(新高考)2021届高三11月高考模拟特供卷 数学(四)学生版
2021届高三数学新高考押题密卷-小题(4)-试卷
2021届高三数学新高考押题密卷（4） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1. 已知函数223yxx=−++的定义域为集合M，集合N＝02xx，则MN＝（ ）
A. [﹣1，3] B. [0，2] C. [0，1] D. [﹣1，4] 2. 平流层是指地球表面以上10km到50km的区域,下述不等式中,x能表示平流层高度的是( )
A. |10|50x+ B. |10|50x− C. |30|20x+ D. |30|20x−
3. 命题“2[2,),4xx+”的否定是（ ）
A. 2[2,),4xx+ B. 2(,2),4xx− C. 200[2,),4xx+ D. 200[2,),4xx+ 4. 某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间该“跑团
”
每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在8．9月份
D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
5. 已知二次函数()()()1fxxmxn=−−+，且1x，2x是方程()0fx=的两个根，则1x，2x，m，n的大小关系可能是（ ） A. 12xxmn B. 12
xmxn
C. 12mnxx D. 12mxxn
6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池
盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则该处的平地降雨量
（盆中积水体积与盆口面积之比）为（ ）（台体体积公式：V台体＝11221()3SSSSh++，1S，2S分别为上、下底面面积，h为台体的高，一尺等于10寸）
2021年高三数学11月月考试题 文(含解析)新人教A版
2021年高三数学11月月考试题文（含解析）新人教A版【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上）【题文】1.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A． B． C． D．【知识点】复数的有关概念；复数运算. L4【答案】【解析】D 解析：由是纯虚数得，所以=，所以z的模等于，故选D.【思路点拨】由为纯虚数得，所以z=，所以z的模等于.【题文】2.如图所示的程序框图的输入值，则输出值的取值范围为（）A． B． C． D．【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】B 解析：由程序框图可知，输出的y值是函数在时的值域，所以输出值的取值范围为，故选B.【思路点拨】由框图得其描述的意义，从而得到输出值的取值范围.【题文】3.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A． B．6 C．4 D．【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】A解析：由三视图可知此几何体是正方体，挖去一个以正方体上底面为底面，正方体的中心为顶点的四棱锥，所以其体积为，故选A.【思路点拨】由三视图得该几何体的结构，从而求得该几何体的体积.【题文】4.下列命题正确的个数是（）①“在三角形中，若,则”的逆命题是真命题；②命题或，命题则是的必要不充分条件；③“”的否定是“”；④从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；A．1 B．2 C．3 D．4【知识点】命题及其关系；充分条件；必要条件；含量词的命题的否定；抽样方法.A2 A3 I1【答案】【解析】C解析：①分A、B是锐角且，和A是钝角且讨论两种情况，得命题①正确；②利用“若p则q”的逆否命题中，条件与结论的关系判定②正确；③“”的否定是“”，所以③不正确；显然④正确.故选C.【思路点拨】利用命题及其关系，充分条、，必要条件的意义，含量词的命题的否定方法，各种抽样方法的意义及其适用的总体特征，逐一分析各命题的正误即可..【题文】5.已知等比数列的前n项和为，且，，则（）A ．B ．C ．D ． 【知识点】等比数列. D3【答案】【解析】D 解析：由，得，所以， 故选D.【思路点拨】根据等比数列的通项公式，前n 项和公式求解.【题文】6.若函数的图像向右平移个单位后图像关于轴对称，则的最小正值是 （ ）A ．B ．1C ．2D ． 【知识点】平移变换；函数的图与性质. C4【答案】【解析】D 解析：函数的图像向右平移个单位得，sin sin 333y x x πππωπωω⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，这时图像关于轴对称，所以 13,322k k k Z πωπππω--=+⇒=--∈，所以的最小正值是.故选D. 【思路点拨】根据平移变换法则得平移后的函数解析式，再由平移后的对称性得关于的方程，进而得到的最小正值.【题文】7.已知实数满足则的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 【知识点】简单的线性规划问题. E5【答案】【解析】C 解析：画出可行域如图，平移目标函数知，点A （3,2）为取得最大值的最优解，所以的最大值为.故选 C.【思路点拨】画出可行域，平移目标函数得，使目标函数取得最大值的最优解即可. 【题文】8.已知菱形的边长为4，，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）A. B. C. D. 【知识点】几何概型. K3【答案】【解析】D 解析：以A 、B 、C 、D 为圆心1为半径的圆在菱形内的面积为: ,(任意两圆相离)，而菱形的面积为8，所以所求概率为，故选D.【思路点拨】先求菱形中，到点A 、B 、C 、D 的某一个点的距离小于1的点构成图像的面积，然后利用几何概型求得概率.【题文】9.已知函数与轴相切于点，且极小值为，则（ ）A.12B.15C.13D.16【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值. B11 B12 【答案】【解析】B 解析：，由题意得方程有两个相等实根，即，()220000()3233x f x x x x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭=0，得，因为，所以，解得，所以，所以p=6,q=9,从而p+q=15.故选B.【思路点拨】，由题意得方程有两个相等实根，即，再由f(x)有极小值-4得，从而可求得p 、q 值.【题文】10.已知R 上的连续函数g (x )满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。
2021届高三11月高考模拟特供卷 理科数学(一)学生版
2020-2021学年11月份内部特供卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2log 1A x x =∈≤N ，集合{}25B x x =∈≤Z ，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．∅2．已知i 是虚数单位，则复数37iiz +=的实部和虚部分别为（ ） A ．7，3i -B ．7-，3C ．7-，3iD ．7，3-3．已知函数()()lg 1f x x =-的值域为(],0-∞，则函数()f x 的定义域为（ ） A ．[)0,+∞B ．[)0,1C ．[)–9,+∞D ．[)9,1-4．下列命题中正确的是（ ）A ．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B ．垂直于同一平面的两个平面平行C ．存在两条异面直线同时平行于同一平面D ．三点确定一个平面 5．已知函数π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线π8x =对称 C ．关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线π4x =对称 6．若1sin(π)3α+=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．89-B ．429-C ．429D ．897．若函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．21()1x e f x x -=-B ．2()1xe f x x =-C ．321()1x x f x x ++=- D ．421()1x x f x x ++=- 8．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．10 C ．15 D ．6 9．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos b c A =，2cos c b A =， 则ABC △的形状为（ ） A ．直角三角型 B ．钝角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形10．已知函数()cos 2os()2πc f x x a x =++在区间ππ(,)62上是增函数，则实数a 的取值范围 为（ ）A ．[2,)-+∞B ．(2,)-+∞C ．(,4]-∞-D ．(,4)-∞-11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段11B C 上，直线OP与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。
