2015-2016学年河南省郑州市高一(下)期末数学试卷与解析word
江苏省徐州市高一数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．过两点M（﹣1，2），N（3，4）的直线的斜率为．2．在等差数列{a n}中，a1=1，a4=7，则{a n}的前4项和S4=．3．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，若样本中A种型号产品有12件，那么样本的容量n=．5．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于10的概率为．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．7．某校举行元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是．8．若数列{a n}满足a n+1﹣2a n=0（n∈N*），a1=2，则{a n}的前6项和等于．9．已知变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值是．10．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落人孔中的概率是．11．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为．12．已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是．13．已知等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，则实数d的取值X围是．14．已知正实数x，y满足，则xy的取值X围为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A（1）求tan2A的值；（2）求cos（﹣A）的值．16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S5=30（1）求数列{a n}的通项公式a n（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．18．已知函数f（x）=x2﹣kx+（2k﹣3）．（1）若k=时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，某某数k的取值X围；（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，某某数k的取值X围．19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米，记矩形AMPN的面积为S平方米．（1）按下列要求建立函数关系；（i）设AN=x米，将S表示为x的函数；（ii）设∠BMC=θ（rad），将S表示为θ的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求出S的最小值，并求出S取得最小值时AN的长度．20．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=﹣3时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意的n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值X围．2015-2016学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．过两点M（﹣1，2），N（3，4）的直线的斜率为\frac{1}{2} ．【考点】直线的斜率．【分析】直接利用直线的斜率公式可得．【解答】解：∵过M（﹣1，2），N（3，4）两点，∴直线的斜率为： =，故答案为：．2．在等差数列{a n}中，a1=1，a4=7，则{a n}的前4项和S4= 16 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由已知可得：S4===16．故答案为：16．3．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，若样本中A种型号产品有12件，那么样本的容量n= 60 ．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样原理，利用样本容量与频率、频数的关系，即可求出样本容量n．【解答】解：根据分层抽样原理，得；样本中A种型号产品有12件，对应的频率为：=，所以样本容量为：n==60．故答案为：60．5．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于10的概率为\frac{1}{12} ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其点数之和大于10的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：列表如下：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12∵两次抛掷骰子总共有36种情况，而和大于10的只有：（5，6），（6，5），（6，6）三种情况，∴点数之和大于10的概率为： =．故答案为：．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为56 ．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，一直求出不满足循环条件时S的值．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，I=0，满足条件I＜6，执行循环，I=2，S=4满足条件I＜6，执行循环，I=4，S=20满足条件I＜6，执行循环，I=6，S=56不满足条件I＜6，退出循环，输出S的值为56．7．某校举行元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是\frac{8}{5} ．【考点】茎叶图．【分析】由已知中的茎叶图，我们可以得到七位评委为某班的小品打出的分数，及去掉一个最高分和一个最低分后的数据，代入平均数公式及方差公式，即可得到所剩数据的平均数和方差．【解答】解：由已知的茎叶图七位评委为某班的小品打出的分数为：79，84，84，84，86，87，93去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数==85方差S2= [（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=，故选：．8．若数列{a n}满足a n+1﹣2a n=0（n∈N*），a1=2，则{a n}的前6项和等于126 ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知，数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后直接利用等比数列的前n项和公式得答案．【解答】解：由a n+1﹣2a n=0（n∈N*），得，又a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则．9．已知变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值是13 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（5，3），代入目标函数z=2x+y得z=2×5+3=13．即目标函数z=2x+y的最大值为13．故答案为：13．10．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落人孔中的概率是\frac{4}{9π}．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：如图所示：∵S正=1，S圆=π（）2=，∴P==．则油（油滴的大小忽略不计）正好落人孔中的概率是故答案为：．11．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为等腰三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理，将等式两端的“边”转化为“边所对角的正弦”，再利用两角和与差的正弦即可．【解答】解：在△ABC中，∵acosB=bcosA，∴由正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，∴A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．12．已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是﹣1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】两直线的斜率都存在，由平行条件列出方程，求出a即可．【解答】解：由题意知，两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得﹣=∴a=﹣1 a=2，当a=2时，两直线重合．∴a=﹣1故答案为：﹣113．已知等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，则实数d的取值X围是（﹣∞，﹣\sqrt{3}]∪[\sqrt{3}，+∞）．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式得+10a1d+15=0，从而d=﹣﹣a1，由此利用均值定理能求出实数d的取值X围．【解答】解：∵等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，∴+15=0，∴+10a1d+15=0，∴d=﹣﹣a1，当a1＞0时，d=﹣﹣a1≤﹣2=﹣，当a1＜0时，d=﹣﹣a1≥2=，∴实数d的取值X围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．14．已知正实数x，y满足，则xy的取值X围为[1，\frac{8}{3}]．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】设xy=m可得x=，代入已知可得关于易得一元二次方程（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，由△≥0可得m的不等式，解不等式可得．【解答】解：设xy=m，则x=，∵，∴++3y+=10，整理得（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，∵x，y是正实数，∴△≥0，即100m2﹣4（2+3m）（m2+4m）≥0，整理得m（3m﹣8）（m﹣1）≤0，解得1≤m≤，或m≤0（舍去）∴xy的取值X围是[1，]故答案为：[1，]二、解答题（共6小题，满分90分）15．