【最新】中考数学专题突破一：填空压轴题型(含答案)
数学中考压轴题大全(含答案、详细解析版)
【最新】中考数学压轴题大全（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y 与x 的关系式就输出一个数开始据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20输入x和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60 和100）之间；y 与x 的关系式（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的输出y新数据也较大。
结束1（1）若y 与x 的关系是y＝x＋p(100 －x) ，请说明：当p＝时，这种变换满足上2述两个要求；（2）若按关系式y=a(x －h) 2＋k (a>0) 将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。
（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）12【解】（1）当P= 时，y=x＋12100 x , 即y=12x 50 。
∴y 随着x 的增大而增大，即P= 12时，满足条件（Ⅱ）⋯⋯ 3 分又当x=20 时，y=12100 50 =100。
而原数据都在20～100 之间，所以新数据都在60～100 之间，即满足12条件（Ⅰ），综上可知，当P= 时，这种变换满足要求；⋯⋯ 6 分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。
若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100 时，y 的对应值m，n 能落在60～100 之间，则这样的关系式都符合要求。
如取h=20,y= 2a x 20 k , ⋯⋯8分∵a＞0，∴当20≤x≤100 时，y 随着x 的增大⋯10 分令x=20,y=60 ，得k=60 ①令x=100,y=100 ，得a×802＋k=100 ②1由①②解得ak116060，∴12y x 20 60。
⋯⋯⋯14分1602、（常州）已知A( 1，m) 与B (2，m 3 3) 是反比例函数yy kx图象上的两个点．（1）求k 的值；C1B（2）若点C( 1，0) ，则在反比例函数ykx图象上是否存在点1O 11xD ，使得以A，B，C，D 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由( 1) m 2 (m 3 3) ，得m 2 3 ，因此k 2 3 ．······ 2 分（2）如图1，作BE x 轴，E为垂足，则CE 3，BE 3 ，BC 2 3 ，因此∠BCE 30 ．由于点 C 与点A的横坐标相同，因此CA x轴，从而∠ACB 120 ．当AC 为底时，由于过点B且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点 B ，故不符题意．······························ 3 分当BC 为底时，过点A作BC 的平行线，交双曲线于点 D ，过点A，D 分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点 F ．由于∠DAF 30 ，设D F m m ，则AF 3m1 ，AD 2m1 ，1 ( 1 0)由点A( 1，2 3) ，得点D( 1 3m，2 3 m ) ．1 1因此( 1 3m ) ( 2 3 m ) 2 3，1 12解之得7m 3（m1 0 舍去），因此点133D 6，．3此时14AD 3，与BC的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．······ 5 分y3 yD BBDCCO ExO H xFAA图2图1如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为 D ．由于AC BC，因此∠CAB 30 ，从而∠ACD 150 ．作DH x 轴，H 为垂足，则∠DCH 60 ，设CH m2 (m2 0) ，则DH 3m2 ，CD 2m2由点C( 1，0) ，得点D( 1 m ，3m ) ，2 2因此( 1 m2) 3m2 2 3 ．解之得m2 2（m2 1舍去），因此点 D (1，2 3) ．此时CD 4，与AB的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．·········7 分如图3，当过点C 作AB的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 D 时，同理可得，点D(2，3) ，四边形ABCD是梯形．··············9 分综上所述，函数y 2 3x图象上存在点 D ，使得以A，B，C，D 四点为顶点的四边形为梯形，点 D 的坐3标为：3D ，或D (1，2 3) 或D( 2，3) ．···············10 分63yBCO xDA图33、（福建龙岩）如图，抛物线 2 5 4y ax ax经过△ABC 的三个顶点，已知B C∥x轴，点A在x 轴上，点C 在y 轴上，且A C BC ．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在△PAB 是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．y解：（1）抛物线的对称轴x5a 52a 2⋯⋯⋯ 2 分AC B1x1（2）A( 3，0) B (5，4) C (0，4) ⋯⋯⋯⋯ 5 分2 5 4把点A坐标代入y ax ax 中，解得1a ⋯⋯⋯ 6 分61 52y x x 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分6 64yＭ（3）存在符合条件的点P共有3 个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB交于M ．A 1ＫＮ1 ＱP3x过点B 作BQ x 轴于Q ，易得BQ 4 ，AQ 8 ，P2 P 1AN 5.5，BM 5 2··········12 2 2 2 2PN AP AN AB AN 80 (5.5)1 119925 199P ，·························9 分12 2②以AB为腰且顶角为角B的△PAB 有1 个：△．P AB2在Rt△BMP 中，225 2952 2 2 2MP BP BM AB BM 80 10 分2 24 25 8 295P ，·······················11 分22 2③以AB为底，顶角为角P的△PAB 有1 个，即△P AB ．3画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于P3 ，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C ．过点P作P3K 垂直y 轴，垂足为K ，显然R t△P3CK ∽Rt△BAQ ．3P3K BQ 1CK AQ 2．5····以AB 为腰且顶角为角①A的△PAB有1 个：△P1 AB ．2 2 2 82 42 80 AB AQ BQ ·················8 分在Rt△ANP 中，P3K 2.5 CK 5 于是OK 1 ···············13 分P3 (2.5，1) ··························14 分注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分．4、（福州）如图12，已知直线1 ky x 与双曲线y (k 0)2 x交于A，B 两点，且点A的横坐标为4．（1）求k 的值；k（2）若双曲线y (k 0)x上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；yk（3）过原点O的另一条直线l 交双曲线y (k 0)于P，Q 两点（P 点在第xA一象限），若由点A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解：(1) ∵点A横坐标为 4 , ∴当x = 4 时，y = 2 . BO x∴点A的坐标为（ 4 ，2 ）.图121 8y x y∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点,2 x∴k = 4 × 2 = 8 .(2) 解法一：如图12-1 ，∵点C在双曲线上，当y = 8 时，x = 1∴点C的坐标为( 1, 8 ) .过点A、C分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M、N，得矩形D M O N.S 矩形ONDM= 32 ，S △ONC= 4 ，S △CDA= 9 ，S△OAM= 4 .S△AOC= S 矩形ONDM- S △ONC- S △CDA- S △OAM= 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .解法二：如图12-2 ，过点C、A分别做x 轴的垂线，垂足为E、F，6∵点C在双曲线y 8x上，当y = 8 时，x = 1 .∴点C的坐标为( 1, 8 ).∵点C、A都在双曲线y 8x 上,∴S △COE= S △AOF = 4。
中考数学填空题压轴题(含答案)
根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。
题型一：数字规律【例1】一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是 （n为正整数）．【答案】【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．【答案】1125,122+n n【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.【答案】67；32+n （n 为正整数）【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.【答案】81;第45行第15列2a 52a 83a 114a 31(1)n na n --例题精讲填空题压轴题【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率a2 a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为2134． 【解析】2134题型二：多边形上存在的点数【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。
【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________【答案】4n【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”．① ② ③ ④ 【答案】181第2个“口”第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形题型三：藏头露尾型【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．图1 图2 图3【答案】83．题型四：成倍数变化型【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【解析】注意每一次变化所变化的倍数 【答案】81；11(2)2n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________； 所作的第n 个四边形的周长为_________________．【答案】2,24()2n【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．【答案】2α,20102α(1)(2)(3)……A 2A 1DC A【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为 ； 再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ， 如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为 ． （用含有n 的式子表示，n 为正整数）【答案】5，n5【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有 个．第一次 第二次 第三次 第四次【答案】3n题型五：相似与探究规律【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .