值：-若该极限值小于1，则说明该级数收敛；-若该极限值大于1，则说明该级数发散；-若该极限值等于1，则极限比值法无法确定级数的收敛性。
3.极限根值法（柯西判别法）极限根值法和极限比值法类似，也是一种判别正项级数收敛性的方法。
对于正项级数∑a_n，首先计算其每一项的根值(a_n)^(1/n)的极限值：-若该极限值小于1，则说明该级数收敛；-若该极限值大于1，则说明该级数发散；-若该极限值等于1，则极限根值法无法确定级数的收敛性。
4.积分判别法积分判别法可以用来判别一类特殊的正项级数的收敛性。
对于形如∑(f(n)) 的级数，其中 f(n) 是一个递减的连续函数，则将其与对应的积分∫(f(x)dx) 进行比较：-若积分收敛，则级数同样收敛；-若积分发散，则级数同样发散；-若无法确定积分的收敛性，则积分判别法无法确定级数的收敛性。
5.积分判别法的特殊应用（比较法的延伸）积分判别法的特殊应用是一种将比较法与积分判别法结合使用的方法。
当我们需要比较一个难以处理的正项级数∑a_n 时，可以利用积分判别法找到一个相对简单的函数 f(x)，使得将其与对应的积分∫(f(x)dx) 进行比较时能够确定级数的收敛性。
数项级数2——正项级数的收敛性
数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。
例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。
例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。
例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。
例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。
例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。
例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。
例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。
例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。
例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。
例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。
例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。
例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。
例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。
例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。
例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。
二、上面例题的详细解答。
情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性 例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。
正项级数收敛的必要条件
正项级数收敛的必要条件一、引言在数学领域，级数收敛性研究一直是学者们关注的焦点。
正项级数作为级数的一种，其收敛性判定条件尤为重要。
本文将详细讨论正项级数收敛的必要条件，并通过举例进行分析。
二、正项级数收敛的定义与性质1.级数的项满足正条件一个正项级数是指各项均为正数的级数。
记为：a_1 + a_2 + a_3 + ...2.级数的部分和趋于无穷小当级数的部分和S_n（n从1到正无穷）趋于无穷小的时候，该级数称为收敛级数。
即：lim (n→∞) S_n = 0三、正项级数收敛的必要条件1.级数项的绝对值趋于0当级数项的绝对值趋于0时，级数收敛。
即：lim (n→∞) |a_n| = 02.级数项的比值趋于0当级数项的比值趋于0时，级数收敛。