设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A（1）求tan2A的值；（2）求cos（﹣A）的值．【考点】直线的倾斜角；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）求出tanA，根据二倍角公式，求出tan2A的值即可；（2）根据同角的三角函数的关系分别求出sinA和cosA，代入两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：（1）由4x﹣3y+12=0，得：k=，则tanA=，∴tan2A==﹣；（2）由，以及0＜A＜π，得：sinA=，cosA=，cos（﹣A）=cos cosA+sin sinA=×+×=．16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S5=30（1）求数列{a n}的通项公式a n（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=4，S5=30，可得，联立解出即可得出．（2）==，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）证明： ==，∴数列{}的前n项和为T n=+…+=，∴T1≤T n，∴≤T n＜．18．已知函数f（x）=x2﹣kx+（2k﹣3）．（1）若k=时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，某某数k的取值X围；（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，某某数k的取值X围．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】（1）由k的值，得到f（x）解析式，由此得到大于0的解集．（2）由f（x）＞0恒成立，得到判别式小于0恒成立．（3）由两个不同的零点，得到判别式△＞0，由两点均大于，得到对称轴大于，和f（）＞0．【解答】解：（1）若k=时，f（x）=x2﹣x．由f（x）＞0，得x2﹣x＞0，即x（x﹣）＞0∴不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜0或x＞}（2）∵f（x）＞0对任意x∈R恒成立，则△=（﹣k）2﹣4（2k﹣3）＜0，即k2﹣8k+12＜0，解得k的取值X围是2＜k＜6．（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，则有，解得，∴实数k的取值X围是（6，）．19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米，记矩形AMPN的面积为S平方米．（1）按下列要求建立函数关系；（i）设AN=x米，将S表示为x的函数；（ii）设∠BMC=θ（rad），将S表示为θ的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求出S的最小值，并求出S取得最小值时AN的长度．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）求出AN，AM，即可建立函数关系；（i）设AN=x米，先求出AM的长，即可表示出矩形AMPN的面积；（ii）由∠BMC=θ（rad），可以依次表示出AM与AN的长度，即可表示出S关于θ的函数表达式；（2）选择（ii）中的函数关系式，化简，由基本不等式即可求出最值．【解答】解：（1）（i）∵Rt△CDN～Rt△MBC，∴=，∴，∴BM=，由于，则AM=∴S=AN•AM=，（x＞2）（ii）在Rt△MBC中，tanθ=，∴MB=，∴AM=3+，在Rt△CDN中，tanθ=，∴DN=3tanθ，∴AN=2+3tanθ，∴S=AM•AN=（3+）•（2+3tanθ），其中0＜θ＜；（2）选择（ii）中关系式∵S=AM•AN=（3+）•（2+3tanθ），（0＜θ＜）；∴S=12+9tanθ+≥12+2=24，当且仅当9tanθ=，即tanθ=时，取等号，此时AN=4答：当AN的长度为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24m2．20．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=﹣3时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意的n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值X围．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）由a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*，可得a2+a1=1，a3+a2=5，相减可得a3﹣a1=5﹣1=4，设等差数列{a n}的公差为d，可得2d=4，解得d．（2）由a n+1+a n=4n﹣3，a n+2+a n+1=4n+1，可得a n+2﹣a n=4，a2=4．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为4．对n分类讨论利用等差数列的求和公式即可得出．（3）由（2）可知：a n=．当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n﹣1﹣a1，由≥5成立，a n+1+a n=4n﹣3，可得：﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，令f（n）=﹣4n2+16n﹣10，求出其最大值即可得出．当n为偶数时，同理可得．【解答】解：（1）∵a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*，∴a2+a1=1，a3+a2=5，∴a3﹣a1=5﹣1=4，设等差数列{a n}的公差为d，则2d=4，解得d=2．∴2a1+2=1，解得a1=﹣．（2）∵a n+1+a n=4n﹣3，a n+2+a n+1=4n+1，∴a n+2﹣a n=4，a2=4．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为4．∴a2k﹣1=﹣3+4（k﹣1）=4k﹣7；a2k=4+4（k﹣1）=4k．∴a n=，∴当n为偶数时，S n=（a1+a2）+…+（a n﹣1+a n）=﹣3+9+…+（4n﹣3）==．当n为奇数时，S n=S n+1﹣a n+1=﹣2（n+1）=．∴S n=．（3）由（2）可知：a n=．当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n﹣1﹣a1，由≥5成立，a n+1+a n=4n﹣3，可得：﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，令f（n）=﹣4n2+16n﹣10=﹣4（n﹣2）2+6，当n=1或3时，[f（n）]max=2，∴﹣a1≥2，解得a1≥2或a1≤﹣1．当n为偶数时，a n=2n﹣3﹣a1，a n+1=2n+a1，由≥5成立，a n+1+a n=4n﹣3，可得： +3a1≥﹣4n2+16n﹣12，令g（n）=﹣4n2+16n﹣12=﹣4（n﹣2）2+4，当n=2时，[f（n）]max=4，∴+3a1≥4，解得a1≥1或a1≤﹣4．综上所述可得：a1的取值X围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
高一数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．28．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=．15．已知tanα=2，则tan2α的值为．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）=．三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．22．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+【考点】诱导公式的作用．【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°=tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）=﹣tan60°+sin90°=﹣+1=1﹣，故选B2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据角的X围以及终边相同角的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．∵0°角满足小于90°，但0°角不是锐角，故A错误，B．当k=2n时，β=k•90°=n•180°，当k=2n+1时，β=k•90°=k•180°+90°，则A⊆B成立，C．﹣950°12′=﹣4×360°+129°48′，∵129°48′是第二象限角，∴﹣950°12′是第二象限角，故C错误，D．α，β终边相同，则α=β+k•360°，k∈Z，故D错误，故选：B3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间点的对称性分别进行判断即可．【解答】解：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴），则x不变，其余相反，即对称点是P1（a，﹣b，﹣c）；故①错误，②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称，则y，z不变，x相反，即对称点P2（﹣a，b，c）；故②错误③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称，则y不变，x，z相反，即对称点是P3（﹣a，b，﹣c）；故③错误，④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称，则x，y，z都为相反数，即对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．故④正确，故选：C4．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的大小建立方程求出a的值即可得到结论．【解答】解：∵α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，∴a＜0，且cosα=a=，平方得a=﹣，则sinα===，故选：A．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]【考点】复合三角函数的单调性．【分析】利用正弦函数的单调性，确定单调区间，结合x的X围，可得结论．【解答】解：由正弦函数的单调性可得≤﹣2x≤（k∈Z）∴﹣﹣kπ≤x≤﹣﹣kπk=﹣1，则故选C．6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】先由诱导公式化简cos（φ）=﹣sinφ=确定sinφ的值，再根据φ的X 围确定cosφ的值，最终得到答案．