【答案】m 6215⎪⎪⎭⎫⎝⎛-【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使 点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠【答案】2；12332n n -- B AD C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD C B ADCBA DC【例18】如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线 交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于 点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）； 点n A （ ， ）．【答案】（938，0）（1)332(-n ，0） 【例19】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积n S = ________（n 为正整数）.【解析】由题干可知：123124 (222)S S S ===，，可知22n n S -=【答案】22n -【例20】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．【答案】233,31nn + 【例21】如图，P 为ABC ∆的边BC 上的任意一点，设BC a =，当1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点时，1112B C a =，当2B 、2C 分别为1BB 、1CC 的中点时，2234B C a =，当3B 、3C 分别为2BB 、2CC 的中点时，3378B C a =，当4B 、4C 分别为3BB 、3CC 的中点时，441516B C a =当5B 、5C 分别为4BB 、4CC 的中点时，55_____B C =当n B 、n C 分别为1n BB -、1n CC -的中点时，则n n B C = ；设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则n n PB C ∆的面积为______(用含a 、h 的式子表示)．【答案】a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+-D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 5B 4B 3B 2B 1A……B 2B 1A 1BOAC 3B 3B 2C 2C 1B 1CBA【例22】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB a =，CD b =，E 为边AD 上的任意一点，EF AB ∥，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则______EF =（用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则______EF =（用含有n ，a ，b 的式子表示）．【答案】2a b +；(1)b n an+-【例23】已知在ABC ∆中，BC a =.如图1，点1B 、1C 分别是AB 、AC 的中点，则线段11B C 的长是_______； 如图2，点1B 、2B ,1C 、2C 分别是AB 、AC 的三等分点，则线段1122B C B C +的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的(1)n +等分点，则线段1122n n B C B C B C ++⋅⋅⋅+的值是 ______.【答案】1,2a a ,12na 【例24】已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ， 分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积 为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =， ______n S =（用含n 的代数式表示）.【答案】14，21(1)n +题型六：折叠与探究规律【例25】如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．设2AB =，当12CE CD =时，则________AMBN=． 若1CE CD n =（n 为整数），则_______AM BN=．（用含n 的式子表示） 【答案】15；1)1(22+-n n【例26】如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）连接DE ，作DE 的中垂线，交图3图2图12n-1B 2C 2A BCB 1C 1C 1B 1CBA FE D CBANMFEDCBAB321AD 于点F ．⑴若E 为AB 中点，则______DFAE= ⑵若E 为AB 的n 等分点(靠近点A )，则________DFAE= 【答案】251,42n n+题型七：其他类型【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+3中线段AB 的长为 .图1 图2 图31+【例28】如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥【答案】1)41(2,32---n ππ【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第)3(≥n n 块纸板的周长为n P ，则=-34P P ；1--n n P P = ．P 3P 2P 1【答案】81,121-⎪⎭⎫⎝⎛n【例30】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了 个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用含k 的式子表示）．【答案】18； 【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(10)，，点D 的坐标为(02)，．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样 的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为___________（用含n 的代数式表示）．【答案】4235）（,22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n【例32】如图所示，111()P x y ，、222()P x y ，，……()n n n P x y ，在函数4y x=(0x >)的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆…1n n n P A A -∆都是等腰三角形，斜边1OA 、12A A …1n n A A -，都在x 轴上， 则1_____y =，12______n y y y ++⋅⋅⋅+=【答案】2 , 2n【例33】如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111OA B C ，然后延长11C B 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形112AOC A ；再以12C A 为边作正方形1222C A B C ，同样延长22C B 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形2123A C C A ；，再以23C A 为边作正方形2333C A B C ，延长33C B ，得到第三个梯形；……则第2个梯形2123A C C A 的面积是 ；第n （n 是正整数）个梯形的面积是 （用含n 的式子表示）．3(-2)k 23(2)k s k-n =3n =5……n =4① ② ③ ④C 2B 2A 2C 1B 1A 1DC B AO yx【答案】6；2n 2223-⨯或1n 423-⨯【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ， (0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数）， 则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的 个数为_________（用含有n 的式子表示）．【答案】单位格点个数为48，单位格点个数为n n 442-【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D 、2222A B C D 、3333A B C D 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有 个．【答案】80【例36】对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A ，n B 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为 ．【答案】()20122011,11+n nyxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321-8-448ODC BAyx。
中考数学填空题压轴精选(答案详细)1(最新整理)
出对应的 y 值，如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
11
2
－1
2
5
…
由于粗心，小颖算错了其中的一个 y 值，请你指出这个算错的 y 值所对应的 x＝__________． 32．等边三角形 ABC 的边长为 6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中 BC 边在 x 轴上，BC 边 上的高 OA 在 y 轴上。一只电子虫从 A 点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GC 到达 C 点，若电子虫在 y 轴 上运动的速度是它在 GC 上运动速度的 2 倍，那么要使电子虫走完全程的时间最短，G 点的坐标为
3
4
对角线 AC 于 G，则 AG ＝_____________． AC
AF
D
EG
B
C
中考填空题精选
21．已知 m，n 是关于 x 的方程 x2－2ax＋a＋6＝0 的两实根，则(m－1)2＋(n－1)2 的最小值为_____________．
22．如图，四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形，则 AG : DF : CE＝_____________．
于点 F，交 CD 的延长线于点 G，M 为 CD 中点，连结 AM 交 EF 于点 N，则
EN ＝____________．
FG
C
47．圆内接四边形 ABCD 的四条边长顺次为：AB＝2，BC＝7，CD＝6，DA
＝9，则四边形 ABCD 的面积为____________．
E
M
48．已知直角三角形的一边为 11，其余两边的长度均为自然数，那么这
H
KG
19．如图是一个矩形桌子，一小球从 P 撞击到 Q，反射到 R，又从 R 反射到 S，
中考数学填空压轴题选编(含答案)
