材料4--选择题的常见解法(2011)

1 x 2 y 2 z 2 xy yz zx [( x y ) 2 ( z y ) 2 ( z x ) 2 ] 75 ． 2
故正确选项为 B． 注：特殊值代入法．令 y 0 ，则 x 5, z 10 ，所以
x 2 y 2 z 2 xy yz zx 25 100 50 75 ．
50 0 0 ，则持股最多的股东所持股份占总股份的最大百分比是（
A． 25 0 0 答 A． B. 30 0 0 C. 35 0 0
） ．
D． 40 0 0
分析：除了最大股东外，其他 9 个股东中的任意 6 个所持股份要不少于 50 0 0 ，所以这 9 个 股东所持的股份要不少于 75 0 0 ，因此最大股东所持的股份最多为 25 0 0 ． 例 5．已知 a 0, b 0, 且a b 2 ，则（ (A) ab 答：C． ） (C) a 2 b 2 2 (D) a 2 b 2 3
1 f (a ) n （ 设 f ( x ) 0 ，且导数存在，则 lim n ln f ( a ) n
A． 0 B． ∞ C． ln f (a ) D．
） ．
f (a ) f ( a)
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(A) a, c, d , e, b
(B) a, d , e, c, b
(C) a, e, d , c, b
(D) a, c, d , e, b
注：取 a 3, b 1 ，则 c 2, d
5 , e 3 14 ．
例 7． （200711） 当 x 1 和 x 2 时, A． m 2, n 3 C． m 2, n 3
1 1 , y 0 0 ，则点 ( x0 , y 0 ) ( ,0) 在 x 2 y 2 1 内，这时直 2 2
注：特殊值代入法．取 x0
线 x0 x y 0 y 1 变为 x 2 ．由此便知正确选项为 A． 例 4.（2010）若某公司有 10 个股东，他们中任意 6 个股东所持股份的和都不少于总股份的
（二）特殊函数
例 1． （2003） 函数 y f (1 x) 与 y f (1 x ) 的图形关于（ C ） ． A．直线 x 1 对称． B．直线 x 1 对称．C．直线 x 0 对称． 称． 分析：记 g ( x ) f (1 x), h( x) f (1 x) ，由于 D．直线 y 0 对
1
qq q q q
2 3 n
ห้องสมุดไป่ตู้
1 n ( n 1) 2
n 1 2 ．
1
n
注：特殊值代入法，取 n 1 ，则数列为 1, 2, 2 ，插入的数为 2 (1 1) 2 ．即只有选项 A 满足．
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例 3． （2003） 设点 ( x0 , y0 ) 在圆 x A．不相交 C．有两个交点且两交点间的距离小于 2 答：A． 分析：查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，及判断直线与圆的位置关系的方法． 根据题意可知 是d
2
所以， (m n) x (2m n) x 1 ，于是比较系数得 m n 1, 2m n 1 ， 解得 m 2, n 3 ．
m n n 1 0 m 2 2 ，解得 m 2, n 3 ． 注：特殊值代入法．令 x 1 得 2 3 ，令 x 0 得
称．故正确选项为 C． 注：作为选择问题，利用特殊值代入法处理本题是最有效 的 ． 如 取 f ( x ) x ， 则 y f (1 x ) 1 x 与
y f (1 x) 1 x 是两条关于 y 对称的直线．
例 2． （2009）设函数 g ( x) 在 x 0 点某邻域内有定义．若 lim A． g ( x) 在 x 0 点连续，但不可导 C． lim g ( x ) 存在，但 g ( x) 在 x 0 点不连续
（一）特殊数值
例 1． （2005） 已知 x
y 5且z y 10 ，则 x 2 y 2 z 2 xy yz zx （
） ．
A． 50 B． 75 C．100 D．105 答：B． 分析：本题是 2005 年的一道考题，主要考查了两数差的平方公式．根据题中条件，如何将 平方项及交叉乘积项与两数之差联系起来是求解本题的关键． 由于 x y 5, z y 10 ，所以 z x 5 ，从而
分析：取 a b c d 1 ，则 y
1 3 1 ax bx 2 cx d x 3 x 2 x 1 ， 3 3 1 y x 2 2 x 1 ( x 1) 2 0 ，即函数 y x3 x 2 x 1 单调递增． 3
sin x 的高阶无穷小 ( x 0) ，从而是 x 的高阶无穷小．正确选项为 D．