【解答】解：由，得，又，∴∴tanφ=﹣故选C．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．2【考点】空间中的点的坐标．【分析】求出对称点的坐标，然后求解距离．【解答】解：点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xoy对称，可得C（1，2，1），点B与点A关于x轴对称，B（1，﹣2，1），∴|BC|==4故选：B．8．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直线y=a与正切曲线y=tanωx两相邻交点间的距离，便是此正切曲线的最小正周期．【解答】解：因为直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期，∵y=tanωx的周期是：，∴直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离是：．故选：B．9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称【考点】正弦函数的对称性．【分析】将x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，从而可判断A、B；将代入函数f（x）中得到f（）=0，即可判断C、D，从而可得到答案．【解答】解：令x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，故A、B不对；将代入函数f（x）中得到f（）=0，故是函数f（x）的对称中心，故C 对，D不对．故选C．10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知的sinθ＜tanθ，移项并利用同角三角函数间的基本关系变形后得到tanθ（1﹣cosθ）大于0，由余弦函数的值域得到1﹣cosθ大于0，从而得到tanθ大于0，可得出θ为第一或第三象限，若θ为第一象限角，得到sinθ和cosθ都大于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围；若θ为第三象限角，得到sinθ和cosθ都小于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围，综上，得到满足题意的θ的X围．【解答】解：∵sinθ＜tanθ，即tanθ﹣sinθ＞0，∴tanθ（1﹣cosθ）＞0，由1﹣cosθ＞0，得到tanθ＞0，当θ属于第一象限时，sinθ＞0，cosθ＞0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为cosθ＜sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，）；当θ属于第三象限时，sinθ＜0，cosθ＜0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为﹣cosθ＜﹣sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，），综上，θ的取值X围是．故选C11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、三角函数值在各个象限的符号即可得出．【解答】解：∵π＜α＜，∴==，同理可得=，∴原式=﹣（1﹣sinα）﹣（1﹣cosα）=﹣2+cosα+sinα．故选：A．12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．【考点】圆的标准方程．【分析】设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由弧长公式可得2π=R，解得R．再利用3r=R=6即可求得扇形的内切圆的半径．【解答】解：设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由2π=R，解得R=6．由题意可得3r=R=6，即r=2．∴扇形的内切圆的半径为2．故选：A．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．【考点】正切函数的定义域．【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值X围，即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：≠kπ+，k∈Z解得：故函数的定义域为故答案为14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=±．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用周期公式列出关于ω的方程，求出方程的解即可得到ω的值．【解答】解：∵=4π，∴ω=±．故答案为：±15．已知tanα=2，则tan2α的值为﹣．【考点】二倍角的正切．【分析】由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣x）=，∴cos（﹣x）=cos[+（﹣x）]=﹣sin（﹣x）=﹣．故答案为：﹣三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值，进而判断出sinα﹣cosα的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα﹣cosα的值，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出的值．【解答】解：把sinα+cosα=①，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣，∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则==﹣．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．（2）根据x的X围进而可确定当的X围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【解答】解：（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，由点在图象上的故∴又，∴（2）∵，∴当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用韦达定理可求得sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，利用同角三角函数基本关系式即可解得m，将所求的关系式化简为sinθ+cosθ，即可求得答案．【解答】解：∵sinθ和cosθ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，∵（sinθ+cosθ）2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ，∴m2=1+2×，解得：m=±2，∴+=+=sinθ+cosθ=．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．【考点】余弦函数的定义域和值域．【分析】由求出的X围，由余弦函数的性质求出cos（2x﹣）的值域，根据解析式对a分类讨论，由原函数的值域分别列出方程组，求出a、b的值．【解答】解：由得，，∴cos（2x﹣），当a＞0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，当a＜0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，综上可得，或．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣322．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）由函数的解析式求得周期，由求得x的X围，即可得到函数的单调增区间（2）由条件可得，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：（1）由函数，可得周期等于 T==π．由求得，故函数的递增区间是．（2）由条件可得．故将y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，即可得到f（x）的图象．。
15—16学年下学期七年级期末考试数学试题(附答案)
2015-2016学年第二学期期末联考试卷七年级数学一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果座位表上“5列2行”记作（5，2），那么（4，3）表示（）A．3列5行B．5列3行C．4列3行D．3列4行2．如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＞b2B．1﹣a＞1﹣b C．1+a＞1﹣b D．1+a＞b﹣13．在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下面调查中，适合采用普查的是（）A．调查全国中学生心理健康现状B．调查你所在的班级同学的身高情况C．调查我市食品合格情况D．调查南京市电视台《今日生活》收视率5．若是方程kx﹣2y=2的一个解，则k等于（）A．B．C．6 D．﹣6．如图，能判定EC∥AB的条件是（）A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE7．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，则点A1的坐标为（）A．（3，﹣3）B．（1，﹣1）C．（3，0）D．（2，﹣1）8．在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣2m+3）在第三象限，则m的取值范围是（）A．B．C．D．9．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤3 B．a≥3 C．a＜3 D．a＞310．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（）A．B．C．D．11．小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，则宽的长度xcm应满足的不等式组为（）A．B．C．D．12．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费）．规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．如图是张磊家2015年9月和10月所交电费的收据，则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度（）A．0.5元、0.6元B．0. 4元、0.5元C．0.3元、0.4元D．0.6元、0.7元第6题图第7题图第12题图二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.13．