中考数学填空压轴题选编1. 直角坐标系中直线AB 交x 轴，y 轴于点A （4，0）与 B （0，－3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过 秒后动圆与直线AB 相切.2．k 是整数，已知关于x 的一元二次方程kx 2＋(2k －1)·x ＋k －1＝0只有整数根，则k ＝________．3．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *(a *x )＝－41有两个相等的实数根，则满足条件的实数a 的值是________．4．按一定规律排列的一列数依次为：21，31，101，151，261，351…，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________．5. 如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为 _．6.如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA 、PB 、P C ，过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则 PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________.7. 如图，正方形OA 1B 1C 1的边长为2，以O 为圆心、OA 1为半径作弧A 1C 1交OB 1于点B 2，设弧A 1C 1与边A 1B 1、B 1C 1围成的阴影部分面积为1S ；然后以OB 2为对角线作正方形OA 2B 2C 2，又以O 为圆心、OA 2为半径作弧A 2C 2交OB 2于点B 3，设弧A 2C 2与边A 2B 2、B 2C 2围成的阴影部分面积为2S ；…，按此规律继续作下去，设弧n n A C 与边n n A B 、n n B C 围成的阴影部分面积为n S ．则=1S ，=n S .8．如图所示，将一张矩形纸片对折，可得到一条折痕(图中的虚线)，连续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续操作三次可以得到7条折痕，那么对折n 次可得到折痕的条数是________．…9．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =4，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是___________________．o xyAB第1题图 (第5题)10. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC ＜AC ，若214BC AC AB ⋅=，则∠A = °． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，1B (0,1)，2B (0,3)，3B (0,6)，4B (0,10)，…，以12B B 为对角线作第一个正方形1112A B C B ，以 23B B 为对角线作第二个正方形2223A B C B ，以34B B 为对角线作第三个正方形3334A B C B ，…，如果所作正方形的对角线1n n B B +都在 y 轴上，且1n n B B +的长度依次增加1个单位，顶点n A 都在第一象 限内（n ≥1，且n 为整数）．那么1A 的纵坐标为 ；用n 的代数式表示n A 的纵坐标： ．12．在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD 中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形A n B n C n D n 的四个顶点坐标分别为（－2n ,0），（0,n ），（2n ，0），（0，－n ）（n 为正整数），则菱形A n B n C n D n 能覆盖的单位格点正方形的个数为 （用含有n 的式子表示）.13．一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.14. 下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形_____________（请填图形下面的代号）。
中考数学填空题压轴题精选(含答案),初中数学50道经典难题汇总及答案解析
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中考数学---几何选择填空压轴题精选1
中考数学---几何选择填空压轴题精选1一．选择题：1．如下图1，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、如上图2，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3．如上图3，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S▭DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③4．如下图1，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）A.B. C. D.5、如上图2，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下图1，下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF ≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个7．如上图2，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD =S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（）A.①④⑤B.①②④C.③④⑤D.②③④8．如上图3，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE 交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．其中正确的结论是（）A.①②③B.①②④C.①②⑤D.②④⑤9．如下图1，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④10．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如上图2所示，点G在线段DK上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK的面积为（）A. 10B. 12C. 14D. 16二．填空题1．如下图1，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形， 图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是 个．2.如下图2，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1； ∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； …；∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012，得∠A 2012，则∠A 2012= ．3．如下图1，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，…，则CA 1= ，= ．4、如上图2，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ﹣1在射线OB 上， 且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ﹣1B n ﹣1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ﹣1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ﹣1A n B n ﹣1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面为 ； 面积小于2011的阴影三角形共有 个． 5、如下图1，已知点A 1（a ，1）在直线l ：上，以点A 1为圆心，以为半径画弧，交x 轴于点B 1、B 2，过点B 2作A 1B 1的平行线交直线l 于点A 2，在x 轴上取一点B 3，使得A 2B 3=A 2B 2，再过点B 3作A 2B 2的平行线交直线l 于点A 3，在x 轴上取一点B 4，使得A 3B 4=A 3B 3，按此规律继续作下去， 则①a= ；②△A 4B 4B 5的面积是 ．6、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：①AB=CM；②A E⊥BC；③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有．7、如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为．8、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于．9．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD =15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为cm2．中考数学---几何选择填空压轴题精选1答案一．选择题：1、解：作EJ⊥BD于J，连接EF①∵BE平分∠DBC ∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF ∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°∵DH=HF，OH是△DBF的中位线∴OH∥BF ∴OH=BF②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故②正确；③∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故此结论不成立；④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH=22.5°，由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，∴∠DBH=∠CDF，∵∠BHD=∠BHD，∴△DHE∽△BHD，∴=∴DH=HE•HB，故④成立；所以①②④正确．故选C．（第5题图）2、解：根据BE=AE，∠GBE=∠CAE，∠BEG=∠CEA可判定①△BEG≌△AEC；用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，假设∠GAC=∠GCA，则有△AGC为等腰三角形，F为AC的中点，又BF⊥AC，可证得AB=BC，与题设不符；由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 连接ED、四边形ABED为平行四边形，∵∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，∴∠GED=∠CED=45°，∴△GED≌△CED，∴DG=DC；④设AG为X，则易求出GE=EC=2﹣X 因此，S△AGC =SAEC﹣SGEC=﹣+x=﹣（x2﹣2x）=﹣（x2﹣2x+1﹣1）=﹣（x﹣1）2+，当X取1时，面积最大，所以AG等于1，所以G是AE中点，故G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值．故正确的个数有3个．故选C．3、解：∵DF=BD，∴∠DFB=∠DBF，∵AD∥BC，DE=BC，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=2∠EFB，∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，∴CG=BC=DE，∵DE=DC，∴∠DEG=∠DCE，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∠DGE=180°﹣（∠BGD+∠EGF）=180°﹣（∠BGD+∠BGC），=180°﹣（180°﹣∠DCG）÷2=180°﹣（180°﹣45°）÷2=112.5°，∴∠GHC=∠DGE，∴△CHG≌△EGD，∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，∴∠GDH=∠GHD，∴S△CDG =S▭DHGE．故选D．4、解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，∴平行四边形ABC1O1的面积为，∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，…，依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．5、解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正确；③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；（见上图）④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN，∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形；∴BN=PB=PC，正确．故选D．6、解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，∵∠MDN=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中，∵，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE=CF，在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB==BD=BC．