即：lim (n→∞) a_n / a_(n-1) = 0四、举例说明1.调和级数调和级数是一个典型的正项级数，其通项公式为：h_n = 1/n我们可以计算其部分和：S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/n通过计算发现，调和级数的部分和趋于无穷大，因此不收敛。
2.几何级数几何级数是一个另一类的正项级数，其通项公式为：g_n = a * r^(n-1)其中，a为初始项，r为公比。
当公比r满足0 < r < 1时，几何级数收敛。
例如，当a=1，r=1/2时，几何级数为：g_n = (1/2)^(n-1)其部分和为：S_n = 1 + 1/2 + 1/4 + ...+ (1/2)^(n-1)通过计算发现，几何级数的部分和收敛，满足正项级数收敛的必要条件。
五、结论与展望本文通过对正项级数收敛的必要条件的讨论，得出了级数项的绝对值趋于0和级数项的比值趋于0是判断级数收敛的必要条件。
在实际应用中，还可以通过其他方法判断级数的收敛性，如莱布尼茨定理等。
对于更复杂的级数，可以运用这些方法进行收敛性分析。
正项级数收敛的必要条件
正项级数收敛的必要条件摘要：一、正项级数收敛的定义二、正项级数收敛的必要条件1.项数趋于无穷2.级数绝对值趋于零3.级数符号不变正文：在数学领域，正项级数收敛性是一个重要概念。
所谓正项级数，是指由一系列正数构成的数列，按照一定的规则进行求和。
当我们讨论正项级数收敛时，我们需要了解其必要条件。
首先，我们来了解一下正项级数收敛的定义。
一个正项级数收敛，当且仅当其各项绝对值趋于零，且级数符号不变。
换句话说，当级数中的每一项的绝对值都越来越小，且级数的正负性始终保持不变时，这个级数就是收敛的。
接下来，我们详细探讨正项级数收敛的必要条件。
1.项数趋于无穷：一个级数要想收敛，就必须拥有无穷多的项。
这是因为，如果项数有限，那么无论级数和是多少，都不可能趋于一个确定的值。
因此，项数趋于无穷是正项级数收敛的必要条件之一。
2.级数绝对值趋于零：正项级数收敛的另一个必要条件是，各项的绝对值趋于零。
这是因为，如果级数中的某一项或几项的绝对值过大，那么这些项会对级数的和产生显著的影响，使级数和无法稳定在一个确定的值上。
因此，级数绝对值趋于零是正项级数收敛的必要条件之一。
3.级数符号不变：正项级数收敛的最后一个必要条件是，级数的正负性始终保持不变。
这是因为，如果级数的正负性发生变化，那么级数的和也将发生变化，级数就不可能收敛。
因此，级数符号不变是正项级数收敛的必要条件之一。
综上所述，正项级数收敛的必要条件包括：项数趋于无穷、级数绝对值趋于零、级数符号不变。
掌握了这些必要条件，我们就能够判断一个正项级数是否收敛，从而为后续的数学分析奠定基础。
正项级数的比较审敛法
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
正项级数收敛的必要条件
正项级数收敛的必要条件
摘要：
一、正项级数收敛的定义和性质
1.正项级数的定义
2.正项级数收敛的性质
二、正项级数收敛的必要条件
1.比较判别法
2.根值判别法
3.积分判别法
三、正项级数收敛的应用
1.数学分析中的应用
2.工程计算中的应用
正文：
正项级数收敛的必要条件是级数中的每一项都是非负的，并且当项数趋于无穷时，级数的和也趋于一个有限值或者无穷大。
在数学领域中，正项级数收敛的性质是级数理论中的一个重要内容，它在级数求和、级数收敛性的判定以及级数的其他性质研究中都有着广泛的应用。
正项级数收敛的必要条件主要包括比较判别法、根值判别法和积分判别法。
比较判别法是通过比较级数中相邻两项的大小来判断级数是否收敛，如果级数中的每一项都小于等于一个固定的正数，那么级数就收敛。
根值判别法是通过计算级数的根值来判断级数是否收敛，如果级数的根值都大于1，那么级
数就收敛。
积分判别法是通过计算级数的积分来判断级数是否收敛，如果级数的积分存在且有限，那么级数就收敛。
在实际应用中，正项级数收敛的性质也有着广泛的应用。
在数学分析中，正项级数收敛的性质是级数求和的重要依据，它可以帮助我们计算出级数的和。
在工程计算中，正项级数收敛的性质也有着重要的应用，例如在电路分析中，我们可以通过正项级数收敛的性质来计算电路的电流和电压等。
总的来说，正项级数收敛的必要条件是级数理论中的一个重要内容，它在级数求和、级数收敛性的判定以及级数的其他性质研究中都有着广泛的应用。
正项级数收敛性的判别方法