高三11月内部特供卷 理科数学(四)学生版
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------金戈铁骑 2018届高三11月份内部特供卷高三理科数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．3i 1i -=-（ ） A ．12i - B ．12i + C ．2i - D ．2i +2．已知全集U =R ，集合{}220A x x x =--<，41log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B =∅I B ．U A B=R U ð C ．A B B =I D ．A B B =U3．已知,,a b c 是空间不同的三条直线，则下列四个命题正确的是（ ）①,a b b c a c ⇒∥∥∥； ②,a b b c a c ⊥⊥⇒⊥；③,a b b c a c ⊥⊥⇒∥； ④,a b b c a c ⊥⇒⊥∥．A ．①④B ．②④C ．①③D ．①③④ 4．若等比数列{}n a 的首项为23，且()44112a x dx =+⎰，则公比等于（ ）A ．－3B ．3C ．2D ．－25．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a b 、分别为5、2，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 6．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则2πsin cos 22αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A ．0 B ．25 C ．65 D ．85 7．已知变量x y ，满足24010x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥，则2z x y =-+的最大值是（ ） A ．12- B ．2 C ．－2 D ．－8 8．下列命题正确的个数是（ ） ①命题“0x ∃∈R ，20013x x +>”的否定是“x ∀∈R ，213x x +≤”； ②函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立()()2max min 2x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立； ④“平面向量a r 与b r 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<r r ”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．若()()21ln 22f x x a x =-++在()1,-+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．(],1-∞- D ．()1,1- 10．若将函数()()()sin 23cos 2f x x x ϕϕ=+++()0πϕ<<的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()()cos g x x ϕ=+在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值 为（ ）此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------A ．12-B ．32-C ．22 D ．1211．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，过点()3,6P 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为()12,15N ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．32 C ．355 D ．5212．若存在m ，使得关于x 的方程()()224e ln ln 0x a x m x x m x ++-+-=⎡⎤⎣⎦成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭UB ．10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．()62x y -的展开式中，24x y 的系数为__________．14．直线l 与圆()222403x y x y a a ++-+=<相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为()2,3-，则直线l 的方程为__________．15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若4a b +=，23c =，且23CA CB ⋅=u u u r u u u r ，则ABC △的面积是__________．16．已知O 为ABC △的外心，其外接圆半径为1，且BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ．若60ABC ∠=︒，则λμ+的最大值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券．若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和． （1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）．求随机变量X 的分布列和数学期望． 19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，32245AB AD ABC ==∠=︒，，，P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =，2BE EA =，F 为AD 的中点，M 在线段CD 上，且CM CD λ=． （1）当23λ=时，证明：平面PFM ⊥平面PAB ； （2）当平面PAM 与平面ABCD 所成二面角的正弦值为25时，求四棱锥P ABCM -的体积．-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------金戈铁骑 20．已知点P 在圆22:4C x y +=上，而Q 为P 在x 轴上的投影，且点N 满足PN NQ =u u u r u u u r ，设动点N 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若A ，B 是曲线E 上两点，且||2AB =，O 为坐标原点，求AOB △的面积的最大值．21．设函数()ln 1f x x kx =-+．（1）研究函数()f x 的极值点；（2）当0k >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求k 的取值范围；（3）证明：()2222222ln 2ln 3ln 21,2232(1)n n n n n n n --+++<∈+N L ≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线l 过定点()1,0-，且倾斜角为()0παα<<，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()cos cos 8ρθρθ=+． （1）写出l 的参数方程和C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B两点，且AB =α的值． 23．选修4－5：不等式选讲 设函数()1f x x x m =++-的最小值是－3． （1）求m 的值； （2）若11m a b +=，是否存在正实数,a b 满足()()7112a b ++=？并说明理由．-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------金戈铁骑金戈铁骑 2018届高三11月份内部特供卷高三理科数学（四）答 案一、选择题1－5：DCABC 6－10：DABCD 11、12：BA二、填空题13．240 14．50x y -+= 1516．