的整数部分是．14．某学校为了了解八年级学生的体能情况，随机选取30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数在25～30之间的频率为．15．已知2x﹣3y﹣1=0，请用含x的代数式表示y：．16．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=55°，则∠2的度数为°．17．若不等式组的解集是﹣1＜x ＜1，则b a 212 的立方根为 ． 18．如图，正方形ABCD 的顶点B 、C 都在直角坐标系的x 轴上，若点D 的坐标是（3，4），则点A 的坐标是 ．第14题图 第16题图 第18题图三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19．（5分）解方程组：20．（6分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ；（2）解不等式②，得 ；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为 ．21．（7分）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．（1）求该魔方的棱长；（2）求该长方体纸盒的长．22．（8分）已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4．证明：AD∥BE．证明：∵AB∥CD（已知）∴∠4=①（②）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=③（④）∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等量代换）即∠BAF=∠DAC∴∠3= ⑤（等量代换）∴AD∥BE（⑥）23．（9分）某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、哲学四类．在“读书月”活动中，为了了解图书的借阅情况，图书管理员对本月各类图书的借阅进行了统计，表）和图是图书管理员通过采集数据后，绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题：（1）表中m=，n=；（2）在图中，将表示“自然科学”的部分补充完整；（3）若该学校打算采购一万册图书，请你估算“哲学”类图书应采购多少册较合适？（4）根据图表提供的信息，请你提出一条合理化的建议．24．（11分）在南宁市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和1台电子白板共需要2万元，购买2台电脑和1台电子白板共需要2.5万元．（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过32万元，但不低于30万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．2015-2016学年第二学期期末联考七年级数学评分细则一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1-5 CDBBC 6-10 DBBAD 11-12 AA二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13. 4 14. 0.4 15. y=16. 35 17. 2 18. （﹣1，4）三、解答题（本大题共6小题，共46分）注：解答题解法多样，非本细则所述的其他正确解法请阅卷老师酌情给分19. 解：，①+②×2得：7x=7，即x=1，------- 3分把x=1代入①得：y=1，------- 4分则方程组的解为------- 5分20. 解：（1）x＜2，------- 1分（2）x≥﹣1，------- 3分（3）------- 5分（4）-1≤x＜2．------- 6分21. 解：（1）设魔方的棱长为x cm，可得：x3=216，------- 2分解得：x=6．------- 3分（2）设该长方体纸盒的长为y cm，6y2=600，------- 5分y2=100，即y=10．------- 6分答：魔方的棱长6 cm，长方体纸盒的长为10 cm．------- 7分22. 解：①∠BAE ，------- 1分②（两直线平行，同位角相等），------- 3分③∠BAE ------- 4分④（等量代换），------- 5分⑤∠DAC ，------- 6分⑥（内错角相等，两直线平行）．------- 8分23. 解：（1）m= 500 ，------- 2分n= 0.05 ；------- 3分（2）自然科学：2000×0.20=400 册如图，------- 5分（3）10000×0.05=500（册），即估算“哲学”类图书应采购500册较合适；------- 7分（4）鼓励学生多借阅哲学类的书．------- 9分24. 解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：，------- 3分解得，即每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；------- 5分（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据题意得：，------- 7分解得：13≤a≤15，∵a只能取整数，∴a=13，14，15，------- 9分∴有三种购买方案，方案1：需购进电脑13台，则购进电子白板17台，13×0.5+1.5×17=32（万元），方案2：需购进电脑14台，则购进电子白板16台，14×0.5+1.5×16=31（万元），方案3：需购进电脑15台，则购进电子白板15台，15×0.5+1.5×15=30（万元），∵30＜31＜32，∴购买电脑15台，电子白板15台最省钱．------- 11分。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
2024-2025学年河河南省郑州市南省实验中学高一(上)月考数学试卷(一)(含答案)
2024-2025学年河南省实验中学高一（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x−2x +2≤0}，B ={x ∈Z|−1≤x ≤5}，则A ∩B =( )A. [−1,2]B. {−1,0,1,2}C. [−1,2)D. {−1,0,1}2.已知a ，b 都是正数，则“ab ≥4”是“ab ≥a +b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.已知函数y =f(x)的定义域为[−2,3]，则函数y =f(2x +1)x +1的定义域为( )A. [−32,1] B. [−32,−1)∪(−1,1]C. [−3,7]D. [−3,−1)∪(−1,7]4.已知x >y >z 且x +y +z =0，则下列不等式中恒成立的是( )A. xy >yzB. xz >yzC. xy >xzD. x|y|>z|y|5.函数f(x)=|x +1|−1的图象是( )A. B. C. D.6.若函数f(x)=x x +1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+ f(50)+f(12)+f(13)+⋯+f(150)=( )A. 50B. 49C. 992D. 10127.设max{a,b}表示a 与b 的最大值.若x ，y 都是正数，z =max{x +y,1x +4y }，则z 的最小值为( )A. 22B. 3C. 8D. 98.已知函数f(x)=x +4x 2+8x +25+a ，g(x)= x +4− x +8，若对，，x 3∈(−4,+∞)，使得g (x 2)<f (x 1)<g (x 3)，则a 的取值范围是( )A. [−2,−16) B. (−2,−16] C. (−16,+∞)D. [−136,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021-2022学年河南省郑州市高一(下)期末数学试卷
2021-2022学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知i 为虚数单位，复数 5i−2 的共轭复数为（ ）A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i2.（单选题，5分）已知直线a ，b ，平面α，β，则下列命题中正确的是（ ）A.α⊥β，a⊂α，则a⊥βB.α || β，a || α，则a || βC.a || β，b⊂β，则a || bD.a 与b 互为异面直线，a || α，a || β，b || α，b || β，则α || β3.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ 是两个不共线的向量，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2a ⃗+λb⃗⃗ ，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ=（ ）A.-4B.-1C.1D.44.（单选题，5分）厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点．甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（ ）A. 14B. 13C. 23D. 345.（单选题，5分）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C 点的高度，小王在场馆内的A ，B 两点测得C 的仰角分别为45，30，AB=60（单位：m ），且∠AOB=30°，则大跳台最高高度OC=（ ）A.45mB. 45√2mC.60mD. 60√3m 6.（单选题，5分）已知向量 a ⃗ =（1，2）， b⃗⃗ =（2，2），则向量 a ⃗ 在向量 b⃗⃗ 上的投影向量为（ ） A.（ 32 ， 32 ）B.（ 34 ， 34 ）C.（ √2 ， √2 ）D.（ √22 ， √22 ）7.（单选题，5分）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本 ① 、 ② 、 ③ 、 ④ ，依次计算得到结果如下：① 平均数 x ＜4；② 平均数 x ＜4且极差小于或等于3；③ 平均数 x ＜4且标准差s≤4；④ 众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）A.1组B.2组C.3组D.4组8.（单选题，5分）若O 为△ABC 的内心，且满足（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0，则△ABC 的形状为（ ）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.以上都不对9.（单选题，5分）先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则，a，b，4能够构成钝角三角形的概率是（）A. 16B. 12C. 1336D. 2910.