故①正确；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a﹣x．∵S△AEF =AE•AF=x（a﹣x）=﹣（x﹣a）2+a2，∴当x=a时，S△AEF有最大值a2，又∵S△ABC =×a2=a2，∴S△AEF≤S△ABC．故②正确；EF2=AE2+AF2=x2+（a﹣x）2=2（x﹣a）2+a2，∴当x=a时，EF2取得最小值a2，∴EF≥a（等号当且仅当x=a时成立），而AD=a，∴EF≥AD．故④错误；由①的证明知△AED≌△CFD，∴S四边形AEDF =S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=AD2，∵EF≥AD，∴AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF故③错误；当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．故⑤正确．综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．故选C．7、解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵tan∠AED=，由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴tan∠AED=＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD ＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选：A．8、解：①由∠ABC=90°，△BEC为等边三角形，△ABE为等腰三角形，∠AEB+∠BEC+∠CEH=180°，可求得∠CEH=45°，此结论正确；②由△EGD≌△DFE，EF=GD，再由△HDE为等腰三角形，∠DEH=30°，得出△HGF为等腰三角形，∠HFG=30°，可求得GF∥DE，此结论正确；③由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；④如图，过点G作GM⊥CD垂足为M，GN⊥BC垂足为N，设GM=x，则GN=x，进一步利用勾股定理求得GD=x，BG=x，得出BG=GD，此结论不正确；⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由④可知△BCE的高为（x+x）和△BCG的高为x，因此S△BCE ：S△BCG=（x+x）：x=，此结论正确；故正确的结论有①②⑤．故选C．9、解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB=∠CDF=45°．∵AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°．∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC．∴FH=AF．（上图2）（2）∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，（上图3）∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG．（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，根据△MEC≌△CIM，（见下图2）可得：CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．∴△CEH的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．10、解：如下图1，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△DGE =S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），同理S△GKE=S△GFE．∴S阴影=S△DGE+S△GKE=S△GEB+S△GEF=S正方形GBEF=4×4=16 故选D．二．填空题：1、解：观察图形，发现规律：图1中有1个菱形，图2中有1+22=5个菱形，图3中有5+32=14个菱形，图4中有14+42=30个菱形，则第5个图中菱形的个数是30+52=55，第6个图中菱形的个数是55+62=91个．故答案为91．2、解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，∴∠A1+∠A1BC=∠A1+∠ABC=（∠A+∠ABC），整理得，∠A1=∠A=，同理可得，∠A2=∠A1=×=，…，∠A2012=．故答案为：．3、解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=，又因为CA1⊥AB，∴AB•CA1=AC•BC，即CA1===．∵C4A5⊥AB，∴△BA5C4∽△BCA，∴，∴==．所以应填和．4、解：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，∴==，==，又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，∴===，==，∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4…又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，继而可推出S△A3B3A4=8，S△A4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个．故答案是：；6．5、解：如图所示：①将点A1（a，1）代入直线1中，可得，所以a=．②△A1B1B2的面积为：S==；因为△OA1B1∽△OA2B2，所以2A1B1=A2B2，又因为两线段平行，可知△A1B1B2∽△A2B2B3，所以△A2B2B3的面积为S1=4S；以此类推，△A4B4B5的面积等于64S=．6、解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，∴AE⊥BC，即②正确．∵∠MBE=45°，∴BE=ME．在△ABE与△CME中，∵∠BAE=∠MCE，∠AEB=∠CEM=90°，BE=ME，∴△ABE≌△CME，∴AB=CM，即①正确．∵∠MCE=∠BAE=90°﹣∠ABE＜90°﹣∠MBE=45°，∴∠MCE+∠MBC＜90°，∴∠BMC＞90°，即③⑤错误．∵∠AEB=∠CEM=90°，F、G分别是AB、CM的中点，∴EF=AB，EG=CM．又∵AB=CM，∴EF=EG，即④正确．故正确的是①②④．7、解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=，∴AM==，∴AC=，同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1故答案为（）n﹣1．8、解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90°，∴∠HEF=90°，（见上图3）同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH=FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5（等量代换），同理∠5=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH=CF=FN，又∵HD=HN，∴AD=HF，在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF=，∴HF=5，又∵HE•EF=HF•EM，∴EM=，又∵AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上），∴AB=2EM=，∴AD：AB=5：=．故答案为：．9、解：如图，连接EF；∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF =S△DEF即S△ADF﹣S△DPF=S△DEF﹣S△DPF，即S△APD =S△EPF=15cm2，同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2，∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=15+25=40cm2．故答案为40．。
中考数学专项复习——选择题填空题重难点突破(含答案)
中考数学专项复习——选择题填空题重难点突破专题一 规律探索题 类型一 数式规律1.观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…，解答下面问题：2＋22＋23+24＋…＋22015－1的末位数字是( )A. 0B. 3C. 4D. 82. 填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，据此规律得出a+b+c=____.3. 按一定规律排列的一列数依次为：45，12，411，27，…,按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是_____.4.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…,叫做三角形数,其中1是第一个三角形数,3是第2个三角形数,6是第3个三角形数,…,依此类推,那么第9个三角形数是____,2016是第_____个三角形数.5.设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3=1,a 4＝6.则a 1+a 2+a 3+…+a 2013+a 2014+a 2015=_____. 6.若()()()()121212121a bn n n n =+-+-+，对任意自然数n 都成立，则a=____,b=____； 计算：m=11111335571921+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯_____. 7.观察下列各式及其展开式： （a+b ）2= a 2+2ab+b 2 （a+b ）3= a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 （a+b ）4= a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4 （a+b ）5= a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5 …请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是____.8. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m =(i,j)表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=(2,3),则A2015＝______. 9. 请观察下列等式的规律:11111111,,13233523511111111,,5725779279⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭… 则1111133********+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯_____.10.若1×22-2×32=-1×2×7;(1×22-2×32)+(3×42-4×52)=-2×3×11;(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+(5×62-6×72)=-3×4×15;则(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+[(2n-1)·(2n)2-2n(2n+1)2]=_______.类型二图形规律1.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）第1题图A. 21B. 24C. 27D. 302. 如图，以点O为圆心的20个同心圆，第2题图它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A. 231πB. 210πC. 190πD. 171π第2题图3. 将一个箭头符号，每次逆时针旋转90°,这样便得到一串如图所示“箭头符号”串，那么按此规律排列下去，第2016个“箭头符号”是_____.