23三、解答题17．【答案】（1）由231n n S a =-······①，11231n n S a --=-······②，()2n ≥①－②得1233n n n a a a -=-，∴13nn a a -=，又当1n =时，11231S a =-，即11a =，（符合题意）∴{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13n n a -=．（2）由（1）得：13n n nb -=，∴01211233333n n n T -=++++L ······③，121112133333n n n n nT --=++++L ······④， ③－④得：0121112111132331333333322313nn n n n nn n n T --+=++++-=-=-⨯-L ∴969443n n n T +=-⨯．18．【答案】设指针落在A B C 、、区域分别记为事件A B C 、、．则()16P A =，()13P B =，()12P C =，（1）消费128元的顾客，只能转一次，若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域，其概率()()111632P P A P B =+=+=，即消费128元顾客返券金额不低于30元概率是12．（2）该顾客可转动转盘2次．随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120． ()1110224P X ==⨯=；()111302233P X ==⨯⨯=；()11115602263318P X ==⨯⨯+⨯=； ()111902369P X ==⨯⨯=；()1111206636P X ==⨯=； 所以，随机变量X 的分布列为：其数学期望()030604318E X =⨯+⨯+⨯9012040936+⨯+⨯=． 19．【答案】（1）证明：连接EC ，作AN EC ∥交CD 于点N ，则四边形AECN 为平行四边形， 1CN AE ==，在BCE △中，2BE =，BC =45ABC ∠=︒，由余弦定理得2EC =．所以222BE EC BC +=，从而有BE EC ⊥． 在AND △中，,F M 分别是,AD DN 的中点，则FM AN ∥，FM EC ∥， 因为AB EC ⊥，所以FM AB ⊥． 由PE ⊥平面ABCD ，FM ⊂平面ABCD ，得PE FM ⊥， 又FM AB ⊥，PE AB E =I ，得FM ⊥平面PAB ， 又FM ⊂平面PFM ，所以平面PFM ⊥平面PAB ． （2）以E 为坐标原点，,,EB EC EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()0,0,2P ，()0,2,0C ，()3,2,0D -， ()1,0,2AP =u u u r ，()13,2,0AM AC CD λλ=+=-u u u u r u u u r u u u r ． 平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =u r ．设平面PAM 的法向量为(),,n x y z =r ， 由0AP n ⋅=u u u r r ，0AM n ⋅=u u u u r r ，得()201320x z x y λ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得()2,31,1n λ=--r ． 由题意可得，cos ,5m n m n m n ⋅<>===⋅u r r u r r u r r ，-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------解得13λ=，所以四棱锥P ABCM -的体积1833P ABCM ABCM V S PE -=⨯=梯形．20．【答案】（1）设(),p p P x y ，∴224p p x y +=，∵PQ x ⊥轴，所以(,0)p Q x ，又设(,)N x y ''，由PN NQ =u u u r u u u r 有2p p x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入224x y +=有2214x y ''+=．即曲线E 的方程为2214x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 方程为： y kx t =+，联立2244x y y kxt ⎧+=⎨=+⎩得222(41)84(1)0k x ktx t +++-=， 故122814kt x x k +=-+，21224(1)14t x x k -=+，由222222121124(1)()(1)[()4]AB k x x k x x x x ==+-=++-，得22222(41)(41)4(1)k t k k +=+-+，故原点O 到直线AB 的距离21d k =+21221S d k =⨯=+，令22141k u k +=+，则22211(2)144S u u u =-+=--+，又∵[)22214341,411k u k k +==-∈++，当2u =时，max 21S =．当斜率不存在时，AOB △不存在，综合上述可得AOB △面积的最大值为1．21．【答案】（1）∵()ln 1f x x kx =-+，∴()f x 的定义域为()0,+∞，()11kxf x k x x -'=-=，当0k ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上无极值点，当0k >时，令()=0f x '，∴()10,x k =∈+∞，()()f x f x '、随x 的变化情况如下表： x 1(0,)k 1k 1(,)k +∞ ()f x ' ＋ 0 － ()f x ↗ 极大值 ↘ 从上表可以看出：当0k >时()f x 有唯一的极大值点x k =； （2）当0k >时在1x k =处取得极大值也是最大值，要使()0f x ≤恒成立， 只需11ln 0f k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴1k ≥，即k 的取值范围为[)1,+∞； （3）令1k =，由（2）知，ln 10x x -+≤，∴ln 1x x -≤，∵,2n n ∈N ≥， ∴22ln 1n n -≤，∴22222ln 111n n n n n -=-≤， ()222222222222ln 2ln 3ln 1111111111232323n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++-=--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L ≤ ()()111123341n n n ⎛⎫<--+++ ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭L ()111111123341n n n ⎛⎫=---+-++- ⎪+⎝⎭L ()()2112112121n n n n n --⎛⎫=---= ⎪++⎝⎭，∴结论成立． 22．选项4－4：坐标系及参数方程 【答案】（1）1cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩，2:8C y x =； （2）把直线方程代入抛物线方程得：22sin 8cos 80t t αα-+=， 1228cos sin t t αα+=，1228sin t t α=， ()22121212246sin 4810sin AB t t t t t t αα-=-=+-== ∴4220sin 3sin 20αα+-=，∴21sin 4α=，∴1sin 2α=，∴π6α=或5π6α=．-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------金戈铁骑金戈铁骑23．选项4－5：不等式选讲【答案】（1）因为()21,111,1x m x f x x x m m x +--⎧=++-=⎨--<-⎩≥，所以min 132y m m =--=-⇒=；（2）∵112a b+=，21a b ab ab +=⇒≥≥， ∵()()7111312a b a b ab ab ++=+++=+=， ∴516ab =<，矛盾．所以不存在正实数,a b 满足条件．。
2021届新高考高三考前保温热身模拟卷(四)数学试题(解析版)