正项级数收敛性的判别方法正项级数是指级数的每一项都是非负数的级数。
1.比较判别法：比较判别法是通过与已知收敛（或发散）的级数进行比较，判断待定级数的收敛性。
具体有以下两种情况：a.若存在一个已知的正项级数∑a_n和正数c，使得对于所有的n，有a_n≤c*b_n，那么只要∑b_n收敛，∑a_n也收敛；b.若存在一个已知的正项级数∑a_n和正数c，使得对于所有的n，有a_n≥c*b_n，那么只要∑b_n发散，∑a_n也发散。
2.比值判别法：比值判别法是通过计算级数的项之间的比值的极限，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：计算序列c_n=(a_{n+1})/a_n的极限lim_{n→∞}c_n。
根据c_n的不同取值范围，可以得出以下结论：a. 若lim_{n→∞}c_n < 1，那么级数∑a_n绝对收敛；b. 若lim_{n→∞}c_n > 1，那么级数∑a_n发散；c. 若lim_{n→∞}c_n = 1，那么该判别法不确定。
3.根值判别法：根值判别法是通过计算级数的项的根的极限，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：计算序列c_n=(a_n)^{1/n}的极限lim_{n→∞}c_n。
根据c_n的不同取值范围，可以得出以下结论：a. 若lim_{n→∞}c_n < 1，那么级数∑a_n绝对收敛；b. 若lim_{n→∞}c_n > 1，那么级数∑a_n发散；c. 若lim_{n→∞}c_n = 1，那么该判别法不确定。
4.积分判别法：积分判别法是将级数中的每一项转化为一个函数f(x)，然后通过计算该函数在区间[a,∞)上的不定积分，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：a.将级数的每一项a_n转化为函数f(x)在区间[a,∞)上的函数表达式；b. 计算函数f(x)在区间[a, ∞)上的不定积分∫f(x)dx；c. 若不定积分∫f(x)dx收敛，那么级数∑a_n收敛；d. 若不定积分∫f(x)dx发散，那么级数∑a_n发散。
高等数学8.2正项级数收敛性
n1
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
2020/4/30
1 xp
,
故
1
np
nn1n1pdx
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
n
kn1k1p1(k11)p11
n1
n1
(3) 当 l =∞ 且vn 发散时, un 也发散.
n1
n1
2020/4/30
例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 n1ln1n12 收敛.
2020/4/30
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则
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正项级数收敛性真正反映思维过程的文章，比八股式论文 要和谐可亲得多，而且对思维训练更有帮 助，可惜，这种文章只能藏在文库中。
----作者感言21ln a bn n n∞=∑ 1．1a <发散 2．1a >收敛 3．1,1a b =≤发散 4．1,1a b =>收敛1lim[ln1]ln nn n a n n g a →∞+-= (1)ln 1(1)ln ln ln ln 1ln g y nx ny x n ng n n n n=-=-+--1111ln ln 1ln ln n n g g a a n n n n εε+-+⎛⎫⎛⎫+≤-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11ln 1ln 1ln ln 111ln N N ng g a a n n n n n g n n b ea ee eεεε-+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-∑∑≥≥∑∑现在开始讨论正项级数的收敛性，上面写得很乱的东西，没有清掉它，因为它是问题的核心，记录着思维的真实，保持原样挺美的。
1nn a∞=∑（0n a ≥）被称为正项级数，这个定义有点狭隘，因为级数的收敛性不受去掉或增加有限项的影响，只要从某项开始，后面全部项都是0n a ≥，就足够看成正项级数了。