第3题图4.如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2;…;∠A2015BC和∠A2015CD的平分线交于点A2016，则∠A2016＝_____度.第4题图第5题图5.观察下列图形规律：当n=___时,图形中“·”的个数和“△”的个数相等.6. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2016个点的坐标为_____.第6题图第7题图7.如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点A20的坐标为______．8.如图，在平面直角坐标系中，点A（03）、B（-1，0），过点A 作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3，…，按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为_____.第8题图第9题图9. 已知,正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示,A(-2,0),点B在原点,把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2015次翻转之后,点B的坐标是____10.如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1,△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n=______(用含n的式子表示).第10题图第11题图11. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4,BC=3,矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是_____.12.已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2延长C2D2到A2,以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推，…，若A1C1=2，且点A,D2,D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是_____.第12题图13.如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为_____.第13题类型三与函数相关的规律1.如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2,…,An在x轴上，点B1，B2，…，Bn 在直线y=x上.已知OA1＝1，则OA2015的长为.第1题图2.如图，已知点A1，A2，…，A n均在直线y=x-1上，点B1,B2,…,B n 均在双曲线y=-1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴,B2A3⊥y轴，…，A n B n⊥x轴，B n A n+1⊥y轴，…，记点A n的横坐标为a n（n 为正整数），若a1=-1,则a2015=______.第2题图第3题图3.正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=-x+2上，则点A3的坐标为_____.4. 如图，点A1、A2、A3、…、A n在抛物线y=x2的图象上，点B1、B2、B3、…、B n在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△A n B n-1B n都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2015B2014B2015的腰长＝_______.第4题图第5题图5. 如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数y＝8（x＞0）的图象分别交x于点B1，B2，B3，分别过点B1,B2,B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为_____.6.如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2,A3,A4,…,A n,的图象相交于点Ｐ1，分别过这些点作x轴的垂线与反比例函数y=1xP2，P3，P4，…，P n，再分别过P2，P3，P4,…，P n作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，P n B n-1⊥A n-1P n-1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，B n-1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，P n-1P n,得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△P n-1B n-1P n,则Rt△P n-1B n-1P n的面积为______.【参考答案】 类型一 数式规律1. B 【解析】观察等式可知，21，22，23，24，…，的末位数字以2，4，8，6为一个周期的周期性循环，2015÷4=503……3，∴21+22+23+24+…+22015的末位数字为0×503+2+4+8=14的末位数字4，∴21+22+23+24+…+22015-1的末位数字为3.2. 110【解析】根据左上角+4＝左下角，左上角+3＝右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积加1，可得6+4=a,6+3=c,ac+1=b,可得：a=10,c=9,b=91,∴a+b+c= 10+9+91 =110.3.1100【解析】将这列数45，12，411，27，…，的分子都化为4，则有45，48，411，414，…,观察发现，这列数的分子都是4，分母的后一项比前一项大3，那么这列数中第n 个数可以表示为453(1)n +-，因此，第10个数与第16个数的积是44153(101)53(161)100⨯=+-+-.4. 45；63【解析】根据所给的数据发现：第n 个三角形数是1+2+3+…+n ，则第9个三角形数为1+2+3+4+…+9=（1+9）×9÷2=45;设2016是第x 个三角形数，则有1+2+3+4+…+x=2016，（1+x ）×x ÷2=2016，解得x=63.5. 6652【解析】根据题意可知a 1=1，a 2=6，a 3=1，a 4=6，a 5=5，a 6=6，a 7=1，a 8=6，a 9=1，a 10=0，a 11=1,a 12=6,a 13=1,…，每10个数一个循环，2015÷10＝201……5，∴a 1+a 2+a 3+…+a 2013 +a 2014+a 2015=201×（1+6+1+6+5+6+1+6+1+0）+1+6+1+6+5 =6652.6. 12；-12；1021【解析】将2121a b n n +-+ 通分变形得： 2()()(21)(21)a b n a b n n ++--+，由于2()()a b n a b ++-=1,∴a-b ＝1,a +b =0，故a =12，b =-12，∴111(1)1323=⨯-⨯,1111()35235=⨯-⨯，…， ∴m=1111111110(1)(1)2335192122121-+-+⋅⋅⋅+-=-=.故m ＝1021.7. 45【解析】∵当n=1时，多项式（a+b ）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0＝102⨯;当n ＝2时，多项式（a+b ）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1＝122⨯;当n ＝3时，多项式（a+b ）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3＝322⨯;当n ＝4时，多项式（a+b ）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6＝432⨯;则当n ＝10时，多项式（a+b ）10的展开式的第三项的系数是：1092⨯＝45.8. （32，47）【解析】第一组有1个奇数，第二组有3个奇数，第三组有5个奇数，…，则第n 组有（2n-1）个奇数，∴前n 组共有2n(2n -1+1)=n 2个奇数.∵2015是第1008个奇数，∴令n 2=1008，即31＜n ＜32,可判断出2015在第32组，即i=32；∵前31组共有312=961个奇数，可得1008-961=47，∴j=47.故A 2015=（i ，j ）=(32,47). 9.50101【解析】 111111111(1)()1335579910123235+++⋅⋅⋅+=-+-+⨯⨯⨯⨯ 1111111111111111()()(1)(1)257299101233557991012101-+⋅⋅⋅+-=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- 1100502101101=⨯=. 10. -n(n+1)(4n+3)【解析】∵1×22-2×32=-1×2×7=-1×2×(4×1+3)；(1×22-2×32)+(3×42-4×52)=-2×3×11=-2×3×(4×2+3)；(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+(5×62-6×72)=-3×4×15＝-3×4×(4×3+3)；…；∴(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2］=-n(n+1)(4n+3).类型二 图形规律1. B 【解析】第①个图形有6个小圆圈；第②个图形有6+3=9个小圆圈；第③个图形有6+3×2=12个小圆圈；…；按照这个规律，第n 个图形有6+3(n-1)=3n+3个小圆圈，故第⑦个图形一共有3×7+3=24个小圆圈.2. B 【解析】由题意知，阴影部分的圆环的面积依次可以表示为：S阴1=S 2-S 1=πr 22-πr 12=（22-12）π=（1+2）π；S 阴2= S 4-S 3=πr 42-πr 32=（42-32）π=（3+4）π;…;∴S 阴n =S 2n -S 2n-1 =πr 2n 2-πr 2n-12=［2n 2-(2n-1)2］π=［(2n-1)+2n ］π;∴ S 阴10= S 20-S 19=πr 202-πr 192=（202-192 ）π=（19+20）π，∴阴影部分的面积为：S=S 阴1+S 阴2+…+S 阴10＝（1+2）π+（3+4）π+…+（19+20）π=（1+2+3+4+…+20）π=210π.3. 【解析】观察题中图形可以发现，每4个图形循环一次，则根据循环的规律2016÷4=504，故第2016个“箭头符号”是每次循环的最后一个图形.4.2016m 2【解析】如解图所示，由三角形的外角性质可知∠3＋∠4＝∠A ＋∠1＋∠2，∠4＝∠2＋∠A1， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠4＝∠A ＋2∠2，即2（∠4－∠2）＝∠A.由∠4＝∠2＋∠A 1得∠4-∠2＝∠A 1，∴∠A ＝2∠A 1，即∠A 1＝12∠A ＝12m °. 同理可得∠A 2＝12∠A 1＝14m °＝2m 2︒，由此归纳得∠A 2016＝2016m 2︒. 5. 5【解析】∵n=1时，“·”的个数是3＝3×1;n=2时，“·”的个数是6＝3×2;n=3时，“·”的个数是9＝3×3;n=4时，“·”的个数是12＝3×4，∴第n 个图形中“·”的个数是3n;又∵n=1时，“△”的个数是1(11)12⨯+=;n=2时，“△”的个数是2(21)32⨯+=;n=3时，“△”的个数是3(31)62⨯+=;n=4时，“△”的个数是4(41)102⨯+=，∴第n 个图形中“△”的个数是(1)2n n +.由3n ＝(1)2n n +,可得n 2-5n=0,解得n=5或n=0（舍去），∴当n=5时，图形中“·”的个数和“△”的个数相等.6. （45,15）【解析】观察图象可以发现，点的个数按照平方数的规律变化，并且横坐标是奇数时，纵坐标逐次变小，横坐标是偶数时，纵坐标逐次变大.欲求第2016个点的坐标，找出与2016最接近的平方数.