（单选题，5分）疫情期间，某校为了了解学生在线学习情况，统计了该校A、B两班2022年4月18日-4月26日每天在线学习人数情况，如图所示：下列说法不正确的是（）A.A班每天在线学习人数的中位数为34B.记A班与B班每天在线学习人数的方差分别为s12，s22，则s12＞s22C.A班与B班每天在线学习人数之和不超过60的天数为3天D.从20日-23日，A班与B班每天在线学习人数都在逐日减少11.（单选题，5分）已知三棱锥P-ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长度为（）A.6πB.30πC. (9+2√21)πD. (6+2√21)π12.（单选题，5分）在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，∠ABC=2π，BD=4，则3△ABC周长的最小值为（）A. 8+8√3B. 8+4√2C. 16+8√3D. 16+4√213.（填空题，5分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从10只“冰墩墩”，15只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了2只，则n为 ___ ．14.（填空题，5分）已知a⃗ =（1，2），b⃗⃗ =（1x，1），若a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，则x的取值范围为 ___ ．15.（填空题，5分）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵也被作为装饰物来使用，图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的体积为___ ．16.（填空题，5分）设非零向量a⃗和b⃗⃗的夹角是2π3，且| b⃗⃗ |=| a⃗ + b⃗⃗ |，若t∈R，则|ta⃗⃗+2b⃗⃗||2a⃗⃗|的最小值为 ___ ．17.（问答题，10分）已知复数z1= 2m21−i，z2=（2+i）m-3（1+2i），m∈R，i为虚数单位．（Ⅰ）若z1+z2是纯虚数，求实数m的值；（Ⅱ）若z1+z2＞0，求z1•z2的值．18.（问答题，12分）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差=生产的产品质量一标准质量，单位mg）的样本数据统计如图：（Ⅰ）求样本数据的80%分位数；（Ⅱ）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在（x -s，x +s）范围内的产品为一等品，其余为二等品，其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈10（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．① 若产品的质量差为78mg，试判断该产品是否属于一等品；② 假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．19.（问答题，12分）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD．（Ⅰ）设平面SBC∩平面SAD=l，求证：l || BC；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面SBD．20.（问答题，12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量e1⃗⃗⃗⃗ =（c，a），e2⃗⃗⃗⃗ =（cos（C- π6），sinA），且e1⃗⃗⃗⃗ || e2⃗⃗⃗⃗．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若ccosB+bcosC=1，且A= π4，求△ABC的面积．21.（问答题，12分）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示．只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为14，乙、丙每人面试合格的概率都是13，且三人面试是否合格互不影响．求：（Ⅰ）恰有一人面试合格的概率；（Ⅱ）至多一人签约的概率．22.（问答题，12分）已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）设AB=2，求三棱锥A-A1CE的体积；（Ⅱ）若把平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．2021-2022学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知i为虚数单位，复数5i−2的共轭复数为（）A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i【正确答案】：B【解析】：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．【解答】：解：5i−2=5−2+i=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−2−i，则复数5i−2的共轭复数为-2+i．故选：B．【点评】：本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.（单选题，5分）已知直线a，b，平面α，β，则下列命题中正确的是（）A.α⊥β，a⊂α，则a⊥βB.α || β，a || α，则a || βC.a || β，b⊂β，则a || bD.a与b互为异面直线，a || α，a || β，b || α，b || β，则α || β【正确答案】：D【解析】：根据空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解．【解答】：解：对于A，α⊥β，a⊂α，则只有当直线a与平面α，β的交线垂直时，才有a⊥β，故A错误；对于B，α || β，a || α，则a || β或a⊂β，故B错误；对于C，a || β，b⊂β，则a与b平行或异面，故C错误；对于D ，a 与b 互为异面直线，a || α，a || β，b || α，b || β，由线面平行的性质及面面平行的判定得α || β，故D 正确．故选：D ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．3.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ 是两个不共线的向量，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2a ⃗+λb⃗⃗ ，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ=（ ）A.-4B.-1C.1D.4【正确答案】：A【解析】：由A ，B ，C 三点共线，得 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，列出方程组，能求出实数λ．【解答】：解：∵ a ⃗ ， b ⃗⃗ 是两个不共线的向量，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2a ⃗+λb⃗⃗ ， A ，B ，C 三点共线，∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 a ⃗+2b ⃗⃗ =-2t a ⃗+λtb⃗⃗ ， ∴ {−2t =1λt =2，解得实数λ=-4． 故选：A ．【点评】：本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（单选题，5分）厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点．甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（ ）A. 14B. 13C. 23D. 34【正确答案】：C【解析】：可令事件A为甲乙在相同站点下车，计算出事件A的概率后利用对立事件的性质P（A）=1-P（A）可求出甲乙在不同站点下车的概率．【解答】：解：令事件A为甲乙在相同站点下车，则P（A）= 13 × 13+ 13× 13+ 13× 13= 13，所以P（A）=1-P（A）=1- 13 = 23．故选：C．【点评】：本题主要考查古典概型；考查学生的逻辑推理和运算求解能力；考查的核心素养是数学运算，属于基础题．5.（单选题，5分）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A，B两点测得C的仰角分别为45，30，AB=60（单位：m），且∠AOB=30°，则大跳台最高高度OC=（）A.45mB. 45√2mC.60mD. 60√3m【正确答案】：C【解析】：先用OC分别表示出OA、OB，再在三角形AOB中利用余弦定理求得OC．【解答】：解：在△BOC中，OB= OCtan30°= √3 OC，在△AOB中，OA= OCtan45°=OC，在△AOB中，由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB，即有3600=3OC2+OC2-2 √3 OC2cos30°，解得OC2=3600，则OC=60，故选：C．【点评】：本题考查解三角形，涉及余弦定理的应用，属于基础题．6.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（1，2），b⃗⃗ =（2，2），则向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量为（）A.（32，32）B.（34，34）C.（√2，√2）D.（√22，√22）【正确答案】：A【解析】：利用投影向量计算公式代入化简即可．【解答】：解：∵ a⃗ =（1，2），b⃗⃗ =（2，2），∴向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗|2• b⃗⃗= 1×2+2×222+22•（2，2）=（32，32），故选：A．【点评】：本题考查了投影向量的应用，属于基础题．7.（单选题，5分）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本① 、② 、③ 、④ ，依次计算得到结果如下：① 平均数x＜4；② 平均数x＜4且极差小于或等于3；③ 平均数x＜4且标准差s≤4；④ 众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【正确答案】：B【解析】：举反例判断① ③ ；采用反证法判断② ；利用众数、极差的定义判断④ ．