数列na写成函数形式()n a f n =可以拓展解决问题的视野，比如1()n f n ∞=∑的收敛性和()af x dx +∞⎰的收敛性，有着极为密切的关系，假定()0f x ≥很多时候，收敛性是相同的，比如单调的时候。
不单调也不怕，因为级数和广义积分的收敛都与前面有限部分的情况没什么关系。
极值点是单调性改变的地方，如果只有有限个极值点，在右边足够远的区间里，函数必然单调，而这足够肯定，两者收敛性相同。
只要有限个极值点，很多时候这已经够用了。
如果是无穷个极值点，也不是没有作为，只要存在经过极少值点的函数，经过极大值点的函数，且这两个函数只有有限个极值点，对这两个函数进行类似讨论，也能解决绝大部分问题。
当然，如果这两个函数无论走多远，都相距很远，能给我们的帮助就非常有限。
不过没有必要为此担心，初等函数中，只要不是周期函数，在足够远的区间里，都可以当作是单调的，也就是说，上面所说的级数和广义积分收敛性是相同的。
广义积分可以求原函数，处理手段比级数灵活，借广义积分研究级数收敛性是极为重要的渠道。
最原始的级数收敛性，还非得借助广义积分不可。
比如p -级数11pn n∞=∑，其实就是通项为幂函数的级数，其收敛性完全清楚，另一个完全清楚的级数是等比级数1nn a∞=∑，其实就是通项为指数函数的级数。
这是两个最基本的级数。
后面演绎的常见判敛方法，都与这两者有关。
比如，常见的比值盼敛，根值判敛，本质上是用等比级数作参照的。
等比级数收敛或发散很快，能判的级数范围并不大。
拉贝判敛是以p -级数作参照得出的，由于p -级数收敛或发散比等比级数要慢，因而可判的级数范围要广很多。
有没有比p -级数还要迟钝的级数？当然有，如11ln n n n λ∞=∑，高斯判敛就是以这个级数作参照的。
不过，无论哪种极限判别，都有判据为1时无所作为的遗憾。
正项级数的方便之处在于，级数的收敛性等价于其部分和数列的有界性，准确说，是否有上界，因为其部分和数列是单调递增的。
由于这个原因，若n n a b ≤，则由n b 的部分和有上界，必可得到n a 的部分和有上界，故收敛是小看大，大的收敛，小的一定收敛。
这个命题的等价命题是：发散大看小，小的发散，大的必然发散。
这种通过不等式比较两个数列，从而得出收敛性判定，很基础，但不方便，因为不等式的放缩不是件容易的事情。
用极限比较是个不错的主意。
因为极限虽然是一个数，但这个数和数列某项以后的无穷项有着很好的大小关联性，而级数收敛性则只与某项以后无穷项有关。
limn n na lb →∞=，（0l ≥）根据极限定义，有0,,:||n n a N n N l b εε∀>∃∀>-<即0,,:()()n n n N n N l b a l b εεε∀>∃∀>-<<+如果0l >，由于0ε>的任意性，选取ε使得l ε-为正没有任何问题。
若1nn b∞=∑发散，()()n n n l b a l b εε-<<+的左边不等式说明1n n a ∞=∑，若1n n b ∞=∑收敛，其右边不等式则说明1nn a∞=∑收敛。
这个两边夹不等式，确保1nn a∞=∑，1nn b∞=∑收敛性相同。
当0l =，这个两边夹不等式的左边失灵了，因为所有项非正，不过右边不等式仍然可用，即可以由1nn b∞=∑收敛判断1nn a∞=∑收敛，但无法由1nn b∞=∑发散判断1nn a∞=∑发散。
这个极限比较判敛，需要知道其中一个的收敛性，当0l >时，可以肯定另一个有同样的收敛性，但0l =时，只可由1nn b∞=∑收敛判断1nn a∞=∑收敛，或者由1nn a∞=∑发散判断1nn b∞=∑发散。
l =+∞和0l =刚好颠倒。
有时候l 不存在，也不是+∞，只要limnn na lb →∞=存在，这相当于0,,:()n n n N n N lb a l b εε∀>∃∀>≤<+ 故limn n n a l b →∞=与lim n n nal b →∞=判定方法完全一样，但前者有更好的适应性。
这种事先要知道一个级数的收敛性的要求还是有点不方便，如何找那个事先知道的级数？能否通过数列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后两项相比，会有什么消息？还是用极限方法：1limn n na l a +→∞=，由极限定义，得10,,:||n na N n N l a εε+∀>∃∀>-< 变成 10,,:()()n n n N n N l a a l a εεε+∀>∃∀>-≤<+ 这不会提供任何有效信息，因为任何一边都是未知的。