2021届新高考高三考前保温热身模拟卷（四）数学试题一、单选题1．已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭,则U C P = A ．1[,)2+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．(]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先求出集合U 中的函数的值域和P 中的函数的值域，然后由全集U ，再根据补集的定义即可求出集合P 的补集． 【详解】∵集合{}2log ,1U y y x x == ∴(0,)U =+∞∵集合1,2P y y x x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∴1(0,)2P = ∴1[,)2U C P =+∞故选A.【点睛】本题考查了集合的补集的概念，属于基础题.与集合元素有关问题的思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集； （2）看这些元素满足什么限制条件；（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 2．已知复数z 满足93z z i ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】A【分析】先设(,)z a bi a b R =+∈，再根据复数相等列方程，解得z ，最后根据复数几何意义确定选项.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，229393zz i a bia b i494333a a z i b b ⎧=⎧⎪=∴∴=+⎨⎨==⎩⎪⎩,对应的点为(4,3)，位于第一象限， 故选：A【点睛】本题考查根据复数相等求复数、复数几何意义，考查基本分析求解与判断能力，属基础题.3．已知:1p x =-，q ：向量()1,a x =与()2,b x x =+共线，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先由向量共线求得0x =或1x =-，进而可判断充分性和必要性.【详解】若向量()1,a x =与()2,b x x =+共线，则(2)x x x =+，解得0x =或1x =-， 所以:1p x =-是q 的充分不必要条件. 故选：A.4．已知变量x 、y 满足约束条件x 2y 22x y 44x y 1+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数z 3x y =-的最大值是()A ．4-B ．32-C ．1-D ．6【答案】D【分析】先画出满足条件的平面区域，由z 3x y =-得y 3x z =-，结合图象得到直线过()2,0时z 最大，求出z 的最大值即可． 【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z 3x y =-得y 3x z =-， 显然直线过()2,0时z 最大， z 的最大值是6， 故选D ．【点睛】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题． 5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数，则其能被3整除的概率是（ ）A ．14B ．310C ．720D ．25【答案】C【分析】求出从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数的个数，同时求出能被3带除的数的个数后可得概率．【详解】从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数的个数为11245240C C A =，其中能被3带除的是两位数数字分别为12,18,36,54,72,78,96组成14个两位数， ∴概率为1474020P ==．故选：C ．6．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】C【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值.【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=-- 故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()200003200002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.7．数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若11a =，111n n n S S a +++=，则50a = A．5-B．7C．D．【答案】B【详解】试题分析：因为111n n n S S a +++=，所以，两式相减可得：，所以，所以，解得：，同理可得：，，，猜想：，所以50a =527-.【解析】递推公式及归纳推理.8．如图两个同心球，球心均为点O ，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段AB 与CD 是夹在两个球体之间的内弦，其中A C 、两点在小球上，B D 、两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体ABCD 的体积达到最大值时，此时异面直线AD 与BC 的夹角为θ，则sin2θ=（ ）A ．6B ．24C 30D 26【答案】A【分析】首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为3积之比为1:3，符合题意中的小球和大球的比例.判断当四面体ABCD 体积最大时，,AB CD 的位置关系，作出异面直线,AD BC 所成的角θ，解直角三角形求得sin 2θ.【详解】设正方体的边长为2，则其内切球半径为1，外接球的半径为22222232++=，所以内切球和外接球的表面积之比为1:3，符合题意中的小球和大球的比例. 依题意,CD AB 最长为()22312-=，AC 最长为小球的直径2.由于三角形的面积1sin 2S ab C =⋅⋅，若,a b 为定值，则π2C =时面积取得最大值.画出图像如下图所示，其中,A C 分别是所在正方形的中心，O 是正方体内切球与外接球的球心.1111//,,//,CD AD CD AD CB AB CB AB ==.由于11111133A BCD ABD CB D ABD V V S AC --∆==⋅⋅，故此时四面体A BCD -的体积最大.由于//,CE AB CE AB =，所以四边形ABCE 为平行四边形，所以//BC AC ，所以ADE ∠是异面直线BC 和AD 所成的角.所以ADE θ∠=由于AD AE =，设G 是DE的中点，则AG DE ⊥，所以2GAE θ=∠，所以222116sin266211GE AE θ====++. 故选：A【点睛】本小题主要考查几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.9．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x π时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 10．已知函数()2ln 3,04,0x x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若关于x 的方程()10f x kx -+=有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,2-B ．()0,2C ．()1,0-D ．()1,-+∞【答案】A【分析】方程()10()1f x kx f x kx -+=⇔=-有四个不同的实根，函数()y f x =图象与直线y =kx -1有四个交点，作出它们的图象，观察动直线的变化而得解.【详解】()10()1f x kx f x kx -+=⇔=-，令y =kx -1，y =kx -1表示过定点(0,-1)，斜率为k 的动直线，当0x >时()ln 2f x x '=-，当2(0,)x e ∈时，()0f x '<；当2(,),()0x e f x '∈+∞>， 所以()f x 在2(0,)e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增，当0x ≤时，2()(2)4f x x =+-，故()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，在同一坐标系内作出函数()y f x =图象与直线y =kx -1，如图所示，关于x 的方程()10f x kx -+=有四个不同的实根，等价于函数()y f x =的图象与直线y =kx -1有四个不同的交点，当0x >时，()ln 3f x x x x =-的图象在点00(,())x f x 处切线斜率为0ln 2x -，该切线过点(0,1)-时，0x 满足000()1ln 2f x x x +=-，解得01x =，所以()ln 3f x x x x =-的图象过点(0,1)-的切线斜-2，当0x ≤时，()24f x x =+'，2()4f x x x =+的图象在点2(,4)t t t +处的切线斜率为24t +，该切线过点(0,1)-时，24124t t t t++=+，因为0t ≤，解得1t =-，所以2()4f x x x =+的图象过点(0,1)-的切线斜率为2，由函数图象知，当动直线y =kx -1在直线21y x =-与21y x =--所夹不含y 轴的对顶角区域内转动(不含边界直线)时，函数()y f x =的图象与直线y =kx -1有四个不同的交点，此时k 的取值范围是(2,2)-. 