【解答】：解：对于 ① ，举反例：0，0，0，4，11，其平均数 x =3＜4，但不符合题意，故 ① 错误；对于 ② ，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3， 得到此数据中最小值为10-3=7，此时数据的平均数必然大于7，与 x ＜4 矛盾，故假设错误，∴此组数据全部小于10，符合题意，故 ② 正确； 对于 ③ ，举反例：1，1，1，1，11，平均数 x =3＜4，且标准差s=4， 但不符合入冬指标，故 ③ 错误； 对于 ④ ，∵众数为5，极差小于等于4， ∴最大数不超过9，故 ④ 正确． 故选：B ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查平均数、极差、众数、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.（单选题，5分）若O 为△ABC 的内心，且满足（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0，则△ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 【正确答案】：A【解析】：利用向量的运算法则将等式中的向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．【解答】：解：∵（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0， ∴（ OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•[（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（ OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）]=0， 即（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0， CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0， （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0， ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =0， ∴ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ． ∴△ABC 为等腰三角形．故选：A ．【点评】：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量加减的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，平面向量模的运算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．9.（单选题，5分）先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a ，b ，则，a ，b ，4能够构成钝角三角形的概率是（ ） A. 16B. 12C. 1336D. 29【正确答案】：D【解析】：利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a ，b ，4能够构成钝角三角形的基本事件数，再利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】：解：要使a ，b ，4能够构成钝角三角形， 则a ，b ，4需要满足a 2+b 2＜42或a 2+42＜b 2或42+b 2＜a 2， 且能够满足三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 由乘法原理知，基本事件总数是36， 结合已知条件可知：当a=1时，均不符合要求，有0种情况； 当a=2时，b=3，5，符合要求，有2种情况； 当a=3时，b=2，6，符合要求，有2种情况； 当a=4时，b=6，符合要求，有1种情况， 当a=5时，b=2符合要求，有1种情况， 当a=6时，b=3，4符合要求，有2种情况， ∴能够构成钝角三角形的共有8种情况，故a ，b ，4能够构成钝角三角形的概率P= 836 = 29 ． 故选：D ．【点评】：本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.（单选题，5分）疫情期间，某校为了了解学生在线学习情况，统计了该校A、B两班2022年4月18日-4月26日每天在线学习人数情况，如图所示：下列说法不正确的是（）A.A班每天在线学习人数的中位数为34B.记A班与B班每天在线学习人数的方差分别为s12，s22，则s12＞s22C.A班与B班每天在线学习人数之和不超过60的天数为3天D.从20日-23日，A班与B班每天在线学习人数都在逐日减少【正确答案】：D【解析】：由中位数的运算，结合方差的统计意义逐一判断即可得解．【解答】：解：由图可知：A班2022年4月18日-4月26日每天在线学习人数情况为35、38、40、34、28、22、26、38、34，B班2022年4月18日-4月26日每天在线学习人数情况为33、35、39、36、30、31、28、40、36，对于选项A，A班每天在线学习人数的中位数为34，即选项A正确；对于选项B，A班每天在线学习人数比B班每天在线学习人数离散程度要大些，即s12＞s22，即选项B正确；对于选项C，A班与B班每天在线学习人数之和不超过60的天数为4月22日，23日，24日，即选项C正确；对于选项D，从20日-23日，A班每天在线学习人数都在逐日减少，B班在线学习人数22日到23日有所提升，即选项D错误，故选：D．【点评】：本题考查了中位数的运算，重点考查了方差，属基础题．11.（单选题，5分）已知三棱锥P-ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（）A.6πB.30πC. (9+2√21)πD. (6+2√21)π【正确答案】：D【解析】：根据题意求得外接球的球心O到平面ABC的距离为1，进而分两种情况：当球心在底面ABC和截面圆之间时，得到球心O到点P轨迹所在圆的距离为2，当球心在底面ABC和截面圆同一侧时，球心O到该截面圆的距离为d1=3+1=4，利用圆的周长公式，即可求解．【解答】：解：如图所示，由△ABC是等腰直角三角形，可得AB=BC=x，又由P到平面ABC的距离为3，三棱锥P-ABC的体积为24，可得13 × 12x2×3=24，解得x=4 √3，所以AC=4 √6，因为其外接球的半径R=5，可得52= AO12+OO12 = (2√6)2 + OO12，解得OO1=1，即圆心O到平面ABC的距离为1，又因为点P到平面ABC的距离为3，顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周，当球心在底面ABC和截面圆之间时，球心O到该截面圆的距离为d=3-1=2，设点P的轨迹所在圆的半径为r，可得r= √52−22 = √21，∴顶点P的轨迹长度为2πr=2 √21π，当球心在底面ABC和截面圆同一侧时，球心O到该截面圆的距离为d1=3+1=4，∵截面圆的半径为r1= √R2−d12 = √25−16 =3，∴顶点P 的轨迹长度为2πr 1=6π，综上所述，顶点P 的轨迹的总长度为（6+2 √21 ）π， 故选：D ．【点评】：本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中档题． 12.（单选题，5分）在△ABC 中，∠ABC 的平分线交AC 于点D ， ∠ABC =2π3，BD =4 ，则△ABC 周长的最小值为（ ） A. 8+8√3 B. 8+4√2 C. 16+8√3 D. 16+4√2 【正确答案】：C【解析】：由题意可得 12 BC×BAsin 2π3 = 12 AB×BDsin π3 + 12 BC×BDsin π3 ，从而4（a+c ）=ac ，由余弦定量有b 2= 116 a 2c 2-ac ，从而周长l=a+b+c= 14 ac+ √116a 2c 2−ac ，利用换元法可求最小值．【解答】：解：因为BD 是角平分线， ∠ABC =2π3，BD =4 ，∴∠ABD=∠DBC= π3，由S △ABC =S △ABD +S △BCD ，可得 12BC×BAsin 2π3= 12AB×BDsin π3+ 12BC×BDsinπ3， 在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，因为BD=4，所以4（a+c ）=ac ，又由余弦定理有b 2=a 2+c 2-2accos 2π3 =a 2+c 2+ac=（a+c ）2-ac= 116 a 2c 2-ac ，设△ABC 的周长为l ， 则l=a+b+c= 14 ac+ √116a 2c 2−ac ，设ac=x ，则l= 14 x+ √116x 2−x ，由基本不等式得4（a+c ）=ac≥8 √ac ，当且仅当a=c 时取等号，所以ac≥64，易得x≥64时，l= 14 x+ √116x 2−x 单调递增，所以当x=64时，l 的值最小，最小值为 14 ×64+ √116×642−64 =16+8 √3 ．故选：C ．【点评】：本题考查解三角形，属难题．13.（填空题，5分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从10只“冰墩墩”，15只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了2只，则n 为 ___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：利用分层抽样的结果列方程组，能求出n 的值．【解答】：解：现工厂决定从10只“冰墩墩”，15只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测， “冰墩墩”抽取了2只，则 210 = n10+15+20 ， 解得n=9． 故答案为：9．【点评】：本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.（填空题，5分）已知 a ⃗ =（1，2）， b ⃗⃗ =（ 1x ，1），若 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为锐角，则x 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]{x|x ＜- 12 或x ＞0}【解析】：根据题意，由向量数量积的计算公式可得 a ⃗ • b ⃗⃗ ＞0且 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 不同向，由此可得关于x 的不等式组，解可得答案．【解答】：解：根据题意，若 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为锐角，则 a ⃗ • b ⃗⃗ ＞0且 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 不同向， 则有 {a ⃗•b ⃗⃗=1x+2＞02x ≠1 ，解可得x ＜- 12 或0＜x ＜2或x ＞2，即x 的取值范围为{x|x ＜- 12 或0＜x ＜2或x ＞2}． 故答案为：{x|x ＜- 12 或0＜x ＜2或x ＞2}．【点评】：本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的分析，属于基础题． 