由极限定义得到10,,:n na N n N l l a εεε+∀>∃∀>-<<+先假设0l >，适当选取ε可保0l ε->，不等式取对数： 1ln()ln ln ln()n n l a a l εε+-<-<+ 再取和：1111ln()(ln ln )ln()m mmn n n N n N n N l aa l εε+=+=+=+-<-<+∑∑∑即 11()ln()ln ln ()ln()m N m n l a a m n l εε++--<-<-+ 故 111()ln()ln ln ()ln()ln N m N m n l a a m n l a εε+++--+<<-++ 取指数： ()()111()()m n m n N m N a l a a l εε--+++-<<+当m 变化时，上面不等式两端都是等比数列，其级数的收敛性完全由公比确定，m a 的收敛性完全由两端的等比级数确定。
由ε的任意性，若01l <<，则可以确保0,1l l εε<-+<。
若1l >，则可以确保,1l l εε-+>。
故根据01l <<和1l >，可分别得出1nn a∞=∑收敛和发散。
当1l =时，这个方法失效，无从给出判定。
当0l =时，不等式 ()()111()()m n m n N m N a l a a l εε--+++-<<+ 右半部分还是可用的，而这足够了，选定1l εε+=<，可以确定1nn a∞=∑收敛。
于是有 1lim n n na l a +→∞=，若01l ≤<，1n n a ∞=∑收敛，若1l >，1n n a ∞=∑发散。
1l =，不确定。
在这里1limn n na l a +→∞=可以替换成1lim n n n al a +→∞=，结论一样。
不过适用性更广。
知道这个l 的实质是等比数列的公比是有价值的。
这个判别方法不过是用等比级数作标准判断级数的收敛性，能判的范围很有局限性，比如1l =的时候，就不灵了。
根值法n l =和比值法虽然计算上有点区别，但实质仍然是以等比级数作标准判断收敛性，因而结论完全一样，不过根据不同表达式采用不同判别法，在计算上会有各自的特点。
当1lim1n n n a a +→∞=时，咋办？一般说来，想比不如相减方便，故1lim 1n n naa +→∞=可等价写成1lim ln0n n n a a +→∞=，为了后面表述上的一致性，我们更主要用1lim ln 0n n n a a →∞+=表示1lim 1n n naa +→∞=。
这样提问，也许能帮我们引向问题的解决：我们需要什么样的一个函数(,)x n ϕ，使得1lim (ln,)nn n a n l a ϕ→∞+=，而根据l 的范围，便可给出1n n a ∞=∑的收敛性判定？还是从1lim (ln,)nn n a n l a ϕ→∞+=本身寻找答案，其极限定义为 10,,:|(ln,)|nn a N n N n l a εϕε+∀>∃∀>-< 即 10,,:(ln,)nn a N n N l n l a εεϕε+∀>∃∀>-<<+ 求解(,)x n ϕ的反函数，我们假设它仍能维持不等式的两边夹，于是 1(,)ln(,)nn a l n l n a ψεψε+-<<+ 即 1(,)ln ln (,)n n l n a a l n ψεψε+-<-<+ 取和：1111(,)(ln ln )(,)mmmn n n N n N n N l n a a l n ψεψε+=+=+=+-<-<+∑∑∑即1111(,)ln ln (,)mmN m n N n N l n a a l n ψεψε++=+=+-<-<+∑∑11111ln (,)ln ln (,)mmN m N n N n N a l n a a l n ψεψε+++=+=+-->>-+∑∑1111ln (,)ln (,)1mmN N n N n N a l n a l n m ea eψεψε++=+=+---++∑∑>>显然，1nn a∞=∑的收敛性由1111ln (,)ln (,),mmN N n N n N a l n a l n eeψεψε++=+=+---+∑∑的级数收敛性确定。
讨论收敛性，常数1ln N a +可以不作考虑，于是，只要讨论11(,)(,),mmn N n N l n l n eeψεψε=+=+---+∑∑的级数收敛性即可。