故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数形结合法.二、多选题11．（多选）已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=.则以下几个命题正确的有（ ）A ．直线l 恒过定点(3,1)B ．圆C 被y 轴截得的弦长为C ．直线l 与圆C 恒相交D ．直线l 被圆C 截得最短弦长时，直线l 的方程为250x y --= 【答案】ABCD【分析】求出直线过定点，A 正确；求出圆与y 轴的交点坐标，进而求出弦长，B 正确；直线过定点在圆内，故C 正确；当直线截得的弦长最短时，1,2CD l CD k ⊥=-，即可求出直线方程，故D 正确.【详解】将直线l 的方程整理为(4)(27)0x y m x y +-++-=，由40,270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,1.x y =⎧⎨=⎩则无论m 为何值，直线l 过定点(3,1)D ，故A 正确；令0x =，则2(2)24y -=，解得2y =±故圆C 被y 轴截得的弦长为B 正确； 因为22(31)(12)525-+-=<，所以点D 在圆C 的内部，直线l 与圆C 相交，故C 正确；圆心(1,2)C ，半径为5，||CD = 当截得的弦长最短时，1,2CD l CD k ⊥=-，则直线l 的斜率为2，此时直线l 的方程为12(3)y x -=-， 即250x y --=，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系、直线过定点等基本数学知识，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.12．某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（ ）参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥0.05 0.010k3.841 6.635A ．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B ．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C ．若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D ．无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关 【答案】AC【分析】由于参加调查的男女生人数相同，则设为m 人，从而可求出男女生中喜欢攀岩的人数和不喜欢攀岩的人数，再代入2K 公式中计算，可得结论. 【详解】解：由题意设参加调查的男女生人数均为m 人，则所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，A 对B 错；22222(0.560.06)501.10.999m m m mK m m m m -==⋅⋅⋅， 当100m =时，2505010050.5056.6359999m K ⨯==≈>， 所以当参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，C 对D 错， 故选：AC【点睛】此题考查了独立性检验，考查了计算能力，属于基础题.三、填空题 13．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2α=______.【答案】- 【分析】先对sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，可求出tanα=，再利用正切的二倍角公式可求出tan 2α的值 【详解】解：由sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得11sin 3sin 22αααα⎫-=+⎪⎪⎝⎭， 化简得sin tan cos 2ααα==， 所以222tan tan 21tan 1ααα===--⎛- ⎝⎭故答案为：43-【点睛】此题考查两角和与差的正余弦公式，考查正切的二倍角公式的应用，属于基础题14．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X （小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市n 名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为________． 【答案】0.35n【分析】利用正态分布的对称性求解即可 【详解】解：由题意，40μ=，则()240,XN σ，由()30500.3P X ≤≤=，可得()10.3500.352P X ->==， 故累计时长超过50小时的人数大约有0.35n 人． 故答案为：0.35n ．15．某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由：一个实心圆柱体和一个实心半球体组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为334πcm ．现设圆柱的底面半径为2cm x ，工艺品的表面积为2cm S ，半球与圆柱的接触面积忽略不计．试写出S 关于x 的函数关系式及x 的取值范围________．【答案】2217πS x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，351x ⎛∈ ⎝⎭ 【分析】由题意及几何体的体积可得圆柱的高，再由表面积公式可得表面积的解析式 【详解】解：设圆柱的高为h ，因为圆柱的底面半径为2x ， 而半球的半径和圆柱的底面半径之比为3:2，所以半球的半径为3x ，设球的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，则由题意可得3212114(3)(2)34223V V V x x h πππ=+=⨯⋅+⋅⋅=，解得3217902x h x -=>，得x ⎛∈ ⎝⎭， 所以表面积为()()()22222211792222243335417π222x x x h x x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ⎛∈ ⎝⎭，故答案为：2217πS x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ⎛∈ ⎝⎭【点睛】此题考查几何体的体积的求法及表面积的求法，属于中档题四、双空题16．已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为k （0k >）的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且113AF F B =，则k =______．1 【分析】根据2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，可得b c =，根据222a b c =+得到a =，可得椭圆的离心率；联立直线AB 与椭圆方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，利用12x x +、12x x 以及113AF F B=可求得k 的值. 【详解】因为点2F (,0)c 关于直线y x =对称的点Q (0,)c 在椭圆上，所以b c =，所以22222a b c c =+=，即a =，所以2c e a ==. 所以椭圆C ：222212x y c c+=，1(,0)F c -，直线:AB ()y k x c =+，联立2222()12y k x c x y cc =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理得222222(12)4220k x ck x k c c +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122412ck x x k +=-+，2221222212k c c x x k -=+，因为113AF F B =，所以()()1122,3,c x y x c y ---=+， 所以1233c x x c --=+，即1234x x c =--，所以222243412ck x c x k --+=-+，得2222(1)12c k x k +=-+，所以2122(1)12c k x k -=+，所以2412224(1)(12)c k x x k -=-+，又2221222212k c c x x k-=+， 所以24224(1)(12)c k k --+2222(1)12c k k-=+，所以4222(1)(12)(1)k k k --=+-， 化简得21k =，又0k >，所以1k =.故答案为：2；1 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用点2F (,0)c 关于直线y x =对称的点Q (0,)c 在椭圆上，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．