∵452=2025，∴第2025个点的坐标是（45,0），∴第2016个点在第2025个点的正上方15个单位处，∴第2016个点的坐标为（45,15）.7. （5，-5）【解析】∵204＝5，∴A 20在第四象限，∵A 4所在正方形的边长为2，A 4的坐标为（1，-1），同理可得：A 8的坐标为（2，-2），A 12的坐标为（3，-3），A 16的坐标是（4，-4），∴A 20的坐标为（5，-5）.8. （-31008，0）【解析】∵A （0），B （-1，0），∴，OB ＝1，则可得tan ∠∴∠OAB=30°，由已知易证∠OA 1A=∠OA 2A 1=∠OA 3A 2=30°，∴OA 1=OA/tan30＝3）2，OA 2＝OA 1/tan30°＝＝3＝()3，OA 3＝OA 2/tan30°＝＝9＝4，…，由上可知，一般地，OA n ＝n+1，∴OA 2015＝)2015+1＝31008，∵2015÷4＝503……3，∴点A 2015在x 轴负半轴上，∴A 2015（-31008，0）.9. （4031【解析】在正六边形翻转过程中，点B 翻转时每经过六次翻转就重新落在x 轴上，正六边形每翻转六次称为一个翻转周期，在一个翻转周期内点B 平移的距离为12个单位长度，又2015÷6=335……5，∴2015次翻转实际上是335个翻转周期零5次，∵第5次翻转时B 点的坐标为（11），∴2015次翻转后B 点的坐标为（4031）.10.3)24n【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2，AB 1⊥BC, ∴BB 1=1,AB=2,根据勾股定理得AB 1，∴S 1=2124⨯⨯13()4;∵等边三角形AB 1C 1的边长为3,AB 2⊥B 1C 1, ∴B 1B 2,AB 1AB 2=32, ∴S 2=22133()()24224⨯=; 依此类推：S n3)4n.11. 3024π【解析】转动第一次A 的路线长是904180π⨯=2π,转动第二次A 的路线长是905180π⨯=52π,转动第三次A 的路线长是903180π⨯=32π,转动第四次A 的路线长是0,转动第五次A 的路线长是904180π⨯=2π,…，以此类推，每四次一循环，故顶点A 每转动四次经过的路线长为2π+52π+32π+0＝6π，2015÷4＝503…3，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是：6π×503+（2π+52π+32π)＝3024π.12. 8732【解析】如解图，设直线AD 1与A 1C 1相交于点M ，∵A 1C 1=2,A 1D 2∥AD 1,∴11A M D M = 121A D AD =21,A 1D 1=2-1=1,∴A 1M ＝23,∴1122A M 13A D 23==,由于A 2D 3∥A 1D 2,A 2D 2∥A 1M, ∴△A 1MD 2∽△A 2D 2D 3,∴2312221A D A D A D A M =＝3,∴13A 2D 3+2＝A 2D 3,∴A 2D 3＝3,同理可求得A 3D 4＝92,A 4D 5＝274,…，由以上计算可知从第三个正方形开始，后一个正方形的边长都是前一个正方形边长的32倍，也就是第3个正方形的边长是2×32，第4个正方形的边长是2×（32）2，第5个正方形的边长是2×（32）3，…，第10个正方形的边长应该是2×（32）8=8732.第12题解图13. 【解析】顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即12，则周长是正方形ABCD的2；顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD面积的14，则周长是正方形ABCD的12；顺次连接正方形A2B2C2D2四边的中点得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD面积的18，则周长是正方形ABCD；顺次连接正方形A3B3C3D3四边的中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD面积的116，则周长是正方形ABCD的14；…；故第n个正方形周长是正方形ABCD,以此类推：正方形A8B8C8D8周长是正方形ABCD周长的116，∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，∴按此规律得到的四边形A8B8C8D8的周长为14.类型三与函数相关的规律1. 22014【解析】△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3是等腰直角三角形，且A1B1=OA1=1，A2B2=2A1B1=2，A3B3=2A2B2=22，A4B4=2A3B3=23，…，∴A n B n=2n-1, ∴A2015B2015= 22015-1= 22014，∴OA2015=A2015B2015=22014.2. 2【解析】解答时，可根据题意分别求出a1、a2、a3、a4、…，直到循环为止，由a1=-1.可根据y=-1x 及y=x-1可求得a2=2，a3=12,a4=-1.∴可知每3个数循环一次，因此可得2015÷3=671……2.故a2015与a2的值相同，∴a2015=a2=2.3.(74，0)【解析】∵四边形OA1B1C1是正方形，∴A1B1＝B1C1，∵点B1在直线y＝-x+2上，∴设B1的坐标是（x，-x+2），∴x=-x+2,∴x=1.∴点B1的坐标是（1，1），∴点A1的坐标为（1，0）.∵四边形A1A2B2C2是正方形，∴B2C2＝A1C2，∵点B2在直线y＝-x+2上，∴B2C2＝B1C2，∴B2C2＝12A1B1＝12，∴OA2＝OA1+A1A2=1+12，∴点A2的坐标为（1+12，0）.同理，可得到点A3的坐标为（1+12+212，0），即（74，0）.4. 【解析】由于△A1B0B1是等腰直角三角形，∴A1B0与x轴成45°角，∴点A1的横坐标与纵坐标相等，设点A1（m，m），代入y=x2，得m=m2，解得m1=0(舍去)，m2=1，由勾股定理得：A1B0=A1B1；设点A2的坐标为（n,2+n），代入y=x2，得2+n=n2,解得n1=2,n2=-1(舍去)，∴点A2(2,4)，由此可算得A2B2=2；同样可算得A3B3，…，A nB n=n，于是△A2015B2014B2015的腰长为2015.5. 499【解析】根据题意可知S△OB1C1=S△OB2C2＝S△OB3C3＝12k＝4，∵OA1=A1A2=A2A3,A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，设阴影部分的面积从左向右依次为S1,S2,S3，则S1=12k=4,∵OA1=A1A2=A2A3,∴S2∶S△OB2C2＝1∶4，S3∶S△OB3C3＝1∶9，∴阴影部分的面积分别是S1＝4，S2＝1，S3＝49，∴阴影部分的面积之和＝4+1+49＝499.。
初三数学填空题压轴题题集答案
初三数学填空题压轴题题集答案.（江苏淮安3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD＝ABC的周长等于▲ .【答案】6+【考点】旋转的性质，全等三角形的性质，30°和45°角的直角三角形的性质，勾股定理。
【分析】根据已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°可以得出∠BAC＝60°。
根据旋转的性质知，△ABC≌△AB1C1，所以∠B1AC1＝∠BAC＝60°。
而△AB1C1是由△ABC 绕点A按逆时针方向旋转15°所得，可知∠B1AD＝45°，可以求出AB1＝2（用勾股定理或45°角的余弦函数均可求）。
另一方面Rt△ABC中，由于AB＝AB1＝2，∠ACB＝30°，易求AC＝4，BC＝30°角的直角三角形中30°角所对的边是斜边一半的性质和勾股定理，或30°角的正、余弦函数均可求）。
从而△ABC的周长等于AB＋BC＋AC＝6+5.（江苏南通3分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线y x=相切．设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝▲ ．【答案】9。
【考点】一次函数的图象，直线与圆相切的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】设直线y x=与三个半圆分别切于A，B，C，作AE⊥x轴于E，则在Rt∆AEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=12，OE=32，OO1=2。
则111222222OO12R AOO R BOO3OO3rrr r r∆∆⇒=⇒=⇒=+∽t t同理，111333333OO12R AOO R COO9OO9rrr r r∆∆⇒=⇒=⇒=+∽t t。
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专题突破(一)填空压轴题型规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学生的“数感”提出较高要求．新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景，提升类比迁移等综合素质．因此，这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点．1．[2015·北京]阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB.图Z1－1求作：线段AB 的垂直平分线．小芸的作法如下：如图，图Z1－2(1)分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； (2)作直线CD .所以直线CD 就是的所求作的垂直平分线．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是______________________．2．[2014·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋1)叫做点P 的伴随点，已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，这样依次得到点A 1，A 2，A 3…，A 4…，若点A 1的坐标为(3，1)，则点A 3的坐标为________，点A 2014的坐标为________；若点A 1的坐标为(a ，b )，对于任意正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为__________________．3．[2013·北京] 如图Z1－3，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：t ＝－x －1，双曲线y ＝1x.在l 上取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2，请继续操作并探究：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，….记点A n的横坐标为a n，若a1＝2，则a2＝________，a2013＝________；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不能取．．．的值是________图Z1－34．[2012·北京]在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是________；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝________________(用含n的代数式表示)．图Z1－45．[2011·北京]在下表中，我们把第i行第j列的数记为a i，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a i，j规定如下：当i≥j时，a i，j＝1；当i<j时，a i，j＝0.例如：当i＝2，j＝1时，a i，j＝a2，1＝1.按此规定，a1，3＝________；表中的25个数中，共有______个1；计算a1，1·a i，1＋a1，2·a i，2＋a1，3·a i，3＋a1，4·a i，4＋a1，5·a i，5的值为________．一、与数与式有关的规律探究1．[2015·朝阳一模] 一组按规律排列的式子：2a ，－5a 2，10a 3，－17a 4，26a 5，…，其中第7个式子是________，第n 个式子是________(用含n 的式子表示，n 为正整数)．二、与图形有关的规律探究2．[2015·西城一模] 如图Z1－5，数轴上点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A 3，…，按照这种移动方式进行下去，点A 4表示的数是________，如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是________．图Z1－53．