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注 1：特殊值代入法．取 g ( x )
x 2 , x 0, x g ( x) 则 lim 1 ，但选项 A，B，C 都不成 x 0 sin x A, x 0,
x 1 m n 恒成立，则（ A x 3x 2 x 1 x 2
2
） ．
B． m 3, n 2 D． m 3, n 2
分析：考查分式运算，因式分解，待定系数法等．
m( x 2) n( x 1) (m n) x (2m n) x 1 m n ， x 3x 2 x 1 x 2 ( x 1)( x 2) x 2 3x 2
x 0
f (x ) f ( x) 等于（ B ） x
(A)
(B)
(C)
1 1
(D)
1 1
注：取 f ( x ) x ，则 lim
x0
f ( x ) f ( x) xx lim x 0 x x
例 5． （2006）
1 n
2 (n 1, 2,3, ) ，则 f (0) （ n
D． 3
） ．
1 2 f (0) lim f ( ) lim 0 ， f (0) lim n n n n n
即正确选项为 C．
1 f ( ) f ( 0) n 2． 1 n
注：作为选择题，本题的简单方法是取 f ( x ) 2 x ，则 f ( x ) 满足题中条件，且 f ( x ) 2 ， 特别地有 f (0) 2 ． 例 4．设 f (0) 1, , 为常数，且 0 ，则 lim
例 2． （2006） 设 n 为正整数，在1 与 n 1 之间插入 n 个正数，使这 n 2 个数成等比数列，则所插入 的 n 个正数之积等于（ ） ．
n
A． (1 n) 2 答：A
B． (1 n)
n
C． (1 n)
2n
D． (1 n)
3n
分析： （本题是代数题．考查了乘方运算的性质、等比数列的概念和通项公式） 设 此 等 比 数 列 的 公 比 为 q ， 则 q n 1 n 1 ， 即 q n 1 n 1 ， 所 以
A． cos( x y ) sin( x y ) sin y C． sin( x y ) sin y cos( x y ) 答：A． 分析：特殊值代入法例如，取 x
π 2π ,y ，则 6 3
sin y
3 1 3 , sin( x y ) , cos( x y ) ，可知正确选项为 A． 2 2 2
例 8． 设0 x
π π 3π , y , 则 sin y, sin( x y ), cos( x y ) 从小到大的次序为 （ ） ． 2 2 4
B． sin y sin( x y ) cos( x y ) C． sin y cos( x y ) sin( x y )
x 0
x g ( x) 1 成立，则（ x 0 sin x
） ．
B． g ( x) 在 x 0 点可导 D． x 0 时， g ( x) 是 x 的高阶无穷小
【分析】 本题是微积分中极限部分的无穷小比较问题， 考查了极限四则运算及高阶无穷小的 概念． 因为 lim
g ( x) x g ( x) x g ( x) x 1 ，所以 lim lim 1 1 0 ，即 g ( x) 是 x 0 sin x x 0 sin x x 0 sin x sin x
π 2π ,y 也可！ 3 3 1 3 ax bx 2 cx d （ 3
） ．
注：取 x
例 9.（2010）若 a, b, c, d 成等比数列，则函数 y A．有极大值，而无极小值 C．有极大值，也有极小值 答：D．
B．无极大值，而有极小值 D．无极大值，也无极小值
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选择题的几种常见解法 一、特殊值代入法 注 1： 当寻找对一类量都成立 （或一样） 的结论时， 可以通过一组具体的量得到相应的结果． 这 一组具体的量可以是数值、函数、矩阵、向量、图形、甚至位置等． 注 2：对于选项是函数等式或函数不等式的问题，可以通过取具体的点排除掉错误选项．
1 2
(B) ab
1 2
ab 2 2 2 分析：因为 ab ( ab ) 1 ，所以 a b (a b) 2ab 4 2ab 2 ． 2
2
2
注：特殊值代入法．取 a 0, b 2 ，则排除选项 B，D．取 a b 1 ，则排除选项 A． 例 6． 今有 a, b, c, d , e 个球 ． 己知 a 球比 b 球大；c 球的半径是 a, b 两球半径的平均值；d 球的表面积是 a, b 两球表面积的平均值； e 球的体积是 a, b 两球体积的平均值，则这五个球 从大到小排列的次序是 ( a, b, c, d , e )