五、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5b =，3cos 5B =． （1）求ABC 的面积的最大值； （2sinsin 2B Ca C +=，求ABC 的周长． 【答案】（1）ABC 的面积的最大值为252；（2）15． 【分析】(1)由条件结合余弦定理，利用均值不等式可得ac 的最大值，从而得出ABC 的面积的最大值.（2πsinsin sin 2AC A C -⋅=⋅，再化简可得πsin2AA-=sin cos222A A A=⋅，从而得出角A，进一步求出边,a b，得出答案.【详解】（1）∵3cos5B=，∴4sin5B=，由余弦定理知：2222cosb ac ac B=+-，即226625255a c ac ac ac=+-≥-，即1254ac≤，当且仅当a c=时取等号．所以11125425sin22452S ac B=≤⨯⨯=，所以ABC的面积的最大值为252．（2πsin sin sin2AC A C-⋅=⋅∵sin0C≠，πsin2AA-=2sin cos222A A A=⋅．∵cos02A≠，故sin22A=，由0Aπ<<∴90A=︒．∵4sin5bBa==，∴254a=，∴25315cos454c a B=⋅=⋅=，∴周长为∴251551544a b c++=++=．18．已知数列{}n a满足121n na a+=+，154a=，1n nb a=-.（1）求证：数列{}n b是等比数列；（2）求数列___________的前n项和n T.从条件①1nnb⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，②{}nn b+，③2214log logn nb b+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭中任选一个，补充到上面的问题中，并给出解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析；（2）选①：22nnT n+=⋅；选②：21112222n nn nT+=++-；选③：22nnTn=+.【分析】（1）本题首先可根据121n n a a +=+得出112n n b b +=，然后根据等比数列定义即可证得结论；（2）选①：可根据错位相减法得出结果；选②：可通过分组求和法得出结果；选③：可通过裂项相消法得出结果.【详解】（1）因为121n n a a +=+，所以1221n n a a +-=-， 因为1n n b a =-，所以12n n b b +=，112n n b b +=， 因为11114b a =-=，所以数列{}n b 是以14为首项、12为公比的等比数列，112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）选①：因为112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()1112n nn n b ++=+⋅， 则()231223212n n T n +=⨯+⨯+++⨯，()3422223212n n T n +=⨯+⨯+++⨯，2341222222212n n n n n T T T n 3122222212122212828212n nnnn n n n ，故22n n T n +=⋅.选②：因为112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以112n n n b n +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则1111112348162n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111112348162n n +⎛⎫=+++++++++ ⎪⎝⎭()2111111142112222212n n n n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=++=++--，故21112222n n n n T +=++-.选③：因为112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2214114log log 12n n b b n n +⎛⎫=- ⎪⋅++⎝⎭，则1111111142334112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124222n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 故22n nT n =+. 【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的证明以及数列求和，常见的求和方法有：等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是中档题.19．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，AC BD ，相交于点O ，P 是线段AB 的中点，已知142AB BC AA ===，.（1）求证：11OB PA ⊥；（2）若N 是线段PB 上异于端点的点，求过1B N O ，，三点的平面被长方体所截面积的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为46【分析】（1）连接11B P OP A P ，，，证明1PA ⊥平面1PB O 即可证明结论； （2）延长ON 交DC 于E ，过1B N O ，，三点的平面与平面1111D C B A 中11C D 的交点为F ，交线为1B F ，连接EF ，则截面为1NEFB ，进而可得四边形1NEFB 为平行四边形1NEFB .底面ABCD 中，过B 作EN 的垂线，垂足为H ，设()42ENP ππαα∠=<<,再根据边角关系求解11NEFB S B H EN =⋅四边形.【详解】解：（1）连接11B P OP A P ，，，易证//OP AD ， 又因为AD ⊥平面11ABB A ，所以OP ⊥平面11ABB A ，因为1PA ⊂平面11ABB A ，所以1OP PA ⊥.在矩形11ABB A 中，P 是线段AB 的中点，142AB BC AA ===，, 所以1122PB PA ==，所以2221111PB PA A B +=，所以11PB PA ⊥， 又因为1OPPB P =，所以1PA ⊥平面1PB O ，所以11OB PA ⊥.（2）由题意知，延长ON 交DC 于E ，过1B N O ，，三点的平面与平面1111D C B A 中11C D 的交点为F ，则交线为1B F ，连接EF ，则截面为1NEFB ，连接EF ，则截面为1NEFB ， 由面面平行的性质可知，四边形1NEFB 为平行四边形1NEFB ， 如图所示：底面ABCD 中，过B 作EN 的垂线，垂足为H ，因为1BB EN ⊥，BH EN ⊥，所以EN ⊥平面1BB H ，可得1B H EN ⊥，所以11NEFB S B H EN =⋅. 设()42ENP ππαα∠=<<，则22sin tan NO NP αα==，，可得22tan NB α=-. 所以sin 2sin 2cos BH NB ααα=⋅=-，所以1B H =，所以114sin NEFB S B H EN α=⋅=四边形令22222128(1sin cos )128(sin cos sin cos )()sin sin f S ααααααααα-+-===， 2211113128(1)128[()]tan tan tan 24ααα=-+=-+，因为42αππ<<，所以tan 1α>，当tan 2α=时，min ()96f α=，所以过1B N O ，，三点的平面被长方体所截面积的最小值为【点睛】本题考查线线垂直的证明，几何体的截面的相关问题，考查运算求解能力，空间想象能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据面面平行的性质得截面1NEFB ，在根据几何关系求解.20．已知椭圆222:14x y C b+=的焦点在x 轴，且右焦点到左顶点的距离为3．（1）求椭圆C 的方程和焦点的坐标；（2）与x 轴不垂直且不重合的直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，直线l 与x 轴的交点为M ，点M 关于y 轴的对称点为N ． ①求ABN 面积的最大值；②当ABN AB <<【答案】（1）椭圆方程为221,43x y +=焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ；（2）①②证明见解析．【分析】（1）根据方程和右焦点到左顶点的距离为3，可求2,1a c ==，进而可得方程和焦点坐标；（2）①设出直线方程，有两种方式，和椭圆联立，结合韦达定理，可求弦长，再利用点到直线的距离可求三角形的高，从而得到面积的表达式，结合基本不等式可求最大值； ②根据最值情况可得两个参数间的关系，代换之后，结合目标式的特征可求范围.