[2014·延庆县一模] 如图Z1－6，点E ，D 分别是正三角形ABC 、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN 中以C 点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点，且BE ＝CD ，DB 的延长线交AE 于点F ，则图①中∠AFB的度数为________；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB的度数为________．(用含n的代数式表示，其中，n≥3且n为整数)图Z1－64．[2014·昌平区一模]已知：四边形ABCD的面积为1.如图Z1－7①，取四边形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积为________；如图Z1－7②，取四边形ABCD各边的三等分点，则图中阴影部分的面积为________；…；取四边形ABCD各边的n(n为大于1的整数)等分点，则图中阴影部分的面积为________．图Z1－7三、平面直角坐标系中的规律探究5．[2014·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x，作A1(1，0)关于直线y＝x的对称点B1，将点B1向右平移2个单位得到点A2；再作A2关于直线y＝x的对称点B2，将点B2向右平移2个单位得到点A3；….请继续操作并探究：点A3的坐标是________，点B2014的坐标是________．6．[2015·房山一模]如图Z1－8，在平面直角坐标系中放置了5个正方形，点B1(0，2)在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是(1，0)，B1C1∥B2C2∥B3C3.则点A1到x轴的距离是________，点A2到x轴的距离是________，点A3到x轴的距离是________．图Z1－87．[2015·东城一模]在平面直角坐标系xOy中，记直线y＝x＋1为l.点A1是直线l与y轴的交点，以A1O为边作正方形A1OC1B1，使点C1落在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以A2C1为边作正方形A2C1C2B2，使点C2落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图Z1－9所示的图形．则点B4的坐标是________，点B n的坐标是________．图Z1－98．[2014·丰台一模]如图Z1－10，已知直线l：y＝33x，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于一点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此作法进行下去，点A4的坐标为(________，________)；点A n的坐标为(________，________)．图Z1－109．[2014·顺义一模] 如图Z1－11，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4，…表示，其中x 轴与边A 1A 2，边A 1A 2与A 4A 5，A 4A 5与A 7A 8，…均相距一个单位长度，则顶点A 3的坐标为________，A 31的坐标为________，A 3n －2(n 为正整数)的坐标为________．图Z1－1110．[2014·通州一模] 如图Z1－12，在反比例函数y ＝4x(x ≥0)的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P n (n 为正整数，且n ≥1)，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n (n 为正整数，且n ≥1)．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分(近似看成三角形)的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，…，S n －1(n 为正整数，且n ≥2)，那么S 1＋S 2＋S 3＝________，S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋…＋S n －1＝________(用含有n 的代数式表示)．图Z1－1211．[2014·燕山一模]如图Z1－13，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将线段OP0绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，…，这样依次得到线段OP3，OP4，…，OP n.则点P2的坐标为________；当n＝4m＋1(m为自然数)时，点P n的坐标为________________．图Z1－1312．[2014·西城一模]如图Z1－14，在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(2，0)，正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时，点D的坐标为________；在运动过程中，点A 的纵坐标的最大值是________；保持上述运动过程，经过点(2014，3)的正六边形的顶点是________．图Z1－1413．[2015·东城二模]如图Z1－15，已知A1，A2，…，A n，A n＋1在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n A n＋1＝1，分别过点A1，A2，…，A n，A n＋1作x轴的垂线交直线y＝x于点B1，B2，…，B n，B n＋1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，A n B n＋1，B n A n＋1，依次相交于点P1，P2，P3，…，P n，△A1B1P1，△A2B2P2，…，△A n B n P n的面积依次记为S1，S2，…，S n，则S1＝________，S n＝________．图Z1－15四、定义新运算14．[2014·东城一模]现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5，根据定义的运算求2★(－1)＝________．若x★2＝6，则实数x的值是________．15．[2015·燕山一模]定义：对于任意一个不为1的有理数a，把11－a称为a的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.记a1＝12，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2＝________，a2015＝________．16．[2015·海淀一模]若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为________．17．[2014·海淀一模] 在一次数学游戏中，老师在A ，B ，C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a 0，b 0，c 0，记为G 0＝(a 0，b 0，c 0)．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)，记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，则游戏结束．n 次操作后的糖果数记为G n ＝(a n ，b n ，c n )．(1)若G 0＝(4，7，10)，则第________次操作后游戏结束；(2)小明发现：若G 0＝(4，8，18)，则游戏永远无法结束，那么G 2014＝________．18．[2015·海淀模拟] 对于正整数n ，定义F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n <10f （n ），n ≥10，其中f (n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)＝62＝36，F (123)＝f ()123＝12＋32＝10.规定F 1(n )＝F (n )，F k ＋1(n )＝F (F k (n ))(k 为正整数)．例如：F 1()123＝F ()123＝10，F 2(123)＝F (F 1(123))＝F (10)＝1.(1)求：F 2(4)＝________，F 2015(4)＝________；(2)若F 3m (4)＝89，则正整数m 的最小值是________．19．[2015·海淀二模] 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向(横向、竖向或者是斜着的方向)上连成五子者为胜．如图Z1－16，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O 为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A 的坐标为(7，5)，则白子B 的坐标为________；为了不让白方在短时间内获胜，此时黑方应该下在坐标为________的位置处．图Z1－16参考答案1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 2．(－3，1) (0，4) －1＜a ＜1且0＜b ＜2 [解析] ∵A 1的坐标为(3，1)，∴A 2(0，4)，A 3(－3，1)，A 4(0，－2)，A 5(3，1)， …，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵2014÷4＝503……2，∴点A 2014的坐标与A 2的坐标相同，为(0，4)； ∵点A 1的坐标为(a ，b )，∴A 2(－b ＋1，a ＋1)，A 3(－a ，－b ＋2)，A 4(b －1，－a ＋1)，A 5(a ，b )， …，以此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，－a ＋1＞0，⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋2＞0，b ＞0，解得－1＜a ＜1，0＜b ＜2.3．－32 －13 0，－1 [解析] 当a 1＝2时，B 1的纵坐标为b 1＝12，B 1的纵坐标和A 2的纵坐标相同，则A 2的横坐标为a 2＝－32，A 2的横坐标和B 2的横坐标相同，则B 2的纵坐标为b 2＝－23，B 2的纵坐标和A 3的纵坐标相同，则A 3的横坐标为a 3＝－13，A 3的横坐标和B 3的横坐标相同，则B 3的纵坐标为b 3＝－3， B 3的纵坐标和A 4的纵坐标相同，则A 4的横坐标为a 4＝2， A 4的横坐标和B 4的横坐标相同，则B 4的纵坐标为b 2＝12，即当a 1＝2时，a 2＝－32，a 3＝－13，a 4＝2，a 5＝－32，b 1＝12，b 2＝－23，b 3＝－3，b 4＝12，b 5＝－23，∵20133＝671，∴a 2013＝a 3＝－13； 点A 1不能在y 轴上(此时找不到B 1)，即x ≠0，点A 1不能在x 轴上(此时A 2在y 轴上，找不到B 2)，即y ＝－x －1≠0， 解得x ≠－1.综上可得a 1不可取0，－1.4．3或4 6n －3 [解析] 如图：当点B 在(3，0)点或(4，0)点时，△AOB 内部(不包括边界)的整点为点(1，1)，(1，2)，(2，1)，共三个点，所以当m ＝3时，点B 的横坐标的所有可能值是3或4.当点B 的横坐标为8时，n ＝2，△AOB 的内部(不包括边界)的整点个数m ＝（4×2＋1－2）×3－32＝9.当点B 的横坐标为12时，n ＝3，△AOB 的内部(不包括边界)的整点个数m ＝（4×3＋1－2）×3－32＝15.所以当点B 的横坐标为4n (n 为正整数)时，m ＝（4×n ＋1－2）×3－32＝6n －3.5．0 15 1 [解析] 由题意当i ＜j 时，a i ，j ＝0，当i ≥j 时，a i ，j ＝1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．由题意，很容易发现，从i 与j 之间大小关系分析： 当i ＜j 时，a i ，j ＝0； 当i ≥j 时，a i ，j ＝1，∴a 1，1·a i ，1＋a 1，2·a i ，2＋a 1，3·a i ，3＋a 1，4·a i ，4＋a 1，5·a i ，5＝1×1＋0＋0＋0＋0＝1.一、与数与式有关的规律探究1.50a7 (－1)n ＋1·n 2＋1a n [解析] 观察分母的变化为a 的1次幂、2次幂、3次幂、…、n 次幂；分子的变化为：2，5，10，17，…，n 2＋1；分式符号的变化为：＋，－，＋，－，…，(－1)n ＋1.∵2a ＝(－1)2·12＋1a 1， －5a 2＝(－1)3·22＋1a 2， 10a 3＝(－1)4·32＋1a 3， …∴第7个式子是50a 7，第n 个式子为：(－1)n ＋1·n 2＋1an .