15.（填空题，5分）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵也被作为装饰物来使用，图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的体积为___ ．【正确答案】：[1] 92π【解析】：先根据对称性得该几何体外接球的球心为正四棱柱的体心，再利用方程思想求出球的半径，最后利用球的体积公式即可求解．【解答】：解：设正四棱柱和正四棱锥的高均为h，根据对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的体心，球的直径2R即为正四棱柱的体对角线，且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离32h=R，根据正四棱柱的体对角线公式得（2R）2=22+22+h2，∴ (2R)2=4+4+(23R)2，∴R= 32，∴所求球的体积为43πR3=43×π×278=92π，故答案为：92π．【点评】：本题考查几何体的对称性，几何体的外接球问题，方程思想，球的体积公式，属基础题．16.（填空题，5分）设非零向量a⃗和b⃗⃗的夹角是2π3，且| b⃗⃗ |=| a⃗ + b⃗⃗ |，若t∈R，则|ta⃗⃗+2b⃗⃗||2a⃗⃗|的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] √32【解析】：对| b⃗⃗ |=| a⃗ + b⃗⃗ |两边平方，化简|ta⃗⃗+2b⃗⃗||2a⃗⃗|，根据二次函数的最值公式转化求解即可．【解答】：解：由条件：| b ⃗⃗ |2=| a ⃗ + b ⃗⃗ |2；可得 a ⃗2 +2 a ⃗•b ⃗⃗ =0， a ⃗2 = | a ⃗⃗⃗⃗||b ⃗⃗| ，所以| a ⃗ |=| b⃗⃗ |， ∴ |ta ⃗⃗+2b ⃗⃗||2a ⃗⃗| = √t 2a ⃗⃗2+4ta ⃗⃗•b ⃗⃗+4b ⃗⃗24a ⃗⃗2 = 12√t 2−2t +4 = 12 √( t −1)2+3 ≥ √32；当且仅当t=1时取等号，∴|ta ⃗⃗+2b ⃗⃗||2a ⃗⃗| 的最小值为 √32． 故答案为： √32 ．【点评】：考查数量积的运算及其计算公式，以及二次函数的最值公式的应用，是基础题． 17.（问答题，10分）已知复数z 1= 2m 21−i ，z 2=（2+i ）m-3（1+2i ），m∈R ，i为虚数单位．（Ⅰ）若z 1+z 2是纯虚数，求实数m 的值； （Ⅱ）若z 1+z 2＞0，求z 1•z 2的值．【正确答案】：【解析】：（I ）结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解． （II ）结合实数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】：解：（I ）∵z 1= 2m 21−i = 2m 2(1+i )(1−i )(1+i )=m 2(1+i ) =m 2+m 2i ，z 2=（2+i ）m-3（1+2i ）=2m-3+（m-6）i ，∴ z 1+z 2=(m 2+2m −3)+(m 2+m −6)i ， ∵z 1+z 2是纯虚数，∴ {m 2+2m −3=0m 2+m −6≠0，解得m=1． （II ）∵ z 1+z 2=(m 2+2m −3)+(m 2+m −6)i ， ∴ {m 2+2m −3＞0m 2+m −6=0 ，解得m=2，∴z 1=4+4i ，z 2=1-4i ，∴z 1•z 2=（4+4i ）（1-4i ）=20-12i ．【点评】：本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数和实数的定义，属于基础题． 18.（问答题，12分）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差=生产的产品质量一标准质量，单位mg ）的样本数据统计如图：（Ⅰ）求样本数据的80%分位数；（Ⅱ）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在（x -s，x +s）范围内的产品为一等品，其余为二等品，其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈10（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．① 若产品的质量差为78mg，试判断该产品是否属于一等品；② 假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由百分位数的运算求解即可；（Ⅱ）① 先求平均数，然后结合题意判断即可；② 由古典概型概率的求法求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由0.1+0.2+0.45=0.75＜0.8，0.75+0.2=0.95＞0.8，即样本数据的80%分位数在第4组中，设样本数据的80%分位数为t，则0.75+（t-76）×0.02=0.8，则t=78.5，即样本数据的80%分位数为78.5；（Ⅱ）① x=51×0.1+61×0.2+71×0.45+ 81×0.2+91×0.05=70，则质量差在（60，80）范围内的产品为一等品，又78∈（60，80）， 则该产品属于一等品② 设摸出2件产品中至少有1件一等品的事件为A ， 则P （A ）= 1−C 22C 52=1−110=910 ，即摸出2件产品中至少有1件一等品的概率为 910 ．【点评】：本题考查了百分位数的运算，重点考查了平均数的求法及古典概型概率的求法，属基础题．19.（问答题，12分）已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SA⊥平面ABCD ． （Ⅰ）设平面SBC∩平面SAD=l ，求证：l || BC ； （Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面SBD ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由AD || BC ，得BC || 平面SAD ，由此能证明l || BC ．（Ⅱ）推导出SA⊥BD ，AC⊥BD ，从而BD⊥平面SAC ，由此能证明平面SAC⊥平面SBD ．【解答】：证明：（Ⅰ）∵BC⊄平面SAD ，AD⊂平面PAD ，AD || BC ， ∴BC || 平面PAD ，又BC⊂平面PBC ，平面SBC∩平面PBC=l ， ∴l || BC ．（Ⅱ）∵SA⊥平面ABCD ，BD⊂平面ABCD ，∴SA⊥BD ， ∵四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，∴AC⊥BD ， ∵AC∩SA=A ，AC ，SA⊂平面SAC ，∴BD⊥平面SAC，∵BD⊂平面SBD，∴平面SAC⊥平面SBD．【点评】：本题考查线线平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.（问答题，12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量e1⃗⃗⃗⃗ =（c，a），e2⃗⃗⃗⃗ =（cos（C- π6），sinA），且e1⃗⃗⃗⃗ || e2⃗⃗⃗⃗．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若ccosB+bcosC=1，且A= π4，求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）结合平面向量平行的条件与正弦定理，可得sinC=cos（C- π6），再利用两角差的余弦公式与辅助角公式，即可得解；（Ⅱ）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，可推出a=1，进而知c的值，再由sinB=sin（A+C），求得sinB的值，根据S= 12acsinB，得解．【解答】：解：（Ⅰ）因为e1⃗⃗⃗⃗ =（c，a），e2⃗⃗⃗⃗ =（cos（C- π6），sinA），且e1⃗⃗⃗⃗ || e2⃗⃗⃗⃗，所以csinA=acos（C- π6），由正弦定理，可得sinCsinA=sinAcos（C- π6），因为sinA＞0，所以sinC=cos（C- π6）= √32cosC+ 12sinC，整理得，12 sinC- √32cosC=sin（C- π3）=0，因为C∈（0，π），所以C= π3．（Ⅱ）由正弦定理知，asinA = bsinB= csinC=2R，所以c=2RsinC，b=2RsinB，因为ccosB+bcosC=1，所以2RsinCcosB+2RsinBcosC=1，所以2R（sinCcosB+sinBcosC）=2Rsin（B+C）=2RsinA=1，所以a=2RsinA=1，c= asinCsinA = 1×√32√22= √3√2，因为A+B+C=π，所以sinB=sin（A+C）=sin（π4 + π3）= √22（12+ √32），故△ABC的面积S= 12 acsinB= 12×1× √3√2× √22（12+ √32）= √3+38．【点评】：本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角形面积公式，两角和差公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示．只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为14，乙、丙每人面试合格的概率都是13，且三人面试是否合格互不影响．求：（Ⅰ）恰有一人面试合格的概率；（Ⅱ）至多一人签约的概率．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据相互独立事件概率的乘法公式计算即可；（Ⅱ）求得三人都没有签约的概率和一人签约即甲签约的概率，求和即可．【解答】：解：（Ⅰ）恰有一人面试合格的概率为：14×(1−13)×(1−13) +（1- 14）× 13×（1- 13）+（1- 14）（1- 13）× 13= 49．（Ⅱ）3人都没有签约的概率为：（1- 14）（1- 13×13）= 23，甲签约乙、丙没有签约的概率为：14×(1−13×13) = 29，则至多有一人签约的概率为：23+29= 89．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．22.（问答题，12分）已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）设AB=2，求三棱锥A-A1CE的体积；（Ⅱ）若把平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）化归转化成三棱柱B1-ABC的体积即可求解；（Ⅱ）先利用二面角的定义作出所求二面角的平面角，再求解即可验证是否为“黄金棱柱”．【解答】：解：（Ⅰ）V A−A1CE =V C−AEA1=2V C−ABE= 2V E−ABC=2×12V B1−ABC= V B1−ABC= 13×12×2×2×sin60°×2= 2√33；（Ⅱ）延长A1E，AB并且两直线交于F，再连接FC，又E是BB1的中点，∴B是AF的中点，又△ABC为等边三角形，∴BA=BC=BF，∴FC⊥AC，又A1A⊥底面ABC，FC⊂底面ABC，∴FC⊥A1A，又FC⊥AC，且A1A∩AC=A，∴FC⊥平面ACA1，∴∠ACA1即为平面面A1EC与平面ABC所成锐二面角，又平面ABC || 平面A1B1C1，∴∠ACA1即为平面面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角，=1，又tan∠ACA1= AA1AC∴∠ACA1=45°≠60°，∴此三棱柱不是“黄金棱柱”．【点评】：本题考查化归转化思想，二面角的定义，属中档题．。