【详解】（1）因为234a c a +=⎧⎨=⎩，所以2,1a c ==． 又222a b c =+，所以23b =．所以椭圆方程为221,43x y +=焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ．（2）（ⅰ）方法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，:AB l y kx t =+， 所以,0t M k ⎛⎫-⎪⎝⎭，,0t N k ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 联立22,3412.y kx t x y =+⎧⎨+=⎩得()2224384120k x ktx t +++-=． 122843kt x x k +=-+，212241243t x x k -=+，()2248430k t ∆=-+>，即2243t k <+．243AB k ==+，点N 到直线AB的距离为d =．所以12ABNS =△=2243k≤+)224343k k +≤+=当且仅当22243k t t -+=即22243t k =+时等号成立．（ⅱ）因为AB ===而2433,k+>所以()21112443k<<+AB<<法二：（ⅰ）设直线x my t=+（0m≠），所以(),0M t，(),0N t-．联立方程2234=12,.x yx my t⎧+⎨=+⎩化简得()2223463120m y mty t+++-=．所以()2248340m t∆=-+>．12221226,34312.34mty ymty ym-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB==点N到AB的距离为：d=12ABNS AB d==△2t=+⎪⎝⎭≤=当且仅当t=2223+4t m=等号成立．（ⅱ）AB===． 因为2344m +>，所以AB ∈．【点睛】椭圆中最值问题和范围问题的处理方法：（1）先根据条件列出目标式，根据目标式的特点选择合适的方法进行求解； （2）常用方法有：二次函数最值法，基本不等式法，导数法等.21．2021年4月23日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了7位我校男生的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ1.15yx a =+. （1）求a ；（2）已知()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑，且当20.9R ≥时，回归方程的拟合效果非常好；当20.80.9R <<时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.(2R 的结果保留到小数点后两位) 参考数据：()721ˆ52.36iii y y=-=∑.【答案】（1）136.55-；（2）该线性回归方程的拟合效果是良好的，理由见解析. 【分析】（1）根据数据，求得x ，y ，代入回归直线方程，即可求得a . （2）根据（1），先求得()721ii yy =-∑，结合题中所给数据，代入2R 公式，可求得2R 的值，即可得答案.【详解】（1）由题中数据可得：166+180+174+183+178+173+185=1777x =，57+67+59+75+71+62+78=677y =所以 1.1567 1.15177136.55a y x =-=-⨯=-. （2）()()()()722222221100884511390i i y y =-=-++-+++-+=∑所以252.3610.870.9390R =-≈< 所以该线性回归方程的拟合效果是良好的22．己知函数f (x )=ae x -x 2(其中e 为自然对数的底数).（1）当a =1时，求证：函数f (x )图像上任意一点处的切线斜率大于12； （2）若f (x )>12ln(x +1)+cos x 任意x ∈[0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）(1,)+∞. 【分析】（1）首先将问题转化为1()22xf x e x '=->，接着判断导函数的单调性及最值即可；（2）首先令0x =得到1a >，接着将不等式放缩得到21ln(1)cos 2x ae x x x --+->2112x e x x ---，最后证明21102x e x x --->即可.【详解】（1）当a =1时，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=- 令()0ln 2f x x =⇒=''且当ln 2x <时，()0f x ''<，()'f x 单调递减； 当x >ln 2时，()0f x ''>，()'f x 单调递增， ∴min ()(ln 2)22ln 2f x f ≥=-''⇔证：1322ln 2ln 224->⇔<， 即证：316e >，显然成立， 故1()2f x '>， 即f (x )图象上任意一点处的切线斜率均大于12. （2）∵1()ln(1)cos 2f x x x >++，即21ln(1)cos 02x ae x x x --+->对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，令010,1x a a =⇒->>(必要性) 下证充分性： 当a >1时，21ln(1)cos 2x ae x x x --+->2211ln(1)cos 122x x e x x x e x x --+-≥---下只需证21102x e x x --->，令21()12x g x e x x =---1()22x g x e x '=--，由（1）知()0g x '>∴()g x 在[0,)+∞上单调递增， ∴()(0)0g x g ≥= ∴21ln(1)cos 02xae x x x --+-≥满足条件，充分性成立 综上：实数a 的取值范围为(1,)+∞.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
(新高考)2021届高三11月高考模拟特供卷 数学(二)学生版
（新高考）2020-2021学年11月份内部特供卷数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21iz +-是实数，则z =（ ） A ．2i -B ．1i 2-C ．1i 2D ．2i2．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 3．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC ⋅=，则ABC △的形状是（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，105．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ） A ．13B ．23C ．12D ．346．已知ABC △所在平面内的一点P 满足2PA PB PC ++=0，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ） A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶27．已知外接圆半径为6的ABC △的三边为,,a b c ，4sin sin 3B C +=，ABC △面积为S ，且222S b c a =+-，则面积S 的最大值为（ ）A ．817B ．1617C ．12817D ．64178．在ABC △中，1AB =，2AC =，AB AC BC +=，则AC 在BC 方向上的投影是（ ） A ．45- B ．5-C ．5 D ．45二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数i z a b =+(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且1a b +=，下列命题正确的是（ ） A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ，且z z =，则z 是实数 C ．若||z z =，则z 是实数D ．||z 可以等于1210．关于平面向量,,a b c ，下列命题中错误的是（ ） A ．若,≠0∥a b a ，则存在λ∈R ，使得λ=b a B ．若,a b 为非零向量且0⋅=a b ，则,a b 的夹角为直角 C ．若⋅=⋅a b a c ，则=b c此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号D ．()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c11．点O 在ABC △所在的平面内，则以下说法正确的有（ ） A ．若0OA OB OC ++=，则点O 为ABC △的重心B ．