二、与图形有关的规律探究2．7 13 [解析] 序号为奇数的点在点A 的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A 的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A 13表示的数以及A 12表示的数，则可判断A n 与原点的距离不小于20时n 的最小值．第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，则A 1表示的数为1－3＝－2； 第2次点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，则A 2表示的数为－2＋6＝4； 第3次点A 2向左移动9个单位长度至点A 3，则A 3表示的数为4－9＝－5； 第4次点A 3向右移动12个单位长度至点A 4，则A 4表示的数为－5＋12＝7. 第5次点A 4向左移动15个单位长度至点A 5，则A 5表示的数为7－15＝－8； …则点A 7表示的数为－8－3＝－11，点A 9表示的数为－11－3＝－14，A 11表示的数为－14－3＝－17，A 13表示的数为－17－3＝－20，A 6表示的数为7＋3＝10，A 8表示的数为10＋3＝13，A 10表示的数为13＋3＝16，A 12表示的数为16＋3＝19，所以如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是13.3．60°（n －2）·180°n[解析] (1)在①中的正三角形ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠ABE ＝∠BCD ＝120°， 又∵BE ＝CD ，∴△ABE ≌△BCD ， ∴∠E ＝∠D ，又∵∠FBE ＝∠CBD ，∴∠AFB ＝∠E ＋∠FBE ＝∠D ＋∠CBD ＝∠ACB ＝60°.由以上不难得到②中△AEB ≌△BDC ，进一步证出③中△BEF ∽△BDC ，得出，②中∠AFB 的度数等于∠DCB ＝90°，同理可得③中∠AFB 度数等于∠BCM ＝108°.(2)由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB 的度数分别为60°，90°，108°，可得出正n 边形中，其他条件不变，则∠AFB 的度数为（n －2）·180°n.4.12 79 1－2n2 [解析] 如图①，连接AC ，BD.∵点A 1，D 1是边AB ，AD 的中点， ∴A 1，D 1是△ABD 的中位线， ∴A 1D 1∥BD ，A 1D 1＝12BD ，∴△AA 1D 1∽△ABD ， ∴S △AA 1D 1S △ABD ＝⎝⎛⎭⎫A 1D 1BD 2＝14，∴S △AA 1D 1＝14S △AB D .同理，S △CB 1C 1＝14S △BCD ，S △BA 1B 1＝14S △ABC ，S △DD 1C 1＝14S △ACD ，∴S 阴影＝S 四边形ABCD －(S △AA 1D 1＋S △CB 1C 1＋S △BA 1B 1＋S △DD 1C 1)＝1－14(S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S△ACD)＝1－24S 四边形ABCD ＝1－12＝12.如图②同理可得S 阴影＝1－19(S △ABC ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－29S 四边形ABCD ＝1－29＝79.当取四边形ABCD 各边的n (n 为大于1的整数)等分点时，则 S 阴影＝1－1n 2(S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－2n 2S 四边形ABCD ＝1－2n2.三、平面直角坐标系中的规律探究5．(3，2) (2013，2014) [解析] 根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案． 如图所示：点A 3的坐标是(3，2)，∵B1(0，1)，B2(1，2)，B3(2，3)，∴B点横坐标比纵坐标小1，∴点B2014的坐标是：(2013，2014)．故答案为：(3，2)，(2013，2014)．6．332347．(15，8)(2n－1，2n－1)[解析] 根据一次函数，得出点A1，A2的坐标，继而得知B1，B2等点的坐标，从中找出规律，进而可求出B n的坐标．把x＝0代入y＝x＋1，可得y＝1，所以可得点B1的坐标是(1，1)．把x＝1代入直线y＝x＋1，可得y＝2，所以可得点B2的坐标是(3，2)，同理可得点B3的坐标是(7，4)；点B4的坐标是(15，8)；由以上得出规律是B n的坐标为(2n－1，2n－1)．[点评] 本题考查了正方形的性质，解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．8．0802n－1[解析] 已知直线y＝33x，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，可知B1点的坐标为(3，1)，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2，OA2＝OB1＝2OA1＝2，点A2的坐标为(0，2)，这种方法可求得B2的坐标为(2 3，2)，故点A3的坐标为(0，4)，点A4的坐标为(0，8)，此类推便可求出点A n的坐标为(0，2n－1)．9．(0，1－3)(－11，11)(－n，n)[解析] ∵从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，其中x轴与边A1A2，边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8，…均相距一个单位长度，∴A1A2＝2，A1E＝1，A1(－1，1)，∴EA3＝3，则OA3＝3－1，则顶点A3的坐标为：(0，1－3)．同理可得出：A4(－2，2)，A7(－3，3)，…∵4＝2×3－2，7＝3×3－2，10＝4×3－2，…，31＝11×3－2，∴A31的坐标为：(－11，11)，∴A 3n －2(n 为正整数)的坐标为(－n ，n )．10.32 2－2n [解析] 当x ＝1时，P 1的纵坐标为4，当x ＝2时，P 2的纵坐标为2， 当x ＝3时，P 3的纵坐标为43，当x ＝4时，P 4的纵坐标为1， 当x ＝5时，P 5的纵坐标为45，…则S 1＝12×1×(4－2)＝1＝2－1；S 2＝12×1×(2－43)＝13＝1－23；S 3＝12×1×(43－1)＝16＝23－24；∴S 1＋S 2＋S 3＝2－1＋1－23＋23－24＝2－24＝32；S 4＝12×1×(1－45)＝110＝24－25；…S n －1＝2n －1－2n；∴S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋…＋S n －1 ＝2－1＋1－23＋23－24＋…＋2n －1－2n＝2－2n .故答案为32，2－2n .11．(0，－4)(－2·2n－1，2·2n－1)(m为正奇数)或(2·2n－1，－2·2n－1)(m为0和正偶数)[解析] 根据点P0坐标可求出OP0，然后分别求出OP1，OP2，OP3，OP4，…，OP n，再根据点P2在y轴负半轴上写出P2的坐标即可；分n是正奇数和n是0和正偶数两种情况确定出点P n所在的象限，然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可，∵P0的坐标为(1，0)，∴OP0＝1.∴OP1＝2，OP2＝2×2＝22，OP3＝22×2＝23，OP4＝23×2＝24，…，OP n＝2n－1×2＝2n.∵每次旋转45°，点P0在x轴正半轴上，∴点P2在y轴负半轴上．∴点P2的坐标为(0，－4)．∵OP n为所在象限的平分线，①m为正奇数时，点P n在第二象限，②m为0和正偶数时，点P n在第四象限．综上所述，点P n的坐标为(－2·2n－1，2·2n－1)(m为正奇数)，(2·2n－1，－2·2n－1)(m为0和正偶数)12．(4，0)2A或C[解析] ∵点A(1，0)，B(2，0)，∴OA＝1，OB＝2，∴正六边形的边长为：AB＝1，∴当点D第一次落在x轴上时，OD＝2＋1＋1＝4，此时点D的坐标为：(4，0)．如图所示：当滚动到A′D⊥x轴时，E，F，A的对应点分别是E′，F′，A′，连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，垂足分别为G，H，∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠A ′F ′G ＝30°， ∴A ′G ＝12A ′F ′＝12，同理可得：HD ＝12，∴A ′D ＝2，∴在运动过程中，点A 的纵坐标的最大值是2. ∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴A 点从点(1，0)开始到点(2014，3)，正六边形正好滚动2013个单位长度． ∵20136＝335……3， ∴恰好滚动335周多3个，A ′点的纵坐标为3， ∴会过点(2014，3)的是点A ， 当点E 在(2014，0)位置时，则点F 在(2015，0)位置，此时C 点在E 点的正上方，CE ＝3，所以C 点也符合题意．13.16 n 24n ＋2[解析] ∵A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点B 1，B 2，…，B n ，B n ＋1，∴依题意得：B 1(1，1)，B 2(2，2)，B 3(3，3)，…，B n (n ，n )． ∵A 1B 1∥A 2B 2，∴△A 1B 1P 1∽△B 2A 2P 1， ∵A 1B 1A 2B 2＝12， ∴△A 1B 1P 1与△A 2B 2P 1对应高的比为1∶2. ∵A 1A 2＝1，∴A 1B 1边上的高为13，∴S △A 1B 1P 1＝13×1×12＝16，同理可得：S △A 2B 2P 2＝25，S △A 3B 3P 3＝914，∴S n ＝n 24n ＋2.故答案为16，n 24n ＋2.四、定义新运算14．－3 －1或4 [解析] ∵a ★b ＝a 2－3a ＋b ， x ★2＝6，∴x 2－3x ＋2＝6，解得x ＝－1或x ＝4.15．2 2 [解析] 首先根据a 1＝12，可得a 2＝11－a 1＝11－12＝2，a 3＝11－a 2＝11－2＝－1，a 4＝11－a 3＝11－（－1）＝12，…，所以这列数是12，2，－1，12，2，－1，…，每3个数是一个循环，然后用2015除以3，求出一共有多少个循环，还剩下几个数，进而判断出a 2015的值是多少即可．16．30°或150° [解析] 根据边长等于半径时，边长所对的圆心角为60°，根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质求出等径角的度数．如图，边AB 与半径相等时， 则∠AOB ＝60°，当等径角的顶点为C时，∠C＝12∠AOB＝30°，当等径角顶点为D时，∠C＋∠D＝180°，∠D＝150°，故答案为：30°或150°.17．(1)3(2)(11，9，10)[解析] (1)若G0＝(4，7，10)，第一次操作结果为G1＝(5，8，8)，第二次操作结果为G2＝(6，6，9)，第三次操作结果为G3＝(7，7，7)，所以经过3次操作后游戏结束．(2)若G0＝(4，8，18)，则G1＝(5，9，16)，G2＝(6，10，14)，G3＝(7，11，12)，G4＝(8，12，10)，G5＝(9，10，11)，G6＝(10，11，9)，G7＝(11，9，10)，G8＝(9，10，11)，G9＝(10，11，9)，G10＝(11，9，10)，…由此看出从G5开始3个一循环，(2014－4)÷3＝670，所以G2014与G7相同，也就是(11，9，10)．18．(1)3726(2)6[解析] 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一循环，根据这些规律计算即可．(1)F2(4)＝F(F1(4))＝F(16)＝12＋62＝37；F1(4)＝F(4)＝16，F2(4)＝37，F3(4)＝58，F4(4)＝89，F5(4)＝145，F6(4)＝26，F7(4)＝40，F8(4)＝16，…，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015(4)＝F6(4)＝26.(2)由(1)知，这些数字7个一个循环，F4(4)＝89＝F18(4)，因此3m＝18，所以m＝6.19．(5，1)(3，7)或(7，3)[解析] 根据题意得，白子点B的坐标为(5，1)．因为白方已把(4，6)，(5，5)，(6，4)三点凑在一条直线上，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，即位置(3，7)或(7，3)．。