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2015-2016学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）sin780°等于（）A．﹣B．C．D．﹣2．（5分）某商场想通过检查发票存根及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票存根上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．其他方式的抽样3．（5分）已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．2 C．2 D．24．（5分）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m 甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m 甲＞m乙D．，m甲＜m乙5．（5分）把函数y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是（）A．y=sin（2x﹣）（x∈R）B．y=sin（）（x∈R）C．y=sin（2x+）（x∈R）D．y=sin（2x+）（x∈R）6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的x值为（）A．25 B．24 C．23 D．227．（5分）函数的一个递减区间为（）A．B．C．D．8．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）9．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．10．（5分）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]11．（5分）已知A为△ABC的最小内角，若向量=（cos2A，sin2A），=（，），则的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（﹣1，）C．[﹣，）D．[﹣，+∞）12．（5分）已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上的相应位置）13．（5分）已知，均为单位向量，＜，＞=60°，那么|+3|=．14．（5分）如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是．四、标题15．（5分）求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域．16．（5分）f（x）=3sin（﹣x+），若实数m满足f（）＞f（），则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．（12分）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系如下表（1）求纯利y与每天销售件数x之间的回归方程；（2）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？已知：x=280，y=45309，x i y i=3487，=，=﹣．19．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．20．（12分）如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间．（1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？21．（12分）已知关于x的方程2x2﹣bx+=0的两根为sinθ、cosθ，θ∈（，）．（1）求实数b的值；（2）求+的值．22．（12分）已知x0，x0+是函数f（x）=cos2（wx﹣）﹣sin2wx（ω＞0）的两个相邻的零点（1）求的值；（2）若对，都有|f（x）﹣m|≤1，求实数m的取值范围．2015-2016学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）sin780°等于（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：sin780°=sin（2×360°+60°）=sin60°=．故选：B．2．（5分）某商场想通过检查发票存根及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票存根上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．其他方式的抽样【解答】解：∵总体的个体比较多，抽样时某本50张的发票存根中随机抽一张，如15号，这是系统抽样中的分组，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票上的销售额组成一个调查样本．∴样本间隔相同，∴这种抽取样本的方法是系统抽样故选：C．3．（5分）已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．2 C．2 D．2【解答】解：设扇形圆心角的弧度数为α，则扇形面积为S=αr2=α×22=4解得：α=2故选：D．4．（5分）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m 甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m 甲＞m乙D．，m甲＜m乙【解答】解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙故选：B．5．（5分）把函数y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是（）A．y=sin（2x﹣）（x∈R）B．y=sin（）（x∈R）C．y=sin（2x+）（x∈R）D．y=sin（2x+）（x∈R）【解答】解：由y=sinx的所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin2x，再把图象向左平行移动个单位得到y=sin2（x+）=sin（2x+），故选：C．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的x值为（）A．25 B．24 C．23 D．22【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环x n循环前/2 1第一圈是 5 2第二圈是11 3第三圈是23 4第四圈否此时输出的x值为23故选：C．7．（5分）函数的一个递减区间为（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦函数的单调性可知y=sin（2x+）的单调减区间为2kπ+≤2x+≤2kπ+即kπ+π≤x≤kπ+π（k∈Z）而⊂[kπ+π，kπ+π]（k∈Z）故选：A．8．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）【解答】解：由函数的解析式可得A=4或﹣4，若A=4，由==6+2，可得ω=．再根据五点法作图可得﹣2×+φ=π，即φ=，不合题意，舍去．若A=﹣4，由ω=，6×+φ=π，求得φ=，故函数的解析式为y=﹣4sin （x+），故选：C．9．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===，故选：C．10．（5分）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），，∵=λ，∴λ∈[0，1]，，．•≥•，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：，∵λ∈[0，1]∴λ∈[，1]故选：B．11．（5分）已知A为△ABC的最小内角，若向量=（cos2A，sin2A），=（，），则的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（﹣1，）C．[﹣，）D．[﹣，+∞）【解答】解：∵A为△ABC的最小内角，若向量=（cos2A，sin2A），=（，），∴=cos2A•+sin2A•=2+，A∈（0，]根据函数解析式判断为减函数∴最大值为：2﹣=，（此值取不着）最小值为：2=∴的取值范围[，）故选：C．12．（5分）已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴•===2﹣，∴当y1=时•的最小值是故选：B．二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上的相应位置）13．（5分）已知，均为单位向量，＜，＞=60°，那么|+3|=．【解答】解：∵，均为单位向量，∴．又＜，＞=60°，∴===．故答案为：．14．（5分）如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是1﹣．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2；故飞镖落在阴影区域的概率．故答案为：1﹣．四、标题15．（5分）求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域．【解答】解：令t=sinx+cosx=sin（x+），则﹣≤t≤，t2=1+2sinxcosx，则sinxcosx=，则f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=t+=（t2+2t﹣1）=（t+1）2﹣1；∵﹣≤t≤，∴﹣1≤（t+1）2﹣1≤+；故函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域为[﹣1，+]．16．（5分）f（x）=3sin（﹣x+），若实数m满足f（）＞f（），则m的取值范围是[﹣1，）．【解答】解：∵f（x）=3sin（﹣x+）=﹣3sin（﹣），实数m满足f （）＞f（），令﹣+2kπ≤﹣≤2kπ+，解得﹣π+10kπ≤x≤4π+10kπ，∴f（x）的单调减区间为[﹣π+10kπ，4π+10kπ]，k∈Z，∴f（x）在区间[0，2]上是减函数．∴，求得﹣1≤m＜，故不等式的解集为[﹣1，），故答案为：[﹣1，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分。