若0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 为ABC △的垂心 C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 为ABC △的外心 D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC △的内心12．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙55151110135A ．甲、乙两班学生成绩的平均数相同B ．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C ．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）D ．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知复数z 的模为1，则2|i |z +的最大值是________，最小值是________． 14．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：等待时间/分[)0,5[)5,10[)10,15[)15,20[]20,25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______．15．如图，在ABC △中，π3B ∠=，D 为BC 边上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，410AC =，π4CED ∠=，则CE =_______；若5CD =，则cos DAB ∠=______．16．若向量(),3k =a ，()1,4=b ，()2,1=c ，已知23-a b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围 是________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数()1225i 1z a a =+--，()22310i 5z a a =+-+，其中a 为实数，i 为虚数单位．（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围； （2）若21z z +是实数（2z 是2z 的共扼复数），求1z 的值．。
2021年高三第四次模拟考试数学理试题 WORD版
2021年高三第四次模拟考试数学理试题 WORD版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）—（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-= 为样本平均数； 柱体体积公式：、h 为高；锥体体积公式：为高；球的表面积、体积公式：其中R 为球的半径。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，则复数z=A ．iB ．1-iC ．1+iD ．-i2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是A ．B ．C ．D ．3．下列判断错误的是A ．“am 2< bm 2”是“a<b ”的充分不必要条件B ．命题“x ∈R ，x 2一x 2—1≤0”的否定是“∈R ，”C ．若p ，q 均为假命题，则p/\q 为假命题D ．若4．56(13)(,6)n x n N n x x +∈≥其中的展开式中与的系数相等，则n 等于A ．6B ．7C ．8D ．95．如图是将二进制数1111111(2)化为十进制数的程序框图，判断框内填入的条件是A ．i>5B ．i>6C ．i ≤5D ．i ≤66．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．2 B．1 C．D．7．已知函数y=sin2x --，下列结论正确的个数是①图象关于对称②函数在[0，]上的最大值为2③函数图象向左平移个单位后为奇函数A．0 B．1 C．2 D．38．下表提供了某厂生产某种产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为A．3 B．3. 15 C．3.5 D．4.59．设F是抛物线的焦点，点A足抛物线与双曲线l(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为A．2 B．C．D．1.510．如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数图象上方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率为A．B．C．D．11．已知且函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是A．[-1,+) B．[-1,0) C．(0,+ ) D．[-2,+ )12．已知数列表示不超过x的最大整数，则的值等于A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22)题～第(24)题为选考题，考试根据要求做答。
【内供】(新高考)2021届高三好教育云平台4月内部特供卷 数学(四)学生版
3
6
7
A． a b c
B． b a c
C． c b a
D． b c a
4．小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物入手，抽象出数学图形，在学生正确认识图
形特征的基础上，通过习题帮助学生辦认所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个 2 1的方格
表（如图所示），它由 2 个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这 2 1方格表的 6
好教育云平台 内部特供卷 第 4 页（共 8 页）
19．（12 分）已知四棱锥 S ABCD 如图所示，其中△SAB ，△SBC 均为等边三角形，二面角 A BS C 为直二面角，点 M 为线段 BC 的中点，点 N 是线段 SD 上靠近 D 的三等分点，BC∥平 面 SAD ． （1）求证： AD SM ； （2）若 AD 1 BC ，求直线 AN 与平面 BNC 所成角的正弦值．
订
准考证号
装
只
卷
姓名
此
班级
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A．2010~2019 年，我国研究生在校女生人数逐渐增加 B．可以预测 2020 年，我国研究生在校女生人数将不低于 144 万 C．2017 年我国研究生在校女生人数少于男生人数 D．2019 年我国研究生在校总人数不超过 285 万
55
14．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a10 32 ， S5 55 ，则 Sn __________．
15．已知点 M 在抛物线 C : y2 4x 上运动，圆 C 过点 5, 0 ， 2, 3 ，3, 2 ，过点 M 引直线
好教育云平台 内部特供卷 第 3 页（共 8 页）
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（新高考）2020-2021学年11月份
内部特供卷
数 学（四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．下列函数与函数yx相等的是（ ）
A．2()yx B．2yx C．33()yx D．2xyx
2．函数2241logxyx的定义域为（ ）
A．0,2 B．110,,222 C．2,2 D．2,2
3．若1tan3，1tan()2，则tan（ ）
A．17 B．16 C．57 D．56
4
．函数sinyAx（0A，0，π）的部分图象如图所示，则函数fx的解析
式为（ ）
A．π2sin26fxx B．π2sin23fxx
C．π2sin26fxx D．1π2sin23fxx
5．为得到函数πcos23yx的图象，只需将sin2yx的图象（ ）
A．向左平移5π12个单位长度 B．向右平移5π12个单位长度
C．向左平移5π6个单位长度 D．向右平移5π6个单位长度
6
．定义在R上的函数yfx是奇函数，2yfx为偶函数，若11f，则
201920202021fff
（ ）
A．2 B．0 C．2 D．3
7
．已知函数xxfxee，0.32af，0.20.3bf，0.3log2cf，则a，b，c的大
小关系为（ ）
A．cba B．bac C．bca D．cab
8
．已知函数π()sin()(0,)2fxx，π4x为()fx的零点，π4x为()yfx图象
的对称轴，且()fx在π5π,1836单调，则的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列函数，最小正周期为π的偶函数有（ ）
A．tanyx B．|sin|yx
此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号